（应用数学专业论文）两类捕食被捕食时滞系统的数学分析.pdf

摘要 本文主要研究了两类捕食一被捕食模型，一类是具有权时滞的已修改l e s l i e g o w e r 系统，另一类尾具有s ，流行病的食物链时滞模型其中第一类模型是在经典的l e s l i e g o w e r 系统中加入“比率依赖4 因素，而后一类则是将生物数学的两个分支即种群动力学 和传染病动力学结合了起来，因此对它们的研究更符台生态现实，在生物数学上具有比较 重要的意义 首先介绍了生物数学这门学科的研究背景及发展现状，阐述丁本文所研究模型的背 景，给出了本文研究所需的一些预备知识 其次分析了第一类模型，即具有双时滞且基于比率依赖的已修改l e s l i e g o w e r 系 统在许多情况下，特别是当捕食者不得不搜寻食物( 因此不得不分享或竞争食物) 时， 个更切台实际的捕食一被捕食模型应基于“比率依赖”理论，文献 4 7 中作者已考虑了 巳修改l e s l i e g o w e 7 。系统，在此，我们加入了“比率依赖”因索，从更符合实际的角度 重新研究了l e s l i e g o w e r 系统模型中的两个时滞n 和n 分别表示负反馈时滞和捕 食者的一个消化周期在这个模型中我们分析了系统的一致持久性和平衡位置的稳定性 通过分析相应的特征方程，得到了平衡位置局部稳定和产生h o p 分支的条件接着用 l y a p u n o v 泛函的方法分析了正平衡位置的全局稳定性 接着分析了第二类模型，即具有阶段结构和s ，流行病的食物链模型，应用比较定理 我们证明了解的有界性，接着通过特征方程的分析以及构造l y a p u n o v 函数等方法，得到 了模型平衡位置的局部稳定条件，通过比较定理，得到了边界下衡位置全局稳定的充分条 件 最后，给出丁论文中部分结论的数值模拟图，证明了我们所得结论的可行性 关键词：捕食一被捕食系统，时滞，h o p f 分支，全局渐近稳定性，l y a p u n o v 函数 a b s t r a c t t h ed y n a m i ca n a l y s e so ft w op r e d a t o r p r e ym o d e l sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di nt h i s t h e s i s t h ef i r s tm o d e li sal e s l i e - g o w e rs y s t e mw i t ht w ot i m ed e l a y s t h eo t h e ro n ei sa f o o dc h a i nm o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r ea n ds id i s e a s e t h e r e t h ef i r s to n ei sac l a s s i c a l l e s l i e - g o w e rs y s t e mw h i c hi sm o d i f i e db yr a t i o - d e p e n d e n tt h e o r y t w ob r a n c h e s ，t h e n o n l i n e a rp o p u l a t i o nd y n a m i c sa n dt h en o n l i n e a re p i d e m i cd y n a m i c s ，a r ec o n n e c t e db y t h es e c o n dm o d e l t h u st h es t u d yf o rt h et w om o d e l si sm o r er e a l i s t i ca n ds i g n i f i c a n ti n m a t h e m a t i c sb i o l o g y f i r s t l y , w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no ft h es u b j e c t ， a l s o ，w eg i v es o m et h e o r e t i c a lt o o l sa n dp r e l i m i n a r i e ss e r v i n gt h ed i s c u s s i o ni nt h ep a p e r s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ef i r s tm o d e l ，w h i c hi s ar