（微电子学与固体电子学专业论文）基于无线通信dsp中超越函数的设计.pdf

摘要 摘要 无线通信是指利用电磁波信号能在自由空间中传播的这一特性进行信息交换 的通信方式。现今，对无线通信系统越来越深入的研究，要求驱动装置的处理器 必须具有更高的性能。数字信号处理器( d s p ) 高速，高集成度，低功耗，并行结构， 完善的开发环境，并拥有仿真模块和仿真调试接口的特点，正是新型的无线通信 所需要的。因而，无线通信与d s p 芯片相结合的技术得到了越来越广泛的应用。 本文研究的t r i c o r e 电路就是将d s p 和微控制器( m c u ) 集成到一个基于精简指令 集计算机( r i s c ) 的3 2 位c p u 内核上的电路。 超越函数在数学领域中与代数函数相反，指的是变量之问的关系式不能用有 限次的加、减、乘、除、乘方、开方表示的函数。例如指数函数，对数函数，三 角函数，反三角函数就属于超越函数，而且属于初等超越函数。本文研究的就是 初等超越函数中的指数函数和对数函数。 指数、对数运算是t u r b o 码的m a p 算法和l o g m a p 算法中不可避免的运算， 且实验证明，指数、对数运算的复杂程度直接影响了整个算法的执行效率。现有 的研究人员多采用改变算法或函数近似的方式避免进行指数、对数运算，从而达 到简化运算的效果。本文针对这个问题，在t r i c o r e 电路原有的指令集上扩展了专 门用于指数和对数运算的指令，并从电路上实现其功能，可供m a p 算法和 l o g m a p 算法的调用，以降低运算复杂度。 首先，本文研究了指数函数和对数函数的算法原理，包括完全查表法、扩展 查表法、泰勒展开法、线性近似法及查表与线性近似相结合的方法，对各种算法 的精度和占用存储空间进行比较；接着，基于t r i c o r e 电路的结构和指令集定义格 式提出了用于指数和对数运算的专用扩展指令，给出具体的指令格式编码；然后 基于这些扩展指令，用v e r i l o gh d l 语言实现了协处理器内核的基本系统结构， 并针对协处理器的精度优化提出了增加一个标志信号的方法；最后针对指数函数 和对数函数的各种算法及设计的协处理器进行了功能的仿真与验证。 关键字；超越函数m a p 算法t r i c o r e 电路协处理器 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 a b s t r a c t a b s t r a c t w i r e l e s sc o m m u n i c a t i o ni st h ee x c h a n g eo fi n f o r m a t i o nc o m m u n i c a t i o nm o d ev l a t h ep r o p a g a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cs i g n a li nf l e es p a c e r e c e n t l y ，t h ei n - d e p t hr e s e a r c h a n dd e v e l o p m e n ti nw i r e l e s sm o b i l ec o m m u n i c a t i o ns y s t e mr e q u i r e dh i g l lp e r f o r m a n c e o ft h ep r o c e s s o ri nt h ed r i v i n gd e v i c e d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ( d s p ) ，w h i c hh a s 1 1 i 曲- s p e e d ，h i 曲i n t e g r a t i o n , l o wp o w e r ，p a r a l l e ls t r u c t u r e ，a n di m p r o v e dd e v e l o p m e n t e n v i r o n m e n t ，s i m u l a t i o nm o d u l ea n dd e b u g g i n gi n t e r f a c e ，i sp r e c i s e l yn e e d e di nt h e n e ww i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n t h u s ，t h et e c h n o l o g yt h a tw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n c o m b i n e d 、 ，i t ht h ed s pc h i ph a so b t a i n e dm o r ew i d e l ya p p l i c a t i o n t h et r i c o r e s t u d i e di nt h i sp a p e ri n t e g r a t e sd s pa n dm c ui n t oar i s c b a s e d3 