（机械电子工程专业论文）进动式减速机的运动学分析及参数优化.pdf

沈阳工业大学硕士学位论文 摘要 减速机属通用机械，可用于各行各业，而进动式减速机作为一种新型减速机，在重 载大速比、结构紧凑方面具有极强的竞争力。进动式减速机采用齿辊啮合方式，中心 齿轮的齿形为空间球面外锥摆线，它巧妙地将圆锥齿轮传动和行星少齿差传动有机结 合，突出体现了小空间内实现大传动比的特点，将给我国减速机行业带来新的生机及巨 大的经济效益，具有广泛的应用前景。 本文将固定在行星轮上的坐标系同固定在不动刚体上的坐标系进行转换，将动点问 题转换为定点问题。根据齿轮啮合理论，推导出了空间球面锥摆线齿轮轮齿的齿形方程， 确定轮齿啮合点的曲率半径，研究了进动传动的多齿啮合性，并对中心齿轮和锥辊轮进 行受力分析。 文中对2 k h 型空间球面锥摆线进动式减速机进行了较为具体的设计研究。以输入 轴转速1 5 0 0 r m i n 、功率为3 k w 、传动比为2 8 的2 k - h 型进动式减速机为例，提出了以 锥面角艿、章动角口、辊子张开角及、屈作为设计变量：以体积最小为目标函数，建立 在满足各种约束条件下的优化设计数学模型。利用m a t l a b 优化工具箱求解。 利用优化结果，进行了2 k - h 型空间球面锥摆线进动式减速机的结构设计。主动轴 的回转运动通过倾斜的曲轴传给作进动运动的行星轮，行星轮上的带辊子的齿圈分别地 同固定中轮和与输出轴相连的齿轮啮合，使输出轴作减速回转；在p r o e 环境下绘制出 齿轮模型，利用数据接口将模型转换到a n s y s 中，对齿轮轮齿进行有限元分析。 关键词：啮合理论，进动传动，优化设计，有限元分析 一一。鲎垫茎堂堕重垫堂坌丝垄墼些 k i n e m a t i c sa n a l y s i sa n dp a m m e t e r o p t i m i z a t i o n o f n u t a t i o nr e d u c e r a b s 的c t 蹦u c 盯b e l 鲫g st 0 鲫e f a lm h a l l i c sa 珏d 咖b cu s e di na l lf i e l d s ，咖枷 f e d u c 盱i san e w t y 】p co f 阳d l _ c 盯，s i 【i l l f i l l l y 咖b i n 船s p i i 神g 昀rw m l 恤ep l 锄卿b e v e l g c 缸“v e 丽t h 锄a l lt e c t l ld i 侬豫脱，锄dt h ea d v a n t a g e0 fl 缸g es i n g l c s t a g e 赫 硎oi ss m a l ls p a n 删o nr 。d u 跚h a sl 哪ec 伽叩l c t i 蚰i ng r e a ts p e c d 删吐oa n d 伽p a i c tc 0 郴饥删o nt h 砒喇nb r i n gn e wo p p 0 嘲m 硒船，h u g c 伽舳ya n de ，【t e n s i v e a p p l i 硎o ni nt h cn c 甜矗l t i l 坞 i i l t l 砖m l 础o n r c d u c e r ，血e p l 锄e t a 巧g c 对w 蚯c h w 弱矗x e d i n 曲嘲c 0 讲d j 瑚惦 s y s 衄，i 0 诅t c dc o o r d i n a t cs y s t 唧j n 也c 印a t i a ls p h 雠，t h cc r d i n a ：i es y 咖mw 雒 俐删t 0 龇f i 】甜c r d i n a t es y g t e m t h a tt h cq s t i o no fd m 弧i cp o i n l 仃a n s 向e di n t 0t h eq 眦s t i o f t h ef i x e d 0 nt h cb a ，t i 他g e 缸p m 6 ke q u a l i 嘲 d e d u c e d ，t h e 删t i - 咿r 锄g a g e m e mw 嬲龇a l y 刁e d ，t h c g a 咿n 如t 锄g l c 锄dn 圮r a d i 憾 o f c u r v 船w 蠲d e d u d ，t h cf o 鹏柚m y s i st h c 咖r a lg c 缸a n dt l l ec o n i cr o l l 盯w 勰 d c 1 n p u t ss p e c do fs p i n d l c1 5 0 0 t 衄i l l ，l h ep o w 盯a 佗3 k w ，n l ev e l i t yr a t i oa r e2 8 2 k hn u 蜥耐u c 玎a 嵋懿舭l p l 锶1 1 l c 锄g i e si l u d i n g c o n i c a i 锄g c l6 ，照e s s i a n g e l0 ，赳l dt h er o u c