（水声工程专业论文）浅海水声信号多途时延估计.pdf

亘! ! 三些查堂堡圭兰垡笙苎 塑里 a b s t r a c t t h ep r o b l e mo ft i m ed e l a ye s t i m a t i o n ( t d e ) w i t hm u l t i p a t ht r a n s m i s s i o n s a r i s e so f t e ni nm a n ys o n a rs y s t e m s t i m ed e l a ye s t i m a t i o nw a sw i d e l yu s e di n m a n y a r e a ss u c ha st a r g e tl o c a l i z a t i o n ，d i r e c t i o n so f a r r i v a l ( d o a ) e s t i m a t i o n i nt h i st h e s i s ，w es y s t e m a t i c a l l yd i s c u s st h et i m ed e l a ye s t i m a t i o nm e t h o d s w h i c ha r ew i d e l yu s e di nu n d e r w a t e rs i g n a lp r o c e s s i n g f o rt h e a p p l i c a t i o no f u n d e r w a t e ra c o u s t i c s y s t e m s ，w ep r e s e n tt w oa l g o r i t h m si nd e t a i l ：m u s i c a l g o r i t h mb a s e do n t h ee i g e n v a l u e d e c o m p o s i t i o na n dl e a s ts q u a r em e t h o d a tf i r s t ，w ep r e s e n ta l li n t r o d u c t i o no f t h et d e a n dg i v ea g e n e r a li d e ao f t h e r e s e a r c h t h e nw ed e s c r i b et h ep r e - p r o c e s s i n gm e t h o df o rt h es i g n a lp r o c e s s i n g a n d p r e l i m i n a r i l yd e s c r i b et h ea c o u s t i cf i e l do fs h a l l o ws e a i nt h ef o l l o w i n gt w o c h a p t e r s ，w ea n a l y z et h et w oa l g o r i t h m so n eb yo n e f o rt h ed i f f e r e n ta l g o r i t h m s ， w ec a r r yo nd i f f e r e n tc o m p u t e rs i m u l a t i o n e x p e r i m e n t sa n da n a l y z et h et d e r e s u l t sf o rd i f f e r e n ts n r t h r o u g ht h ew o r ko ft h i st h e s i s ，w e s y s t e m a t i c a l l ya n a l y z es o m ee x i s t i n g a l g o r i t h m sa n dm a k et h e s et d e a l g o r i t h m ss u i t a b l ef o ra p p l i c a t i o n i ta l s om a k e s t h e s ea l g o r i t h m s e a s y t ob eu s e di nt h eu n d e r w a t e ra c o u s t i cs y s t e m k e y w o r d s ： s o n a r m u s i cm e t h o d l e a s ts q u a r em e t h o d m u l t i p a t ht i m ed e l a ye s t i m a t i o n e i g e n v a l u ed e c o m p o s i t i o n c o m p u t e rs i m u l a t i o n 堕! ! 