（水声工程专业论文）水下加肋双层弹性壳体散射声场分析.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t 1 1 把r i bs h e l ls t r u c t u r ei sm a i ns t r u c t u r a ls t y l eo ft h eu n d e r w a t e rw e a p o n t h e r e f o r e ，r e s e a r c ho fr i bs h e l le c h oc h a r a c t e r i s t i cw i l ll a yt h ef o u n d a t i o nf o rr i b s h e l l ，e x a m p l ef o rs u b m a r i n e , e c h or e s e a r c h , a n d i tw i l lp r o v i d et h ev e r y i m p o r t a n tm i l i t a r ya p p l i c a t i o nv a l u e f i r s t l y ，t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i n gm o d e l so fr i b b e dd o u b l es p h e r i c a ls h e l l w e r ef o u n d e d 1 1 1 ec h a r a c t e r i s t i c so fa c o u s t i cs c a t t e r i n gw e c a l c u l a t e da n d a n a l y z e di nt h ec a s eo fp o i n t - s o m c ei n c i d e n lt h ei n f l u e n c eo ns o u n ds c a t t e r i n g w e r ed i s c u s s e di nd i f f e r e n tc o n d i t i o n so f t h er i b b e da n du n r i b b e d ，t h ef r e q u e n c yo f i n c i d e n tw a v e ，a n g l eo fi n c i d e n t ，t h er i bt h i c k n e s s ，a n ds c a t t e r i n gs o u n df i e l do f r i b b e dd o u b l es p h e r i c a ls h e l l1 ) l 邯a l s op r e s e n t s e c o n d l y , t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm o d e l so f r i b b e dd o u b l ec y l i n d r i c a ls h e l l w e r es e t 1 1 艟c h a r a c t e r i s t i c so fa c o u s t i cs c a t t e r i n gw e r ec a l c u l a t e da n d a n a l y z e di nt h ec a s eo fp o i n t - s o u r c ei n c i d e n t ，t h ei n f l u e n c eo ns o u n ds c a t t e r i n g w e r ed i s c u s s e di nd i f f e r e n tc o n d i t i o n so f t h er i b b e da n du n r i b b e d t h ef r e q u e n c yo f i n c i d e n tw a v e ，a n g l eo fi n c i d e n t ，t h er i bn u m b e r , t h er i bt h i c k n e s s s c a t t e r i n g s o u n df i e l do f r i b b e dd o u b l ec y l i n d r i c a ls h e l lw a sg l v e n i i lt l l ep a p e r , t h es c a t t e r i n gs o u n df i e l do f r i b b e dd o u b l es h e l lw e r ec a l c u l a t e d a n ds i m u l a t e db ya n s y sa n ds y s n o i s e ，s o m eu s e f u ld i s c i p l i n a r yc o n c l u s i o n w e r eg a i n e d n eo u t c o m es h o w e dt h a ta p p l i e ds y s n