（机械电子工程专业论文）超高速电磁比例阀电磁部分的动态仿真.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 电液比例技术和电液数字控制技术填补了传统开关式液压控制技术与 伺服控制之间的空白，己成为流体传动与控制技术中最富生命力的一个分 支。在电液比例控制系统中，比例阀是构成比例控制系统不可缺少的元件， 而电一机转换元件的性能又会影响整个阀的性能。因此电一机转换元件的性 能对整个系统的性能起着至关重要的作用。若要提高比例阀的响应速度、时 间及频率，则必须要求解决其存在的难题，如偏心引起的横向力，磁性材料 固有磁滞对比例线圈高速驱动的影响等问题，这样才能促进电液比例技术步 入新的台阶。在比例技术的研究中，以超高速比例阀为代表的比例阀的开发 是及其关键的，也具有较大难度。 作为电液比例阀的关键组件之一的电一机转换元件，其永磁体结构的设 计主要采用有限元分析的方法。它能有效地解决复杂模型内磁场的分析与计 算，对气隙磁场进行可视化研究，使问题更加直观地得到解决。而在分析系 统的动态特性方面，其性能指标是用来衡量系统过渡过程优劣的重要参数。 论文主要包含三部分的内容：电一机转换元件模型的确立；电一机转换 元件静态磁场的分析：电一机转换元件动态磁场的分析。通过对电一机转换 元件模型的有限元分析，可以得到磁气隙内磁感应强度、磁通密度及磁场强 度的分布。据此定性分析比例阀电气部分、永磁体结构与电磁输出力的关系， 从而为设计出高频率、快响应、低能耗的比例阀提供理论依据。同时通过动 态特性分析，可以得到在通入不同电信号条件下比例阀的动态特性性能指 标，对精确计算阀芯位移及推力线圈的驱动力具有重要参考价值和指导意 义。 关键词：电一机转换元件；有限元；永磁铁；动态特性 西南交通大学硕士学位论文第1 i 页 a b s t r a c t t h ep r o p o r t i o n a l t e c h n i q u eo ft h ee l e c t r o h y d r a u l i ca n dt h en u m e r i c c o n t r o lt e c h n i q u eo ft h ee i e c t r o h y d r a u l i cf i l lu pt h eb l a n kb e t w e e n t h et e c h n i a u eo ft h es w i t c h c o n t r o ia n ds e r v o c o n t r 0 1 i ti sa n i m p o r t a n tb r a n c hi nt h ef l u i dd r i v ea n di nt h ec o n t r o lt e c h n i q u e i n t h es y s t e mo ft h ep r o p e r t i o n a lt e c h n i q u eo ft h ee l e c t r i c h y d r a u l i c s ， t h ep r o p o r t i o n a lv a l v ei sa ni m p o s s i b i ec o m p o n e n ti nt h es y s t e mo f t h ep r o p o r t i o n a lc o n t r o l ，a n dt h ep e r f o r m a n c eo ft h ee l e c t r i c - m a c h i n e c o n v e r s i o n c o m p o n e n tw i i ia f f e c tt h ep e r f o r m a n c eo ft h ee n t i r ev a l v e s o ，t h ec o n v e r s i o n c o m p o n e n tu s e di nt h ee l e c t r i c - m a c h i n ep l a y sa n i m p o r t a n t r o l ei nt h ew h o ll y s y s t e m i no r d e rt oi n c r e a s e t h e r e s p o n s e s p e e d ，t h er e s p o n s e t i m ea n dt h ed e m a n d so ft h ef r e q u e n c y i tm u s tr e s o l v et h ed i f f i c u t t q u e s t i o n ，s u c h a st h e l a n d s c a p e o r i e n t a t i o nf o r c ep r o d u c e db ye c c e n t r i c i t ya n dt h em a g n e t i cs t a g n a n t i n h e r et h em a t e r i a lm a g n e t i s mw i l la f f e c tt h e h i g h s p e e dd r i v eb y p