2 - b i tc p uc o r e i n m a t h e m a t i c s ，t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n sr e f e rt o t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v a r i a b l e sc a n n o tb eg e tf r o ml i m i t e dt i m e so fa d d i t i o n ，s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i s i o n ，i n v o l u t i o n , e v o l u t i o n , i nc o n t r a s t 诵t l la l g e b r a i cf u n c t i o n s f o re x a m p l e ， e x p o n e n t i a l ，l o g a r i t h m i c ，t r i g o n o m e t r i ca n di n v e r s et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n sb e l o n gt o t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n sa n de l e m e n t a r yt r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s w h a tw es t u d i e di s t h ee x p o n e n t i a la n dl o g a r i t h m i cf u n c t i o n si ne l e m e n t a r yt r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s e x p o n e n t i a t i o na n dl o g a r i t h m sa r ei n e v i t a b l ei nm a pa l g o r i t h ma n dl o g - m a p a l g o r i t h mo ft u r b oc o d e e x p e r i m e n t ss h o wt h a t t h e c o m p l e x i t yo fe x p o n e n t i a l ， l o g a r i t h m i cd i r e c t l ya f f e c t st h ee f f i c i e n c yo ft h ea l g o r i t h mg r e a t l y e x i s t i n gr e s e a r c h a v o i de x p o n e n t i a t i o na n dl o g a r i t h m sa r i t h m e t i cb yc h a n g i n gt h ea l g o r i t h mo rf u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n ，s o a st os i m p l i f yt h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y i no r d e rt os o l v e n u m b e r so fe x p o n e n t i a la n dl o g a r i t h m i ca r i t h m e t i ci nt h em a pa n dl o g m a p a l g o r i t h m ，t h e i n s t r u c t i o nu s e df o re x p o n e n t i a la n dl o g a r i t h m i ca r i t h m e t i cw a s e x t e n d e db a s e do nt h eo r i g i n a li n s t r u c t i o n so ft r i c o r ec i r c u i ti nt h i sp a p e r i t s i n s t r u c t i o nc o u l db ec a l l e db ym a pa n dl o g - m a pa l g o r i t h mt or e d u c et h ea r i t h m e t i c c o m p l e x i t y , s i n c ei t sf u n c t i o nw a sa c h i e v e di nt h ec i r c u i t f i r s t ，w es t u d i e dt h ea l g o r i t h mt h e o r yo fe x p o n e n t i a la n dl o g a r i t