a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r p r e ys y s - t e mw i t hm o d i f i e dl e s l i e - g o w e rs c h e m ea n dt w ot i m ed e l a y s i nm a n ys i t u a t i o n s ，e s p e c i a l l yw h e np r e d a t o r sh a v et os e a r c hf o rf o o d ( a n dt h e r e f o rh a v et os h a r eo rc o m p e t e f o rf o o d ) am o r es u i t a b a lg e n e r a lp r e d a t o r p r e ys y s t e ms h o u l db eb a s e do nt h es o - c a l l e d r a t i o - d e p e n d e n tt h e o r y i nt h i st h e s i s ，w ew i l lf o c u so u ra t t e n t i o no nt h er a t i o - d e p e n d e n t l e s l i e - g o w e rs y s t e m i no u rm o d e l ，t h ed e l a y7 1d e n o t e st h ef e e d b a c kd e l a ya n dt h ed e l a y t 2d e n o t e st h eg e s t a t i o np e r i o do ft h ep r e d a t o r b ya n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n s ， s o m ec o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h el o c a ls t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o no ft h eb o u n d a r y e q u i l i b r i a t h e nt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sc o n s i d e r e db yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l s m o r e o v e r ，w ed i s c u s st h es e c o n dm o d e l s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h e b o u n d n e s so ft h es y s t e mb yc o m p a r i s i o nt h e o r e m t h el o c a ls t a b i l i t yo ft h en o n n e g e r t i v e e q u i l i b r i ao ft h em o d e la r ec o n s i d e r db ya n a l y z i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n sa n dc o n g s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n f i n a l l y , w eg i v et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fs o m er e s u l t si nt h et h e s i st oi l l u s t r a t e t h ef e a s i b i l i t yo fo u rr e s u l t s i i i k e y w o r d s ：p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，t i m ed e l a y , g l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y ，l y a - p u n o vf u n c t i o n a l i v 独创性声明和论文使用授权说明 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名： ! 