（工程力学专业论文）关于Hill应变率及其共轭应力的一般表达式.pdf

摘要 在有限变形理论与构造模型中，h i l l 应变，应变率及其相应的共轭应力都是 最基本的量。过去的几十年里，为了给出这些基本量的表达式引起了许多研究人 员的关注。用主轴法，h i l l 给出了应变e ( c ) 的分量表达式，尔后又给出了一些 相应的共轭应力。然而由于给定了主基，其相应的系数就只能对这些基有效。而 且在实际计算中系数的光滑性是否存在总是一个棘手的问题，也就是说即使是一 个连续可导的各向同性张量函数也不见得能保证其表达式相关的系数是连续可 导的。对于不同的特征值的情况，其系数也就有所不同，从而会对连续可导性的 假设有更多的限制。x i a o ，b r u h n s 和m e y e r s 2 0 0 2 基于一组互相正交的张量给出 了不同于r i v l i n - - e r i c k s e n 表达式的各向同性张量值函数的另一种表达式，并证 明了此表达式满足连续可导性要求。 本论文的主要目的就是基于x i a o ，b r u h n s 和m e y e r s 2 0 0 2 的各向同性张量值 函数的新表达式，讨论h i l l s e t h 应变度量的时间变化率和共轭应力的新表达式， 这种新表达式满足连续性条件，因此，在应用中将更为方便。 另外，本论文还讨论了h i l i s e t h 型弹性应变的一般表达式。 关键词：h i l l 应变i 不变量：共轭应力 a b s 7 耶r a c t i nt h et h e o r yo ff i n i t ed e f o r m a t i o n sa n di nc o n s t i t u t i v em o d e l i n g ，h i l l ss t r a i n m e a s u r e s ，t h e i rt i m er a t ea n dt h e i rc o n j u g a t es t r e s s e sa r eb a s i c t h ep r o b l e mo f f i n d i n ge x p r e s s i o n sf o rt h e s eb a s i cq u a n t i t i e sh a sa t t r a c t e dm a n yr e s e a r c h e r s a t t e n t i o n i np a s td e c a d e s ，e s p e c i a l l yi nt h el a s td e c a d e b yu s i n gt h ep r i n c i p a la x i sm e t h o d ，h i l l d e r i v e dc o m p o n e n te x p r e s s i o n sf o re ( c ) a n ds o m ec o n j u g a t es t r e s s e s h o w e v e r , c o m p o n e n te x p r e s s i o n sa sg i v e ni nap r i n c i p a lb a s i s ，a r ev a l i do n l yi n t h i sb a s i s i n d e e d ，o n l yv e r yr e c e n t l yt h es m o o t h n e s sp r o p e r t i e so ft h er e p r e s e n t a t i v ec o e f f i c i e n t s h a v eb e e nk n o w nt h a te v e nt h ec o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b i l i t yp r o p e r t yo ft h er e p r e s e n t e d i s o t r o p i ct e n s o rf u n c t i o nc a n n o te n s u r et h ec o n t i n u i t yp r o p e r t yo fe a c hr e p r e s e n t a t i v e c o e f f i c i e n ti nt h er e p r e s e n t a t i o n f o rt h ed i f f e r e n tc a s e so fc o a l e s c e n c eo ft h e e i g e n v a l u e so ft h ea r g u m e n tt e n s o r , t h ee x i s t i n gf o r m u l a se i t h e rs u p p l yd i f f e r e n t e x p r e s s i o n sf o rt h er e p r e