h m i c ，i n c l u d i n g f u l ll o o k - u pt a b l em e t h o d ，e x t e n d e dl o o k - u pt a b l em e t h o d ，t a y l o re x p a n s i o nm e t h o d ， l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s m e t h o da n dl o o k - u pt a b l ec o m b i n e dw i t ht h el i n e a r a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，a n dc o m p a r e dt h ea c c u r a c ya n ds t o r a g es p a c eo fv a r i o u s a l g o r i t h m s s e c o n d ，t h es p e c i a l i z e de x t e n di n s t r u c t i o nd e s i g n e df o re x p o n e n t i a la n d l o g a r i t h m i ca r i t h m e t i cw a sp r o p o s e di nt h ep a p e rb a s e do nt h es t r u c t u r eo ft r i c o r e 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 c i r c u i ta n dt h ef o r m a to fi n s t r u c t i o ns e t t h i r d ，t h eb a s i cs y s t e ma r c h i t e c t u r eo ft h e c o p r o c e s s o rk e r n e lw a sr e a l i z e db yv e r i l o gh d l ，a n da l lo p t i m i z a t i o nm e t h o d , w h i c h w i l la d da f l a gs i g n a l ，i sp r o p o s e dt oi n c r e a s et h ea c c u r a c yo ft h ec o p r o c e s s o r f i n a l l y ， t h ef u n c t i o ns i m u l a t i o na n dv e r i f i c a t i o no ft h ev a r i o u sa l g o r i t h ms u c ha se x p o n e n t i a l a n dl o g a r i t h m i ca n dt h ed e s i g n e dt h ec o p r o c e s s o rw e r ec o m p l e t e d k e y w o r d s ：t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s m a pa l g o r i t h mt r i c o r ec i r c u i t c o p r o c e s s o r 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍了本文需要用到的基本原理和理论，以及课题提出的来源和意 义及本文的工作内容。 首先介绍了d s p 在无线通信领域的广泛应用和当代我国d s p 技术的发展现 状和前景；接着在数学领域给出了超越函数的概念并举例说明；然后针对本文的 课题说明在t r i c o r e 电路中针对指数、对数运算设计专用协处理器的原因和意义； 最后详细说明了本文的具体工作内容。 1 1d s p 在无线通信中的应用和发展 自从上世纪6 0 年代以来，计算机和信息技术飞速发展，数字信号处理也随之 产生并快速发展。数字信号处理d s p ( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g ) 属于微处理器m p u 的一种，是通过使用数学技巧的转换和信息提取处理信号的方式，是一种应用广 泛的涉及许多领域的新型学科，已从军事、航空航天等尖端领域进入民用产品各 领域，成为当今世界半导体产业的新特点【l j 。 d s p 的主要优点包括对元件值的容限不敏感，受外部环境等因素影响较小， 易于集成，可分时复用以共享处理器，方便调整处理器的系数来实现自适应滤波， 可以实现模拟处理不能实现的级联、易于存储、线性相位、多抽样率处理等动作， 对于频率非常低的信号也适用。d s p 的缺点则在于可靠性不如无源设备，受到采 样频率的限制，处理的频率范围有限，需要进行模数转换，数字系统由耗电的有 源器件构成。但是d s p 的优点远比缺点要多得多。 