（理论物理专业论文）量子气体热力学循环性能的研究.pdf

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几恤 叱班 倒 画c c y c l e ; p e ri 池 n 刃 口 n ce为 词y s is i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。 据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的 地方外，论文中不包含 其他人己 经发 表或撰写 过的 研究成果， 也不包 含为获得 南昌大学 或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) : 少、 ， ， .近 人. 通签 字 日 期 : 。 尸 年j 月 形日 学位论文版权使用授权书 本学 位论文作者 完全了 解南昌大李有关保留、 使用学位论文的 规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。 本 人授权南昌大学可以 将学位论文的 全部或部分内容 编入有关 数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 少， 二 学位论文作 者签名 ( 手写) : 尸 已尺迪 导师签名 ( 手写) : 签 字 日 期 :夕 胜 介 价 签 字 日 期 :介 月 沂种寸 必日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通 讯地址 : 电话: 邮编 第一章 绪论 第一章 绪论 随着科学技术的发展以及人们对物理性质了解的深入， 不论是在工业生产中 还是实验室中都开始有了一些比较特殊的环境的需要， 如在超低温下和微重力条 件下， 人们就可以生产出缺陷更少性能更优良的半导体材料; 可以在超低温下进 行一些对物理理论有重要影响的实验， 如对流体力学和非线性动力学都有重要意 义的课题: 湍流如何产生?可以获得一些非常奇特的物态， 如b ec凝聚态。 这对 于国防、工业生产、能源技术、医疗、新材料等的开发与发展都具有重要意义。 如何获得这样一些比较特殊的环境， 以及在这种环境下的物态性能自 然成为人们 关注的问题，这些都和热力学循环有密切联系. 1 . 1 量子热力学的产生与发展 热力学主要是从能量转化的观点来研究物质的热性质， 它是揭示能量从一种 形式转换为另一种形式时遵从的宏观规律的一门学科。19 世纪中叶，人们在了 解热功相互转换规律， 努力提高热机的效率的同时， 建立和发展了经典热力学理 论一 可逆热力学。经典热力学理论对平衡态和可逆过程给出了相当完成的描述。 科学家们根据热力学第一定律和热力学第二定律， 建立了一套完整热力学的数学 理论， 找到了反映物质的各种性质的相应的热力学函数， 构成了整个经典热力学 体系， 提供了许多优化判据。 其中最著名的判据就是卡诺定理， 它确定了 工作于 高 温 热 源几和 低 温 热 源兀之间 的 一 切 热 机 所能 达到的 效 率 的 上限 ， 即 卡 诺 效 率 叮 。 = 1 一 耳/ 几， ( 1 . 1 ) 但实际热机效率远小于这个上限。 另一重要判据就是嫡增加原理， 指明了实际热 力学过程进行的方向性， 它说明在孤立的绝热过程中， 系统的嫡永不减少， 若绝 热过程是可逆的，则系统的嫡不变。 经典热力学主要研究系统在平衡态的性质或进行准静态过程时， 一些热力学 量如内能、功和嫡等的变化，未涉及时间，未能对不可逆过程作出定量的描述， 它只能对可逆过程和不可逆过程作定性的比较. 由于实际的热力学过程都是不可 逆过程且过程时间都是有限的， 因此经典热力学给出的界限与实际热力学过程相 差甚远。 在1 9 7 5 年加拿大科学家c 钊 rz 0 n和a 】1】 bom从理论上得到了卡诺热机在 最大输出功率下的效率， 他们考虑了热机与外界存在有限速率的热交换， 推导出 第一章 绪论 工质与高，低温热源间存在热阻损失时的卡诺热机在最大输出功率下的效率a 效率图 为 枯= 卜廿 天 万 万， ( 1 . 