（机械电子工程专业论文）轨道支撑刚度对轮扫掠力监测信号影响规律的分析研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 随着货车行驶速度的提高，货车的超偏载成为了引起货车脱轨等 重大安全事故的主要因素。借助高速轨道车辆超偏载监测技术及时发 现列车的超偏载现象，并采取必要措施避免恶性事故的发生具有十分 重要的意义。为研究超偏载监测技术，设计制造了高速轮扫掠力检测 实验台，以期在发掘轮轨扫掠力的作用关系前提下，去深入研究该技 术。本文针对实验台中轨下支撑条件变化对扫掠力监测信号的影响展 开研究，借助有限元分析软件建立柔性支撑条件下的轮轨滚动接触有 限元模型；运用正交设计法合理安排仿真组合并进行动力学仿真，找 出其影响规律；同时结合实验研究，验证该数学模型的正确性，完善 了轮扫掠力监测技术的研究理论与体系。论文主要研究内容如下： ( 1 ) 对国内外轨道动力学模型的研究进行了综述，针对本研究 内容的特殊性，采用有限元方法进行建模，并从理论上详细阐述了有 限元的分析方法及显式动力有限元程序l s d y n a 的算法基础。 ( 2 ) 以轮扫掠力监测试验台为研究对象，运用大型有限元分析 软件a n s y s l s d y n a ，通过对单元类型、材料模型、接触算法的选择 以及载荷、边界条件的施加建立轨道的有限元模型；利用非线性显式 动力有限元程序l s d y n a 进行轮轨滚动接触的计算求解，实现其动力 学仿真。 ( 3 ) 运用正交试验设计法，选取轮载、支撑刚度和速度为三种 变量因素，以钢轨指定点的应变值为试验指标，合理安排仿真试验， 利用后处理软件l s p r e p o s t 提取仿真结果；根据传感器工作原理， 将结果曲线中的应变输出量转换为实际中的检测电压信号，总结了包 括轨下支撑刚度在内的三种变量因素对扫掠力监测信号的影响规律。 ( 4 ) 设计制造完成一套能实现不同装载重量通过钢轨检测区并 能改变轨下支撑刚度的设备并在此实验台上进行静态实验；采集实验 数据并与仿真结果类比，验证了仿真模型的正确性，为下一步采用更 精确的模型进行仿真提供了可行的研究方法。 关键词：轮扫掠力监测，轨道有限元模型，轨道支撑刚度，显式动力 分析，a n s y s l s d 、i a 中南大学硕士学位论文 a bs t r a c t w t ht h ei n c r e a s ei n 6 e i 曲t 乜麓i ns p e e d ， m eo v e r l o a d狮d u n b a l a n c e d 1 0 a do fm e 仃a i nb e c o m e st h em a io rf a c t o ro ft 1 1 er 哪面n g a c c i d e n tm a tt l l e 丘e i g h t 缸a i l ld e r a i l e da n dt u m e do v e r b yt h e t e c h n o l o 鼢，o fo v e r l o a da n du n b a l a n c e d 1 0 a dm e a s l l 】e m e n t t od e t e c t o v e r l o a da n di m b a l a n c e dl o a di nt i m e ，t a k en e c e s s a 珂m e a s u r e m e n t st 0 a v o i dr u n n i n ga c c i d e n t s ，w h i c hp o s s e s s e sm u c hs i g n i f i c a i l c e t bm n h e r s t u d yt h e0 、，e r l o a d a 1 1 du n b a l a n c e d l o a dm e a s u r i n gt e c h n o l o 鼢a s m a l l s c a i ee x p e r i m e n t a lp l a t f o mf o r 廿1 eh i 曲s p e e dw h e e l s c a nf o r c e d e t e c t i n gw a sd e s i g n e da n db u i l t t h et 1 1 e s i ss _ t u d i e dm ea 腩c to ft h e w h e e i s c a nf o r c ed e t e c t i n gs i g n a l sw h e nt h es u p p o r tc o n d i t i o n su 1 1 d e r t h er a i lc h a n g e d t h ew h e e 趴r a c kc o n t a c tm o d e lu n d e rn e x i b l es u p p o r t w a se s t a b l i s h e di nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o 触a r e ：b yt h eo r t h o g o n a l e x p e r i m e n t a ld e s i g nm e t h o d ，t h es i m u l a t ec o m b i n a t i o nw a sr a t i o n a l i z e d ， a n dt h ed y n a m i cs i m u l a t i o nw a sd o n e ：c o m b i n e dw i t he x p e r i m e n t a l r e s e a r c h ，t h ec o r r e c t n e s so ft h i sm a t h e m a t i c a im o d e lw a sv e r i f i e d 锄di t i m p r 0 v e dt h ei n i t i a li n t e 伊a t i o no f w h e e l s c a nf o r c ed e t e c t i n gs y s t e m t h em a i nc o n t e n t s 踟d e t a i l e da sf 1 0 l l o w i n g ： ( 1 )t h e 们c kd y n a i l l i cm o d e li nd o m e s t i ca n do v e r s e 勰w a ss u m m a r i z e d d i r e c t e dt o w a r d sm es p e c i ：f i c i t yo ft h i ss t u d v sc o n t e n t ，t h e 丘n i t ee l e m e n t m e t h o dw 鹤u s e dt om o d e l ，a n d 也ea r i t h n e t i c 也e o r ya l l dp r o c e s so ft h e a n a l y s i sp r o b l e mb ye x p l i c i td y n a m i c sf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sp r 0 c e d u r e l s d y n aw a st h e o r e t i c a l l ve x p a t i a t e d 。 ( 2 ) t h ef i n i t ee l e m e n tm o d e lo fr a i lw a se s t a b l i s h e di n 廿l el a r g ef i n i t e e l e m e n ta n a l y s i ss o f h ，a r e “a n s y s l s d y n a b ys e l e c t i n go fe l e m e n t t y p e ，m a t e r i a jm o d e la n dc o n t a c ta l g o r i t h m ，e t c t h ee x p l i c i tn b n l i n e a r d y n a m i cf i n i t ee l e m e n tp r o c e d u r e “l s d y n a w a su s e dt os o l v ea n dt h e d v n a m i cs i m u i a t i o n 、v a sc a 币e do u t ( 3 ) b yt h eo r t h o g o n a le x p e r i m e n t a ld e s i g nm e t h o d ，血ew h e e ll o a d 、 b r a c es t i 肺e s sa n dv e l o c i ww a sc h o s ea sv a r i a b l ef a c t o r s ，t h es t r a i nv a l u e o ft h ed e s i g n a t e dp o i n to nt h er a i l 弱t e s ti n d e x e s a r e rt h es i m u l a t i o nt e s t ， 中南大学硕士学位论文 t l l es i m u l a t i o nr e s u l t sw e r cg o t b y t h e p o s t - 1 ) m c e s s i n g s o 小a r e “l s p r e p o s t a c c o r d i n gt 0 m ew o r 姑n gp d n c i p l eo ft h es e n s o r ，t h e s t m i no u t p u t 洫t h er e s u l tc u r v e sw a sc h a n g e