d s p 产品速度快，功耗低，集成度高，结构的并行性，具有仿真模块和仿真 调试接口和完善的开发环境的主要特点 2 1 ，使得它在众多领域，如家用电器，图 像图形，语音处理，自动控制，仪器仪表，军事，医疗，生物医学等方面，都有 比较广泛的应用，尤其是在无线通信领域里，特别适合嵌入式的实时数字信号处 理任务。表1 1 是目前无线通信中常用的几种技术解决方案的比较。 表1 1 无线通信中的技术解决方案的比较 方案功耗硅片面积费用现场可升级性工具 高速d s p非常高 中等 中等高 很强有一磐 多a s i c中等大高无多 参数a s i c中等中等中等有一些有一些 f p g a低小 中等低 很强 较少 2 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 无线通信( w i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n ) 是利用电磁波信号能在自由空间中传播的 这一特性进行信息交换的通信方式1 3 】。无线通信与移动通信( 在移动中实现的无 线) 合称为无线移动通信。d s p 为数字信息产品带来更为广阔的发展空间，并将 支持通信、计算机和消费类电子产品的数字化融合。在无线领域，d s p 涵盖基站、 手持终端和无线交换设备；在网络领域，d s p 覆盖由基础设施到宽带入户设备， 包括v o i p 网关和i p 电话、d s l 和c a b l em o d e m 等。面向群体应用，d s p 在媒体 网关、视频监控、专业音响、数字广播、激光打印等领域表现出色；面向个人应 用，d s p 在便携式数字音频和影像播放器、指纹识别和语音识别等领域表现不俗。 在自动控制领域，d s p 极大满足了工业界的需求，如数字变频电力电源设备、工 业缝纫机、绣花机、喷绘机等，同时d s p 也极大地满足了个人消费者的需求，如 变频空调、冰箱、洗衣机等。d s p 技术的广泛应用，促进了无线通信的飞速发展； 而无线通信的发展又导致了d s p 技术的不断进步。 当前，我国的处于大发展时代的开端，从军用到民用，在通信、计算机和消 费电子领域，d s p 技术已经得到越来越广泛的应用，大学、公司和研究所在这些 方面取得了一定的成果，国内也有自行开发的d s p 系统相继上市。我国的d s p 技术，虽然在芯片研制上与国际先进水平差距很大，但在算法研究和应用国外芯 片研制产品方面差距并不大，特别是近年以来，国外最新芯片在国内的应用，给 d s p 技术的发展奠定了优良的硬件基础。随着d s p 制造业从高成本地区向低成本 地区的转移，国内消费市场将逐步扩大，d s p 技术的应用也变得更加广泛1 4 j 。 1 2 超越函数的基本概念 基本初等函数是实变量或者复变量的幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数经过了有限次四则运算和有限次复合后所构成的函数类，是分析 学中最常见的函数，它在研究函数的一般理论中起着非常重要的作用。 初等函数( e l e m e n t a r yf u n c t i o n s ) 是由幂函数( p o w e rf u n c t i o n s ) 、指数函数 ( e x p o n e n t i a lf u n c t i o n s ) 、对数函数( l o g a r i t h m i cf u n c t i o n s ) 、三角函数( t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s ) 、反三角函数( i n v e r s et r i g o n o m e t i ef u n c t i o n s ) 与常数经过有限次的有理 运算( 加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方) 及有限次函数复合所产 生的，并且能用一个解析式表示的函数1 5 j 。 初等函数包括代数函数和超越函数。代数函数( a l g e b r a i cf u n c t i o n s ) 指含加、 减、乘、除和开方等基本运算符的数学函数，包括多项式、平方根函数等。超越 函数( t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s ) 在数学领域中与代数函数相反，是“超出”代数函 数范围的函数，指的是不满足任何以变量的多项式作为系数的多项式方程的函数， 第一章绪论3 即变量之间的关系式不能用有限次的加、减、乘、除、乘方、开方这一类简单运 算表示的函数 6 1 。例如指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数就属于超越 函数，而且属于初等超越函数。 严格来说，关于任意变量x 的解析函数f ( x ) 就是超越函数，前提是f i x ) 关于变 量x 是代数独立的。超越函数有很大一部分来源于对代数函数进行不定积分运算。 例如在对双曲角围成面积的研究中，倒数函数y = l x 的不定积分得到对数函数； 同样，以类似方式得到的双曲函数s i n h ，e o s h ，t a n h 都属于超越函数。 本文主要用到的是超越函数中的指数函数和对数函数。指数函数是指形如y = a x 的函数，式中a 为不等于1 的正的常数。