蛰透毂 日期迎卫镡一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名： l 勃卤b 教 导师签名：日期： 5 1 第一章绪论 1 1 学科概述 第一章绪论 生物数学是生物与数学之间的边缘学科它是用数学方法研究和解决生物学问题，并 对与生物有关的数学方法进行理论研究的学科 了解生物数学产生和发展的历史，要追溯到1 6 世纪中国明朝的著名科学家徐光启 ( 1 5 6 2 - - 1 6 3 3 ) 曾用数学的方法估算过人口的增长： “头三十年为一世”，即人口大致每三 十年增加一倍，这是把数学应用于生态问题的最早史例1 6 6 2 年，j g r a u n t 通过计算 研究了伦敦人口的出生和死亡率等这些都是早期的生物数学的零碎工作1 9 0 1 年英国 著名统计学家p e a r s o n 创办了生物统计杂志，标志了生物数学发展的一个里程碑 d a w t h o m p s o n 的巨著论生长与形式，可作为生物数学萌芽阶段的代表作在这 本著作中提出的许多古典生物数学问题，直到今天仍引起某些学者的关注，并进行讨论和 研究 2 0 世纪2 0 年代开始，生物物理学的发展促进了数学向生物学的进一步渗透数学 物理方法把许多微分方程模型带进了生物学领域，生物数学的发展进入第二阶段在此期 间，美国生态学家l o t k a 在1 9 2 1 年研究化学反应和意大利数学家v o l t e r r a 在1 9 2 3 年研 究鱼类竞争时分别提出了现在已经成为生物数学研究中经典模型之一的l o t k a - v o l t e r r a 系 统 2 0 世纪4 0 年代末电子计算机的发明和普及应用，使生物数学的发展进入了又一个新 的时期由于生命现象的复杂性，给生物数学带来了大量的运算，而计算机的发明及应用 成为发展生物数学的基础2 0 世纪5 0 年代，数量分类学、生物控制论、生物信息论等生 物数学的分支科学如雨后春笋般的相继产生并得到了发展 2 0 世纪7 0 年代随着电子计算机的发展和进一步普及，以此为后盾的生物数学如虎添 翼飞速发展从古典的初等数学到近代数学，从抽象数学到应用数学，生物数学已经把数 学学科的绝大部分内容置于自己的基础之中，具有了完整的数学理论基础特别是7 0 年 代中期，微分方程及动力系统的新理论和新方法大量的应用于种群生态学、种群遗传学、 流行病学等问题的研究之中生物数学俨然以一门独立的学科立于科学之林鉴于这一学 科的发展，1 9 7 4 年联合国教科文组织在编制学科分类目录时，第一次把生物数学作为一 1 两类捕食一被捕食时滞系统的数学分析 门独立的学科纳入生命科学类，与生物物理和生物化学鼎足而立 生物数学的诞生为生物科学的定量化研究创造了条件，拓宽了生物学的研究领域，诸 如数量遗传学、数学生态学、数值分类学以及数量生理学等大大丰富了生物学的研究内 容，促进了生物科学的发展，同时也为数学开拓了广阔的研究领域由于生命科学本身固 有的复杂性，使得生物学在与数学相互渗透的过程中，也向数学的发展提出了严峻的挑战 影响生命现象的复杂性、因素之间作用的非线性、以及生命过程的不连续性和迟滞性， 使得处理传统物理学问题时非常得心应手的数学工具，在应用于生命科学面前将面临一次 更为深刻的变革 尽管有几代人1 0 0 多年的努力，当今的生物数学仍处于探索和发展阶段，许多方法和 理论还很不完善，它的应用虽然取得了某些成功，但仍然是水平不是很高，解决问题也不 是很透彻许多更复杂的生物学问题至今未能找到相应的数学方法进行研究但年轻的生 物数学正在以强劲的势头，突飞猛进地向前发展展望未来，生物学与数学的紧密结合， 将把人类对于生命现象的认识不断提高到新的水平生物数学这一新兴的边缘学科必将在 生物大世纪中大展宏图 1 2 研究背景及现状 比率依赖理论在介绍比率依赖理论之前我们先了解一下种群动力学模型中一个重 要函数：功能反应函数 下面是标准的捕食与被捕食模型： 其中，表示食饵的密度，y 表示捕食者的密度， f ( n ) 是食饵的出生率函数， e 是转化系数，弘是捕食者的死亡率。 9 ( ) 通常称为功能反应函数，它表示单位时间内每个捕食者捕食食饵的能力在传统 的捕食一被捕食模型中，通常假设夕( ) 仅依赖于食饵的数量，即9 ( ) = 9 ( ) ，也称这种函 2 彤k “ 一 ， ) y 八 叼 = = 讲一出 吖一班 ，t_j l _ l 第一章绪论 数形式为食饵依赖对此类功能反应函数一般做如下假设： 9 ( 0 ) = o ，丽d g 0 ，l i 。m 。g ( n ) = 1 最常见且具有单调性的功能反应函数9 ( ) 有以下几种形式： ( 1 ) l o t k a v o l t e r r a 型： 当0 z 8 时， g ( n ) = b g l v ， 当z a 时，夕( ) = b ， 其中b 0 ，它适用于藻类和细胞等低等生物； ( 2 ) m i c h a l i s m e n t e n 型： 邸) = 品一6 0 ， 它适用于无脊椎动物； ( 3 ) s i g m o i d a l 型： 州) = 羔一咖 。