o i s et oc a l c u l a t es c a t t e r i n g s o u n df i e l do fs h e l lt a k eo nc o n v e n i e n t , q u i c k , d i r e c t - v i e w i n gm e r i t s 1 1 1 e c a l c u l a t i o nm e t h o d so f s h e l le c h o w e r ee n r i c h e dg r e a t l y k e y w o r d s ：r i b b e ds h e l l ：s c a t t e r i n g ：b e m ：f e m 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：超丝 日期：砷年岁月刃日 哈尔滨工程大学硕十学位论文 第l 章绪论 当我们打开世界地图时，我们的目光都会被占地球表面百分之七十多的 海洋所吸引。二十一世纪是海洋的世纪，当今世界各国的发展都面临着能源 和资源短缺的问题，世界各国都不约而同的将自己的目光投到海洋上。是的， 海洋拥有巨大的资源，随着陆地资源的日渐枯竭，海洋渐渐的取代了陆地成 为人类社会发展的能源和资源的供应地。由此而产生的对海洋的争夺- - n 也 没有停止，而且有越演越烈的趋势。在二十一世纪，谁拥有了海洋谁就拥有 了世界。在近几个世纪中，世界各主要军事强国都完成了由地向海的转变， 大力发展海军，已经成了各大国的共识。纵观世界近几场局部战争，海军都 扮演了主力的角色。1 9 8 2 年的马岛战争，日幕西山的日不落帝国一英国，出 动了几乎全部的海军家当，以一种近乎绝望的态度远争阿根廷，用她还算强 大的海军，在付出了巨大的代价以后，才勉强将阿根廷人收回马尔维纳斯群 岛的梦击碎。1 9 9 1 年的海湾战争、2 0 0 3 年的伊拉克战争，现今世界上唯一的 超级大国美国，凭借其强大的海军，剑耀波斯湾，将不可一视的萨达姆击 败，并使其成为美国的阶下之囚。由此可见，海军在现代战争中的巨大作用。 如何建立一支强大的海军，自从共和国被缔造之日起，就是摆在国人面 前的一个重大问题。建立一个强大的海上长城，是共和国几代人的共同愿望。 我们要建立一支强大的海军，不但要建立一支强大的水面舰艇部队，还要建 立一支强大的水下舰艇部队。 以潜水艇为代表的水下武器对于一支强大的海军的作用不言而喻。水下 目标的声散射特性研究，具有很强的军事背景，是国防科技研究的一个重要 方面。由于声波是水中信息传递的最有效方式，而目标的声学特性与目标的 几何形状、材料及结构等密切相关，为了争取海上战场的主动权，尽早发现 和消灭敌方，就要借助于先进的声呐技术及水声设备，了解和掌握各种水下 目标的声学特性，实现对水中目标的探测、跟踪、识别和攻击。因此在未来 水下战争中以声呐技术为核心的水下目标探测、识别及回声特性研究，水中 兵器制导等都将是竞争的焦点，并正在受到国内外军界的普遍重视。由于军 事需求，近几十年来，声呐技术有了飞速的发展，声呐探测距离增大，探测 哈尔滨工程大学硕士学位论文 精度提高。从目前的认识来看，虽然主、被动方式均可对目标进行识别，但 要对目标进行近距离的精确识别和制导时，主动声呐技术具有明显的优势， 定位精度高，而且可用于探测、识别安静目标，因而继续得到人们的重视。 主动声呐是根据来自水下目标的回波信号实现目标检测和目标识别的，因此， 研究水下目标的回波特性，是主动声呐实现目标探测和识别的基础性研究课 题，对声呐设备的设计和应用有着重要的意义。 1 1 论文的目的及意义 壳体结构是各种船舶、飞机、压力容器和水中兵器的主要结构单元，其 中，无论是船体、机体还是水中兵器，出于增加强度和抗冲击的考虑，又大 多采用加肋结构。例如，形状类似圆柱的潜艇是海军的重要战斗力量，不仅 是破坏海上交通线的主要兵力，也是对水面舰艇生存的严重威胁力量，因而 探测潜艇成为反潜的主要任务。探测、识别潜艇的有效途径之是应用主动 声呐，接收和分析来自潜艇的回声信号，并由此做出有无目标和目标是什么 的判决。因此，研究潜艇目标回波特性有重要的军事意义。为增加潜艇的承 压强度，不论单层壳体结构的潜艇还是双层壳体结构的潜艇，其艇体结构中 都有肋。加肋不仅改变了潜艇的力学性质，还影响潜艇的声学特性，对其回 波特性影响较大，已受到人们的关注。但由于保密的原因，其相关资料很少 可以获得，只有少量文献讨论过此问题“嗣。为此，研究加肋壳体的回声特性， 将给潜艇等加肋壳体目标的回波特性研究奠定基础，为探测和识别水下潜艇 等壳体目标提供很重要的军事应用价值，同时也可以为主动目标识别提供目 标特征分析。 1 2 目标散射特性的研究 对于目标散射特性的研究，国内外一直进行着坚持不懈的工作。水下目 标的定位、探测与识别，都需要提取水下目标声散射的时域和频域特征，并 根据这些特征进行目标识别。