（机械电子工程专业论文）空间圆柱凸轮廓面数字化研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要1 空间凸轮曲面是空间凸轮机构研究的一个很重要的方面，现在对 空间凸轮的理论设计和加工大部分都是采用传统方法。随着空间凸轮 小批量，高精度的市场要求，需要把计算机引入到空间凸轮设计、加 工理论中。本文在查阅大量空间分度凸轮曲面特性研究资料的基础上， 以空间凸轮的啮合原理，曲面的等距原理为基础在空间凸轮廓面研 究中引入离散原理，形成了一种新的对空间凸轮廓面的研究方法。 本文首先对新的理论：空间凸轮离散解析原理进行了探讨，即从 共轭曲面的创成过程考虑，将母曲面y ：和创成曲面f 看作两簇点 集，认为创成曲面罗是由运动条件和母曲面f ，上满足共轭条件的点 在s 坐标空间构成点集的宏观表现，在此基础上提出了离散解析原理 的计算模型和算法。 本文引入空间凸轮离散解析原理和等距曲面理论，把空间凸轮面 啮合的滚子轴线在运动过程中所形成的面看成等距蓝面的理论廓面， 而空间凸轮廓面是实际廓面。运用离散解析原理对理论廓面离散，然 后运用离散后的理论廓面来形成实际廓面，最后对空间凸轮的曲率和 压力角建立计算模型。这种模型的建立有利于空间凸轮的计算机引入。 最后本文对空间凸轮的加工方法进行了研究，在空间凸轮的加工 中经常用到非等价加工，本文主要是对空间凸轮非等价加工中的两重 包络进行了探讨。 关键词离散解析原理；等距原理；两重包络；共轭条件 本课题得到国家自然科学基金资助( 5 0 1 7 5 0 6 3 ) 山东大学硕+ 学位论文 a b s tr a c t t h es u r f a c eo fr 0 1 1 e rg e a rc a mi st h em os ti m p o r t a n tp a r to fr o l l e r g e a rc a m t h er e s e a r c ha n dm a c h i n i n go nr o l l e rg e a rc a ma r ea 儿 t r a d i t i o n a lm e a n s w i t ht h ed e m a n do ft h em a r k e rf 0 rl i t t l eb a t c h ，h i g h p r e c i s i o n ，w en e e du s ec o m p u t e ri nt h ed e s i g na n dm a c h i n i n go fr o l l e r g e a rc a m t h i sa r t i c l ei sb a s iso nal o to fr e s e a r c hd a t aa b o u tt h er o l l e r g e a rc a m ，r e s e a r c ht h er o l l e rg e a rc a mw i t ht h e o r yo fm e s h ，t h e o r yo f i s o m e t r ya n dt h e o r yo fd i s p e r s e ih o p et of o r man e wr e s e a r c hm e t h o do n t h er o l l e rg e a rc a m a tt h eb e g i n n i n gt h ea r t i c l eh a v ead e e pd i s c u s sa b o u tt h ed i s p e r s e t h e o r yo nr o l l e rg e a rc a m t h a tm e a n sw et h i n kf r o mt h ef o r m a t i o no f t h es u r f a c eo ft h er o l l e rg e a rc a m ，r e g a r dt h ef o r m e ds u r f a c e l a n d t h eo r j g i n a ls u r f a c e 2 a r ea l lc o l l e c t e db yal o to fd o t ，a n dt h e s u r f a c e l i sf o r m e do ft h em o v e m e n ta n do r i g i n a ls u r f a c e 2 a tt h e b a s eo fd i s c u s sif o r mt h ec a l c u l a t em o d e lo fd i s p e r s et h e o r y t h i sa r t i c l ei sb a s e do nt h ed i s p e r s et h e o r ya n dt h e o r yo fi s o m e t r yo n r 0 1 1 e rg e a rc a m t h es u r f a c