（光学专业论文）量子自旋系统中的纠缠和保真度.pdf

量子自旋系统中的纠缠和保真度中文摘要中文摘要本文简要介绍了量子纠缠、量子计算和保真度等量子信息技术研究中的一些基本理论问题，以及如何利用纠缠来实现量子通信、量子计算的方案，归纳总结了度量纠缠的几种常用方法。文章还特别详细地讨论了固态量子系统海森堡链的性质和意义以及海森堡链在量子信息研究邻域中的应用。实际存在的自旋系统有着复杂的能级结构，通常用自旋为s ( s 1 1 2 ) 的量子系统模型来表示。因此本文从实际应用的角度出发，讨论了在均匀磁场中自旋为l 的各向异性的海森堡链中的纠缠。当改变各向异性系数和磁场强度b 时，基态之间的纠缠会经历不同的跃迁。无论怎样改变的数值，最近邻粒子之间的热纠缠总是随着磁场b 的增强而减弱。有趣的是，在b 增大到一定程度时，次近邻粒子间的纠缠会出现一个最大值。不考虑边界条件时，当系统中粒子数增大到很多时，最近邻粒子之间的纠缠将会随之减小并趋近于一个常量。最近邻粒子之间的常数纠缠在开放式边界条件下比在周期性边界条件下的要大得多。在量子隐形传态的研究中，量子通道在信息传递过程中的保真度是作为该量子通道优劣的一个评判标准。本文讨论了非均匀磁场中各向同性海森堡链模型作为量子通道进行量子隐形传态时的保真度。通过理论分析得到了量子通道的保真度的表达式，研究了外部磁场的非均匀性对保真度的影响。结果表明，要得到高保真度，磁场的非均匀性应该比较小并且量子通道所处环境的温度要比较低。关键词：纠缠，海森堡链，边界条件，保真度作者：朱燕指导教师：朱士群量子自旋系统中的纠缠和保真度英文摘要a b s t r a c ti nt h i sp a p e r , w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lt h e o r i e si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y t h e s et h e o r i e si n c l u d eq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mc o m p u t a t i o n s ，a n df i d e l i t i e s ，e t c w ep r o p o s es o m es c h e m e so f q u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n su s i n ge n t a n g l e m e n ta n dr e v i e ws o m em e t h o d so fe v a l u a t i n ge n t a n g l e m e n t w ei n v e s t i g a t ei nd e t 萄lt h ep r o p e r t i e so fs o l i ds t a t eq u a n t u ms y s c c m m eh e i s e n b e r gs p i nc h a i ns y s t e m t h ea p p l i c a t i o n so fh e i s e n b e r gs p i nc h a i ni nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r ya r ed i s c u s s e d i nm a n yr e a ls p i ns y s t e m s ，t h e r ea r ec o m p l i c a t ee n e r g yl e v e l s t h e s es p i ns y s t e m sa r eu s u a l l ym o d e l e db ys p i n - s ( s l 2 ) q u a n t u ms y s t e m s i nv i e wo fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h ee n t a n g l e m e n ti na na n i s o t r o p i cs p i n - 1h e i s e n b e r gc h a i nw i t hu n i f o r mm a g n e t i cf i e l di si n v e s t i g a t e d t h eg r o u n d - s t a t ee n t a n g l e m e n tw i l lu n d e r g od i f f e r e n tk i n d so ft r a n s i t i o n sw h e nt h ea n i s o t r o p yc o e f f i c i e n taa n dt h ea m p l i t u d eo ft h em a g n e t i c & l dba r ev a r i e d t h et h e r m a le n t a n g l e m e n to f t h en e a