（水声工程专业论文）基于格林函数的典型声场反演技术.pdf

哈尔滨工程大学硕十学位论文 i i 昌；葺宣昌宣宣i i 葺昌i 宣暑葺宣宣i i 宣；葛i i i i 宣；i 暑i i ；暑i i 宣i n 一t i 宣嗣 a bs t r a c t u n d e r w a t e rn o i s es o u r c el o c a t i o n a n di d e n t i f i c a t i o n b ys o u n df i e l d r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d sb a s e do r lt h ek n o w ni n _ f o r m a t i o no ft h es o u n df i e l da r e n e c e s s a r yf o re f f e c t i v en o i s ec o n t r 0 1 t h e r e f o r ei t si m p o r t a n ti nt h es o u n df i e l d r e c o n s t r u c t i o nt os t u d yt h eg r e e n sf u n c t i o n ，w h i c hi st h et r a n s f e rf u n c t i o n b e t w e e nt h en o i s es o u r c ea n dt h es o u n df i e l d t h ep l a n a rn e a r - f i e l da c o u s t i ch o l o g r a p h yi ss t u d i e di nt h i s p a p e rb a s e do n g r e e n sf u n c t i o n s ，w h i c ha r ed i s c u s s e dt o g e t h e rw i t ht h e i ra n g u l a rs p e c t r t t m si n t w oh o m o g e n e o u sp l a n a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ef i n i t e d i s c r e t ef o r m so f g r e e n sf u n c t i o n sa n dt h e i ri n f l u e n c eo nt h er e c o n s t r u c t i o na r e a n a l y z e da n d c a l c u l a t e d t w or e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m sa n dt h e c o r r e s p o n d i n g g r e e n ，s f u n c t i o n sa r ec o m p a r e d ，o n eo fw h i c hi sb a s e do nt h em e a s u r e ds o u n dp r e s s u r e a n dt h eo t h e ro nt h em e a s u r e dp a r t i c l ev e l o c i t y t h er e c o n s t r u c t i o nr e s u l t sa sw e l l a st h es e n s i b i l i t i e st ot h em e a s u r e de r r o r si nt h et w oa l g o r i t h m sa r es i m u l a t e da n d c o m p a r e d p r o p e rr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e si np r a c t i c a le n v i r o n m e n ta r eo b t a i n e d b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h ep r o c e s s i n gr e s u l t so ft h ee x p e r i m e n td a t ai ns o n g h u a l a k e i t sc o n c l u d e df r o mt h es i m u l a t i o n sa n dt h ea n a l y s i so ft h ed a t ap r o c e s s i n g r e s u l t st h a ti t s h e l p f u lt o t h es o u n df i e l dr e c o n s t r u c t i o nt o g e ta c c u r a t ef i n i t e d i s c r e t ef o r