et h a tf o r m e db yt h ea x i so ft h er o l l e rt h a t m e s hw i t ht h es u r f a c eo ft h er 0 1 l e rg e a rc a mi sr e g a r d e da st h es u r f a c eo f t h e o r ya n dt h es u r f a c eo ft h er o l l e rg e a rc a mi sr e g a r d e da st h er e a l s u r f a c e d i s p e r s et h es u r f a c eo ft h e o r yw i t hd i s p e r s et h e o r y ，a n dd e p e n d o nt h ed i s p e r s e ds u r f a c et of o r mt h er e a ls u r f a c e ，t h e nf o r m e dt h em o d e l o fc u r v a t u r ea n dp r e s sa n 9 1 e a t1 a s tih a v ead i s c u s s i o no nt h em a c h i n i n go ft h er o l l e rg e a rc a m ， a tt h em a c h i n i n go nt h er o l l e rg e a rc a mn o n e q u i v a l e n c ei so f t e nu s e d t h i sa r t i c l ei sm a j o ro nt w i c ef o l dm e t h o d k e y w o r d s ： d i s p e r s et h e o r y ；t h e o r yo fi s o m e t r y ；t w i c ef o l d ；c o i l j u g a t e c o n d j t j o n v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：、至如 日期：丑芝竺上 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 、 论文作者签名：i 弛导师签名： 日期：巡! ! 山东大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的背景和意义 空间凸轮在空间凸轮机构中是一个关键的零件，空间凸轮的设计 和制造是很多学者的研究对象，其中一个非常活跃的研究领域是探讨 新的技术运用以完成空间凸轮廓面的生成工作。 本课题就是从这个角度出发来研究空间凸轮的参数化、空间凸轮 的设计数字化，为智能化、柔性化的凸轮设计和加工提供基础。同时， 本文对空间凸轮非等价加工中的两重包络加工方法进行探讨，希望能 在理论设计和制造加工中对空间凸轮提供新的方法。 空间凸轮廓面设计技术主要有如下几点： 1 从动件运动规律的研究，继续寻找有效的方法，当对从动件的 轨迹有要求时，能用这些方法组成或制造出满足要求且性能良好的运 动规律【2 j 。 2 几何学和运动学的研究要综合考虑各种凸轮机构，尽可能导出 精确的计算公式。现有的研究多集中于平面和圆柱凸轮，而且是对不 同的凸轮分别研究，因而造成设计公式过多和近似公式过多的情况， 并且影响到其他方面( 如c a d ) 的研究。 3 发展通用而有效的c a d 系统。由于上述原因和其他因素，计算机 在凸轮机构的应用中受到很大的限制。对于比较完整的c a d 系统研究， 仅在最近几年才开始发展【3 】。 4 专家系统或人工智能的c a d 系统。由于大多机构不是标准机构， 种类多且应用广，设计质量和设计者的水平与经验有密切的关系，并 且许多已有的知识不能公式化、参数化，因此很难把它们应用到c a d 系统中，引入专家系统必须注意收集已有关于凸轮机构及其设计的知 识和经验。 5 动力学研究成果的进一步实用化，由于动力学问题的复杂性和 对研究成果可靠性的怀疑，使这些成果在实际应用上并不广泛。 6 加强对凸轮机构的运动性和动力学特性的计算机模拟，以提高 山东大学硕士学位论文 设计质量和缩短产品周期。 7 研究c a d c a m 的体化。数控用于凸轮加工已有很长的历史， 目前计算机数控的应用也比较普遍，但由于对c a d 的研究不够，所以 c a d c a m 的工作成效很少。现在计算机数控机床已能使用由高级语言编 制的程序和计算机图形系统，预计这方面的研究将很快发展起来【4 】。 综上所述，无论是在空间凸轮的动力学方面还是运动学方面，计 算机辅助技术的应用是一个重要的发展趋势。由于计算机技术引入凸 轮设计和制造过程，使得新型和高精度、高速凸轮机构得到了较大的 发展。在本文中，将引入计算机辅助技术，结合空间凸轮廓面的研究， 探讨新的设计和制造技术。 