2 ) 它是不同于卡诺效率的一个新的界限， 也是有限时间热力学的基础结论。1984 年， 以 色列科学家k osl o ff等将有限时间 热力学引入到量子体系中【习 ， 得到了 理 想量子体系的最大效率和最大输出功时的效率为 叮 .= 1 一 。 c / 。 ， ，( 1 . 3 ) 冲 砂 = 1 一了 共/ 。 ， ， ( 1 . 4 ) 外为 谐 振子 较低的 频率，口 h 为 谐振 子较高的 频率。 可以 看出 ， 量子 体系的 最大 效率和最大输出功时的效率与卡诺效率及ca效率具有相似地形式。 1 99 9 年以 来， 以si sman和s ay gin 等为 代表的 一 批学者 对以 量子 气体为工质 的各种热力学循环的性能参数， 及量子简并性对热力学循环的其它参数的影响进 行了 研究l ，成为量子热力学循环的热点问题. 2 000 年，b end ercm提出了以处于势阱中的微观粒子为工质的量子卡诺热 机模型， 得出了 与气体卡诺循环类似的效率公式阁 ， 刀 习一 凡/ e 。 ， ( 1 . 5 ) 其中ec和e 。 分别为 微观粒子 在基态和 激发态 哈密 顿量的 平均 值. 近年来， 还有学者研究了处于非对称势势阱中的微观粒子为工质的量子热机 模型t.1 。 这些研究都大大丰富了 量子热力学理论。 1 . 2量子热力学的研究现状 自 量子热力学的研究提出以来， 有大批专家学者在这一领域做了大量的研究 工作.目 前，量子热力学循环的研究主要有以 下几个方面: 量子气体热力学循环， 研究以量子气体 ( 费米气体和玻色气体) 为工质的热 力学循 环的性能， 循环可以 是可逆的也可以是不可逆的. 可逆量子热力学循环主 要研究 量子简并性 对各种热力学循 环 ( 如: 卡诺循环月 、 斯特林 循环一 12) 、 布 雷 顿 循环 睑 1. 、 埃里克 森循 环llv 一 间 、 奥托 循环团等) 性能 参数的 影 响， 可以 找到 量 子热力学循环与经典热力学循环的区别与联系。 不可逆量子热力学循环的不可逆 性包括两部分，内不可逆性 ( 如存在内 摩擦) 和外不可逆性 ( 如热漏， 热阻等) ， 这类研究可以研究各种不可逆因素对循环性能的影响，所选取的目 标可以是功、 功率、 效率、 制冷率、 嫡产率等， 所研究的对象可以 是热机、 制冷机等:也可以 第一章 绪论 针对工质与热源之间所满足的传热规律对循环进行优化2 卜 阂 。 量子系统 热力 学循环， 研究以 量子 体系( 如: 自 旋系 统卧， 刃 、 谐振子系 统al 侧、 一维无限深势阱系统等) 为工质的热力学循环性能。 这类研究用量子几率算符来 表征各量子态的状态， 通过量子主方程来得到循环的热力学状态方程， 再通过状 态方程求出循环的 输出功、 功率、 效率、 周期等性能参数， 在此基础之上可针对 不同目 标对循环 进行优化 。 尽管量子热力学循环在可逆循环理论方面取得了 一些结果， 但在不可逆量子 热力学循环理论 方面还有大量的工作需要继续探讨一 方面要深入研究量子气体 的传热规律， 建立符合量子条件的合理的优化理论: 另一方面要要探讨量子不可 逆过程的演化规 律， 构造能反映这种演化规律的不可逆循环的简单模型， 建立较 普遍的不可逆理论。 1 .3本论文的内容和安排 本论文主要对不可逆量子气体循环的性能 进行分析，第二章对量子气体的热 力学性质进行简略的介绍。 第三章主要对量子不可逆卡诺循环，奥托循环和不雷顿循环进行性能分析。 基于量子气体的热力学性质， 导出了不同循环过程中热量、 功、 嫡和效率的具体 形式。 在此基础上， 分析了不可逆卡诺循环， 奥托循环和布雷顿循环的性能参数， 讨论了量子简并性，不可逆性对循环性能的影响。 第四章针对回热式不可逆奥托循环和回热式斯特林循环进行性能分析， 研究 回热对量子热力学循环性能的影响. 第二章 量子气体的热力学性质 第二章 量子气体的热力学性质 2 . 