r o p o r t i o nl o o p ，a n ds oo n o n l yd ow er e s o l v et h e s ep r o b l e m s c a n w ea d v a n c et h e d e v e l o p m e n t i nt h e p r o p o r t i o nt e c h n i q u eo f t h e e l e c t r i c h y d r a u li c s i nt h es e a r c ho ft h ep r o p o r t i o n a l t e c h n i q u e ， s u c ha st h ed e v e l o p m e n to ft h es u p e r h i g h s p e e dp r o p o r t i o n a lv a l v e ， w h i c hi st h ek e y ，a n dt h e r ei s v e r yd i f f i c u l t a st h e k e yc o m p o n e n t i nt h e e l e c t r o h y d r a u l i cp r o p o r t i o n t e c h n i q u e s ，t h es t r u c t u r a ld e s i g nu s e di nt h ep e r m a n e n c em a g n e t si n t h ee l e c t r i c - m a c h i n ec o n v e r s i o n c o m p o n e n t ，w h i c hm a i n l yu s e dt h e m e t h o do ff e a i tc a ne f f e c t i v e l yc o m p u t ea n da n a l y s i st h e p r o b l e m i nm a g n e t i cf i e l d ，i ta l s ov i s u a l i z e dt h em a g n e t i cf i e l do ft h ea i r g a p ，s ot h a tw ec a ni n t u i t i o n a l l yr e s o l et h ei s s u e i nt h ea s p e c to f t h e a n a l y s e s o ft h e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ci nt h e s y s t e m ，t h e p e r f o r m a n c et a r g e t sa r ei m p o r t a n tp a r a m e t e r ：t h e ya r eu s e dt os e a l e t h eq u a lit y d u r i n gt h et r a n s i t i o np r o c e s s i nt h i sp a p e r ，t h e r ei st h r e ep a r t sc o n t e n t s ：f o u n d e dt h em o d e l 西南交通大学硕士学位论文第1 i i 页 o ft h ee l e c t r i c - m a c h i n ec o n v e r s i o nc o m p o n e n t ：a n t i i y s i st h es t a t i c c h a r a c t e r l s t i c0 ft h ep a r to ft h ee l e c t r o 佩a g n e t i s mi nt h ep r o p o r t i o g v a l v e ：a n a l y s i s t h e d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i co ft h e p a r t o f e l e c t r o m a g n e t i s mi nt h ep r o p o r t i o nv a l v e b yt h ef e aa n a l y s e si nt h e m o d e lo ft h ee l e c t r i c - m a c h i n ec o n v e y s i o nc o m p o n e n t ，i tc a ng e tt h e i n t e n s i t y o ft h em a g n e t i ci n d u c t i o ni nt h em a g n e t i ca i rg a s ，t h e d e n s i t y o ft h e m a g n e t i c f o r c e1 i n ea n dt h e d i s t r i b u t i n g o f t h e m a g n e t i cf i e l d b yt h e s e ，i t