r e s tn e i g h b o r i n ga l w a y sd e c l i n e sw h e nbi si n c r e a s e dn om a t t e rw h a tt h ev a l u eo ft h ea n i s o t r o p yi s i ti sv e r yi n t e r e s t i n gt on o t et h a tt h ee n t a n g l e m e n to f t h en e x tn e a r e s tn e i g h b o r i n gc a nb ei n c r e a s e dt oam a x i m u mv a l u ea tc e r t a i nm a g n e t i cf i e l d r e g a r d l e s so f t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h en e a r e s tn e i g h b o r i n ge n t a n g l e m e n ti sa l w a y sd e c r e a s e da n da p p r o a c h e st oac o n s t a n tv a l u ew h e nt h es i z eo f t h es y s t e mi sv e r yl a r g e t h ec o n s t a n tv a l u eo f o p e nb o u n d a r yc o n d i t i o ni sm u c hl a r g e rt h a nt h a to f p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n i nt h ei n v e s t i g a t i o n so fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n , f i d e l i t yo ft h eq u a n t u mc h a n n e li sa ni m p o r t a n ts t a n d a r df o re v a l u a t i n gi t sq u a l i t yi nt r a n s m i t t i n gq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h ef i d e l i t yo ft h eq u a n t u mt e l e p o r t a t i o ni sd i s c u s s e dw h e na ni s o t r o p i ch e i s e n b e r gs p i i lc h a i ni nan o n - u n i f o r mm a g n e t i cf i e l di su s e da saq u a n t u mc h a n n e l t h ee x p r e s s i o no ft h ef i d e l i t yo ft h eq u a n t u mc h a n n e li sd e r i v e db yt h e o r e t i c a la n a l y s i s t h ee f f e c t so ft h ei n h o m o g e n e i t yo ft h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l do nt h ef i d e l i t ya r ei n v e s t i g a t e d i ti sf o u n dt h a tt h eh i g hf i d e l i t yc a nb ea c h i e v e di ft h ei n h o m o g e n e i t yo ft h em a g n e t i cf i e l di ss m a l ln量子白旋系统中的纠缠和保真度英文摘要a n dt h ee n v i r o n m e n t a lt e m p e r a t u r ei sl o wk e y w o r d s ：e n t a n g l e m e n t , h e i s e n b e r gs p i nc h a i n , b o u n d a r yc o n d i t i o n , f i d e l i t y1 1 1w r i t t e nb y ：z h uy a hs u p e r v i s e db y ：z h us h i q u n苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明学位论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。