（课程与教学论专业论文）关于数感及初中生数感培养的研究.pdf

摘要 数感和数感教学问题是近些年来国内外数学教学研究中的热点 问题之一。 全文共分五大部分。 第一部分主要是介绍研究的背景。在综合国内外一些关于数感和 数感认识研究文献的基础上，作者归纳出对数感的认识可划分为四个 层面：首先，数感是一种关于数字( 量) 的感受、感觉；其次，数感 是一种数觉，以直觉、无意识来突出数感对数字信息加工的快速反应 特征；再其次，数感是一种数学心智技能；最后，数感是一种能力。 第二部分从数学教育理论的角度来进一步剖析数感的本质特征， 数感形成的心理学、思维论基础以及中学生数感培养的意义探析。从 数学教育理论上剖析数感，可以看到：数感是数学与现实联系的桥 梁；数感是人的一种基本的数学素养：数感是数学活动的基础；数感 是一种重要的数学技能；数学化是数感提出的理论依据。从心理学、 思维论的角度探析数感，可以发现：数学知识是数感产生的先决条件： 抽象逻辑思维、直觉思维是数感产生的必要前提：形象思维是数感发 生作用的本质表现。 培养数感从数学教育理论上讲，建立数感是学会“数学地”思考 的一个方面，数感的培养有利于学生对于数学知识的自我建构；从现 实意义上讲，培养学生的数感是社会发展的需要，数感的培养有利于 发展学生的创新精神和实践能力。 第三部分是关于初中学生数感现状的调查与分析。该调查主要采 用问卷的方式，结合观察法、访谈法进行。问卷设计从标准对数 感的主要表现界定。通过调查，数感培养存在以下几个问题：数感培 养脱离现实生活情境；传统教学观念阻碍交流，抑制学生思维的发 展；教师过分强调知识传授和技能掌握而忽视能力素质的培养；过度 模仿影响学生数学能力的提高。 第四部分和第五部分是关于培养数感的策略研究和对数感培养 的若干思考。数感作为一种内隐的、非结构的程序性知识，它的建立 不是一蹴而就的，在教学中应从以下几个方面着手：结合现实生活情 境，引导学生建立数感；转变教学观念，让学生在表达与交流中形成 数感；强调“双基”，在比较与估算中进一步发展数感；正确对待重 复演练与变式教学，在解决问题中升华数感。同时，在教学中应注意： 数学教学观念的转变是数感培养的关键；培养数感应帮助学生从多方 面认识数感的应用价值；让学生在数学语言和日常语言的互译中进一 步发展数感。 关键词：数感，直觉，培养，研究 a b s t r a c t r e c e n t l yn u m b e rs e n s ea n di m m b e r s e n s et e a c h i n ga r ep o p u l a r p m b l e m so f m 灿a 缸c st e a c h i i l gr e s e a r c hi nh o m e 锄do v e r s e a s 1 1 l e r ea r ef i v es e c t i o n so f t l l i sp a p e r i ns e c t i o n1 w ei n 仃o d u c em o s t l yt h eb a c k 伊d u n do fr e s e a r c h a sh a s b e e ne m p i l a s i z c di nm el i t e r a t i l r ei nh o m ea n do v e r s e a s t h ea u t h o r d i v i d e st h ec o g n i t i o no fn u m b e rs e n s ei n t of o l l rp a r t s ：f i r s t l y n u m b e rs e n s e i sas 钮s eo fn u n l b e r ；s e c o n d l y n u m b e rs e n s ei san 岫e r i c a ls e l l s ew h i c h e i n p h a s i z e st h e 咖r eo fr 印i dr e s p o n s ef 研n 眦b e rc o m m u i l i c a t i o n m a c h i n i n gb yi n t u i t i o na n dl l i i c o 璐c i o 啪e s s ；m i r d l y n 岫b e rs e n s ei sa l ( i n do fm e n t a ls k i l lf b rm a t l l m a t i c s ；f i n a l l y n 啪b e rs 伽l s e ：i sab n do f a b i “坝 s e c t i o n 2t a | ( e sa p a nt l l ee s s c eo fn u m b e rs e l l s ei nt h ee d u c a t i o n a l m e o r yo fm 砒m m i c s m ep s y c h o l o g y t h i n k i n ge l e m e n t sf o rn 嘲b e rs 曲s e f o m i n