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曲阜师范大学硕士学位论文 几类含正、负风险和的风险模型 摘要 在保险数学，也称为精算数学的范畴内，破产论是风险论的核心内容 g e r b e r ，s h i u 1 2 】等人先对经典风险模型进行了比较细致的研究，近来董、 王 3 】，王、王 4 】等又深入地研究了负风险和风险过程并得到了一系列与经典 风险过程结果相对应的结论本文就是在上述结论基础下，将研究含正、负风 险和的风险模型，并讨论此模型的破产问题 给定完备概率空问( q ，p ) ，并假定以下所遇随机变量均为该空间上的随 机变量 根据内容本文分为以下三章： 第一章为绪论，文中首先介绍了风险理论出现的背景及其发展情况，然后 给出了本文所要讨论的含有正、负风险和风险过程u ( t ) 的定义，即令 u ( t ) = u l ( ) + 巩( ) = t + d s ( t ) 其中u i ( t ) 和如( t ) 分别为正风险和过程和负风险和过程，u = l + “2 ， c = c i + c 2 ，s i t ) = 岛( t ) + 岛( 力 最后指出了本文我们所要研究的主要内容 第二章主要研究含有正、负风险和风险过程的g e r b e r - s h i u 函数妒( u ) ，其 中 妒( t i ) = e p ( c ，( t 一) ，i v ( t ) 1 ) e 一“i ( t 0 和 0 的非负函数文中通过对第一次索赔 取条件，然后经过一系列变换，最后得到了一个关于毋( “) 的迭代方程 第三章将布朗运动加到第一章中所介绍的模型上，即令 v ( t ) = 仉( t ) + 巩( ) + a w ( t ) = + c t s ( t ) + a w ( t ) 曲阜师范大学硕士学位论文 其中w ( t ) 为一标准布朗运动 然后本章讨论了在两个索赔计数过程l ( t ) 和j v 2 ( t ) 独立时，v ( t ) 的生存 概率妒( “) 所满足的积分微分方程，即 譬( u ) - t - ( “) = m u ) + 入- f o u t p ( u 叫d f l ( z ) + a ：仁咖一z ) d f 2 ( z ) 并得出了其破产概率妒( u ) 所满足的解析式t p - r u 妒( u ) 2 e e - 尉u ( 二t ) ) i t 0 b yc o n s i d e r i n gt h ef i r s tc l a i mo ft h en e w m o d e l ，w ed e r i v eaf u n d a m e n t a le q u a t i o nf o r ( ) i nt h ee n d ，w ec o n s i d e rt h e r u i np r o b a b i l i t yo ft h et h en e wr i s km o d e l i nc h a p t e rt h r e e ，w ea d dad i f f u s i o np r o c e s st ot h er i s km o d e lc o n t a i n i n g 曲阜师范大学硕士学位论文 ap o s i t i v ea n dan e g a t i v er i s k s t h es u r p l u sa tt i m eti sn o w u ( t ) = 巩( t ) + u 2 0 ) + a w ( t ) = t + c t s ( t ) + 仃( ) ，t 芝0 i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v et w oh y p o t h e s i so ft h ec l a i mp r o c e s s t h e nw ec o n s i d e r t h er u i np r o b a b i l i t yu n d e re a c ho ft h et w oh y p o t h e s i ss e p a r a t e l y k e yw o r d s ： c l a s s i c a lr i s km o d e l ；n e g a t i v er i s km o d e l ；g e r b e r - s h i u f u n c t i o n ；d i f f u s i o n ；r u i np r o b a b i l i t y 第一章绪言 1 1 引言 在保险数学，也称为精算数学的范畴内，破产论是风险论的核心内容破 