， 它适用于脊椎动物 此外还有具有单调性的i v l e v 型，即 9 ( ) = 1 一e 一心，a 0 ， 以及非单调的i n h i b i t i o n 型，即 州) = 蒜 比率依赖理论指的是功能反应函数依赖于食饵密度与捕食者密度的比率：夕( ) = 夕( 等) 即捕食者种群的平均增长率应为食饵种群密度与捕食者种群密度之比的函数，也称为“基 于比率”。 模型的产生背景与研究现状生物数学是在生物学的不同领域中应用数学工具对生 命现象进行研究的学科随着生物数学的迅猛发展，其研究内容已经形成了一个庞大的体 系；生物统计、数量遗传、数学生态和数学生物分类学可作为其四大分支。 非线性种群动力学，也称数学生态学，是生物数学的一个重要分支，是应用动力学方 法研究生态学的新兴边缘学科，也是迄今数学在生态学中应用最为广泛，发展最为系统和 3 两类捕食一被捕食时滞系统的数学分析 成熟的分支非线性传染病动力学是生物数学的又一个重要分支，是数学与流行病学结合 的新兴边缘学科。传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方 法 一般来讲，在现实世界中，一个种群不可能孤立的存在，总会由于竞争食物、资源和空 间等与其他种群存在着某种形式的相互作用，这样考虑两个或多个种群的相互作用就显得 非常重要。因此在研究传染病时考虑疾病在相互作用的种群之间传播更为符合实际这是种 群动力学与传染病动力学的一种结合，所建立的模型我们此处称之为生态一流行病模型目 前，在这方面已经有一些研究成果，对于捕食被捕食系统可参考文献【4 , 6 ，9 ，1 2 ，2 2 ，2 8 ，2 9 ，4 4 ，4 6 】； 对于竞争系统参考文献【3 0 】；其中出现一些种群之间交叉感染的情况参考文献【3 1 ，4 1 捕食与被捕食之间的动态关系已经是并且将继续是生态学中的主要课题，由于它的普 遍存在性和重要性 1 0 】，通常以微分方程形式出现的连续模型已经形成一大部分传统的 数学生态学文献 近年来，越来越多明显的生物学和生理学研究表明 1 1 ，1 3 ，1 4 】，一个更切合实际且更 一般的捕食一被捕食模型应基于“比率依赖”理论粗略地讲，即捕食者种群的平均增长 率应为食饵种群密度与捕食者种群密度之比的函数，这一理论已被大量的野外观察结果和 实验数据所证实 1 1 ，3 】 种群增长具有阶段结构的数学模型最近也得到了广泛关注f 2 , 7 ，2 0 1 ，这些模型考虑了 这样一些事实：种群个体的生长发育包括两个阶段：幼年和成年期，这就从更现实的角度 对生态系统进行了更好的研究。 本文中，我们综合以上各方面的考虑，在l e s l i e g o w e r 系统中加入“比率依赖” 和时滞，在生态一流行病模型中增加了时滞和阶段结构等因素的考虑构建新的模型进行研 究 1 3 预备知识 下面的定义和定理是对微分方程系统而言的，x 表示系统所在的完备度量空间 定义1 3 1 f 5 】( 正的不变集) acx 称作是正的不变集，如果任意从a 中出发的解 当t 0 时仍滞留在a 中 定义1 3 2 【5 】( 全局吸引子) acx 称作是全局吸引子，如果它是紧的，正的不变 4 第一章绪论 的，并且对任何有界子集合bcx ，有j i m6 ( x ( ，x o ) ，a ) = 0 ( x o b ，x ( t ，x o ) 表示从日 中出发的解，6 表示距离) 定义1 3 3 4 2 1 ( 一致持久性) 如果存在紧集dci n t x ，使得系统每一个满足初始条 件的解都进入并滞留在集合d 中，则称系统是一致持久的 引理1 3 4 【3 ( r o u c h e s 定理) 令f ( a ，丁) = 入2 + a a + b a e a r + c + d e 。1 。= 0 ，其中 a ，b ，c ，d ，丁均为实数，丁0 那么随着丁的变化，位于右半平面内的，( 爻，r ) = 0 的根的 重数的总和发生变化当且仅当f ( a ，丁) = 0 的一个根出现在或穿过虚轴 引理1 3 5 【1 5 ( b a r b a l a t 引理) 如果，( 亡) 是一个一致连续函数，同时熙后l ，( 1 - ) i 打 存在且有界，则有l i mf ( t ) = 0 引理1 3 6 【1 5 】( b a r b a l a t 引理推论) 设函数g ( t ) ：陋，+ o 。) _ r ，a r 可微如果 觊9 ( ) 存在( 为有限值) ，且9 他) 在 o ，+ ) 上一致连续，那么。l 。i m o 。