m so fg r e e n sf u n c t i o n sa n dt h a tr e c o n s t r u c t i o nm e t h o db a s e do nt h e p a r t i c l ev e l o c i t yy i e l d sb e t t e rr e s u l t si ns o u n ds o u r c ep o s i t i o na n dt h e i rr e l a t i v e s t r e n g t ht h a nt h a tb a s e do i ls o u n dp r e s s u r e k e yw o r d s ：g r e e n sf u n c t i o n ；a n g u l a rs p e c t r u m ；s o u n df i e l d r e c o n s t r u c t i o n ； p l a n a rn e a r - f i e l da c o u s t i ch o l o g r a p h y ；p a r t i c l ev e l o c i t y 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 二 _ 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：金叠芷 e t 期：碱年弓月2 0 日 哈尔滨工程大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 论文研究背景 噪声源定位和识别是噪声控制中的重要问题，在声源处进行噪声控制针 对性强，往往能得到事半功倍的效果。在水下声场中，人们获取舰船航行时 的辐射噪声，希望通过适当的声场反演，根据已知的声场分布信息得到关于 水下声源的图像，推算出噪声源的位置，声源分布方式以及结构振动方式等 物理特性。在这个声场逆问题中，需要同时掌握声场分布的全面信息和声波 的空间传播特性。在这样的背景下，研究基于空间传播特性的声场反演算法 就显得非常有意义。格林函数作为表征声源与声场之间传播特性的基本物理 量，在声场反演中起着重要作用。若能获得特定边界条件下点源或者分布源 的格林函数，利用相应的声场空间变换算法，就能由测量数据反演出声源的 特征。因此，对水下声场中格林函数的特点及其相关算法进行深入探讨，并 在此基础上得出准确、有效的声场反演算法很有意义。 1 2 利用格林函数进行声场反演的研究进展 声场反演技术属于物理场的逆问题研究。所谓正问题是给定产生场的源， 求场的预报，而场的逆问题是根据场分布的信息反推源的特征量及其有关物 理性剧。要建立从声场到声源的反演模型，需要在数学上构造能精确反映 声场的逆向传递的特征函数，而格林函数正是这样的理想函数。从物理上讲， 它是表示源与场关系的物理量，可以把场的微分方程的解用积分形式来表示。 格林函数理论内容丰富，并因其清晰的物理概念，成为各种物理场研究的重 要部分1 。 在声学领域，格林函数的应用和研究十分广泛。例如，格林函数是分析 结构振动声辐射的重要数学工具，为解决振动物体的声辐射与散射问题提供 了简洁的数学公式m 1 。1 1 1 9 a r d 和m o r s e 在专著( ( t h e o r e t i c a la c o u s t i c s ) ) 中研究 结构振动及声辐射时，给出了各种结构的格林函数。两位作者在研究弹性弦 振动时，以格林函数来描述弦上一点的集中力作用引起的振动，并指出更复 杂的分布力作用的问题可以由格林函数的叠加或积分形式给出。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在以格林函数为重要研究内容的声辐射和声传播理论中，产生了与格林 函数密切相关的声场反演技术，如近场声全息( n a h ) 技术”1 ，将格林函数 理论应用于声场反演和声源重建。在n a h 技术的基本公式 h e l m h o l t z k i r c h h o f f 积分公式中，可以通过自由场的格林函数将内部和外部 声场都描述成积分方程表面的法向振速及声压的积分方程形式。若引入满足 d i r i c h l e t 边界条件( 表面声压项消失) 和n e u m a n n 边界条件( 法向振速项消 失) 的两个格林函数，声场就可由法向振速或表面声压唯一表示p 1 。这两个 相应的格林函数分别称为d i r i c h l e t 格林函数和n e t t r n a n n 格林函数，它们能使 h e l m h o l t z k i r c h h o f f 积分公式简化，简化后的积分方程是基于声压测量或振 速测量的n a h 技术的基本公式。 n a h 技术依靠给定边界条件下的格林函数进行空间声场变换，重建声源 图像，能够实现由二维测量的标量场到三维矢量场的反演。根据n a h 的理 论，测量在声源的近场( 测量面距源面仅为波长的几分之一) 进行，尽量捕 捉具有近场效应的倏逝波( e v a n e s c e n tw a v e ) ，充分利用这种高空间频率倏逝 波的成分，重建出不受瑞利判据约束的声像。