1 理想费米气体的热力学性质 根据量子统计理论， 理想费米气体的 压强和粒子数密 度分别为切 二 丝 瓜2 ( 2 ) ， ( 2 . 1 ) _9 ， ， _ 、 一 万， 粉 、 ， ， ( 22 ) 其 中 9 为 权 重 因 子 ， 与 气 体 的 内 部 结 构 有 关 ， 如自 旋 。 又 = 叼 (2 二k t) 功 是 平 均 热 波长，h 是普朗克常数，m是粒子的质量，k 是玻尔兹曼常数，t 是温度，n是 粒 子 总 数， v 是气体的 体 积， ， 是 单 个费 米子所占占 据的 平 均体 积。 : = e x p( u/ kt) 是 气体的 逸度，衬 是 气体的 化学势。 函 数几( 2)称为费 米 积分， 其定 义为 人 (z) = 兴 r it 刀 ). x ” 一 ， 云 2 一 l e x + 1 ( 2 . 3 ) r(n)是伽玛函数， 费米积分的导 数满足关系 ; 一 (z 卜 景 。 (z ) ， ( 2 . 4 ) 丛三 丝 = 丛 三 卫 立. 日 t击a t ( 2 . 5 ) 从式( 2 . 1)和( 2 . 2)，可以得到理想费米气体的状态方程 p= n k tc凡( 2 ) ， ( 2 . 6 ) 其 中 c 凡 . ( 2) 称为 修 正因 子 ， c 凡( 劝 ( 2 . 7 ) 理想费米气体的内能和嫡的表达式分别为 = 互 邢丛 里= 兰 nk 2探 ( )2 兀界 ( 2 ) ， ( 2 ， 8 ) s=翩互 卫卫 2 八2 ( 2 ) _ 1 5 _ _ _.、 1 一 以2 ) ! =刀 k i 二l 户 f t z 夕 一1 以2 月 l ( 2 . 9 ) 第二章 量子气体的热力学性质 利用式(2 . 4)、(2 . 5)和(2 . 8)可以 得到定容热容量 _r 日 u、 七。二1 1= 戈 盯 ) 二 少 竺 姗 鱼 迎 2 _ 全 nk z 垫 三 卫 = 兰 nk 二 4寿( 2 )4 命( 2 )z dt 兀凡( t ， v ) ，( 2 . 1 0 ) 其中c 凡(t， v)是温度和体积的函数。 由式(2. 1)，在压强尸不变时两边对t 求导得: 耳 奥) = 2 气 刁 t) ， 5 肠 ( 2 ) 2 巩2 ( 2 ) ( 2 . 1 1 ) 类似地，由式( 2 . 2)，在n和犷不变时两边对t 求导得: 耳 立)二 : 戈 刁 t ) * ， 3 寿 ( 2 ) 一 百 不面 ( 2 . 1 2 ) 再利用式(2 . 1 1)和式(2. 1 2)，可以 得到 f 翌 )_ 戈 口 t ) 刀 ， 9 ( 2 侧k ) 万 2 无 ” h 3号， 、 (z) 一;t/z 瓢 ， ( 2 . 1 3 ) 类似地，利用式(2. 2)和(2. 1 1 ) ，可以得到 ( 。 犷 、抓， 3 15 厂 ，2 ( 力 f，1 2 ( 2 门 11 = - 弋 二- ， ， 吮 ， 1一一 +一 . 一 二 份 ， 一】， 、 。 t ) ， 9 ( 2 ，) ，l k .l lz t 刁 fs/ 2 ( 2 )zt 万 瑙 2 ( 2 ) j ( 2 . 1 4 ) 将式( 2 . 1 0 ) 、( 2 . 1 3 ) 和( 2 . 1 4 ) 代入热力学关系 c ， = 、 成 器 )，!刹 ， ( 2 ， 1 5 ) 得定压热容量 。 = 琴 nk 丛 华 李 一里 件j 永气 2 ) _ 竺 nk 二 纽 全 2 = 4人2 ( 2 ) 5、 ， d， _ _ _ _ 、 ， 万 刀 k 万11 l ; 户 气1 ， r ) ， 其中c 汽 二 ( t. p)是 温 度和 压强的函 数。 利用式 (2. 9 ) 、(2 . 1 0)和(2 16) ，可以 分别得到费米气体在等温过程， 等容 过程和等压过程的热量 。t(s j 一 5，) = ” 婚 cfr (2少卜 cff (z，) 卜 (inz一 “ 2， 必 = r 二 (t， p) dt = 枷: cff (: ，。 一 ; cfi. (: ，v)1， ( 2 . 1 7 ) ( 2 . 