（机械工程专业论文）测量不确定度的理论与实践研究.pdf

摘要 测量不确定度理论是2 0 世纪6 0 年代提出并逐渐发展的新技术，是 误差理论的发展与完善。在质量、计量诸领域都得到广泛应用。本文从 测量不确定度基本术语开始，详细分析了一个测量过程中从测量不确定 度的来源到标准不确定度的计算、合成标准不确定度的计算、直至扩展 不确定度的计算全过程；将测量过程的数学模型的建立，随机变量的相 关性处理、灵敏系数的计算、概率分布、置信因子、自由度等不确定度 分析计算过程中的诸要素都作了详细的论述，并从实际测量过程中选取 二个实例进行了具体的测量不确定度分析计算，并给出了合格判断。 关键词：计量误差不确定度实例 a b s t r a c t m e a s u r eat h e o r i e so f i n d e t e r m i n a t i o ni st h en e wt e c h n i q u et h a tt h e 6 0 si n2 0c e n t u r i e sp u t sf c r w a r dc o m b i n et od e v e l o pg r a d u a l l y i st h ed e v - e l o p m e n to f t h ee r r o rm a r g i nt h e o r i e sw i t hp e r f e c t i nt h eq u a n t i t y , c a l c u l a t e v a r i o u sr e a l m st oa l lg e tt h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n t h i st e x tf r o mm e a s u r ea b a s i ct e c h n i c a lt e r mo f i n d e t e r m i n a t i o n b e g i n n i n g d e t a i l e da n a l y s i sad i a g r - a p hp r o c e s si nf r o mm e a s u r et h es o u r c eo f t h ei n d e t e r m i n a t i o nd e g r e et ot h e c a l c u l a t i o no f t h es t a n d a r di n d e t e r m i n a t i o nd e g r e e s y n t h e s i z et h ec a l c u l a t i o no f t h es t a n d a r di n d e t e r m i n a t i o nd e g r e ea n dk e e pt 0g ot oe x p a n dt h ec a d c u l a t i o nw h o l ep r o c e s so f t h ei n d e t e r m i n a t i o nd e g r e e ；w i l lm e a s u r et h ee s t a - b l i s h m e n to f t h em a t h e m a t i c sm o d e lo f t h ep r o c e s s t h ec a l c u l a t i o no f t h e r e l a t i v i t yp r o c e s s i n g ，i n t e l l i g e n tc o e f f i c i e n tt h a tc h a n g et h eq u a n t i t yr a n d o m , a l lt h er a t ed i s t r i b u t e , p l a c e dt ob e l i e v et h ev a r i o u sm a i nf a c t o r sw i t h i nt h e c a l c u l a t i o np r o c e s s e so f t h ef a c t o r t h ef r e e d o ma ne t c i n d e t e r m i n a t i o nd e g r e ea n a l y s i s e st oa l lm a k et h ed e t a i l e dt r e a t i s e , a n dw o ne l e c t i o nt ot a k et w o s o l i de x a m p l e st oc a r r yo nf r o mt h ea c t u a ld i a g r a p hp r o c e s st h ec o n c r e t e d i a g r a p hi n d e t e r m i n a t i o nd e g r e ea n a l y s i sc a l c u l a t i o n , a n dg i v eq u a l i f i e d j u d g m e n t k e y w o r d ：c a l c u l a t e e r r o rm a r g i ns o l i de x a m p l e i n d e t e r m i n a t i o n 2 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文测量不确定度的理论与实 践研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。 