dt ot h ep r a c t i c a ld e t e c t i n g v o i t a g es i g n a l s ，a n dt 1 1 ei m p a c to fm e s et 1 1 r e ev a r i a b l e f a c t o r so nt h e w h e e l - s c a nf o r c ed e t e c t i n gs i g n a l s 、张ss u m m a l i i z e d ( 4 ) as e to fe q u i p m e n t sw h i c hc a i l a c h i e v ed i f f e r e n tl o a d e dw e i g h t t h r o u 曲t h er a i ld e t e c t i o na r e aa n dc h a n g et l l eb r a c es t i 筋e s su n d e rt h e r a i lw a s d e s i g n e da n dm a n u f a c t u r e da n ds t a t i ce x p e r i m e n tw a se x e c u t e d c o m p a r e dt h ee x p e r i m e n t a l d a t a sw i t ht h es i m u l a t i o nr e s u l t s ，t h e s i m i l a r i t i e sa n dd i f f 宅r e n c e sw e r eg e ta 1 1 dt h er e a s o nw a sa n a l y z e d r h e m o d e l sc o r r e c t i l e s sw a sp r o v e d ，w h i c h p r o v i d ef e a s i b l er e s e a r c hm e t h o d s t on e x ts i m u 】a t i o n k e y w o r d s ：w h e e l - s c a nf o r c ed e t e c t i n g ，6 n i t ee l e m e n tm o d e lo fm i l w a y ， t r a c ks u p p o r ts t i 偷e s s ，e x p l i c i td y n 锄i c ，a n s y s l s d y n a i i i 中南丈学硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究背景及意义 1 1 1 选题背景 第一章绪论 我国是高度依赖铁路运输的国家，长期以来，随着国内跨省经济集团数量的 增加与铁路运输工具目前采用的租用方式，集团为谋取自身最大的经济利益采 取“异地自发自收 、“少报多载”的方式恶意超载。其次，零散货物为运输装车 与卸车编组方便的需求，经常因为各批货物单位体积重量差异而导致货物的偏 载。再次，在货物的长途运输及多次编组等待发运过程中，因吸收大量雨水( 如 煤，矿砂等) 也会造成超载。此外，市场经济环境下的多种利益驱动因素与当d 玎 监测系统能力限制也导致货运车辆超载与偏载的现象屡禁不止。轨道货运车辆的 超载与偏载成了铁道运输中必然会发生的事件n 2 1 。 内部报道与研究分析表明，轨道车辆的超载与偏载是引起切轴、脱轨等重人 安全事故的主要因素之一，列车一旦脱轨，会造成车辆损毁，道路破坏变形，列 车停运，发生在铁路干线上时，还会造成大量的旅客滞留，单次事故造成损失少 则数百万元，多则上亿元，造成巨大的经济损失，属于恶性交通事故。为此国家 付出了高昂的代价。 图卜1 货车脱轨事故抢救现场图卜2 货车脱轨翻车事故抢救现场 由于铁道运输能力需求与国家经济发展的密切关系，迫使铁道部门在货运速 度上不断提速以满足国民经济的发展对运力的需求。轨道车辆运输中的重载、高 速与安全是铁道运输部门长期强调的主要指标，但其中安全与其它两项是相互矛 盾的指标。随重载与行车速度的进一步提高，如不能很好地解决超载与偏载监测 问题，切轴( 轮轴温度上升导致颈部突然断裂) 、爬轨、脱轨乃至翻车等恶性事 故的发生频率也必将上升。为此，有关部门对借助高速轨道车辆超偏载监测技术 及时发现列车超偏载现象，采取必要措施避免恶性事故发生的需求r 益增强。“。 中南大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 2 列车轮扫掠力作用的概念 在轮轨相互作用的有限监测区内( 两枕木之间) ，列车车轮以不同的载重量 以及不同的速度从轨道上通过，车轮对轨道产生的作用力高速通过轮重监测区， 该高速移动并作用在轨道接触表面的力，在本文中定义该力为扫掠力。该力属于 轨道力学的研究范畴，用于研究高速旋转车轮与轨道之问的相互作用关系，研究 作用在轨道上的力与变形的问题。轮扫掠力检测是一种动态称重技术，该问题由 对列车的动态轨道衡的检测研究演变而来。 