g a sw e l la st h em e a n i n go fn u m b e rs e 璐et r a i n i n gt ol i l i d d l e s c h o o ls t u d e n t s f r o me d u c a t i o n a lm e o r yo fm a t l l l l l a t i c s n u m b e rs e n s e h a sm a d eb r i d g eb e t w e e nm a m m a t i c sa n dr e a l i s t i cr e l a t i o n ；i ti sal ( i n do f b a s i cm a t h sa c c o 呷l i s h m e n to fp e o p l e ；n u m b e rs e n s ei st h ef o l i i l d a t i o no f m a m m a t i c s a c t i “t y 锄dal ( i n do fs i g n i f i c a n tm a t h m a t i c ss l ( i l l m a m m a t i c s s p e c i a l i z a t i o n i st h et l l e o r e t i c a l 百s t t 0n 岫b e rs e l l s e a d v a i l c e d f m mp s y c h o l o g ya i l dt h i i l k i n ge l e m e n t s ：m a t h sh o w l e d g ei s p r e c o n d i t i o n f o rn u m b e rs e n s e sc o m i n gi n t o b e i n g ；a b s 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t u d e n t s t h es u r v e yw a sm a d em o s t l yb ya m o d e0 fq u e s t i o n n a i r ec o l b i n e d 谢mo b s e a t i o n a lm e t h o d s锄d i n t e i e 、mt h eq u e s t i o 衄a i r ed e s i g n e do nt h e 粤d u n do fm ep r i m a r y p r e s e m a t i o no fn u m b e rs e n s eb yt h es f 日门出碰t t l r o u g hs u r v e y w ef i n d t l l e r ea r es e v e r a lp r o b l e m sf o rn u m b e rs e n s e 订a i n i n ga sf o l l o w s ：n u m b e r s e n s et r a i n i n gh a sb r o k e nt h el “i n gc i r c u m s t a n c e s ；仃a d i t i o n a lt e a c h i n g c o n c e p tl i m i t sc o m m u n i c a t i o n a n dc h e c k sm em i n k i n gd e v e l o p m e n to f s t u d e n t s ；t h et e a c h e re m p h a s i z e se x c e s s i v e l yt h ek n o w l e d g ei n “i a t i n ga n d s k i l lm a s t e r i n gw h i l ei g n o f i n gt i l e 仃a i n i n gf o rm e i rm 出i n g so fa b i l i t y ； i m i t a t i n ge x c e s s i v e l yw h i c hh a s a f f b c t e ds t u d e n t sa d 、协n c ei nm a t h s a b i l 时 s e c t i o n4 & 5a r er e l a t e dt ot h es 仃a t e g yr e s e a r c hf o rn u r i i b e rs e n s e a n ds o m e m o u g t l to fn u m b e r s e n s e俩n i n g a sb e e nal ( i n do f r i n n e r o b s c u r e u n s t r u c t u r a l p r o 铲a mk n o w l e d g e n u m b e rs e n s ei s n t e s 讪l i s h e