s e n t a t i v ec o e f f i c i e n t so rr e q u i r eal i m i t i n gp r o c e s sr e s u l t i n g f r o mt h ea s s u m p t i o no ft h ec o n t i n u o u sd i f f e m n t i a b i l i t yp r o p e r t yo fe a c h r e p r e s e n t a t i v e c o e f f i c i e n tw h i c hm i g h tn o tb es u i t a b l ef o rp r a c t i c a lc o m p u t a t i o n s i n t h i s p a p e r , t h er e p r e s e n t a t i o nf o r m u l a f o r i s o t r o p i c t e n s o rf u n c t i o n si n x i a o ，b r u h n s a n da n dm e y e r s ( 2 0 0 2 ) a r eu s e dt os t u d yt i m er a t ea n dc o n j u g a t es t r e s so f a na r b i t r a r yh i l l s e t h ss t r a i n an e wr e p r e s e n t a t i o nf o r m u l ai so b t a i n e df o rt i m er a t e a n dc o n j u g a t es t r e s so fa n a r b i t r a r yh i l l s e t h ss t r a i n s u c ha sc o n t i n u i t ya n d d i f f e r e n t i a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h er e p r e s e n t a t i o n ，d e t e r m i n a t i o no ft h er e p r e s e n t a t i v e c o e f f i c i e n t si nt e r m so fe x p e r i m e n t a ld a t af o rs t r e s sa n dd e f o r m a t i o nt e n s o r s ，a n d c o m p u t a t i o n so ff i n i t es t r a i nm e a s u r e s m o r e o v e gw ea p p l yt h i sr e p r e s e n t a t i o nf o r m u l a st od e r i v en e wt e n s o r i a l e x p r e s s i o n sf o rh i l l s e t h se l a s t i cs t r a i n k e yw o r d s ：h i l l ss t r a i n ， i n v a r i a n t ，c o n j u g a t es t r e s s 独创性声明 y 9 2 8 7 5 9 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得壹量盘堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名签字日期：移一z 年月厂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘墨盘芏有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留荠向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。允许论文被查阅和借 阅。本人授权壹量盘生可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字目期：伽z 年 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：弦蔗蠢 签字日期：乃年6 乡月6 彳日 电话： 邮编： 1 1 引言 第一章绪论 r h i l l 主轴法的提出是有限变形理论的重大进展，它解决了许多内禀方法尚 解决不了的问题。特别是用h i l l 应变类进行运算时，主轴法更是不可取代的。郭 仲衡提出了普适的“主轴内蕴法”的构思，成功地将h i l l 主轴法应用到了场问题 中，从而使得h i l l 应变类及其应变率与共轭应力有了更广泛的应用。本论文绪论 为四部分，第一部分是引言，第二部分介绍了研究动机，第三部为研究目的，最 后部分是研究实现的方法及内容。 