三、业查堂堡圭兰垡笙茎一一! ! 旦 第一章绪论 1 、研究背景及意义 在现代雷达、声呐等许多领域，经常需要精确地测量目标的距离和方 位的参数m ，其关键技术之一就是时延估计，而对于被动声呐系统而言， 其获得目标距离和方位的途径就是利用传感器阵列，通过检测目标发出的 声音，计算各传感器所测信号的时延差，根据几何定位原理获得距离值。 时延估计是被动声定位的基础，其精度直接关系到定位精度是否能满足实 际要求，也是多途分离、目标特征提取、分类识别等信息提取技术的基础。 在水声研究领域，由于水声传播信道的介质空间的非均匀性，水声信 道必然存在多途现象，也就是说在一定波束宽度内发出的声波可能沿着几 种不同的路径到达接收点。并且由于声波在不同路径中传播时由于路径长 度的差异，到达该点的声波能量和时间也不相同，从而引起信号的衰减， 造成波形畸变。因此我们在考虑浅海声道信号时，必须考虑信号时延带来 的问题，并采取相应的算法。 由于我们得到的是由位于浅海的声源发出的声信号，这些声信号是由 一个确定的声源发射出的信号，不同的声信号经由不同的路径和时间到达 接收机。这些不同时间到达的信号，可以看作是由不同的“镜像”声源发 出的信号，因此我们也可以将多途信号估计看作是多信号分离问题，当我 们将不同的信号分离出来，就可以利用信号的相位和幅度变化得到源信号 的位置信息。 为了将不同的“镜像”声源分离，我们可以采用不同的算法来获得结 果。经常使用的方法有自相关估计法、时域盲分辨估计u 。】、自适应解卷积m 】 处理等。在这里我们采用多信号分类的方法来获得想要的结果。 堕垫王、业奎兰堡：! 兰垡堡塞一 ! i 鱼 2 、时延估计问题的研究现状 盲源分离( b l i n ds o u r c es e p a r a t i o n ) 是基于神经网络的无监督学习算法 研究中出现的一种新方法，随着1 9 8 7 年h j 网络成功实现两路输入信号的 盲分离，相继涌现出了许多信号盲分离的算法，并已广泛应用于信号处理 和通讯中的各个领域。实现信号盲分离的先决条件是网络的输出信号间除 了互不相关外，还必须相互独立，因此，盲分离问题与输入数据的独立分 量分析( n d e p e n d e n tc o m p o n e n t a n a l y s i s ，i c a ) 紧密相连。 目前经典的时延估计( t i m ed e a ye s t i m a t i o n ) 技术采用的是匹配滤 波近似方法口3 1 ，利用发射波形与接收波形求相关后的峰值到达时间的估 计。该方法的优点是对噪声具有较强的宽容性，但它依赖于发射的自相关 函数的主峰宽度( 近似为信号带宽的倒数) 。为了提高多途信号的分辨能 力只能依靠发射更大带宽的信号，从而对整个声呐系统提出了更高的要求。 本文讨论随机信号的多途时延估计。近年来，由于高分辨率谱估计技 术以及优化技术的迅速发展，出现了许多时延估计技术，例如最大似然m l ( m a x i m u ml i k e l i h o o d ) 方法；反演滤波( i n v e r s ef i i t e r ) 方法：期望 值最大( e x p e c t e dm a x i m u m ) e m 算法；非线性最小二乘n l s ( n o n l i n e a r i t y l e a s ts q u a r e s ) 算法 6 1 等等。 非线性最小二乘方法求解多途信号时延估计问题具有适应性强和抗噪 声干扰能力强等优点，已成为很有发展前途的计算方法。但由于发射信号 通常具有一定带宽的脉冲信号，接收信号与发射信号之间的相关函数在发 射频率附近是一个振荡函数，目前存在许多算法，如带惩罚函数的最小二 乘法、模拟退火算法和w r e l a x 算法等。