1 2 空间凸轮的曲面研究理论 空间凸轮曲面理论有多种表述方式，本文主要从共轭曲面、包络、 等距面等角度展开工作。 1 2 1 共轭曲面理论 本课题运用离散解析原理，对空间圆柱凸轮的共轭曲面进行处理。 以共轭曲面离散解析原理推导为基础，进而实现对空间圆柱凸轮廓面 的数字化处理n j 。 在共轭曲面求解理论与方法研究上，一般分为解析曲面和数字曲 面两种方法。共轭益面理论研究在机械加工和机械传动条件下，运动问 的内在联系和相互转换，它涉及到力学、微分几何学、机构学等学科， 其应用遍及齿轮齿面设计、机构的运动分析与综合、加工仿真、凸轮 轮廓设计等众多领域【6 j 。随着数字化设计和加工技术的发展，解析曲面 的共轭理论已不能满足现代设计与加工技术的需要，因此，需要研究 基于离散形式的数字化共轭曲面理论，建立数字化共轭曲面理论体系， 为数字化曲面的发展奠定理论基础。目前，共轭曲面研究中数字化进 程刚起步，其前期工作仍由人工建立母曲面模型，完成所有的公式推 导，以得到共轭曲面的解析表达式，然后编程由计算机进行一些后处 2 山东大学硕士学位论文 理工作。进一步的研究工作也有基于母曲面方程和共轭运动方程的计 算机求解方法，然而，还没有形成完整的数字化共轭曲面理论体系。 所谓数字化菸轭曲面理论，其特征在于抛开传统共轭曲面理论的繁琐 推导与变换，仅借用其共轭条件的构架关系，利用数字方法，借助于 计算机解决共轭曲面理论中的各种问题。既能解数字母曲面问题，又 能处理母曲面的求解问题，实现真正意义上的数字化共轭曲面理论分 析。因此，数字化共轭曲面理论研究，特别是数字化共轭曲面的求解 具有重要的理论和实用价值，也是今后该领域里的研究热点和重点。 解析法求解共轭曲面的个重要内容就是共轭条件的建立和变换，共 轭条件一般可以表述为： 元舌= o 在工程上，上式称为啮合条件或接触条件，而在微分儿何中，共 轭条件可以转化为如下包络条件： ( 五，f ，) = o 共轭曲面理论在凸轮廓面的解析设计中是一种有效的方法【”。 1 2 2 包络理论 包络理论的内容包括单参数曲面族的包络理论、双参数曲面族的 包络理论等。包络理论的研究可以针对摆动从动件和直动从动件得到 廓面方程，也可以应用基于网络原理的矩阵法，用于滚予从动件和平 底从动件凸轮机构的廓面的几何解析。在平面凸轮的研究中，通过引 入微分几何中关于单参数曲面族包络原理，可以推导平面凸轮廓线方 程。针对不同平面凸轮类型，推出各自的压力角和曲率公式，从而求 得数值解【8 1 ，在空间圆柱凸轮的廓面研究中，可以借鉴有关的思想， 对凸轮的包络关系开展研究。包络理论、共轭曲面理论以其适用面广 而受到研究者的重视，但是它们都需要繁杂的公式推导和变换，但得 到的凸轮廓面方程往往缺乏直观的几何意义，所以，从研究和使用的 角度希望能够有一种既直观又方便的凸轮设计方法1 9 j 。 山东人学硕士学位论文 1 2 3 等距曲面、等距曲线理论 在数学上等距曲面、曲线属于微分几何的范畴，等距曲线和曲面 具有几何概念清晰，计算简单的特点，这是包终理论和共轭理论很难 达到的，在本课题中把等距曲面运用到廓面的研究中。 平面凸轮廓线设计和数控加工可以归结为求某一曲线的等距曲线 问题，因而等距曲线在平面凸轮的设计与制造中有广泛的应用，与其 它设计方法相比，等距曲线设计法概念清晰，综合和分析简单，易于 实现平面凸轮的c a d c a m ，尤其应该提出的是，要是曲面为可展曲而， 则等距曲面为直纹面【l 。 虽然等距曲面在平面凸轮廓的设计与制造中得到了广泛的应_ | | j ， 但未应用在空唰凸轮廓硅的设计和制造中，主要由于空间凸轮廓面是 复杂的空间不可展曲面，人们对它的性质认识的还不足很透切。1 9 9 6 年d m t s a y 第一次明确提出了采用等距曲面理论进行圆柱滚子从动件 凸轮机构中凸轮廓面设计的思想和方法，并通过举例和比较说明了该 方法的方便性和有效性。但是利用等距曲面进行凸轮机构的综合，其 应用范围受到限制。同一时期，在空问凸轮廓面的研究中有人引入了 空间凸轮的“理论廓面”和“实际廓面”的概念来辅助进行空间凸轮 廓面的曲率分析。理论廓面是滚子从动件绕吲定的凸轮体反向叫转时， 滚子轴线在空间形成的轨迹曲面。与滚子工作表面相接触的凸轮工作 廓面称为实际廓面，对于圆杵滚子从动件凸轮机构，理论廓面与实际 廓面互为等距曲面“。 1 3 空间圆柱廓面分析的研究现状 在设计出能实现选定运动规律的凸轮轮廓之后，需要对凸轮轮廓 几何性质进行分析，也就是凸轮廓面分析，这种分析足凸轮轮廓面加 工和检验的基础【1 ”。 工和检验的基础【1 ”。 4 山东大学硕士学位论文 1 3 1 空间圆柱凸轮廓面曲率的分析 曲率分析是本文的一个重要任务，在完成了对空间圆柱凸轮廓面 离散化研究的基础上，要对空间凸轮的曲率进行具体的建模，现在先 对凸轮廓面的曲率进行介绍。凸轮廓线曲率半径的计算和校核都有重 要意义，概括起来说，曲率半径影响凸轮机构的最小基圆半径和滚子 的大小，并且它对共轭曲线的啮合性能、接触应力影响很大，凸轮廓 面的曲率求解可采用的方法有： 1 利用共轭理论推导出凸轮廓线方程，然后由方程求解曲率。由 于曲率和导数有关，因此曲率的矢量函数非常复杂。 