rn a 增锄g l ep 2 、瞰w e 仃t ：砷e d 勰v a r i a b l eq 啦m t m 镐n 埒 c o 嘶n 删o nw 鹅m a d ei n 咒s p 彻船t dt l l c 璐n 响1 忸o f s 雠n g t h 柚d 胁e s t i l l g 蛐：咖o nt l i es 雠i c 锄dd y 蛐i cs i 埘呲鲥| o n 1 1 ”嘶c c 虹v ef i i n c d o nw 鹬d c t e 衄i 埘d 明t l l eb 勰i so fn u t 硝o ng e 缸印f i l em o d e l ，t h cp e d - o r m 如dt l l e l n i l l i 哦 v o l u m e 0 l 加a l 脚蒯k m a l i c a im o d c lw 硒e s t a b l i s h c d 锄dt h eo p t i m a l 胞；l l l tw o u i db c a i l a l y z e db y 璐i l l gt h em a n a bo p t i i i l i z a l i 咖t l b 魄 h l 恤硎c l e l l a s 蛐倒t l l e m 呲c o n c r e t cd e s i 印增s e 砌t o t h e2 l ( is p a c c s p h e r i c a ic o c y c l o i d t h c “v c s t i a 矗g y m 叩i cn m d o np a s st om a l 【岛t h e 舯嘲翳 一i i 沈阳工业大学硕士学位论文 m o v 锄e mt i l u g ht h ei n c l 栅e dc m n kt l l ep l 出l e t a r yg e 盯p l a i l e t a r yg e 盯b e hr o n 岫d s 劬t l l 咖gd i g t h l c d 、袱hf i x e di nt i | l n 龃d 谢t ho u q ，l l ts l a f tc o n n t 甜蚪 m e s h i n g ，c a i l 辩sl h e 叽t p i i tt 口日出c r o pr 0 协i 彻d e c e l e 枷o nm t a t i 蚰t h em o d e lw 鹬 m a d eb yu s i i l gp 悝：m a l 【eu o ft h es w i t c l l i n ge q l l i p m e n to fd 砒a ，仃a l l s f o m st o a n s y s ，也ec a u 呲e rg c 盯l l 私c a r r i c do nt l l e 疗n 沁e l 锄ts 雠姆觚a l y s i s k e yw o r d 摹：e n 弘群m e mt h e o r y ，n u t 叠伽nd r i v e o p t i n t 曩ld 秭i p ，m n i t ee k m 蛐t a n 叠l y s h i i i 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 沈阳工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：态盘日期：丝丑丕丝 关于论文使用授权的说明 本人完全了解沈阳工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 沈阳工业大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 由于社会的不断发展，导致了科学技术必然会在新的矛盾和研究新的问题的基础上 得到不断的发展五十年代中期，由于空间技术的飞速发展，航天飞行器控制系统的机 构和仪表设备对机械传动提出了新的要求。例如：要求传动比大，体积小、重量轻、传 动精度高；在某些场合下，要求通过密封壁传递运动和具有在高空状态下工作的能力等。 对于上述的要求，普通的行星装置是不能满足性能指标的，这迫使机械传动方面出现了 新的突破。在这种情况下，近几年出现了一种新的齿轮传动系统即章动传动系统又称作 进动传动系统1 1 1 。这种装置克服了行星轮系的缺点，是一种很有发展的减速传动装置。 进动式减速机在将来应该被广泛的应用，尤其是在尖端技术中具有不可忽视的地 位，一般应用在工业机器人，金属切削机床中以及其他高为之精度的工作机构中，宇宙 航天的仪器仪表制造业、真空技术、化学和原子能工业、海底勘探等场合刚。它是机械、 冶金、矿山、轻工、军事等行业必不可少的，可作为通用减速机用于各行业、部门，也 可做特殊用途的专用减速机。如井下石油开采、机床微调机构、减速辊筒、给矿器计量 箱传动装置、阀门启动器、车辆马达轮、工业机器人和工艺装备、加工中心、数控机床 自动定心卡盘、进动液压马达等，也可制成增速器、差速器、变速箱、无级变速器【4 羽。 