1 2 研究动机 在基础性研究中的张量场，一般只是空间位置( 坐标) 的函数，而与其它参 数无关。在连续介质力学的许多领域，张量场往往还随坐标以外的某些参数而变 化。许多情况下，张量场就是随时间而变化的。然而对普适的张量场h i l l 应变类 考查其时间导数，就会发现用主轴法给出的应变分量表达式，其系数的光滑性很 难保证，这样给相关的计算带来很大的不便。鉴于此，本研究采用了x i a o ，b m h n s 和m e y e r s 2 0 0 2 的思路，基于一组互相正交的张量给出了不同于尉v l i n e r i c k s e n 表达式的各向同性张量值函数的另一种表达式，从而得出了h i l l s e t h 应变度量 的时间变化率及其共轭应力的新表达式。这种新表达式满足连续性条件，因此， 在应用中( 如应用于h i l l - 一s e t h 型弹性应变) 将更为方便。 1 3 研究目的 本论文试着引进另一类张量基， 系数连续。这样就可以使得对应变、 利用这种基分量是相互正交性，使得相应的 应变率及相应的共轭应力的应用更为方便。 1 4 研究方法 本论文首先在h i l l 主轴法的基础上建立起一组相互正交基，它是符合 r i v l i n e r i c k s e n 的方法，是对称的各向同性张量值函数的另一种表达式，其可取 之处在于相应的系数是连续的5 ”。 通过计算机应用m a p l e 符号运算程序进行推导过程的辅导性演算，确定h i l l 应变、应变率及其共轭应力的系数较为烦杂而不易取得正确解，故本论文的计算 及结果检验过程中采用了m a p l e 符号运算程序，以得出待求的各系数。 1 5 研究内容 本论文共分五章，第一章绪论中阐述研究动机，目的与方法。第二章 h i l l _ 一s e t h 应变度量及相关问题。第三章应变率及共轭应力的新表达式，包括实 现应变率及其共轭应力的一般表达式，并利用所得一般表达式给出了对数应变相 关的表达式。第四章为弹塑性理论中的弹性应变度量，主要是把本论文所获得的 一般表达式应用到弹塑性理论中。第五章则为本研究的结果提出结论，并对未来 发展方向提出建议。 第二章h i l l - - - s e t h 应变度量及相关问题 2 1 引言 h i l l 应变是普适的，不同的应用情况下有着不同的表达式。在本章节里作为 准备知识给予简单介绍，如介绍了应变度量的l a g r a n g e 描述与e u l e r 描述，进而 在这些描述下给出了功共轭应力的概念，这也是本研究的基础。由于研究过程中 还涉及到了各向同性张量函数概念，p d v l i n e r i c k s e n 方法及x i a o h 关于各向同性 张量值函数表达式的工作，在此也一并列出。 2 2h i i l 应变度量( h i l l ss t r a i n ) 这里主要介绍关于应变度量的两种描述，即l a g r a n g e 描述与e u l e r 描述。 2 2 1 应变的l a g r a n g e 描述 在连续介质力学中，对于物质坐标系的任- 4 - 4 表性物质点，可以设法计算经 过该点沿任意方向的线元长度的变化，经过该点的任意两线元夹角的变化以及该 点邻域任意面元和体元的变化”。而这些变化完全由主长度比厶似= l ，2 ，3 ) 年h n 应的l a g r a n g e 主方向虬( 口2 1 ，2 ，3 ) 所决定。因此，任何一个能够确定幺和虬的 张量都可作为应变的度量，来描述参考构形中代表性物质点邻域的变形状态口1 。 这样的应变度量可以有无穷多种【3 j f 4 1 。 早在上个世纪六七十年代，h i l l 曾建议，当采用物质描述时，可将应变定义 为 4 】 3 e = g ( 炙) 虬。虬 ( 2 1 ) 口= 】 其中g ( 孝) 是某一给定的单调可微函数，且满足 g ( 1 ) 。0 ，g7 ( 1 ) 2 1 ，g ( 喜) o 式中的撇号表示对变元的微商。上式的第一式表示，当第a ( a = 1 ，2 ，3 ) 个主长度 比为1 时( 即无伸长) ，则虬方向的应变等于零。第二式表示在小变形条件下( 即 在厶2 1 邻近处) ，用g ( 孝) 来对应变e 定义与经典的小变形条件下应变张量的定 义相致，即： g ( 1 + d f ) 2 9 ( 1 + d 孝) g ( 1 ) 2d g i f ；1 2 d f = d f f f f ：】 上式的最后一式要求，较大的主长度比对应于较大的应变，而且这种对应是一对 一的。 特别地，对任意实数肥，可选取 g ( o = _ 1 ( 孝2 - 1 )( 2 2 ) z n 这时的应变称之为s e t h 应变度量，相应的( 2 1 ) 式为 砂) = 五1 刍3l 缸n 1 ) 帆。n = 去( 旷”一j ) ( 2 3 ) 式中层”的特征值和单位特征值向量分别为 ( ”一1 ) z 门 和 。 = 1 , 2 ，3 ) 下面再列出一些当取某些特殊值时的应变张量【5 【6 【7 】： ( 1 ) 对应于行= l 的应变张量 1 e ”= 去( c j )( 2 4 ) 称为g r e e n 应变。 ( 2 ) 对应于”= 三的应变度量张量 e 争：3 ( 厶一1 ) 虬。虬：u 一， 称为工程应变或b i o t 应变。 3 对应于”= o 的应变可由脚去( “一1 ) = h f 给出 3 e 佃j _ l n 厶no n 口= l 称为对数应变，并记作为l n u 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 4 ) 对应于n = 一1 的应变张量为 = i 1 j c 一 其中，c 。1 为c 的逆。( 2 7 ) 式与g r e e n 应变的关系为 ( 一1 ) = u e ( ”u 一1 2 2 2 应变的e u l e r 描述 ( 2 7 ) 以上有关应变的定义是在l a g r a n g e 描述下给出的，如果在变形后的当前构形 中来刻划某一点领域的变形状态，则相应的应变度量应在e u l e r 描述下给出，它 由主长度比乞位= 1 ，2 ，3 ) 和相应的e u l e r 主方向以。似= 1 ，2 ，3 ) 所决定。与( 2 1 ) 式相 对应，e u l e r 描述下的应变可定义为2 】f 3 】 4 】： 3 p = g ( 乞) 栉。 ( 2 8 ) 口= l 由于e u l e r 主方向与l a g r a n g e 主方向之间相差一个刚体转动【3 】 心= r m ，幢= l ，2 ，3 ) 其中眉为转动张量，表示式为 3 r = o 虬 a = l 可知，( 2 8 ) 式与l a g r a n g e 应变度量( 2 1 ) 式有以下关系 p = r e r 。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 因此，对于e u l e r 描述下的应变p ，可以作与e 完全类似的讨论。例如，可定义 p ( h ) = 西l 刍3 l 缸2 月一1 ) 。屹= i ( v - i ) ( 2 1 1 ) 特别地，对应于 = 1 和”= 一1 有 p ( 1 1 ：i ( b n ( 2 1 2 ) ；f 1 p 。1 = 去( ，一c ) ( 2 1 3 ) 由( 2 1 3 ) 式定义的应变称为a l m a n s i 应变。 由( 2 1 ) 式和( 2 8 ) 式定义的应变是分别在l a g r a n g e 主方向和e u l e r 主方向一f 的谱分解式，我们统称这种应变为h i l l 应变类，这种表示也就是非常著名的h i l l 应变张量的主轴表示法。 2 3h i l l 应变的共轭应力( c o n j u g a t es t r e s so fa na r b i t r a r yh i l l ss t r a i n ) 2 3 1 功共轭应力的定义 令u 的右伸长张量， 当) 与 一 分别为u 的特征值与相关的正交特征方向 那么根据上述应变度量知h i l l 应变度量为 e = e ( u ) = g ( 当) 一o ? 口= 3 与s e t h 应变度量 6 1 州= 去喜( 专2 一1 ) f p = 去( u 2 m - i ) h i l l 用主轴表示方法 4 8 】 9 】，在客观性原理的基础上成功地构造出了与上述 应变度量相应的共轭应力，这些工作在m a c v e a n 的方案中也得于阐述。将任何 应变度量e 看作为广义坐标，而对应的应力度量r ，则作为广义力从每单位参考 构型体积的应力功率表式求f t i 2 1 咖= i i i 盯：d ：t ：应( 2 1 4 ) 这里，盯，d 及1 1 1 分别为c a u c h y 应力，变形率张量及u 的第三主不变量。 给定e ，对应的r ，作为对称化张量，就可唯一地从( 2 1 4 ) 式求出。通常称 ( c f ) 是共轭对，又可称r 和e 功共轭。 一些作者已经引用h i l l 的构造法成功地求出了和e ( 1 共轭的r ( 1 及和e ( 2 共 轭的r ( ”。它们分别是第二类p i o l a - k i r c t u h o f f 应力张量f 1 0 】 t ( 2 = i i i f 一1o - f 7 ， ( 2 1 5 ) 和j a u m a n n 应力张量 t ”= 三( ，2 u + u t ( 2 ) ( 2 1 6 ) z 这里的f 是变形梯度。 在有限变形理论与构造模型中，前述的应变度量，应变率及相应的共轭应力 都是基本的。在过去的几十年里，给出这些基本量的表达式引起了许多研究人员 的关注。用主轴法，h i l l 给出了e ( u ) 的分量表达式，尔后又给出一些共轭应力。 然而，由于给定了主基，其相应的分量表达式就只能对这些基有效。在场问题中 ( 在固体力学与连续介质力学中场问题是普遍的) ，它们一般不能满足，因为在 每一点上它们都要求主基是由c ，的三个正交特征向量来组成。尽管有人能给出主 基与一般方向基的正交转换关系，但是计算过程太过于繁琐了。