c a na n a l y z et h er e l a t i o nb e t w e e nt h e p a r t so fe l e e t r i c ，t h e s t r u c t u r eo ft h ep e r m a n e n c em a g n e ta n dt h e e l e c t r o m a g n e t i s mf o r c e w h i c h c a np r o v i d et h e t h e o r yg i s tf o rt h e d e s i g no ft h ep r o p o r t i o nv a l y e s ( t h e yh a v es o m eg o o dq u a l i t i e s ，s u c h a sh i g hf r e q u e n c y ，r a p i dr e s p o n s e ，l o we n e r g yc o n s u m e ，a n ds oo n ) a tt h es a m et i m e b yt h ea n a l y s e so ft h eq u a l i t i e so ft h ed y n a m i c ， i tc a n g e t t h e t a r g e t o ft h e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i cu n d e r t h e c o n d i t i o h s ，w h i c ha r ei m p o r t i n gd i f f e r e n te l e c t r i cs i g n a l st ot h e s y s t e m 。t h e s e h a v e i m p o r t a n t r e f e r e n c ev a l u ea n dt h e g u i d a n c e s i g n i f i c a n c et oa c c u r a t e l yc o m p u t et h ed i s p l a c e m e n to ft h ev a l v ec o r e a n dt h ed r i v i n gf o r c e k e y w o r d s ：t h ee l e c t r i c - m a c h i n ec o n v e r s i o n c o m p o n e n t ，f e a ，p e r m a n e n c e m a g n e t ，d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 第1 章绪论 1 1 电液比例技术概述 伺服技术被认为在5 0 年代已日臻完善，由于伺服阀的快速响应及高的 控制精度，以其明显的技术优势，迅速在高精度、快速响应的领域中，如航 天、航空、轧钢设备及实验设备等中取代了传统的机电控制方式。但人们也 很快发现，由于电液伺服器件的价格过于昂贵，对油质要求十分严格，控制 损失( 阀压降) 较大。使伺服技术难以为更广泛的工业应用所接受。在很多 工业应用场合，要求有一般的高质量的控制手段，却并不要求太高的控制精 度或响应性。现代工业的迅猛发展，要求发展一种廉价、节能、维护方便、 适应大功率控制及具有一定控制精度的电液比例控制技术。而现代电子技术 和测试技术的发展为工程界提供了可靠而廉价的检测、校正技术。这些为电 液比例技术的发展提供了有利的条件。 电液比例控制的优点是： 1 ，操作方便，容易实现遥控； 2 自动化程度高，容易实现编程控制； 3 工作平稳，控制精度较高： 4 结构简单，使用元件较少，对污染不敏感； 5 系统的节能效果好。 1 2 电液比例阀简介 电液比例阀是介于普通液压阀和电液伺服阀之间的一种液压阀，它可以 接受电信号的指令，连续成比例地控制系统的压力、流量等参数，使之与输 入电信号成比例的变化。电液比例阀多用于开环系统中，实现对液压参数的 遥控，也可作为信号转换与放大元件用于闭环控制系统。与手动调节和通断 控制的普通液压阀相比，它能大大提高液压系统的控制水平；与电液伺服阀 相比，虽然它的动静态性能有些逊色，但结构简单、成本低，已能满足多数 对动静态指标要求不很高的场合。大多数比例阀的频宽为( 5 5 0 ) h z 范围， 而超高速比例阀达到3 0 0 4 5 0 h z 滞环误差多在l 7 之间。电液比例阀 的分类见表1 1 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 表l l电液比例蒯的分类 分类准则 类型 按控制功能比例压力浏、比例流量阀、比例方向一流量阀 按控制方式直接控制式、先导控制式 按结构形式插装式、滑阀式 按开闭环型式开环形、 i j 环形 1 2 1 比例阀的研究概况 七十年代电液伺服控制技术日趋成熟，并迅速向民用工业推广，但是， 由于伺服阀的制造精度要求很高，价格昂贵，对油污十分敏感，对系统的使 用维护要求很高，所以它难以被广泛地接受。于是具有高精度、快响应的电 液比例阀应运而生，它不仅具有伺服阀的特点，而且它的抗污染能力强，使 用可靠，维护简单，成本低廉。