特征提取及目标识别的方法研究，从最初的基 于w a t s o n 变换的环绕波理论( c i r c u m f e r e n t i a lw a v et h e o r y ) 到最近十多年迅 速发展起来的共振散射理论( r e s o n a n c es c a r e r i n gt h e o r y ) 、奇异点展开法 ( s m g u l a r i t ye x p a n d i n gm e t h o d ) 、声谱学( a c o u s t i cs p e c t r o s c o p y ) 和共振识 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 别方法( r e s o n a n c ei s o l a t i o na n di d e n t i i i c a t i o i lm e t h o d ) 等等方法，已奠定了 目标频域特征分析和识别的基础，而亮点模型( h i g h l i g h tm o d e l ) 的建立及 其对窄带回波波形的模拟，则为水下目标时域特征的识别提供了一种更具有 使用价值的方法。 1 2 1 国内外的相关研究 国外，对加肋圆柱薄壳的声学研究是m c j t m g e r t 3 1 所作的工作，他在文 献中研究了带刚性环肋的无限长圆柱壳的声散射，将散射场分解成刚体散射 项和辐射散射项，并给出壳体表面的三个振动位移分量表达式；把肋看作呈 周期性分布的外加质量，并利用牛顿第二定律推导得出散射声压的计算公式； 后来j w b e d u n d 【4 1 研究了介质对加肋壳体的作用，但是没有给出远场声压 解。1 9 5 1 年，j , f r a t a n 就开始对弹性球体和柱体在水中的声散射进行了理论 和实验研究嗍，紧接着在1 9 6 2 年h i c l d i n g 又对j f r a r a n 研究的问题进行了进 一步的研究”。c m d a v i s ，m c j u n g e r , g a u n n a u r d ，u b e r a l l ，h u a n g 等许多人运用 不同的方法对弹性球体和柱体及其壳体在无限空间或界面附近散射声场的多 种特性进行了不少的理论和实验研究。m ，v b e m b l i t 在参考文献同中给出了 周期环肋支撑的无限长圆柱壳的声辐射形式解，将环肋的无辐射波数转换成 为有辐射波数。并在参考文献 8 】中给出了加两套肋的圆柱壳声辐射的数值结 果；把肋的阻抗近似为引起有肋与无肋圆柱壳远场辐射差别的质量电抗，并 指出共振频率峰与肋的间隔有关，而阻尼则使峰值减小。继而他又在参考文 献【9 】中又利用阻抗及付里叶级数展开的方法计算了仅有两个环加肋的圆柱 壳的远场辐射，其假设环肋与壳体之间仅有力的作用，求出的远场解的表达 式有两项；一项是无肋壳体的声场，另一项是环肋的作用。d j m e a d t ”1 计算 了有限长加肋均质圆柱壳的传播常数，得出了目标结构中自由波传播的通带 和阻带，并导出加肋柱壳的振动方程，给出其振动的固有频率，但未求出其 辐射声场。d e b e s k o s 【1 1 1 等人用数值方法对环肋圆柱壳进行了动态分析，他 们假设壳体作轴对称振动而环肋作径向、扭转运动，并利用动态刚度影响系 数法( d y n a m i cs t i f f n e s si n f l u e n c et o e 伍c i e n t s ) 分析了壳单元和环肋的自由振 动和受迫振动。c b b u r r o u g h s t “1 在假设环肋和圆柱壳之间仅有径向力作用的 条件下，利用m a c e l l 3 1 在无限大加肋平板上的处理方法及k e n n a r d 的弯曲圆柱 哈尔滨工程大学硕士学位论文 薄壳理论推导出点力激励流体中双周期环肋圆柱壳远场辐射的表达式，表达 式包括三个独立项，一项是无肋壳体的解，一项是单肋影响，第三项是另一 肋的影响。a l e k s a n d e rk la _ u s 等人给出了浸没在流体中的、有纵长肋( 即 内部支撑长木条和木板) 的薄圆柱壳的声散射结果。其主要是应用付里叶变 换解波动方程和时域薄壳理论方程，得出了壳肋连接处是围绕壳和流体传播 的环绕波额外的进出点，而肋则引起环绕波从一种波型变为另一种波型的结 论。 国内哈尔滨工程大学、上海交通大学、第7 6 0 研究所、中科院声学所以 及西北工业大学”都在进行有关水下目标声散射特性的研究。 7 6 0 研究所主要进行模型试验与理论建模计算方面的工作。其中赵日昌 提出分解合成方法，将目标模型分解成若干个子系统，对系统用尤里克归 纳的简单几何体的目标强度值计算公式计算，然后进行合成。马忠成、范景 理建立的水下目标模型利用k i r c h h o f f 公式对目标表面进行积分，他们利用目 标的线型值对表面进行插值运算，完成曲面拟和，再对表面积分，得到目标 回波的规律”“。中科院声学所北站由徐海亭领导的课题组主要进行的是对潜 艇表面进行网格化数值建模”1 1 ”，根据k i r c h h o f f 积分近似公式，数值模拟计 算了刚性边界、弹性边界、橡胶边界、弹性薄壳边界和弹性薄壳一刚体复合 结构等五种不同边界条件的3 3 型潜艇的反射特性：即刚性模型的t s 值最大， f 7 k h z 时橡胶模型的t s 值最小，反之，弹性薄壳模型的t s 值最小；正横方 向的t s 值都随频率的升高而增加，且频响也比较平滑，斜入射t s 值的频率 响应则有较大起伏；而在正横方向可以用短柱估算潜艇反射的大小。哈尔滨 工程大学也对此做出了许多卓有成效的研究。