于是，有些作者 开始寻求一种计算方法，既不太烦杂而又是自由基的显式表示。 在上述问题中，g u r t i n 和s p e a r 1 9 8 3 讨论了对数应变率与变形率张量的关 系；郭 1 9 8 4 】首次为为伸长张量时问率给出了自由基的表达式：c a r l s o n 和 h o g e r 1 9 8 6 ，1 9 8 4 ，h o g e r 【1 9 8 6 ，m e h r a b a d i 和n e m a t n a s s e r t 1 9 8 7 ，s c h e i d l e r 1 9 9 1 ，1 9 9 2 王、段 1 9 9 1 1 都相继获得了关于不同类型应变率的自由基表达式。 另外，h o g e r 1 9 8 7 ，l e h m a n n 与l i a n g 1 9 9 3 分别提供了关于对数应变l n u 与l n v 相应的共轭应力自由基表达式；g u o 、m a n 1 9 9 2 导 了与s e t h 应变度量相应的 共轭应力自由基表达式。 2 3 2 功共轭意义下的应力张量 事实上，c a u c h y 应力o r 是通过当前构形中作用在面元嬲上的接触面力 t ( n ) d s 来加以定义的，因此盯是一个e u l e r 型张量，对应于参考构形中的接触面 力，可形式地写为川3 【1 2 】 o f ( o n ) d s o( 2 1 7 ) 如果给定了t ( n ) d s 与。f ( 。n ) d s o 之间的对应关系，那么我们便可以通过。f ( 。) 来 定义参考构形中的应力张量。例如对于l a g r a n g e 定义法则，可假定 t ( n ) d s = o ( o n ) d s o( 2 1 8 ) 而对于k i r c h h o f f 定义法贝0 ，司假定 t n ) d s = f - o f 。( o n ) d s o( 2 1 9 ) 因为上两式的左端可写为 盯- n d s = i l l c r ( f 。) 7 0u d s 0( 23 0 ) 所以由 o f ( o ) = s o n ( 2 3 1 ) 和 。一( o ) = t “on ( 2 3 2 ) 所定义的应力s 和r 1 将分别对应- j ：( 3 2 8 ) 式和( 3 2 9 ) 式的第一类和第二类 p i o l a k i r c h h o f f 应力张量。显然，以上的“定义法则”带有较大的人为性。例如， 还可以通过变形梯度f 在极分解中的正交张量眉来定义 t ( n ) d s = r o f 8 1 ( o ) d 写( 2 3 3 ) 并由此引进修正的b i o t 应力张量：r ( 8 ) = u r ( ”下面，将用统一的观点来描述 l a g r a n g e 型应力张量。为此，先来考察关于变形功率的具体表达式。 现假定在t 时刻c a u c h y 应力口满足运动方程和物体边界a u ，上给定的面力 盯n = t ( n 1 f 2 3 4 ) 这时，对于在物体边界a 屹上具有给定速度盯的任意虚速度场u = l ，可写出 如下的恒等式 【( 盯”l 。g + p f p a ) u 咖= 0 ( 2 3 5 ) 利用散度定理，并根据仃”关于指标i 和的对称性，便得到如下的虚功率方程： f 盯：d 咖+ f p a d d o 山却 = 【p f d u + l 。丽。嬲+ 。n 伊6 d s ，( 2 3 6 ) 上式中 d ：g 。占，：去( 一i ，+ ei 。) 譬， ( 2 - 3 7 ) 为对应于虚速度场u 的虚变形率，而盯? d + = t r ( o - 7 d ) = 盯”为虚变形功率。 特别地，当u 为真实速度场u 时，( 2 3 6 ) 式右端为外力的功率谛： 咖2 【p ，u d 。+ f 。而。d s + 。n 口西嬲 ( 2 3 8 ) 而( 2 3 6 ) 式左端第二项为动能足的时间变化率： 霞= 詈( 圭f p v v d v = 俨删u 亿， 这时，f 2 3 6 ) 式将化为 【盯：d d u 十启= 谛 ( 2 4 0 ) 需指出，上式对物体中的任意部分体积也是成立的。( 2 4 0 ) 式也可在参考构形 下写为 f1 i i o - ：d d v o + 霞= 旷 ( 2 4 1 ) 上式左端第一项的被积函数对应于参考构形中单位体积的变形功率，它是坐标变 换下的不变量。注意到霞和谛并不依赖于应变度量的选取，因此l l l c r ：d 也与应 变度量的选取无关。h i l l 曾由此来定义与给定的l a g r a n g e 型应变层相共轭的应 力f ，并称r 与e 是功共轭的。如果e 对称，那么r 就是满足 i i i o - ：d ：r ：d = t ：e ( 2 4 2 ) 的对称化张量。上式中 f = i i i c r ，( 2 4 3 ) 称为k i r c h h o f f 应力。考虑到g r e e n 应交e 1 1 的物质导数通过下式表示： 应( 1 ) ：去c ：昙罢( f 7 f ) ：f r d f ( 2 4 4 ) 22d f 、 。 