目前在轮轨力学的研究中，关于车轮与轨道接触表面的相互作用关系方面的 研究较多，且理论基础比较成熟h 5 ：但从研究轨道轨腰切向应变输出确定车轮 动态重量方面的研究极少。随着列车行车速度的提高轮轨接触的监测难度越来 越高，进行在线检测车辆载重的问题越来越受到人们的关注。 1 。1 3 课题研究的意义 既然货运列车在铁路运输中的事故原因多 ：超f l ；拔上，因此设计出能垄睾乞 道正线上使用、具备自动检测超偏载功能的高速动态硷测设备已是追在眉睫：莉 定运行中车轮对轨道的扫掠力作用，对防止脱轨的研究、机车车辆对轨道结曲的 影响的研究、轨道结构的设计、机车车辆的运行安全性，以及对掌握轨道和机车 车辆合理设计所需要的数据方面，都是不可缺少的。 超偏载检测是一个大的系统，要真正认识并掌握轨道实际信号特征还需要傲 大量的研究及测试工作。课题组成员已进行了关于在假想刚性路基上新型轨基传 感器的应力应变变化规律的有限元分析，确定了应变的变化趋势以及敏感区域的 分布位置。并设计了一套用于模拟轮扫掠力作用的检测试验台。随着理论及实验 研究的深入，由于路基上轨道的轨下支承条件不同，其轨下基础乃至轨道整体的 刚度及其变形就不会相同，从而影响传感器最终的输出信号：为充分利用己建好 的检测试验台并更进一步研究轮扫掠力作用下轨道的变形机理问题综合考虑轨 下柔性支撑的特点，根据轨道动力学与路基理论对轨道结构的动力学性能进行计 算，建立轨道的动力学模型，分析在扫掠力作用下轨下支撑刚度的变化对钢轨应 变的影响规律，从而对扫掠力监测技术建立更好的研究理论与体系。 课题内容来源于国家自然科学基金项目，项目名称为“高速货车超偏载轮重 扫描监测方法关键技术研究( 5 0 6 7 5 2 3 0 ) 。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 国内外的研究现状 1 2 1 国外技术的研究现状 最早开始涉及轨道动力分析可追溯到1 8 6 7 年，当时文克勒( w i n k l - e r ) 提出 了弹性地基梁理论，这一理论很快被用于轨道建模。1 9 2 6 年，铁木辛柯 ( t i m o s h e n k o ) 应用弹性地基梁模型首先研究了钢轨的动应力问题，这便是今天 广泛采用的经典方法。自1 9 4 3 年d o r r 提出应建立更好的轨道模型以适应列车运 行速度的增长，直到2 0 世纪5 0 年代，很少见到有应用新的模型解决轨道实际问 题的成果。虽然2 0 世纪5 0 年代苏联的沙湖年慈等对轨道不平顺引起的轮轨动载 荷做了不少理论计算和试验研究，并将随机理论引入轮轨相互作用分析，但所用 分析模型并无本质变化。在此期间人们更多地关心移动荷载( 机车车辆) 在梁( 钢 轨) 上的动力学稳定性问题。 2 0 世纪7 0 年代，铁路运输业的迅猛发展，极大地推动了轮轨相，作 j 研究 的开展，特别是在应用数学力学模型解决铁路实际问题方面取得显籍成效：可以 说英国d e r b y 铁路研究中心开展的轨道街头处轮轨动作用力试验和理论研究。 标志着轮轨动力作用研究进入了实质性阶段。同时由l y o n 哺1 和j e n k i n s ：等建j 芝 了轮轨动力作用分析的基本模型，并首次研究了车辆与轨道基本参数( 如簧下质 量、轨道刚度等) 对轮轨作用力的影响。这一基本模型将轨道描述成连续弹性基 础支承的欧拉( e u l e r ) 梁，将车辆简化为簧下质量，并考虑了一系悬挂特性。 1 9 7 9 年，n e w t o n 等聃1 为了研究车轮踏面擦伤对轨道的动力作用，又进行了一次 轨道动力测试，并对模型做了局部改进，以t i m o s h e n k o 梁代替e u l e r 梁描述钢 轨，从而可以考虑梁的剪切变形和截面旋转惯性对轮轨垂向力的影响，使计算所 得钢轨剪应变参数能直接通现场实测参量相比较，理论与试验取得了较好的一致 性。1 9 8 2 年，c 1 a r k 等呻1 为研究车辆在波浪型磨耗钢轨上行驶的动态效应，采用 了弹性点支撑连续梁模拟轨道，并单独考虑轨枕的振动影响，使模拟更趋于实际： 同一时期，日本学者佐藤裕和佐藤吉彦对轮轨动力分析做了大量有价值的上 作。他们曾经采用集总参数模型和连续弹性基础梁模型研究了轨道的动力效应。 其中比较有代表的是所谓s a t o “半车一轨道 模型n 引。为模拟新干线板式轨道 同时还提出了双层连续弹性基础上无限长梁模型。美国的a h l b e e 也曾提出与 s a t o 模型相仿的“半车轨道 集总参数模型，所不同的是轨道部分增加了一 个基础参振量，并且考虑了钢轨接头因轮轨冲击变形而引起的刚度削弱影响。 最近l o 多年来，国际上有关轮轨系统动力学研究同样十分活跃，建立了各 种繁简不一的分析模型，从转向架一轨道双层分布参数模型，到整车一轨道相互 中南大学硕士学位论文第一章绪论 作用模型，并开始考虑道床参振影响。在模型上也有许多改进及扩展，如采用 t i m o s h e n k o 梁模拟钢轨从而使钢轨的受力分析更加细致：采用有限元离散轨道 结构；详细考虑路基机构的参振作用：考虑路基一桥梁过渡段轨道刚度变化影响： 建立车辆与道岔结构动念相互作用模型，等等。 