产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率上的兴趣破产论的研究溯源 于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，他当时首次在论文 中提出一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，随后的c r a m r 和g e r b e r ， s h i u 1 2 1 分别又对破产论的严格化和深化做出了巨大的贡献其中g e r b e r 不 仅将鞅方法引入到破产论的研究中，更深化了经典破产论的研究内容近来 董、王【3 】，王，王【4 】等又深入地研究了负风险和风险过程并得到了一系列与 经典风险过程结果相对应的结果本文就是在上述结论下，将负风险和过程加 到正风险和过程中，并讨论此风险和风险过程的破产问题 给定完备概率空间( q ，( ，p ) ，并假定以下所遇随机变量均为该空间上的 随机变量 首先，正风险和风险过程( 经典风险过程) 用u l ( t ) 表示，则 矾( ) = t i l + o t s l ( f ) = t l 十c l t 一墨? 砖1 ( 1 1 ，1 ) 其中t l 0 表示正风险和风险过程的初始资本，c l 0 为常数，表示保险公 司单位时间内收入的保险费，x ：“，( k 1 ) 表示第女次的索赔额，是一组恒 正的独立同分布的随机变量序列，n i ( t ) 表示此过程下至时刻t 为止发生的索 赔次数并且索赔额瑚的和& ( t ) 为参数为a t ，分布为只的复合泊松过 程。其中f l ( o ) = o ，n 1 ( t ) 为计数过程，表示在区间( 0 ，t 】中理赔发生的次数， 砖为第k 次索赔的理赔量 负风险和风险过程踢( t ) 定义为( 详见g r a n d e l l 5 ) t 矾( t ) = t 2 + 耐岛( t ) = 坳+ c 2 t 一一n 2 ( t 雒 ( 1 1 2 ) 其中抛0 表示正风险和风险过程的初始资本，c 2 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； 砖”，k 1 与 n 1 ( t ) ，t o ) 相互独立 假定2 ：( 相对安全负载假定) 设 c l = ( 1 + 0 ) a 1 # 1 ( 1 2 3 ) 其中0 0 ，称为相对安全负载 假定3 ：( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额的矩母函数， 1 0 0 ， m x ( r ) = e e x 】= e 。d f ( x ) = 1 + r e r 。【1 一f 1 ( z ) 】d z( 1 2 4 ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程 魄( r ) ：1 + 拿r 1 具有正解 然后我们就有下面定理成立： 定理1 2 1 ：( l u n d b e r g - o r a m r ) 若假定1 3 成立，则有 ( 1 ) 初始盈余为0 时，风险过程的破产概率妒d o ) = 南； ( 2 ) l u n d b e r g 不等式，设r l 为l u n d b e r g 方程的正根，有 妒i ( 札) e - r ，v u o ； ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m r 近似：存在正常数c ，使得 妒l ( 钍) 一c e r “，1 1 , - - - yc o ( 1 2 5 ) ( 1 26 ) ( 1 2 7 ) 在l u n d b e r g 和c r a m d r 后，f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法给经典 破产理论的基本结果提供了简洁的证明，并且深化了经典破产论的研究内容 其推广主要表现在了以下两个方面： ( 1 ) 广义复合p o i s s o n 过程 ( 2 ) 带扩散扰动项的复合p o i s s o n 过程 除了对经典破产模型进行推广，还可以维持经典破产模型不变，将研究重 点由最终破产概率妒( 让) ( 或有限时间内的破产概率妒( u ；t ) ) 转向了另外两 个刻划保险公司破产情形的隧机变量即破产时赤字f c 厂( r ) f 和破产前瞬时盈余 u ( t - ) ，见【2 】【7 】| 8 】其中，g e r b e r 与s h i u 在f 1 】中定义了在经典风险过程下 的g e r b e r - s