可将( 2 4 2 ) 式写为： f ：d = - ：( f - t 应( ”f 一1 ) = ( f f ，一7 ) ? 啻1 ( 2 4 5 ) 可见与g r e e n 应变e ( _ ”：当2 一j ) 相共轭的应力为第二类p i 。l a k i r c h h 。f f 应力： r ( 1 ) = f f f 一，( 2 4 6 ) 即 f ：d ：r ( 1 ) ：应( 1 ( 2 4 7 ) 考虑到d = f 应) f 7 ，有 f ：d = f ：( f 童一”f 7 ) = ( f 7 r f ) ：雷一”，( 2 4 8 ) 因此，与。1 相共轭的应力为 7 ( 一1 ) ：i i i f 7 口f ( 2 4 9 ) 9 考虑到，由f 的对称性，( 2 4 8 ) 式还可以改写为 f ：d = f ：三= f ：( 户，一) = ( f f 一7 ) ：k - = s ? 户，( 2 5 0 ) 其中= d + 为速度梯度张量。上式表明s 与f 共轭，但因为变形梯度f 并不 是一个应变度量，所以s 与f 之间并不是在严格意义下的共轭【1 3 】1 1 4 【1 5 】i 旧。 考虑到g r e e n 应变 e o = 妄( 【，2 j )的物质导数为 去( 疗u + u ，疗) ， 厶 故有 f ：d ：f ( i ) ：应( 1 ) ：三r ( 1 ) ：( d u + u 疗) 2 、 ：昙( r ( n ，+ r ) ：啻； 、 可知与工程应变e i ：u 一，相共轭的应力为 7 1 争= 当( r ( u + u r ( t ) ， 称之为工程应力。 与一般应变度量e 相共轭的应力r 可通过主轴表示法形式地写为 ( 2 5 1 ) 3 r = 砀no ( 2 5 2 ) a ，口= l 为了给出乙的具体表达式，现将k i r c h h o f f 应j jr 在e u l e r 主轴下表示为 f = t a p i l l 。 n p 口口= l 这时，口 将( 2 4 2 ) 式写为 = 锄 再利用式 = 筹卜铋 其中 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 可得 彬。、卜，2 恕等，c 豁厶， 毛_ + 知日+ f 。一，口 ，口 烈乞，岛2 g ( 厶) 一g ( 奠) 邓” i 易一乏一 当乞易) 孙罄b 鹕叫训 亿s s ， 上式对任意的变形率都成立，故要求屯的系数为零，因此有 - ( 等 南 ( 2 5 7 ) 特别地，对于s e t h 应变度量，当取h = 1 和，7 = 一1 时，( 2 5 7 ) 式将分别对应 那么有 和 础2 ； 和殇o = 幺厶砀。注意到 o ，口 f = r u = v ，r f = u r 7 = r r r 1 r ( ) = f 一r f 一1 r ( 一1 ) ：f 1 f f 如果取n = 0 ，则与对数应变e ( o 相共轭的应力可写为 r ) 甾饥o 口。口= i 称之为对数应力。 如果利用变形梯度张量f 在极分解式中的正交张量且，还可将( 2 4 2 ) 式写 为 f ：d = ( 足1 f 胄) ：( 胄7 d 胄) 由此可定义无旋变形率 d 8 = r d r = u - i , 应( ”u 1 ( 2 5 8 ) 以及与之相共轭的无旋应力： r 8 = r v f r ( 2 5 9 ) 上式可理解为对应于只有纯变形而无转动的“中间构形，上的k i r c h h o f f 应力。如 果7 的主方向正好与e u l e r 主轴 = l ，2 ，3 ) 相重合，即( 2 5 3 ) 式中的：0 ( 当 t 2 ) ，并注意到置= o 0 ，可知这时由( 2 5 9 ) 式表示的无旋应力t m ) l q i 好等于对数应力t ( m 。 一般说，( 2 5 8 ) 式中的d 并不直接对应于某一个( l a g r a n g e 型) 应变度 量的物质导数a 但当变形率张量d 的主方向在f 时刻正好与e u l e r 主轴 。= l ，2 ，3 ) 相重合时，则有 3 d = 屯甩。o ， ( 2 6 0 ) c t = l 即当口时= 0 而这时的对数应变e ( 。的物质导数可写为 其中 应旧) ：础虬 口 口口= l 础= 协 ( 当a = 口) ( 当口口) 对比以上两式，可得d 8 = 啻，可见当( 2 6 0 ) 式成立时，r ( r 也可以看作是与 对数应变e o = i n u 相共轭的应力。 故有 此外，当应变很小时，可对g ( u ) 在u = 1 处进行级数展开，可得 e ( 。) = ( u j f ) 一三( ，一，) 2 + 应( 。) = 疗一昙 ( u j ) 疗+ d ( u j ) + ：2 0 一三( u 6 - + d u ) + 、， 冉利用恒等式 u = 三( u 2 + j ) 一j 1 ( u j ) 2 ， 可知略去高阶小量后，有 u - 应u = 2 u d - u 一妻( u2 ，疗u + u d u 2 ) + = i ( u 2 + i ) 疗u + u 疗i ( u 2 + i ) 一三c u 2 疗u + 口，疗u z ，+ = 妄( _ 【：r u + u d ) + ：应( 1 + 因此，当应变很小时，由( 2 5 8 ) 式可得 d 畔= u - 应”u = 应( o + 高阶小量 ( 2 6 1 ) 说明这时的r 8 可近似地看作是与对数应变e ( o 相共轭的应力。 