di na i la c t i o n w es h o u l dt a ：k em e a s u r e si n t e a c h i n ga sf o l l o w s ： e s 协l i s ht h en u m b e rs e n s ei nt h el i f ee x p e r i e n c e ；c h a n g et l l e c o n c e p to f t e a c h i n gp h i l o s o p i l y 觚df o r mt h en u m b e rs e n s ei i lt h ee x p r e s s i o na n d c o m m 眦i c a t i o n ；s 仃e s s “d o u b l eb a s e ”a i l dd e v e l o pt h en u m b e rs e n s ei nt h e c o m p a r i s o n锄de s t i m a t i o n ；t r e a t ec o r r e c yr e p e a t e de x e r c i s e ，v a r i a n t t e a c h i n ga n ds u b l i m a t et h en u m b e rs e n s ei ns o l v i n gp r o b l e m s a tt h e s a m et i m e ，、es t l o u i dp a ya t t e n t i o ni nm et e a c h i n g ：m e 觚l s f o r m a t i o nt o m a t h e m a t i c st e a c h i n gi d e ai sak e yt on u m b e rs e n s e 妇n i n g ；w es h o u l d h e l pt h es t u d e n t su n d e r s t a l ma p p l i c a t i o nv a l u ef o rn u m b e rs e i l s e 矗o m v a r i o l l sw a y s ；l e tt h es t l l d e n t 如r t h e rd e v e l o pm en u m b e rs e i l s ei nt h e e x c h a n g eo f 觚曲锄a t i c a ll i i l g u i s t i c sa n d 瓠l yl a i l g u a g e k r e yw b r d s ：n u m b e rs e i l s e i n t u i t i o n 仃a i l l i i l g r e s e a r c h v 关于数感及其初中生数感培养的研究 1 1 问题的提出 第一部分引言 数感和数感教学问题是近些年来国内外数学教学研究的热点问 题之一。例如，美国学校数学标准委员会( c o m m i s s i o no ns t a n d 砌s f - o rs c h o o lm a t h e m a t i c s ，1 9 8 7 ) 提出了数感是有效的数学教学计划的 成份之一，并将学会数学地推理；学会数学地交流；具有数学地解决 问题的能力作为其基本目标的一部分。在我国，2 0 0 0 年九年义务 教育全日制初级中学数学教学大纲( 试用修订版) 指出：数学教学 要让学生能够解决实际问题，包括能够解决带有实际意义的和相关学 科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用 数学语言表达问题、展开交流，形成用数学的意识。2 0 0 1 年最新颁 布的全臼制义务教育数学课程标准( 实验稿) ( 以下简称标准) 对于课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号 感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力，并在总体目标 中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建 立初步的数感和符号感，发展抽象思维”的思想。并且在内容标准 的几个阶段都阐述了培养学生数感的问题。“数感 不是一个新的概 念，但“标准明确把它作为数学学习的内容提了出来，作为课程内 容加强点之一，而且十分强调和重视如何理解数感，让学生在数学学 习过程中建立数感的问题，这是有其特殊意义的。 郑毓信数学教育从理论到实践：热点透视与个案点评【m 】上海：上海教育出版社，2 0 0 1 1 2 5 。 中华人民共和国教育部制订九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲( 试用修订版) 【m 】北京：北京师范大学出版社，2 0 0 l ：4 。 