2 运动的过程中，从动件与凸轮的接触点存在一定的相对运动速 度，可运用该速度关系来求凸轮廓线的曲率，这种方法比较简单【l ”。 1 3 2 空间圆柱凸轮廓面的分析 空间凸轮廓面一般情况下是复杂的空间不可展曲面，只有通过分 析廓面的几何性质才能很好的认识廓面。曲面特性分析包括廓面的法 曲率、主方向、接触点两曲面主曲率间的关系、主方向间的关系来分 析，对这个问题的研究主要分为以下的方法： 1 先推导出凸轮廓面的曲面方程，根据已经求出来的方程求出压 力角、法曲率和主曲率等参数。这种方法主要运用到较简单的凸轮廓 面设计和加工上。 2 根据啮合原理由滚予曲面主曲率先求出接触点处滚子曲面主方 向上对应的凸轮廓面的法曲率，然后求出凸轮廓面的主曲率及两曲面 方向间的夹角。 3 根据啮合原理，利用滚子曲面的主曲率、主方向求出凸轮廓面 的主曲率、主方向及两曲面主方向问的夹角，并由此求解诱导曲率、 诱导主方向。 4 由滚子曲面的法曲率公式直接求出接触点处任意方向截面上的 诱导曲率，然后再求解凸轮廓面上的主曲率、主方向。 前面三种方法是先求出凸轮轮廓面上法曲率、主曲率、主方向、 山东大学硕士学位论文 压力角等参数再求出诱导曲率、方向和压力角。最后一种方法不经过 凸轮廓面上的曲率和压力角就直接求出任意方向的诱导曲率和压力 角，再根据所求的曲率和压力角求出凸轮廓面上各类曲率。第一种方 法要根据凸轮廓面的方程来推导曲率公式，由于凸轮廓面的方程往往 很复杂，很难构建柔性系统。其他的方法是根据滚子曲面及共轭的运 动关系来间接的得到凸轮廓面的曲率公式，避免了复杂公式的推导， 有利于与计算机技术结合【1 4 】。 1 4 主要研究内容 1 4 1 廓面离散化分析方法与算法 共轭曲面理论是根据工程实践的需要发展起来的，目前理论研究 已较成熟，针对各类工程实际的应用也很广泛。从利用计算机完成共 轭曲面综合的角度，需要建立面向计算机实现的空间圆柱凸轮廓面离 散解析方案i l ”。 提出的离散化原理和算法应能够与共轭曲面的综合理论等价，方 法本身应具备简单易操作和理解的特点，能够在技术人员给出母曲面 及运动方程后，不必参与繁琐的共轭条件的展开与变换，而由系统根 据离散解析原理及算法自动推导出创成曲面的离散解。 1 4 2 运用离散原理对等距曲面进行离散化 等距曲面理论是本课题引入的一个重要理论，这个理论和离散解 析原理共同构成了本课题的两大基础，由于等距曲面设计方法的优越 性很值得我们来研究，我们需要搞明白凸轮的理论廓面和实际廓面之 间的关系，以及这种关系将来对凸轮的实际曲率和压力角有什么影响 通过离散的方法就可以得到曲面的等距曲面，形成等距曲面的离散模 型和算法，这有利于计算机的引入1 1 。 6 山东大学硕士学位论文 1 4 3 空间圆柱凸轮轮廓等距曲面离散算法 这种算法由前处理模块、等距曲面综合模块和后处理模块三部分 组成。前处理模块是圆柱滚子从动件凸轮机构类型库，是一个开放系 统，对于新出现的或库中没有的凸轮机构用户可以根据自己的需要把 变量表达式加入。等距曲面综合模块完成凸轮廓面的综合过程，后处 理模块主要是用来与系统的其它模块进行数据交换1 7 】。 1 4 4 廓面曲率和压力角的离散等距推导模型 在空间凸轮共轭理论的基础上，引入等距曲面理论和离散解析原 理来对空间凸轮廓面离散化，形成了压力角和曲率的模型和算法，减 少了凸轮设计中人的繁杂设计任务，把凸轮设计和计算机相结合，实 现空间凸轮设计的自动化。 1 4 5 空间圆柱凸轮非等价加工中两重包络加工方法 两重包络法将滚子表面的一次包络演化为刀具的两重包络，巧妙 地继承了凸轮廓面的包络曲面性质，可以对凸轮廓面进行无误差重构。 虽然受加工过程的影响，不可避免地存在误差，但误差较小，而且两 重包络的刀具为圆柱铣刀，因此加工效率明显高于仿自由曲面加工方 式【18 1 。 山东大学硕士学位论文 第2 章空间凸轮廓面的研究基础 空间廓面是复杂的空间不可展开曲面，要对它的压力角和曲率进 行研究就会涉及到微分几何、高等代数、解析几何方面的知识。随着 计算机的发展，数学知识的应用不断的增强，为了更好的把等距曲面 和离散解析原理引入对空间凸轮廓面的研究，实现空间廓面的计算机 化发展，需要把本课题的研究基础，也就是空间凸轮廓面的研究基础 进行分别的分析。它包括三个方面：1 、对空间凸轮廓面研究的曲面基 础。2 、共轭曲面离散解析原理的分析。3 、等距曲面理论探讨i l 。 2 1 空间凸轮廓面研究的曲面基础 空间凸轮廓面是一种复杂的空间曲面，对它的性质和形成的分析 离不开它在曲面方面的基础，对廓面曲面基础的分析，能够为离散解 析原理和等距原理更深入的运用到空间廓面的研究中作好准备2 0 1 。 2 1 1 一般曲面 一般曲面司表不为 z = ，0 ，y ) 或f g ，y ，z ) = o 在c a d c a m 中，用参数表示更具有优越性，曲面的参数方程含有两 个参数u 和w ，其表达式为 f x = x 0 ，w ) y = y 0 ，w ) 【z = z 0 ，w ) 参数u 和w 的变化区间常取为单位正方形，即“，w 【o ，1 】。