h i u 函数，并讨论得出了该函数所满足的一个迭代方程 综上，对于经典风险理论各方面的研究，g e r b e r 等人对之已经进行了比 较彻底的研究，并对一些结果给出了比较简洁的证明 近来，对于负风险和风险过程( 1 1 2 ) ，王过京及其合作者对其进行了一系 列的研究【3 】f 4 1 ，得到了负风险和风险过程下的一些基本结论在这些研究中， 很多都甩到了鞅方法进行证明 3 第一章绪言 1 3 本文主要结果 在本文中，我们考虑个同时含有正、负风险和风险过程的盈余过程u ( o ， 令 u ( t ) = 阢( t ) + 观( t ) = “+ 矗一s ( t )( 1 3 1 ) 其中u = u l + i t 2 ，c = c 1 - i - q ，s ( t ) = s l ( t ) - i - 岛( t ) 在此，我们假定两个复合p o i s s o n 过程 s l ( t ) ，t o ) 和 s 2 ( ) ，t o ) 独 立进而， j s ( t ) ，t o ) 可看作一个参数为a = a l - i - a 2 ，分布函数为 f ( z ) = 【a 1 羁( z ) + a 2 易( z ) 】，一o 。 z + o o( 1 3 2 ) 的复合p o i s s o n 过程 我们定义 t = i n f t 0 ，u ( t ) o ) 为破产时刻若对所有的t 0 有u ( t ) 0 ，则定义t = 破产概率妒( u ) 定义为 妒( “) = e ( t o o ) = p ( i n f u ( t ) 0 我们定义( 1 3 1 ) 模型下个关于破产时刻t ，破产前瞬时盈余u ( t - ) 及 破产时赤字i u ( t ) i 的联合分布概率密度函数，( 卫，暑，f l u ) ，t 0 ，则有 f 0 0 0 o ”o ”，( z ，i f ，t 阻) 如a y a t = p 缈( t 一) ，l u ( t ) i ，t 0 的非负函数对6 0 ，我们定义 多( t ) = e w ( u ( t 一) ，l u ( t ) d e 一以i ( t 0 ，、f g l ( z ) ， 烈叫2i 刊巩 z o ； z 0 为一常数，w ( t ) 为 一标准布朗运动此模型我们称之为带干扰的含有正、负风险和的风险过程 我们考虑在下面两种假设下风险模型的破产情况； 第一种是假定l ( t ) = 1 1 ( ) + 1 2 ( t ) ，n 2 ( ) = n 2 ：z ( t ) + n 1 2 ( t ) ，其中 l l ( t ) ， k ( t ) ，1 2 ( t ) 是独立的p o i s s o n 过程，参数分别为a l ，a 2 ，a 1 2 显然此 时1 ( t ) 和 r 2 ( t ) 是两个相关的p o i s s o n 过程从而，u ( t ) 为含两个相关类 的带干扰的含有正负风险和类的风险过程 第二种是假定n i ( t ) 和2 ( t ) 是两个独立的p o i s s o n 过程，参数分别为 a 1 + a 1 2 和a 2 + a 1 2 ，此时v ( t ) 为含两个独立类的带干扰的含有正，负风险和 类的风险过程 首先，在第二种假设下，我们设妒( u ) 表示该模型在初始盈余为t 时的生 存概率，妒( t ) 表示该模型在初始盈余为“时的破产概率r 为l u n d b e r g 指 数则有 ，r 2 r “，0 ；矿( u ) + c t ( u ) = a 妒( u ) + a l 妒( t 一x ) d f ( x ) + a 2 妒( t 一z ) d f 2 ( z ) 妒( t ) =e e 一尉u ( t ) ) i t + o o 】 本章最后，我们比较了两个索赔计数过程l ( t ) 和2 ( t ) 的独立性对破产 概率的影响我们得到了下面的结果s 相关性使风险模型的破产风险增大 6 第二章含有正、负风险和风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 2 1 引言 在文献【1 1 中，g e r b e r 和s h i u 细致地分析了在经典风险模型下，有关 g e r b e r - s h i u 函数的一些基本性质和结果。近年来，在风险理论中有许多文献 研究负风险和风险过程，如董、王f 3 】，王、王【4 】本章的主要结果就是要将上 述两种模型合并到一起，构成一种新的风险过程。