g 印) = 0 下面给出h u r w i t z 判别代数方程的根的实部是否均为负的法则( 以下简称h u r w i t z 法 则) 定理1 3 7 2 3 】设给定常系数的n 次代数方程 a 0 a n + a l 入竹一1 + a 2 a 竹一2 + + a n - - 1 入+ a n = 0 其中a o 0 ，作行列式 = 。， 2 = l ：l ， 3 = a n = a 1a o 0 a 3a 2a x a 5a 4a 3 8 la o 000 n 30 20 1o o 0 a 2 n 一1a 2 n - - 2 a 2 n - 3a 2 n 一4 a n = a 礼n 一1 ， 其中a t = o ( 对一切i 讫) 那么，方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式 同时成立； a 1 0 ，2 0 ，3 0 ，n 一1 0 ，a n 0 5 两类捕食被捕食时滞系统的数学分析 定理1 3 8 【3 5 】( 比较定理) 设有c a u c h y 问题 ( e 1 ) = 塞= f ( x ，) y ( x o ) = y o ，( 易) = d y = f ( x , y ) 其中厂与f 均在域g r r 内连续，满足局部l i p s c h i t z 条件，( x 0 ，y o ) g ，并设 ( e 1 ) 与( 易) 的解均在闭区间【a ，6 】上存在，分别记作y = y ( x ) 与y = y ( z ) ， a z b 若 f ( x ，y ) f ( x ，秒) ，v ( x ，y ) g 则 6 y ( x ) y ( z ) ，x o x b ， ! ，( z ) y ( z ) ，a x x o 第二章基于比率的已修改l e s l i e g o w e r 时滞系统稳定性分析 第二章基于比率的已修改l e s l i e g o w e r 时滞系统稳定性分析 本章考虑的是经典的l e s l i e g o w e r 模型在该模型中，描述捕食者捕食的功能反 应函数是基于“比率依赖”理论的另一方面，众所周知，时滞可以对生态系统的性质产 生相当大的影响理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中，时滞是不可避免的，而 负反馈和消化周期就是其中的两种。对于该课题，主要运用h o p f 分支理论， r o u c h e 7 s 定理和l y a p u n o v 泛函等方法，最终得到了正平衡位置全局稳定的充分条件 2 1 模型的建立与描述 本章研究以下模型： 【雪( 芒) = x ( a l b x 一且x + m l y ) ， = 可 口2 一：( c 2 一y 力( t - ) + n m ) 2j 1 ， ( 2 1 ) 具有初始条件 z o ( o ) = 驴( 口) ，y o ( o ) = 妒( p ) ， 0 一7 ，o ) ，( 矽，妒) c ( - - , - ，o 】，r 至，) ，x ( o ) = 矽( o ) 0 ，可( o ) = 妒( o ) 0 ，丁= m a x t l ，死) 这里系数a l 、a 2 、b 、c 1 、c 2 、m l 、m 2 与文献 4 7 具有相同的生态意义。1 表示负反馈引起的时滞，死表示捕食者的一个消化周期 该模型的产生来源于比率依赖理论和时滞因素的影响9 0 年代初期，a r d i t i 等提出 了比率依赖理论( 可参看【1 1 ，1 3 ，1 4 】) 随后产生了大量的基于比率依赖理论的捕食一被捕 食模型的文章，例如 3 3 ，3 4 】等，而在现实中时滞影响不可避免，通常情况下，我们总是用 同一时滞来表示负反馈，而在此我们取用两个不同的常数时滞来分别表示负反馈和消化周 期 2 2 系统的一致持久性 下面我们来说明解的一致持久性 引理2 2 1i n t r 孚是系统( 2 1 ) 的正不变集 7 两类捕食一被捕食时滞系统的数学分析 该引理的证明类似于文 4 7 】中引理1 的证明过程，这里从略 引理2 。2 2 存在魁 0 ，( i = 1 ，2 ) ，使得系统( 2 1 ) 的所有正解都满足；对充分大的t ，有 z 1 ，y n 2 ，这里n 1 = 警，2 = 詈( m 2 + 警) e 。川，即n 2 = a 2 ( m 矿2 b + a 1 ) e 口2 丁l 证明：由系统( 2 1 ) 的第一个方程可知： z 7 ( ) x ( a 1 一b x ) 由比较定理可知：存在五 0 ，当t 五时有： 由系统的第二个方程有； 从而： 所以 y ( t ) e a 2 y ( t 一7 1 ) y e 一衄n 当t 五+ 丁2 ，时，有 可币向一端) ， 根据比较定理知：存在正 7 1 + t 2 ，对任意的t 疋，有 秒a c 2 2 ( m 2 + 1 ) e 口2 n = a 2 ( m 矿2 b + a 1 ) e 口2 7 。