对数函数是指数函数的反函数，记 作y = l o g a x ，式中a 为不等于1 的正的常数。指数函数与对数函数之间成立关系 式：若a b = n ，则b = l o g a n ( a 0 且a 1 ) 。 1 3 课题的来源和意义 传统的数字信号处理平台系统结构十分复杂，成本也较高，且电路结构和接 口不容易改变，功能也难于扩充。随着嵌入式系统技术和集成电路技术的飞速发 展，利用微处理器内核实现数字信号处理系统已成为一种趋势。设计者根据具体 针对的h d l 语言基于f p g a 基础上设计实现的c p u 和外设，具有灵活可定制和 低成本等特点，以较低的功耗和资源实现了嵌入式应用的特殊要求。 计算机技术的迅速发展使得协处理器被应用到越来越多的领域 7 1 ，如科学计 算、气象预报、医疗成像、金融分析、宇宙空间探测、3 d 电影动画渲染等。这些 不同领域有着不同的应用程序和算法，但是对特定应用的加速是它们的共同需求 嗍。在目前的技术下，通过采用先进的工艺或者增大频率的方法来提高处理器的 性能已经快达到极限，难以满足性能需求。传统的处理器多属于通用型处理器， 它的特点可以概括为“通而不专 ，能够兼顾多种应用，但对于某些特定应用( 如 浮点矩阵向量操作) 却缺乏运算加速效果。同构多核通用c p u 相比于单核通用 c p u 能够在一定程度上提高性能，但并行编程却可能十分复杂，而且仍难以满足 多种应用( 如商业或科学计算) 的需求。使用可针对特定应用加速的协处理器是 解决这种问题的一种好的方法【9 】。 指数、对数运算是t u r b o 码的m a p 算法和l o g m a p 算法中不可避免的运算， 且实验证明，指数、对数运算的复杂程度直接影响了整个算法的执行效率【1 0 1 。现 有的研究人员多采用改变算法或函数近似的方式避免进行指数、对数运算，从而 达到简化运算复杂度的效果。 4 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 设计人员在优化嵌入式系统时，一般会扩展处于设计核心位置的微处理器的 指令集或者选择增加专用的硬件模块直接赋予新功能，以此来达到优化的目的。 因为嵌入式系统的复杂性主要在于设计的软件部分，增加指令的方法在弥补硬件 的变化方面具有更好的优越性，并且在一定程度上更易于为设计人员所实现，而 且，扩展指令集通常不会干扰存储器的访问【l ，这就决定了采用这种方式具有优 化系统的整体性能的可能性。 1 4 本文的工作内容 本文针对m a p 算法和l o g m a p 算法中存在的大量的指数和对数运算问题， 在t r i c o r e 电路原有的指令集上扩展了专门用于指数和对数运算的指令，并从电路 上实现其功能，可供m a p 算法和l o g m a p 算法的调用，以降低运算复杂度i l 引。 首先，研究了指数函数和对数函数的算法原理，包括完全查表法、扩展查表 法，泰勒展开法、线性近似法及查表与线性近似相结合的方法，对各种算法的精 度和占用存储空间进行比较；接着，基于t r i c o r e 电路的结构和指令集定义格式提 出了用于指数和对数运算的专用扩展指令，给出具体的指令格式编码；然后基于 这些扩展指令，用v e r i l o gh d l 语言实现了协处理器内核的基本的系统结构，并 针对协处理器的精度优化提出了增加一个标志信号的方法；最后针对指数函数和 对数函数的各种算法及设计的协处理器进行了功能的仿真与验证。 第二章超越函数的算法原理 5 第二章超越函数的算法原理 本章主要介绍了基本的超越函数算法，并以指数函数和对数函数为例，具体 说明它们的实现算法。 首先以三角函数、指数函数、对数函数为例简要介绍了超越函数的基本实现 算法；然后介绍了计算机中算法实现需要的一些基本的数学概念，主要是定点数 q 值的选择；最后详细介绍了指数函数和对数函数的实现算法，包括完全查表法、 扩展查表法、泰勒展开法、线性近似法及查表与线性近似相结合的方法。 2 1 超越函数算法介绍 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任 意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角i 坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。现代数学把它们描述成无穷数列的极 限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、 正切、余切、正割、余割。 毒 反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反 正弦a r c s i n x ，反余弦a r c c o s x ，反正切a r c t a n x ，反余切a r c c o t x 这些函数的统称， 各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。反三角函数算法较为复杂，在此 不作说明。 由于三角函数均为周期函数，所以常用查表法实现，可以不必占用大量的存 储空间来达到较高的精度要求。而指数函数和对数函数则是单调的非周期函数， 若用查表法来实现，则存储需要大量的表值，在硬件上难以实现，因而可采用扩 展查表法，取一个小区间作为表值的取值范围，将其他区间的数通过简单运算转 化为在这个小区间内查表。 