因此，n a h 特别适合于低频声 源特性的判别，散射体结构表面特性以及结构模态振动等研究，还可用于声 源辐射声功率和大型结构远场指向性的预报，在噪声源的定位与识别方面具 有独特的优点和良好的应用前景唧。 自2 0 世纪8 0 年代n a h 技术由全息领域脱颖而出，此项技术不断发展， 主要体现在全息面上的复声压的获取和重建算法的改进两个方面，而后者作 为n a h 技术的核心部分，其重要内容之一就是格林函数的计算。在给定的 测量条件下，对重建算法的改进能有效地提高n a h 的重建精度。对格林函 数的数学特性和物理含义研究越透彻细致，获得的重建算法就越合理有效， 重建的结果也就越精确。 2 0 0 3 年8 月，w i l l i a m s 在i n t e r - n o i s e 2 0 0 3 噪声控制工程国际会议上对现 有的n a i l 实现方法作了简要总结，并指出已存在大概6 种以上n a h 实现算 法，其中下面三种方法最为主流川：1 、空间f o u r i e r 变换和逆变换法；2 、边 界元法( b e m ) ；3 、h e l m h o l t z 方程最d x - - 乘( 简称h e l s ) 法。在这三种算 法中，格林函数都发挥着重要作用。 8 0 年代初，w i l l i a m s 等人以基于二维空间f o u r i e r 变换和逆变换的声场 2 哈尔滨工程大学硕十学位论文 变换理论为基础首次提出n a h 理论，采用平面传声器阵列对点源和振动的 有限长方形板进行测量p 1 ，并将n a h 推广到球面球面之间的坐标变换和柱 面一柱面之间的坐标空间变换。早在1 9 8 5 年n a h 理论创立之初，w i l l i a m s 和m a y n a r d 便指出了n a h 技术在以后的实际应用中可能遇到的几个障碍， 并一一给出建议。他们指出，基于空间f o u r i e r 的n a h 方法仅能用于平面、 柱面和球面声源，因为我们只能得到在这几种规则坐标系下边值问题的格林 函数，并特别提到，若对不规则声源的近场全息重建，需要找到在不规则声 源表面上满足齐次边界条件( n e u m a n n 条件或d i r i c h l e t 条件) 的格林函数 ( n e u m a n n 格林函数或d i r i c h l e t 格林函数) 。 1 9 8 7 年，v e r o n e s i 和m a y n a r d 在阐述n a h 重建的离散算法时，强调了 格林函数的计算在n a h 离散算法中的重要性n “。他们认为：在n a h 有限离 散化算法的基本假设下，选取何种离散化的格林函数来进行声场重建非常重 要。他们讨论了六种获得平面近场声全息重建公式中离散化格林函数的方法， 得到了六种不同的离散化格林函数，并一一对其做了理论分析和仿真计算， 对比论证了六种方法的优劣。国内，陈晓东对平面n a h 中格林函数的离散 化方法也作了深入详细的研究，讨论了各种离散化方法的特点，并详细计算 了采用不同的格林函数形式在声压重建中对卷绕误差、泄露误差、重建精度 等的影响1 1 2 1 。 格林函数的求解困难使得基于空间f o u r i e r 变换的n a h 方法应用受限， 这时，边界元法( b e m ) 等n a h 算法应运而生。b e m 方法是通过对声源表 面离散，对h e l m h o l t z k i r c h h o f f 积分公式进行数值求解3 1 。这种算法避免了 直接求解复杂边界下的格林函数，转而求离散化表面相应的格林函数的离散 化矩阵，解决了任意形状声源的重建问题，但也存在缺陷：奇异积分处理困 难、特征频率处解不唯一。另外，b e m 方法实际上是利用空间采样来重建声 场，在波长内节点数足够多才能保证重建精度，高频时测量点数很多，测量 受限。 h e l m h o l t z 方程最小二乘方法( h e l s ) 是处理任意形结构声源辐射问题 的另外一种方法n 纠刀。它实际上是等效源方法( e s m ) 的特例”蚴1 。e m s 方法 是在声源内部适当位置配置一系列的基本源( 即等效源) 代替真实声源，克 服了b e m 计算效率差的缺陷。作为它的特例，h e l s 方法则以单极子源来替 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 代真实声源，其缺陷是声源长宽比较大时，声场重建精度差。 从上述三种n a h 重建方法可以看出，在声场反演问题中，空间传递因 子或传递矩阵的求解总是很重要的，它的性质对声场反演的精度和可靠性起 着决定性作用。目前这三种方法以基于空间f o u r i e r 变换和逆变换方法的n a h 技术最为成熟，工程实现最容易，应用最广泛；b e m 法和h e l s 方法虽然能 适应各种形状的声源，却都有其自身缺陷，且工程实现存在不同程度困难。 因此，若能直接计算出比较复杂的辐射声源在不同边界条件下的格林函数， 就有可能拓展基于空间f o u r i e r 变换的n a h 技术的应用范围，使其适用于更 广泛的工程实际问题口2 1 。 上世纪8 0 年代，a n t h o n yj r u d g e r s 进行了复杂辐射声源的格林函数的研 究田1 。