1 全2 从而引理2 2 2 得证 定理2 2 1 若系统( 2 1 ) 满足( 凰) ：a l m l c l ，则该系统是一致持久的 证明由系统的第一个方程可知： 8 圣( t ) z ( n - 山z 一黑) 所以当( h 1 ) 成立时，存在一 0 ，对觇 有： ) 丢a l 一鬲c l 。) 全札 第二章基于比率的已修改l e s l i e g o w e r 时滞系统稳定性分析 又由第二个方程有： y ( t ) 一掣秒 由引理2 2 2 的证明知：当t 死+ 丁l 时，有， y ( t ) 一警秒 即： 刺e 一警2 所以 c o o y ( t t 1 ) 可e 苜n 将上式带入系统的第二个方程有 ! 丛生。 鲫) 刈n z 一鼍】 从而由比较定理知，存在 正+ 丁1 ，对耽 有： 可( ) i a 2 m 2 e 一警n 全n 2 定义集合： d = ( z ，y ) l n 】z i ，死2 y 易知d 是r 至上的一个有界紧集，且dci n t r 车 综上所述可知，存在t + z ，对任意的t t + ，系统( 2 1 ) 的任意一个正解都最终进入 并保留在区域d 内，从而系统( 2 - 1 ) 是一致持久的，定理得证 2 3 平衡位置的局部稳定性分析 给出 首先我们计算一下系统( 2 1 ) 的非负平衡点，系统( 2 1 ) 的平衡点由下面的等式 z ( 。l k 一再c l m y1 ，) = o 如一再c 2 y m 2 = o 9 两类捕食一被捕食时滞系统的数学分析 易求得其边界平衡位置为： e 1 = ( 警，o ) ，易= ( o ，警) ，其正平衡位置e + = ( z + ，y + ) 满 足： jn - 一”一毒鲁= o 、可k 詈( m ：+ z ) 易知( 2 - 2 ) 有两个解( z ；，罅) 和( z 二，可二) 其中 z 羔2 丽孟l _ 丽 一( 。2 6 m ，m 一2 + 。2 c t 一一叩z m ) 士倜 赃= 罢( 仇z + z 羔) 汶里 ( 2 2 ) a = ( a 2 b m l m 2 - t - a 2 c 1 一c 2 a 1 一a l a 2 m 1 ) 2 4 ( m l a 2 b + c 2 b ) ( a 2 c l m 2 一m l m 2 a l a 2 ) 显然，若条件( 日1 ) 成立，则有 0 ，z 簟 0 ，z = c 1 成立，则系统( 1 2 ) 还存在唯一正平衡位置e = ( x + ，y 4 ) 其中 z + 2 夏磊i 而【一( n z 溉m 2 - t - 。2 c - - c 2 a 1 一n 。2 m ) + 、】 y + = 譬( 仇2 + z + ) 在讨论平衡位置的局部稳定性前，我们首先给出如下引理 引理2 3 2 1 1 】考虑方程 a 2 + a a + b a e a r + c + d e 一灯= 0 ( 2 3 ) 在( 2 3 ) 中，假设c + d 0 ，a 24 - b 2 + d 2 0 ， 0 ，1 或者2 ( 1 ) 如果c 2 d 2 而且b 2 + 2 c a 2 0 ，( 2 - 3 ) 与丁= 0 时 ( 2 ) 如果c 2 d 2 ，且当7 - = 0 时( 2 3 ) 式不稳定，那么对所有的7 0 ，它均为不稳定 l o 第二章基于比率的已修改l e s l i e g o w e r 时滞系统稳定性分析 的如果当7 = 0 时( 2 - 3 ) 为稳定的，那么当7 0 ，v o ，1 ) ，( 2 - 3 ) 稳定；当丁 7 0 ，1 时， ( 2 - 3 ) 不稳定，这里丁o ，1 = p l u + ，p l 【0 ，2 丌】，u + 0 ， u 三=三 ( 6 2 + 2 c - a 2 ) + ( b 2 + 2 c - - a 2 ) 2 4 ( c 2 _ d 2 ) 】1 2 ) ， c o s 忙一等掣，咖堕杀轰0 型n 十j ： ( 3 ) 如果c 2 d 2 且b 2 + 2 c a 2 2 v - 虿_ d 2 ，那么( 2 3 ) 的稳定性将随着7 的增加改变 有限次，当7 充分大时，它变为不稳定的，特别的是，如果当t - - - - 0 时( 2 3 ) 稳定，那么当 7 - c 1 成立时， 入= n l 一嚣 0 ，此时易是不稳定的 当a l m l e l 时，a = a l 一嚣 q o 时，易是不稳定的 综上所述，我们有： 定理2 3 1 ( 1 ) ：e 1 是不稳定的鞍点 ( 2 ) ：当a i m l t 1 0 时，易是不稳定的反之，若( 日。) 成立，即a l m l c 1 ，e 2 是不稳定的。 在e + 处，方程( 2 4 ) 化为： ( 入+ a 2 e - - a r l ) ( 入+ b x + 一 令s = 赢寿舞，q = 两c 卅l x 2 邗 方程( 2 - 8 ) 简记为 即 两。