（水声工程专业论文）希尔伯特黄变换方法的仿真研究.pdf

哈尔滨。i ：程大学硕+ 学俺论文 a b s t r a c t s i g n a la n a l y s i s i san e c e s s a r yp a r ti ns c i e n t i f i cr e s e a r c ha n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s i nr e c e n ty e a r s ，a sa n e wh o tp o i n to fs i g n a lp r o c e s s i n g ，m o r ea n d m o r ep e o p l ep u te m p h a s i so nt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d i nt h i sp a p e r , a sa n e wm e t h o d ，t h eh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r mt e c h n o l o g y ( h h t ) h a sb e e n i n t r o d u c e d s t a r t i n gf r o mt h ec o n c e p to ft h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y , t h ei n t r i n s i c m o d ef u n c t i o n sw h i c hm a d et h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c ym e a n i n g f u l ，a n dt h ew a y h o wt or e a l i z et h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( e m d ) h a sb e e ni n t r o d u c e d t h ef i n a lp r e s e n t a t i o no f h h tr e s u l ti si n3 do f t i m e - f r e q u e n c y - e n e r g y a m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n ，w h i c hd e f i n e da st h eh i l b e r ts p e c t r u m h i l b e r ts p e c t r u mh a sb e e n c o m p a r e dw i n lt h ef o u r i e rs p e c t r u m t h ed e f i n i t i o no ft i m es c a l eh a v eb e e n d i s c u s s e d ，w h i c hm a k eu st ou n d e r s t a n dt h a th h ti sb a s e do nt h el o c a ln a t u r eo f t h es i g n a l s ；t h e r ea y et w ow a y st or e d u c et h ee n de f f e c t s ，o n ei st h ep r e d i c t i o no f t h ee n dp o i n t s ，a n o t h e ri st h ec a l c u l a t i o no ft h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y s o m e m e t h o d sh a v e b e e nt r i e dt os o l v et h ee n dp r o b l e m s t h ea p p l i c a t i o no fh h ti si nt h el a s t p a r to ft h ep a p e r t h ea n a l o g m o d u l a t i n gs i g n a l sh a v eb e e na n a l y z e du s i n gi - i h t , i n c l u d i n gt h ea m p l i t u d e m o d u l a t i o na n da n g u l a rm o d u l a t i o n s t h en o n l i n e a rs y s t e md e f i n e db yt h ed u f f i n g e q u a t i o nh a sa l s ob e e na n a l y z e d ，ac o m p a r i s o nb e t w e e nt h ew a yt h a tt h es y s t e m h a so u t s i d ef o r c ea n dt h ew a yo t h e r w i s e m o r e o v e r , t h ed a t af r o me x p e r i m e n t sh a s a l s ob e e ns t u d i e db yu s i n gh h t a sac o m p a r i s o n ，a l lt h ee x a m p l e si nt h ep a p e r h a v ea l s ob e e na n a l y z e db yt h em o r l e tw