他研究了声辐射中的两个问题：1 、两个声源在声场中相互作用，将 声场通过两源各自的格林函数表达出来，进而计算两源的自辐射阻抗和互辐 射阻抗，其结果非常清晰地解释了总声场的结构；2 、计算了表面振速任意分 布和任意形状表面边界下的n e u m a n n 格林函数和d i r i c h l e t 格林函数。他后来 又将研究结果推广到任意多个声源的情况幽。这些结果为复杂声源条件下， 开展以空间f o u r i e r 变换基础的n a h 技术提供了宝贵的启示。， 在水下声场反演中，除声源本身的复杂性外，声传播环境的复杂性也会 引起辐射声场计算的困难。浅海环境中，海面及海底都会引起声反射，当表 面起伏不平时，还会引起声散射。这时声场是直达声、反射声和散射声的总 合，不满足n a h 理论中全息面一侧必须是自由声场的要求。要实施n a h 技 术，需要将声场分离口5 。2 6 1 。若能直接解出h e l m h o l t z 方程在浅海中的格林函数 表达式，将声场的复杂性归入格林函数的表达式中，实现基于空间f o u r i e r 变换的n a i l 就不用声场分离。 特定边界条件下声场格林函数的求解一直是声学中的重要研究内容。 i n g a r d 和m o r s e 在( ( t h e o r e t i c a la c o u s t i c s ) ) 中指出，平面边界下的格林函数 区别与格林函数的基本解，并讨论了界面阻抗对格林函数影响州；作者在该 专著的第9 章给出了波导中的格林函数及其边界阻抗对格林函数的影响。 c o l o r a d o 大学的j a d es a n t o 教授也对此进行了研究口”，他在1 9 9 2 年出版的 专著( ( s c a l a rw a v et h e o r y ：g r e e n sf u n c t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ) ) 中讨论了p e k e r i s 波导中的格林函数，用格林函数详细地解释了声场结构，对浅海环境下的声 4 哈尔滨 二程大学硕士学1 1 ：7 ：论文 场计算和反演很有意义。19 9 7 年，n a h 理论的创立者w i l l i a m s 在研究机舱 内部n a h 技术时，对圆柱腔内的格林函数形式进行了研究口引。他认为，传 统的简正波形式的格林函数无法有效地表示声场内的倏逝波( e v a n e s c e n t w a v e ) 成分，并提出使用收敛更快的格林函数的衰减展开式( e v a n e s c e n t g r e e n sf u n c t i o n s ) 能为内部问题的声场重建带来方便。除此之外，人们对于 具有弹性海底的海水介质以及具有多孔海底的复杂浅海模型中格林函数的近 场、远场近似解法进行了研列冽。声传播环境的复杂性有时还由介质的不均 匀性引起。介质密度、声速的不均匀性对声场特性及相应的格林函数的影响 也一直受到重视 3 0 - 3 7 。 从噪声源定位和识别的角度，人们更关心如何通过基于格林函数的声场 反演实现声成像，重现出声源特征，如声源的主要发声部位，源面的振动模 态口州等，从而判断声源的工作状态。 在基于空间f o u r i e r 变换的n a h 中，利用全息面上声压数据和振速数据 进行声场重建时所使用的格林函数是不同的，得到的重建公式也不同”。f i n j a c o b s e n 在研究中指出m 3 1 ，在重建过程中，水听器失配带来的重建误差随格 林函数和重建公式的不同而不同，重建结果将具有不同的精度。矢量水听器 可以同步、共点、直接测量声场空间一点处的声压和质点振速的三个正交分 型4 h 刁。若使用矢量水听器同时获得了全息面上的声压和质点振速信息，则应 根据实际情况选择全息数据和相应的格林函数，以达到最好的重建效果。 1 3 本论文研究工作 1 讨论了h e l m h o l t z 方程的格林函数，讨论了格林函数的基本解和任意 形状表面边界下的格林函数以及边界条件对h e l m h o l t z 方程的格林函数的影 响，计算了平面边界下d i r i c h l e t 格林函数和n e u m a n n 格林函数的波数谱并讨 论了它们的性质。 2 研究了基于声压的平面近场声全息算法，讨论了平面边界条件下 d i r i c h l e t 格林函数的有限离散化方法，通过理论分析和m a t l a b 仿真计算，研 究了三种格林函数有限离散化方法和声场重建参数对声全息重建精度的影 响。 3 利用理论分析和m a t l a b 仿真计算，研究了使用n e u m a n n 格林函数基 哈尔滨工程大学硕十学位论文 于质点法向振速的平面近场声全息算法，比较了基于声压进行声场重建和基 于质点振速进行声场重建的结果，并讨论了水听器测量误差对两种声场重建 精度的影响。 4 通过处理松花湖实验数据对理论分析和仿真结果进行验证，对比分析 了声压数据的处理结果和质点振速的数据处理结果，得出了适合外场实验条 件的声场反演方法。 6 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 第2 章声场中格林函数的基本理论 水下噪声源一般不是简单的点声源，并常处于特定的边界条件中。