（概率论与数理统计专业论文）markovian环境下的一类cox风险模型.pdf

摘要 本论文以c o x 计数过程强度的变化为主线展开讨论，主要研究了m a r k o - v i a n 环境下的一类c o x 风险模型。在这里我们可以认为古典风险模型( 即复 合p o i s s o n 模型) 是最特殊的一类c o x 风险模型。 导论由三部分组成：( 1 ) 风险理论方面的一些背景简介；( 2 ) 论题的历 史概述；( 3 ) 论文的内容提要。导论之后就是论文的主体部分，它包括以下内 容： 我们首先研究了连续时间的古典风险模型。受吴荣等( 2 0 0 2 ) 文章的启 发，我们完全利用该模型余额过程的强m a r k o v 性，通过引入推移算子，借 助吴荣等( 2 0 0 2 ) 文章的方法，首次得出了这个模型中七个有重要实际意义 的精算诊断量的联合分布的明确表达式。这些精算诊断量包括：破产前瞬间 余额、破产时赤字、破产前最大盈余、破产后到余额首次恢复为非负这段时间 的最大赤字、末离前的最大盈余和最大赤字、破产_ 恢复_ 再破产_ 再 恢复- 如此反复的总次数等，这是古典风险模型中纳入重要精算诊断量 最多的一个联合分布。另外，我们还得出了包含末离时和破产时之差在内的若 干随机变量的一个联合分布。在个体索赔额服从指数分布时我们演示了这些 联合分布的计算并给出了精确的计算结果。 c o x 风险模型是复合p o i s s o n 模型的一个自然的推广，它是用c o x 过程来 描述索赔发生的，而且把它作为描述“风险波动”的模型也是很合适的，这更 能反映保险公司的实际运作情况。对m a r k o v i a n 环境下一类c o x 风险模型的 研究是本论文的核心部分。c o x 过程是在允许强度随机变化意义下对p o i s s o n 过程的推广。在这一部分，我们首先考虑了m a r k o v i a n 环境下的c o x 风险模 型中破产发生时，破产前瞬间余额和破产时赤字的期望折现罚金，得到了该期 望折现罚金满足的一个积分方程，并在有限状态的m a r k o v i a n 强度下，给出 了方程的解；其次对m a r k o v i a n 环境下保费随机收取的c o x 风险模型的破 产概率也导出了一个积分方程，并在有限状态的m a r k o v i a n 强度下，给出了 方程的解；最后我们研究了m a r k o v i a n 环境下带扩散干扰和随机保费率的 c o x 风险模型，受g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 的启发，通过增补变量的办法，利用向量 过程的齐次m a r k o v 性，得到了该模型破产概率的上界估计。 在本论文的最后一章，我们对保险公司在金融资本市场有一定风险投资 的随机模型进行了探讨。其中，风险过程用一个复合p o i s s o n 过程描述。通 常，这部分投资用于股票市场，目标是通过选择合适的投资策略使得该风 i l l 摘要 险模型的破产概率最小( 或等价地，生存概率最大) 。受g a i e r 和g r a n d i t s ( 2 0 0 2 ) 文章的启发，从最大生存概率满足的一个积分一微分方程出发，我们 分析了在大额个体索赔情形下，破产概率作为初始准备金的函数随索赔尾分 布的变化而变化的趋势。 a b s t r a c t i nt h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o nw em a i n l ys t u d yak i n do fc o xr i s km o d e l s i nam a r k o v i a ne n v i r o n m e n t i ti sd e v e l o p e da c c o r d i n gt ot h ev a r y i n go ft h e i n t e n s i t yp r o c e s s h e r ew em a y t h i n kt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ( o rc o m p o u n d p o i s s o nm o d e l ) a st h em o s ts p e c i a le a s eo fc o xr i s km o d e l s ab r i e fr e v i e wo ft , h eb a c k g r o u n do fr i s kt h e o r ya n dt h er e l a t i o n a lh i s t o r y o ft h et h e s i sa sw e l la st h em a i nc o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r