研究生签名：来堑日期：2 查2 ：圣：i 2研究生签名：水池日期：2 鲤2 ：圣：2 f学位论文使用授权声明苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。研究生签名：导师签名：日期：日期：量子自旋系统中的纠缠和保真度第一章引言第一章引言1 1 自旋系统在量子信息中的应用量予通信和量子计算是新近发展起来的信息领域的前沿学科。而自旋系统在量子通信和量子计算领域中显示了广阔的应用前景，自旋系统可以成为实现量子逻辑门常用的固体材料，也可以作为量子通道传输量子态。自旋系统【l ，2 】是固态物理的理论和实验研究的重要系统之一。近年来，随着量子通信和量子计算技术的发展，固态物理中的自旋系统作为实现量子通信和量子计算技术的基础，受到了人们的广泛关注。利用自旋系统进行量子通信和量子计算的方法一般有以下两种：一是利用态在自旋链上的动力学演化来实现【3 ，4 】；另一种是利用自旋链中粒子之间的纠缠来实现【5 8 】。后者也常用于充当量子通道进行量子态隐形传态。因此研究量子纠缠随自旋系统本身性质和外部条件变化的情况也成了近年来的研究热点之一，例如，边界条件的影响 9 】，磁场不均匀性的影响等等。目前，自旋系统成为量子信息的重要基体材料，是因为和其它系统相比，自旋系统拥有很大的优越性。首先，自旋系统是固态系统，便于集成。第二，同一个自旋系统既可以作为量子通道传输信息，也可以设计成量子逻辑门进行逻辑处理，进行量子计算就不需要接口。因此自旋系统在量子信息的发展中显示出广阔的应用前景，成为近年来研究的热点之一。最常用的自旋系统是海森堡链。上世际末，人们对自旋为1 2 的海森堡链开展了广泛的研究，目前人们投入更多的精力对信息存储量更多的高维海森堡链开展研究。人们对自旋链特性的了解已经有了丰富的成果，当前对自旋链研究关注更多的是它的应用，如实现基本的量子逻辑门，进行量子调控等等。人们预期，基于固态系统中的电子自旋，人们有望在自旋系统中成功实现量子计算 1 0 ，1 1 。量子自旋系统中的纠缠和保真度第一章引言1 2 保真度保真度 1 2 - 1 5 1 是量子信息科学中一个重要的物理量，它可以用来衡量量子隐形传态的性能，表征信息在传输过程中保持原来状态的程度。研究量子信息传递的过程，必然要考虑保真度问题。在不同的自旋模型中，粒子之间的耦合强度、电子自旋等特性都存在着差异。这些因素也会间接影响自旋链中的纠缠，从而影响到自旋链作为量子通道进行量子态传态时的保真度。为了增大量子隐形传态过程中的保真度，人们一直在寻找一种合适的自旋链模型作为量子通道，并试图通过改变磁场大小等外部条件来实现高保真度。1 3 本文研究的目的和主要内容利用自旋系统中粒子之间的纠缠是实现量子通信和量子计算的重要方法，同时也是进行量子隐形传态常用的方法。由于海森堡链是固体材料中一种重要的自旋系统，因此本文主要针对自旋系统中的主要模型之海森堡链进行了研究。我们的研究内容主要分为两大部分，首先，根据度量纠缠的常用方法，讨论了影响自旋系统中纠缠变化的因素。其次，试图通过找到一种合适的海森堡链模型进行量子态的隐形传态。在第一部分中，本文从实际应用的角度出发，结合n e g a t i v i t y 的方法，讨论高维海森堡自旋链中的纠缠问题。我们发现处在低温条件下的各向异性的一维海森堡链中，当改变各向异性系数和磁场强度b 时，基态之间的纠缠会经历不同的跃迁。无论怎样改变的数值，最近邻粒子之间的热纠缠总是随着磁场b 的增强而减弱。有趣的是，在b 增大到一定程度时，次近邻粒子之间的纠缠会出现一个最大值。另外我们还考虑了不同边界条件对该海森堡链中纠缠的影响。我们发现，如果系统中粒子数增加到很多时，最近邻粒子之间的纠缠将会随之减小并趋近于一个常数。通过比较最近邻粒子之间的纠缠在开放式边界条件和周期性边界条件下的情况，我们发现最近邻粒子问的纠缠在开放式边界条件下比在周期性边界条件下的要大得多。2量子自旋系统中的纠缠和保真度第一章引言在第二部分中，本文对自旋系统作为量子通道时的保真度进行了分析。在量子隐形传态的研究中，量予通道在信息传递过程中的保真度是作为该量子通道优劣的一个评判标准。本文中选择了非均匀磁场中各向同性的海森堡模型，我们通过对该海森堡链作为量子通道进行量子态隐形传态时的保真度的研究，来判断该海森堡链是否可以充当良好的量子通道。我们通过理论分析得出了量子通道的保真度的表达式，结合数值计算的方法，我们研究了外部磁场的非均匀性、温度等因素对该海森堡量子通道的保真度的影响。我们发现如果磁场的非均匀性比较小并且量子通道所处环境的温度比较低时，各向同性的海森堡链作为量子通道时具有较高的保真度。因此该海森堡链在适当条件下是一种良好的量子通道。本论文主要由四个章节组成，第一章主要介绍了海森堡自旋系统的研究背景和现状。第二章简要介绍了纠缠的概念、作用，以及度量纠缠的方法。第三章从具体的海森堡模型出发，讨论了自旋为l 的各向异性的海森堡链中的纠缠，分析了温度、各向异性系数、磁场和边界条件对纠缠的影响。第四章研究了非均匀磁场中各向同性的海森堡链作为量子隐形传态的通道时，它的保真度随磁场和外部条件的变化情况。