1 8 ) 可 = f c ， (t ，尸 )dt 二 号 nk : cff (: ，尸 ) 一 : cfr (ti ，尸 ) ， ( 2 . 1 9 ) 其中 下 标1 和j 分 别 表示 初态 和末 态。 第二章 量子气体的热力学性质 2 . 2理想玻色气体的热力学性质 理想玻色气体的压强和粒子数密度分别为 _kt 尹 = 了9 衫2) ( 2 . 2 0 ) 和 n 一 no= v= 分二 “ ( 2 . 2 1 ) no是基 态的 粒子数，v 是单个玻色子所占 据的 平均体积。 函 数9 ， ( 2)称为玻 色积分，其定义为 9 。(:卜 击f x 卜 1 么 2 一 le 二 一 1 ( 2 . 2 2 ) 当t 兀( 兀为玻色 一 爱因 斯 坦凝聚 温度 ) 时， 它可以 用尸 或， tc ( p)= a p 那， 分别表示为 ( 2 . 2 3 ) 或 兀 (v)= a . /v 功， ( 2 . 2 4 ) 其中， = (h ， /2 ， 尸 ， /(x ( 5/ 2 ) “ ， ) ， 。 一 。 ， / (2 侧 k t ( 3/ 2 产) ， ( n ) 是 r i e man nz e t a 函数。修正因子定义为 c 凡( 2 ) = 9 ” ( 2 ) 9 班( 2 ) ( 2 . 2 5 ) 玻色气体的状态方程、内能、 嫡顶容热容量和定压热容量的表达式与费米气 体的表达式具有相似的形式 尸 = ” 无 兀凡( 2)， u 二 兰 服 t 兰 卫 经 卫 = 互 29 军 2 ( 2 ) 2 nkz c 凡(z) ， ( 2 . 2 6 ) ( 2 . 2 7 ) * 互 兰 兰 三 卫 2 9 军 2 ( 2 ) ._ 1_ _ 5 _ 一 、. 1 一 int z = “ 肠 几 吸” 一 in (z) ( 2 . 2 8 ) = f 理) 戈 刁 t) 二 少= 兰 服兰 兰 亘 卫 49 班( 2 ) 一 旦 nk 全 企 之 = 互 服 二 49 o 2 ( 2 ) z dt 兀凡( t ， v ) ，( 2 . 2 9 ) =r sc c ， =2 5 二 ， . 9 二 2 ( 2 ) 9 .。 ( 2 ) 挥 k 49 豪 2 ( 2 ) _ 竺 nk 兰 卫 经 卫 = 49 军 2 ( 2 ) 互 *选tcfn 2d2- ( t ， p ) ，( 2 . 3 0 ) 第二章 量子气体的热力学性质 同时玻色气体在等温过程、 等容过程和等压过程中的热量表达式也和费米气 体的热量表达式相似 _ _ _ _ _ _ . _ f s _ _ _ _ 、 ， 二、 1 线 =2 ( 占 ， 一 万 ， ) =八 盆 才 1 二 1 户 a t : 1 ) 一 户 ， t z ) j 一 l m: 、 一 mz ， ) r ， l ) ( 2 . 3 1 ) 可= 了 c 。 ( t ，尸 )dt 可二 r c 尸 (t， p) dt 一 孙 :r， crs : ， 一 不 cra 不 ， ， 一 号 ” : cfb (: ，尸 ) 一 : cfs (不 ，p ) ， ( 2 . 3 2 ) ( 2 . 3 3 ) 其中 下标1 和j 分别表示初态和末态。 第三章 非问热式量子气体热力学循环性能特征 第三章 非回热式不可逆量子气体热力学循环性能特征 近年来， 量子热力学循环己经成为热力学研究中的一个热点问题。 在量子热 力学循环中的工质可以是理想量子气体、 谐振子、自旋系统和处在势阱中的微观 粒子等。 一些文献应用热力学方法研究了以理想量子气体为工质的卡诺循环、 布 雷顿循环、 斯特林循环、 埃里克森循环、 奥托循环等的输出功和效率问 题; 另一 些文献应用有限时间热力学方法对以谐振子或自旋系统为工质的量子热机循环 进行了研究。 还有一些文献对以 微观粒子为工质的量子卡诺循环进行了分析， 得 出了 类似于经典卡诺循环的效率表达式。 所有这些研究都得到了不同于经典热力 学循环的有用结论。 在经典热力学中， 当工质是经典理想气体时， 可借助理想气体状态方程来描 述气体的性质. 