中华人民共和国教育部制订全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【m 】北京：北京师范 大学出版社，2 0 0 3 ：4 6 。 硕士学位论文 1 2 文献综述 对数感的系统研究是近些年的事情，主要有以下观点： 最早是c 唧e n t e r 和他的同事( 1 9 7 6 年) 在分析n a e p 数据在估 算上的作用之后，得出结论：在学生能估算得好之前，他们一定发 展一种数量的直觉，一种用数字表示量的感觉。后来这种关于数量的 直觉被称为数感。 美国数学教师协会( n c t m ，1 9 8 9 年) 制定的中小学课程和评量 标准中关于数感的阐述为：“数感是一种关于数字的直觉，它从数 字的所有不同意义的表述得以表现”。 j u d i t hs o w d e r ( 1 9 8 8 年) 认为数感是“一个具有良好组织的概念网 络结构，它能够使一数字和它相关的操作特性相关联，并且以灵活而 有创造性的方式解决数字问题 。 r e s n i c k ( 1 9 8 9 年) 认为对数感可以用其他的非决定论的、开放 式的推论和思考对数感进行分类。她认为数感是一种高层次的思维， 它的思维网路连结的很快，因此倾向复杂而没有一定的运算规则，它 也包含多种解答方式、不同规则的应用；它能对结果的合理性做敏锐 的判断和诠释，同时能在思考过程中自我调整。她所著的e d u c a t i o n a i l dl e a m i n gt ot h i n k ( 1 9 8 7 年) 一书，在思考的技术，关于较高思 维替换数感的描写中阐述了数感的特色。以下是她具有教育性的考 虑： ( 1 ) 数感是非算法。那是因为行动的路径不被预先完全叙述。 ( 2 ) 数感容易是合成物。总路径不是“看得见”( 心理上) 地来自 任何的单一观点的。 叶蓓蓓涠洲岛民俗文化与学生数感的形成与发展广西师范大学，2 0 0 4 。 j u d i ms o w d e s t i m a t i o na n dn 岫b e rs 饥s e 【j 】h 孤d b o o ko f r e s e a r c ho nm a l c m 撕c s t e a c h i n ga n dl c a m i n g ，1 9 9 2 ，( 4 ) ：3 7 l 一3 8 9 。 关于数感及其初中生数感培养的研究 ( 3 ) 数感时常产生，引发多样的解决，每个具有价值和优势，并 非独特的解决。 ( 4 ) 数感包括细微的判断力和解释。 ( 5 ) 数感包括多标准的运用，有时各标准之间会彼此冲突。 ( 6 ) 数感时常包括不确定。不是与任务有关的每件在手边的事 物都是己知的。 ( 7 ) 数感包括思考程序的自我规则。除了其他人在每个暂停“呼 叫游戏”的时候，我们并不意识到它在一个个体中( w r ed o n o tr e c o g i l i z e i ti i la ni i l m v i d u a lw h e ns o m e o n ee l s e “c m lt l l ep l a y s ”a te v e 眄s t o p ) 。 ( 8 ) 数感包括令人难忘的意义，发现在明显的混乱方面构成 ( i i l _ v o l v e s 插l p o s i i l gm e 砒l i i l gf i i l d i i l gs m l c t u r ei i la p p a r e n td i s c o r d e r ) 。 ( 9 ) 数感思考是需要努力的。有相当的心智工作需要包括各种苦 心经营的结果和判断。 r o b 叽r 删和b a 而猢r e y ，砧i s t a i rm c i n t o s h ，g o f a ne m 锄u e l s s o n 和b e n 殍j o n a i l s s o n ，d e rc h i n gy r 觚g 等六位学者在其对澳大利亚、瑞 典、台湾和美国的8 一1 4 岁学生数感的评定研究中( 1 9 9 9 年) 关于 数感的理解是指“对于数和运算的一般理解，连同这种能力和倾向一 起的是使用这种理解去灵活地做出数学判断，并且发展有用、有效率 的策略去处理具体的数字情境。它导致一种关于使数字变成一种有意 义实体的数字观点，以及关于数学的操作和成果可以产生感觉的期 望。 我国学者马云鹏和史炳星( 2 0 0 2 年) 认为“数感是人对数与运 算的一般理解”。在中小学数学教学中，发展学生的数感主要是指： 使学生具有运用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不 同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法( 如心算、 硕士学位论文 笔算、使用计算器) 实施计算的经验；能依据数据进行推论，并对数 据和推论的精确性和可靠性进行检验。他们认为，建立数感就是学会 “数学地”思考。 我国台湾学者d e rc h i n gy a n g ( 2 0 0 2 年) 对于数感的表述是“一 个人对于数字和运算的一般理解，以及处理日常生活中包括数字情境 的一般能力，例如：形成有用的、灵活的和有效的策略( 包括心算和 估算) 去处理数字问题。” 