eg i v e ni nt h e i n t r o d u c t i o n a f t e rt h a tt h em a i nb o d yo ft h ed i s s e r t a t i o ns t a r t s ， f 台f i r s t l yf o c u so ns t u d y i n gt h ec o n t i n u o u st i m ec l a s s i c a fr i s km o d e l t h e i d e ai so r i g i n a l l ym o t i v a t e db yr o n gw u e ta l 。( 2 0 0 2 ) 。w ec o r n p l e t e l yt a k e a d v a n t a g eo f t h es t r o n gm a r k o v p r o p e r t yo f t h es u r p l u sp r o c e s s ，b yi n t r o d u c i n g s 班o p e r a t o r sa n du s i n gt h es i m i l a rt e c h n i q u et or o n gw u e ta 1 ( 2 0 0 2 ) ，w e f i r s t l yo b t a i na ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h ej o i n td i s t r i b u t i o no fs e v e ni m p o r - r a n ta c t u a r i a ld i a g n o s t i c s ，w h i c hi sk n o w na sa j o i n td i s t r i b u t i o nc o n t a i n i n gt h e m o s ta c t u a r i a ld i a g n o s t i c su pt on o w t h o s ea c t u a r i a ld i a g n o s t i c si n c l u d et h e s u r p t u si m m e d i a g e t yp r i o r t or u i n ，t h ed e f i c i t 越r u i n ，t h e s u p r e m ep r o f i t sb e f o r e r u i na n dt h e , s u p r e m ed e f t c i tb e f o r et h ef i r s tr e c o v e r y , t h es u p r e m ep r o f i t sa n d a e 尊c i tu n t i lt h es u r p l u sp r o c e s sl e a v e sz e r ou l t i m a t e l y ，t h et o t a ln u m b e ro | s u c h c y c l e s 懿 r u i n - + r e c o v e r y - + r u i na g a i n 寸r e c o v e r ya g a i n - - - - a n ds oo n 。 w h a t sm o r e ，a n o t h e r j o i n td i s t r i b u t i o n ，w h i c hi n c l u d e st h e 出珏j r e n e eb e t w e e n t h et i m eo ft h es u r p l u sp r o c e s sl e a v i n gz e r ou l t i m a t e l y ( s i m p l y ，t h eu l t i m a t e l y l e a v i n g t i m e ；a n dt h et i m eo fr u i n ，i sa l s od e r i v e d + f u r t h e r 、t h ee x a c te a l c u 1 a t e dr e s u l t sa r eg i v e nw h e nt h ei n d i v i d u a lc l a i ma m o u n t sa r ee x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d an a t u r n lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e li st h ec o xr i s k m o d