但是，当气体的温度足够低或密度足够高时， 气体的量子简并性 将越来越明显， 量子气体模型将取代经典气体模型。因此， 应当用理想量子气体 状态方程来描述量子气体热力学循环。 通过本章的分析， 可以发现量子简并性对 循环性能有重要影响。 本章将基于量子气体的状态方程和量子气体的热力学性质， 分别对以量子气 体为工质的不可逆卡诺循环、 奥托循环、 布雷顿循环的性能进行分析研究， 并对 某些特殊情况进行了讨论。 3 .1理想量子气体的不可逆 c aruot 热机循环性能分析 气 2 2s 刊钊洲 qt4 s 4 图 ( 3 . 1 ) 不可逆c . rllot循环的 摘一 温示惫图 c arnot循环是由两个等温过程和两个绝热过程组成， 它的嫡一 温示意图如图 第三章 非回热式量子气体热力学循环性能特征 (3.1)所示.当循环可逆时;环沿1 斗2 ， 斗3 一4 ，1 进行;存在不可逆时， 沿1 *2 咔3 一4 斗1 进 行。 图 中吼为 等 温过 程几工 质 从高 温热 源吸 收 的 热量， 级为 等 温 过 程兀中 工 质 放 给 低 温 热 源的 热 量。 等温过程的吸收和放出热量为 么 = 几( 凡一 凡) ， q，. 二 双( 5 。 一 5 小 ( 3 ， 1 ) (3.(3. 为了研究不可逆性对循环性能的影响，引入两个不可逆参数 k ， 二 风 / 又， 气二 凡超如 ， ( 3 . 4 ) 其中 仁 1 ，气 1 。 将(3 . 3) 和(3 . 4) 式 代入(3 . 1) 和(3 . 2) 式 可 得 效 率口 的 表 达式 冲二1 一 r k : 一 仁 棍 ( 5 ， / 凡 ) 气 气一 棍 ( 凡 /ss ) 三1 一r，( 3 . 5 ) 其 中: = 几/ 几， 当 k ， = k : = 1 时， 为 可 逆 循 环， 取等 号。 当 k : 砂/( k i k z ) ， ( 3 . 2 2 ) 为了 方便比较经典奥托热机的性能和量子奥托热机的性能， 引入相对效率和 相对输出功 凡= 丫 加 。 ， 称= 甲 风 。 ( 3 。 2 3 ) ( 3 . 2 4 ) 1 . 在弱简并条件下，即气体出于高温和低密度的状态下 ( 1) 费米积分可以 展开为艺 的级数， 枷lz)= : 一 三 斌十 压 习 r 一 万 可 了 十 ” ( 3 . 2 5 ) 石2 ( ， ) : 22 32 二 : 一 砰 十 孤一 硒 + . ” ( 3 . 2 6 ) 第三章 非回热式量子气体热力学循环性能特征 将式( 3. 25) 和(3 . 26) 代入式(2. 7)， 可以得到修正因子为 c 凡= 圣 已 卫 二 1 + 探 (z) 不 石 : + ” ( 3 . 2 7 ) 令 y = 矛 / 到， ( 3 ， 2 8 ) 由式( 2 . 2 ) 和( 3 . 2 6 ) 可知 夕 = 瓜2 ( 2 ) 2 22 32 = 万 一 歹+ 孤一 不 + “ ” ( 3 ， 2 9 ) 再令 2 = a l夕 + a z y z + ( 3 . 3 0 ) 代入式(3 . 29 ) ， 比 较y 的同 幂次项的 系数得 a l = 1 a : = 1/2驹 ， 所得逸度2 的表达式为 矛 l r 矛 丫 2=十， 气 二 犷1 1 + ， gvz 刁 戈 gv少 ( 3 . 3 1 ) 在一级近似下逸度为 z( t， v) = 4 迈e / ( t 犯 v) l + 2 习 (t 豹 v)， ( 3 . 3 2 ) 其中e 正因子 = * ， / 3 2 ( ， * ) 军 ， 1 (9 = 2 ) 。 将 式 ( 3 . 3 2 ) 代 入 ( 3 . 2 7 ) ， 得 到 一 级 近 似 下 的 修 c 凡= 1 十 习( t 瑕 v)， ( 3 ， 3 3 ) 将式( 3 . 3 3 ) 代 如( 3 . 1 8 ) 和( 3 . 1 9 ) 可 得甲 厂 ，冲 f 的 表 达式 牙 一 号 “ 二 ，- 一， 杀t一，一 驹 。 一 一 ，一” ( 3 . 3 4 ) ( r + 1 一 几一 c z r ) +r 一 和 r. +l一 cl 一 牲 r. 