曲面的矢量 方程式以x ，y ，z 为坐标的双参数矢量函数： f = 芦( “，w ) = g 0 ，w ) y 0 ，w l z 0 ，w ) ) 上式中三个分量x ，y ，z 都是参数u 和w 的二元可微函数，当( u ，w ) 在单位正方形“，w e 【0 ，l 】中连续变化时，与其对应的点g ，y ，z ) 就形成一张 山东大学硕士学位论文 曲面。为了防止由于法矢量的不确定性而引发各种困难，我们设i 0 ，w ) 中的分量x 0 ，w l y 0 ，w ) 和z 0 ，w ) 在区间“，w 【o ，1 】内都是连续可微的，并且 法矢量 五瓦o“，w 【o ，l 】 式中瓦和焉分别是曲面的偏导数2 1 1 。 2 1 2 旋转面 由解析几何可知，m 勉平面内的一点局0 ，o ，z ) 绕z 轴旋转一周形 成一个圆，其参数方程为： 臼【0 ，2 石 芦= f p ) = g c o s 臼，x s i n 曰，z ) ，目【0 ，2 石】 现在讨论旋转面方程，设旋转面的母线是x o z 平面内的一条曲线， 其参数方程为： 卜= 丸) l y = g o ) 该曲线绕z 轴旋转所得到的旋转面的参数方程为： k = 厂o ) c o s 口 y ，= ，o ) s i n 曰占【o ，2 万】 lz = g o ) 矢量方程为： i = i e ，口) = ( ，o ) c o s 目，o ) s i n 护，g ( f ) )臼 o ，2 刀】 t = 常数时，i o ，口) 形成曲面的纬度线，口= 常数时，形成经线2 2 1 。 m z 勰 = = = 毛 h l 一 为程方量矢 山东大学硕士学位论文 2 1 3 直纹面 直纹面指的是单参数的直线簇构成的曲面，根据图2 1 可以把直纹 面的方程表达为： 尹0 ，v ) = 西0 ) + v 云0 ) 其中舌( “) 为单位向量，曲面面0 ) 称为直纹面的准线，而v 衄线称为( 即 簇中的直线) 直纹面的母线，非可展开直纹面称为斜曲面。 d 图2 1 直纹面 定理1 直纹面的法线沿着它的一条母线画成一个双抛物线。 定理2 存在两族直线的直纹面只能是单叶双曲面、双曲面抛物面和平 面，而前者都是不可展曲面【23 1 。 2 1 4 主曲率和主方向 对平面上点的不同方向，法曲率都是零，这样的点称为平点。另 外，球面上点的不同方向的法曲率的绝对值，恰为球面半径的倒数， 也是个常数，这样的点称为圆点。凡是曲面上任何方向法曲率均相 等的点称为脐点，脐点仅含平点和圆点两种。除了脐点曲面上其它点， 不同法曲率一般不相等，就有了主曲率的问题。法曲率的每一个极值 称为曲面在该点的主曲率，而取得主曲率的方向叫做曲面在该点的主 方向，主曲率倒数的绝对值又称为主曲率半径【2 4 1 。 定理1 在曲面的非脐点处有两个不相等的主曲率和两个不同的 主方向。 定理2 在皓面的非脐点处有两个主方向互相垂直。 山东大学硕士学位论文 定理3 主曲率是曲面上非脐点处的法曲率的最大值和最小值。 2 1 5 曲面的第一基本形式和第二基本形式 给定曲面尹= i 0 ，v ) ，0 ，ve d ) 方程： j = e 如2 + 2 ，撕+ g 咖2 = 毋2 称为曲面的第一基本形式，其中： e = 己i ，f = 艺瓦，g = 瓦- 瓦 称为曲面的第一基本量。 方程： l l = l 幽2 + 2 m 乱矗v + n d v 2 = 一毋d 竞 称为曲面的第二基本形式，其中： = 亓瓦。= 一亓。五， a ，= 元吒。= 一元。i = 一而。t = 元元，= 一亓。i 称为曲面的第二基本量【2 ”。 2 2 共轭曲面离散解析原理 为构造共轭曲面计算机处理系统，提出共轭曲面自适应综合的离 散解析原理。从共轭曲面的创成过程出发，将母曲面2 和创成曲面1 看作两簇空间网格点集，认为罗l 是由运动过程中2 上满足共轭条件 的点在s 坐标空间中的宏观表现，通过微分几何中共轭条件的等价变 换，在数学模型上将计算机运算和共轭曲面解析求解结合起来。离散 解析原理不仅能处理解析的共轭曲面问题，而且能处理离散的共轭曲 面问题，以达到共轭曲面综合的智能化、自动化【2 。 2 2 1 共轭曲面 共轭曲面理论及c a d 有着广泛的应用前景，共轭曲面原理是研究在 机械加工和机械传动条件下，成对几何图形与成对运动间的内在联系 山东人学硕士学位论文 和相互转换的一种理论，现在对共轭曲面理论进行探讨2 ”。 图22 菇轭曲血 共轭曲面理论的一个重要内容是共轭条件即包络条件、特征方程 的推导和建立。根据图2 2 建立坐标系，s 为基坐标系，s 与创成曲面 1 固定在一起，s ：与母曲面2 固定在一起。在s ：坐标系中，母曲面 2 曲面形状一般不发生变化，它的方程可以写成： 2 j = 以2 0 ，v ) 其中u ，v 为喵面参数；上标( 2 ) 表示的是向量所在的坐标系为。 在图2 1 中可以在s 。坐标系中表达母曲面2 的矢量方程为： 一= 一0 ，v ，曰) 其中护为母曲面与创成曲面坐标系之问的运动参数，共轭条件表示 为： ，1 1 智) = o( 1 ) 式中下标u ，v ，口表示函数矢量一对该参数的偏导数。