e lt ow h i c ht h ed i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd e v o t e d i ti sam o d e lw h e r et h e o c c u r r e n c eo ft h ec l a i m si sd e s c r i b e db yac o xp r o c e s s ac o xp r o c e s si sa g e n e r a l i z a t i o ni nt h es e n s et h a ts t o c h a s t i cv a r i a t i o ni t it h ei n t e n s i t yi sa l l o w e d 。 c o x p r o c e s s e s a r ev e r yn a t u r a la sm o d e l sf o r r i s kf l u c t u a t i o n ”f i r s t 。i l l u m i n e d b yg e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ) ，t h es t u d yo ft h r e ei m p o r t a n ta c t n a r i a ld i a g n o s t i c s ： t h et i m eo fr u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e 琦p r i o r or u i na n dt h ed e 螽e 甜a tr u i n i se r n b e d d e di nt h es t u d yo fa ne x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y , w h i c hi sd u ea t r u i na n dd e p e n d so nt h es u r p l u si m m e d i a t e l yp r i o rt or u i na n do nt h ed e f i c i t a t , r u i n + t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yi ss t u d i e dw h e nt h ei n t e n s i t yo ft h e c o x p i o c e s si sam a r k o v i a nj u m pp r o c e s s n e x t ，r u i np r o b a b i l i t yw i t hv a r i a b l e p r e m i u m r a t ei nam a r k o v i a ne n v i r o n m e n ti se x u n i n e d ，i nb o t h e a s e s i n t e g r a l e q u a t i o n ss a t i s f i e dr e s p e c t i v e l yb yt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t ya n dt h e p r o b a b i l i l vo fr u i na r ed e r i v e di ng e n e r a lc a s e sa n dt h e i rs o l u t i o n sa r eg i v e n w h e nt h em a tk o v i n t e n s i t yo n l y h a sf i n i t es t a t e s a t l a s t ，w ec o n s i d e rac o xr i s k m o d e lw i t hv a r i a b l ep r e m i u mr a t ea n dd i s t u r b e db yd i f f u s i o ni nam a r k o v i a n e n v i r o n m e n t w ja l s oi n v e s t i g a t et h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni nt h i sm o d e la n d o b t a i nt h es h a r pu p p e rb o u n d so fi tb yt h et e c h n i q u eu s e di ng r a n d e i l 1 9 9 1 ， s e c t i o n4 5 1 a b s t r a c t f i n a l l y ，w ec o n s i d m 。