但是这些算法都面临一个局部优化 点的问题，因为若限制信号幅度为实数，从理论上而言可以获得时延参数 的真实值，但由于代价函数是激烈振荡的函数，在实际运算过程中，要获 得代价函数的全局最小值非常困难。另一方面，若允许信号幅度为复数， 可以解决代价函数的全局最小值问题，但要求信噪比足够高，否则将导致 西北工业大学硕士学位论文 参数的估计存在偏差盯】。 关于多途时延估计的方法，还有最大熵法、自相关法、倒谱法、特征 值法【2 2 、2 “2 4 矧以及一些自适应方法。最大熵法可以达到时延估计方差的下 界，但它的应用需要先验知识，即必须知道声源信号和背景噪声的谱密度 分布函数，文献 4 介绍了一种高分辨率的多途时延方法，当信号带宽的倒 数大于多途时延时，该方法仍然有效，这种方法的局限性在于要求信号及 噪声的谱密度函数不仅是确知的，而且是平坦的。自相关法和倒谱法直接 计算接收信号的自相关函数或倒谱函数，如果信道存在多途结构，则在相 应的时间延迟位置上自相关函数或倒谱函数将会出现一个峰值。自相关法 和倒谱法不需要任何先验知识，在实际应用中仍为最直接和方便的方法。 自相关法的限制是要求时延值不小于信号带宽的倒数，否则相应于多途时 延的峰值由于过于靠近自相关函数主峰而无法分辨。特征值法是近年来新 发展的一种方法，属于自相关方法的一种，利用时空类比的方法，将空间 上的传感器类比于时间上的延迟，通过对于接收数据矩阵进行特征值分解 的方法，来求出接收矩阵的特征值及特征向量，运用不同的方法，对这些 特征值进行分析，获得信号的多途时延估计。 3 、论文研究的重点及意义 通过上面的论述，总结了近年来多途时延估计算法的发展概况。多途 时延估计算法由于对于源信号的先验知识要求较少，因此受到人们广泛的 重视。但目前许多时延估计的研究主要针对通信信号，其应用也局限于通 信领域，而对于水声信号处理，其应用背景及信号的特性都与通信信号不 同，研究的思路和方法也会有所不同。 本文将主要针对浅海中的水声信号系统，采用基于接收信号特征值分 析基础上的时延估计算法和基于非线性最小二乘法的时延估计算法。首先 西北工业大学硕士学位论文 绪论 通过理论分析，对于现有的多途时延估计算法进行逐一分析整理，然后通 过计算机仿真试验，分析不同算法在不同条件下对目标时延的分离效果。 希望本论文的研究工作，可以使现有的一些时延估计算法可以得到系 统的分析、整理，并将这些算法进一步向工程化、实用化靠近，为这些技 术在水下声系统中的实际应用奠定良好的基础。 堕! ! 三些查兰堡主堂些丝苎堕堂皇堑苎! ! l 第二章浅海声场模型 由于我们所要研究的对象是浅海声场的水声信号，一般的情况下我们研究 的信号都是主、被动声呐信号的数据，因此我们有必要了解有关信号及声场的 基本知识“1 。 1 、声呐系统概述 1 1 、概述 声呐( s o n a r ) 是利用水下声波判断海洋中物体的存在、位置及类型的方法和 设备。然而人们更习惯于将声呐理解为具体的设备，因而凡是用声波对水下目 标进行探测、定位、跟踪、识别，以及利用水下声波进行通信、导航、制导、 武器的射击指挥和对抗等方面的水声设备都属于声呐这一范畴。 由于声呐是利用水下声波对目标进行探测和定位的设备，因而水面舰艇、 潜艇、鱼雷、水雷、水下暗礁、鱼群及其它能发出声波或产生回波的水下物体， 均可作为声呐的探测目标。所以，声呐在军事上和国民经济中具有广泛的用途。 声呐广泛应用于民用目的是从第二次世界大战结束后开始，并随着海洋事 业的发展使用范围日益扩大。除回波测深外，海底地貌测绘、海洋地质考察、 船舶导航、鱼群探测、遥控遥测等都越来越依赖于声呐。在海上石油勘测和开 采过程中，在水下石油管道铺设与定位、船舶动力定位、井口重入等方面，声 呐已经并将进一步发挥其重要作用。 声呐在军事上的应用始于第次世界大战。例如水下目标探测、定位及跟 踪、水下武器的射击指挥、水下通讯、水雷探测、水下导航、目标识别、水下 武器制导、侦察与干扰等几乎都首先在军事上得到应用。 亘j ! 王些查堂堡圭堂篁笙苎 垡塑主堑堡型 水下目标探测，是指利用目标自身发出的声波( 包括自身的噪声或主动发 出的声信号) 或目标的回波来确定目标的存在。目标定位则是利用上述声波来 确定目标的位置，包括目标的距离、方位及深度。对水中感兴趣的目标进行连 续不问断的跟踪探测称为跟踪。区分目标的类型和性质是通常所指的识别。这 里所谓目标的类型和性质是指目标的大小，是假目标或真目标。 