除文中已经引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 作者签名： 矿谢 哩年月旦日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学 位论文版权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 寸缮古 指导导师签名：至童苤 2 竺彝月旦日 幽年五月丛日 笔一童绪论 1 1 引言 国际计量局( b 口m ) 局长奎恩( t e r r y q u i n n ) 博士曾说过：计量是 社会的一大支柱和现代国家的一项基础设施。是人类文明的三大支柱之 一，即一个统一而稳定的度量衡体系对于保证商品质量和贸易公平至关 重要。我国的度量衡制度大约起源于公元前四世纪的秦朝。科学家在 1 8 6 2 年测量光的速度时，给出的测量结果为：c = ( 2 9 8 0 0 0 - a ：5 0 0 ) k m s ， 并说明5 0 0 k m s 为测量误差，今天看来，此处的5 0 0 k m s 并非误差，而 应理解为测量结果的不确定度。 一切测量结果都不可避免地具有不确定度。国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 3 以七个国际组织的名义联合发布了测量不确定度表示指南， 简称g u m 。该指南采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技 术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定表示和 比较。我国在1 9 9 9 年由原国家质量技术监督局批准并发布了 j j f l 0 5 9 1 9 9 9 测量不确定度评定与表示技术规范，该规范等同采用 g u m 国际标准。从此测量不确定度理论与实践在我国的质量体系认证、 实验室认可、计量认证、计量检定、校准等领域被人们逐渐认识和应用。 但在应用过程中应用者往往感到十分困惑和棘手，或无从下手，或分析 和计算经常遗漏和重复，得出的不确定度和具体的测量过程出入很大。 歪曲了测量过程应有的准确度。本人从事不确定度理论与实践工作多 年，对此问题有因此试图在理论及实践诸方面对此问题做一阐述与研 究，请同行借鉴和专家指正。 1 2 测量不确定度的历史与发展 为了能统一地评价测量结果的质量，1 9 6 3 年原美国标准局( n b s ) 的数理统计专家埃森哈特( e i s e n h a r t ) 在研究“仪器校准系统的精密度 和准确度估计”时就提出了采用测量不确定度的概念，受到国际上的普 遍关注。2 0 世纪7 0 年代，原美国标准局在研究和推广测量保证方案 ( m a p ) 时对测量不确定度的定量表示又有了新的发展。为求得测量不 确定度评定和表示方法的国际统一，1 9 8 0 年国际计量局在征求了3 2 个 国家的国家计量院以及五个国际组织的意见后，发出了推荐采用测量不 确定来评定测量结果的建议书，即i n c 1 ( 1 9 8 0 ) ，该建议书向各国推 荐了测量不确定度的表示原则，1 9 8 1 年第7 0 届国际计量委员会( c 口m ) 讨论通过了该建议书，并发布了一份c m 建议书，即c i 1 9 8 l 。该建 议书所推荐的方法，以r n c 1 ( 1 9 8 0 ) 为基础，并要求在所有c 口m 及 其各咨询委员会参与的国际比对及其他工作中，各参加者在给出测量结 果时必须同时给出合成标准不确定度。 1 9 8 6 年国际计量委员会要求国际计量局( b i p m ) ，国际电工委员会 ( i e c ) ，国际标准化组织( i s o ) ，国际法制计量组织( o m 儿) ，国际 理论和应用物理联合会( n 鹏p ) 、国际理论和应用化学联合会( 1 u p a c ) 以及国际临床化学联合会( i i ：c c ) 等七个国际组织成立专门的工作组。 起草关于测量不确定度评定的指导性文件，经过工作组近七年的工作， 在1 9 9 3 年以七个国际组织的名义联合发布了测量不确定度表示指南 ( g u i d etot h ee x p r e s f i o no f u n c e r t a i n t yi nm e a s u r e m e n t ，简称g u m ) ， 1 9 9 5 年对g u m 又作了修订，该文件的发布为在全世界范围内统一进行 测量结果的不确定度评定和表示奠定了基础。 1 9 9 9 我国发布了国家计量技术规范j j f l 0 5 9 1 9 9 9 测量不确定度评 定与表示，其基本术语以及测量不确定度的评定与表示方法与g u m 完全一致，成为我国进行测量不确定度评定与表示的理论基础。