哈尔滨工程大学何祚镛教授带 领的科研小组对加肋弹性圆柱壳体的振动与声辐射进行了较完整的研究。其 中俞孟萨“”用有限元法和球函数展开相结合的方法研究了一个有限长环向加 肋、两端带有半球壳的弹性圆柱薄壳在无限大声介质中的受激振动和声辐射， 结合壳体表面和球面内外的边界条件，建立声振动耦合方程，数值计算了 不加肋及加以不同大小的环肋时，壳体在真空中的固有振动频率和振动模态。 姜俊奇用有限元软件a n s y s 和边界元软件s y s n o i s e ，计算研究了有限 长两端带半球壳帽的圆柱壳加肋与否以及肋厚、肋宽、肋数、壳厚等参数的 变化对其在水下振动模态、受激表面振动、声辐射远场指向性、输入机械功 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 率、辐射功率和辐射效率等方面的影响。孙辉和朴胜春基于亮点模型讨论 了复杂信号回波与入射波互相关函数的表达式，给出互相关函数是入射波的 自相关函数被各亮点幅度加权并延时迭加的结果，指出互相关函数中对应某 个亮点的峰值与该亮点幅度成正比，可据此来估计亮点参数。同时又给出了 潜艇模型不同方位上回波的相关函数，并据此画出了相关函数峰值随方位角 变化的极坐标图，进而估计出其亮点参数。 1 2 2 目标回波的几种常用研究方法简介 目标声散射研究的目的，首先在于探求根据目标散射特性，进一步判识 其形状、尺度和材质方法。从研究的途径来分，可基本归结为目标散射正问 题的研究和目标散射逆问题的研究两大类1 。 对于弹性体目标散射正问题的研究来说，首先的一项内容应该是对目标 散射声场解析计算方法的研究。目标声散射场的计算，在数学上被归结为在 特定的边界条件下求解波动方程问题。求解散射声场，有多种方法： 1 特征函数展开法：从微分方程出发，将声场表示为某坐标系下已知的 波动方程的完备正交函数系的级数，即声压表示为： 暑 p 2 乙靠 n = o 或者将位移表示为： 晶 “2 乙尹 在实际中，将玎截断，用有限项来近似表示，在特定的边界条件下求解， 得到一种近似的结果。 2 分离变量法：分离变量法又叫f o u r i e r 方法，是经典的求解波动方程 的方法，有很大的局限性，只有所求的目标形状与十一种坐标系之一重合时， 才能用分离变量法得到精确解。 3 积分方程法： 在均匀流体中声场满足以下方程； 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 p = 如署一g 静西= p ( 1 - 与p 珥石 o g 是格林函数。上式表明区域内声场可由边界上的p 以及g = 害表示。 o n 在s 域内选若干点作为节点，用节点上的p 、口值通过局部插值函数去近似 表达s 上其他点的值。 p = 只旃 扭i g = 鳓 t - i 将上两式代入到第一个表达式中，得到由p 、口表示的离散化表达式， 代入第二等式得到p ，q 应满足的方程，将方程离散化，则方程可以写成矩 阵形式： 【彳】 p 】= 1 p 】+ 【b 】 q 】 4 变分法：它是一种应用较多的近似求解法。用r a y l e i 曲砌t z 法， g a l e m k i n 法或者加权余量法进行求解 5 有限元法：有限单元法的基本思想，是力学模型上将一个原来连续的 物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个结点上相连 接，并在点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。对于每个单元， 根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律， 并按弹性理论中的能量原理( 或变分原理) 建立单元结点力和结点位移之间 的关系。最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以结点位移 为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散点上的 位移。在处理声散射问题时，使用有限个元素上的声特征量的线性叠加方法 来代替h e l m h o l t z 积分方程中的求积计算。在实际应用中，往往把散射问题 分成目标本身的受激振动和刚体的散射两部分进行处理。前一部分按有限元 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 思想进行离散处理，用数值方法进行求解。后部分按h d r a h o l t z 积分用解析 认识水平求解。二者结合起来便是目标的散射场。从原理上讲，这种方法对 于外形结构的要求不严，适应能力较强。 6 边界元法：边界单元法( b u n d a r ye l e m e n tm e t h o d - b e m ) 或称边界元 法是在有限元法之后发展起来的一种数值计算方法。其基本思想是将问题的 控制方程换成边界上的积分方程，然后引入位于边界上的有限个单元将积分 方程离散求解。与目前常用的有限元、有限差分这类区域性方法不同，经离 散化后的方程组只含有沿边界上的节点未知量，因而降低了问题的维数，最 后求解方程的阶数较低，因而数据准备方便，计算时间缩短。另外，它引用 了问题的基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而计算精度较高。