而在近3 0 年来，电液比例阀经历了发展的 三个阶段： 第一阶段的阀是在原电磁开关阀的基础上，保留阀内主结构不变，只是 用比例电磁铁代替普通电磁铁，从性能上说频宽约1 5 h z ，滞环约4 7 。 第二阶段比例器件普遍采用了内反馈回路，同时研制了耐高压比例电磁 铁，与之配套的比例放大器也目趋成熟，从性能上说，比例阀的频宽己达5 1 5 h z ，滞环缩小到3 左右。 第三阶段起始于8 0 年代，现在的比例技术其主要特点是： 1 设计原理进一步完善，通过液压、机械以及电气的各种反馈手段，使 比例阀的性能进一步提高，频宽达到3 5 0 h z ，滞环在l 3 之间。 2 比例技术和插装技术结合，开发出二通、三通比例插装阀。 3 出现多种将比例阀、传感器、电子放大器和数字显示装置集成在一块 的机电一体化器件。 4 将比例阀和液压泵、液压马达等组成一起，构成节能的比例容积器件。 5 计算机技术同液压比例技术相结合已是必然趋势。 现在的比例阀，按其生产过程还可分为两类：一类是在电液伺服阀的基 础上简化结构、降低制造精度，从而以低频宽和低静态指标换得成本的低廉， 用于对频宽和控制精度要求不高的场合。另一类是在传统的液压阀基础上， 配上廉价的螺管式比例电磁铁进行控制。 1 2 2 比例阀的特点 堕壹壅堡查兰堕主堡窒兰兰焦笙壅 塑! 垩 1 2 2 比例阀的特点 随着电液比例技术的发展，电液比例阀的性能也在不断提高，其优点主 要体现在： 1 操作方便，容易实现遥控： 2 自动化程度高，容易实现编程控制； 3 工作平稳，控制精度高，价格便宜，性价比高； 4 结构简单，使用元件较少，对污染不敏感； 5 ，系统的节能效果好。因此在控制较复杂，特别是要求有高质量控制水 平的地方，传统开关阀就逐渐由比例阀或数字阀来代替。 现将上述几种阀的特性进行比较。见表l 一2 。 表1 2电液比例元件和伺服、数字、开关元件的特性比较 鲈 开关阀比例阀伺服阀数字阀 特队 介质过滤精度 2 52 552 5 ( um ) 阀内压力损失 0 5 以下0 5 27o 5 2 ( m p a ) 控制功率( w ) 1 5 4 01 0 2 50 0 5 55 1 0 频宽( h z )l o 以1 = _ 1 0 7 02 0 2 0 05 滞环( )30 1 o 5 重复精度( ) o 5 l0 5 l 0 1 中位死区有有无有 温度漂移( ) 5 82 32 ( 2 0 ”c 6 0 c ) 价格比l3 51 03 当然，比例技术也存在着明显的缺陷，主要是成本较高，技术较复杂。 这也正是比例阀没有得到飞速发展的原因，同时又是研究比例阎所要解决的 问题。 1 3 电一机转换元件综述 液压控制系统中最主要的被控参数是压力与流量。而控制上述两个参数 的最基本手段是对流阻进行控制。目前生产技术上能实现的可控流阻结构形 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 械转换。通过电一机转换元件，实现间接的电一液转换。 另一种控制流阻的技术途径是直接的电液转换。它是利用一种对电信 号有粘性敏感的流体介质电粘性液压油，实现电一粘度转换，从而达到控 制流阻，实现对系统的压力和流量控制的目的。显然，这种流阻控制方式更 为简便，它无需电一机转换元件。但目前，这种技术还未达到实用阶段和要 求。 1 3 1 电一机转换元件的作用及形式 对于机液控制式的间隙型可控流阻要实现电气控制，需要有一个能把电 气控制信号转为机械( 位移，力或力矩) 信号的转换装置。这个装置通常简 称为电一机械转换元件，它的作用是把经过放大后的输入信号电流成比例的 转换成机械量。根据控制的对象或液压参数的不同，这个力或者传给压力阀 的一根弹簧，对它进行预压缩，或者输出的力，力矩与弹簧力相比较，产生 一个与电流成比例的小位移或转角，操纵阀芯动作，从而改变可控流阻的液 阻。可见，电一机转换元件是电液比例阀的驱动装置。它的静态，动态特性 对整个比例阀的设计和性能起着重要的作用。 目前，生产上应用的电机转换元件大多是采用电磁式设计，并且利用 电磁力与弹簧力互相平衡的原理，实现电一机械的比例转换。最常见的有直 流伺服电机、步迸电机、力矩马达、动圈式力马达及动铁式力马达。 1 3 2 电一机转换元件要解决的几个问题 在电液比例技术中，对作为阀的驱动装置的电一机械转换元件需要解决 的基本问题主要有以下几点： 1 具有水平吸力特性，即输出的机械力与电信号大小成比例，与衔铁位 移无关。能把电气信号按比例地、连续地转换成机械力输出给液压阀。 2 有足够的输出力和行程，结构紧凑，体积小。 3 线性好，死区小，灵敏度高，滞环小。 4 动态性能好，响应速度快。 5 比例阀在长期工作中，其温升不得超过要求，在允许温升下能稳定工 作。 6 能承受液压系统的高压，抗干扰性好。 对于以上这些要求，很多情况下难以同时得到满足，这是应根据具体应 用场合加以考虑。对某些应用场合，可能输出的有效作用力及行程最为重要， 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 而对体积重量的要求并不是太严格。 目前，由西南交通大学新型技术驱动中心研发的超高速比例电磁铁的 实物图见图1 一l 。 