本文所研究的空间球面锥摆线进动传动就是一种新型的机械传动系统，它巧妙地将 圆锥齿轮传动和行星少齿差传动有机地结合成一体，突出地体现了小空间内大传动比的 优点。 1 2 国内外研究动态和发展水平 进动传动的历史并不长，它通常又称为章动传动进动传动其原理最早予1 9 4 2 年 由苏联人提出来的，但由于它是一种空间行星传动结构，运动分析、动力学分析和齿轮 啮合特性分析都相当复杂，其内在的特点长期未被认识清楚。直到6 0 年代以来，美国、 苏联、日本、西德及东欧一些国家才竞相开始研制，现已搞出多种形式。传动以其 自身的优点广泛地应用于航天、航空、航海、仿生、能源、电子工业、交通运输、矿山 机械、起重机械、钢铁工业、机床、纺织机械、石油化工以及医药机械姗 进动式减速机的运动学分析及参数优化 1 9 7 5 年，美国的a m m 舳口t l l 和u w e 础e d c l 在南斯拉夫召开的国际齿轮装置与传 动会议上发表“章动传动”一文后f l ，空间行星传动受到了广泛的关注，进入了章动传 动结构的新纪元。 1 9 7 6 年苏联人设计的圆锥齿轮波导减速器，是一种典型的k - v - h 型章动传动结构， 输出时采用了球轴承式的特殊轴承，这种制造和安装都比较困斛翻。 直到现今，国外取得了类似曲柄一锥齿轮的传动结构一系列专利权，它们用不同的 结构传递行星轮的转动，采用不同的齿形完成空间的啮合运动。1 9 8 6 年4 6 2 0 4 5 7 号美专 利，n u t a t i d r i v cm l l a l l i s m sh a v i n gr o l k r 越v i l l ge l 啪e n l s ，( 齿轮啮合的章动装置) o ”i 我国是在六十年代以后，对锥齿轮少齿差传动进行探讨和研究的，科研工作者在这 方面做了较为细致的研究工作。在国内一般出现的锥齿少齿差传动的啮合齿形有摆线齿 形、渐开线齿形、圆弧齿形，渐开线齿形是最常见的齿形，所以在锥齿少齿差传动中也 曾占有主要的地位，但由于其不仅存在内锥齿轮，加工十分困难，而且因为齿数只相差 一个，所以很容易产生齿廓干涉，更重要的是它的传动比不恒定，不能允许体现进动的 优越性。虽然很多学者对它进行了种种分析和改进，它的性能指标还是不很理想i “l 。 1 9 8 3 年，江苏省水利机械厂的邵孝森对其厂研制的。一齿差锥齿轮减速器辊筒”从 理论和实践两方面论述了进动传动l l 研。沈阳工业大学的颜世一，在“渐开线齿形章动传 动”一文中【l 田，用球面三角法分析了那啮合圆锥齿轮的轴交角和齿廓重叠干涉。1 9 8 9 年，西安交大博士毛世民在“内弧锥齿轮传动的特性及加工原理”和“一种高性能的齿 轮传动一内啮合弧齿锥齿轮传动”两篇文章的论述【1 7 】，给内啮合弧齿锥齿轮少齿差减速 器的发展，提供了新的理论依据。 纵观国内外的状况，新型的进动传动减速机作为一种现代科学技术的产物，它的理 论分析和一些内在的特点，由于属于刚体定点转动的问题较为复杂，还有一些尚未解决 的难点，还有待于进一步研究与探讨。进动式减速机没有被广泛的应用，分析其原因主 要在于没有考虑进动传动的球面运动的特殊性，如渐开线行星锥齿轮传动采用渐开线内 啮合不仅加工困难，在运动学方面大大次于谐波传动。 沈阳工业大学硕士学位论文 1 3 进动原理 进动传动属于少齿差传动的一种，是一种做类似陀螺运动的机械传动，具有空间行 星结构，传递同轴线的运动，它采用一对少齿差的“锥齿轮”，以轴线运动的锥轮与另 一固定的锥轮啮合产生摆转运动，能够获得很大的单级传动比，是现代科学的产物。 近年来随着航天技术、仪表设备及日用小机械产品的发展，要求传动系统的传动比 大、体积小、重量轻、传动精度高。在这种情况下，近几年出现了一种新的齿轮传动系 统即章动齿轮传动系统也可称为进动传动系统。这种传动装置是一种很有发展前途的减 速装置 进动现象可用一个常见的事例说明当在桌面上已不是旋转，只有一个点与桌面接 触，随着时间的推移硬币开始摇摇欲坠的颤摆现象就称为进动现象又称章动现象。 当硬币进动时不再是一个点与桌面接触，而是硬币边缘上的各点依次与桌面接触， 桌面上与硬币接触过的点形成了一个圆的轨迹，这里称为桌面圆。桌面圆可以看作是硬 币进动时在桌面上的投影。设硬币半径且，则桌面圆半径为r c o s 口，一是硬币的轴线与 桌面圆法线的夹角如图1 1 所示，硬币发生颤摆，由于硬币与桌面圆的各个点均依次 o9 c 图1 1 进动现象 f 唔1 1p i l 蚰鲫蝴io f n u 删 进动式减速机的运动学分析及参数优化 贴合( 无滑动) ，所以在任一瞬时已接触过的硬币弧长与桌面弧长一定相等。桌面圆的周 长为2 斌c o s 口，小于硬币的周长2 斌。又由于必须满足已接触过的弧长相等的条件，所 以在硬币颤摆了一个周期以后，硬币就相对于桌面转过了一段小弧，这段弧长为 s ：2 斌( 1 一c o s 口1 。 当进动刚发生时，硬币上的一点与桌面上的曰点相接触，但在下一刻彳再与桌面接 触，彳所接触的不荐是占点，而是桌面圆上的另一点c 。