a v e l e tm e t h o d c o m p a r i s o nr e s u l t ss h o w t h a th h ti sm o r ee f f e c t i v ea n d p r e c i s ei na n a l y s i so f t i m ea n df r e q u e n c y k e yw o r d s ：t h eh i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ，t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ，t h e i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ，t h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：南盘塑 日期：2 0 0 5 年1 月2 5 日 ；。；! 窒垒鎏i ! ；些叁：量! 堂堡尘圣；。一一。 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 信号分析是对信号基本性质的研究和表征m ，它是我们在理论研究和实际 工程应用中不可或缺的部分。信号通常是一个多变量的函数，例如水中声场 可表示为在空间和时间上的变化。信号的时问变化是基本的，因为时问是基 础；除了时间以外，信号最重要的表示是频率。变化的频率是人们经常在现 实生活中感觉到的自然现象，描述这种现象并研究其变化规律，对人类的生 产和生活将是十分有益的。 在传统的信号处理理论中，傅罩叶分析是最经典、最常用的信号分析理 论。傅立叶变换及其反变换建立了信号从时域到频域的通道，在众多领域内 产生了巨大而深远的影响。但傅立叶变换是一个整体变换，从而使得对信号 的描述或者在时域，或者在频域；换句话说，傅里叶分析不能告诉我们某一 频率确切在什么时间出现，而这正是时频分析的意义所在。时频分析的任务 是要描述信号的频谱含量怎样在时间上变化，研究并了解时变频谱在数学和 物理上是一个怎样的概念；其最终的目的是要建立一种分布，以便能在时间 和频率上同时表示信号的能量或强度。 时频分析方法很多，如短时傅罩叶变换、w i g n e r v i l l e 分布和小波交换 等等，都取得了丰硕的成果。这些时频分析方法在一定程度上表示出频率随 时问变化的规律，但它们基本思想都是基于傅立叶分析理论的，因而也存在 傅早叶分析理论不能很好地分析非线性、非平稳信号的局限；受h e i s e n b e r g 不确定原理的限制，这些方法也不能精确描述频率随时间的变化，存在时间、 频率上的模糊。 希尔伯特一黄变换( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，简写作h h t ) 是由n a s a 的n o r d e ne h u a n g 等人于上世纪未首次提出的一种新的信号分析理论n l ，其 引入了固有模态函数( 以i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n 或i m f 表示) 的概念，在 经验模式分解( 以e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s it i o n 表示，简写作e m d ) 的基 础上，对每个i m f 进行h i l b e r t 变换得到瞬时频率，从而将信号精确表示为 哈尔演l ：利人学硕十学位论文 频率一时削一能量( 或者幅度) 的分布，称为h i l b e r t 谱。h i i t 的特点是基于 信号局部特征的，能对信号进行自适应的、高效的分解而且它特别适用子 分析非线性、非平稳信号，具有重要的理论价值和广阔的应用前景。 1 2 傅里叶分析 1 2 1 傅里叶分析的提出 傅，晕叶分析方法的建立有过一段很漫长的历史，涉及到很多人和许多不 同物理现象的研究m 。利用“三角函数和”的概念( 也即成酱波关系的正弦和 余弦函数或周期复指数函数和) 来描述周期性过程至少可以追溯到古巴比伦 人的时代。1 7 4 8 年欧拉在振动弦的研究中采用了三角级数的方法，但遗憾的 是他并未进行下去。1 7 5 3 年d 伯努利( d b e r n o u l i ) 曾声称：根弦的实际 运动都可以用f 常振荡模的线性组合来表示；同欧拉样，他也没有深入探 求下去。1 7 5 9 年j l 拉格朗r ( j l l a g r a n g e ) 认为三角级数的应用范围非 常有限，强烈批评使用三角级数和柬研究振动弦运动的问题。半个世= 纪后 ( 1 8 0 7 年) ，j b j 傅旱叶( j e a nb a p t i b ej o s e p hf o u r i e r ) 提出了他自己的 想法：“任何”周期信号都可以用成谐波关系的正弦级数柬表示! ? 他洞察出 级数表示法的潜在威力，推动了傅罩叶级数问题的深入研究。并且他还得出 了对于非周期信号的表示不是成谐波关系的f 弦信号的加权级数和，而 是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分，即傅立叶积分( 变换) 。 周期信号x ( r ) 存在一个傅立叶级数表示式，那么傅立叶级数中的系数就 由公式( 卜2 ) 确定。这一关系式就定义为傅立时级数。 + o o z d ) = y a k e j 。