图1 1 电一机转换元件实物图 以下是一个将该比例电磁铁用于超高速比例方向流量阀的实例，其性 能特性见表1 3 。 表1 3 已研制超高速比例阀性能特性表 最高使用压力( m p a ) 3 5 回油侧压力( m p a ) 3 5 容许背压( m p a ) 0 0 5 内部泄漏( l m i n )1 7 以下 脉冲响应( m s ) 2 频率特性( h z ) ( 增益一 3 0 0 3 d b ) 振动数：l o 6 0 h z 、全振 耐振性幅：4 m m 、加速度：7 8 2 8 2 m s 2 防水性i p 6 4 相当 使用温度范围( o c ) 1 5 i 一6 0 阀芯位移( 1 n m )o 5 线圈电流( a )2 1 4 永磁场的内磁场问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 嚣 么妥 弼链臻 ， | 虬 。 图1 2 研究电一机转换元件内磁场用图 一、粘滞摩擦和磁滞 电一机转换元件的主要理论基础是电路及电磁场理论。近年，由于永久 磁铁的生产量和加工工艺都有了很达的突破，故采用永久磁铁式超高速比例 阀的开发有了巨大的推动力。电流与磁场的基本关系表明，任何磁场都可以 认为是由分布电流产生的。因此，我们用磁体表面面电流等效永磁体。在这 种条件下，比例阀运行情况对磁场计算的影响可分为两类，即 ( 1 ) 静态运行( 气隙磁密保持恒定或基本恒定) ，其工作点在永久磁铁 的退磁曲线或回复线的某一点上。 ( 2 ) 动态运行( 气隙磁密是变化的) ，其工作点在永久磁铁的回复线上。 对于稀土或铁氧体永磁材料，退磁曲线是单值的( 回复线和退磁曲线基本重 合) ，计算方便。而铝镍钴材料回复线与退磁曲线不重合，而且与充退磁状 况有关如右图所示。这种材料特性使电磁计算很困难，需要作些简化。有 的永磁材料的导磁率是各向异性的，这使电磁场计算更为复杂。而运动件的 粘滞摩擦和磁滞是组成电液比例阀滞环误差的两个主要因素。减小粘滞摩擦 引起的滞环要从结构上想办法来解决。摩擦力在移动式力马达中总是存在 的。应设法减小。通常用滚动摩擦副代替滑动摩擦副。但如果加工精度及工 艺较好，且有有效的颤振运动时也可以用滑动摩擦副。要减小磁滞引起的滞 环误差主要从选择优良的磁性材料来解决。磁滞大小决定于磁性材料的矫顽 力，如用低碳钢或电工纯铁，矫顽力是不大的。可用作铁芯。 二、工作点的调整 有时为了使阀的机械工作零点与电气零点重合就需要对工作点进行调 整，有时为了通用性，一种比例电磁铁与几种闽配用。这样，由于工作范围 不同，工作点也需要调整。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第7 页 电一机转换元件依赖于机构中的磁场及励磁线圈来实现力的输出，因此 对机构中磁场的研究对合理设计电磁比例阀及进行结构优化具有重要的意 义。 1 5 本课题的研究内容和目标 目前，由于比例阀抗污染能力强，使用可靠，维护简单，成本低廉等诸 多优点，越来越得到广泛关注。而电一机转换元件又是其中的重要部分。 在电一机转换元件中，下面几个部分的研究是十分关键的： 1 永磁体的选型设计； 2 线圈未通电时，电一机转换元件内静态磁场变化对电一机转换元件性 能的影响： 3 线圈通电时，电一机转换元件动磁场变化对电一机转换元件性能的影 响，以及涡流对电一机转换元件性能的影响。 4 电一机转换元件的动态性能。 由于比例阀在工作过程中，一切运动都是来源于电一机转换元件对电信 号的转换，也即是说电一机转换元件的一切性能直接影响阀的性能。因此， 应该设法提高电一机转换元件品质来提高阀的品质。 本文依次对电一机转换元件的上述关键问题进行了设计与研究，利用麦 克思维电磁场基本原理研究电一机转换元件的内静态磁场特性，进行永磁体 分析模型的确定。在线圈通电时，对确定模型进行各个时刻，各个位移处的 动磁场分析，得到电一机转换元件的输出力的特性。由于磁性材料内部产生 涡流对推力线圈产生的电磁输出力有很大影响，因此，本文还研究了考虑涡 流影响时的电一机转换元件内磁场变化，给出电流与力，位移与力的关系。 最后，本文介绍了永磁式电一机转换元件的动态特性分析，为下一步实 验的进行提供理论依据。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第8 页 第二章永磁磁场计算基础 无论是设计以提供磁场为目的还是以生产指定的力学行为为目的的永 磁机构，首先都必须对由永磁体做磁源的磁场进行计算。2 0 世纪7 0 年代末 期以前，主要使用磁路法来完成这些任务，这以方法的基本思想是将永磁机 构分割为几部分，例如气隙、磁轭、极靴、永磁磁极等，引入磁阻和磁势的 概念，类似于非线性电路的分析那样进行磁路分析，以获得气隙磁场值和磁 路其它部分中的平均磁密。这一套方法能够解决问题的关键在于两点：第一， 对于待设计的永磁机构中的磁通走向十分清楚，而且能掌握物理过程的主导 和次要因素，可以做出准确的简化：第二，通过简化和必要的分析，特别是 根据实际的工程经验，能够计算各部分的磁阻，以及相关的漏磁系数。事实 上，这一套计算法主要是针对电机设计的需要而发展起来的。在那里，气隙 非常窄，其中的磁场分布基本无场形变化。用永磁材料充作磁极。工作点大 体一致。这样就可以用集中参数的磁路方法为机构分析提供基础。