我国已 经加入了米制公约和世界贸易国际组织，因此测量不确定度理论不论在 国内和国际交往中都将发挥越来越重要的作用。 1 3 测量不确定度的应用范围 国家计量技术规范j j f l 0 5 9 1 9 9 9 测量不确定度的评定与表示规 定了测量不确定度的评定与表示的通用原则，它适用于各种测量准确度 等级的测量领域，列举如下： ( 1 ) 建立国家基准，计量标准及其进行国际比对； ( 2 ) 标准物质，标准参考数据； ( 3 ) 测量方法，检定规程，检定系统和校准规范； ( 4 ) 科学研究和工程领域的测量； ( 5 ) 计量认证，计量确认，质量认证、实验室认可； ( 6 ) 测量仪器的检定，校准； ( 7 ) 生产过程的质量认证，产品的检验和测试； ( 8 ) 贸易结算，医疗卫生，安全防护，环境检测及资源测量。 国家计量技术规范j j f l 0 5 9 1 9 9 9 测量不确定度的评定与表示主 要涉及有明确定义的，并可用唯一值表征的被测量估计值的不确定度。 至于被测量呈现为一系列值的分布或取决于个或多个参量，则对被测 量的描述是一组量，应给出其分布情况及其相互关系及各自的不确定 度。 2 2 1 测量误差 第二章基本概念 测量误差：测量结果减去被测量的真值。 由于真值一般不能确定，实际上常用的是约定真值； 相对误差：测量误差除以被测量的真值。 随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多 次测量结果的平均值之差。随机误差等于误差减去系统误差；因为测量 只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得 结果的平均值与被测量的真值之差。如真值一样，系统误差及其原因不 能完全获知；对测量仪器而言，系统误差又称为测量仪器的偏移。 随机误差的统计规律性主要表现在下述三个方面：( 1 ) 对称性：指 绝对值相等符号相反的误差，出现的次数大致相等。也就是说，测得值 以其算术平均值为中心对称地分布；( 2 ) 有界性：指测得值的随机误差 的绝对值不会超过一定的界限。也就是说，不会出现绝对值很大的随机 误差；( 3 ) 单峰性：所有的测量值以其算术平均值为中心相对集中地分 布，绝对值小的误差出现的机会大于绝对值大的误差。 由于随机变量的数学期望即是对随机变量进行无限多次测量的平 均值，因此也可以说，随机误差是指测量误差中数学期望为零的误差分 量。误差，系统误差和随机误差均表示两个量值之差，因此随机误差和 系统误差都应该具有确定的符号。图2l 给出测量结果的随机误差、系 统误差和误差之间的示意图。 线 “- k o t y ip + k a 测得值y 图2 1 测量误差示意图 无限多次测量结果的平均值也称为总体均值。图中的曲线为被测量 的概率密度分布曲线，该曲线下方与横轴之间所包含部分的面积表示测 得值在该区间内出现的概率，纵坐标表示概率密度。图中随机误差，系 统误差和误差的箭头方向，向右表示其值为正，反之则为负，由图2 1 可知，误差等于随机误差和系统误差的代数和。因为误差是一个差值， 因此任何误差的合成，都应该采用代数相加的方法。 也有些国际文件，例如i s o t s l 4 2 5 3 2 ，将误差分为四类：系统误 差、随机误差、漂移和粗差。但实际上主要还是前面两类。漂移是由不 受控的影响量的系统影响所引起的，常常表现为时间效应或磨损效应。 从本质上来说，漂移是一种随时间或使用次数而改变的系统误差，测量 结果中的粗差则是由测量过程中不可重复的突发事件所引起的。在误差 处理过程中必须剔除的。系统误差、随机误差、漂移和粗差可参见图 图2 2 测量结果的误差类型图解 1 一真值： 2 一分散性i ； 3 一分散性2 ；4 漂移；5 一无限多次测量结果的平均值i ； 6 一无限多次测量结果的平均值2 i7 一系统误差i ：8 一系统误差2 ：9 一擐j 量结果i ： l 删量结果2 ；l l 随机误差i ；1 2 一随机误差2 ：1 3 一粗差；1 4 一粗差； 图中，直线l 表示真值，它是不随时间而变化的，因此是一条与时 间坐标平行的直线，但其位置是不可能确切知道的。2 和3 表示在两个 不同的时间岛和岛进行测量所得到的分散性，即被测量的概率密度分 4 布曲线。由于漂移的存在，在两个不同的时间得到的多次测量结果的平 均值是不同的。斜线4 表示测量结果的漂移，即无限多次测量结果的平 均值随时间的变化。5 和6 分别表示在时间岛和易进行无限多次测量所 得结果的平均值( 即它们的数学期望值) 。对系统误差而言，它们与真 值1 的差7 和8 就分别表示在两个不同时间岛和岛进行测量时的系统 误差。9 和1 0 分别表示在时间岛和岛得到的某个测量结果。它们与无 限多次测量结果的平均值5 和6 之差，即为随机误差( 图中n 和1 2 ) 。 两条虚线所夹的区域为不确定度区域，是测量结果可能出现的范围。出 现在不确定区域以外的测量结果1 3 和1 4 是在计算中应予以剔除的粗 一 z l0 2 2 测量准确度 测量结果的准确度常常称为测量准确度，其定义为：测量结果与被 测量的真值之间的一致程度。 