对于一般的应变度量e ，与其相共轭的应力t 也可以近似地用对数应力丁( 来加以表示。因为当应变e 很小时，有 应佃= 应一去( 1 + g ”( 1 ) ) ( 应e + e 应) + d ( e 2 ) 应 再由e o 和t o 的对称性，有 t ：e ：7 t ( o ) 费( o = r ： 应一寺( 1 + g ”( 1 ) ) ( 应e + e - 应) + o ( e 2 ) 应】 = r ( 0 1 一昙( 1 + g ”( 1 ) ) ( r ( 叭e + e r ( 。) + o ( t ( 叭e ：) 】：e z 因此，当变形较小时，t 可近似地表示为 z = r ( 一丢( 1 + g ”( 1 ) ) ( r ( 0 1 e + e f 。) + o ( t ( e z ) ( 2 6 2 ) 2 4 各向同性张量函数 自变量为张量的函数称为张量函数，其函数值可以是标量，也可以张量 2 0 】。 有f = f ( b ，d ) ，其中自变量曰和d 分别为仿射量和向量，为仿射量，它在 直角坐标系 巳 中的分量形式可写为【2 1 】【2 2 】 2 3 1 f “= ，”( b “，旷；p 。) ( 2 9 2 ) 定义当自变量和函数值在任意正交变换q 鸥下保持原有的函数关系时， 则称该函数为各向同性张量函数。当在任意正常正交变换q 时下保持原有的函 数关系时，则称该函数为半各向同性张量函数 2 】【3 1 。 对于以上的张量函数f = ，( 嚣，叻，如果对于vq 四， 有 q f q 7 = f ( q b q t , q d ) ，则称f 各向同性张量函数。 上式中的f 、b 和d 也可以是任意阶的张量。这时，f 是各向同性张量函数 的条件可写为 q 。f = f ( q 。b ，q 。d ) ， ( 2 9 3 ) 或 f = q o f ( q 。b ，q 。d ) ( 2 9 4 ) 其中，q 。f 表示q 对，的作用。 如果考虑到v q 仅，由 护( q c q 7 ) = 驴( c q 7 q ) = t r c( 2 9 5 ) 可知c 的第一不变量i ( c ) = t r c 是各向同性的。 其次，由 ( q c q 7 ) 2 = ( q c q 7 ) ( q c q 7 ) = q c 2 q r ( 2 9 6 ) 可知有 驴 ( q c q 7 ) 2 】：t r ( q c 2 q 7 ) = t r c 2 ，( 2 9 7 ) 即驴c 2 是各向同性的，因此c 的第二不变量i i ( c ) ：三 ( t r c ) z - t r ( c z ) 】也是c 的各 向同性函数。 最后，由 d e t ( q c q 7 ) = ( d e t q ) 2d e t c = d e t c ， ( 2 9 8 ) 可知c 的第三不变量i i i ( c ) = d e t c 是各向同性的。总之，仿射量c 的三个主 不变量是标量值的各向同性函数。 2 5 各向同性张量值函数的表示 2 5 1 r i v l i n - e r i c k s e n 方法与相关问题 令r 为实数，s y m 表示为三维欧氏空间中的所有对称二阶张量的空间，张 量子空间s y m 是一个实矢空间，事实上，如果a ，丑s y m ，那么 a ：b = 如b 。 ( 2 9 9 ) 若，是一个从s y m 空间到实空间的映射，那么我们称厂为s y m 空间下的一 个标量函数。此外，一个从s y m 空间到s y m 空间的映射p ，则称为s y m 空间上 的一个对称张量值函数。我们也就有 t = 妒( 4 ) ( 2 1 0 0 ) 其中a s y m 如果s y m 中的标量函数厂与张量函数9 分别满足 f ( q a q 7 ) = f ( a )( 2 1 0 1 ) 尹( q a q 7 ) = q 伊( 4 ) q 7( 其中q 毡)( 2 1 0 2 ) 那么通常称，与伊分别为a s y m 中的各向同性不变量与各向同性张量函 数。在r i v l i n e r i c k s e n 的理论中告诉我们s y m 中任何张量函数口都可以由三个 基，、4 与爿2 线性表示【2 4 j 【2 5 】 2 6 】【2 7 】【2 8 1 。也就是 t = 伊( ) = c r o l + c t l a + 爿2 ( 2 1 0 3 ) 其中嚷= q ( 4 ) 是a s y m 中的各向同性不变量，j r 为二阶单位张量。 尽管上述表达式早在六十多年前就已经建立，不过在最近的一些研究里发现 其中还牵连着一系列问题有待解决。 首先，如果给出a 、t 的值，那么就可以试着解出未知系数口，。在这种情 况下，我们需要关联起d ，与a 及r ，这是可以做到的。