本章 从格林函数的基本解入手，分析了典型边界条件下的格林函数，给出了任意 形状表面边界下的格林函数，进而将任意形状分布声源的辐射声场表示成格 林函数的形式，并给出了声场和格林函数的空间f o u r i e r 变换形式。 2 1h eim h oit z 方程及其格林函数的基本解 理想流体介质中小振幅波传播的波动方程为邛1 ： 三磐一v 2 痧：0 ( 2 1 ) 其中，c 表示介质中的声速，a s ( x ，y ，z ，t ) 称为速度势函数。 拉斯算子。如果运动是无旋的，则质点振速可表示为： 厅= 一v 函 利用尤拉方程，可将声压表示为： v 2 表示拉普 ( 2 - 2 ) p ：p 娑( 2 - 3 ) 其中，v 表示梯度，p 为介质密度。可见，只要求出满足初始和边界条件的 波动方程式( 2 1 ) 的解c 1 ) ，就可以利用式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 求得声场中的 声压p ( x ，y ，z ，f ) 和质点振速历( x ，y ，2 ，t ) 。 对于单频声波速度势为痧= c e 一叫，c o 为声波的角频率，是空间分布函 数，它满足h e l m h o l t z 方程： v 2 矽+ k 2 # ：0 ，k ：竺( 2 4 ) k 为声波波数，故波数空间又称k 空间。利用h e l m h o l t z 方程能推导出 h e l m h o l t z 公式。h e l m h o l t z 公式是采用积分公式解的办法计算声场，它用声 场边界函数值表示声场的积分形式解，此公式限于稳态单频波动情况降1 。当 点源都集中在某一封闭曲面s 内时，h e l m h o l t z 公式可以表达如下： 胁譬( 鼍) ，一统杀等) 油一一4 碱( 2 - 5 ) 7 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 其中，元为封闭曲面的外法线方向，矽为h e l m h o l t z 方程的解，它除了满足在 封闭曲面s 之上和s 之外具有一阶和二阶有界连续偏导外，还满足有限条件和 无穷远条俐引。p 妇办为所选的辅助函数，其中，表示场点d 到封闭曲面s 的 距离，此函数除在，= 0 点有奇点外，其它地方皆满足假设条件和波动方程。 由式( 2 5 ) 可见，h e l m h o l t z 公式为用矽和0 矽o 挖边界值的面积分来确定声场 中任意一点的速度势函数值，因此己知边界质点振速的分布和压力的分布值 时，就可以用h e l m h o l t z 积分求出场中任意点的速度势函数值。 格林函数表示一定边界条件下点源的场，与边界条件一一对应。由式 ( 2 4 ) ，单频声场中的格林函数满足下面的方程洲： ( v 2 + 后2 ) g ( 尹，p ) = - 8 ( e - e ) ( 2 - 6 ) 其中，代表声源的位置，尹代表场点的位置，万函数表示点源，时间因子 取e 一纠，解得： g ( e ，p ) = ( 4 7 rl p 一尹i ) - le x p ( i k 尹 - e 1 )( 2 - 7 ) 式( 2 7 ) 表示的是自由场中的格林函数，称为格林函数的基本解。能够证明， 算符v 2 + 尼2 的格林函数遵从互易性原理m 。式( 2 7 ) 所示的格林函数的基本 解可选作式( 2 5 ) 中h e l m h o l t z 公式的辅助函数，而且任何一个满足h e l m h o l t z 方程并具有1 彦奇点形式的函数都可以作为h e l m h o l t z 公式中的辅助函数。正 是由于格林函数的这种可选性，能够通过选择适当的格林函数来简化 h e l m h o l t z 公式。 其他边界条件下的h e l m h o l t z 方程对应的格林函数区别于基本解。 h e l m h o l t z 方程与第一类边界条件构成的定解问题叫做第一边值问题或 d i r i c h l e t 问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫做第二边值问题或 n e u m a n n 问题。对于式( 2 4 ) ，第一类边界条件是指痧在区域边界上为给定 函数，而第二类边界条件是指0 矽o 咒在区域边界上为给定函数。相应地，满 足式( 2 6 ) 和第一类边界条件的解称为h e l m h o l t z 方程第一边值问题的格林 函数，也称作d i r i c h l e t 格林函数，满足式( 2 7 ) 和第二类边界条件的解称为 h e l m h o l t z 方程第二边值问题的格林函数，也称作n e u m a r m 格林函数m 1 。 哈尔滨 二程大学硕士学何论文 2 2 典型边界条件下的格林函数 平面边界是比较简单的边界，人们经常将海面和海底当成平面边界来处 理。根据“虚源法”h 7 1 的思想，平面边界下格林函数的数学表达式如下： g ( 尹，矿) = g ( 尹，尹) + g ( e ，尹)( 2 8 ) 其中，表示虚源位置。式( 2 8 ) 第二项对应着“虚源”，表示由平面边界 引起的反射波部分。