当然三角函数和指数对数函数均可以采用泰勒展开的方法近似，但是泰勒展 开式在展开原点附近精度最高，随着数值远离原点，近似精度迅速下降，需要增 加展开级数以提高精度，但这样就增加大量运算，而且无法保证很高的平均精度。 也可以将远离原点的数值通过运算转化为在原点附近的小区间内近似计算，这样 就可以降低运算复杂度，而且近似精度较高且均匀。 6 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 2 2 1 定点数与浮点数 2 2 定点运算与浮点运算 如果小数点位置在逻辑上不是固定的，就是浮点数，而定点数只能表示反之， 如果小数点位置是固定的，则是定点数。简单的说，浮点数并不一定就完全等于 小数，定点数也并不一定就指的是整数i l 引。 无符号定点数指机器字长的所有二进制位均表示数值位，相当于取数的绝对 值。若机器字长为n + 1 位，则无符号定点数值的表示范围为o x 2 州1 。有符 号定点数是指最高位用来表示符号位，而不再用来表示数值位。有符号定点数又 分为定点整数和定点小数。小数点位置固定在最低数值位后面的是定点整数，数 值范围是2 x 2 n ；而小数点位置固定在最高数值位前面的是定点小数，数 值范围是( 1 2 。n ) x 1 - 2 咱。 浮点数是属于有理数中某个特定子集的数的数字表示，一个浮点数a 表示为： a - - m x b 。，b 表示比例因子b 。的基数，m 表示数a 的尾数，e 表示数a 的阶码，尾 数部分为定点小数，阶码部分为定点整数，结构如下图所示。具体的说，这个实 数是由一个整数或定点数( 即尾数m ) 乘以某个基数b 的整数次幂得到的，这种 表示方法与基数为1 0 的科学记数法相似，结构如表2 1 所示： 表2 1 浮点数结构 五二 亟王工五互工习 定点数与浮点数之间的主要区别在于表示范围，精度，运算复杂度及溢出处 理等方面。 2 2 2 定点数q 值的选取 在定点d s p 芯片中，若采用定点数进行数值的运算，操作数一般均采用整型 数来表示。d s p 芯片给定的字长决定了整型数最大的表示范围，一般是1 6 位或 2 4 位，字长越长，可以表示数的范围越大，精度也越高，以下以1 6 位字长为例 说明。 d s p 芯片的数以2 的补码形式表示，1 6 位的数用第一位值作为符号位来表示 数的正负，数值为正符号位为0 ，数值为负符号位为1 ，后1 5 位表示数值的大小。 对d s p 芯片而言，参与数值运算的数就是1 6 位的整型数。而d s p 芯片对于 小数的处理的关键在于由程序员来确定一个数的小数点的位置，即是数的定标 第二章超越函数的算法原理7 f 1 4 】。小数点处于位置的不一样，表示的小数大小和精度就不一样，但在d s p 芯片 中，处理方法是一样的。 数的定标分为q 表示法和s 表示法。表2 2 列出了一个1 6 位数的1 6 种q 表 示法、s 表示法及其表示的十进制数值范围。 在定点数中，数值范围与精度是成反比的，q 值越大，数值范围越小，精度 反而越高；反之，q 值越小，数值范围越大，精度就越低。浮点数与定点数之间 的转换关系为： 浮点数转换为定点数( ) ：g q = ( i n t ) x * 2 9 定点数( ) 转换为浮点数( 力：x = ( f l o a t ) x q , 2 - 0 表2 2q 值、s 值及数值范围 q 值 s 值表示范围( 十进制) q 1 5 s o 1 51 x 0 9 9 9 9 6 9 5 q 1 4 s l 。1 42 x 1 9 9 9 9 3 9 0 q 1 3 s 2 1 3_ 4 x 3 9 9 9 8 7 7 9 q 1 2 s 3 1 28 x 7 9 9 9 7 5 5 9 q 1 1 s 2 1 11 6 x 1 5 9 9 9 51 17 q l o s 5 1 03 2 x 3 1 9 9 9 0 2 3 4 q 9 s 6 96 4 x 6 3 9 9 8 0 4 6 9 q 8 s 7 81 2 8 x 1 2 7 9 9 6 0 9 3 8 q 7 s 8 7 2 5 6 x 2 5 5 9 9 2l8 7 5 q 6 s 9 6- 5 1 2 x 5 l1 9 8 0 4 3 7 5 q 5 s 1 0 51 0 2 4 x 1 0 2 3 9 6 8 7 5 q 4 s 1 1 4- 2 0 4 8 x 2 0 4 7 9 3 7 5 q 3 s 1 2 3 - 4 0 9 6 x 4 0 9 5 8 7 5 q 2 s 1 3 28 1 9 2 x 8 1 9 1 7 5 q 1 s 1 4 11 6 3 8 4 x 1 6 3 8 3 5 q 0 s 1 5 03 2 7 6 8 x 3 2 7 6 7 对于一个已知常量，q 值很容易确定。而在实际的d s p 应用中，参与运算的 都是变量，这就需要通过确定变量的动态范围来确定q 值。 设变量绝对值的最大值 i m a x i ，其中l m a x i 必须小于或等于3 2 7 6 7 ，取一个整 数n ，使它满足2 “ l m a x l 2 疗，n 有2 - 0 - - 2 1 5x 2 “= 2 - ( 1 锄，q = 1 5 r l 。 