由于无法知道真值的大小，因此准确度被定义为测量结果与被测量 的真值之间的接近程度。其为一个定性的概念，因此不应将其量化。所 谓定性，意味着可以说：准确度高低、准确度为0 2 5 级，准确度为3 等及准确度符合标准等，也就是说，准确度只是指出符合某一等级 或级别的技术指标要求，或符合某技术规范的要求。不应该用量值来表 示准确度，例如，不使用下述各种表示方式：准确度为0 2 5 、2 5um 、 3 l l m 及1u m 等，即准确度后不要和具体数值连用。 既然准确度是一个定性的概念，因此准确度不是一个量，不能作为 一个量来进行运算。 测量仪器的准确度：其定义为测量仪器给出接近于真值的响应能 力。与测量结果的准确度一样，也是定性的概念，因此测量仪器的准确 度也不应该用具体的数值来定量表示。 且前大部分测量仪器的说明书或技术规范中都有准确度这一技术 指标，但习惯上往往是定量给出的，并且一般还带有正负号，这实际上 指的是测量仪器的最大允许误差或允许的误差限，而不是真正意义上的 准确度。可以说这种表示方法是不符合“测量仪器准确度”一词的定义 的，因而也是不规范的，但由于生产部门长期习惯使用而一直沿用至今。 现在新出版的技术书籍及科技文献己避免了此概念的误用。 2 3 测量结果的不确定度 测量结果的不确定度的定义为：表征合理地赋予被测量之值的分散 性，与测量结果相关联的参数。此参数可以是诸如标准偏差或其倍数， 或说明了置信水平的区间的半宽度；测量不确定度由多个分量组成，其 5 中有些分量可用测量结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征，另 些分量则可用基于经验或其他信息确定的概率分布估算，也可用实验 标准偏差表征，测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不 确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的( 如修正值 和参考测量标准) 分量。 一般来说，被测量之值可以理解为被测量的真值，但在这里不能直 接将“被测量之值”理解为“真值”，因为“真值的分散性”的说法无 法理解，由于j j f l 0 0 1 1 9 9 8 通用计量术语及定义中给出“测量结果” 的定义为由测量所得到的赋予被测量的值，将两者进行比较发现这里的 “被测量之值”应理解为“测量结果”但与我们通过测量所得到的“测 量结果”仍有差别。在对被测量进行测量时，最后给出一个测量结果、 它是被测量的最佳估计值，而这里“被测量之值”应理解为许多个测量 结果，其中不仅包括通过测量得到的测量结果，还应包括测量中没有得 到但是可能出现的测量结果。 根据定义，测量不确定度表示被测量之值的分散性，因此不确定度 表示一个区间，即被测量之值可能的分布区间。而测量误差是一个差值， 这是测量不确定度与测量误差的最根本区别。在数轴上，误差表示为一 个“点”，而不确定度则表示为一个“区间”，两者在其他各方面的所有 差别都是由这个根本差别所引起的。 测量不确定度是测量者合理赋予给测量结果的，因此测量不确定度 或多或少与评定者有关。如评定者的知识范围、经验等，因而带有一定 的主观色彩。定义中的“合理”是指应该考虑各种因素对测量影响所做 的修正；特别是测量应处于统计控制状态下，即处于随机控制过程中， 即测量应在重复性条件或复现性条件下进行。在对每一个分量的数值进 行评定时，其评定方法和所得到的分量数值的大小也应合理。 测量不确定度是“与测量结果相关联的参数”意指测量不确定度是 一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表述中应该包括 测量不确定度。 既然测量不确定度是与测量结果相联系的参数，就是说只有测量结 果才有不确定度，或者说不是测量结果就没有不确定度。因此，不应当 用测量不确定度表示测量仪器的参数特性，因为没有对测量仪器的不确 定度下过定义，只有用测量仪器得到的测量结果才有不确定度。而测量 仪器的特性可以用仪器的示值误差或最大允许误差等术语来描述，所以 尽可能不要使用“测量仪器的不确定度”或“计量标准的不确定度”这 种说法。 在一般情况下，当用测量仪器或计量标准对一测量对象进行测量 时，测量结果的不确定度可能来自于许多方面，其中有一部分分量来自 6 于测量仪器或计量标准，因此也可以将测量仪器或计量标准的不确定度 理解为在测量结果的不确定度中，由测量仪器或计量标准所引入的那部 分不确定度分量。因此，更确切地说，应该是“测量仪器( 或计量标准) 所引入的不确定度”，而不是“测量仪器( 或计量标准) 的不确定度”。 对于经过校准而给出其示值误差的测量仪器，有时也简单地将该示 值误差的不确定度叫做测量仪器的不确定度，实际上它们还是测量结果 的不确定度，因为示值误差就是对该仪器进行校准时的测量结果。 测量误差与测量不确定度的主要区别可用表2 1 给出。 表2 - i 测量误差与测量不确定度的主要区别 序号内容测量误差测量不确定度 表明被测量之值的分散 表明测量结果偏离真值， 性，是一个区间。用标准 1定义是一个确定的值。在数轴 偏差，标准偏差的倍数， 或说明了置信水准的区 上表示为一个点 间的半宽度来表示。在数 轴上表示为一个区间 按是否用统计方法求得， 分为a 类评定和b 类评 定。