郑毓信( 2 0 0 2 年) 认为“数感与分别列举关于具体数量的分 辨能力、计算能力、估算能力相比，传递的是一种新的内涵。“感” 与“能力”相比含有一种“直感的涵义，突出了对于某种事物和现 象或属性或方面的敏感性，及相关的鉴别鉴赏能力；而能力通常并非 是一种自觉的过程，仿佛已经成为了主体的一种本能，一种直接的“感 知”。数感并不能完全被看成一种先天的才能，主要是后天学习的结 果，它具有发展性。 笔者认为：根据以上文献，从国内外学者对数感的研究成果来 看，可以参考徐云知著作语感和语感教学研究关于语感的三个层 次，对数感的认识似乎也可以从以下四个层面来考虑。 第一个层面：数感是一种关于数字( 量) 的感受、感觉。 “数感”一词先见于英文中的“n u m b e rs e n s e ”，s e n s e 可理解为觉 察、辨别、理解、领悟等。从这个意义上说，数感就是对数的感受、 感觉。夸美纽斯有个重要观点，就是一切知识生于感觉，一切知识都 是从感官的知觉开始的。存在心灵中的事情是没有不先存在感觉里面 的，所以心智所用的一切思想材料全是从感觉得来的，它进行思想的 方式可以叫做“内在的感觉”，对数学的内在的感觉可以称之为数学 叶蓓蓓对数感的再认识与思考【j 】数学教育学报，2 0 0 4 ，1 3 ( 2 ) ：3 4 。 关于数感及其初中生数感培养的研究 感觉。的确，在人们的学习和生活实践中经常要和各种各样的数打 交道，人们常常会有意识地将一些现象与数量建立起联系。“这间房 子真大啊，有1 5 0 平方米 ，“今天的天气太热了，一定有3 7 度”，走 进一个会场，在我们面前的是两个集合，一个是会场的座位，一个是 出席的人。有人会自然地将这两个集合做一个估计，不用计数，就可 以知道这两个集合是否相等，哪个集合大一些等等都是数感意识在起 作用。将数感定位为“感受”、“感觉是在最初级的层面上认识数感。 从这个层面上来看，具有良好数感的人能够主动地将实际问题与数联 系起来，理解和领悟数字之间的关系、相对大小以及相互作用。 第二个层面：数感是一种数觉，以直觉、无意识来突出数感对 数学信息加工的快速反应特征，旨在说明数感的本质是数学直觉的产 物。 认知心理学研究表明：数感是人的感受器对外界刺激物“数”与 “形关系的非正式反映，带有“直感”的性质，在一定程度上可以 说数感是一种数学直觉。以“直觉论 对数感定性突出强调了学习者 在不假思索的状态中驾驭数的各种要素，对情境中数的各种微妙复杂 的含义及表达效果进行直觉性的和整体性的领悟。然而从本质上来 说，数感不同于一般素朴意义上的原始直觉，它是一种精致化了的数 学意识。有的研究者也认为“数感是一种理性的直觉 。这是有一定 理论依据的。数感的作用对象是数学知识，而数学知识并非对于客观 世界量性规律性的直接研究，而是抽象思维的产物。正如我们不曾见 到作为数学研究对象的真正的“一”，只能见到某一个人、某一棵树、 某一间房等。纯粹的感觉可以感受具象而无法透视抽象，数感中积 淀和渗透着人的已有的知识经验，这种知识经验只有经过理性光辉的 黄晓学让鲜活的思想在数学课堂中流淌【j 】数学教育学报，2 0 0 5 ，1 4 ( 1 ) ：1 6 。 孔璐璐浅析数感及其培养【j 1 山东师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 5 ，2 0 ( 1 ) ：2 l 。 郑毓信，王宪昌，蔡仲数学文化学【m 】成都：四川教育出版社，1 9 9 9 1 8 。 硕士学位论文 照耀，才能使数感这种直觉性具有思维的洞察力。从这个层面上来 说，具有良好的数感就是在较短的时间内通过对数字的“第一印象” 反应为数学问题，用数去表示量，帮助主体从感知的层面转到数学思 维。 第三个层面：数感是一种数学技能。 从上面的讨论我们可以看到：从记数的数、数量的数、度量的数 三个方面来讨论了数感的感知性和直觉性。那么在这里，我们将从计 算的数的角度来进一步认识数感。在此，数被理解为按照一定法则进 行运算的对象。从这样的角度去认识，数感可被理解为：数学运算中 主体对数量关系和运算方式等分解、整合、构造的感受和领悟。它是 在对数学公式、定理、性质、公理等概念的透彻理解和熟练掌握后的 一种外显的心理现象。对数感的理解已涉及算法的层面。确实，如 果数感仅是仿造能力和对照能力，那么数感的创造性和敏捷性这种本 质属性就会被剔除，而人的数学反应也只能停留在类似条件反射水平 或定势的水平上。 认知心理学认为：动作技能从命题网络的程序性表征转化为产生 式系统的程序性知识，经过适当的变式练习，单个心智动作紧密联系 形成能自动激活的、快速的主体操作行为，这是一种理想的“技能组 块”数学表征状态。以“组块“形式表征的数学技能在运用时只需占 据少量的记忆空间，同一时间内为其他的知识、技能进入记忆提供了 思维工作空间，从而大大地提高了问题解决的效率。因此，某种程 度上可以说，数感是一种数学技能。 第四个层面：数感是一种能力。 郑毓信教授认为，数感并不能完全被看成一种先天的才能，主要 曹平数感：崭新的学习内容【j 】江苏教育，2 0 0 2 ，( 7 ) ：1 9 。 