8 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 2 3 1 查表法 2 3 指数函数算法 查表法是一种非常直接的方法，即是将函数的所有的可能的输入值的运算结 果组成一个表，通过简单的运算产生对应地址，按这个地址调出对应的结果。设 计方法比较简单，在精度要求比较高或数据范围比较大的情况下，需要通过提高 存储器的深度来提高运算精度。表的大小与精度和数值范围成指数关系【l5 1 ，在要 求较高的运算中，存储器就必然在集成电路中占用很大面积。查表法对于所有的 函数运算都适用，假设函数y = f ( x ) ，x 和y 的长度都是n 位，这就需要一个2 n x n 的r o m 来装载结果1 1 6 】。这种方法适用于1 1 比较小的时候。 对于指数函数，因为输出值范围为0 到正无穷，所以q 值应该取q o ，对应 精度为1 ，显然精度比较低。由于输出范围太大，所以下面以输入范围为0 - 1 来 介绍查表法。 输入数据与输出数据均为1 6 位，在输入范围肛l 之间等间隔取4 0 9 6 个数， 分别是0 ，m ，2 m ，3 m ，4 0 9 5 m ，其中m = i 4 0 9 6 = 0 0 0 0 2 4 4 1 4 0 6 2 5 ，这就将 啦l 的区间分为4 0 9 6 个小区间，每个区间的对应结果就取区间的起始点的指数运 算结果，输入精确度为2 。1 2 ，在o l 的范围内，对输出精度作出相应的修正，即 将指数函数的q 值按照输入在0 - 1 内对应输出浮点数的范围进行修正，如表2 3 所示： 表2 3 0 l 范围内q 值修订表 指数函数输出值范围q 值 2 x- 2 】x 1 9 9 9 7 1 9 9 9 9 3 9 0 q 1 4 1 0 x 1 6 1 x 9 9 9 5 4 1 5 9 9 9 5 1 1 7 q 1 1 e x 4 1 5 。式中，i n d e x 就是查表用的地址。 输入数据与输出数据均为3 2 位时，在输入范围啦! 之间等间隔取8 1 9 2 个数， 分别是0 ，m ，2 m ，3 m ，8 1 9 1 m ，其中m = 1 8 1 9 2 = 0 0 0 0 1 2 2 0 7 0 3 1 2 5 ，将8 1 9 2 个小区间的起始点的运算结果作为每个区间的结果，输入精确度为2 2 4 。 第二章超越函数的算法原理9 表2 4 指数存储表 指数值 指数值 地址输入值 2 x1 0 。e 1 2 x ( q 1 4 )l o x ( q 1 1 )e x ( q 1 3 ) 0 0 0 0o m1 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 01 6 3 8 42 0 4 88 1 9 2 0 0 0 lm - 2 m1 0 0 0 11 0 0 0 51 0 0 0 2 1 6 3 8 62 0 4 98 1 9 4 0 0 0 22 m 一3 m1 0 0 0 31 0 0 1 21 0 0 0 51 6 3 8 92 0 5 08 1 9 6 0 0 0 33 m 4 m1 0 0 0 51 0 0 1 61 0 0 0 71 6 3 9 22 0 5 l8 1 9 8 o 0 0 44 m - 5 m1 0 0 0 71 0 0 2 31 0 0 1 0 1 6 3 9 52 0 5 38 2 0 0 0 0 0 55 m , - 6 n l1 0 0 0 81 0 0 2 81 0 0 1 21 6 3 9 72 0 5 48 2 0 2 o 0 0 66 m - 7 m1 0 0 1 01 0 0 3 51 0 0 1 51 6 4 0 02 0 5 58 2 0 4 0 0 0 77 m - 8 m 1 o o l 21 0 0 3 91 0 0 1 71 6 4 0 42 0 5 68 2 0 6 0 0 0 88 m 一9 m1 0 0 1 41 0 0 4 61 0 0 2 01 6 4 0 72 0 5 78 2 0 8 0 0 0 99 m l o m1 0 0 1 51 0 0 5 l1 0 0 2 21 6 4 0 92 0 5 88 2 1 0 0 0 0 al o m l l m1 0 0 1 71 0 0 5 51 0 0 2 41 6 4 1 22 0 5 98 2 1 2 0 0 0 b1 1 m 1 2 m1 0 0 1 91 0 0 6 21 0 0 2 71 6 4 1 52 0 6 l8 2 1 4 0 0 0 c1 2 m 1 3 m1 0 0 2 01 0 0 6 71 0 0 2 91 6 4 1 72 0 6 28 2 1 6 0 0 0 d1 3 m 一1 4 m 1 0 0 2 2 1 0 0 7 4 1 0 0 3 21 6 4 2 02 0 6 38 2 1 8 o o o e1 4 m 1 5 m1 0 0 2 41 0 0 7 91 0 0 3 41 6 4 2 32 0 6 48 2 2 0 0 0 0 f1 5 m 1 6 m1 0 0 2 61 0 0 8 61 0 0 3 71 6 4 2 72 0 6 68 2 2 2 0 0 1 01 6 m 1 7 m1 0 0 2 7 1 0 0 9 01 0 0 3 91 6 4 2 82 0 6 68 2 2 4 0 0 1l1 7 m 1 8 m1 0 0 2 91 0 0 9 71 0 0 4 21 6 4 3 22 0 6 88 2 2 6 0 f f f4 0 9 5 m , - 4 0 9 6 m1 9 9 9 79 9 9 5 42 7 1 7 63 2 7 6 32 0 4 7 12 2 2 6 3 完全查表法比较适用于自变量的动态范围不是太大的函数或是周期函数。