1 2 2 国内技术的研究现状 我国学者在轮轨动力分析模型方面也开展了一系列基础研究工作。吴章江 ( 1 9 8 2 ) 提出了包含摩擦阻尼力的轮轨集总参数三自由度模型来计算轮轨冲击力 n 。这些集总参数模型的计算方法都以轨道不平顺作为激励源，具有模型简单、 计算方便的优点，但计算参数不易确定，计算功能较少，其计算结果与实际有一 定的差距周宏业和叶翔( 1 9 6 3 ) 采用单自由度集总参数轮轨碰撞模型计算轮轨冲 击力：徐实儒( 1 9 8 5 ) 采用了这一模型并做了相应的改进：。2 0 世纪8 0 年代后，轮 轨动力学理论研究进一步深入。李定清( 1 9 5 1 ) 采用阻尼和弹簧系统宋等效轨下基 础，考虑接头区几何不平顺，采用有限元和直接积分的方法1 童用弹性点支撑理 论模型，分析作用力和部件的动力响生! ：陈道兴( 1 9 8 _ l j 在其基础j ：z 建立了包 括车辆悬架、轮轨接触、轨道支撑弹性非线性影响的轮轨动力分析随型：张j 盛 又从研究热板隔振的角度出发，考虑轨下按扳和道床的影响，建立了轮轨系统的 有限元模型，分析了垫板的减振效果。 2 0 世纪9 0 年代，翟婉明n 叼从车辆一轨道耦合动力学角度出发，以轨道不平 顺为激励源应用大系统的思想，综合考虑机车车辆、轨道线路及轮轨界面三个方 面的影响，研究轨道结构的动力响应。其研究突破了传统子系统简化的局限性， 将轨道结构动力学的研究提高到一个新的层次。国内众多铁路科研单位陆续开展 了车辆一轨道耦合动力学领域的理论与应用与研究。 目前对于轨道结构理论的研究基本上都是以翟婉明的研究成果为基础，对模 型进行细化，修正以及确定参数选择范围，同时拓展其研究成果的应用范围。雷 晓燕等利用有限元法建立了包含钢轨、轨忱、弹性挚层、道床和路基为一体的轨 道空间结构分析模型。机车和车辆对轨道的作用通过轮对模型求得。在轮对模型 中，车体总质量平均分配到每个轮对上，轨道结构采用广义梁单元划分。谢伟平 等推导了移动载荷作用下，基于e u l e r 梁和t i f f l o s h e n k o 梁的轨道系统动力响应 的积分表达式，利用g r e e n 函数计算了车轮、轨道、眈木的相互作用引起的振动， 提出了基于其相互关系的离散化算法。李成辉计算了轮轨接触力功率谱和轨下基 础动力及加速度功率谱，并对轨道一车辆系统的竖向振动模态进行了分析。 传统的车辆轨道动力模型分机车、车辆( 以下统称为车辆) 动力学、轨道动力 学、轮轨关系三个子系统，其研究是相对独立进行的，要么将轨道视为刚性支承 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 研究车辆的振动，要么将振动着的车辆作为激励源研究轨道的振动，或者研究轮 轨接触点处的相互作用关系。计算机的广泛使用使得建立具有庞大自由度的动力 学模型成为可能，进入了仿真模拟的高级阶段。 1 3 本文研究的主要内容 本研究课题主要研究轮扫掠力作用下轨道的应变机理问题，建立轨道的动力 学模型，分析在扫掠力作用下轨下支撑刚度的变化对轨道应变的影响规律。主要 研究内容有： 1 ) 对国内外轨道动力学模型的研究进行了综述，针对本研究内容的特殊 性，采用有限元方法进行建模，并从理论上详细阐述了有限元的分析方 法及显式动力有限元程序l s d y n a 的算法基础。 2 ) 以轮扫掠力监测试验台为研究对象，运用大型有限元分析软件 a n s y s l s d y n a ，通过对单元类型、材料模型、接触算法的选择以及载 荷、边界条件的施加建立轨道的有限元模型：利喇 # 线性显式动力有琨 元程序l s d y n a 进行轮轨滚动接触的计算求解，实观其动力学仿真： 3 ) 运用正交试验设计法，选取轮载、支撑刚度和速度为三种变量因素，以 钢轨指定点的应变值为试验指标，合理安排仿真试验，利用后处理软件 l s p r e p o s t 提取仿真结果；根据传感器工作原理，将结果曲线中的应变 输出量转换为实际中的检测电压信号，总结了包括轨下支撑刚度在内的 三种变量因素对扫掠力监测信号的影响规律。 4 ) 设计制造完成一套能实现不同装载重量通过钢轨检测区并能改变轨下 支撑刚度的设备并在此实验台上进行静态实验；采集实验数据并与仿真 结果类比，得到其异同并分析了原因，证明了模型的j 下确性，为下一步 采用更精确的模型进行仿真提供了可行的研究方法。 中南大学硕士学位论文第_ 二章摹础理论研究 第二章基础理论研究 2 1 轨道分析模型研究 差i重 差奏 善苔耆 茎j 茎 霎霎 差曩屋 垂；薹 薹差 薹薹 ：薹 2 1 1 集总参数模型 图2 一l 轨道系统模型分类 集总参数模型是依据一定等效性规则，通过对轨道质量、刚度及阻尼进行等 效变换，把一个具有复杂分散参数体系的结构，变换成一个具有少数自由度的质 量一弹簧一阻尼集总参数的简化模型：报据自由度的多少又可分为( a ) 单自由度 轨道模型：( b ) 双自由度轨道模型：( c ) 多e j 由度轨道模型。 