现在可以把 共轭条件k 臀，一? ，譬) = o 与墨坐标系中母曲面2 方程_ o ) = 1 ( 1 0 ，v ，口) 联 立进行变换，在变换的过程中可以把参数v 消去而得到创成曲面的解 析方程一) = ，l ( 1 如，扫) 。 1 2 山东大学硕士学位论文 2 2 2 共轭曲面离散解析原理的实质 共轭曲面理论研究两个相互运动并且保持相切接触的曲面及其之 间的关系，其应用领域遍及齿轮设计、凸轮设计、刀具设计、加工仿 真和实体造型等众多领域，尤其适合包含运动创成曲面的领域。共轭 曲面理论涉及繁琐的公式推导和大量的计算，其研究应用的深度与广 度随计算工具的发展而发展。由于共轭曲面理论大部分应用在工程科 学中，因此需要注重面向应用的研究。目前共轭曲面研究中利用计算 机如图2 3 所示，由人完成所有的公式推导，得到创成曲面l 的解析方 程，然后编程由计算机计算结果【2 。 图2 3 共轭曲面离散化比较 由于创成曲面1 的解析方程形式随母曲面2 及相对运动的不同 而不同，在对解析方程推导的过程中非常繁琐，无法建立通用性强的 计算机算法，并且共轭曲面理论难以被一般工程技术人员普遍掌握， 因此要求一般技术人员根据共轭曲面理论来进行相关公式推导以解决 山东人学硕士学位论文 实际问题有些困难。另外，虽然具体对象干差万别，但共轭曲面理论 解决问题的方法与步骤是统一的。因此利用计算机代替人进行繁琐的 变换处理是可能的( 图2 3 ) 。从这个观点出发，现在提出共轭曲面自适 应综合的离散解析原理及其实现算法【2 9 】。 共轭曲面自适应综合是指将母曲面y ，方程和共轭运动方程输入 计算机后，由计算机自动完成创成曲面的求解工作，这样就使计算机 参与分析的阶段提前( 图2 3 结果1 ) 。对于不同的母曲面y ，和相对运 动形式，计算机都能自动进行综合，即算法具有自适应能力。为达到 这个目的，提出“离散解析原理”，即从共轭曲面的创成过程考虑，将 母曲面y ：和创成曲面y ，看作两簇点集，认为创成曲面y ，是由运动 过程中母曲面 ：，上满足共轭条件的点在s 坐标空间构成的点集的宏 观表现。这种理解将共轭曲面的综合转化为在运动过程中从创成曲面 y 上寻找满足共轭条件的点的问题，通过共轭条件的变换从数学模型 上将计算机离散运算与共轭曲面解析理论结合起来。系统给出的创成 曲面的解在宏观上是离散的，但在每一点上都遵循共轭曲面原理，称 为“离散解析原理”。通过“离散解析原理”可以对共轭曲面进行自适 应分析，共轭曲面自适应分析是指计算机在共轭曲面自适应综合完成 后，对自适应完成曲面特性的分析。对于不同的母曲面y ，和相对运动 形式，计算机都能自动进行分析，即具有自适应能力。为达到共轭曲 面计算机分析的自适应能力，从共轭曲面的生成过程来考虑，认为创 成曲面y ；是母曲面y ，以及相对运动共同作用的结果，二者决定了创 成曲面y ，的一切性质。通过对母曲面y ：特性和相对运动的分析，可 以获得创成曲面y ，上相应点的特性。通过严密的公式变换，推导出由 母曲面y ，及相对运动获得创成曲面y 特性的公式，避免了创成曲面 y 方程的综合过程，保证了计算机自适应分析的可实现性，从数学模 型上将计算机离散运算和共轭曲面解析处理结合起来。计算机分析曲 面是离散化进行的，但在每一曲面点上的分析是遵循解析原理的，即 曲面分析是在宏观离散与微。观解析的结合。“离散解析原理”使得计算 机智能化、自适应处理各类解析的共轭曲面问题成为可能，而且对空 间凸轮廓面的研究开创了新的空间【3 。 山东人学硕士学位论文 2 2 3 离散解析原理中的共轭条件和曲面形式 在幽2 1 中，在s 2 坐标系中 髫2 = 苍2 ( “，v ) ( 2 ) 嚷k 黼刊帅) ( 3 ) 在s 坐标系中： 老1 j = 秽p ) 孝) = 彳老2 其中爿= 4 。1 为由坐标系s ：到s 的变换矩阵，是运动参数目的函数矩阵。 由图2 1 ，有 i ( 1 ) = 謦1 ) + 巷1 ) = 1 p ) + 考2 1 0 ，v ) - ( 4 ) 所以有：i ! = 彳穗，惑= 4 碟，i 箩= 矗2 + 爿老2 共轭条件： g ! ，艰础) = 仁! i 1 1 ) i = 彳鹾：础) 五2 ) = i 础砖，i 乜矗；1 ) 融0 + 以考2 ) = o 一般情况下，l 砖穗i o 即母曲面：非奇异，共轭条件( 1 ) 转化 为 0 峻) 2 + 4 。2 ) = o ( 5 ) 在上式中碟、巷2 ) 只同母曲面坐标系s ：有关系，爿、4 只和运动 参数p 有关系。上式的共轭条件和( 1 ) 的共轭条件是等价的。 联立( 4 ) 和( 5 ) ，得创成曲面y ，方程为： 搿携；) = o 1 0 删+ 彳。2 ) ) = o 上式就是共轭曲面离散解析原理的数学模型，该模型适合用于计 算机来自适应处理共轭曲面问题，该模型是在共轭曲面理论框架内的 等价变换，避免了某些领域的限制条件及离散求导计算稳定性差的缺 点。