一x * y * ，t 2 ) a , j+ c 2 ( m 伽l y * ；z + ：x * ) 2 ) e a 讫= 。两一，+ e4 屹2o ( 入- 1 - a 2 e - a r l ) ( 入+ 缸4 s ) + 鲁e 。忍= 。 m 几亿) _ - a 2 a - ( 妇4 s ) 入怕, 入e - , h r l 怕( 妇+ - s ) e 以7 1 + 鲁e 以记= 。 当n = 吃= 0 时 r ( a ，0 ，o ) ：a 2 + ( 8 2 + 妇一s ) a + 8 2 ( b x 一s ) + 堕：0 c 2 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 显然当( 凰) ：b z 一s 0 成立时， n 2 + 妇一s 0 ，。2 ( 妇+ 一s ) + 血c 2 0 由r o u t h h u r w i t z 定理知r ( a ，0 ，0 ) = 0 具有负实部的特征值，即7 1 = 仡= 0 时，e + 是稳定的。 当n = 0 ，t 2 0 时 r ( 入，0 ，丁2 ) = 入2 + ( 0 2 + k + 一s ) 入+ 0 2 ( 6 z 一s ) + 塑e a r 2 ：0 c 9 将入= i w 代入( 2 1 0 ) ，有： 1 2 ( 2 1 0 ) = m 害拳 2 一 一 一 0 砖 一 一 矿 如 + 眈 第二章基于比率的已修改l e s l i e g o w e r 时滞系统稳定性分析 即 将上述方程组上下两个等式平方后相加得 山 ( a 2 - 4 - k 4 一s ) 2 _ 2 a 2 ( k + _ s ) 妒喇( 如4 - s ) 2 一警= 。 方程( 2 1 2 ) 的根为 u 圣= 去 2 a 2 ( k + - s ) 七。+ 盼- s ) 2 士 显然 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 2 0 2 ( b x + 一8 ) 一( a 2 + b x + 一s ) 2 = 一a ；一( b x 4 一s ) 2 0 所以当且仅当n ；( 6 z + 一s ) 2 一警 丁2 0 时，驴是不稳定的，并且随着丁2 的增加永远不可能再次稳定 现在我们在丁2 的稳定区间上来讨论方程( 2 9 ) ，当 r 2 0 ，丁2 0 ) 时，将( 2 9 ) 中所有包含 丁2 的量都看做一个常量，则方程( 2 9 ) 可视为一个关于丁1 的方程，用同样的方法可得 丁1 的稳定区间【0 ，t 0 1 ) 其中。= t o ，( 丁2 0 ) 是关于丁2 0 的函数根据h o p f 分支定理，我们 有： 定理2 3 2 若( 尻) ，( 凰) 成立，则有： ( 1 ) ：如果见【0 ，下2 0 ) ，则存在伯l ( 下2 0 ) ，使当t 1 0 ， r 0 1 ) 时，( 2 9 ) 的根均具有负实部， 即系统( 2 1 ) 的正平衡点e + 是局部渐近稳定的； ( 2 ) ：如果丁2 见o ，则相应的存在伯1 ( 亿o ) ，当丁1 t 0 1 时，方程( 2 9 ) 至少存在一 个根具有正实部，从而e + 是不稳定的； ( 3 ) ：系统( 2 1 ) 在亿= 丁2 0 处产生h o p f 分支 2 4 全局稳定性分析 首先我们讨论边界平衡位置易的全局渐近稳定性 定理2 4 1 若系统( 2 1 ) 满足：a l t + 时，y n 2 ，z m 则由系统的第一个方程可知，当t t + 时 圣( ) z ( 口七一靠) 因为a l 而丽c l n 2 ，所以由比较定理知： 1 i ms u px ( t ) 0 c o 。 1 4 第二章基于比率的已修改l e s l i e g o w e r 时滞系统稳定性分析 从而 m nz ( ) = 0 t 由此易知，在定理条件下，任一具有正初始条件的解的u 极限集qc ( o ，可) ，y o ) ，而 由引理2 2 2 可进一步得到： q c ( o ，可) ，0 y 2 ) 因为q 是一非空闭的不变集，所以q = 易，从而易是全局吸引的 又因q 1 而丽c 1 1 2 2，所以n 1 嚣薏 o m ：； 证明首先做以下变换，令z = x * e 们，y = y * e 劬， 则有u l= l n - 5 ，u 2 = f 礼乒，可求得： 甓z i 2 一妇4 ( 乱1 1 ) + 堡! 兰：k ：! ! 二! ) 二! 】一 m 2 + x ( t - r 2 ) 一 生兰：型：! ! ：! 二! ! ( r e ly + + 。+ ) ( ，n 1 暑，+ z ) 取k ( 亡) = i u l ( t ) 1 则沿系统( 2 1 4 ) 的解对k ( ) 求右上导数有： 。