对上述方程式考虑4 的 三个特征方向，也就是 t = 口o + 口l a 女+ 口2 a k 2 七= 1 ，2 ，3 ( 2 1 0 4 ) 这里t k ，a k 分别是张量r 、a 的特征值，以_ l 一- - l 一w “d 3 出了相对于特征值气、 吼的系数口的显式，也就是 口，= g ，( 口l ，4 2 ，q ，t 2 ，t 3 )( i = 0 ，i ，2 ) ( 2 1 0 5 ) 我们对上式考虑a 的不同特征值情况。( 2 1 0 3 ) 式为4 有三个不同的特征值时r 的 表达式，而4 有两个相同的特征值时 t = 妒( ) = 屁j + 届a( 2 1 0 6 ) a 有特征值的三个相同时候 t = 尹( 4 ) = y 0 1 ( 2 1 0 7 ) 其中、屈及风是假定不同情况下的相关系数。很显然，象( 2 1 0 3 ) 等都必需先 计算出4 及r 的特征值。 其次，如果各向同性张量函数妒( a ) 是光滑的也就是说妒( 4 ) 是连续可导的， 那么我们就想知道系数口，会有什么类型的光滑性。这个问题起先是由s e r r i n 研究 过，后来由t r u e s d e l l 和n o l l 给出了结论，此处不赘述。 第三，( 2 1 0 3 ) 式，只知道妒( 爿) 的连续可导性也不能保i i t ! a ，的连续性。事实 上，尽管各向同性张量函数伊( 爿) 的c ”光滑性与系数口，的c 。光滑性相关，但是 只有妒( 一) 的二阶连续可导性才能保证每一个酣，的连续性。在很多情况下，对于 t = c p ( a 1 的三阶连续可导甚至更高阶的可微性假设有时是不必要的甚至是不现 实的。鉴于此，寻找一个新的表达式就成了必要。 2 5 2x i a o 1 t 的工作 2 5 2 1 另一种表示 对于s s y m ，我们设它的迹与偏量： t r s = i ：s ( 2 1 0 8 ) 蜃：s - 坐， 3 定理对于各向同性张量函数9 ( 4 ) ，式子 r = 伊( 4 ) = c o ，+ c l 4 + c 2 g ( 4 ) r 2 1 0 9 ) ( 2 1 l o ) 成立。其中，c 是a 的各向同性不变量，且 g ( a ) = i l ! t i l2 j 2 一( 互：a 2 ) j ( 2 1 1 1 ) 应该指出的是j 2 是a 2 的偏量，也就是 j 2 = 4 2 去( f ：a 2 ) f( 2 ，1 1 2 ) 证明：此处需要证明的是一组三个张量基f 、互及g ( a ) 与一组三个张量基j 、a 及a 2 是相当的。对于此，我们考虑a s y m 的特征值不同情况 首先，假设4 有三个不同的特征值，那么i 卜4 忙o ，从( 2 1 0 9 ) 式及( 2 u 1 ) ，t ， 可以很明显地知道上述两种基是相当的。 其次，假设4 有三个相同的特征值，那么，有a = a l ，a 2 = a 2 1 ，在这种情 况下，上述两种表达式都归单位张量，所以上述两种基是相当的。 第三，假设a 有两个相同的特征值，那么a 必然是一个二维张，这种情况下， 基于c a y l e y - - h a m i l t o n 理论。4 2 是f 与a 的线性组合表示，因此，前述两种形 式可以分别由 f ，a 与 j ，j 导出，显然，它们是等价的。 所以，我们可以得上述两种组基是等价的，加上r i v i l i n e r i c k s e n 理论，我们 知道( 2 1i 0 ) ，( 2 111 ) 式成立【2 3 】【2 4 】【2 5 】 2 6 】 2 7 】( 2 8 1 1 2 9 1 。 2 5 2 2 系数的插值法表示( i n t e r p o l a t i o ne x p r e s s i o n sf o rc o e f f i c i e n t s ) 显然( 2 1 1 0 ) 式中的三个基是一个正交系统。事实上，有 3 0 】川 j ：五= 0 f 2 1 1 3 ) i ：g ( 4 ) = 1 1 j i l 2 ( j ：j 2 ) ( 彳? a2 ) ( j r ：j ) = 0( 2 1 1 4 ) j ：g ( 4 ) = l l 彳1 1 2 ( j ：彳2 ) 一( j ：a 2 ) ( ，：彳2 ) = 0( 2 1 1 5 ) 根据正交性质，我们可以获( 2 1 1 0 ) 、( 2 1 1 1 ) 式中的系数c 的表达式 5 6 】【5 7 8 9 1 事实上 c：巡，2 | j g ( 4 ) 2 r ：，= c o i + c la + c 2 g ( ) ：i = c o ，：，+ c l 彳：l + c 2 g ( 4 ) ：j ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 2 3 c o t ：4 = c o i + c lj + c 2 g ( 4 ) ：五 = c o l ：a + c 1a 一：a 一+ c 2 g ( 4 ) ：五 = c ，2 t ：g ( 4 ) =