ar i s km o d e jw i t ho p t i m a l 胁v e s t m e a tf o rj d s u f e f s t h e r e i n t o t h er i s kp r o c e s 8i sm o d e l l e da sa c o m p ( n m dp o i s s o np r o c e s s t h e r u i np r o b a b i l i t yo ft h i sr i s km o d e li sm i n i m i z e df o re q u i v a l e n t l yt h es u r v i v a i p r o b a b i l i t yi sm a x i m i z e d lb yt h ec h o i c eo fas u i t a b l ei n v e s t m e n ts t r a t e g yf o r a c a p i t a lm a r k e ti n d e x 。i n s p i r e db yg a i e ra n dg r a n d i t sf 2 0 0 2 ) ，s t a r t i n gf r o m a ni n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h em a x i m a ls u r v i v a lp r o b a b i l i t y , w ea r i a 。 l y z et , h e v a r i a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t ya l o n gw i t ht h ev a r i a t i o no ft h et a i l d i s t r i b u t i o nf u n o t i o n so fl a r g ec l a i ma l i l o u u t 8 。 致谢 衷心感谢我的导师吴荣教授五年来对我的悉心指导、耐心教诲 和温馨关爱。她治学严谨，对科研和教学非常认真；她为人处事正 直坦荡、光明磊落，她常常对我说：“做人和做学问一样要老老实 实，来不得半点虚假”；她不仅教会了我如何做学问，也教给了我如 何做人，这将使我受益终身。这篇论文是在导师的精心指导下完成 的，她为我确立了考虑“风险波动”随机风险模型的题目，之后又进 一步引导我把问题做向深入，正是她无私的指导和帮助，使我得以 顺利完成学业。导师为培养我付出了大量心血，这使我终生难忘。 衷心感谢王永进教授、郭军义教授和张春生教授在学业上和在 生活中给予我的关心、指教和帮助，他们为我的学习和科研提供了 许多有益的指导。 非常感激中国科学院的严加安院士，北京师范大学的陈木法教 授，中国科技大学的苏淳教授，上海交通大学的叶中行教授，河北 工业大学的李志阐教授、刘文教授和刘国欣教授，复旦大学的赵学 雷教授对我学业成长的热心关注和无私帮助。 非常感激在大学的学习和生活中一直关心和支持我的河北师范 大学的康庆德教授、程海奎老师、郭志芬老师和张晓红老师，他们 给了我很大的帮助。 非常感恩于我的父母，父母含辛茹苦养育我相当不易，我从父 母身上看到了奋斗和坚强、理解和宽容、无私和无畏。不管家里有 什么样的困难，父母从未有过半旬怨言，始终如一地鼓励和支持我 求学的选择。可爱的妹妹也给了我很多鼓励和帮助，在很多方面， 她是我的榜样。至纯至真的亲情给了我最大的动力和勇气，可以说 没有他们，就没有这篇论文的面世。 最后，衷心感谢所有的同窗学友以及师兄师姐、师弟师妹们对 我的鼓励和帮助。和谐友爱的学习和生活氛围让我非常留恋大家一 起走过的日子。 导论 集体风险理论是保险或精算数学的一个重要部分，它对保险业务进行数 学描述，建立起保险公司的随机风险模型，从而可以借助数学方法来处理这 些源于保险业的模型。通常，在保险风险模型中，索赔的发生用一个随机点 过程( 以后简称点过程) n = ( t ) ，t 0 ) 来描述，且每一次索赔发生时保 险公司要支付的款额( 以后简称索赔额) 用一列非负随机变量 z 1 ，z 2 ，) 来 描述；同时，保险公司要收取一定数量金额的保费来进行理赔和支付管理 费，此外，还需要保证保险公司一定的利润回报。进一步假定保险公司有一 定的初始准备金a o ( 4 0 可以是常数、函数或随机变量) ，则vt 0 ，若保 险公司在t 时刻的盈余( 或者称余额) 用u ( t ) 表示，那么盈余过程( 或者称 余额过程) u = u ( t ) ，t 0 可写成 u ( t ) = a o + q ( t ) 一s ( t ) 其中q ( t ) 为( 0 ，t 时间区间内的利润收入( 最简单的假设就是保费累积额) 5 ( t ) 为( 0 ，t 】时间区间内的累积索赔额( 或者称为总索赔额) ，通常 s ( t ) 其中n ( t ) 记录了在( 0 ，t 】时间区间内发生的索赔次数，五，i21 代表第i 次索赔额。