参考文献【1 】b q j i na n dv e k o r e p i n ，l o c a l i z a b l ee n t a n 四e m e n ti na n t i f e r r o m a g n e t i cs p i nc h a i n s ，p h y s r b a = v a6 9 ，0 6 2 3 1 4 ( 2 0 0 4 )【2 】f v e r s t r a e t e ，m p o p p ，a n dj i c i r a c ，e n t a n g l e m e mv e r s u sc o r r e l a t i o n si i ls p i l ls y s t e m s ，p h y s r e v l e t t 9 2 ，0 2 7 9 0 1 ( 2 0 0 4 )【3 】j e i s c r ta n dt j o s b o r n e ，g e n e r a le n t a n g l e m e n ts c a l i n gl a w sf r o mt i m ee v o l u t i o n ,p h y s g e v l e t t 9 7 ，1 5 0 4 0 4 ( 2 0 0 6 )【4 】x j i aa n ds c h a k r a v a r t y , q u a n t u md y n a m i c so fa ni s i n gs p i l lc h a i ni i lar a n d o mu a n s v e r f i e l d ，p h y s r e v b7 4 ，1 7 2 4 1 4 ( 2 0 0 6 )【5 】x c tw a n g ，e n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n r l mh e i s e n b e r gx ym o d e l ，p h y s r e v a6 4 ，0 1 2 3 1 3 ( 2 0 0 1 )量子白旋系统中的纠缠和保真度第一章引言【6 】m c a r n e s e r bs b o s e ，a n dv v e d r a l ，n a t u r a lt h e r m a la n dm a g n e t i ce n t a n g l e m e n ti nt h e1 dh e i s e n b e r gm o d e l ，p h y r e v l e t t 8 7 ( 2 0 0 1 )【7 】x h a oa n ds q z h u , e n t a n g l e m e n tt e l e p o r t a t i o nt h r o u g h1 dh e i s e n b e r gg h n i n ,p h y s l e t t a3 3 8 ，1 7 5 ( 2 0 0 5 )【8 】x h a oa n ds q z h u , e n t a n g l e m e n ti nas p i n - sa n t i f e r r o m a g n e t i eh e i s e n b e r gc h a i n ,v h y s r e v a7 2 ，0 4 2 3 0 6 ( 2 0 0 5 )【9 】n l a f l o r e n c i e ，e s s o r e n s e n , m s c h a n g ，a n di a f f l e c k , b o u n d a r ye f f e c t si nt h ec r i t i c a ls c a l i n go fe n t a n g l e m e n te n 仃o p yi n1 ds y s t e m s ，p h y s r e v l e t t 9 6 ，1 0 0 6 0 3( 2 0 0 6 )【l o 】d a a u w o o d ，gx i o n g ，m d c o o k e ，c c f a u l k n e r , d a t k i n s o n , n v e r n i e r , a n dr p c o w b u r r bs u b m i c r o m e t e rf e r r o m a g n e t i cn o tg a t ea n ds h i f tr e g i s t e r , s c i e n c e2 9 6 2 0 0 3 ( 2 0 0 2 )【1 1 d a a l l w o o d ，gx i o n g , c c f a u l k n e r , d a t k i n s o n ，d p e t i t ，a n dr p c o w b u r n ,m a g n e t i cd o m a i n - w a l ll o g i c ，s c i e n c e3 0 9 ，1 6 8 8 ( 2 0 0 5 )【1 2 】n t a k e i ，h y o n e z a w a , t a o k i ，a n da f u r u s a w a , h i g h - f i d e l i t yt e l e p o r t a t i o nb e y o n dt h en o - c l o n i n gl i m i ta n de n t a n g l e m