在平面边界绝对硬或者绝对软两种齐次边界条件下， h e l m h o l t z 公式都可以简化成一项。由“虚源 和实际声源的相位关系以及式 ( 2 7 ) 得到： g ，( 尹，) 2 互二1 ； i 习口叫7 一卅i ；f 二刁8 叫7 一叫 ( 2 - 9 ) 平面边界绝对软时，边界面上声压为零，为齐次的d i r i c h l e t 边界条件，式( 2 9 ) 右边取“一”，平面边界绝对硬时，边界面上质点振速为零，为齐次的n e u m a n n 边界条件，式( 2 9 ) 右边取“+ ”m 。 如果平面边界不是绝对软或者绝对硬，而是具有一定的界面声阻抗时， 反射波将发生改变，式( 2 9 ) 中第二项需要修正【q 。令以表示场点到平面边 界的距离，当整个界面上阻抗均匀，且d ，不小于半波长时，可得下面的近似 表达式： 托m 南e j f k l r - r l + ，忑c o s j 而 - f l 南e 砷卅( 2 1 。) 其中，1 9 是入射角，为界面导纳。对于界面阻抗不均匀等更复杂的平面边 界，格林函数将更加复杂，很可能无法得到解析解晦2 9 1 。 在h e l m h o l t z 公式( 2 5 ) 中，封闭曲面s 外一点的速度势可以看作是j 上 次级元波在场点o 的速度势迭加之总和，相当于源点位于s 上。当j 为平面时， 有r = i 尹一州= i 芦一州，由式( 2 - 9 ) 可算出h e l m h o l t z 公式中的辅助函数项： g d - - - 堙锄= 吃( 1 一彻) 赤p 触( 2 - 1 1 ) 部2 赤矿( 2 - 1 2 ) 在噪声源定位与识别时，有时需要考虑波导的影响。声波在二维两层液 9 哈尔滨 _ 程大学硕士学位论文 体半空间内传播，这个半空间称为p e k e f i s 波导，其结构简单，是半无限海底 之上实际海洋波导的一种简化模型唧，近似地描述了浅海环境。图2 1 为 p e k e r i s 波导结构示意图，有限层0 z d 中声速为常数c l ，位于半无限半空 间z d 上方，其中声速为常数巳，c 2 c 1 ，假定介质中密度为常数。 q ( 善，= ) 一 乞 r 图2 1p e k e f i s 波导不意图 建立二维对称的柱坐标系，格林函数满足二维h e l m h o l t z 方程，可以写 出格林函数的分离形式： g p ( 咿) 2 篆( 孝；g ) 9 2 ( 磁州f ( 2 - 1 3 ) 其中，源点坐标为广= ( o ，z ) ，场点坐标尹= ( f ，z ) ，= 叫，c o 是参考声速， 围线c 包含格林函数在复平面内的所有极点，f 是分离变量，令f = q 2 ，由 无穷远辐射条件，得到： g l ( p ，q 2 ) = ( ) 磁d ( 够) ( 2 1 4 ) 对于g ：，当边界z = 0 绝对软时，由声源条件、远场辐射条件和z = d 处的连 续性条件，能分别得到有限层g ；和半无限层中。p e k e f i s 波导中的辐射声 场还可以用其他的表达式来描述： 踟( 咿) = 等j c o 山( 9 4 ) 9 2 ( z , z ；q 2 ) 衲( 2 - 1 5 ) 上式称为解的f o u r i e r b e s s e l 表达式，利用f o u r i e r 变换可以对上式求解。 2 3 任意形状声源辐射声场的格林函数表示 点源是声源尺寸远小于波长时的理想模型，水下复杂声源常常不是点源， l o 哈尔滨工程大学硕士学何论文 而是表面形状复杂的分布源。设声源表面s 以角频率国作小幅简谐振动。 n e u m a n n 问题中，表面法向质点振速分布已知：u ( ，) = 沈( ) ；d i r i c h l e t 问题中，表面声压分布已知m 2 1 ：p ( ) = 而( 尸) ，其中疗是速度幅值，歹是声 压幅值；口( 尸) 是描述表面振速分布的无量纲函数，o - ( r ) 是描述表面声压分 布的无量纲函数，二者在表面均有界可积。由h e l r n h o l t z 公式可得： p 叫n y g 。f g 佤嘲郴( 卅筹篇o n ( 争r 网力 ( 2 - 1 6 ) sq 死； ) 其中，场点在声源外部时，有界可积函数s ( 尹) = 1 ，场点在声源边界面上时， g ( 尹) = 4 州q ( 尹) ，刃扩) 是场点处对着源面的立体角；7 = j k p c 4 r c ，z ( 矿) 是尸 处的外法线方向。n e u m a n n 格林函数满足： 坳o n ( f ) = 。 ( 2 1 7 )、 式( 2 1 6 ) 简化成： p ( 尹) = y ui g n ( 尹，尸( ，) c 拇( ，) ( 2 1 8 ) ； 其中，占扩) 已归入格林函数中。d i r i c h l e t 格林函数满足： g d ( 尹，尸) = 0( 2 - 1 9 ) 式( 2 1 6 ) 简化成： p ( 尹) = 丢户( 尸) 钌( 尸) v ，g d ( 咿) ( 2 2 0 ) 将式( 2 7 ) 代入式( 2 1 6 ) ，再利用迭代方法，可以消去互作用积分项 中未知的声压胆3 1 ，得到： p ( 尹) = 乃( 尹) + ( 尹，霉( 亏) ( 2 - 2 1 ) 其中， 而( 尹) = y u s ( e ) ig ( 尹，尸) 口( 一) 栅( 尸) ； ，( 尹，尸) ：= 【s ( 尹) 4 万】f 搬( 尹) 【船( 尹，广) 锄( 一) ： 哈尔滨丁程大学硕+ 学位论文 ，( 尹，弓) ：= ，( 尹，亏) ，( 亏，乏) ( 蠢。