可见，硬币在颤摆同时发生了 转动，它每颤摆一次向前转过的弧长s 即c 与曰的弧长距等于硬币周长之差： s = c 一币一c 明= 2 斌( 1 一c o s 口) ( 1 1 ) 硬币每颤摆一次转过的角度定义为妒： 矿= 剐置= 2 万( 1 一c o s p ) ( 1 2 ) 所以。可看出彳点接触一次桌面，硬币就向前旋转了一个舻的角度。这样，当硬币 连续颤摆时就同时有了一个缓慢的转动，这个转动就成为进动也可称为章动【1 7 瑚。 1 4 空间球面锥摆线进动传动的特点与应用 进动式减速机将空间行星传动与平面少齿差行星传动相类比，提出了与平面摆线针 轮传动相类似的空间球面锥摆线进动传动。这种传动比以球面渐开线齿形、圆弧齿形的 空间行星传动有更多的优点，具有大量的可供选择的空间齿形存在，在保证多齿啮合性 为l 时，不会发生齿廓干涉，同时承载的齿数多、传动平稳、噪声小、易加工。因此， 可将进动传动的优点归纳如下1 1 咖。 ( 1 ) 同时啮合承载的齿数多 本传动与传统的摆线针轮行星传动一样，采用优化齿形，考虑侧隙后，可以保证4 个以上的齿与齿啮合，并均采用g c r l 5 轴承钢经渗碳淬火热处理的硬齿面，故承载能力 大、传动平稳 ( 2 ) 传动比范围大 传统的摆线针轮行星传动在动力传动中常见的传动比范围是f = l l 8 7 ，而2 k h 型 球面锥摆线齿轮传动在轮齿齿数限制在5 0 齿以下，通过公式计算可得其传动比范围为 沈阳工业大学硕士学位论文 1 2 5 9 9 ，这是普通齿轮传动很难实现的 ( 3 ) 省去了制造精度要求很高的输出机构 传统的摆线针轮行星传动若想将行星轮绕自身轴线的回转运动传到绕定轴回转的 输出轴时，必须采用一个特殊的输出机构。本传动中省去了制造精度要求很高的输出机 构，使机构简化 ( 4 ) 用带辊子的球面锥摆线轮代替内啮合锥齿轮 国内一般出现的进动传动中常采用渐开线齿形或圆弧齿形，存在内锥齿轮，加工比 较困难，且因齿数只相差一个，很容易产生齿廓干涉。本传动用带辊子的球面锥摆线针 轮代替内啮合锥齿轮，简化了加工工艺，提高了加工精度，并且可采用适当的齿形，消 除干涉 ( 5 ) 能实现同轴输出，且径向尺寸较小 减速机属通用机械可用于各行各业，而进动式减速机作为一种新型的减速机，具有 极强的竞争力，可望在我国减速机行业及市场带来新的生机及巨大的经济效益和广泛的， 应用前景。 1 5 课题的主要内容 以啮合理论为基础，推导进动式减速机传动比公式，推导空间球面锥摆线齿轮轮齿 的齿形方程，确定轮齿啮合点曲率半径，分进动传动的多齿啮合性，并对中心齿轮和锥 辊轮进行受力分析 对2 k h 型空间球面锥摆线进动式减速机进行设计研究，寻找设计变量，确定目标 函数，建立在满足各种约束条件下的优化设计数学模型。 运用l l a t l a b 优化工具箱求解。利用优化结果，进行了2 肛h 型空间球面锥摆线进动 式减速机的结构设计。 在p r o e 环境下绘制出齿轮模型，利用数据接口将模型转换到 n s y s 中，对齿轮轮 齿进行有限元分析。 5 一 进动式减速机的运动学分析及参数优化 2 空间球面锥摆线进动传动的运动学分析 新型进动式减速机采用齿一辊啮合方式，它的中心齿轮的齿形为空间球面外锥摆 线，行星轮为锥辊，它们为多齿啮合、承载能力强1 2 1 1 。由于啮合传动中行星轮为进动式 运动，啮合为锥面摆线，所以径向尺寸较小、结构非常紧凑。进动传动通常包括k - h - v 型和2 k - h 型两种结构如图2 1 和2 2 所示。 图z 1x 廿v 型进动传动 f 唔2 1k - h - v t y p en l 枷i d f i w 圈2 22 k - h 型进动传动 f 皓2 2 2 k - h t y p e n u t 砒i 蚰“v e 2 1 空间球面锥摆线进动式减速机类型及速比确定 2 1 1k - h - v 型进动式减速机 k - h v 型进动传动有四个构件组成：系杆日、行星轮g 、中心轮口和机架。行星 轮g 和召处于啮合，轮齿的延长线交于一点，称为进动中心d ，行星轮装于倾斜曲柄式 的系杆上，系杆的轴线与中心轮的轴线成口角，倾斜的曲柄旋转相对球铰作空间球面运 动，球铰的中心就是进动中心。主轴日转一转，中心轮曰转过了一定的角度。为求出从 动轴y 的状态函数，必须知道行星轮的运动学方程。当主动轴日的角速度不变时，行星 轮g 的空间球面运动方程组为： 6 沈阳工业大学硕士学位论文 y = 国， 矿= 一a r c 切n ( t a n 妒c o s d ( 2 1 ) 口= 常数 设z g 和乙分别为可动的行星轮g 和不动的中心轮占的齿数，若给整个轮系加一个 与系杆日转速大小相等而方向相反的转速一，各构件之间的相对运动关系保持不变， 这时转化机构的传动比为： 盘= 业 ：二丝 一 ( 2 2 ) ：盔 7。 z | 所以，具有固定中心轮的k h v 进动式减速器的传动比为： 汪垄 z 6 一z 8 ( 2 3 ) 2 1 22 k h 型进动式减速机 如图2 3 所示，2 k h 型进动传动含装有两个齿圈乙，和乙：的行星轮g 此齿圈处 于同固定的中心轮b 和可动的中心轮c 相啮合，传动中各个轮是用四个锥面角，即锥顶 为、噍。