总收入和总支出之差称为风险过程，定义为 x ( t ) = q ( t ) 一s ( ) ，t 0 在( 0 ，t 】时间区间内的平均利润e 陋( ) 】称为“安全负荷”。 最简单的保险风险模型，这里称为“古典风险模型”或者“复合p o i s s o n 模 型”，大致如下： i 初始准备金a o = 札，u 是非负实常数。 i i 点过程| 1 v 是一个强度为正实常数a 的齐次p o i s s o n 过程。 i i i 索赔是一列独立同分布的随机变量f z l ，历，) 。 i v 点过程和随机变量序列 z 1 ，蜀， 相互独立。 v 保费按照确定的常数保费率c 收取，亦即，q ( t ) = c t 。 ( 这里c 为正实常数，有时被称为“毛的伐总的j 风险保费率”。) v 磊 x i v导论 分别表示p ( x ) 和由。( ) 的l a p l a c e 变换，用“l a p l a c e 变换法”我们可以得 至关予甄( ) ，i = 1 ，2 ，露豹积分方程组黪l a p l a c e 交挨獬 一锱，i = 1 , 2 , - - , 毋 其中 口；和) = d ( v ) = 7 h 2 7 1 1 n 卵 聃。lq 。2o n 扣) 且 a i ( ) d e le i 苷一( 臻+ a i ) 十a 拶p ) ，b d v ) 型盘圣i ( o ) ，i ：l ，2 ，+ 一，站。 特别遗n = 2 时我们精确计算了上述备量。 然后我们把“扩散干扰”引入c o x 风险模型，第三章的第三个闯题考虑 了m a r k o v i a n 环境下有可变缣费率帮扩散干挠静c o x 风险漠毽： 移器，= 链+ t c 弘。，矗s 一誉磊+ a c 。，t 。 其中萨o 楚嚣受实常数，w = 渺吸t 是嚣壤w i e n e r 遘程，w 与 ( t ) ，t o ) 、 a ( t ) ，t o ) 和f 玩，1 ) 都是独立的，其他量的禽义同 蘸。“歪懿安全负穗”戆壤设耀上，群 岛【c ( a o ) n 肛鼠e q f c ( a o ) j 。 我们在没有大额索赔懿壤设下，绘出了逮时破产概率懿撩数上赛传计。毽就 是我们限制p ( x ) 是轻尾的，欺数学描述如下： 假设存在0 0 怒正实常数，从丽 m ，t o ) 是 一个菲受鞅；利月；| 鞅的可选停时定理，麓得到了p o = & 时破产概率奶汹) 的个指数上界估计： 帅) 曼面篇， 其中e d 一】表示p o = 5 l 情形的期颦箅子，虢= 脬f f a ( o ) = 司 对 为独立跳m a r k o v 强度和只取有限个状态的m a r k o v 强度这两神 特殊德彩，我销褥掰了稻藏破产耩率指数上弄更舆体酌表示。首先解释一下 独立跳强度： 令，免= 1 ，2 ，表示强度_ 过程a 的第七个跳点且e o 磐0 ，记 岛= 。一1 ，l 。= a f 。1 ) ，托= 1 ，2 ，3 ( 这里我们设a 的轨道右连续，从而对于e 。一1 曼t 。，a ( ) ：= = l 。) 则 强度过程a 称为 ( 1 ) 独立跳强度，若随机向量( 五l ，( 1 ) ，( 二2 ，白) ，( 上3 ，6 ) ，建独立的且( l 2 ，( 2 ) 涵3 ，岛) ，毒趣簿姆分事”； x v i 导论 一一一一一一“一 ( 2 ) 普通独立跳强度，若( l 1 ， 1 ) 也有分布； ( 3 ) 平稳独立跳强度，若选铎( 五， o ，岳 0 均为正实常数。 警a 爻旅有蔽个获态 a l ，五2 ，a 。 ，缸n ，辩，霹任 珂裙始分带p o ， 破产概率皿( ) 有一致的不等戏； 皿( “) = 甄( 乱) p ( a ( o ) = ) c e 啦 t = l 其中c 0 ，r 0 是正实常数。 两个状态蛇m a r k o v 过程自然是衣隈状态m a r k o v 过程的特例，阕时它 也可以看作特殊的独立跳m a r k o v 过程，知聚这对p ( x ) 还怒指数分布，我 们以m 。，( “) 和中d i ( ) 分别表示由索赔和随机波动导致的破产概率，则 圣：( ”) ：雪。i f 珏) + 零d f ( 珏) ，i = l ，2 。在这种谤彩t n n n n 各酸产概率的精确 表达式： m 。：( 扎) = 出( “) = ；心) = g i ( 1 一芦矗) e 一勰 g l p i ( a 下= a 1 i t 。o ) + 9 2 p i ( ) 、t = = a 2 l t 0 ，g l = 萝( a t ) ；p ；( ) = p ( f a ( o j 一气j ，i l ，2 。 