共轭曲面在接触点处的共法线公式为3 1 山东大学硕十学位论文 ，3 ) = 爿矗；( 7 ) 2 2 4 离散解析原理中的计算模型与算法 在上边我们知道创成曲面y 的方程式 f_ ( 1 ) = 对1 ) + 4 2 ) 1 0 矗扑+ 以，2 ) = o 是理论公式，当用计算机处理的时候要用下面的公式来替代： 础。：盏落；j 篇鹄鲫s 1 m i i l x 。卿= m i n 瑶) + 爿。2 ) l s 、6 其中占为求解精度。 上述模型的计算机算法是： 1 给定只值，计算一、一。、刷值； 2 给定“值； 3 沿v 方向进行一维搜索，得到满足上式的参数。 4 将所得一组值”，谁) 代入上式的第一式，求得_ ”，代入式 碟= 4 粤，求得一：；这是求得创成曲面，上点的位矢量与法矢量。 5 将对应的研。、“，、v 。、”、碟) 、_ ( 1 ) 等存入数据库或数据文件中。 6 甜，卜”，+ 。，转到3 ，直到u 方向计算完成。 7 只卜谚+ 。，转到2 ，直到口区间计算完毕。 上述步骤完成后，得到母曲面y ，经过给的运动后生成的共轭曲面 y 的离散解，上面的算法可咀用流程图表示，如图2 4 ： 模型与算法即为共轭曲面自适应综合的理论模型与算法，与母曲面及 运动的形式无关，即对不同的母曲面及运动形式该算法具有自适应能 力32 1 。以该算法为核心，可提供共轭曲面计算机系统构造的模块化方 法：共轭曲面求解被封装在专用模块中。针对不同的应用对象，只需 编制母曲面结构及运动模块，系统运行后将自动进行相关求解。很显 然，共轭曲面计算机处理系统的这种构造方法符合软件工程学的重用 性要求。 1 6 山东大学硕士学位论文 l给定表达式，。m y 图2 4 离散计算模型 在离散解析原理的和共轭曲面理论的基础上把等距曲面的方法运 用到对空间凸轮廓面压力角和曲率的推导和分析中来。可以运用等距 曲面进行空间凸轮轮廓面曲率的分析，根据曲率的计算过程推导出曲 率计算的数学模型，并且利用特征变量和离散解析原理可以实现曲率 和压力角在计算机上的自动求解，要完成上述的工作要对曲面理论和 一 、大善 山东大学硕士学位论文 等距曲面理论进行探讨。 2 3 等距曲面理论 本文在空间凸轮廓面的研究中，把滚子的轴线在空间运动时所形 成曲面看作理论曲面，而把真f 的廓面看作理论廓面的等距面，现在 进一步研究等距曲面理论3 3 1 。 2 3 1 等距曲面定理 定义：设s 上的每一点p 沿着s 在这一点法线的正方向移动一段 距离d ，所得到点p + 的轨迹s + 称为s 的等距曲面3 4 1 。 假设曲面s 的方程为尹= i 仁，v ) ，则等距曲面s 的方程是： 尹+ = f 0 ，v ) + d 而0 ，v ) 其中，元0 ，v ) 是s 的单位法向量。单位法向量的表达式为： 亓0 ，v ) = 鹊 | ， ，v l 五和瓦分别表示r 关于u ，v 的导数。如果将，= i 0 ，v ) 写成坐标的形式 则n = ( 丢，罢，丢 其中 a 制肛i | | ：以五百了 封 0 d 力地地她 | i = = x y z 知一抛西一加 = c 舐一抛缸一加 山东大学硕士学位论文 “：x 0 ，) 甜旱 y 。：y o ，。) 口旱 铲z 日丢 它的总曲率丘。和平均曲率日。由下面的公式给出： k 。2 丁了志和h 。= 丁j 羔 这里k 和h 分别是s 的总曲率和平均曲率。上面是等距曲面的公 式推导，现在给出等距曲面的性质：1 等距曲面s 和s 互为等距曲面。 2 曲面s 上的任意一点p 的法线同时也是等距曲面的对应点的法线。 3 等距曲面和原曲面有相同的主方向。4 原来的曲面是直纹面则其等距 曲面也是直纹面。5 原曲面是不可展开直纹面时其等距曲面一般不是直 纹面。 在工程中经常也碰到斜等距曲面，在等距皓面上的任意一点及 f 0 ，v ) ，及曲面的对应点p 0 ，v ) 均有对应的两条参数曲线。显然曲面 ，对应的参数曲线互相为法向距离为h 的等距线，可知法线为 两曲面的公法线，有与互相为等距曲面的性质。另外，若曲面为 直纹面，且为可展曲面，则可展曲面沿直母线只有一个切面，即同一 直母线上曲面法线平行，因而直母线在等距曲面上对应的曲线为直 线，从而有：若曲面为可展曲面，则它的等距面必为直纹面。上述 结论中尤其应当指出的是：若直纹面不可展，则对应的等距曲面一般 并不是直纹面。斜等距曲面中若直纹面为可展曲面，则它的斜等距曲 面必为直纹面，若直纹面不可展，则它的斜等距曲面一般不是直纹面 35 1 山东人学硕士学位论文 2 3 2 运用离散原理对等距曲面进行离散化 从等距曲面的定义可以发现，在对等距曲面的构造过程当中没有 通用的方法来非常准确的得到等距曲面，理论上存在的等距曲面难以 在工程应用中构造，现在采用对原曲面和等距曲面离散化的方法来构 造等距曲面。构造的方法如下： 在给定的正则曲面上取确定的曲线，作出所选择曲线的等距曲线， 变化原曲线的参数就可以得到一簇等距曲线，这样就可以运用离散化 的曲线簇来生成等距曲面，我们可以把具体的计算过程描述如f ： 1 对曲面上的某一点尸，v 。) ，计算曲面的单位法向量元，v 。) ，再 计算等距曲面s + 上的对应点尸( 。，v 。) 。 2 固定v 。，变化“斗“+ “，并且一直重复得到曲线的等距曲线。 3 让v jv + v ，并且循环直到等距曲面完成。 