e n ts w a p p i n gf o rc o n t i n u o u sv a r i a b l e s ，p h y s r e v l e t t 9 4 ，2 2 0 5 0 2 ( 2 0 0 5 )【1 3 】s o h , s l e e ，a n dh w l e e ，f i d e l i t yo fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o nt h r o u g hn o i s yc h a n n e l s ，p h y s r e v a6 6 ，0 2 2 31 6 ( 2 0 0 2 ) 1 4 】f v e r s t r a e t ea n dh v e r s e h e l d e ，f i d e l i t yo f m i x e ds t a t e so f t w oq u b r s ，p h y s r e v a6 6 ，0 2 2 3 0 7 ( 2 0 0 2 )【1 5 】p b u o n s a n t ea n da v e z z a n i ，g r o u n d - s t a t ef i d e l i t ya n db i p a r t i t ee n t a n g l e m e n ti nt h eb o s e - h u b b a r dm o d e l ，p h y s r e v l e t t 9 8 ，1 1 0 6 0 1 ( 2 0 0 7 )4量子自旋系统中的纠缠和保真度第二章量子纠缠的度量及其在量子通信中的应用第二章量子纠缠的度量及其在量子通信中的应用2 1量子纠缠的定义及度量纠缠的方法量子纠缠是量子世界里面特有的奇异现象。所谓“量子纠缠”，它是指不论两个粒子之间的距离有多远，一个粒子的变化都会影响另一个粒子的现象。这不仅是量子力学的基础，同时也是量子信息处理中的核心技术【l ，2 】。人们研究发现，多粒子纠缠是研制具有超级计算能力的量子计算机的必备条件。2 1 1 量子纠缠与纠缠态的定义对于两体量子系统的任一纯态l 缈) 。，可以为它指定一个正整数s c h m i d t 数，它是密度算符矶( 或岛) 中非零本征值的个数，也是纯态i ) 。s c h m i d t 分解中的项数。由此，可以给出纠缠态的另一定义是“如果一个两体量子系统的纯态f y ) 。的s c h m i d t 数大于1 ，它便是纠缠的，否则便是可分离的( 未纠缠的) ” 3 - 5 。2 1 - 2 度量纠缠的方法由于量子系统中的纠缠是量子信息中的重要资源，所以定量研究纠缠就十分重要。我们简要介绍一下度量纠缠比较常用的两个物理量。1 度量两粒子之间的混合纠缠c o n c u r r e n c e通常形成纠缠度很难计算，但对于二粒子系统，w o o t t e r s 提出并证明了一种精确计算纠缠度的方法一用c o n c u r r e n c e 来度量纠缠 6 ，7 。对于两比特密度矩阵的自旋反转态可以描述为：p = ( 仃，oo r y ) p + ( 0 0 固0 )( 2 1 )其中p 是态密度p 在子空间 f o o ) ，1 0 1 ) ，| 1 0 ) ，1 1 1 ) ) 的复共轭。若用c ( p ) 来描述两粒子量子自旋系统中的纠缠和保真度第二章量子纠缠的度量及其在量子通信中的应用混合态的纠缠度，则有：c ( p ) = m a x o ， 一如一五一厶)( 2 2 )式中丑( 汪1 , 2 ，3 ，4 ) 是约化密度矩阵r s p ( c 7 y o 盯，) p ( q o 盯，) 的本征值的平方根，而且按降序排列。当c ( p ) ：1 时，两粒子之间处在最大纠缠态；当c ( p 户o 时，表示两粒子之间没有纠缠。2 度量高自旋粒子之问纠缠- n e g a t i v 埘如海森堡模型的哈密顿量为日：二一l ( 、s , s - 。+ 酊殴。+ 2 s ；s 乙) + b s ；其中j 为耦合系数，b 为磁场强度，则态密度矩阵为：p ( d ：三唰一昙)( 2 3 )则该系统内自旋粒子之问的量子纠缠可以用n e g a t i v i t y 度量 8 ，9 ，式中z 是系统的配分函数。n e g a t i v i t y 可以表示为：( 力= 川( 2 4 )其中鸬是1 的负本征值，正是指对海森堡系统进行部分转置。当( 力 o 时，粒子之间存在纠缠，否则就没有纠缠。用n e g a t i v i t y 来度量纠缠，不但适用于两粒子量子体系，而且还可以推广对多粒子量子体系 1 0 。2 2 量子纠缠在量子通信中的应用量子隐形传态是应用量子纠缠特性进行量子态的远距离传输，也是量子信息学研究的重要内容【1 ，2 】。为了实现远距离量子态隐形传态，人们需要事先让距离遥远的两地共同拥有最大的“量子纠缠态”。假设a l i c e 希望传输给b o b 一个量子位态l 口) ，如果a l i c e 已经知道态i 口) 是什么，那么她只要把有关态i 口) 的经典信息传达给b o b ，b o b 就可以在他的量子位上重现出这个态i 口) ，这就是经典的信息传输的方式。