，亏) ： 在d i r i c h l e t 问题中，源表面的声压确定，辐射声场为： p ( 尹) = 乃7 ( 尹) 一( 一1 ) 7 ，q 尹，亏沙( 亏) ( 2 - 2 2 ) 其中， 纵沪警篇嗣州) 以珊= 等p ( 嘶门赤： ，7 ( 尹，亏) ：= f ( 尹，亏) ，( 亏，乏) ( t l ，亏) ： 联立式( 2 1 8 ) 和式( 2 2 1 ) 以及式( 2 2 0 ) 和式( 2 2 2 ) 可分别得到： 其中， g ( 尹，尹) = s ( 尹) g ( 尹，) + g ( 尹，广) + ，( 尹，亏) g ( 亏，尸) ( 2 - 2 3 ) i = 1 g d ( 尹，尸) = g ( 尹) g ( 尹，尸) 一g ( 尹，r ) - ( 一1 ) ，( 尹，亏) 9 7 ( 亏，尸) ( 2 - 2 4 ) i = 1 瓶一= 等p ( 枷( 咖篙争( ) 扒) = 等p ( 晚( ) 箐 式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 4 ) 分别将任意形状源面s 边界下的n e u m a n n 格林 函数和d i r i c h l e t 格林函数完全表示成己知的格林函数基本解的形式。 如果水下声源多于一个，由于声源之间的相互耦合作用，声场并不简单 地等于各声源单独存在时辐射声场的迭加p 1 。利用迭代方法，可以得到 n e t u n a n n 条件下，两个独立振动声源的辐射声场关于两源各自边界条件下的 n e u m a n n 格林函数的完整表达式口引： 1 2 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 其中， p ( 尹) = 口( 尹) + ( 尹，亏归( 亏) ( 2 2 5 ) i = 1 研御乜g n a ( r , r + _ 蚂c 咖扣亿阢峨c 尸， + 一亿广阢妈c m s 胁nc 妈c 即 s 8 心( 尹，亏) ：= ( 尹，亏) 三( 亏，五) 三( t 。，亏) ： 心- ( k + k ) f ) = k c 弼卜去蚂c 亏，鬟笋： ( 弧) ：_ 击妈( 亏) 帮： ，已知，g m ，g n b 可由式( 2 2 3 ) 算出。 还可将式( 2 2 5 ) 中双声源的结论向有限的m 个声源的情形推广。把以 个任意形状的声源形成的辐射声场表示成g m ，f - 1 ，2 ，朋的形式，还可以将 各个声源的自辐射阻抗和互辐射阻抗表示成格林函数的形式肛“。 2 4 声场和格林函数的波数谱 在平面近场声全息( n a h ) 的声场反演技术中，常在波数空间进行声场 变换，这时需要进行二维空间f o u r i e r 变换，变换所得结果称为物理量的傅立 叶谱或波数谱。 声波角频率为国，波数为k = ) c 。将波数空间内的曲线( 尼；+ 后：) = k 2 称 为辐射圆。( + 尼；) k 2 时，点( t ，七，) 在辐射圆内；( 砖+ 后；) k 2 时，点( t ，尼，) 在辐射圆外，只能产生幅值指数衰减的倏逝波m 盯。如果能充分捕捉到这种近 场效应，n a h 的空间分辨率可以不受限制p 1 。 平面z 处有一平面振动产生声波，给定频率声波的频谱可以写成： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 p ( x ，弘z , t a ) = 专e 纸暇p ( 哎，屯) 口“枷铲弘( 2 - 2 6 ) 式( 2 2 6 ) 将平面上的声压分解成平面波( p l a n a rw a v e ) 和倏逝波。其中， 尸( 哎，屯) 是声压的二维空间f o u r i e r 变换，由下式给出： p ( 哎，砖，z ) = p ( x ，y ，z ，c o ) e 呦d r d y ( 2 - 2 7 ) 式( 2 - 2 7 ) 就是波数为兢，丸的声波的波数谱。由式( 2 - 2 7 ) 及平面波频谱 间的关系可得波数谱之间的递推关系： p ( 畿，缸，力= v ( k x ，屯，z g e 嗷。哪( 2 - 2 8 ) 式( 2 2 8 ) 表明平面波在平面之间传播时仅发生相位变化。这是平面n a h 中 最基本的关系式，利用它可以在平面之间做声场变换。 平面n a h 技术使用平面边界下的n e u m a n n 格林函数和d i r i c h l c t 格林函。 数进行声场重建。由式( 2 - 5 ) ，可得外部i - i e l m h o l t z 公式的声压形式网： p = 去肛警一p 警d 8 ( 2 - 2 9 ) 其中，源点尹在平面边界墨上，筇为平面外法线方向。通过选取适当的格林 函数g 以尹) ，可以化简式( 2 - 2 9 ) 。选取n e u m a n n 格林函数鼬，则第二项消 失，选取d i r i c h l e t 格林函数g d ，则第一项消失。 