集总参数模型是研究车辆一轨道相互作用问题中最简单的模型，最初因其简 单且易于求解的特点而被广泛采用，并被用于轨道动力响应分析及机车车辆、轨 道结构参数匹配的初步研究中口们。 6 中南大学硕士学位论文第二章基础理论研究 图2 2 最简单的轨道集总参数分析模型 2 1 2 连续分布参数模型 、 连续分布参数模型则将轨道结构体系模拟成为连续弹性支承着的粱，模型参 数具有连续分布特征。其根据不同的支承情况可以分为连续弹性支承梁模型及连 续弹性离散点支承梁模型。 ( 一) 连续弹性支承梁模型 连续弹性支承梁模型是将钢轨当作一般e u ll - r 粱或t i m o s h e n k o 粱i t 以庀眼 长) ，轨下基础则被视作一层或多层连续弹簧加阻尼的结陶。如图2 3 所，j ：这 种模型因其计算参数少、计算简单方便并可用解忻法求解而得到广泛的应j l j ： 图2 3 连续弹性支承梁轨道模型 m 一单位长轨道质量：e i 一抗弯刚度 ( 二) 连续弹性离散点支承梁模型 连续弹性离散点支承梁轨道模型是指轨下的弹性支承结构仅在轨枕存在的 位置才有，是离散的一层或多层结构。因此点支承模型至接近于轨道真实结构。 它能真实地反映出轨道不同位置离散支承的刚度差异对机车车辆一轨道系统振 动的影响。由于离散点支承模型比较复杂，所建方程必须采用数值计算方法。近 年来，随着计算机技术速发展，离散点支承梁轨道模型己在机车车辆一轨道动力 学研究中广为使用。 中南大学硕上学位论文第二章基础理论研究 y 图2 4 连续弹性焉散点支承梁轨道模型 m 一单位长孰道质量；e i 一抗弯刚度 连续弹性基础梁模型与连续弹性点支承梁模型的不同点为：前者将轨下基础 作为均匀分布的整体支撑：而后者则把轨下结构当作一系列相隔一定间距的离散 弹性一阻尼点支承体系。前者反映的是轨道系统总体上的效果，最基本特征：而 后者则进一步描述各个轨枕支承点的局部影响，客观地反映“钢轨是靠各个轨枕 沿纵向支承于遭床和路基”的事实t 。 2 2 有限元基础理论研究 有限单元法( f i n i t ee 1 e m e n t t h o d 碡称f e ) 起源f2 0 世纪- 1 0 年代发 展起来的杆系结构矩阵位移法：目日i ，它已成为科学探索的有力工具、计算机辅 助设计( c a d ) 和计算机辅助制造( c a e ) 的錾奉组成部分。其是数学、力学及计 算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学，是现代科学和工程计算方面最令人鼓 舞的重大成就之一：盯：。 2 2 1 有限元法基本思想 有限元的基本思想就是离散化，它假设把空间连续体分割成数目有限的单元 ( 子域) ，并认为相邻单元( 子域) 之间仅在节点处相连。并且，单元问的相互作用 力仅由节点传递。根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选取 各种不同类型的单元：再通过虚功原理( 也可以是变分原理) ，求得每个单元的平 衡方程，亦即建立了单尢节点力与节点位移之问的关系。最后把所有单元的这 种特性关系按照保持节点位移连续和节点力平衡的方式集合起来，就能得到整个 物体的平衡方程组。引入边界约束条件后解此方程组，就可求得节点位移，并计 算出各单元应力。所以，有限元法就是一种离散化的数值解法：对于结构力学特 性的分析而言，它的理论基础是能量原理h 。 中南大学硕士学位论文 第二章基础理论研究 2 2 2 有限元分析方法 l 、决定分析内容建立物理模型 2 、前处理 3 、程序主体 4 、后处理 5 、决定结果 可否接受 团亟型亟晒匝回一 至塑叠蟹 是 ，一、 7 结束 、。 图2 一j 有限无法分析漉程 否 图2 5 所示流程的第1 步和最后一步分别决定分析内容和结果可否接受( 例 如计算结果是否可靠、是否满足符合工程设计的要求等等) ，这需要撤据所分析 问题的特点、工程规范以及数值分析准则等综合因素决定。图示流程的第2 、3 、 4 步则是有限元分析的3 个基本组成部分。第2 步的前处理程序是根据已确定的 物理模型，建立有限元离散模型，内容包括生成有限元网格、选择单元类型、确 定材料本构模型、给定约束及载荷条件、选择求解方法和确定计算参数等，最后 形成有限元的下一步输入文件。第3 步是有限元程序的主体，它根据前处理中提 供的数据建立有限元方程组进行计算。第- l 步是后处理步骤，由于有限元分析程 序的计算是针对离散模型的，得到的结果是针对网格中各个节点或单元。输出的 文件信息量很大且容易得到分析对象变形和应力的全貌及关键数据。上图为有限 元的分析方法流程，具体说来其求解的重要步骤可归纳为以下几步j 也： ( 1 ) 结构离散化 有限元分析的第一步是结构的离散化，它是有限元法的基础。其具体内容是： 选择适当的单元类型、定义单元尺寸和数量、荤元的市局以及节点连接的方式等： 一般情况下，单元的边界不可能总是与求解区域的真实边界完全吻合，这就带来 了有限元的一个基本近似性几何近似。所以，只有单元尺寸足够小才能保证 计算的精度，而太大则会增加计算过程的工作量。理论上说，单元划分的越细， 节点布置得越多，计算结果就越精确。