但是6量子自旋系统中的纠缠和保真度第二章量子纠缠的度量及其在量子通信中的应用如果态i 口) 是未知的，a l i c e 当然不能为获得关于态i 口) 的信息而测量这个量子位，因为她的测量可能引起这个态的不可逆坍缩。而她也不可能克隆它，去测量它的拷贝，因为这也和未知量子态不可克隆定理相矛盾。唯一的方法就是把这个处在i 口) 态的位原封不动地发送给b o b ，或者把这个位的态变换到另一个量子系统中去。利用量子纠缠，可以实现不发送任何量子位而把量子位未知态i 口) 发送出去。这就是量子隐形传态方桑的想要实现的目的。以一个简单例子来说明量子隐形传态的全过程。假设a l i c e 和b o b 各拥有一个处在最大纠缠态l 妨= 1 x 压- ( 0 0 ) + 1 1 1 ) ) 中的量子位，a l i c e 希望发送一个量子位的未知i 口) 态：i 口) = a l o + b 1 1 ) ，其中a 和b 是未知系数。现在全部三个量子位的初态是i p ，0 ) = i 口) i ) = 万1i 口) o o ) - i - 1 1 1 ) ) = 弓手( 4 0 0 0 ) + b l l 0 0 ) + a 1 0 1 1 ) q - b l l l l ) ) ( 2 5 )、f 二、，上a l i c e 对前两个量子位( i 口) 态和她所拥有的处于最大纠缠态的量子位) 施行控制非门操作，即实现如下转换：1 0 0 ) 寸1 0 0 ，1 0 1 ) 寸1 0 1 ) ，1 1 0 ) - - 1 1 1 ) ，1 1 1 ) 斗1 1 0 ) ，则可以得到杰：) = _ 7 1 寻0 1 0 0 0 ) + b l l o + 口l o l l ) + 6 1 1 0 1 )( 2 6 )v 二接着对第一量子位施用h a d a r n a r d 门日伊素朴l m 变换则可以得到态：叫1 ) 2 万i ( j o ) - 1 1 ) )i ) = 争1 口i o o o ) + 口1 1 0 0 ) + b 1 0 1 0 ) 一b 1 1 1 0 ) + 口1 0 1 1 ) + 口1 1 1 1 ) + b l o 。1 ) 一b 1 1 0 1 ) ( 2 7 )然后a l i c e 对态i 缈：) 中的前两个量子位实行一次测量，则i ：) 态等概率地坍缩到i ) = 丢t l o o ( 口i o + 6 1 1 ”+ 1 1 0 ) ( 口i o ) 一b 1 1 ) ) + 1 0 1 ) ( 。1 1 ) + 6 1 0 ) ) + 1 1 1 ( 4 1 ) 一6 j o ) ) 】( 2 4 )中的四个叠加态之一上，并给出了a l i c e 所拥有的前两个量子位的态的信息。此后a l i c e 只需通过经典信息通道把前两个量子位态的经典信息告诉b o b ，b o b 就可以通过7量子自旋系统中的纠缠和保真度第二章量子纠缠的度量及其在量子通信中的应用适当的操作把他自己拥有的量子位变为a l i c e 希望发送给他的量子态i 口) 。上述方法的结果是i 口) 态从a l i c e 那里消失，并经过一个滞后时间( 即经典通讯及b o b 的操作时间) 出现在b o b 那里。值得指出的是，上述过程对任意纯态和混合态都适用。因此通过隐形传态可以传输任意复杂的量子态。参考文献【l 】李承祖，黄明球，陈平形，梁林梅，量子通信和量子计算，国防大学出版社，2 0 0 0【2 】张永德，吴盛俊，侯广，黄民信，量子信息论物理原理与某些进展，华中师范大学出版社，2 0 0 2【3 】a e i n s t e i n , b p o d o l s k y , a n dn r o z e n , c a nq u a n t u m - m e c h a n i c a ld e s c r i p t i o no fp h y s i c a lr e a l i t yb ec o n s i d e r e dc o m p l e t e ? ，p h y s r e v 4 7 ，7 7 7 ( 1 9 3 5 )【4 】e s c h r o d i n g e r , d i eg e g e n w a r t i g es i t u a t i o ni nd e rq u a n t e n m ec h a n i k , n a t u r w i s s 2 3 ，8 0 7 ( 1 9 3 5 ) 5 】j s b e l l ，o nt h ee i m t e i n - p o d o l s k y - r o z a np a r a d o x ，p h y s i c s1 ，1 9 5 ( 1 9 6 4 ) 6 】s h i la n dw k w o o t t e r s ，e n t a n g l e m e n to f ap a i ro f q u a n t u mb i t s ，p h y s r e v l e t t 7 8 ，5 0 2 2 ( 1 9 9 7 )【7 】w k w o o t t e r s ，e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o no fa na r b i t r a r