1 2 、声呐技术现状 目前被动式声呐发展中的一个突出成就就是被动测距声呐的使用。早期的 被动声呐只能测定目标方位，不能测定目标距离。7 0 年代被动测距声呐的出 现是声呐技术的一种重大突破。它意味着潜艇可以完全依靠被动声呐对敌舰进 行定位，并引导鱼雷实施攻击。这对在海战中保持潜艇的隐蔽性和增强潜艇的 突然袭击能力，具有极其重要的意义。 传统的被动目标识别方法是采用听觉，由有经验的声呐操作员来判别目标 的性质。近年来国内外都十分重视被动识别技术的研究。因为潜艇为保持其隐 蔽性，很少使用主动声呐，因而利用被动声呐根据接收的目标噪声识别目标的 性质( 水面舰艇或潜艇、何种类型的舰艇等) 就显得尤为重要。目标识别的过 程由特征分析、特征提取和目标分类鉴别三步构成。由于进行目标识别时必须 有个包含各种目标信息的数据库和一整套目标识别软件，因此目标识别系统 实际上是一个复杂的计算机软件工程。被动目标自动识别技术的使用，无疑是 声呐发展技术的项重要成就。 2 、声呐系统的分类 声呐系统分类的方法很多，按照工作原理或工作方式划分可分为主动式声 呐和被动式声呐。下面简要介绍其工作原理。 耍韭三些查堂堡主兰垡笙苎墅翌壁壁坠 2 1 、主动声呐 有目的的主动从系统中发射声波的声呐称为主动声呐。它可以用来探测水 下目标，并测定其距离、方位、航速、航向等运动要素。主动声呐发射某种形 式的信号，利用信号在水下传播中障碍或目标反射的回波来进行探测。由于目 标信息保存在回波之中，所以可以根据收到的回波信号来判断目标的存在，并 测量或估计目标的距离、方位、速度等参量。此外由目标回波的幅度、相位及 变化规律，可以识别出目标的外形、大小、性质和运动状态。 图2 1 主动声呐原理 主动声呐主要由换能器基阵( 常为收发兼用) 、发射机( 包括波形发生器、 发射波束形成器) 、定时中心、接收机、显示器、控制器等几个部分构成( 图 2 1 ) ，其中接收机有丰富的内涵。近代声呐接收机包括了前置预处理器或信号 调节器、信号处理器。信号调节器包括必不可少的前置放大器、滤波器和归一 化电路，以及采样保持电路和模拟数字 n + 1 ) 个实验点( x i i ，x j 2 ，工“；y i ) ( f = 1 ，2 ，垅) 确定出一组参数值( d 。，4 l j - 口。) ，使由这组参数得出的函数值 箩= f ( x ，x ：，x ，；a o ，o l ，- n 。) 与实验值y f 之间的偏差平方和 m s ( ，q ，) = ( y - y ) 2 取得极小值。 f - l 在设计实验时，为了减小随机误差，一般进行多点测量，使方程个数 大于待求参数的个数，即晰 n + 1 。这时构成的方程组叫做矛盾方程组。通 过用最小二乘法进行统计处理，将矛盾方程组转换成未知个数和方程组个 数相等的正规方程组，再进行求解得出口。，4 1 ，a 。 由微分学求极值的方法可以知道a 。，口l ，a 。应该满足下列方程组： 罢= o ( 1 = 1 , 2 ，n ) ，这样就实现了矛盾方程组向正规方程组的转换。 o a i 这里，若方程y = 厂( ，茗：，x t ；a 。，口1 ，- 一a 。) 中变量之间的关系不是线性 变化的，我们称这种估计为非线性晟小二乘估计。 西北工业大学硕士学位论文 已知信号的时延估计 2 2 、算法理论分析 非线性最小二乘方法求解多途信号时延估计具有适应性强和抗干扰能 力强等优点，已经成为很有发展前途的计算方法。但是该算法有一个局部 优化点的问题。因为若限制信号幅度为实数，理论上可以获得时延参数的 真实值，但由于代价函数是激烈振荡的函数，在实际运算过程中，要获得 代价函数的全局最小值就非常困难。另一方面，若允许信号幅度为复数， 可以解决代价函数的全局最小值问题，但要求信噪比足够高，否则将导致 参数的估计存在偏差。解决这个问题的最好方法是首先将接收信号模拟成 一个带有不同复数振幅的发射信号的时间漂移之和，以便获得很好的时延 参数的初始估计值。然后，通过求解实数振幅的非线性最小二乘代价函数 的全局最小值获得时延参数的真实值。 该算法是在频域内求解非线性最小二乘代价函数全局最小值的算法。 但是这种算法要求给出具有一定精度的初始值，否则可能收敛于局部最小 值，而不是全局最小值。在本文中，我们使用谱估计和最小二乘算法相结 合的方法来进行信道参数估计。首先，我们用谱估计的方法来获得时延的 初始估计值川。然后利用高斯一牛顿方法求解带惩罚代价函数的最小值， 确定时延和幅度参数的真实值。 