它们都以标准不确定 按出现于测量结果中的度表示。在评定测量不确 规律，分为随机误差和系定度时，一般不必区分其 2 分类 统误差，它们都是无限多性质。若需要区分时，应 次测量的理想概念表述为“由随机效应引入 的测量不确定度分量”和 “由系统误差引入的测 量不确定度分量” 由于真值未知，往往无法测量不确定度可以由人 得到钡0 量误差的值。当用们根据实验、资料、经验 3可操作性约定真值代替真值时，可等信息进行评定，从而可 以得到测量误差的估计以定量确定测量不确定 值。度的值 非正即负( 或零) ，不能 是一个无符号的参数，恒 4数值符号 取正值。当由方差求得 用正负( ) 号表示 时，取其正平方根 当各分量彼此不相关时 5合成方法各误差分量的代数和 用方和根法合成，否则应 7 考虑加入相关项 由于测量卜确定发衣不 己知系统误差的估计值一个区间，因此无法用测 时，可以对测量结果进行量不确定度对测量结果 6结果修正修正，得到己修正的测量进行修正。对已修正测量 结果。修正值等于负的系结果进行不确定度评定 统误差时，应考虑修正不完善引 入的不确定度分量 误差是客观存在的，不以 测量不确定度与人们对 人的认识程度而转移。误 被测量、影响量、以及测 差属于给定的测量结果， 量过程的认识有关。在相 7 结果说明相同的测量结果具有相 同的条件下进行测量时， 同的误差，而与得到该测 合理赋予被测量的任何 量结果的测量仪器和测 值，均具有相同的测量不 确定度。即测量不确定度 量方法无关 仅与测量方法有关 来源于给定的测量结果， 来源于合理赋予的被测 8 实验标准差它不表示被测量估计值 量之值，表示同一观测列 中，任一个估计值的标准 的随机误差 不确定度 可作为不确定度评定可 靠程度的指标。它是与评 9 自由度不存在定得到的不确定度的相 对标准不确定度有关的 参数 当了解分布时，可按置信 1 0置信概率不存在 概率给出置信区间 测量结采和测量仪器的误差、准确度和不确定度的区别可用表2 2 给 出。 8 表22 测量结果和测量仪器的误差、准确度和不确定度的比较 定义：测量结果减去被测量的真值 测量结果的误差与真值或约定真值有关，也与测量 结果有关。 误差是一个有确定符号的量，不能用“”号表示。 测量结果的误差等于系统误差和随机误差的代数和 测量 结果定义：测量结果与被测量的真值之间的一致程度。 准确度测量结果的准确度是一个定性的概念，不要和具体 数字连用而将其定量化。 定义：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测 量结果相联系的参数。 不确定度 表示一个区间，恒为正值。用标准不确定度或扩展 不确定度表示。 定义：测量仪器的示值与对应输入量真值之差。也 称为示值误差。 示值误差与真值有关，实际上常用约定真值而得到 示值误差的近似值。 示值误差是对于某一特定仪器和某一特定的示值而 言的，同型号不同仪器的示值误差一般是不同的， 测量 误差同一台仪器对应于不同测量点的示值误差也可能不 仪器 同。 最大允许误差是对某型号仪器人为规定的误差限， 即表示一个区间。它不是测量仪器实际存在的误差， 是所规定的示值误差的最大允许值。当用仪器进行 测量，并直接将仪器示值作为测量结果时，由仪器 所引入的不确定度分量可由它导出 定义：测量仪器给出接近于真值的响应能力。 是一定性的概念，但可以用准确度等级或测量仪器 准确度的示值误差来定量表述。 目前不少仪器说明书上给出的准确度，实际上是指 最大允许误差 9 没有对测量仪器的不确定度下过定义，因此尽量不 要用“测量仪器的不确定度”这种说法。 可将“测量仪器的不确定度”理解为在测量结果中， 不确定度由测量仪器所引入的不确定度分量，或理解为测量 仪器所提供的标准量值的不确定度。 如果仪器经过校准，有时也将仪器示值误差的不确 定度称为仪器的不确定度。 2 4 误差和不确定度小结 ( 1 ) 误差和不确定度是两个完全不同而相互有联系的概念，它们 相互之间并不排斥。不确定度不是对误差的否定，相反，它是误差理论 的进一步发展。 ( 2 ) 用测量不确定度评定代替过去的误差评定，决不是简单地将 “误差”改成“不确定度”就可以了。也不表示“误差”一词不能再使 用。误差和不确定度的定义和概念是不同的，因此不能混淆和误用。应 该根据误差和不确定度的定义和它们之间的区别来加以判断。应该用误 差的地方就用误差，应该用不确定度的地方就用不确定度。 ( 3 ) 误差仅与测量结果及被测量的真值或约定真值有关。对于同 一个被测量，不管测量仪器、测量方法、测量条件如何，相同测量结果 的误差总是相同的。而在重复性条件下进行多次重复测量，得到的测量 结果一般是不同的，因此它们的测量误差也不同。 ( 4 ) 测量不确定度和测量仪器、测量方法、测量条件、测量程序 以及数据处理方法有关，而与在重复性条件下得到的具体测量结果数值 大小无关。在重复性条件下进行测量时，不同测量结果其不确定度是相 同的，但它们的误差则肯定不同。 ( 5 ) 若已知测量误差，就可以对测量结果进行修正，得到已修正 的测量结果。而不确定度是不能用来对测量结果进行修正的。在评定己 修正测量结果的不确定度时，必须考虑修正值的不确定度。 ( 6 ) 误差是一个确定的数值，因此误差合成时应采用代数和相加 的方法。