+ e = - b x * l e - 1 1 十而c 再l x * 丽y * l e v 丽1 - - 1 i + 一6 z + l e - 1 1 + 寺渊+ c l y + f e 2 c l x + y 4 e u 2 1 l ( r e l y + - 4 - z + ) ( m 1 y + z ) 一1 l m l y + z 由定理2 2 1 的证明可知，存在丁+ 0 ，当t t + 时，y 凡2 ，z 凡1 ， 所以有m l y + z m l r t 2 + 托1 全砰 则有 d + 一( b - 示c 而1 ) z + i e 们一1 i + 皇r 可+ | e 伽一1 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 1 5 嚣 两类捕食被捕食时滞系统的数学分析 系统( 2 1 4 ) 的第二个方程可以改写为 ： a 2 x p 1 1 】 乱22 m 2 + 二x ( t - 二t 2 ) a 2 x m 2 + x ( t 一死) c 2 y + e 啦一1 】 m 2 + x ( t 一乃) 仁吃严掣如 + 禹( n e 珏 取k 1 ( ) = i u 2 ( ) i ，则沿系统( 2 1 4 ) 的解对l ( t ) 。= 面a 2 x * i e 1 - 1 一燕l e u 2 - 1 i 2 ( t ) 求右上导数有： + 等( 亿矽i e l ( e ) - 1 i + 高攀蔫尚 + 塑m 2 仁n a 孵2 x * 严卜虬1 i + 盖c p 2 沪n ) - 埘如 t + 时有： d + y 一( 6 一m c l l 叩) z + i e 们一l l + 垒7 7y * l e 啪一1 + 面a 2 x * i e u l _ 1 1 一上备i m 2 - i - - 1 俨一1 m v + 0 2 l 死 + c 2 2 7 1 ( 6 + 鼎) 妣i 们一1 1 + q 7 7 y * l 严一1 i ) 面a 2 x * i e - 1 1 + m c _ l 2 y * i e 忱- 1 1 _ _ 6 一翥一老一 一( 焘一号一 1 1 些m 2 ( 6 + m c l ) 一警矿i 萨一1m l7 7m 主 一a 2 n l c l 死一孥) 秒垆一1 1 m 2 0m 丕 令：k = b 一仇e l 。l _ 町一旦m 2 - 2 一业鬟( 6 + 嘉b ) 一警 k 2 = 鼎一号一等死一警 由于系统( 2 - 1 ) 是一致持久的，所以当t t 4 时，有： 由中值定理得： x * e 乱l ( 。) = x ( t ) n l ，y * e u 2 ( 。) = u ( t ) n 2 ， z + i e u t ( 2 ) 一1 i = x * e 口- ( l t 1 ( t ) i ， 其中x e 0 1 ( 。) 介于x ( t ) 与x + 之间， 洲e u ：( ) 一1 i = y * e p 2 0 ) l u 2 ( t ) l ， y e 0 2 ( 2 ) 介于u ( t ) 与y 4 之间 令k = r a i n k i n l ，k 2 n 2 ，则当t 丁+ 时 又知 d + v - k ( 1 u l ( t ) i + l u 2 ( t ) 1 ) v ( t ) i u ( 亡) i + i u 2 ( t ) l ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 从而由l y a p u n o v 函数定理我们可得到系统( 2 1 4 ) 的零解是全局渐近稳定的，即系统 ( 2 1 ) 的正平衡位置是全局渐近稳定的，定理证毕 1 7 第三章具有s ，流行病的食物链模型的稳定性分析 第三章具有s ，流行病的食物链模型的稳定性分析 本章所讨论的是一类具有阶段结构和s i 流行病的食物链模型，运用特征根以及l y a p u n o v 函数等方法研究并得到了平衡点局部及全局稳定性的充分条件 3 1 模型的建立与描述 以v o l t e r r a 和l o t k a 为代表的种群动力学和以k e r m a c k 及m e k e n d r i e k 为代表的 流行病动力学相结合的研究已引起了广泛的关注【1 7 ，2 5 ，3 6 】文 9 】中，作者考虑了单种 群具有阶段结构的s ，模型，文 3 9 】中，作者分别考虑了食饵具有阶段结构的捕食被捕食 模型，本文我们进一步研究具有阶段结构，又包含s ，流行病的食物链模型如下所示： z2 y l 2 y 2 ：= z 2 2 z 2 = 2 x ( r a l x a 2 y 2 ) a y 2 一q e r l n y 2 ( t 一7 1 ) 一f l y l 一b l y l z l o z e r l n 矽2 ( 亡一7 1 ) 一r