2 3 、参数模型 在水声信号中，多途信号时延估计问题的模型可以简单表示为 m z ( f ) = 。s ( 卜o ) + p ( f ) o 门限值) = q l ，q 2 ，q x = ( 研g 。】，x q 2 ，x q ) 7 万= ( q ，口2 ，a m ) 7 = ( 1 ，2 ，一，o m ) 7 s = m a g ( s q 1 ，s q 2 卜，s q 】) a ( o o = e l q q t e j 。月2 ： e q n e j q m e ，。2 口2 ： e j 。2 乱 e j 。m q l e y o “u q 2 ； e i 。q l 公式( 3 8 ) 就是通常情况下的最小二乘法估计器，其中幅度允许是复数，代 价函数相对比较平滑，有利于寻找全局最小值。然而，在s n r 不是足够高 西北工业大学硕士学位论文 已知信号的时延估计 的时候，代价函数存在偏差，将导致延迟参数的估计偏离真实值。 对于任意固定的，使c ( a ，) 最小的幅度口满足： 口= ( p “p ) 。p ”r ( 3 9 ) 上式中的上标h 表示共轭转置，将公式( 3 9 ) 代入公式( 3 8 ) ，得： 啦) = f ，一施x p ”p ) _ 1 p ”】z ( 3 1 0 ) 现在，代价函数仅仅是时延向量的函数。求解这种代价函数最小值的常 用算法是g a u s s - n e w t o n 方法。该方法采用一阶微扰展开的方式将非线性最 小问题转化为线性问题，求解一系列这种线性问题直到收敛为止。本文使 用m a t l a b 软件包中的f m i n s e a r c h 函数寻找问题的解。 2 5 、初始值的估计 对于初始值a 。，国。的选择，l i 等人提出的w r e l a x 算法求解一系列 一维最优化问题，获得时延和幅度参数的真实值。 对于初始值的估计，令 x 。= x 一q p ( c o f ) ( 3 1 1 ) 公式( 3 1 1 ) q a 的口，o j i ( i = 1 , 2 ，m 一1 ，m + l ，m ) 为已知给定值，那么公式 ( 3 1 0 ) 就变为： c g 。，) = 0 以一a m 尸( ) 】1 2 ( 3 1 2 ) 一维最优化问题， c ( a 。，。) 达到最小值时，幅度的初始值a 。满足 驴 时延参数的初始值西。满足： - 2 2 ( 3 1 3 ) 耍! ! 三些奎堂堡主兰堡垒苎一呈塑笪兰堕堕! ! ! 查生 西。硼叫卜；等酬f f 2 通过以上的分析，当我们确定了多途信号的数目m 以后，我们就可以 计算初始值，下面是其具体步骤： ( 1 ) 假设m = i ，利用公式( 3 1 3 ) 和公式( 3 1 4 ) ，从x 中获得 瓦，0 3 。) ( 2 ) 假设m = 2 ，利用步骤( 1 ) 获得砸。，西。 。，由公式( 3 1 1 ) 计算x ：，进而从 x ：中获得 瓦，西。 。，之后，利用获得的 a 。，西。 。，计算x 。，重新 确定 瓯，西州 。，再利用新获得的 瓦，瓯) 。，计算_ ，2 ，进而重新确定 a 。，瓯) 。最后，将重新确定的 a 。，0 3 。) 。：，作为初始值，由 g a u s s - n e w t o n 方法计算代价函数( 3 1 0 ) 的最小值，确定振幅，时延的收 敛值。 ( 3 ) 假设m = 3 ，利用步骤( 2 ) 获得 瓦，西。) 。：，由公式( 3 1 1 ) 计算五，进而 从置中获得 k ，蛾) 。，之后，利用 瓦，瓯) 。计算，重新确定 a 。，0 3 。) 。再利用 l ，瓯 。以及新确定的 a 。，0 3 。) 。，计算x ：，进 而重新确定 a 。，西m ) 。；：。在重复上述步骤，重新确定 a 。，面。) 。最后 将重新确定的 五。，西。 。：，作为初始值，由g a u s s n e w t o n 方法计算代价 函数( 3 1 0 ) 的最小值，确定振幅、时延的收敛值。 ( 4 ) 重复进行上述过程，知道m 等于给定信号数目，从而最终确定未知参 数 瓦，西，) 卅- l 知w 。 而在实际的算法实现中，我们采用m a t l a b 中的p m u s i c 函数和功率谱 分析的方法来获得代价函数的初始值，该函数可以较好的抑制噪声。