随着计算机技术的快速发展，计算机的容 9 中南大学颐上学位论文 第二章基础理论研究 量和运算速度己经不是主要问题，但是节点和单元的数量达到一定值后，再增大 网格密度对于提高计算精度效果就不是很明显了。 y l 由呻x 单元s o li d l 6 _ 4 ，其分析方法完全类似。结构离散后，用这些单元组成的单元集 a 。2 三i ，a ，= ) 。= ，2 ，3 ， c 2 - - ， ( 2 ) 选择位移模式 位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数式，故又称位移函 数。其实就是一手中插值函数，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位 移。因为节点位侈个数是有限的，故无限自由度问题祓转变成了有限自由度问题。 在有限单元法中，广泛地采用多项式作为位移函数，其原因是多项式的数学 运算比较简单；其理论根据则在于精确解总是能够在任一点的领域内由多项式逼 近。由于所采嗣的函数是一种近似的函数，一般不能精确地反映单元中真实的位 移分布，这就决定了有限元法的另一种基本近似性： 因为单元内任意点的位移由节点位移插值得到，所以选择单元位移函数的一 个基本原则就是：位移函数中的待定常数与单元节点位移参数相等。t 3 单元共 有6 个节点位移分量，所以位移函数应包含6 个待定常数。因此，假设单元内的 位移为x ，y 的线性函数，即 i o 中南大学硕士学位论文第二章基础理论研究 肛口1 + 口2 h 口3 y i ( 2 2 ) ，= 口4 + 口s x + 口y j 设节点l 、2 、3 的坐标分别为b 。，y 。) ，k ，儿) ，k ，乃) 。将节点位移分量 和节点坐标带入式( 2 2 ) i = 口i + 4 i + 口3 y 1 1h = 口4 手口5 而+ 口6 y 。1 甜2 = 口i + 口2 屯+ 吩儿 ，2 = 口4 + 口5 x 2 + 口6 夕2 ， ( 2 3 ) 掰3 = 口l + 口2 黾+ 口3 乃jv 3 = 口4 + 口5 x 3 + 口6 儿j 可求得待定系数：再将求得的系数代入式( 2 2 ) ，整理后得 材= i m + 2 ”2 + m 吩 ( 2 4 a ) 1 ，= h 啊+ 2 v 2 + m v 3j 或： u = 阱l 、i i m i 蚪。地。 4 b ) 其中i 是二阶单位矩阵，y 是插值函数，它们决定单庀啦侈场的基本形念且只 与单元的形状、节点的配胃及插渣方式有关故通常称为形函故：n 即为形函数 矩阵。对于此t 3 单元) i 的元素为： j2 击o ，+ 6 ，h 叫)( 川2 3 ) ( 2 吲 1 1 毛 y “ 其中，2 4 = l lx 2y 2 i ，口，6 ，和q 分别是行列式2 彳第，行各元素的代数余子式。 l l 屯乃f ( 3 ) 建立单元刚度方程 选定单元的类型和位移模式后，就可以按虚位移原理或最小势能原理建立单 元节点力与位移之间的关系即单元刚度方程。假定单元p 发生虚位移面，根据式 ( 2 4 ) 有 国= n 两。( 2 6 ) 其中，国。为单元节点虚位移向量。 将虚位移原理应用于该单元，则单元节点力所做虚功等于单元的虚应变能，即： 国f 。= p 7 om ( 2 7 ) f l r 其中，q 8 为单元体积域；f 。为单元节点力向量，对于t 3 单元有： f f l l p 谢 e = 甏) o = 1 2 3 ， 在式( 2 7 ) 中，单元应力。及应变e 需要用弹性力学中的几何方程( 应变分 量和位移分量之间的关系) 和本构方程：剃( 材料应力和应变之间的关系) 来导出， 对于该平面问题，其几何方程表达式为： 抛 = _ c 加 p ，2 磊 芒、，a h 厂毋12 夏+ 面 c 箕洲 ( 2 8 ) 由于单元位移函数确定以后，未知量就归结为节点位移。将单元位移函数式 = 主 = 击f 至耋茎墨耋晏 a 8 c 2 9 a ， = 【b 。b ：b ，- 。= b a 。 ( 2 9 b 其中 卟击邓幺孙 斛 肚耕，2 j 将单元应变与节点位移关系式( 2 9 ) 和单元应力与应变关系式( 2 1 0 ) 带 国。1 f 。= 国一p 1 。施= 国，p 1 d b a 。m ( 2 1 1 ) 由于虚位移是任意的，等式( 2 一1 1 ) 两边与国。相乘的矩阵应当相等，从 1 2 中南大学硬士学位论文第二章基础理论研究 它实际上是单元各个节点的平衡方程，其系数矩阵k 称为单元刚度矩阵。 ( 4 ) 计算等效节点荷载 实际物体离散化后，离散体系的平衡求解是以节点为单位进行的，力是通过 节点传递的，这有别于连续体。所以，这种作用在单元边界的表面力、体积力或 集中力就需要等效地移到节点上，也就是将体力或面力按照静力等效的原则化成 节点荷载。即： t - 一 国一p f 。= l 国7 黝q ( 2 一1 3 ) 一 q i 其中，p f 为单元的体力等效节点载荷。将式( 2 6 ) 代入上式，并注意到虚 位移的任意性，得： p f 。