对 于像指数函数这样的非线性函数，输入值和函数值的变化范围都很大，查表法的 要求存储空间太大。通过推导公式，可以其他范围内的输入值建立与肚1 范围的 数值的关系，从而通过运算将所有输入数据的运算都可以通过上面的表格得到结 果，扩大自变量范围的同时并没有增大存储空间的压力，即为扩展查表法。 以指数函数2 。为例，对于任意的正实数工，可以表示为x = 口+ b ，式中，a 为小数部分，0 口1 ，b 为整数部分，可以在运算中求得。则求2 。可以表示为 2 = 2 4 + 2 6 ( 2 2 ) 也就是说，求2 。实际上只要求2 口再经过移位就可以得到了，而口的值在0 到 1 之间，以由上面的表中查出。 而对于对数函数1 旷和，有 1 0 。= 2 。l 0 9 2 1 0 = 2 3 a z l 9 2 3 1 。 ( 2 3 ) 1 0 基于无线通信d s p 中超越函数的设计 工 e 。= 2 。慨。= 2 而= 2 1 4 4 2 6 9 如。 ( 2 - 4 ) 通过移位运算获得a 和b 值的方法是：对于q o 格式的输入值，输入值即为 整数部分，不存在小数部分，即a - - - o ，b - - - - x ；对于q l 格式的输入值，前1 4 位表 示整数部分，最后一位表示小数部分，即口气【o 】，b - - x - a ；对于q ( n ) 格式的输入值， 前1 5 n 位表示整数部分，最后n 位表示小数部分，即a = x n - 1 ：0 】，b = x - a 。 2 3 2 泰勒展开法 对于一般函数设它在点x o 存在直到疗阶的导数，由这些导数构造一个 次多项式( 2 5 ) ，称为函数厂在点x o 处的泰勒( t a y l o r ) s ；项式，乙( x ) 的各项系数式 ( 2 6 ) 称为泰勒系数【1 7 1 。 r , ( x o m ) + 华( 0 ) + 掣( 一o ) 2 “+ 牮( 一咿 ( 2 - 5 ) f ( k l ( x o ) 七! ( 七= 1 , 2 ，n ) ( 2 - 6 ) 定理1 ：若函数厂在点x o 存在直到挖阶导数，则有f ( x ) = t ( n ) + o ( ( x - x o ) ”) ， 侧= 八螂+ f ( x o x x 一加) + 掣。一如) 2 + 斗笋。一删+ 稚一删”) ( 2 7 ) 其中心( 工) = ( x ) 一乙( x ) 称为泰勒公式的余项，形如o ( ( x - x o ) ”) 的余项称为 佩亚诺型余项。 特殊的当x - - o 时，式( 2 8 ) 称为( 带有佩亚诺型余项的) 麦克劳林( m a c l a u r i n ) 公式。 f ( x m ( o ) ( o ) x + 乎“+ 学“以”) ( 2 8 ) 定理2 ：( 泰勒定理) 若函数厂在b b 】上存在直至门阶的连续倒数，在瓴b ) 内存在( 疗+ 1 ) 阶导函数，则对任意给定的x ，x o b b 】，至少存在一点毛r b 】， 得到式( 2 9 ) ，其中式( 2 1 0 ) 称为拉格朗日余项。 删= 删+ f ( x o x x 一砌+ 掣。一埘+ 掣 一删+ 锵。一 ( 2 9 ) 第二章超越函数的算法原理 驰m 堋班篙( m 吖+ 1 侉黔睁锄， 1 ) ( 2 - l o ) 特殊的当x = o 时，式( 2 1 1 ) 称为( 带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式。 似) = 0 0 ) + ( o ) x + 等“+ 华“锶1 ( 0 0 1 ) ( 2 - 1 1 ) 根据( 带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式，对于指数函数e 菩，它的泰勒展 开式为式( 2 - 1 2 ) ，误差项为式( 2 - 1 3 ) 。 如篇妻x 疗n ! x 2 - + x z 2 31 + + 吾+ 兄( x ) ( 2 - 1 2 ) 篇疗! ! 行! ”7、7 驰) = 帮1o n + l e l ) ! o x 1 1 ) 对于2 。，泰勒展开式与误差项为 2。=羹学小警+丁(in2)3x39i+ + 孚州x ，急 ! 、7 2131刀! ”7 见( x ) ：型垫2 ： r ( x ) 2 r 着1 1 2 i+ j !o + 1 ) ! ( o 0 1 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 同样对于1 0 。，泰勒展开式与误差项为 l。主篇onto)!x一l+(1nl。)h可(1nlo)2x2+丁(1nlo)axa+丁(1nlo)xf + r ( x ) 篇 ! 、7 2131以! ”7 ( 2 - 1 6 ) r ( x ) ：坠! x 州： r ( x ) 2 铺1 。 + l ，!+ 1 ) ! ( o 0 1 )( 2 - 1 7 ) 由误差项可以看出，函数