不确定度表示被测量之值的分布区间，当各不确定度分量不相 关或相互独立时，各不确定度分量的合成采用几何相加的方法，即常用 的方和根法。 ( 7 ) ；奂| 量仪器没有不确定度，因为没有对仪器的不确定度下过定 义。因此一般不要采用“测量仪器的不确定度”这种说法，但是将测量 仪器的不确定度理解为仪器所提供的标准量僮的不确定度，或在测量结 果中由测量仪器引入的不确定度分量。因此实际上应该说“测量仪器引 入的不确定度”。不确定度这一参数不是测量仪器的固有特性，表征测 l o 量仪器性能的术语是示值误差或最大允许误差，它们与用仪器得到的测 量结果的不确定度有关。 ( 8 ) 计量标准装置的情况与测量仪器相类似，但更复杂一些，一 般也不要采用“计量标准装置的不确定度”这种说法。可以将“计量标 准装置的不确定度”理解为计量标准装置所提供的标准量值的不确定 度，或理解为在测量结果的不确定度中，由计量标准装置( 包括装置中 的所有测量仪器、配套设备以及测量方法) 所引入的不确定度分量。因 此实际上也应该是“计量标准装置引入的不确定度”。 c 9 ) 测量仪器有两种使用方式：加修正值使用和不加修正值使用。 若测量仪器经过校准而己知其示值误差，则有可能加修正值使用。在这 种情况下，有时将示值误差的不确定度( 即修正值的不确定度) 称为该 测量仪器的不确定度。若测量仪器未经过校准，则通常不加修正值使用。 此时其最大允许误差就可作为评定该仪器在测量结果中所引入的不确 定度分量的依据。在己知分布的情况下，通过b 类评定，可以由最大允 许误差得到该分量的标准不确定度。 ( 1 0 ) 过去人们经常会误用“误差”一词，即通过误差分析得到的 往往是被测量值不能确定的范围，它表示一个区问，而不是真正的误差 值。真正的误差值应该与测量结果有关。 第三章不确定度评定中所需的统计学基础知识 3 1 随机变量及其概率密度分布函数 在定条件下对某个量进行测量，一般来说每次的测量结果都是 不相同的，该量的取值就是一个随机变量。在测量不确定度评定中被测 量都是随机变量，因此对随机交量的性质、特征就必须认识清楚。 要了解一个随机变量，必须知道它出现在某一区间内( 或取某 值) 的概率，也就是说应该了解随机变量的概率密度分布。随机变量在 各可能值附近出现的概率与可能值之间的函数关系称为随机变量的概 率密度分布函数，简称为概率密度函数。概率密度函数曲线的纵坐标为 概率密度，横坐标为随机变量的取值。曲线下方与x 轴之间所夹部分的 面积即是被测量出现在该区间的概率。如图3 1 所示，图中阴影部分， 即概率密度函数穴t ) 在区间( a ，p ) 问所包含的面积，即是被测量出 现在区间( a ，b ) 内的概率。故有 a p 图3 1 随机变量的概率密度分布曲线 p ( a x 产l s f ( x ) d x 概率密度分布函数具有下列性质： ( 1 ) 概率密度分布函数为一非负函数，即，( x ) 0 ( 2 ) 概率密度分布函数从一m 到+ 0 0 的积分等于1 ，即 i ( 功次= l 一越 上述两个性质的几何意义为全部概率分布曲线均在x 轴上方，且分 布曲线下方的全部面积等于1 。 对于不同的被测量，其概率密度分布函数的形式是不同的，在测量 不确定度中经常应用的分布有正态分布、均匀分布、三角分布、梯形分 布、反正弦分布等。 3 2 随机变量的特征值 已知概率密度分布函数就能确定一个随机变量，原则上讲，概率密 度函数可以通过大量的重复性实验得到，但实际上往往既没有必要，也 没有可能进行大量的实验，在许多情况下只要知道该随机变量的若干特 征值( 也称为随机变量的数字特征) 就可以了。在测量不确定度评定中 经常要用到的随机变量特征值是数学期望、方差、标准偏差、协方差和 相关系数等。 3 2 1 随机变量的数学期望 随机变量的数学期望表示对该随机变量进行无限多次测量所得结 果的平均值，简称为期望，也称为总体均值。数学期望实际上就是通过 测量得到的测量结果。对于对称分布来说( 大部分的被测量都满足对称 分布) ，数学期望即是随机变量概率密度函数的中心位置。某随机变量 x 的数学期望用e 或1 1 来表示。 若对某量z 进行r t 次测量，得到一组测量结果 数学期望可表示为： 。 = , j m 旦- ( 3 1 ) 一力 并不是任何随机变量均存在数学期望，存在数学期望的条件是当测 量次数n 趋于无限大时，式( 3 1 ) 必须收敛，即当随机变量取无穷多 个值时应存在极限值。 数学期望存在如下性质： ( 1 ) 常数的数学期望等于该常数 以c ) 邓 ( 2 ) 随机变量与常数之和的数学期望，等于该随机变量的数学 期望与该常数之和。 e 岭中e 舻c ( 3 ) 常数与随机变量的乘积的数学期望，等于该常数与随机变 量数学期望的乘积。 e ( c x ) = c e ( x ) ( 4 ) 两个或多个随机变量之和的数学期望，等于它们的数学期 望之和。 坝矿) 件：产以力+ 酞y ) 十e ( 5 ) 两个或多个独立随机变量乘积的数学期望，等于它们的数 学期望的乘积。 e ( x y 垆目e 正沁) 3 2 2 随机变量的方差 随机变量的方差定义为相对于数学期望i l 的偏离值平方的平均 值，即方差陋) 为 ( 吒一) 2 k 砷= l i m 生l 一 ( 3 2 ) n 由于p 酗) 的平方根称为标准偏差，因此将称为“方差”，确哆 又称为总体方差。 