目前， 在各领域获得了越来越广泛的应用。边界元法可分为两种基本类型，即直接 法和间接法，直接法采用具有明确物理意义的量作为变量求解，而间接法中 是假设边界上虚拟分布的“源”，没有客观实在的物理意义。在工程中直接法 占有主流。 7 积分微分方程法：此法较适用于求解薄壳体散射，他引入壳体的运 动微分方程式作为联系表面上声压与法向振速的附加方程，从而得到弹性壳 体的散射过程公式。也可以将观察点接近散射物体表面，使得积分方程只含 有未知表面源的参数，再利用变量的富立叶展开等近似方法，把积分方程化 为线性方程组进行求解。 8 最小平方误差法：这种方法将声场用球函数展开，取其前有限项和代 入边界条件中，令由此而在边界上产生的误差平方和最小，从而求得展开式 中的系数。这种方法适用于表面阻抗已知的情况，但计算结果在某些方向存 在较大的误差。 9 k i r c h h o f 近似法：这种方法是在物体的表面取局部近似，把积分方程 变成普通的面积分，极大的简化了分析，并有较明晰的物理解释。 1 3 本文的研究内容 本论文的主要研究内容是“加肋的双层弹性球壳和加肋的双层弹性圆柱 壳声散射分析”，由于水中兵器的形状大多都与圆柱体近似，所以对圆柱体和 圆柱薄壳( 包括加肋的圆柱薄壳) 前人有很多的研究，也有许多可以借鉴的 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 东西。而加肋的薄球壳却很少有人研究。本论文的目的是应用一种新的方法 去求解球壳和圆柱壳的散射声场。 本论文采用边界元软件s y s n o i s e 和有限元软件a n s y s 即有限元和边 界元相结合的方法求解。由于a n s y s 有绘图建模、划分网格的功能，所以 本论文首先在a n s y s 中将所求模型的图型画出，并画分网格。然后，通过 a n s y s 和s y s n o i s e 的接口将模型导入到s y s n o i s e 中，最终在s y s n o i s e 中添加适当的边界条件，进行分析求解，将各种所需的结果求解出来，从而 将此问题解决。 在实际的仿真中，重点讨论加肋目标与无肋目标的散射特性的差别。重 点研究了不同的入射频率和角度的情况下，加肋与无肋薄圆球壳其声散射的 不同，同时为了了解肋的物理参数对加肋目标声散射的影响，研究了加肋薄 圆球壳的散射声压与肋间隔、肋厚度大小的依赖关系，以便为识别加肋与无 肋目标提供依据。 最终将有限元与边界元相结合的方法推广到更一般的情况，即推广到圆 柱壳体的声散射特性的研究中。 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章理论分析 2 1 有限元理论 有限单元法的基本思想，是力学模型上将一个原来连续的物体离散成为 有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个结点上相连接，并在结点 上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。对于每个单元，根据分块近 似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理 论中的能量原理( 或变分原理) 建立单元结点力和结点位移之间的关系。最 后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以结点位移为未知量的 代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散点上的位移。将此 方法进一步推广，可以计算各个学科的问题。 2 1 1 弹性体基元应力应变和应变位移关系 对于一般弹性介质取一微元，其应力和应变在不考虑温度变化对结构的 影响时，根据广义虎克定律有如下关系嘲； o ) = 【d 】 8 ( 2 - 1 ) 式中：p = q 哆吒r 为应力张量( 吒为x 方向张应力， 为x - y 平面内切应力) ； 占 = ks ，乞占，r 为应变张量。( 为x 方 向张应变，f 。为x - y 平面内切应变。) o j = 鲁。一吐争鲁c + k 畦 鲁c + k 畦鲁”噎， 鲁( + ) 0 0 o 鲁( ”vv 。e - 。- ) 0 0 0 鲁( k + ) o oo 鲁( 饥争。 鲁t - 一吗争 。 0 吒00 00g f0 000g ( h = 1 - 嚏一睦一畦一2 争 g 国 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 为弹性矩阵矩阵 d 】中：e 、髟、e 为材料在x 、y 、z 方向杨氏模量；、 、为泊松比；g 0 为x f f 平面内切变模量。 对于各向同性物质，有： e 。= e v = e i = = ( 2 3 ) 在某些情况下，给出了杨氏模量和泊松比，则切变模量可由杨氏模量和 泊松比算出： 嘭= 瓯= q = 焉 对各向同性材料，弹性矩阵 d 】可简化为如下形式： 【d 】- l vv1，0 vl 一1 ，1 ，0 v， l v0 o oo 吉( 1 2 v ) 000 0 0000 0 o o 0 昙( 1 2 v ) z 0 在小变形情况下，弹性体内某点处的变形可以用平行于x ，y 和z 的方向 的三个位移分量“、矿和w 对坐标的偏导数来描述。