、疋，以及底半径凡、。、r 时、，来表示出的，行星轮g 的d d 轴线相对中心轮口和c 的公共轴线d d 倾斜地布置成p 角。中心轮曰固定不动在主动 轴为恒定的角速度m 情况下，2 k - h 型传动行星轮g 空间球面运动可用如下方程描述： y = 国h f 矿r 每 亿4 ， 口= 常数 进动式减速机的运动学分析及参数优化 设乙。和乙：分别为行星轮两面的辊子数，z 。和z 。为固定的中心轮和输出轮的齿 数，给整个轮系加一圆。后，转化机构的传动比： d d t 一锄= 盘= 麓 f ：】一兰血： k = 1 一言毒。 厶厶， 兰! ：圣二刍：兰韭 z c z n 图2 32 k h 型进动式减速器机构简图 f 嘻2 3m h 锄钯s i 【c t c ho f 2 l 渊t y p cn u t a l i d r i w 他d 懈 2 k - h 型迸动传动机构的传动比为： 1 z c z n 卢k 5 i 2 瓦乏j 藏 8 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 墨 乙一乙者葛 兹 沈阳工业大学硕士学位论文 2 2 齿轮啮合的数学模型 力学中，通常完成球面运动的物体的位置借助于欧拉角来确定【2 1 1 。这里我们以定点d 为 欧拉角y 、口、矿可看作是转动坐标系似7 z 按规定的顺序相对于固定坐标系 示为d = q d ，珥( d 为转动矩阵) ，用矩阵理论，可以实现从行星轮的五、k 、z i 点 匡卜 仫7 ， 一s 吵s i l l 矿+ s i n 弓c ，c 伪矿c o s 口 一咖y s i n 矿一c o s c o s 妒c o s 口 c o s 舻s i n 口 s i i l 缈s i l l 口1 一s 妒s i l l pi s 口 j 始阳 鳓 婶叩 噜馏口 嚣岫 嚣幽 = d 进动式减速机的运动学分析及参数优化 行星轮的球面运动可以想象成三次绕相交的三个轴转动的合成结果，在进动传动 中，进动角与自转角妒具有一定的关系。为了寻求他们之间的关系，假设在某一瞬时， 如图2 4 所示，行星轮处于使辊子2 与齿的凹入部分在，点相接触的位置。动坐标系 似y z 可以这样选取，使行星轮的辊子轴心线d d 位于d 】，z 的平面上，并与轴d r 成 占角。因为行星轮上的辊子2 应沿中心轮的轮齿l 的轮齿工作表面无滑动的移动着，所 以同固定不动的中心轮1 处于相啮合的辊子在点的线速度等于零，即瓦= o ，但点尸属 于辊子2 ，辊子2 完成球面运动的瞬时角速度，所以，角l 矿与9 的关系可以用如下条件 求出露= 石o 乒。 其中，万为行星轮球面运动瞬时角速度，0 f 点j p 的矢径。 图2 4 行星轮球面运动 f i 辱2 4s p h 矾c a ll 肿6 o f p l a f 咖町g 瞄 当妒、y 、口变化时，行星轮同时以角速度矿、矿、痧绕空间d z7 轴、d z 轴和0 转动，相应的角速度为驴、矿、矽，报据角速度矢量的可加性得： l o 沈阳工业大学硕士学位论文 石= 痧弓+ 缈i + 扫i 由于进动传动，口= 常数，故矽= o ，所以 可得： 万= 驴墨+ 妒i 矿伍o f ) + 如x d f ) = o 矢积伍o 乒) 和k o 乒) 可写成： i- l 乏面= i k x i i ( o _ ) 】【， i l 瓦砸：| k 1x i l ( o _ 支 凌 j i 匆， 确 k i 凌 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 因为，- l 、- l 、【分别为o x 、0 y 、o z 轴的单位矢，kx i 、k y t 、k z l 、 k t x l 、， k ly i 、k 蝎为相应矢量互、i i 、万在o x 、o y 、o z 轴上的投影。所以，k = o 、h = o 、 七卸= o ：毛丑= o 毛 = o 毛而= o 可得： f o 乒= - o 尹( _ s i n ( + 万) s i n p + c o s ( + 万) c o s 口) 2 j 0 p c o 驰+ + ( 2 1 3 ) = 置 云o 乒= o 尹c o s p + ) = 岛 将式( 2 1 3 ) ，式( 2 1 4 ) 代入式( 2 9 ) 得： i 舻置。+ 驴如j = o u 一 ( 2 1 4 ) 进动式减速机的运动学分析及参数优化 西：一生驴 五2 旦：互 胄2z 2 其中，墨、置：、z l 、z 2 分别为齿轮副半径及其齿数。 可得： 所以， ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 2 2 2 齿形方程的建立 在动坐标系o x ，y j z 上，辊子轴心线d 点的位置如下坐标来决定： 五。= o k d = 一置c o s 艿 ( 2 1 9 ) z l d = 一五s i n 万 其中，置为d 点到进动中心的距离，占为辊子的轴线与过进动中心并垂直于行星轮 轴线的平面问的夹角。 