考虑保险公司的投资问题是肖今风除理论研究豹又一大热点， b r o w n e ( 1 9 9 5 ) ，h i p p 稀p l u m ( 2 0 0 0 ) 都考虑了如下意义的保除公司静最优投资问 题： 保险公霉拿虫一部分余额到金融资本市场进行有风险投资，如何选择最 优投资策略，使得公司的破产概率最小? b r o w n ef 1 9 9 5 ) 用一个带漂移的布朗运动箍遂保险公谣酶风除过程，粥一 个几何布朗运动描述风险海产，得到的最优投资策略是对风险资本的投资是 霞定戆常数，与绦险公霹众薮懿多少无关；h i p p 藏p l u m 2 0 0 0 ) 餐藩尼俺 布朗运动描述风险资产，但风险过程改用复合p o i s s o n 模测，该文献表明湛时 懿投资策蝰是完全不曩翦+ 我翻这里考惑戆是h i p p 窝p l u m ( 2 0 0 0 ) 绘盛戆穰 型，现将该模型详细描述如下： 保蹬公司砖绒蹬过程 d x ( t ) = c d t d s ( t ) ，t 0 其中c 是保费强度， s ( t ) ，t o ) 是p o i s s o n 强度为 、个体索赔额分布为 p 的复合p o i s s o n 过程，e 和a 枣爰正的实常数；连一爹，考虑一事绣# 数 ( 比如股黎指数) r ( t ) ，t o ) 用于投资，该指数模型由几何布朗运动米刻 画，就像在b l a c k - s c h o l e s 模型中一鹾： d r ( t ) = r ( t ) ( o 饿十b d w ( t ) ) ，n ( o ) = 乱 其中a ，b 0 是固定的已知参数，f w ( t ) ，t2o ) 是标准w i e n e r 过程；在时 刻，公弼砖有o ( t ) 份这种指数的股票，这就导致了一个技术上的结果： d v ( t ) = d x ( t ) + o ( t ) d r ( t ) 州t ) ：t2o ) 称为保险公司的财富过程，设v ( o ) 一z ( o ) 一礼0 。 兹嚣掰述最捷投资凌戆嚣鸯：在瑟畜可嚣懿褰译蒙臻孛寻找一拿容谗燕 略锣，使破产概率 圣( 珏) = p ( jt 0 ，v 0 ) o l v ( o ) 一札) ，“0 在该窑谗繁蝰f 达到最小。 x v i i i 导论 ( 所谓容许策略，用随机过程的语言来说就是一个可料的过程，简言之， 一个容许策略在时刻t 的值可能依赖于过程 x ( s ) ，s o ， r ( s ) ，s o ) 到 时刻t 的历史，但它可能不依赖于在时刻t 发生的索赔大小。) 方便起见，在这里我们就记最小破产概率为皿( u ) ，相应的最大生存概率 为中( u ) = 1 一皿( u ) ，姒下若无特别说明，我们在这个模型下提到的破产概率 和生存概率分别就是指最小破产概率和最大生存概率。h i p p 和p l u mf 2 0 0 0 ) 表明存在常数彳，使得中( “) = z f f p ( u ) 有性质西( 。) = 1 ，并且和垂( “) 满足 同样的积分一微分方程： 画”( u ) j 一天壬( u z ) p ( x ) d x + ( 击( “) 一户( u ) ) i = ；( 圣( “) ) 2 ， 其中 垒a 岩，i 垒c 箬，且满足如下的边界条件； 垂( o ) = 西( o ) 和( 规范化的条件) 西( o ) = 1 从生存概率满足的这个积分一微分方程出发，g a i e r 和g r a n d i t s ( 2 0 0 2 ) 分析 了当个体索赔额的尾分布p = 1 一p 正则变化时，破产概率的变化情况， 得到的结论是：如果p 以指数p 一1 正则变化，则破产概率皿也以同样的 指数p 一1 正则变化。 ( 注意到这里所说的投资都没有考虑利率因素的影响，换句话说就是认 为利率为零，这是一个不太现实的假设，因此这个模型还可以进一步改进。) 在本论文的最后一章考虑了与g a i e r 和g r a n d i t s ( 2 0 0 2 ) 同样的问题，引 入记号冗。表示所有指数为p 的正则变化函数，：哼的全体。我 们想知道除了_ p 属于心外，还有哪些情形使得破产概率和个体索赔额 的尾分布户有同样的变化趋势。在适当的条件下，我们验证了当p ( z ) 属于 e r v ( 一n ，一卢) 族( 这里的q 和卢与前面的不同) ，1 o 茎卢 。，( c l a s s o fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n sw i t he x t e n d e dr e g u l a r l yv a r y i n gt a i l s ) 时，这个结 论是成立的。e r v 族的引入及详细讨论可参见b i n g h a m ，g o l d i e 和t e u g e l s f 1 9 8 7 ) ，其定义如下； 对支撑集为 0 ，。) 的分布函数p ( x ) ，如果存在常数o ，卢， 0 o 声 。