这一套方 法对电机的设计是很效的，但在其它许多场合下，尤其是磁场的分布有场形 分布时，磁路算法已不再适用，而要用到数值分析方法，如有限差分法、有 限元法、积分方程法等，其中发展较成熟的是有限元法。 2 ，1 永磁电机转换元件永磁场问题的有限元解法 有限元法是基于建立起来的数字模型，用现代数学方法求出有关微分方 程定解问题的解，并对计算结果进行加工和解释。 首先有限元法所需要的数学提法： q f 1 - f 2 - l - l ：昙( u 警) + 号( u 等) = 。 靠、出，d y id v l ：a = o n ：丝：o o r p - 丝1 ：- 7 劫- 1 l 锄儿tl 却，l 。一( u 氯 式中q 一整个求解域。q = q u r l u r 2 u 三u 三。 ( 2 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 r i 一与某条磁力线重合的边界。 l 一对称的边界，所有的磁力线都垂直地通过它。 上一不同介质的交界线。 上一有永磁束缚电流存在的界线。 但是上式所表达的微分方程定解问题由于几何上复杂，物理上壳体具有 非线性，想获得解析解答是不可能的，只能接受数值解。本来，按照上式解 函数a ( x ，y ) 在q 上要二次可微，通过有限元法获得的数值解则远远不能 如此光滑。为了叙述方便以一维情况为例。在图2 一l 中，曲线l 表示一个 问题的解析解，曲线2 表示问题的一个有限元解。这个有限元解在求解域的 p 。、p 。取零值，这可能是问题的定解条件的要求。在求解域上选定的p ：， p ，p 。诸点上，有限元解给出与解析解基本相同的函数值。有限元解在 p ，p ：，p 。的各相邻点间，函数值作线性变化。 ， 图2 一l 一维阅题的真解和有限元解 图2 2 一维有限元函数空间 有了以上叙述做铺垫，现在换一种叙述方式。即上面的有限元解是从图 2 2 所示的函数集合中求得的，这些函数具有以下的共同特点： 第一，在p 。、p 。点上取零值： 第二，在指定的p 。至p 。的各点处打弯； 第三，在相邻两点间函数值呈线性变化。 具有以上特点的函数的全体构成个函数空间，记为x n ，称为有限元函 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 0 页 丁i ： ? 二：- b n 卜耕争+ 引p 丘沁 他。2 有限元函数空间x 。 图2 2 所示出的函数空间中的每一个函数都可以表示为 7 一= 爿f 疵 f = 2 的形式。其中，卉称为基函数，如图2 3 所示。这些基函数的构成步骤很 简单。 首先，将求解域用点p ：r 剖分，疏密有任意性，视问题的具体情况而 定。每一基函数在其“据有”的点上函数值取为1 。然后线性地变化到相邻 点，函数值由1 变为0 。再后函数值再p l 至p 。之间的其余部分一律取零值。 点p 。r 称为节点，点于点之间的区域称为单元，b 局称为场域，用节点将 场域分为单元的过程叫剖分。剖分所使用的节点数不限于7 点，剖分越细， 有限元解对真解的逼近越好。求式( 2 一1 ) 的有限元解需要剖分两维域q ， 确定基函数，建立有限元函数空间x n 。两维域的剖分由布置节点来实现。所 谓求一个问题的数值解就是放弃获取连续解答而满足于在关心的地点知道 待解的函数数值，因此布置的节点当然要包括这些感兴趣的地方；另外，为 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 了数学本身的需要，对那些次要的区域不能不布景节点，但可以稀疏一点； 最后，为了获得较高的精度，根据物理上的判断，应在场量变化较剧烈的区 域布置较密的节点。在场域上的相邻节点要彼此相联，联线不许交叉，将场 域分割为一系列直边三角形( 也可以是四边形) 的并集，每一个三角形称为 一个单元。单元不允许跨在两种媒质的交界线上。剖分之后，场域的边界和 不同媒质的交界线被裁弯取直。 圈2 3 一维基函数 基函数在每一节点( 包括边界节点) 上建立，仍然是在所“占据”的节 点上函数值取l ，然后线性地下降到四周地单元和节点，并在四周的节点和 相邻节点的连线上取值为零，在场域剩下的区域内取值为零，情形如图2 4 所示。 设用于剖分场域的节点点数为l 。，则所需要的有限元空间由基函数 办一九l 张成，其中的函数有如下形式： 上1 a i r = 彳觎 f - l ( 2 3 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 有限元方程的建立 我们解决问题的思路是：将函数a 岩带入j ( a ) 的表达式，得到 j ( a ) 由于a v 在构成上的特点，j ( a n ) 实际上成为一个含有数目等于q 上节点总数的变量的普通多元函数，这些变量就是每一个节点上的函数值， 下文将记为a ，a 矿- ，a m 下标是节点的人为编号。j ( a ) 的物理意义是势 能，满足下式的a ，a = ： 一，a l 的取值可以使势能获极小值： 图2 - - 4 基函数图形 掣- o ，渊，z ， c z 叫 这是一个非线性代数方程缀，写成矩阵形式为 瞳m = 杪( 2 5 ) 称为有限元方程组。其中的k 】称为系数阵，也称为刚度矩阵，那是沿用了 力学方面的用语。在考虑定解条件后求式( 2 5 ) ，就得到问题的有限元解。 