甜、y 和w 分别都是x ，y 和z 的函数，长度应变和切应变表示为驯嘲： 锄却知 巳2 瓦髟2 万乞2 石 写成矩阵方程形式： = 祟+ 豢，= 罢+ 罢，= 罢+ 罢 ( 2 6 ) 2 石+ 瓦2 西+ 石，2 西+ 面 ( 6 ) l o _li-_llj_ll_l_ji_j、j 哆巧 办 g o o o o o o 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 占) = 式中：t 叽= 三 为位移向量。 u )( 2 - 7 ) 2 1 2 结构有限元方程推导 有限元基本方程可以用微分方程法和变分法推导得到。以下采用变分法 中的汉密尔顿原理来推导有限元基本方程酬。 先把结构离散为e 个有限单元。假设第i 个单元内的位移为： f u ( x ，乃彳，f ) l 狮 ，y , z ，嘞= v ( x ，y ，z ，f ) = 【( x ，y ，：，f ) 】 吖( x ，y ，z ，f ) ) ( 2 - 8 ) 【w ( x ，y , z ，r ) j 【( 墨彭列为整体坐标下的单元形函数， 昕( x ，y , z ，f ) ) 为第f 个单元的节点位移 向量。 式( 2 8 ) 对时间t 微分，可得到： u ( z ，y , z ，f ) ) = 【( x ，y ，j r ) 】 u ? ( x ，y ，z ，f ) ) ( 2 - 9 ) d ，( x ，y , z ，f ) ) 为i 单元中质点的速度向量， 嘶 ，y ，z ，力) 为单元节点处的速度 向量。 将( 2 9 ) 代k ( 2 7 ) e o 得到离散化以后弹性体的应变位移矩阵： o o a 一瑟 o a一砂a一缸 o a 一钞o a一劫a一勃 o a 一缸 o o a 一砂 o a 一瑟 哈尔滨工程大学硕士学位论文 p ) = f f i u 。)( 2 - 1 0 ) 式中；明= 旦oo 苏 。旦。 砂 羔羔弘为应一。 砂苏i o 旦旦i 勿秒i 旦。旦l ( 2 1 1 ) 由( 2 一1 0 ) 式应变和单元节点处位移的关系，可以得到应力和单元节点 处位移关系： 盯 = 【d 】 s = 【d 】【刀 w )( 2 1 2 ) 拉格朗日方程为： 丢白一t 劳+ t 嚣，= o s ， 其中：三= r 一乃称为拉格朗日函数。丁和乃分别是弹性体的动能和势能；r 是耗散函数；u 和驴分别是节点的位移和速度。 第f 个单元动能和势能分别为： t 。- i i 肛渤7 , u w v ( 2 - 1 4 ) 乃= 毒j m s 7 p d r 一脉u ) 7 ， 一眼u 7 p 舔( 2 - 1 5 ) k 为第i 单元的体积；p 为结构密度， 毋为施加到单元体力向量； p ，为施 加到单元的面力向量；s 为单元的面积。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 假设实际的耗散力与相对速度成比例，则可以把单元f 的耗散函数表示 为： 置= 告j j 弘 d 广 o d v ( 2 - 1 6 ) 式中为阻尼系数。 把式( 2 - 8 ) ( 2 1 2 ) 代入( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 6 ) 可得： 丁= 粪霉2 i 1 扩 7 喜黔九】 西 ( 2 - 7 ) 扭l 二 l ，t l l 乃= 喜= i 1 旷) 喜7 p 】f 矿 u 1 一 壹 ! ：c 明7 【n d = l矿 p ) 一 扭l 二 i j - lh ll。厉i t 酽，7 妻班九川舔 ，一t u 甲以， r ：壹马= 丢妒) 叫壹肌m r n d vk r = 马= 寺 口) 7 l f 弘m 7i 矿。 l = l l # l 卉。 j ( 2 一i s ) ( 2 - 1 9 ) 上式中： 扩 为整个结构所有节点位移向量； 扩) 为整个结构所有节点速度 向量； f 8 ) 为整个结构所有节点体力向量；仞。) 为整个结构所有节点面力向 量； 疋 为整个结构的集中节点力向量。 将式( 2 1 7 ) ( 2 1 9 ) 用矩阵形式表示为： r = 去 扩 彤】 奶( 2 - 2 0 ) 乃= 寺 c ，8 广【k 】 u 。 一 u 。) 7 【q 】 ，。 - 一 u 。厂【日】 p 。) 一 u 。r e ( 2 - 2 1 ) r = 去 扩， c l o 。 ( 2 - 2 2 ) 其中； 瞰，= 陲妒硝吲 ，为结构的整体质量矩阵。 s ， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 阶陲缈砑 d i b i d v ，为结构删就阵 ( 2 - 2 4 ) c 翻= 喜缈 1 7 c f 矿 ，为结构整体体外力系数矩阵。 g 一：s ， 阶陲即筇 ，为结构整体面外力系数矩阵 g 旧= 陲驴胛m j 矿 ，为结构的总阻尼矩阵 g 将( 2 1 7 ) ( 2 - 2 2 ) 代入式( 2 1 3 ) 中，就可以得到一般的有限元方 程； 【m 】 d 。) + 【c ) d 。) + 【置】 u 。