曹才翰，章建跃数学教育心理学【m 】北京：北京师范大学出版社，2 0 0 1 1 5 9 - 1 9 5 关于数感及其初中生数感培养的研究 是后天学习的结果，它具有发展性。从这样的角度来看，可以说，数 感是一种能力。 能力是对活动的进程和方式直接起稳定的调节控制作用的个体 心理特性，能力的实质是概括化、系统化的个体经验，是在活动中形 成和发展的，也是在活动中得以体现的。 数感作为数学能力的重要组成部分，数感的本质是一种类化了的 个体数学经验，是个体进行数学活动的产物。 首先，数感不是先天的，而是主体在后天的数学活动过程中形成 和获得的。数感作为一种个体的经验，不可能像陈述性知识一样以物 化的形式传递。数感更多地表现为主体在数学活动中通过学习、积累、 体验而形成的主体能力，是主体自身积极积累经验，主动建构知识的 结果。 其次，数感以或自发、或自觉、或自动的方式对数学活动的进程 和方式直接起调节、控制作用。数感实际上是一个人对数与运算把握 的能力，一旦学生形成正确的数感，学生领悟数学的能力也相应的提 高。 从能力的本质来看，克鲁捷茨基认为：能力是某项活动得以顺利 完成并且直接影响活动效果的心理特征。从数学的本质特点来分析， 学习数学的能力更多地表现为创造性数学能力。中学数学所要培养的 三大能力运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力正是属于学 习数学的数学能力。个体素质、智力和数学认知结构是数学能力形成 和发展的最基本、最直接的基础。因此，数学能力的形成当属于遗传 素质为前提、后天生活条件及个体实践起决定性作用论。从这样的角 度去认识，一定程度上，数感是一种数学能力。 徐云知语感和语感教学研究【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 4 2 0 。 转引自w w w b e i s i 啪c 0 恤。 硕士学位论文 1 3 本研究的意义及本文的主要工作 随着“数感”一词在新标准中被明确提出，越来越多的人开 始关注对数感的研究。打开i n t e m e t 浏览器或是翻开一般的数学教育 杂志，不难发现有很多关于数感的文章。如：特级教师郑审机的“崭 新的数学课程目标和学习内容：数感”，刘德宏：“数学教学中培养 学生数感的策略 ，姚继琴：“重视培养数感，提升数学素养”，刘 富森：“强化心智技能，重视数感培养 以及柴溪洪：“基于新课标下 的数感立体培养之探究”等等。 综述以上的研究，大多数都是一些中学一线数学教师从自己的 教学实践出发谈关于数感培养的问题。归结起来，从创设情境，在生 活体验中培养数感；动手操作，在实践中增强数感；在观察思考中体 验数感等几个方面来聚焦数感的培养问题。这些建议与理论为学生数 感的培养提供了不少的宝贵意见。 当然，也有一些从理论的高度对数感进行定性分析。如郑毓信教 授在“数感符号感与其它一课程标准大家谈 中从感知、观念、 能力、意识等方面深入剖析数感的本质：广西师范大学的汤服成教授、 郭海燕硕士在“数感与数感的习得”中从知识观的角度来阐述数感： 它属于知识的范畴，主要是后天习得的结果，是在大量的学习和生活 实践后积累起来的一种储存在潜意识中的内隐的、非结构的关于数与 运算方面的程序性知识，并指出数感对于数学创新能力培养的基础性 作用。而硕士研究生叶蓓蓓在“对数感的再认识与思考 中指出：数 感是以“数概念”在人脑中的扩展而产生的一种对数学问题的敏感等 竺 t ro 纵观数感及其培养策略研究的现状，总的来说，数感与数感培养 的理念已逐渐受到教育界的重视，数学教育工作者从理论和实践层面 关于数感及其初中生数感培养的研究 提出了自己的观点、建议及相应的对策。但系统地、深入地研究有待 进一步加强：理论上，对数感的本质认识有待进一步深入，对数感形 成的心理学、思维论基础有待进一步透视；实践上，数感教学的试验 尚未形成系统的研究方案，对数感教学的内容、过程和方法以及教学 组织形式的探讨还十分薄弱。基于以上原因，笔者拟在已有文献理论 的基础上，系统地梳理、总结已有的数感和数感教学研究的成果，提 出了对数感认识的四个方面( 见前面) ，进一步从数学直觉和数学形象 思维的角度深入剖析数感的本质特征及主要表现；从思维的角度探讨 数感形成的心理学基础；通过数感培养现状的调查结合分析影响数感 的因素并构建培养数感的基本模式。 硕士学位论文 第二部分关于数感的认识及培养数感的意义探析 2 1 关于数感的本质特征 任何现象的出现都不是偶然的。重视数感及数感教学的现象的出 现也有其历史的必然性。古代东方国家关注数学的实用价值和功利价 值，九章算术是最好的证明。事实上，2 0 世纪5 0 年代中期，当 我国学习苏联教学体制并且大量采用苏联数学教材时，大多数中学教 师在教学实践中都体现了某种程度的绝对主义的数学观与工具主义 的数学观。这两种有代表性的数学观念至今在我国理工科数学课堂教 学中，仍保持有市场。代数学是数学建模的基本工具之一，运用代数 方程求解应用题，更是数学建模的基本训练。我国学生学习”微积分” 课程，人们主要是把微积分作为数学分析计算工具来学习的。数学学 科“工具论”数学观的实质是以数学的工具功能来对数学学科定性的。 