思路就是这样的。现在要写出式( 2 5 ) 的导出过程。 j 【厶j = 以阻】( 2 6 ) a n x n a e 代表q 的一个单元。记e 的三个顶点为，、掰、露，z 、掰、七 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 上的函数值为a l 、a 。和爿女。因a x ，即 一v ：莹彳。破 f - l 所以函数a j v 以下为了简单将其写为a 或a ( x ，y ) 在e 上具有如下的次 函数形式： 即有 4 ( 工，y ) = ( 1 工 盼 ( 2 7 ) ( 2 8 ) x f 、y t ，x 。、y m ，、肌分别是已知的单元e 的三节点的x 、y 坐标。 从上式可解出 其中， f o ) t ( - o m j ，7 ，刁研 l f ， l d i = 2 a 。= i l 埘肋 q m f m x k y l x l y k y k y i x i + x k ( 2 9 ) x t y m z m y t y l y mi x m x ij 。x m y k + x l y m + y l x k y l x m x l y k x k y m 却h ，；，。l 、ll 4 厶以 viooo几 讥缸卿巩钉 ，l = 、，ll 口6 c ，。 my 姐 一 一 一 儿磁 册 x ，。l 一d l i 、；l 吼辄鲰 朋儿即 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 以川= ( ) = ( ，+ r h x + - ，y珊州+ 玎肌x 十f 埘y国七+ r 忌x + f 七y )( 2 1 1 ) 暑；= 。，刁。叩t ( a t ， ( 2 - 1 2 ) o 岔1 4 y = g 。f 。f t ( 豸； c z 一。， 它们都与x ，y 无关。根据b = v a 可知在e 内 b 却饼 是一个定值。这也意味着包括铁磁材料在内的各种媒质中，在单元e 内，磁 阻率是定值，下文记为u 。 现在计算以) 。 讹，= 岿饼卜埘打 沪 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 抖睁+ ( 嚣) 2 卜= h ，骆叫，c z 州， a 。= 。眈白，刁，+ f ，f 。) = a ， ( 2 1 7 ) 弘订= ，三p ( 2 - - 1 8 ) 上面的a 。为单元e 的面积。在单元e 上认为丽边上有电流，线密度为j 。一l m 之长为l l a 这时，6 f = 吉儿，b m = 圭儿，= o 。对q 上的每一单元进行 j ( a v ) ：j e ( a ) ： 去a r 4 一6 j 4 ：丢f 圭k r s a 4 一l i ，4 1 p n p e n lz ，j = ，m ，l ，= ，用， j z l ，s = t ，= i ， ( 2 1 9 ) 式中，k 。是由所有具有相同下标坩的口。拼加所得，而不管它们是由哪一 个三角形单元得出的；同样，f 是由所有具有相同下标r 的b r 拼加所得，而 不管它们是由哪一个三角形单元所得。 有限元方程的求解 现将式( 2 5 ) 的左端改写为向量，即 f = 皿 0 ) ( 2 2 0 ) 在某一向量臼 o 处将 f ) 作泰勒展开，并将二次项及二次项以上各项略 去。则有 扩j a 驴 ( o ) + p r _ 彳) ( 0 ) ) 于是前式( 2 - - 5 ) 可以改写为 阿妇 一臼) 扣) * t f 一伊) 。( 2 - 2 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 式中 州= 筹 ( 2 2 2 ) 扯) 的解出步序是：从给定的臼) o 开始，由式( 2 2 0 ) 和式( 2 2 2 ) 计算 出扩 。和p 】o ，代入式( 2 - - 2 1 ) 后解出口 一扣( 。 ，然后算出臼) ，并将此 时的乜) 作为0 ) ( 1 ) ，去计算杪) 一护 ( 1 ) 。如果i s 一 f ( 1 ) m o ，则扣) ( 1 ) 便是 式( 2 5 ) 的数值解；否则再以0 ( i ) 为初值重复上述过程。 在以上计算的每一轮次，都要算出驴) 和i s 。从前面的叙述可知，它 们的计算都是对每一单元做遍，然后拼加丽成。在此需要稍傲解释的是p 】 的计算。因为 其中 由于 = 阢 p n 阮= 翘 棚 f i 朗 a 吒 础 8 f 薜i 翩 眠 翩 o f , 棚。 8 f j 触。 眠 翩。 f t = n 【t a l + n u a j + n m a m ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 所以器嘞+ 瓦o a i i ”普4 + 鲁如确+ 导瓦0 0 e ( 2 - - 2 5 ) 式中，是单元e 中材料的磁阻率，根据式( 2 - 1 4 ) 可知，在一个单元范 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 围内，u 。是同一数值。 记 c = 槲 托 并将盟a a i 写为生o c 瓦o c 。c 与材料的磁通密度成比例，因此盟o c 可以由材 料的磁化曲线算出。