一 (c，r) 一 勺 ， f = 犁2 . ， . . . . . . . . . . . . .( 3 . 3 5 ) ( r 一 c . ) + 犁z v h (r 一 琳 r. 一 cl 一 班 r.) 将式( 3 . 34) 、 (3 . 35) 代入式( 3 . 23) 和( 3 . 24) 可得以费 米气体为工质的奥托热机的 相对效率和相对输出功的具体形式式 第三章 非回热式量子 气体热力学循环性能特征 ( r + 1 一 c ， 一 c z r ) + r 一 军 ， 几 + 1 一 c l 一 习 ， r. 一 (c 2 : ) 一 班 r 丁 刀2 r 一c . 二 二 -， ， 叫 . 巨 . . . . . . . ， ， .一， (r一 cl ) + r + 1 一 c l 一 c z r 蹭 v ， (r 一 和 r. 一 cl 邢r，) r 石= 1 + e 二 刃 z r. 十 卜cl 一 犯 乙 一 (c;约 不 一一， 一 v z v 二 ( 3 . 3 6 ) r 十 1 一 cl一 勺r 其 中 二 二 几 / 兀 为 高 低 热 源 温 度 比 ， 。 : = ( r.w+ x 厂1 ) / x 。 ， c z = 1 一 k z + r- 万 ， k z 。 ( 2) 玻色积分亦可以展开为2 的级数 肠哟 ” 十 贡+ 扣十 才+ ( 3 ， 3 7 ) 9 豹 ( : ) 护护砂 = 二 十 压 节+ 孤 + 不 + “ ， ( 3 . 3 8 ) 修正因子为 cfs 二 鱼 星三 卫 = 1 - 9 万 2 ( 2 ) 不 厅 公 + .” ( 3 . 3 9 ) 令 y = 矛 /v， ( 3 . 4 0 ) 再令 2 = 八 y + 瓦 y ， + ， ( 3 . 4 1 ) 因此，逸度为 : 一 兰 一 斋 兰 ) 十 ， v“又vj ( 3 . 4 2 ) 在一级近似下逸度为 2 ( r ， v ) = 叼 介 1 /( 了 犯 v ) 11 一 2 : / ( 犷 3/2 v ) 1 ， ( 3 . 4 3 ) 其 中 万 = * ， / 1 6 ( ， 、 ) 称 。将式( 3 . 4 3 ) 代入( 3 . 3 9 ) c 凡= 1 一 瓦 /( t 堆 v) ， ， 得到一级近似下的修正因子 ( 3 ， 4 4 : 将式( 3 . 喂 4 ) 代 入( 3 . 1 5 ) 和( 3 . 1 9 ) 可得甲 b ，叮 b 的 表 达式 3二 ， 尸 =一 召k叹 r 2 卜 一卜 命 一 刀 ， + 1 一 c 一 粉 r. 一 ( c z r ) 一 粉 ，( 3 . 4 5 ) 第三章 非回热式量子气体热力学循环性能特征 ( r + 1 一 c l 一 c z r ) 一卜 一 劝 r， +l一 c : 铆几 一 (c:灼 一 均 ( 3 . 4 6 ) ( r 一 c ， ) 一( : 一 班 r. 一 。 :一 农 几 ) -h一犷1一2 1-v-j一玉 e一归一一rj t一 将式(3 . 45) 和(3 . 46) 代入式(3 . 23) ， (3 . 2 4)可得以费 米气体为 工质的奥托热机的 相对效率和相对输出功的具体形式式 ( 丁 + 1 一 c l 一 c z r ) 一 : 一 劝 几 + 1 一 c :一 v ， 气 一 ( c z r ) 一 犯 衅= 1 一 几 仕一 c : ) 一( : 铆r. 一 c . 不r.) r + 1 一 cl一 c 2 1 药五各一小 碟 =l- 瓦 兀 一 犯 v h r 邢 几 +l一 cl 书气 一 (czr ) 动 r + 1 一 c l 一 c z r ( 3 . 4 7 ) 根据式(3. 36) 和(3 . 47) ，可以画出弱简并条件下在不同体积比下 0 彻 热机 的相对效率和相对输出功随温度比的变化曲线，如图(3 . 3)和(3 . 4)，其中 ， 。 二 1 0 书， ， ，凡二 0 . 9 5 ，凡= 0 . 9 ， 兀二 3 0 .o k， 1 . 