通过这种离散的方法就可以得到曲面的等距曲面，这种方法对我 们在空间凸轮轮廓研究中等距曲面的引入有很好的作用，有利于计算 机的引入。 2 4 本章小结 本章是本文的基础，分析了空间凸轮廓面研究的曲面基础，讨论 了切平面、法向量、曲率等空间凸轮廓面的要素。以共轭面为背景， 建立了基于离散解析原理的计算模型方案和算法结构。通过将离散解 析原理引入到等距曲面的离散过程，形成了离散算法。 山东大学硕士学位论文 第3 章空间圆柱凸轮轮廓面的等距曲面离散分析 第2 章探讨了共轭曲面的离散解析原理和等距曲面理论，本章将在 此基础上对空间凸轮廓面进行分析，在分析的过程中实现曲率和压力 角的离散化，为建立在离散和等距理论基础上的c a d 程序做好准备， 以利于空间凸轮廓面设计和加工的计算机处理。 在空间凸轮机构中，当从动件绕固定的凸轮反向回转时，滚子从 动件轴线在空间中形成的轨迹曲面称为理论轮廓曲面，与从动件实际 工作表面相接触的凸轮工作廓面称为实际廓面，本章就是要把理论廓 面离散化，然后根据等距曲面理论把离散化的点映射成实际曲面上的 点，众多的实际曲面上的点就可以形成实际曲面，这样形成的实际曲 面可以很好的和计算机相结合。 3 1 等距曲面法与包络法、共轭曲面法的比较 为了更好的理解等距曲面法在凸轮研究中的优点，现在对各种形 成空间廓面的方法进行比较。凸轮廓面包络法的综合和共轭曲面法的 本质是一样的，现在以包络法来说明空间凸轮的综合过程。 例3 1 包络法综合 在图3 1 中，d 1 坐标系，老1 ) = 搿1 p ) ，从动件的廓面：在o ：坐标 2 l 山东大学硕士学位论文 系中的方程为磴1 ) = 2 0 ，v ) ，在o 坐标系中的方程为老1 ) = 4 ( ”巷2 0 ，v ) 则 从动件廓面运动形成的空间曲面簇方程为( 4 ( ”) 表示由q 坐标系转换到 0 1 坐标系的转换因子) ： 尹o ) = 毋) + 毋j = 1 p ) + 爿0 2 p 垮2 0 ) 包络条件为： 能”，彩“，豸”) = 融o 考o ) 孝i ) = o 根据以上方程可得凸轮廓面y ，方程为： 伊) = 搿1 ) + 考2 ) 1 筒o 洲孝”= o 上式就是凸轮廓面包络法的数学表达式。 由第2 章可知等距曲面方程为： i + = i 0 ，v ) + d i ( “，v ) 。 对等距曲面法和包络法进行比较可发现等距曲面法廓面方程较简 单。在等距曲面法中，滚子轴线( 单参数方程) 的运动形成理论廓面( 双 参数方程) ，再根据理论廓面和实际廓面的等距特性直接得到实际廓面 ( 双参数方程) 。而在包络法中，滚子廓面( 双参数方程) 的运动形成 从动件廓面簇( 三参数方程) ，其包络面就是实际廓面( 双参数方程) 。 包络面的求解需要建立约束条件并求解非线性方程组把其中一个参数 消去后才能得到实际廓面方程。所以与包络法、共轭曲面法比较，等 距曲面法的优势在于： 1 直接由理论廓面方程得到实际廓面方程，综合过程简单，几何意 义明确，概念清晰，易于理解。 2 计算效率大大提高，利于计算机化，并且避免了包络法、共轭曲 面法中约束方程的求解。 3 在一般情况下等距曲面的方程不是隐式的而是显式的，而包络法 和共轭法的方程在一般情况下是隐式的。 4 在计算的精度上，包络法和共轭曲面法求解精度受到约束条件的 影响，但是等距曲面法求解曲面方程解是精确的。 等距曲面法和包络法的比较可以用图3 2 表示： 山东大学硕士学位论文 包络法 等距曲面法 图3 2 包络法与等距法的比较 3 2 等距曲面法的计算机引入 目前的等距曲面设计过程是一种面映射模型，由理论廓面及等距 映射关系直接推导出实际廓面，再利用计算机进行离散处理。在这种 模型中，解析主要体现在从理论廓面到实际廓面的映射过程中，是一 种曲面整体的映射关系，也就是直接对曲面方程进行解析处理。离散 体现在实际廓面解析方程的计算机离散化处理。解析处理过程要人工 完成，离散化由计算机来完成。这种过程可以由图3 3 来表示。 图3 3 目前等距曲面设计的面映射过程 山东大学硕士学位论文 由于面映射过程复杂，不易运用，现在提出等距曲面设计过程的 点映射如图3 4 。点映射无论是理论廓面还是实际廓面都是以点的形式 表示的。这样就使得从理论廓面到实际廓面的解析分析容易在计算机 上处理。同时点映射模型同传统映射模型的不同之处在于将曲面的离 散提前到母曲面的形成阶段。从凸轮廓面的等距曲面综合过程来看， 凸轮机构由于安装和运动形式的不同而不同导致凸轮廓面解析形式的 多样性，但是廓面的解析式的获得过程是一致的，都是等距曲面原理 的运用。要是能将等距曲面原理的运用过程计算机化，根据不同的输 入由计算机完成等距曲面的形成，最后得到输出廓面数据，就可以实 现凸轮廓面设计的自动化，不用进行繁杂的公式推导。 图3 4 离散化处理 目前等距曲面的面映射模型和我们提出的离散化模型的差别可以 由图3 5 看出。 山东人学硕士学位论文 i点映射建模范围 图3 5 等距曲面的面映射和点映射区别 3 3 空间凸轮轮廓等距曲面离散综合的算法 等距曲面综合模块由前处理模块、等距曲面综合模块