，= 【q 】 f 。) + 【日】 矿，+ 疋)( 2 2 s ) 为书写方便，将上角标e 去掉，式( 2 - 2 8 ) 改写为： 【 幻 叨+ 【c 】 u ) + 【k 】 u ) ； q 】 f + 肛门 ， + e ，( 2 - 2 9 ) 如果式( 2 2 9 ) 中方程的外加力项， f ) 、 办、 e 皆取为0 ，式( 2 2 9 ) 即变为求解结构在真空中自由振动模态有限元方程； 【m 】 + c 】 d 卜p k 】 u = o ( 2 3 0 ) 对于时间因子为p m 的情况，式( 2 3 0 ) 变为： k + j r o i c - r 0 2 【吖由 u = o ( 2 3 1 ) 即有： 茁】+ j w c - c 0 2 【m 】= 0 ( 2 - 3 2 ) 上式为结构自由振动模态本征频率方程。 如果结构无阻尼，则( 2 3 2 ) 变为： 【k - 0 2 【m 】= 0 ( 2 - 3 3 ) 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 2 边界元理论 边界单元法( b u n d a r ye l e m e n tm e t h o d - b e m ) 或称边界元法是在有限元 法之后发展起来的一种数值计算方法。其基本思想是将问题的控制方程换成 边界上的积分方程，然后引入位于边界上的有限个单元将积分方程离散求解。 与目前常用的有限元、有限差分这类区域性方法不同，经离散化后的方程组 只含有沿边界上的节点未知量，因而降低了问题的维数，最后求解方程的阶 数较低，因而数据准备方便，计算时间缩短。另外，它引用了问题的基本解， 具有解析与离散相结合的特点，因而计算精度较高。目前，在各领域获得了 越来越广泛的应用。 边界元法可分为两种基本类型，即直接法和间接法，直接法采用具有明 确物理意义的量作为变量求解，而间接法中是假设边界上虚拟分布的“源”， 没有客观实在的物理意义。在工程中直接法占主流。 2 2 1h e l m h o l t z 积分方程 在理想流体介质中，设二单频声波p 、g ，它们在由封闭曲面s 包围区 域v ( 图2 1 ) 内有连续的二次导数，在s 上有连续的一次导数，并且都满足 波动方程，当它们以时间因子p 肛变化时，则有h e l m h o l t z 方程嗍： v 2 p + k 2 p = 0 v 2 g + k 2 g = 0 ( 2 - 3 4 ) 根据格林公式嗍： 胁。一蛾妒) 谬= f ( 妒2 妒一岬2 扔 ( 2 3 5 ) j庐 这里a 。为s 的外法线方向偏导数。 用p 、g 代替妒、妒，并将式( 2 3 4 ) 代入式( 2 - 3 5 ) 得到： j 【p a 。g g o 。p 络= o ( 2 3 6 ) s 对本文讨论的模型，令p 、g 为声压和三维自由空间g r e e n 函数： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 口一归 矿2 办矿2 g 力焉( 2 - 3 7 ) 其中r ；，( x ，) ，) 是体积v 中任意两点x 、y 间的距离，为虚宗量( 一1 ) ，k 为波 数( k = o ) c ，国为圆频率c 为声速) 。 声场质点振速可由欧拉方程p 罢= 一v p 得, m ，这样式( 2 - 3 2 ) 中的见p 即 研 可写作表面法向质点振速形式：a m p = - - j 国p 。 应用声压和三维自由空间g r e e n 函数就可以将体积y 内或表面s 上任一 点声压用表面s 上的声压和法向振速和积分式来表示。 一具有表面s 的有限物体在一介质无限区域y 中振动，这一问题可将其 划分为所有物理量都在物体外部的h e l m h o l t z 方程表述( 图2 1 ) 。区域矿是 表面为s 和罗的空间，这一空间表述为一具有无限大半径的区域。 图2 1 区域定义( 右为场点在表面上，左为场点在表面外) 要计算z 点的声压p ，声压在这个空间是平稳和非奇异的，而z 点为 g r e e n 函数g 的奇异点。为去除这一奇异性，扣除环绕工的半径占一0 的小 球盯，则g r e e n 恒等式在剩于的表面积为s + 仃+ 的空间矿一巧内就不再有 奇异性。 则式( 2 3 2 ) 变为： f 【p ( d a a ( x ，聊一a ( x ，r ) a 。p ( r _ ) l d s ( 1 0 = o ( 2 3 8 ) ”o 1 6 哈匀；缀工程大学坝士学位论文 注意到法线的方向是指向流体，即指向区域内部，这意味着指向s 和仃之 外、之内。在盯上的积分，= ，( 肖，功= 占，赢= 孟。则： p ( 碱为一等丸p ( r 3 a s ( r 3 = 熟尹4 为一等a ，p 咖删妒 2 熄寡一p 0 9 ( y k r “) 秒- ，p 飞p ( 琊i n o d a d v ，( 2 - 3 9 ) 一慨6 f 静血o d o d i ， = 一p ( x ) 式中：p ( 柳为点z 处的声压。 注意到在上的法向量_ i i = j ，则在上的积分可写作五斗o o 的形式： 弘嗍为一等似瑚( y ) = 熄jp c 功事为一；挈蛉c 即 = 憋j 【- p ( y ) 每一一等警舳鲋脚 一熙j 扣仰( 即+ 警+ p ( w 归咖蝴 这个积分应在足一m 变为0 ，因为根据无穷远熄灭原理， 分布为0 。