即含有正，负风险和类的风 险过程，进而研究在此新模型下定义的g e r b e r - s h i u 函数的一些性质以及一些 与之相关的变量的一些性质 2 2 预备知识 首先，我们先介绍一下有关鞅和大数定律的一些概念和知识， 定义2 2 1 ：设 靠 m = 1 ，2 ，) 是一定义于相同的的概率空间 ( q ，只p ) 上的随机序列若存在一随机变数 矗) ( 可以是一常数) ，使 p 矗= 臼= ，( 2 2 ) l i r a r 11 我们称随机序列 矗) 以概率1 收敛于f ，或说几乎处处收敛于f 并记为 l i r a 矗= f ( p 一口s ) ，( 2 2 2 ) 或者简记为 墨恐矗= f ( a ) ， ( 2 2 3 ) 定义2 2 2 ：设已给概率空间( q ，只p ) 及参数集t ，称实值随机变量 x = 现，t t ) 为 五 t 盯鞅，如果 ( a ) x 是 五k r 适应的； 7 第二章含有正、负风险和风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 ( b ) e i x , l 0 的非负函数，6 0 为任意实数 并通过对在( 0 ，h ) 内是否发生索赔进行讨论，得到了下面的结论 其中 ( z ) = 妒 g ( x ) + ，l ( z ) ，z 0( 2 2 8 ) ：iz o o 。一一z p ( 。+ ：) d 。，z 。， 2 2 9 、， h ( x ) = 一a e p ( u z ) w ( u ) d u ：害z + c z j o 。z 。一，c u z ，。c u 、，可 ，p c u + 掣，d ，d 让，z 。 2 - 2 - 1 。 妒= h + g + h + g g h + g g g h + ( 2 2 1 1 ) 2 3主要结果 我们将在模型( 1 3 1 ) 即含有正，负风险和风险过程模型下，仿照【1 】1 中所 用的方法讨论其g e r b e r s h i u 函数及其一些与之有关的变量的一些性质 1 ( x ，f ，f l u ) 和妒0 ) 的定义分别见( 1 3 5 ) 和( 1 3 6 ) 对6 0 ，定义 ，+ ，0 ，耖f 缸) = e 础，( 毛y ，t l u ) d t ( 2 3 1 ) j 0 则有 妒( u ) = e w ( u ( t - ) ，i u ( t ) i ) e - 8 x ( t 0 曲阜师范大学硕士学位论文 矿= x l ! 要r e z p ( x ) d 2 0 故对比 o , ，f f ) q ，( o ) 0 ，即q ( ) 为在【0 ，+ o o ) 上的单调递增的下凸 函数，且q ( o ) 0 ， 因此，g ( f ) 在【0 ，+ o 。) 内有唯一非负根 下证q ( ) = 0 在( 一o o ，0 ) 内有唯一负根 首先，l i m e + + 。= + o o ，并且q ( o ) 曼o , 4 ( o ) o , q ”( ) 0 ， 即口( f ) 为在( 一o o ，0 ) 上的下凸函数，并且有q ( o ) 0 和l i m e - + + 。= + o o ， 故口 ) 在( 一，0 ) 内有唯一负根 定理2 3 1 证毕 记( 2 3 1 1 ) 的非负根为6 ，负根为一兄在此我们称方程( 2 3 1 1 ) 为l u n d - b e r g 基本方程，r 称为l u n d b e r g 指数 令p = f 1 ，则( 2 3 8 ) 可化为 c 犯( 钍) = a t ( p ) 如( u ) ，u a 1 e - 芦九( t 一x ) p l ( z ) 出 j 0 ，0 一a 27 e - p x 如( u z ) p 2 ( z ) d z j 一 一矿舢u ( 让) ( 2 3 1 2 ) = a t ( p ) 如( u ) 一a i e - p ( “一。咖( z ) p l ( ”一z ) d z j o a 2 e - o ( u 1 如( z 如( t 一z ) 出 j o a l e 一一“，( 让) 第二章含有正，负风险和风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 ，： c ( t ) 一咖( o ) 】= 加( 力如( “) 砒 j 0 z 。f o ue - p ( u - z ) 姒咖如叫叫d 咄z 。l 。e - p ( u - x ) 坼m u 叫翻托 一a - f o z e - p u w ( “) 比 = 枇) z 。忡) 砒 一a tz 。l z e - p ( u - x ) ，( 。) p t ( “一z ) d u d x 舛8 叫以，一如协3 咄z ” z 0 ze - p ( u - z ) 帖蹦缸叫叫如- 。 一a ，j ( o z e - - p u w ( “) 比 喇p ) z 。