矿 ( 卜1 ) k = - d o 式中：f 瓦 甜o 鲰2 砟) e j k c o o t d t ( 1 - z ) 时间，s 基波周期，是满足工( r ) = x ( t + r ) 中t 的最小非零j f 值，s 基波角频率，国o = 2 ，r t o ，r a d s 2 哈尔滨| = 料人学硕十学位论文 非周期信号的傅立叶变换( 或傅立叶积分) 与傅立叶反变换一起被称为 傅立叶变换对，见公式( 卜3 ) 及( 卜4 ) ： 坤) 2 去e x ) e p t 如 ( 卜3 ) ( 国) = e x ( t ) e - j c ”t d t ( 1 - 4 ) 式中：，时阳j ，s 国基波角频率，r a d s 1 2 2 狄里赫利条件与吉布斯现象 傅罩叶级数提出时其数学证明还很不完善，直到1 8 2 9 年p l 狄罩赫利 ( p l 1 ) j r i c h l e t ) 给出了若干精确的条件，一个周期信号才可以用一个傅罩叶 级数来表示。非周期信号可以看作是周期无限大的周期信号一样，此时也由 狄单赫利条件束保证傅罩叶变换的收敛。对于周期信号，狄罩赫利条件具体 表述如下： 条件l ：在任何周期内x ( 0 必须是绝对可积，即 l rl x ( t ) l d t o o ( 卜5 ) 10 与平方可积的条件相同。这一条件保证了系数a 。都是有限值。 冬件2 ：在x ( 0 的任何周期内，其最大值和最小值的数目有限，也就是 说在任意有限区间内，x ( t ) 的起伏是有限的。 条件3 ：x ( 力在任意有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不 连续点上，函数必须是有限值。 狄旱赫利条件给出了一个信号存在傅立叶变换的充分条件。保证了信号 傅累叶表示量( f ) 收敛于z ( f ) ，但应注意的是收敛并不意味着在每一个f 时刻上 两者均相等，而只是表示两者没有能量上的差别。另外我们不可能，满足精 度时也没必要，用无穷阶级数来表示信号，而只是采用部分和善。( f ) 近似x 矗) ， 其中为正整数，部分和是从一到+ 的，则根据公式( 1 - 1 ) x 。( f ) 可 以表示为： 哈尔滨l ：程人学硕七学位论文 x n ( f ) = 吼e 煳 ( 1 6 ) k = - 对于不连续信号，在不连续点附近傅里叶级数的截断近似x 。( ，) 会呈现起 伏，且无论 ，取多大，起伏的峰值( 为不连续点能量的1 0 9 ) 保持不变， 这就是吉布斯( j o s i a hg i b b s ) 现象。 1 2 3 傅立叶分析的不足 傅罩叶分析建立了时域与频域的桥梁，使在时域内难以观察到的特征在 频域内清楚地显示出来；反之亦然。更重要的是，在傅里叶分析基础上产生 了信号的频谱分析方法。频谱分析随着分光仪的发明而产生，一直统治着信 号分析领域，并且由于其计算的简单快速，一直是人们首选的信号分析算法。 不可否认傅里叶分析的贡献。但其首先要求系统是线性的，数据是严格 周期的或是平稳的。如果数据的统计特性与所选的时间起点无关，即其n 为 概率密度满足 六( 工1 ，而，x 。； ，f 2 ，t n ) = ，。，、 ：( x 1 ，x 2 ，b ；f 1 + 占，t 2 + 占，t n + s ) 也就是统计特性不随时间推移而变化，则数据服从严平稳( 过程) 。而如果数 据的数学期望为一常数，相关函数仅与时间间隔f 有关，且其均方值有限。 即满足 i e x ( f ) 】一x p ( x ) a x = 疋( t l ，f 2 ) = e 工( t 1 ) ，x ( t 2 ) 】= r ( r ) ，f = 乞一t l ( 1 8 ) i n x 2 ( f ) 】 0 时对应开为极大值；x i 一1 ) 0 时对应r t 为极小值。同时要 注意的是使函数导数为零的点叫做函数的驻点，即t 满足 工( f ) = 0 ( 3 5 ) 数值计算中对应于工) = 0 的n 值，可导函数的极值点必是它的驻点，但驻 点却不一定是它的极值点，所以在数值计算过程中对于x ( n ) = 0 的”值要特别 对待。 3 1 2 时间尺度的定义 时阳j 尺度是信号最重要的参数之一，但到目前为止还没有局部时间尺度 的明确的定义。在 5 】中，黄给出了三种时间尺度的描述方法。在相邻过零点 之间的时间段称为过零时间尺度( t h ez e r o - c r o s s i n gs c a l e s ) 。在相邻极点问的时 9 哈尔滨一l ：程人学硕士学位论文 间段称为极点时间尺度( t h ee x t r e m a t i m es c a l e s ) 。另外还可以通过曲率束定义 时间尺度。曲率k ( o 定义如下： 板沪痞舞 s ， ( 1 + ( z ( f ) ) 2 严 其中 以垆警= 丢( 掣 ， 求得数据的曲率之后，在找到曲率的极点，定义相邻曲率极点之间的时间段 称为曲率时间尺度( t h ec u r v et i m es c a l e s ) 。 同传统的傅罩叶分析定义的全局时间尺度不同，以上三种时间量度能够 局部描绘信号的变化。过零方法是一种很粗糙的方法；极点和曲率尺度则可 计算所有波形，而不受非零均值数据的影响，因为我们知道复杂情况下在5 z 个过零点之间可能有很多极点。而曲率时间尺度由于用到了二次导数，所以 其对噪声比较敏感；考虑到计算的简洁性，在本文中选用了极点时间尺度作 为局部时间的量度。 3 2 边界问题 黄在【2 】中指出有两种边界效应( t h ee n de f f e c t s ) ，一种出现在曲线拟和中， 另一种出现在希尔伯特变换中。在e m d 的筛分过程中，将极点联结成光滑 的曲线是通过插值完成的，数据的两个端点多数不是极大值也不是极小值。 而在插值过程中无论选用什么插僵函数，都需要在端点或者端点以外的数据， 这就需要对边界点进行预测。我们知道数据外的信息为零，任何人为的预测 都将引起误差；而且由于筛分过程要重复很多次，误差有可能通过包络破坏 内部的数据。另外，通过希尔伯特变换计算解析信号从而得到瞬时频率，在 理论上理想的，但是在实现上是采用快速傅里叶变换1 实现的，因此也会出 现傅里叶分析中的吉布斯振荡现象，影响对数据的分析。 哈尔滨j 科人学硕十学位论文 3 2 1 边界点的预测 针对边界点的问题，黄提出了边界点预测的一种方法，即在数据两