这就要求式( 2 - 4 0 ) 中积分号中两项均趋于零： 憋，脚( y ) + t 烈n j = o 憋巾( y ) s 爿，a 为任意小 从式( 2 - 3 8 ) ( 2 - 4 0 ) 可以得虱： ( 2 - 4 0 ) 在无穷远处场 ( 2 - 4 1 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 p c r ) a 。g ( x ，y ) 一6 ( x ，y ) a 。p ( 纠豳( y ) = 烈x ) ( 2 4 2 ) j 式( 2 - 4 1 ) 即是外部场点的h e l m h o l t z 积分方程。它将区域v 内的任意 一点x 的声压和表面s 上的声压和声压梯度联系起来，如果表面s 上的声压 和声压梯度可以得到，利用式( 2 - 4 2 ) 就能计算出v 内任一点的声场。 对于点x 为表面s 上一点的情况，假定在s 面上处处平滑，表面法线唯 一，则当积分动点l ，哼x 产生奇异性可通过“挖”去一个包围x 的半径占一0 的小半球来去除( 图2 1 ) 。 应用得到矿内场点声压表达式的方法可以得到s 上声压表达式： i 【p ( y ) a 。g ( x ，y ) 一o ( x ，d o p c y ) d s ( y ) = 0 ( 2 - 4 3 ) 芝 撬i p ( y ) o g ( x ，d o ( x ，d a p ( 1 0 d s ( 1 0 ( 2 - 4 4 ) = 一熟2 j 9j 2 石1 艄s i n 8 d o d + = 专( 工) 则式( 2 3 8 ) 变为： f 【p ( 】，) a 。g ( x ，y ) 一g ( x ，r ) a p ( y ) l d s ( 1 0 = + p ( x ) ( 2 - 4 5 ) j 厶 上式称为表面h e l m h o l t z 积分方程。 如果s 在点x 处不光滑，盯不是半球，当g 哼o 时，在上的积分不是1 2 而是0 到1 之间的一个值： e d e a ￥, = c ( z ) ( 2 - 4 6 ) 实际上c ( 朋表面s 上的立体角占整个球的立体角的比值： c = 兰，( 口是点x 在s 上的立体角) ( “7 ) 则式( 2 3 8 ) 可写成更通用的形式： p ( i o o g ( x ，y ) 一o ( x ，】，) 丸p ( y ) 】钌( 】，) = c ( 1 0 p ( 功 ( 2 4 8 ) j 形式上，p ( x ) 由p f f ) 得出，但实际上p ( 石) 本身也是s 面上x 点的函 1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 数值，所以它是一个积分方程。 当x 在面s 之内时，因为r ( x ，n 0 ，不存在奇异点，式( 2 3 8 ) 就变 为： i p f f ) 见g ( x ，y ) - g ( x , y ) a 。p c r ) d s c r ) = 0 ( 2 - 4 9 ) s + 再由( 2 - 4 3 ) 式，则有： j e p ( r ) a 。o ( x ，i ) - g ( x ，d o p ( y ) d s ( y ) = 0 ( 2 5 0 ) i 综合以上的论述，h e h n h o l t 积分方程可以写成： i p ( y ) o g ( x ，力一g ( x ，1 0 0 。p ( i o l d s o o = s p ( j 0 ，x 在s 面外 0 ，x 在s 面内 ( 2 5 1 ) c ( x ) p ( x ) ，并在s 面上 ( s 面平滑时，c ( 幻= 1 2 ) 2 2 2 边界元方程推导 一般情况下，表面积分方程不易解出，因而采用数值计算技术边界元近 似方法求解。采取的方法是将表面s 离散成一系列小块单元。这些小块单元 足够小和较为规则，使得单元上任意点的声压可由该单元的节点声压和简单 的多项式函数插值得到。于是单元上任意的声压由式( 2 - 4 8 ) 以节点处格林 函数及其导数的相应积分表示出来，而后得到一个总单元节点上声压的方程 组，最后得出整个表面上的声压和声压梯度的分量。 表面s 通常被离散成小的四边形或三角形单元，表面s 上每一点的全局 笛卡尔坐标o = l ，2 ，3 ) 与其所在单元的节点坐标有如下关系： 而够) = 以偌) ( 2 - 5 2 ) 口 对四边形单元来说，口通常取4 或8 ，为单元节点数；虬( f ) 为单元的 形函数，( 掌) ；( 点，岛) 为单元的局部坐标。对于四边形，取四节点时单元形 函数为洲脚： 1 9 1 ( f ) 2 古( 1 一点) ( 1 一参) 2 ( o 2 言( 1 + 轰) ( 1 一彘) 3 9 ) 2 专( 1 + 螽x 1 + 彘) ( 2 - 5 3 ) 4 2 玄( 1 一磊) ( 1 + 磊) 取8 节点时四边形单元形函数为： 1 m ( o 2 言( 矗+ 1 ) ( 磊+ 1 ) ( 轰+ 磊一1 ) 2 偕) 2 言( 卣一1 ) 馒+ 1 ) 蝠一岛+ 1 ) 3 ( a 5 音( 1 一卣) ( 彘一1 ) ( 点+ 磊+ 1 ) 4 ( 善) 2 玄( 1 + 磊) ( 1 一邑) ( 磊