我们 可以用p m u s i c 函数1 对公式( 3 5 ) 中的h ( n ) 作功率谱分析，为了增加信号 2 3 两北t 业大学硕士学位论文 已知信号的时延估计 的可信度，我们可以对( 一) 进行截断，因为在其带宽内其信号谱则相对平 滑，这种方法相当于给h ( n ) 加了一个矩形窗函数，则我们可以得到 疗c n ，= f 孑 姜喜” c s s ， 式中豆( n ) 为加窗后的h ( n ) ，n 。和”：分别为发射信号s ( f ) 的带宽上限和带宽 下限，对詹( 月) 用p m u s i c 的方法进行谱估计，可以获得作为初始值的。 进一步获得精确的口。和可由带惩罚函数的最小二乘估计器计算得到。 时延估计的精度是多途时延估计的另一个重要方面，目前的多途时延 估计要求时延估计要有较高的估计精度，要求实现高分辨率的估计。实际 上，高分辨率问题是多途时延估计的关键问题，因此，对于初始值的选择， 也要达到一定的精度，前面介绍的用p m u s i c 估计初始值的方法，可以获 得具有较高的分辨率的初始值，进而得到高分辨率的时延估计。 3 、算法仿真实现 假设发射信号是一个加窗的线性调频f m 信号： z ( f ) = a ( t ) s i n ( 2 _ ，( b t 2 + 五，) ) ，o t m ，则s ，是奇异的。但由于噪声阵 的存在，r ，的秩仍为p + 1 ) 。现在我们将s 。作特征分解，得 p + l s ，= 丑v j 甲( 4 3 2 ) i = 1 v 是对应于特征值丑的特征值向量且特征向量之间是正交的，即 v ，v ，：j 2 。【0i ， “3 3 ) 这里，若r a n k ( s ，) _ m 印+ 1 ，那么s ，将有o ，+ 1 m ) 个零特征值，先将特征值按 照从大到小的顺序排列，也就是 如钆，那么公式( 4 3 2 ) 的特征值分 解可以表示为： 吖 s ，- - z x , v , v f ( 4 3 4 ) 这里v l ，v 2 ，又称为主特征向量。由公式( 4 3 3 ) n - 失l l ，单位阵j 也可以表 示为特征向量v 的外积，即 口+ l i = v 吖 k l 将公式( 4 3 4 ) 、( 4 3 5 ) 代入公式( 4 3 1 ) 有 - 3 8 “3 5 ) 西北工业大学硕士学位论文 未知信号的参数模型和高分辨率参数估计方法 r ，：m 丑v 甲+ 成艺+ iv ，h “m 1 (436)p+l 、， = ( 丑+ p 。) v y f + 成v 叩 次式即为相关阵r ，的特征分解。显然，相关矩阵r ，和信号矩阵s ，有着相同 的特征向量。它们所有的特征向量v l ，v 2 ，k + 。形成了一个p + l 维的向量空 间，且v l ，v 2 ，k + 。是互相正交的。进一步，这个向量空间又可以分成两个 子空间，一个子空间是由特征向量v 0 。v 0 。，v ，+ ，张成的噪声空间，该空 间中每一个向量的特征值都是成；另一个子空1 9 是由主特征向量 v l ，v 2 ，v 0 张成的信号空间， 其特征值分别是 ( p o + ) ，( p o + 五) ，( p o + 钆) ，成在此反映了噪声对信号空间的影响。 2 2 、基于信号子空间的频率估计及功率谱估计 对于公式( 4 3 6 ) ，如果我们舍弃噪声子空间v 0 。v 。，l 只是保留 信号空间，那么我们将用秩为m 的相关阵矗。 最一2 蕃( ”p , u ) v i v i ( 4 3 7 ) 来近似蠢一，这样大大提高了信号z ( n ) 的信噪比。基于矩阵感，在利用经典 的功率谱估计的方法，我们可以估计x ( n ) 的功率谱，并且可以得到好的频率 估计和功率谱估计。 2 3 、基于噪声子空间的频率估计及功率谱估计 在前面所述的公式( 4 3 6 ) 中，若p = m ，则食，只含有一个噪声空间的特征 西北工业大学硕士学位论文未知信号的参数模型和高分辨率参数估计方法 向量v ”+ l ，它所对应的特征值也就是噪声的方差成。由于五。= o ，因此成 也是r 。的最小特征值。 在这种情况下，我们也可以知道噪声空间的特征向量v 。+ 。和信号向量 e i ( f = 1 , 2 ，p ) 也是正交的。 对于公式( 4 3 6 ) 以及( 4 3 1 ) ，我们可知 r ，k + ，= ( s ，+ w ) + ，= 成。