等则可写为 筹：土 ( 2 _ 2 6 )十 f ，一，k l 棚，v , c a 。 将式( 2 2 6 ) 和由材料磁化曲线查得的号代入式( 2 2 5 ) ，可以得到 哥却去等( 2 - 2 7 ) 式中，。为单元的面积。 仿此可得出l 中的其它元素，然后由式( 2 2 3 ) 即可算出】。至此，求解式( 2 5 ) 的方法已全部交待完毕。 程序技术 场域剖分： 单元分析； 总体合成： 处理边界条件； 解方程。 2 2 永磁体的物理模型 在建立永磁体的物理模型时由参考文献3 可知，永磁体的三个物理量它 们分别为： b = p 棒+ j 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 m ： a o h ：旦一m t o 这其实就是介质中磁场强度的原始定义。 让我们考察一只国匝的通有电流f 的线圈，线圈内携迸了一只已均匀磁化了 的永磁体。如图2 5 所示。 图2 5 推导公式用图 现沿着围绕线圈所有线匝的闭合轮廓a m c n a 列出磁感应强度矢量的线积 分，积分路径爿，z c 在永磁体内，c n a 部分在真空中。 由于永磁体已经充磁磁化，永磁体内的元电流彼此协同地排列起来产生 目己的磁场。包围a m c 线的元电流之和将不等于零。倘由f 代表此和数， 则有 b d l = a o c o i + t o f 。 令讲。代表包围爿聊c 线讲段的电流总和。冬就等于爿m c 线上所论一 d f 点。例如电p ，包围该线单位长度的元电流。自然，冬的大小与爿坍c 线的 “ 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 量! 冬在永磁体磁化的方向( 此方向以单位矢量代表) 有最大值。在 口z 此方向上的讲段我们用幽代表并且引用一个称为物质的磁化强度的矢量 m ，则 m ：生 d n 。 某一点上的永磁材料的磁化强度在数值上等于包围画经该点的单位长 度线的元电流总数。这条线的方向应顺着永磁体的磁化方向，这时元电流总 数为最大值。矢量m 的方向就是这样的方向。这个方向与与元电流的方向 符合右手螺旋规则。当讲为任意方向时，有 f e l i ：m c o s 口 m 式中。口代表m 与a m c 线p 点上的切线正方向间的夹角。这样看来， 包围整个a m c 线元电流总数为 r 。上篆肌。上s 班。垆 这样就有 4 b d l = t z o c o i + 胁i = z o o i + p o 删 或幢一肘卜叫 在积分号内的矢量用符号h 表示，并称之为磁场强度。这时有 因 所以有 h ：b m 0 m ： t o b = o h + j 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 0 页 设在图2 5 中被携入的永磁体是沿水平方向均匀取向的圆柱体，而且 经过了充磁达到饱和，即m 到达了饱和值m s ，这时候，永磁柱的横断面如 图2 6 所示。断面上的元电流在圆柱断面上互相抵消，仅只剩下沿断面外 缘无限薄的一层剩余电流扎对整个永磁圆柱体来说，此时在圆柱面上( 两 端面除外) 应视为有一极薄电流层流过。很显然，顺圆柱轴向方向的电流层 的线密度是 i j ：m s ：盘 酗2 6 水磁i 虽i 柱的等效断面电流 剩下的问题是要确定永磁柱的导磁参数，即磁导率。前己叙及，系由两 部分组成：一部分是，o ，它不随材料中磁场强度的变化而变化；另一部分为 ，。，在近似情况下 j m = x m h 参数z 。称为材料的磁化系数。于是有 b = z o h + j = p o h + j q + “q x m h = h q 堪七咒0 h + ja = l h + j3 式中，z 即是永磁材料的磁导率。对近代永磁材料，例如铁氧体、钐钴l ：5 ， 钐钴2 ：1 7 和钕铁硼而言，在其去磁特性曲线的直线部分，“值常取为1 0 5 。 至此，一段永磁圆柱( 均匀磁化，轴线方向为易磁化方向) 的物理模型 西南交通大掌硕士研究生学位论文第2 1 页 可如图2 - - 7 所示。即一段永磁柱等价于同形状的无限电流线圈。电流流向 与如成螺旋关系。电流沿线圈轴的线密度等于鳓j o 。线圈视为有芯，磁导率 为刖。 ， 图2 7 永磁柱的物理模型 图2 8表面束缚电流线密度计算用图 上述模型可推广至非圆截面情况。对于更一般的情形，只要永磁材料是 均匀磁化的，永磁材料内部便不存在束缚体电流，所有的束缚电流都将分布 在永磁块的表面。将某一表面记为s ，由该表面指向材料外面的单位法线 向量为”目，永磁材料内的剩磁向量为如，则蜀面上和面s 2 的交线“线密 l y 等于j os i n n 。，j o ) 。整个情况就是 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 具体情况请见图2 8 。 ，：血。 , u o 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 第3 章计算建模 3 1 磁体工作点的确定 为满足磁通稳定性的要求，磁体工作点应选在磁体最大磁能积点的上 方。由于磁体工作点与磁性能和磁体尺寸有关，故选定所使用的磁体后，便 是要选择合适的磁体尺寸，以得到合理的工作点。为判断所