忡) 砒 一a t z 。 z 0 z - x e - p , y 九c z ，p tc ，d 胡d z z 。 z 0 - xe - p g 纰m 掣) d y d x “z 。 仁e 哪坼捌) d y d x a - z 0 z e - - p u o ) ( 钍) 砒 洲z 。枷肛卜- z ”e 唯础肼沁仁e 唯绯) d 扳价) 缸 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 将( 2 3 1 4 ) 代入( 2 3 1 3 ) 并整理得 c 叫o ) 】硝z 2 眨e 哪坼) p l ( 可) d y d x “二隧以们叫出 吐，”眨。e 卅纰m ) d y d x ( l o i o i a f o z e - p u w ( 乱) d 删一z ( 眨e 呐c p ( x ) p 2 ( y ) d y 如眨。 4 - a 1 e - ” w ( u ) d u 代入( 2 3 1 5 ) 并化简得 眦h t z 。眨e 叫纰概白) d y d x “，。眨。e 哪坼m ”) d y d r , ( 2 。肌) + a - z 0 z e - p u w ( 让) 也 将【2 3 1 7 ) 曲输同时乘以俨，由c u ) = 矿。钆( u ) 蹙理得 北) = 钳 仁扩刎坝咖山) d y d x 一鲁z ”i i ：ze p ( z - z - y ) 馋叫如 协s ， + 鲁厂扩哪山) 如 第二章含有正，负风险和风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 北，= 鲁z 。m “仁砂一如) d y d x 一警佃北) z ：ze p ( t - z - y ) 嘶) d y d x ( 2 3 2 2 ) + 等，佃e p ( 如 g - c $ ，= a ，2 1 cf ，+ + 。o 。矿( 2 一口) p t c ，由 。， = 等z + ”e 一彤p - 扛+ z ) 如，茹。 、。1 础) = 等xe d x - y ) 幽) 咖 = 鲁e 叫嘶刊如。 h ( z ) = 等z 佃u 叫u ( 让) 如 = ：z 十。f o + 。e - p ( u - z ) w ( ，可) p ( u + 可) d 可d u ，z 。 1 6 ( 2 3 2 4 ) ( 2 3 2 5 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 则结合( 2 3 2 0 ) 到( 2 3 2 5 ) 各式，有下面结论 妒( z ) = 妒+ g l ( x ) 一毋+ 9 2 ( x ) + ( z ) ，z 0( 2 3 2 6 ) 我们仍可以将( 2 3 2 6 ) 继续化简，在此，我们令 咖，= 茗 仁s 刎 因为当 0 时 ，十 妒 g ( z ) = ( z 1 ) 夕( z z 1 ) d z l j 0 ：厂。( z 。) 夕。( z 一) d x = 1 ) d x l 一厂+ ”( z ，) 卯( 。一x 1 ) d x l ( 2 3 2 8 ) = ( z 1 ) 夕l ( z 一一 ( z 1 ) 卯( 。一 l 玉文2 石j j 0j = 9 1 ( x ) 一妒 9 2 ( x ) 故而，可以得到下面结论 妒( z ) = 妒 g ( 。) + ( z ) ，z 0 ( 2 3 2 9 ) 对与方程( 2 3 2 9 ) 的解，我们可以通过把( z ) 无限次的进行函数迭代来 获得，即 咖= h + g h 十g $ 9 h + 9 + g + g h + ( 2 3 3 0 ) 这恰好和g e r b e r 、s h i u 1 1 中( 2 3 5 ) 式的结构完全一致 说明s ( 1 ) 当c 0 ，沁= 0 时，本章的模型即为g e r b e r ，s h i u 1 1 中所研究的模 型，所得的结论与g e r b e r 、s h i u 1 】中的结论一致，因此g e r b e r ，s h i u 1 1 中 所讨论的模型恰为模型( 1 3 1 ) 的特殊情况 ( 2 ) 方程( 2 3 3 0 ) 也可通过进行拉普拉斯变换法来求解 1 7 第二章含有正、负风险和风险过程的g e r b e r - s h i u 函数 令，表示函数，的拉酱拉斯变换，则对方程( 2 3 3 0 ) 两端取拉普拉斯变 换，得 咖= + h 进而，有 ?h 妒2 巧 再把展开，得到 ；= 蛳 ( 2 3 3 3 ) ( 3 ) 在( 2 3 2 ) 中，若我们令u ( z ，y ) 兰1 ，6 = 0 ，则此时令妒( u ) 表示初始 