( 4 3 8 ) 及 s ，k + l = 0 ( 4 3 9 ) 若再定义矩阵 e 2 ( q ，e 2 ，) ( 4 4 0 ) 止卜4 采么 s ，= e a e ” 式中e 是( m + 1 ) x m 的v a n d e r m o n d e 矩阵。 这样，公式( 4 3 9 ) 可以写成 e a e ”+ i = o 对公式( 4 4 3 ) 左乘以v 嚣有 v l ，e a e ”+ 。= ( e 8 k + ，) “a ( e ”k + 。) ：0 因为矩阵a 是正定的，所以我们可以知道 e ”v m + l = 0 也就是说 4 0 ( 4 4 1 ) r 4 4 2 ) ( 4 4 3 ) r 4 4 4 ) r 4 4 5 ) 堕j ! 三些查兰堡主堂垡堡兰 查塑堕曼塑童塑堡型塑堕坌塑垩童塑堕盐! ! 塑 f + l = + l ( k ) e x p ( 一j g o i k ) = o i = 1 ，2 ，m( 4 4 6 ) 这也就是我们前面所说的噪声空问的特征向量v 。和信号向量之间 e i ( f = 1 ，2 ，p ) 也是正交的。 如果我们令z = e “，那么公式( 4 4 6 ) 可以写为 m 矿( z ) = + 。( 七) z = 0 ( 4 4 7 ) 这里，多项式v ( z ) 的m 个根将在单位圆上的，处，1 i s m 。解此多项式 信号向量岛o = 1 , 2 ，p ) 的m 个频率就可以估计出来。这里公式( 4 3 9 ) 、( 4 4 6 ) 和( 4 4 7 ) 就是p i s a r e n k o 谐波分解 皿) 方法的理论基础。 我们总结p i s a r e n k o 谐波分解的具体做法为： 按照公式( 4 2 5 ) 的表达式求数据工( 疗) ，n = o ，l ，n l 的自相关函数，或是按 照其它的方法估计自相关函数，由( 0 ) ，( 1 ) ，r a p ) 形成自相关阵r 。，并且 我们假设m = p 。 对自相关阵r ，作特征值分解，得到特征值 ，如，以+ ，及相应的特征向量 v 1 ，v ：，v 。，并且将这p 十1 个特征值按照大小顺序排序。然后选其中最小 的特征值以+ 。及相应的特征向量v p 将特征向量v 。代入公式( 4 4 7 ) ，形成p 阶多项式矿( z ) ，并对此多项式求根 得到信号x ( n ) 的m 个频率l ，2 ，_ i l f 。 由公式( 4 2 5 ) ，可知 堡些三些奎兰堡主兰垡笙茎 查塑笪呈! 堕塾堡型塑壹坌茎兰兰墼堡i 堕 e x p ( j c 1 ) e x p ( j 2 0 0 1 ) e x p ( j c 0 2 ) e x p ( j 2 c 0 2 ) e x p ( j m c 0 1 ) e x p ( j m c 0 2 ) 可以求出正弦信号的幅值a ，a 2 ，a u 。 再由公式“2 5 ) ，有 m ( o ) = a i + 几 i = 1 可以求出所含噪声的方差( 即功率) ，即 几= ( o ) 一4 ( 1 ) ( 2 ) ( m ) r 4 4 8 ) ( 4 4 9 ) ( 4 5 0 ) 按照上述五个步骤可以实现p i s a r e n k o 谐波分解，较好的估计出正弦信号 的各个参数。 若噪声空间的向量不止一个，用上述的方法同样可以证明信号向量e i 和 噪声空间都正交，即 ( e fv k ) = o ，i = 1 ，m ，k = m + 1 ，一，p + l ( 4 5 1 ) 由于自相关r 。的特征向量v l ，v 2 ，v p + 。构成一组正交基，由前面的结论，信 号向量p ，e ：，和信号空间的向量v l ，v 2 ，必然张成同样的空间，即 s p a n e l ，e 2 ，e ) = s p a n v l ，v 2 ，v m ) ( 4 5 2 ) 公式( 4 。5 1 ) 和公式( 4 5 2 ) 对应m 以 九。令 =pp一1。2aic(m)-2lg i x 7 玎”哪肿+2m(2p训72)i=m+lpm i = m + l = i 一 厶一ilm ) ( 4 一 l 当公式( 4 7 2 ) 9 b 的im 由0 增加到p 1 时，最小的a i c ( m ) 所对应的就是信号 子空间的维度。 5 、本章小结 本章我们介绍了有关平稳随机信号和其功率谱估计的一些基本知识。并 在此基础上介绍了未知平稳随机信号的频率估计算法以及估计频率谱的经典 的m u s i c 算法，这些运用于频域内的算法是我们下一章中进行未知信号时延 估计的算法基础。 