方差运算具有如下性质： ( 1 ) 随机变量的方差等于该随机变量平方的数学期望与该随机变 量数学期望的平方之差 = 酞x 2 ) e 2 ( d ( 2 ) 常数的方差为零 坎c ) = o ( 3 ) 随机变量与常数之和的方差，等于该随机变量的方差 忡) = ( 4 ) 随机变量与常数乘积的方差，等于该随机变量的方差与该常 数的平方的乘积。 v ( c x ) = c 2 v ( x ) ( 5 ) 两独立随机变量和的方差等于它们的方差的和。 坎川垆瞰) + 哪) ( 6 ) 两任意随机变量和的方差等于它们本身的方差以及它们的协 方差的两倍和。 w 巾沪哟沙+ 2 a ( x y ) 若为多个变量，可推得 n - 1 ” 矿( 五+ 而+ ) = 矿( 五) + 矿( 屯) + + y ( ) + 2 盯( 薯，) i = 1j = l + l ( 7 ) 两独立随机变量乘积的方差为： 1 4 坎叼口= 瞰) p 瞰) e 2 0 ) + v ( y ) e 2 ( x ) 方差的性质( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 十分重要。可以说，它们是整个测量不 确定度评定的数学基础。由性质( 5 ) 可以得到合成方差的表示式。性 质( 6 ) 表示当影响量之间存在相关性时，在合成方差表示式中应考虑 加入相关项。而性质( 7 ) 表示当数学模型为非线性模型时原则上应考 虑高阶项。在几何量测量中我们经常会遇到这种类型的非线性数学模 型。 3 2 3 随机变量的标准偏差 由于方差的量纲与被测量的不同，为被测量量纲的平方，应用不 方便，因此常用方差的正平方根盯( 力来表示其平均离散性，称为 标准偏差，也称为分布的标准偏差或单次测量的标准偏差。标准偏差 盯( 曲所对应的测量次数也应为无穷大，故也称为总体标准偏差。 盯( x ) = 丽= ( 3 3 ) 3 2 4 协方差 协方差a ( x ，y ) 是表示两随机变量x 和y 之间关联程度的量。定义为 ( 吒一以) 魄一以) a ( x ，j ，) = l i r a 丝一 ( 3 4 ) h _ + ，彳 式中敝，肌分别是随机变量x ，y 的数学期望。将上式与方差表示式 ( 3 2 ) 相比较，就可以发现当随机变量x 等于y 时，协方差就成为方 差。即：a ( x ，y ) = 盯( x ，力= v ( x ) 协方差函数a ( x ，y ) 表示两随机变量x 和y 之间的相关性，这可以根 据其符号藕数值来判断，若随机变量x 和y 的变化方向趋于相同时， d ( x ，j ，) o ；当随机变量x 和y 的变化方趋于相反时，仃( x ，j ，) o ；当随 机变量x 和y 的变化不相关时，盯( x ，y ) = 0 。 3 2 5 相关系数 协方差系数盯( x ，j ，) 虽然可以表示两随机变量r 和y 之间的相关性， 但由于其量纲为两随机变量的乘积，不利于应用，因此通常用相关系数 表示更为方便。相关系数p g ，j ，) 定义为： 如庐端 ( 3 s ) 相关系数p g ，j ，) 为一纯数，其取值范围在 一1 + 1 区间内。 3 2 6 随机变量特征值的估计值 上述随机变量的特征值都是对应于无限多次测量结果的，但实际测 量工作中的测量是有限次的，因此只能根据有限次测量结果来估计总体 的特征值，如样本平均值x ，样本方差s 2 等。 估计量本身也是一个随机变量，有许多可能值，从个具体的样本 只能得到该估计量的一个可能值，当样本改变时，所得到的估计量的值 也会改变，因而不能期望估计量的取值正好等于它所估计的总体参量。 但一个好的估计量至少平均地看来应该等于它所估计的总体的参数。也 就是说，我们所选择的估计量的数学期望应该等于被估计的总体参量，符 合这一要求的估计量称为无偏估计量，可以证明样本平均值x 是总体均 值| l 的无偏估计量，样本方差j 2 ( x ) 是总体方差矿( x ) 的无偏估计量，但 实验标准偏差s ( x ) 就不是标准偏差j ( x ) 的无偏估计量。 表3 1 给出了随机变量的总体特征值和对应的样本估计量。 1 6 表3 1 随机变量的总体特征值和对应的样本估计量 总体特征值( 无限次测量)样本估计量( 有限次测量) 期望( 总体均值) 样本平均值； h 矗 一j “= l i r a 三= l _ x = 兰墨一 n o ” 方差( 总体方差) 矿 )样本方差s 2 ( 力 ( h 一) 2( 以一；) 2 矿 ) l i m 生l 一 s 2 ( 功= 旦l ；j 一 一 刀 标准偏差( 总体标准差) 仃( 功实验标准差( 样本标准差) s ( x 、 喇：厕：k 掣晰，：陴 总体协方差盯( x ，y )样本协方差s ( x ，y ) ( 靠一以) 仉一彬)( 矗一_ ) 饥一- ) 仃( t y ) 2 慨“1 n 5 ( tj ，) = “ 胛一1 总体相关系数p 化j ，)样本相关系数，j ，) 肿= 端m = 端 1 7 第四章测量不确定度评定 4 1 测量不确定度来源 在实际测量工作中，产生测量不确定度的因素很多，大体上来源于 下述几个方面： ( 1 ) 被测量的定义不完整； ( 2 ) 复现被测量的测量方法不理想； ( 3 ) 取样的代表性不够，即被测量样本不能完全代表所定义的被测 量； ( 4 ) 对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境参数的测量 与控制不完善； ( 5 ) 对模拟式仪表的读数存在人为的偏移； ( 6 ) 测量仪器的计量性能； ( 7 ) 测量标准或标准物质引入的不确定度； ( 8 ) 引用的数据或其他参数的不确定度； ( 9 ) 测量方法和测量程序的近似和假设； ( 1 0 ) 在相同条件下被测量在重复观测中的变化。 