，使得 ”邓剑i m i n r 错 0 ，则e r v ( 一n ，一卢) 族 就退化为冗一。族。冗。族和e r v ( 一“，一卢) 族都是极为重要的次指数分布子 族，事实上，我们猜想这个结论可以推广到p 属于次指数分布族的情形，但 是尚未得到验证。e r v ( 一o ，一声) 族中的分布函数有一个很重要的性质( 见 q i h e ，t a n ge ta l ( 2 0 0 1 ) ) ： 令 是分布p e r v ( 一o ，一_ 臼) ( 0 “s 卢 。) 的非负随机变量， 则对任意的0 a q 卢 卢7 a “，即有 “正的安全负荷”，此时 p ( j i mu ( t ) = 。) = 1 1 - - + 0 0 这里我们需要做一下说明：( 1 ) 也用p 表示p ( x ) 相应的分布，且以下 若无特别说明，为简便起见，在不至于引起混淆时，我们对分布函数和其相应 分布的符号不做区分；( 2 ) 对于本论文的论题涉及到的有关保险风险模型都 是假设公司有非负初始准备金，所以以下若无特别说明，就是考虑初始准备 金a o = ，札0 的情形；( 3 ) 象u ( s ) 和巩这样的一些符号，若无特别说 明就认为是无区别的 在集体风险理论中一个重要的问题就是研究“破产概率”，也就是余额 过程 u ( f ) ，t o 在某时刻小于零的概率。写成数学表达式即为 ( “) = p ( 3 t 0 ，u ( t ) o l u ( o ) = ) = p ( t 。l u ( o ) = “) ， 其中 t = i n f t 0 ：u ( t ) o ( t = 。若集合为空) 称为破产时。不破产概率( 或者称为生存概率) 圣( u ) = 1 一( u ) 关于古典风险模型的破产概率在文献中有大量的讨论，这里我们仅引述 g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 书中的几个基本结果，这方面的先驱工作可以追溯到f i l i p l u n d b e r g 和h a r a l dc r a m 6 r ： 叩) = 而1 = 警， 其中p = 警称为“相对安全负荷”。 ( ) 一：z ”皿( 札一z ) 户( z ) d z + ：z 。户( z ) d z ， 其中户( 。) = l p ( z ) 是个体索赔额历的尾分布函数，对该积分方程用 l a p l a c e 变披e 的方法可以精确计算出破产概率( 详见g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ，p 1 3 ) ) ； 当p ( x ) 足指数分布时，从该积分方程可以解得 皿( “) = 南e 尚 导沦 v i i 若进一步假定p ( x ) 的矩母函数存在，则有c r a m f i r - l u n d b e r g 近似 坐恐e “( 札) p 耻 九7 ( r ) 一c a 其中 ( r ) 答铲e d p ( z ) 一l ，r 为方程九( r ) = t c r 的正解，称为“l u n d b e r g 指数”或者“调节系数”。且有l u n d b e r g 不等式： ( “) e - 舶 为了更精确地描述“破产”的严重程度，g e r b e r ，g o o v a e r t s 和k a a sf 1 9 8 7 ) 引入了变量n 0 和y20 的函数 g ，可) 些p ( 一y u ( ? ) 0 ，t 。o i u ( o ) = u ) g ( u ，) 描述了出现破产的时候，破产时赤字l u 口) l 小于y 的概率；初始u 给定，g ( “，) ，y ( 是全体非负实数的集合) ，即为破产发生时，破 产时赤字的分布。该文献给出了g ( “，y ) 满足的一个积分方程，当p ( x ) 为混 合指数分布和混合g a m m a 分布时，给出了积分方程的解。之后，d u f f e s n e 和g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 又引入变量0 和0 的函数 f ( “，z ) 些p ( 0 u ( t 一) sz ，t o o l u ( 0 ) ：n ) 来描述破产发生时，破产前瞬间余额的分布，并对p ( z ) 为指数分布和混合 指数分布的情形，明确地给出了f ( 札，z ) 的表达式。d i c k s o n ( 1 9 9 2 ) 继续考 虑了破产前瞬间余额的分布，利用破产发生时各事件之间的关系将f ( 珏，z ) 用 g ( 扎，y ) 和平( u ) 表示了出来；d i c k s o n 和d o sr e i s ( 1 9 9 4 ) 进一步将此方法推 广，借助对偶事件和过程的对偶性，导出了破产发生时，破产前瞬f 司余额和 破产时赤字的联合分布f ( u ，o ，y