04 0 。 9 6 圈(3 3) 弱 简 并 情 况 下 相 对 效 率 r ， 和 沮 度比 r 的 关 系 曲 统 图(3 . 4)弱 简井 情 况 下 相 对 输出 功凡和 温 度比 r 的 关 系 曲 线 第三章 非回热式量子气体热力学循环性能特征 2 . 在强简并条件下，即气体出于高温和低密度的状态下，费米积分可以展开为 in: 的级数 飞寸 f，/ 2介 击(， z)/ 2i 5 才 2 1 + 二 竺 一 ( in z ) -2 8 ( 34 8 ) fs/z( z)= 佘 、 二 卜 和2) 一， ( 3 . 4 9 ) 将式( 3 . 49) 代入式(22)得气体数密度的表达式 4 二厂 z m 、 砂. _ . ， 1， _砂_ ，1 n = 2 竺 乏 1 型 攀1( ktin幻 功 1 卜竺 - ( in幻一 2 十 1 . 3戈 丫l s“ 由产 = ktin : ， 将式 (3. 5 0) 改写为 3 n ( 人 ， 丫 二 ， . _ ， 1 一 ， 声， 一 = : 尸 一1 二 es 一 . 1 十 ， : . 气 in习 一 十 1 4 心戈 z m ) l s” 即 ( 3 . 5 0 ) ( 3 . 5 1 ) kt-声 尸一12 一 声 一一 /. 、 聪 。 ，r lj 刀 1左一 产=1 丁 sel 二 esl 戈 4 心) ml 万 2 1 一 牛(in2) 欢 i 2 ( 3 . 5 2 ) ，.1leel 一 声 的零级近似为 ( 3 。 、 苹 ( * ， 、 产 一 产 f = 而j( 丽j ( 3 . 5 3 ) 产 二 称为费 米能。p 的一级近 似为 ( 3 . 5 4 ) 竺所 尸-12 - 尸 奸 即在一级近似下的逸度为 刽 尸-12 生kt inz=( 3 . 5 5 ) 将式( 3 . 55) 代入(2 . 7)，可以得到在一级近似下的修正因子 c 凡( t ， v ) = 2 几厅 z t + ， s t6 tf ( 3 . 5 6 ) 其 中 几( v) = 产 ; / k = d/v 那是 费 米 温 度 ， d = ( 3 矿 /s 幻 功 /( 2 枷) 。 将 式 (3 . 56 ) 代 入 式( 3 . 1 8 ) 和( 3 ， 1 9 ) 可得牙 b ，刀 ” 的 表 达式 第三章 非回热式量子气体热力学循环性能特征 解= 二兰- 4 tf( v ， ) 服 ( r ， 一 矛 ) r，- 那+ 1 一 c 孟 : ， ， ( 3 . 5 7 ) 了= 1 一 砂( 3 . 5 8 ) 将式(3 . 57) 和(3 . 5 8)代入式( 3 . 23) ， (3 . 24) 可得以费米气体为工质的奥托热机的 相对效率和相对输出功的具体形式式 。 ; ， _二 ( c z r ) ， 一 1 1 lt 一局 r一c ， 一， r + 1 一 cl一 c z r ( 3 . 5 9 ) 嵘二护 兀 6 几( v 二 ) ( r z 一 c 子 ) 枯 劝一 (c z r ) ， 一 1 了 + 1 一 c l 一 c z r ( 3 . 6 0 ) 根据式(3. 59) 和( 360) ，可以画出强简并条件下在不同体积比下 0 . 0热 机的相对效率和相对输出功随温度比的变化曲线，如图( 3 . 5)和( 3 . 6)，其中 v 二 = 1 0 创m 3 ， 尤 . = 0 ，9 5 ，k ， = 0 9 ， t，= 1 .o k， 图 (3.5) 强 简 并 情 况 下 相 对 效 率r ， 和 温 度 比 : 的 关 系 曲 线 图(3 . 6) 强 简 并 情 况 下 相 对 物出 功凡 和 温 度比r 的 关系曲 线 弱简并条件下所得的图( 3 . 3)及图( 3 . 4)显示: ( a)玻色气体不可逆奥托热机 第三章 非回热式量子气体热力学循环性能特征 的效率和输出 功均大于经典理想气体奥托热机的效率和输出功， 而费米气体不可 逆奥托热机的 效率和输出功均小于经典理想气体奥托热机的效率和输出功， 这是 由于玻色气体和费米气体服从不同的统计规律造成的。