4 2 数学模型的建立 4 2 。l 测量模型化 建立数学模型也称为测量模型化，目的是要建立满足测量不确定 度评定所要求的数学模型，即被测量y 和影响量( f = 1 , 2 ，以) 间的 函数关系，其一般形式为 y = ，五，“，以) 式是y 称为被测量或输出量，而x 则称为影响量或输入量，若被测量】， 的估计值为y ，输入量t 的估计值为t ，则有 y = ，“，x 2 ，) 4 2 2 对数学模型的要求 对测量结果的不确定度有显著影响的影响量，包括修正值及修正因 子都应该包含在数学模型中，数学模型既能用来计算测量结果，又能全 面地评定测量结果的不确定度，在很多情况下，用来计算测量结果的公 式是一个近似公式，所以一般不要把数学模型理解为计算测量结果的公 1 8 式，也不要理解为就是测量的基本原理公式，在很多情况下，它们经常 是有区别的。 原则上，所有对测量结果有影响的输入量都应该在数学模型中出 现，但实际上，有些输入量虽然对测量结果有影响，但由于缺乏必要的 信息，在具体测量和计算时无法确定它们对测量结果的影响大小，这相 当于所对应的修正值的数学期望值为零，但这些修正值的不确定度仍必 须考虑，这一类输入量不可能出现在测量结果的计算公式中。也有些输 入量由于对测量结果的影响很小而忽略，故在测量结果的计算公式中也 不出现，但它们对测量结果的不确定度的影响却不能忽略，因此，仅从 计算公式来进行具体的不确定度评定，则上述这些不确定度分量就可能 被遗漏。 在不确定度评定中，建立一个合适的数学模型是进行测量不确定度 评定合理与否的关键所在。建立数学模型和寻找各种影响测量不确定度 的来源同步反复进行。一个好的数学模型应该能满足下述条件： ( 1 ) 数学模型应包含对测量不确定度有显著影响的全部输入量； ( 2 ) 不重复计算任何一项对测量结果的不确定度有显著影响的不 确定度分量； ( 3 ) 当选择的输入量不同时，数学模型可以有不同的形式，各输 入量之间的相关性也可能不同。 如果所给出的测量结果是经过修正后的结果，则应考虑由于修正值 的不可靠所引入的不确定度分量。 不确定度评定中所考虑的不确定度分量要与数学模型中的输入量 相一致，根据对输入量所掌握的信息量的不同，数学模型可以采用两种 方法得到：透明箱模型和黑箱模型。 4 2 3 由透明箱模型导出数学模型， 当对测量原理了解得比较透彻时，数学模型可以从测量的基本原理 直接得到。以长度测量中常见的量块比较测量为例来进行说明，其测量 原理见图4 1 。 f ， f 被测 标准 量块i 5 量块 图4 1 量块比较测量示意图 1 9 如图4 1 所示，用比较仪进行量块长度的比较测量时，若由比较仪 测量得的标准量块和被测量块之间的长度差为叫，则被测量块长度，的 计算公式为 ，= + ， ( 4 1 ) 根据量块检定规程规定，检定证书上给出的量块长度应是对应于量 块在参考温度2 0 。c 下的长度，因此式4 1 只在参考温度2 0 时成立， 一般情况下，式4 1 应变为下式： ，( 1 + 窿占) = ( 1 + 吒见) + ， ( 4 2 ) 式中：曰：测量状态下被测量块的温度相对于参考温度2 0 c 的偏差； 只：测量状态下标准量块的温度相对于参考温度2 0 c 的偏差； 口；被测量块的线膨胀系数； 哎；标准量块的线膨胀系数。 由于被测量为，则4 2 可转换为 ，：生q 丝堡2 篁( 4 3 ) l + a 目 由于被测量块和标准量块具有相同的标称长度。故世 镰同时考虑 到硼 l 和吒幺( 1 。将( 4 3 ) 展开，并忽略二阶小量后可得 ，：生堡竺堡! 笺 1 + 口曰 。阢( 1 + 皖) + 脚一口p ) 2 4 - 越+ 吒只一甜 ( 4 4 ) 由于被测量块和标准量块的温度是由同一支温度计测得的，具有强 相关的性质，被测量块和标准量块的材质相同，其线膨胀系数亦为强相 关，给计算带来很大的麻烦，因此引入新的变量，以消除其相关性。 令甜= 占一晓缸= d 一吒代入公式( 4 4 ) ，则可得 i = l l + a i - l , & z e t p p e 公式( 4 4 ) 和( 4 5 ) 都可以作为数学模型， 选择的输入量不同。 ( 4 5 ) 两者的差别仅在于所 在上例中，数学模型是由理论公式推导出的解析形式的表达式。每 2 0 个输入量对被测量的影响可以根据数学表达式定量地进行计算，这种模 型称为透明箱模型，对于透明箱模型，各输入量对测量结果及其不确定 度影响完全是已知的。 4 2 4 包含黑箱模型导出的数学模型 透明箱模型是一种比较理想的情况，而实际的情况是有许多输入量 对测量结果的影响是无法用解析形式的数学表达式来表示的。这时只能 根据经验