盈余为“时风险过程的破产概率，妒( u ) 表示初始盈余为u 时风险过程的生存 概率，则有妒( t ) = 1 一妒( t ) ，毋( u ) = 妒( t ) ，将u ( z ，秽) 兰1 ，d = 0 代入( 2 3 5 ) 中，我们就得到了一个关于妒( u ) 积分微分方程， 州= 半一鲁小钍刊d f l ( 沪鲁出叫唰z ) ( 2 3 3 4 ) 此时l u n d b e r g 方程口( f ) = 0 可化简为 1 0 0 ，u a l e - 扛p l ( z ) 如+ a 2 e - p 2 ( x ) d x a l a 2 + = 0 ( 2 3 3 5 ) j 0j 一 利用鞅方法，仿g r a n d e l l 5 】中第一章( 2 0 ) 式的证明可得 妒( e ”“s u pe t a ( r ) ( 2 3 3 6 ) t o 与经典风险理论类似，为使不等式尽可能准确，在保证s u p t oe t a ( 7 ) 0 ，由强大数定律可验证 u ( t ) - + o o ，p 一口e ( t - o o )( 2 3 3 8 ) 由此性质，仿g r a n d e u 5 】第一章( 2 3 ) 式的证明可得妒( “) 满足的解析式 妒( u ) = p ( t 0 为一常数，w ( t ) 为 一标准布朗运动在模型( 3 2 8 ) 中的布朗运动w ( t ) 表示的意义是当用一个 正，负风险和过程描述保险公司的盈余过程是它与保险公司的实际收入之间的 误差 为使保险公司能正常运营，本模型下始终有c 一( a l p l + a 2 比) 0 我们比较模型( 3 2 8 ) 在以下两种情形下的破产情况 2 1 第三章带干扰的含有正，负风险和风险过程的破产概率 第一种是假定l ( t ) = l l ( t ) + 1 2 ( t ) ，魁( t ) = k ( t ) + 1 2 ( t ) ，其中 l i ( t ) ，n 船c t ) ，n 1 2 ( t ) 是独立的p o i s s o n 过程，参数分别为a l ，a 2 ，a 1 2 显然此 时l ( t ) 和n 2 c t ) 是两个相关的p o i s s o n 过程从而。u ( t ) 为含两个相关类 的带干扰的含有正、负风险和类的风险过程 第二种是假定1 ( t ) 和n 2 ( t ) 是两个独立的p o i s s o n 过程，参数分别为 a 1 + a 1 2 和a 2 + a 1 2 ，此时u ( t ) 为含两个独立类的带干扰的含有正，负风险和 类的风险过程 在本章中，在初始盈余为牡的情况下，我们仍用t 表示风险过程( 3 1 1 ) 在此条件下的破产概率，妒( q ) 表示其破产概率，妒( t ) 表示其生存概率 8 a 硼 3 3 主要结果 本节第一小节和第- j , 节我们假设两个复合泊松过程 s l ( t ) ，t o ) 和 岛( t ) ，t o ) 独立再假设n c t ) ，x c t ) 与w ( t ) 相互独立，故可得出s c t ) 为 l e v y 过程，具有强马尔科夫性故由复合泊松过程的性质知 s ( t ) ，t o ) 是 参数为a = a i + a 2 ，分布为f ( z ) = 恤1 日( z ) + a 2 f 2 ( 茁) j ，一o o z 0 所以，g ( r ) 是( 0 ，o 。) 上的凸函数 故q ( r ) 在( 0 ，o o ) 上有唯一正根 引理3 3 1 证毕 i 在引理3 3 1 结论中，设冗为所得唯一正根，我们称之为l u n d b e r g 指数 引理3 3 2 ：e - r v ( t ) 为鞅，破产时刻? 为停时，并且妒( t 1 ) e - 砌，兄为 l u n d b e r g 指数 证明一我们只证后一部分 曲阜师范大学硕士学位论文 由全期望公式，有 e 一 ”= e i e 一尉口j ，= e 陋一置( u ( t ) p o o p ( t o o ) + e e 一捌u p = o o p ( t = ) = e 【e 一凡( u c 即留 0 0 1 皿( t ) = e 【e 一尉c ，( q i t ，u ( t ) = 0 1 妒( 牡) p ( u ( ? ) = 0 ) + e e 一即( r e ) i t ，u ( t ) o i 妒( u ) p ( u ( t ) 0 ) = 讥( u ) + e 【e 一联u ( t ) l t o o ，u ( t ) o 】仇( t ) 妒d ( “) + 1 “( “) = 妒( t 正) 因此，有 t f i ( t ) e - 砌( 3 3 7 ) ， 其中r 为l u n d b e r g 指数 引理3 3 2 证毕 - 注；引理3 3 2 所得结论妒( 牡) e - 鼬称为l u n d b e r g 不等式其中的 讥( ) 表示由扰动或c 0 时由付给投保人的年金所引起的破产，仉) 表示 单独由索赔引起的破产 由以上讨论，仿g r a n d e l l 5 】可得1 f i ( t ) 所满足的解析式。 