不可否认，这种数学观对培养大批工程科技人才虽发挥重要作用，但 同时我们也应看到“工具论”不容置疑的权威地位所产生的消极作用 的事实。“工具论”是功利主义教育目的的体现方式之一。“工具论” 指引下的学校教育过分强调实用知识的传授、计算能力和计算技能的 培养，从而忽视了运用数学知识解决实际问题能力的培养，数学教育 由最初的训练人掌握工具走上了将人训练成变相的掌握工具的工具 的歧途。这种引导人片面追求利益的教育，完全割裂了作为完整的人 的精神和肉体的统一性，使学生人格跟不上形势。数学教育的现代发 展要求我们不仅应当看到数学是一门科学语言和一种技术工具，同时 也应看到数学对于整个文化、特别是人类文明进步的重要作用。新标 准在继承传统“工具论 的同时也承认数学“是一门重要的文化载 体 ，“是人类文化的重要组成部分 。的确，信息时代的社会是数字 关于数感及其初中生数感培养的研究 化的社会，数在人们生活中起着非常重要的作用。数可以用来表达和 交流，可以帮助人们认识身边的事物，可以帮助解决生活中的问题。 目前，我国的数学教育正经历着由“应试教育”向“素质教育”的重 要转变。注重应用意识和实践能力的培养，是当前数学课程改革的要 点之一。标准认为：面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角 度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略是数学应用意识的突出 表现之一。学生将一个生活中的问题转化为一个数学问题与解决书 本上般的现成问题的思维方式有着明显的差别。注重培养学生的数 感，正是针对以往的数学教育过分强调单一的知识与技能训练，忽视 数学与现实的联系，忽视数学的实际运用倾向而提出的。从主体论的 立场来说，数感强调以人为本，尊崇学生的主体地位、主体意识，尊 重学生的人格、个性和创造精神，以人的成长与发展为根本目的。因 此，深入认识数感理念的本质以及全面落实人本主义的教育价值观是 数学素质教育的一个崭新课题。 新标准指出数感的主要表现：“理解数的意义：能用多种方 法来表示数：能在具体的情景中把握数的相对大小关系；能用数表达 和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果， 并对结果的合理性做出解释。” 笔者认为，可从以下几个方面来进一步认识数感的本质特征： 2 1 1 数感是数学与现实联系的桥梁 数学是人们认识社会、认识自然和日常生活的工具。华罗庚曾说 过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用 中华人民共和国教育部制订全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【m 】北京：北京师范大 学出版社，2 0 0 3 5 。 中华人民共和国教育部制订全日制义务教育数学课程标准【m 】北京：北京师范大学出版 社，2 0 0 3 4 。 硕士学位论文 之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。的确，数 学来源于生活，生活中处处有数学。学生学习数学，一方面是为进一 步学习打下基础；另一方面是要学会用数学的观点和方法认识周围事 物和发现客观世界的规律，学会用数学的方法自觉地、有意识地观察、 认识和理解周围的事物，处理有关的问题。 数学教育改革的不断深入，新标准在总体目标中提出：通过 义务教育阶段的数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去 观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题， 增强应用数学的意识。并指出应用意识主要表现在：认识到现实生活 中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对 实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解 决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并 探索其应用价值。确实，数学应用意识的失落是我国数学教育的一个 严重问题。随着社会主义市场经济大潮的兴起，股票、利息、保险、 分期付款等经济方面的数学问题已日渐成为人们的常识，这迫使我们 的中学数学教育要特别加强数学应用意识的培养，这就要求通过抽象 概括、数学模型等思想方法的学习和训练，让学生体会到数学中的定 义、概念、公式、定理等是从现实世界中经过逐步抽象概括而得到数 学模型，与现实世界有着千丝万缕的联系，并且可以反过来应用于现 实世界解决各种实际问题。 正如荷兰著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔先生提出“数 学现实的主张，华东师范大学的唐瑞芬教授把弗的思想总结为一个 基本结论：每个人都有自己生活、工作、思考着的特定客观世界以及 反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数 王梓坤今日数学及其应用【m 】数学通报，1 9 9 4 ，( 7 ) ：2 。 