西北工业大学硕士学位论文 基于特征值分解的时延估计算法 第五章基于特征值分解的时延估计算法 在上一章我们介绍了频域的m u s i c 方法。在本章，我们将该方法应用 于时域的时延估计。将该算法进行计算机仿真，然后讨论该算法在不同条 件下的结果，并论述其不足之处。 1 、m u s i c 算法的时频类比 在前一章，我们介绍了基于频域的m u s i c 算法，该算法用于在频域内 具有不同频率分量的混合信号的分离，其目的就是分离出混合在一起的具 有不同频率的信号的具体的频率值。 在我们研究的浅海声场系统中，我们的方法所要处理的信号是同一个 目标源发出信号经过不同的传播途径后到达接收器的混合信号，在这个混 合信号中，原始信号只有一个，所有多途信号都是该原始信号经不同时延 后所产生的。对于真实的海洋环境，这些接收信号是混合了环境噪声后的 混合信号。若原始信号为x ( f ) ，则它的时延信号为x ( t t i ) ，i = 1 , 2 ，n 。 1 1 、频率域m u s i c 的数学表示 下面我们考虑频率域的混合信号，对于频域的离散混合信号，我们有 m z ( n ) = n f p 咖“+ 吣) a j = l a f l e m ，n = 0 , 1 ，n 一1 ( 5 1 ) 扛1 这里x ( n ) 为混合信号，e 。“为不同的独立信号，“n ) 为噪声信号。 我们用公式( 5 1 ) 来构筑我们的数据向量( ”) r ( 栉) = f 工( ) ，x ( n 1 ) ，工( h 一+ 1 ) 1 7 m( 5 2 ) 那么数据的协方差矩阵为： 西北工业大学硕士学位论文基于特征值分解的时延估计算法 r 。= 可x ( n ) 7 ( n ) ll x j ( n ) t ( n ) 】 x ? ( n ) 薯( n ) 】 i = lf = l l 白z ；( 。一+ 1 ) ( 。一+ 1 ) 】 l x ；( n - n + 1 ) x 。( n 一+ 1 ) i = l 【5 3 ) 这里i = 1 ，三为“快拍( s n a p s h o t ) ”的序号，共有l 个快拍。也就是说， 在求取r 。的各分量时，以时间的平均代替系统平均。 对r 。作特征值分解有： r 。；m ( 丑+ 盯z ) k + 巧r + 仃：窆k + r( 5 ，4 ) 然后将k ，i = 1 ，n 按照特征值降序排列，可得： 信号子空间特征向量：一，f = l ，m 噪声子空间特征向量：k ，i = m + 1 ，n 我们令h ) = o ，m = 1 ，n - - o ，可以求得归一化信号向量为： e ) = e - y w 。, e - j 1 w , e - j 2 。日, e - j ( l m r ：8 ，。，- 。，。一，z m ，。( ”一，) 。r 。 5 5 然后根据上节所述的m u s i c 频率估计原理，可以求得m u s i c 的“伪谱” 为： 1 2 、时延域m u s i c 的数学表示 我们可以把宽带多途数据( 信号和噪声混合后的数据) 表示如下 ( 5 6 ) 西北工业大学硕士学位论文基于特征值分解的时延估计算法 ， x ( ) = 口i s ( 疗一1 ) + 吣) i = l 然后对这些数据作d f t 变换，将其转换到频域： ( 5 7 ) m y ( ) = s ( k ) z c f e 一。4 + 阡7 ( 七) k = 0 , 1 ，- 一，n 一1 ( 5 8 ) i = 1 公式( 5 8 ) e eq = 2 矾，工= t i n ，实际上表示多途时延。 对于公式( 5 8 ) 中的表达式，如果我们使用的信号为白噪声信号，即 s ( k ) 兰常数，那么归一化的频谱函数为 m x ( ) 兰c , e ”+ ( j | ) k = o ，1 ，n 一1( 5 9 ) i = 1 接下来，我们比较公式( 5 1 ) 和公式( 5 9 ) ，其形式上完全相同，只是变量 的物理意义有区别： 频率计数七琴时间计数h x c f 一 时延参数q = ；角频率q = 2 顽 对于公 式( 5 9 ) 我们构造其数据 向量 彳( 七) = i x ( k ) ，x ( k 一1 ) ，x ( k - n + 0 7 ，再令以七) = 0 ，m = i ，k = -