一- r u 州2 而面网e - - 硐- ( 3 3 8 ) 3 3 3 带干扰的含相关正、负风险和类风险过程的破产概率 近几年的精算文献中，有关含相关保险业务类风险模型的研究是主要课 题之一，描述相关类保险业务的一个常用方法是假设每个类中的理赔计数过 程含有共同分量在此假设下构造的过程称为”含共同理赔次数分量”的风 险模型有许多文献研究这种模型的概率性质和破产问题。参见c o s s e t t e ， m a r c e a u 2 3 】，a m b a g a s p i t i y a 2 4 2 5 2 6 ，和y e u e 等【2 8 】 以往研究的相关类模型一般只涉及只含相关正风险和模型或只含相关负 风险和模型( 参见董、王【3 】) 事实上。这种相关性可以推广到含正，负风险 和类的相关风险过程下面就是在上述研究结果的基础上，我们来研究带干扰 的含相关正，负风险和类风险过程的破产情况及其相关性对风险过程破产的影 响 为研究此类带干扰的含相关正，负风险和类风险过程的破产概率，我们假 设每个类中的理赌计数过程含有共同的分量即在( 3 2 8 ) 的第一种假设下研 究其破产情况 在此假设下，设 f ( t ) = 1 1 ( t ) + 1 2 ( t )( 3 3 9 ) ! ( t ) = 玉( t ) + 1 2 ( t )( 3 3 1 0 ) 其中，1 l ( t ) ，1 2 ( t ) 和 k ( t ) 是相互独立的p o i s s o n 过程，其参数分别为 a l l ，a n ，a 2 2 令 彰( t ) = 。e k n ：l c t ) x ：l ，t 0 ，；= 1 ，2 ( 3 3 1 1 ) u ( t ) = + c i 一g ( ) ，t 20 ，2 = 1 ，2 ( 3 3 1 2 ) u 7 ( t ) = 叫( t ) + 班( t ) + a w ( t ) = t + c t s 7 ( t ) + o w ( t ) ，t 0 ( 3 3 1 3 ) 这里，s 。= s ( t ) + 砭( ) ，t20 由假设知，v l ( t ) 和叫( ) 相关，此时我 们称u 7 ( t ) 为带干扰的含相关正、负风险和类的风险过程在此模型下，我们 研究相关性对过程破产概率的影响我们不妨假设u ( t ) 和u 。( t ) 期望损失相 同，即假设a 1 = a l l + a 1 2 ，a 2 = a 2 2 + a 1 2 ，然后在此前提下研究相关性对破产 概率的影响 曲阜师范大学硕士学位论文 仿董、王f 3 】我们得到s 7 ( t ) 为一参数为a 7 = a i l + a 龆+ a 1 2 ，分布函数 为。 f 7 ( z ) = 嘉盼l l f l ( z ) + a 乃( z ) + a l z e l 易( z ) 】，一o o 0 ，贝4r 0 又由q ( o ) = q l ( o ) = 0 且同为连续凸函数，所以r j 矿 定理3 3 1 证毕 说明； 第三章带干扰的含有正，负风险和风险遒矍鲍壁芒煎奎 ( 1 ) 由定理3 3 1 得出带干扰的含相关正、负风险和风险模型的l u n d b e r g 指数小于二者独立时相应模型的l u n d b e r g 指数其直观解释是相关性使风险 模型的破产风险增大 ( 2 ) 可以注意到当盯= 0 时，本章的风险模型即简化为第二章的风险模 型，并且可以验证其结论即为第二章的结论 参考文献 【1 1g e r b e rhu ，e l i a ssw s h i u o nt h et i mv a l u eo fm m n o a ha m e r i c a na c t u r i a l j o u r m d ，1 9 9 8 2 ( 1 ) ：4 8 - 7 8 1 2 】g e r b e rhu ，s h i uesw t h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h et i m eo fr u i n ，t h es u r p l u si r a - m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，a n dt h ed e