( b)随着r 的减小，玻色 气体的相对效率和相对输出功均越来越大， 费米气体的相对效率和相对输出功均 越来越 小， 随 着r 的 增大两 者的 相对效 率和 相 对 输出 功 均趋 于一。 在几给定的 情 况下，: 减小 ， 即rh减小， 量子 气体的 量子 简并度越高， 简并性越明 显， 和经 典理想 气体 的 差 别 越 大; 而: 增大， 即耳增 大， 量子 气 体的 量 子简 并 度 越 低， 简并性 越不明 显， 越接近于经典理想气体。 ( c) 随着的 增大， 玻色 气体的 相对 效率和相对输出功都在增大，而费米气体相对效率和相对输出功都在减小。 结合图( 3 . 3)、(3 . 4)的费米气体部分和图( 3 . 5)、( 3 . 6)我们可以看出: 费米 气体不可逆奥托热机的效率和输出功总是小于经典理想气体不可逆奥托热机的 效率和输出 功，同时可以 看到对于量子气体亦存在r .，使砰 (r .) = 0 、 以 偏 ) = 0 。 可定 性地分 析得到以 下结果 r 么 几( ， : ) . 我们可以 推导出 修正因子为 v ) =1 + ( 4 . 1 8 ) 其 中 e = 矿 /3 2( ， k) 职 ， 应 用 式 (4. e 于 不 石 1 7 ) 和( 4 . 2 卯 a z 1 8)可求得 兀“ x 几 = 一燕 2， j 3 ( 4 . 1 9 ) b=: i e a = 几(l +r一 x) + 耳 件(l + 一 ，r 一 112 一 玲 一 ，x 一 玛 a=a ， + 2 7 石 ， + 3 万衬 初3 + 2 7 石 2 丫 ， 。 利用式( 4 . 1 8 ) ， 使式( 4 . 1 2 ) 一 ( 4 . 断号 nk (n 一 ; 卜 v ， 一e(n一v 一 ; 一农 )， 1 5 ) 简化为 ( 4 . 2 0 ) 第四章 回 热式量子气体热力学循环性能 特征 。 = 号 nk (n 一 。 + vl 一e(n一1/2 一 : 一界 )1， ( 4 . 2 1 ) 砰 = 号 nk 阮 + ; 卜 (。: 卜 vl 一e(r;-价 一 俨卜 一(俨一 r.m )l， ( 4 . 2 2 ) 派 不 不 不 一石 恶 恶豁笋 参弓裂 万 二万三二 又石一;网 ， ( 4 . 2 3 ) 其 中 cl = 1 + 华 k 一 k， c z = 砂+ k 一 1 ， d = v 寻 耳 粉 e 。 在强 简并条 件下， 即 几耳( ) ， 兀兀(v : ) 时， 此时 工 质的 修正因 子 2为 f ( t，v)= 兰 二 全 之 5t 尤 z t +， 6 了 若 ( v ) ( 4 . 2 4 ) 其 中 耳 (v ) = 口 /v ” ， 口 = 伪 矿 /s 二 产 /(z ， ) ， 利 用 式 (4 . 24 ) 将 式 (4 . : 2) 一 (4 . 巧 ) 简化为 ql 一 瓷 、 一 心 ( 4 . 2 5 ) q ， 砂姗 4 兀( v : ) ( 兀 ， 一 几 ) ， ( 4 . 2 6 ) 牙 = 三 迎 1 4 界( v : ) (r=， 一 几2 ) - 万 2 人 凭 4 界( v 。 ) (tl， 一 呀) ， ( 4 . 2 7 ) r ， 一 ( c :x : ) ， 。 一 那 ( c z ， 一 ，: ) ， 一 1 一 r ， 一 (c .二 : ) ， 1 ( 4 . 2 8 ) 将( 4 . 2 4 ) 式代入( 4 . 1 7 ) 式可得 xl 一 卜 尸 一 xz) 秒+ lr ， ( 4 . 2 9 ) 为了与经典奥托制冷循环的性能比 较，引进相对制冷系数和相对制冷量。 r ， = 刁 e 。 ， 凡= 级/ 9， ( 4 . 3 0 ) ( 4 . 3 1 ) 由式(4. 1 8)一式(4 . 3 1)， 可以绘出回热式不可逆奥托制冷循环性能的一般特性曲 如图(4 . 2)一(4 . 7)所示， 其中v 。 = 1 龙 ，x = 0. 99， 对弱简并情况取 = 5 0. 0 k， 对强简