ys t a t eo ft w oq u b i t s ，p h y s r e v l e t t 8 0 2 2 4 5 ( 1 9 9 8 )【8 】gez h a n ga n ds s l i ，t h e r m a le n t a n g l e m e n ti nat w o - s p i n q u t r i ts y s t e mu n d e ran o n u n i f o r me x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ，a t x i v ：q u a n t - p h 0 5 0 9 0 1 4 ( 2 0 0 5 )【9 】a p e r e s ，s e p a r a b i l i t yc r i t e r i o nf o rd e n s i t ym a t r i c e s ，p h y s r e v l c t t 7 7 ，1 4 1 3 ( 1 9 9 6 )【l o a r u s h ad e v i ，r p r a b h u , a n da k r a j a g o p a l ，c h a r a c t e r i z i n gm u l t i p a r t i c l ee n t a n g l e m e n ti ns y m m e t r i cn q u b i ts t a t e sv i an e g a t i v i t yo fc o v a r i a n c em a t r i c o s ，p h y s r e v l e t t 9 8 ，0 6 0 5 0 1 ( 2 0 0 7 )量子自旋系统中的纠缠和保真度第三章量子自旋系统中的纠缠第三章量子自旋系统中的纠缠本节主要讨论在高维系统自旋为l 的各向异性海森堡模型中的两种不同系统中的纠缠，即低温情况下的两粒子反铁磁系统和多粒子反铁磁系统中粒子之间的纠缠问题。我们运用n e g a t i v i t y 的方法，在两粒子系统中通过求解哈密顿量h 的本征值、本征态和密度算符，对其进行理论分析和数值计算，给出了在两粒子情况下纠缠随外磁场b 和各向异性参数的变化关系，发现粒子之间的纠缠是一种呈现阶梯状的分布。我们还研究了多粒子体系中纠缠随外界因素，如磁场和各向异性参数等的变化关系。以六粒子系统为例，我们分别对近邻和次近邻粒子之间的纠缠作了讨论，通过数值计算给出了不同情况下纠缠的变化趋势。3 1 自旋系统中的纠缠纠缠，作为量子系统中的基础特性，在量子通信和量子计算中起着重要的作用【1 5 】。特别是近几年来，对二能级固态系统中的纠缠性质【6 ，7 】研究讨论显示：在固态系统中通过粒子间的纠缠能实现量子计算和良好的量子态转移【1 l 】。在凝聚态物质系统中，自旋为1 2 的模型是低温情况下存在各种形式纠缠的粒子系统。曾经有学者讨论过用自旋为1 2 的链实现量子隐形传态 6 ，1 2 1 4 】。讨论的自旋链范围很广，既包括有限维的自旋粒子体系 1 5 1 8 ，也包括无限维的白旋粒子体系 1 2 ，1 9 - 2 3 1 。研究还发现，在这种自旋链体系中，外界因素，如磁场强度的变化，能引起基态能级的跃迁 2 2 ，2 3 ，从而引起纠缠特性发生显著变化。量子通信和量子计算的运行环境很难保证达到绝对零度，因此温度对系统中粒子之间纠缠的影响是很难避免的，所以对处在任意热平衡态的量子系统中纠缠的研究也很多 6 ，1 2 】。另外，非均匀磁场和粒子间相互作用的强弱对自旋链( 自旋l 陀的海森堡模型) 中的纠缠也有影响 1 3 ，2 4 1 。为了从实验上证实纠缠的存在，人们通常把能量当作判定纠缠存在的判据 2 2 ，2 5 ，2 6 1 。然而，很多自旋链系统有着复杂的能级结构，通常用自旋为s ( s 1 2 ) 的量子系统模型来表示【6 ，2 7 - 2 9 。由于内在结构的不同，高维量子系统和两维量子系统明显会有差别。对于自旋为1 的海森堡量子系统，他们的态图表，磁场和热学性质是独特9量子自旋系统中的纠缠和保真度第三章量子自旋系统中的纠缠的【2 7 】。因此很有必要分析其纠缠性质，以便于进一步研究和实现高维系统中的量子计算和量子通信。3 2 自旋为1 的各向异性海森堡链中的纠缠3 2 1 基态的纠缠对于在均匀磁场中的粒子数为l 的自旋为l 的各向异性海森堡链的一般模型，考虑到基态在量子系统中有着非常重要的作用，因此，我们首先研究粒子处在基态时的纠缠问题。在均匀磁场b 中，哈密顿量可以表示为：日= 窆妥协，+ 酊殴。+ 2 丛j 配。) + 孵( 3 1 )l f f i l 厶其中辞是第i 个自旋粒子的升降算符，研是自旋算符的z 分量，为了方便，用 l o ) ，卜_ 1 ) 来表示鲜分别对应于本征值为1 ，0 ，1 的本征态。磁场b 沿着z 轴方向，j 为耦合系数，当j 0 时是为铁磁情况，当j ，一1 ) j 1 ) ) + 6 一i o ) 1 0 ) ，( 3 4 )其中x = 丢( - 而) 6 = 1 币了五覃，q = 垃丘。从方程( 3 2 ) ( 3 4 ) ，可以求出处于基态的两个自旋粒子之间的纠缠，用n e g a t i v 衄n ( p ) 来表示。