将式( 2 1 9 ) 代入式( 2 7 ) 中，可得依赖于主动轴转角缈的d 点的坐标： 如= r c o s 占 - c o s 矿s i n ( 乏矿 + 酊n 矿c o 专矿) 淄1 一置s i n j s i n s i n 口 = 一置伽j s ；n 痂( 罢妒 + c o s y c o s ( 乏矿) c o s 口 c z z o ， + 置s i n j c o s w s i n 护 z 。一r 趴d 丢y s i n 口廿s 舭两n f 妒 矿 互一乙 五一乙 一 一 = = 矽 妒 沈阳工业大学硕士学位论文 兵甲，工d 、z d 为辊子d 点坐标 d 点是以进动中心为中心，以r 为半径的球表面上运动的。己知辊子中心的运动轨 迹，就可以找到辊子与中心轮轮齿接触点的位置，而在一个运动循环内这些点的组合， 即为中心轮齿的齿形。在主动轴处于任意角度时，轮齿的接触点都处于沿辊子中心速度 瓦的法线方向上的辊子半径，的位置上。因此，为了描绘出中心齿轮的齿形，应求出辊 子中心的速度矢瓦在动坐标轴上的投影为此，可将方程式( 2 2 0 ) 对时间求导，得： 屯= r 妒咖j 卜吵血c 乏y ，一噎 咖豳( 每妒 啪s 口 一罢啪s y 瞄( 乏y + s y 啪s 噎y ) c o s 口 一r 妒咖万s 妒商n p 名= 一置矿淄艿 螂妙咖c 乏妒，+ ( 乏) 咖y s ( 乏y c z z ， 痂悟缈 一口一喙 一岫巨吵卜刁 一置矿s i n j s i n y s i n 口 乞= 且妒罢嘲j 咖( 丢y 血口 其中，驴为主动轴角速 为了确定球面上轮齿接触点的位置，可求出过d 点及d 点并垂直于速度的疗平面 方程，所求平面方程的形似如下： i 够d 列瓦= o ( 2 2 2 ) 其中，0 瓦与d 石为相应地为决定辊子上的d 点的位置矢量及相对于纰坐标系 上的原点的刀平面上的任意点c 的矢量。 矢积i 万d - 】可写成三阶行列式的形式并将其按第一阶展开，由此可得： 进动式减速机的运动学分析及参数优化 胁，= 陲蚓 = ( 1 名z z 。y ) i + ( z 。z j 0 z ) 歹+ ( _ k l ，一r d z ) f ( 2 2 3 ) 岫慨= 怯。扣如刮q 。翻， 利用式( 2 2 4 ) ，可类似的写出矢量方程，因此，我们可得出所求的平面方程： 圪( z 一】，z 。) 一乙伍z d z x 。) = o ( 2 2 5 ) 式( 2 2 5 ) 就由前面的方程得出的结果，因此，我们可以把它用来作为所求的平面方 程。现在，我们求行星轮的辊子同中心轮的轮齿接触点的坐标，也就是e 点，e 点同时 属于疗平面和以唧坐标系原点为中心，r 为半径的球面上。所以点e 必须满足门平 面方程和球面方程。即 ( z d x 厂x d z e ) 岩。一2 。伍z d z - x d ) = o ( 2 2 6 ) 既然，点e 也在球面上，故它的坐标必满足球面的方程，即 x e xe + y e y e + z e z e r - r = o 瞧2 1 ) 此外，0 _ 万与d 可之间的夹角是辊子的张开的角度。 0 匠d 万= 置2 c 口 联立方程可得： 或以x d + y d + z e z d 一置r c o s = o ( 2 2 8 ) x e = 曼r c o s p y e y d z d ze 1 x d y e = k 、ze d t ( 2 。2 9 ) ( 2 3 0 ) 沈阳工业大学硕士学位论文 其中，墨= 如一半， 所以 ，吐= 胄胄c o s 岩。伍。圪一y d x 。) 如= 坐学 x e = k l z e + d t ( 2 3 1 ) 磊= 恤吐一k 畋) 一k 反一邑畋) 2 + 幡+ k ；+ 1 ) x 且2 一砰一 ) ( 2 3 2 ) x 、磊可以决定轮齿接触点e 的坐标，e 点坐标的组合就是中心轮在球面上 的齿形瞄洲。 法截面上的齿形如图2 5 所示，将齿形曲线从球面挪到平面上，该平面平行于o l z 轴 并通过巨和易点，巨，易点是对应球面上齿形曲线的相临的最小值。巨、岛的坐标 为 x e - xe l l ，= ox 臣= x e | v = 妒 = 肜= ok = 肜= 妒 z e i = z e t i ，= oz h = z e t ；，= i f ， 其中- 2 磋一 过局和易点并平行于d z 轴的平面刀的方程，可从条件：医互豆】墨= o 求出 其中，k ( o ，o ，1 ) 为d z 轴上的单位矢量，为所求平面上的任意点。 平面一的方程为： 伍一) 慨一) = 妒一) 伍岛一z 毛) ( 2 3 3 ) 现在来平面疗与过e 和d 的直线相交点，过点e 和d 的直线方程为： 进动式减速机的运动学分析及参数优化 l r ：圪亭 ae z - 强鼍 由式( 2 3 3 ) 、式( 2 3 4 ) 、式( 2 3 5 ) 得： y ：亭 d e z wi z e 粤 e 图2 5 法截面上的齿形图 f 皓2 5g e 盯p m n ks k e t c hi i in o m a l c 6 0 n 1 6 一 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 沈阳工业大学硕士学位论文 在疗平面上我们选取坐标系b 菇，该坐标系的以善轴过点易，根据如下公式可将 坐标x 。