设源面位于平面处，源面上点的坐标为( ，强，) ，全息面与源面平 行，位于，勺，全息面上点的坐标为( x ，弘z ) ，有卷积关系式川： p ( x , y , z h ) = l l 琴p d n l 蚝| y s ，z s ) g o 辫q 一麓s ，一y s ，z h - z s ) d x s d y s ( 2 - 3 0 ) 其中，g d 的表达式由式( 2 - 1 1 ) 和式( 2 一1 2 ) 给出，锄( 黾，妇，毛) 、 矽( 黾，) 表示源面的声压条件和法向质点振速条件。根据欧拉公式的二 维空间f o u r i e r 变换，能直接得到平面波声压波数谱和法向质点振速波数谱之 间的关系屹( 吒，z ) = 魄p o c k ) p ( k 善，髟，力，对式( 2 - 3 0 ) 进行二维空间f o u r i e r 变换，得到波数空间的表达式： p ( 屯，砖，幻) = 尸( 气，砖，) g ! d ( 屯，髟，一z s ) ( 2 3 1 ) ，魄，弓，z s - ) = 础圪魄，砖，z s ) 瓯魄，屯，一菇) ( 2 3 2 ) 1 4 式( 2 - 3 1 ) 和式( 2 - 3 2 ) 就是平面n a h 中基于全息面上声压的声场重建理论 公式。其中，圪( 屯，砖，z s ) 是源面法向掇速的波数谱，魄，吒，和一) 是岛 的波数谱，g ( 颤，屯，知一) 是g 的波数谱，利用二维空间f o u r i e r 变换可得： g 乞( 吒，露矿，以) = g “毛岛( 2 - 3 3 ) g 魄净砖，吃) = p 警t( 2 - 3 4 ) 这里或表示两交换平面的间距。定义z 方向波数： 包= 嚣麓篓 ， 将式( 2 - 3 5 ) 代入式( 2 - 3 3 ) 和式( 2 - 3 4 ) ，得到完整的格林函数波数谱表达 式： 叫嚣霹蓑嚣2 回 i 翻吠哎砖+ 一舻x 酵+ 砖 铲 呱咖瞪嚣蓦霖黧霉乃 格林函数的波数谱表示在声场韵任意两个平面( 如幻与瓠) 之闻，由气、 描述的平面波的空间传播特性。从式( 2 - 3 6 ) 、看出，在辐射圆之内，平腼 波从一个平面传播到另一个平茴声压幅值不变，只有相位变化；而在辐射蔼 之外，声压幅值就呈指数衰减。这种衰减相当迅速，形成所谓的近场效应m 。 根据式( 2 - 1 1 ) ，式( 2 - 1 2 ) 和式( 2 - 3 6 ) ，式( 2 - 3 7 ) 画出实空间格林函 数及其波数谱的形状特征。由于格林函数的对称性，只给出一条对称轴上的 1 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 置宣宣葺置i _ i |hi ilhi 囊 ( a ) 吃- 0 1 2 图2 2g d 的图形 ( a ) 疋= 0 u ( b ) 吃= 3 五 ( b ) 吃罩3 五 图2 3g n 的图形 图2 2 给出x 轴上g d 的实部，图2 3 给出t 轴上g ! d 的实部。可以看出， 当平面间距吃= 0 1 2 时，暑d 狠尖锐，而g d 比较平缓，其值在辐射圆上( 频 率为1 0 0 0 h z 时，吒= 七= 4 1 9 ) 有跃变；当吃= 3 五时，g d 缓慢振荡，g d 不 但在辐射圆上有跃变，且在辐射圆内快速振荡。 图2 4 给出g 在菇轴上的实部、图2 5 给出g 在屯轴上的实部。可以看 出，g 在哎= 0 1 a 时不但形状尖锐，而且有振荡，而g 0 在波数空间变化缓 慢，但在辐射圆周上有间断点。当吐= 3 名时，g 振荡变缓，g 在辐射圆内 快速振荡。g 在辐射圆上始终具有奇异性。 1 6 羞lt霉i重 哈尔滨工稗大学硕士学位论文 ( a ) 吃= o 1 2 图2 4g | v 的图形 ( a ) 矿= 0 1 3 , ( b ) 吃= 3 3 , ( b ) 吃= 3 2 , 图2 5g 。，的图形 由上述分析可知，利用声压进行声场重建与利用质点振速进行声场重建， 所使用的格林函数并不相同。由式( 2 3 6 ) 和式( 2 3 7 ) ，并根据同一平面上 声压波数谱和法向振速波数谱间的关系式，可以得到声压一声压、声压一法 向振速、法向振速一法向振速以及法向振速一声压这四种逆向声场重建中的 k 一空间传递函数，分别记为吒、吒、q 。和m 1 ，其中，吒= g 埘= g d ， g 础和的表达式如下： 棚= 霉篙一嚣 哈尔滨工程大学硕十学位论文 = 暖嚣罱一髫 ( a ) 吃= 0 1 2 ，g 的实部( b ) 吐= 3 a ，吒的实部 ( c ) 吃= o 1 2 ，的实部( d ) 吃= 3 2 , ，的实部 图2 6g 。与g ，。的实部 比较式( 2 3 8 ) 、式( 2 3 9 ) 与式( 2 3 6 ) 、式( 2 3 7 ) 可知，g 。在形式 上与基于声压进行声场重建时的g 二1 类似，差别仅在于与频率有关的因子 p o c k ，而与吒1 相比，g 肛、吒中多了与频率有关的k = l p c k 、p c k k z 因子。 因此，在声压一法向振速逆向重建中，辐射圆外高波数的倏逝波的幅值不仅 被指数放大，还被尼k 因子进一步放大；而在法向振速一声压重建算法中， 倏逝波的幅值在被指数项放大的同时，又被因子k k , 缩小。 图2 6 中给出g 刖、的实