沈文选中学数学思想方法【m 】长沙：湖南师范大学出版社，1 9 9 9 5 。 关于数感及其初中生数感培养的研究 学知识结构。就是说，每个人都有自己的一套“数学现实。这个数 学现实，是客观世界与人的数学认知的统一体，是数感生成和发展 的前提要素。随着学生所接触的客观世界越来越广泛，培养学生的数 感就是更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题和数量关系 建立起联系，以进一步丰富、扩展学生所实际拥有的“数学现实 。 因此，可以说，数感是数学与现实联系的桥梁。 2 1 2 数感是人的一种基本的数学素养 二十世纪九十年代初，“数学素养”首次出现在九年义务教育 全日制初级中学数学教学大纲中，标志着我国数学教育目标从应试 型向素质型方向的转变。那么，什么是数学素养昵? 传统教育中， 人们将数学素养片面理解为掌握较常规的运算技能，能熟练地运用定 理、公式、法则等解决程式化的数字问题。随着社会的发展和多媒体 技术的普遍使用，数学素养不再限于单纯对运算技能的强调，也包括 收集信息、处理信息的能力和运用数学知识解决实际问题等。从广义 上来讲，数学素养是指人们通过数学教育以及自身的实践和认识活 动，所获得的数学知识、数学技能、数学能力、数学观念和数学思维 品质等方面的修养和素质。姜伯驹先生认为至少应该包括理解、抽 象、见识、体验几个方面。从内容和功能的角度来看，数学素养指： 一是知识的运用，即运用数学的意识；二是方法和能力的培养；三是 观念、品格、精神的形成。数感是人的一种基本的数学素养。 一方面，数感的形成与发展与数学知识技能的掌握密切相关。无 论是能力培养还是思维教育，都必须以学生的知识积累为前提。数学 基础知识对数感的形成有重要作用，数学知识贫乏的人不可能表现出 汤慧龙关于学生“数学现实”的研究【j 】数学教育学报，2 0 0 4 ，1 3 ( 2 ) ：9 5 。 科教新闻如何提高学生数学素养伊犁日报第六版2 0 0 5 王锐锋初中生数学素养的培养【j 】安徽教育，1 9 9 9 ，l o ：3 7 3 8 。 彭云飞数学化与研究生创造力开发湖南师范大学图书馆湖南师范大学，2 0 0 3 硕士学位论文 良好的数感。具有数感的人，面对现实问题，能主动地从数学的角度 观察和认识，用数学的观点和方法来看待问题和解决问题。另一方面， 除了能够解决实际问题外，数学还提供了某些普遍适用并且强有力的 思考方法，包括直观判断、归纳类比、抽象化、逻辑分析、建立模型、 将纷繁复杂的现象系统化、运用数据进行推理、最优化等，这些思考 方法适用于现代社会的各个领域各个方面，而具备一定的数感正是这 些思考方法的基础。从本质上来说，数感已经超越数学知识的范畴， 更多地体现为一种数学意识、数学观念、数学直觉，是支撑在学生谙 熟的数学经验基础之上的综合数学素质的外显方式。 数学教育的最终目的在于提高学生的数学素养，促进学生的全面 发展。数学素养作为公民素养之一，不仅是用计算能力的高低和解决 书本问题能力的大小来衡量的，学生能够数学地思考问题，用数学的 方法理解和解决实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，也是数 学素养高的重要表现。因此，一定程度上可以说数感是人的一种重要 的数学素养。数感的培养有助于学生把对数字( 量) 的直接迅速地反应 为数学问题，从初级的感知层面迅速地进入数学思维，也即用数学的 眼光，数学的方法去透视事物，整体的、有条理的、合乎逻辑的、系 统地发现和思考问题，而这正是数学素养提高的重要标志。 2 1 3 数感是数学活动的基础 数学活动是指数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维 活动的形式和发展来理解的。标准指出：数学教学是数学活动 的教学，是师生之间、学生之间交往互动和共同发展的过程。前苏联 著名教育家斯托利亚尔在他所著的数学教育学一书中也指出：数 郭清波如何使数学教学成为数学活动的教学1 0 l 远程教育网c h i n a e d u c o m 。 关于数感及其初中生数感培养的研究 学教学是数学活动的教学( 思维活动的教学) 。在数学教育改革的今 天，使数学教学成为数学活动的教学是非常必要的。数感是建立明确 的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础。首先，义务教育阶段 中学生要学习的有理数、无理数、正数、负数等都是非常抽象的，如 果单纯让学生从课本上学、背、算，是很难具体、深刻地理解和掌握 的。建构主义的学习观也认为：学习不是简单的信息积累，而是新旧 知识经验的冲突以及由此而引发的认知结构的重组。例如，教师对无 理数概念的引入教学是这样处理的： 让学生判断面积分别为1 、2 、4 的三个正方形的边长的大小关系。 学生直觉判断面积为2 的正方形边长a 大致为l 点几。学生利用 计算器求得1 1 2 = 1 2l ， 1