，y 、z 。转换成手和f ： 伍，一工目) 2 + ( y 一吃户+ ( z 二毛) 2 = 善2 + f 2 = 砰 ( 2 3 7 ) 伍，一如) 2 + ( y 一吃) 2 + ( z 一毛r = 瓴易一秽+ f 2 = 霹 ( 2 3 8 ) 佤易) 2 = 伍岛一x 日p + 眩一p + ( z 岛一气p ( 2 3 9 ) 式( 2 3 7 ) 、式( 2 3 8 ) 、式( 2 3 9 ) 可用如下方程表示： = 、l ；：一考2 由此，可决定齿形上各点在平面行上的投影坐标。孝和f 的函数关系式是一条曲线。 2 3 空间球面锥摆线进动传动的啮合多齿性 根据函数晶= 厶皓) 和f = f 皓) 相应地代表行星轮辊子中心d 点运动轨迹以及中心 轮的齿形在月平面上的投影。函数卣= 厶瓴) 的每一个数值对应函数f = f g ) 的图线上 一个确定的点，该点就是相互作用的轮齿的接触点 假设，在函数= 矢瓴) 图线上的d 点对应于f = f g ) 图线上的石点函数的这一 依赖关系是由式( 2 2 2 ) 、式( 2 3 0 ) 、式( 2 3 1 ) 、式( 2 3 2 ) 所决定的。函数f = f g ) 取得的 原始条件应保证轮齿有如下的相互的作用，即辊子中心位于d 点上，辊子与中心轮的齿 廓接触点为e 。 此时，圆心位于滚子中心点d 的运动轨迹目口段上的大批圆的包络线为巨占。同理， 圆心位于口、c ，f ，、f 写段上的大批圆的线相应地为固c 、c f 、嘎可见，曲线五曰、 易，在点点0 处相交很显然在“圈c 髓。区段上轮齿不能相互作用，因为相互作用的连 续性决定了啮合的多齿性嗍 进动式减速机的运动学分析及参数优化 图2 6 齿形图 f i 昏2 6s k e t c ho f 黟”自t l lp f j o 蠡i e 进动传动啮合的多齿性，取决于轮齿在一个进动的循环内( o 尹 三等) 共轭的持 z 2 续时间。由于轮齿接触的时间持续性，啮合的多齿性取决于齿廓形状。所以为了便于分 析，采用了齿项具有顶尖的点i 固c 阿。图形的齿廓和图形函数f = f 皓) 。从图2 6 中可以 看到具有日曰c 图形齿廓的函数善= 善) 具有两个极值点b 和f ，对应着函数 f = f 皓) 的b 和f ，其多齿啮合性 1 0 0 ，而圆形齿廓函数善= 手) 连续上升，其啮合 多齿性萨1 0 0 ( 见图2 7 ) ，很显然，参与啮合的齿廓时间持续方程为： 劓一甙鲁) 十 式( 2 4 0 ) ，其具有三个根，即 m 矿= ( 詈 蛳 轮齿工作的齿廓存在于函数图形上的段，即o 妒 纨。时 1 8 ( 2 绚) 沈阳工业大学硕士学位论文 所以，啮合多齿性为： 制一水和 。 其中，为式( 2 4 2 ) 的最小值 ：堕1 0 0 图2 7 齿形图 f 培2 7 s k e t c h o f 弘口细l l l p m 行l e ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 2 4 空间球面锥摆线进动传动的曲率半径 以齿形图分析可以表明，在对应着相应的轮齿接触点上，啮合角依赖于参数口、万和 z ，而并不依赖于辊子的扩张角。两坐标系f f 中的观察的齿形，我们可按公式( 2 4 3 ) 来决定齿廓任意一点的啮合角口： q ：嗍掣 ( 2 4 3 ) 5 _ 一5 其中，瓴，幺) 和味。，o 。) 分别为齿廓的第捍和第刀一1 个的坐标 如图2 8 所示，齿辊啮合的共轭轮齿当量曲率半径由下式决定： 进动式减速机的运动学分析及参数优化 上：土+ 上 一1 r p n p p 3p ( 2 4 4 ) 其中，二、二分别为滚子的曲率轮齿的曲率。 p 3p 在接触点处轮齿的曲率半径是可变量，其值与给定的啮合副的位置有关。在多齿 啮合时，在滚子啮合线的长度方向上同时与齿廓上具有不同曲率半径的点相互作用，并 且在一部分啮合弧上齿廓曲率半径是突起的，在另一部分啮合弧上是凹入的，在式( 2 4 5 ) 中，这种情况是用“一”号加以考虑的。 r # - f 藿 一 r 一 孑 r if 、 e 、l 磅啦涤 厶 人 枷 圈2 8 齿轮啮合角和曲率半径 f 培2 8e n g a g c d 锄g l ea i l dc w v a l i l f e 陷d i 璐 因为，参一f 坐标系中齿形是用坐标方式给出的，在点 r 处的曲率半径是通过齿廓 点处的已知坐标幺和磊、半径内。的起点坐标幺和磊来合理的选择，此时，我们可 得： 沈阳工业大学硕士学位论文 为了坐标幺和磊，我们可以分别地写出c 口和翻直线方程： ；_ l g a t + b 。