00l抛坳一一一啦娜+一一+一dqd嘭一一一江npp江三砸一|以三讵土讵三讵量子自旋系统中的纠缠和保真度第三章量子自旋系统中的纠缠各项异性系数和磁场b 对n 的影响如图l 所示。图i ( a ) ：l - - - 2 ，j = 4 时，基态纠缠随磁场b 和各向异性系数的变化关系图。图1 ( b ) ：l - - - - 2 ，j = 4 时，磁场b 和各向异性系数变化时出现基态跃迁的三种不同情况。从图1 ( a ) 中司以看出，基态纠缠随看磁场b 受化时，对采一个特定的各向异性系数会经历两次跃迁。这个独特的性质可以认为是磁场b 的变化引起了基态的跃迁来解释。根据公式( 3 4 ) ，我们可以知道，当b 从b = 0 逐渐增大时，基态会从i y 。) 变化到i ，) ，再从i c ，) 变化到i ，) 。对于反铁磁情况( j o ) ，经过简单的理论分析，我们可以得到基态i ) 。r的跃迁情况：i i )o _ b - 2 j + j ( a + 2 + 8 )j 妒) 删= i )一2 j + j ( a + i 2 + 8 ) b 2 “1 + )( 3 5 )l i y ，)占u ( 1 + )图l ( b ) 清楚地反映了基态的跃迁在参量b 和平面上的关系。在区域r l ，基态处在态i 。) ，达到最大纠缠。在区域r 2 ，基态处在态1 ) ，此时还存在一定程度的纠缠。当在区域r 3 时，不存在纠缠，此时基态处于非纠缠态i ，) 。由此可见，基态的跃迁量子自旋系统中的纠缠和保真度第三章量子自旋系统中的纠缠同磁场b 和各项异性常数的变化有着紧密的联系。3 2 2 有限温度下的纠缠在现实生活中，由于系统存在一定的温度，所以温度就不可避免会对纠缠产生影响，我们有必要研究自旋为1 的海森堡模型在任意温度下的纠缠。在温度t 时，热平衡态可以用本征态i ) 和本征值e 展开如下：13 lp ( 丁) = e x p ( 一局r ) i 奶) ( l( 3 6 )i = l其中z = e x p ( - e , t ) 。同样，我们也考虑粒子数l = 2 的简单情况。根据方程( 3 4 )，的理论结果，我们很容易求得热平衡态p 的表达式。为了度量热纠缠，我们在空间h中对态密度矩阵p 部分转置，得到部分转置矩阵为：严；吾其中a i 如下式所示：a t0 00 如000 如0a t0 00a 500000a00o000000 , 4 4000a 70a 2000a s000 如0a 5000a t o000000000 也00000a 7000a m0a 3000a 000a 1 1( 3 7 )量子自旋系统中的纠缠和保真度第三章量子自旋系统中的纠缠4 = er ，4 = l er 一二pr224 ： p 等懈e 等+ z e 等，4 ：昙岁+ 昙p 半4 = 二pr 斗讼：r + 口2r ，4 ：三pr + 二prj十一74jx+4jx_12 j a4jx+4jx_4 = q 6 + pr + 口b _ er ，以= 去er + p7 + a 2 _ er! 生竺! 曼兰兰( 3 8 )4 = q 6 + pr + 口垃pr ，4 = b 2 e7 + b 2 er4 = 主e 半半 = 三岁+ 三岁以= 产通过数值计算，我们可以得到l = 2 时，两粒子之间纠缠受温度t 和各项异性系数图2 ：在某一磁场强度b ，当l - - 2 ，j = 4 时热纠缠随温度t 和各向异性系数变化的关系图。( a ) b = 5 2 j 。在图2 中，我们可以观察到，随着温度t 的升高，纠缠逐渐减小，最后当t 达到某一数值时，纠缠会消失。纠缠消失的临界温度随着的增加而增大。在图2 ( a )中，展示了在b = 5 ，最后变为i ) 。在图2 ( b ) 中，展示了在b = 1 0 2 j 情况下n e g a t i v i t y迟n 一( t ，a ) 的关系图。在低温时，n 只存在一个峰，纠缠的峰值为0 5 左右，此时的范围在o 2 5 到1 0 之间。因此当纠缠从o 5 到消失的过程中，基态只可能从l ) 转变为 缈，) 。从图2 ( a ) 和图2 ( b ) 中还可以看出，当磁场b 发生变化时，n和t 、的关系也会发生变化。这是因为当磁场b 发生变化到一定程度时，基态会发生跃迁，从而产生不同的纠缠。当自旋粒子数l 2 时，很难通过解析求解纠缠度n e g a t i v i t y n 。这里，我们通过数值计算求解周期性边界条件下，近邻和次近邻粒子之间的纠缠n 随着b 和的变化情况，多粒子的n 随b 和的变化情况画在图3 中。bb图3 ：多粒子系统l = 6 ，j = 4 时，粒子间纠缠随磁场强度b 的变化情况。( a ) 最近邻粒子间纠缠随磁场强度b 的变化情况；( ”次近邻粒子问纠缠随磁场强度b 的变化情况。在图3 ( a ) 中，描述了最近邻粒子之间的纠缠的情况。从图3 ( a ) 中可以看出，最近邻粒子之间的纠缠随着的增加而增强，随着磁场b 的增加而减弱。在各向异性系数a 0 时，最近邻粒子间的纠缠是主要的部分，而其它粒子间纠缠如次近邻粒子间纠缠相对比较弱。在图3 ( b ) q u ，描述了次近邻粒子间的纠缠的情况。从图3 可量子自旋系统中的纠缠和保真度第三章量子自旋系统中的纠缠以看出，纠缠n 中存在一个峰值。当增加时，峰值的位