t = 一t g 口i 4 其中，g 口i = 号孚，f g 口2 = 等! l 争， ，- i + ，h 口= 岔一矗+ 等一焘 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 6 = 六一+ 靠，一南 f z 解式( 2 4 6 ) 和式( 2 4 7 ) ，可得两直线c 、c 8 的交点磊，即轮齿曲率半径p k 的起 始点： 六= 蔷去 ( 2 4 8 ) 将式口= 爵一矗+ 舅一焘代入式( 2 4 8 ) ，可求得另一交点c 的坐标： r b t g a l a f g a 2 5 f2 赢i ( 2 4 9 ) 将式口= 等一靠。+ 舅一焘和式( 2 4 7 ) 代入式( 2 4 8 ) ，可得到齿廓在点 的曲率半径p h ，它是用齿廓上的三个点的坐标表示的刚。 进动式减速机的运动学分析及参数优化 3 空间球面锥摆线进动传动的受力分析 在k - h - v 和2 k - h 型进动传动啮合中，因辊子相对轮的轴线布置的不同，而具有其 一定的特殊性。在k h v 型传动中，辊子的轴线通常布置在一个平面内，该平面是通 过进动中心的；而在2 k h 型传动中，辊子的轴线布置在锥面上，该锥面的锥顶与进动 中心重合。 3 1k - h - v 型进动传动的受力分析 如图3 1 所示，齿一辊副布置在平面y d 互上，相对z 轴成妒角，最大啮合时的辊子， p 角的数值取决于啮合的多齿性和传动的承载能力 图3 1k - h v 进动传动受力分析 f i g 3 1f o 嘲撇l y s i so fk - h vn l 工t 砒i o nd r i 沿啮合副接触线法向力c ，该只力可分解为只、c ，同样地，c 可分解为e 、e ， 这样的分解便于轴和轴承的计算。 对于给定的瓦和d 。，可得： 沈阳工业大学硕士学位论文 通过f 。，可得： f ：丝 。 屯l e ：j l c o s 口 c = 只，g 口 其中，e 为轴向力，该轴向力作用在垂直于轮齿接触线的平面上 ( 1 ) 中心轮的径向力 e ：= e ，g 如+ j 声= 删呷瓷 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 醪 其中，夕为确定在平面阳i z ，中轮齿接触线位置的角，为滚子的倾斜角，加到辊 子上的最终力与】，a 吃平面的夹角 ( 2 ) 中心轮上的轴向力 e ：= 只c o s 忉+ ) = e 秘s 够+ 以) ( 3 6 ) ( 3 ) 滚子行星轮 e i = 只s 缸= e - ，擘c 嬲7 ( 3 7 ) 只i = c s = e r g 口c o s ( 3 8 ) 所获得的力的关系式也可以用于确定2 k _ h 传动中的啮合作用的力。 3 22 i h l 型进动传动的受力分析 2 k h 型进动传动系统行星轮轮体中的辊子是布置在两个具有相同角度的锥面上， 行星轮体的辊子同时与两个中心轮的轮齿相啮合，此时形成两个成对角线相反的啮合 区 进动式减速机的运动学分析及参数优化 如图3 2 所示，我们将最后的作用力放在y 舷。平面上，即相对z 轴成妒角，这时， 法向力e 可分解为圆周力e 、轴向力兄和径向力c 。 图3 2 蕊一h 迸动传动受力分析 f i 量3 2f 哝舢删y s i so f 2 k hn u l a l i o n 埘w ( 1 ) 对于可动的中心齿轮 耻2 老 兄= c c o s p + + p 瞄) = e r g 口。一c o s p + + 口霹) c = c s 缸p + 7 + ) = 只f g 口。s i n p + + 铭) q ) 对于带辊子的行星轮 匕= 兄c o 啦+ ) = e 鹳c o 和+ ) 只，= ，二s i n p + 7 ) = e f g 口。s i i l p + ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 沈阳工业大学硕士学位论文 在2 k - h 传动中，辊子被布置在两个锥轮的锥顶角为三一占的锥面上，该轴向力作 用在沿辊子的轴线上： f 口= f 3 s 晷 ( 3 1 4 ) 进动式减速机的运动学分析及参数优化 4 空间球面锥摆线进动式减速机的优化设计 4 1 引言 在工程设计、经济管理和科学研究等诸多领域中，人们常常会遇到这样的问题：如 何从一切可能的方案中选择最好、最优的方案，在数学上把这类问题称为最优化问题。 这类问题很多，例如当设计一个机械零件时如何在保证强度的前提下使重量最轻或用量 最省( 当然偷工减料除外) ；如何确定参数，使其承载能力最高；在安排生产时，如何在 现有的人力、设备的条件下，合理安排生产，使其产品的总产值最高；在确定库存时如 何在保证销售量的前提下，使库存成本最小：在物资调配时，如何组织运输使运输费用 最少。这些都属于最优化问题所研究的对象【2 6 捌。 4 2 优化设计 所谓优化设计就是在规定的各种设计限制条件下，将实际设计问题首先转为最优化 问题，然后运用最优化理论和方法，在电子计算机上进行自动调优计算，从满足各种设 计要求及限制条件的全部可行方案中，选定出最优设计方案。 优化设计这一现代设计方法是六十年代随着电子计算机的广泛使用而迅速发展起 来的一门新的学科。优化设计能为工程及产品设计提供一种