：f n 7 f 锄 ( 2 一1 4 ) j ( 5 ) 整体分析 集合每个单元的刚度矩阵，并建立结陶的平衡方程，得到总体刚度矩阵。整 体刚度矩阵反映的则是整体力向量与整f # 位侈之州的荚系所以组成整体刚度矩 阵时，可以按照整体位移向量的顺宁对荤厄刚度超i 阵进行运算，得到整体刚度方 程： k a = p ( 2 一1 5 ) 式中：k 整体刚度矩阵； a 整体节点位移向量； p 整体节点载荷向量。 ( 6 ) 数值求解 引入边界条件后，采用直接解法( 如高斯消去法) 或迭代解法( 如超松弛迭 代法) 求解整体刚度方程( 2 1 5 ) ，便可得出各节点位移。求出节点位移后，计算 单元应变、单元应力就非常简单。事实上，只要按照前述分析的步骤，如图2 7 回代求解即可。 ( 6 ) 分析计算结果： 一， l 外载荷 j l j 应力 l d j 应变 1 cl 位移 ： b = c n s = d b k 图2 7 有限元法计算方程之间的传递关系 n i 节点位移l l z 1 - r 一 中南大学硕上学位论文第二章基础理论研究 2 2 3 有限元的优点 有限元能够得到迅速的发展与广泛的应用，一方面是计算机技术的快速发展 提供了充分有利的条件，另一方面，有限元法具有了极大的优越性。综合来说， 有限元法的优点有心池1 ： 1 它能够完成复杂结构的分析，利用离散化将无限自由度的连续问题转变 为有限自由度的计算，虽然它的解是近似的，但适当选择单元的形状于大小，可 使近似解达到令人满意的精度； 2 引入边界条件的方法简单。计算过程中，是在得到整体代数方程后才引 入边界条件，所以其不进入单个有限元单元方程，当边界条件改变时，内部场变 量模型不需要改变，大大简化了计算： 3 有限元法能处理各种复杂的非线性材料问题，另外还可解决非均值连续 介质的问题： - 1 有限元法通采用矩阵表达形式，非常便于编制计算机程序，从而适应子 电子计算札的运算： 5 7 i 袋元法考虑了物体的多维连续性，不仅在离散过程中把物体看成是连 续的，而n 叮以把近似解推广到连续体中的每一点； 2 3 显式动力有限元分析 2 3 1 动力有限元基本方程 动力分析主要研究物体对动力载荷的响应。与静力分析相同，动力问题的有 限元仍将结构视作仅在节点连接的有限个单元的集合体，位移法的基本未知量仍 为节点位移，并采用与静力分析一样的位移函数，且假定形函数与时间亦无关。 离散化时也要考虑网格的疏密、不连续处的自然分割、结构对称性的利用等。其 单元分析、整体分析的过程也完全与静力分析类似，但动力分析也有其自身的特 点：o 当物体受到动力载荷作用的时候，结构内的位移场将随时间变化而变化，因 此速度，应力，应变也均与时日j 有关。这时必须考虑两种形式的分布体力，一种 为惯性力，另一种为阻尼力，二者均与运动方向相反。 ( 1 ) 惯性力的等效节点载荷 惯性力由结构的加速度引起。则掘达朗贝尔原理，设物体的密度为p 单元内 单位体积上作用的惯性力为： 1 4 中南大学硕士学位论文第二章基础理论研究 = 一面= 一硝五 = 叫= 一例a ( 2 1 6 ) 其中，下标f 表示惯性，变量上面的“一表示对时间求导数，u 、n 及a 。分 别表示单元任意点位移、单元形函数及单元节点位移，和上一节的定义完全相同， 以下不再说明。 代入等效节点载荷公式( 2 一1 4 ) ，可求得惯性力的等效节点荷载： p i 。= f i l 7 f i d q = 一f 加7 n 麟。 壶 孑 ( 2 一1 7 a ) 或 p ；。= _ m 。茬。 ( 2 1 7 b ) 其中m 。为单元质量矩阵，即 m r ：f p n r n d ! q ( 2 一1 8 ) j ( 2 ) 阻尼力的等效节点载荷 阻尼力由很多方面产生变形材料的内部哮擦、所通过的粘性流体的运动及 其它物体的干摩擦都能产生鼠腥力。通常m 尼力与位移变化速率不是线性关系， f l l 是通常假设阻尼力正比于运动速度比例常数为c ，则单元单位体积上作用的 阻尼力可表示为： l = 一f 加= 一f 蒯a 。 ( 2 1 9 ) 其中的下标d 表示阻尼，阻尼力的等效节点荷载为： p d 。= j n r 施= 一p 7 n 黝。 ( 2 2 0 a ) 旺谨 或p 。= c 。a 。 ( 2 2 0 b ) 其中c 。为单元阻尼矩阵，即 c 。= cp7 n m = 枷。( 2 _ 2 1 ) q r ( 3 ) 动力有限元方程的建立 由以上分析性可知，动力分析时除了考虑静力分析时所作用的载荷外，还需 考虑惯性力与阻尼力的作用。对动载荷，可采用式( 2 一1 3 ) 将其转换成等效节点 载荷。采用直接继承法，将上述三种等效节点载荷集合成整体节点载荷向量。如 果是直接作用在节点上的集中动载荷，则可将其直接施加到相应的节点上。此时， 用p 表示外部动载荷产生的整体节点载荷向量则总的整体节点载荷向量为 一脆一c a + p 。将虚位移原理应用于整个结构，便可得到如下方程： k a = 一m 五一c a + p即m 若+ c a + k a = p( 2 2 2 ) 此即为动力学有限元方程式。 中南火学硕：仁学位论文第二章基础理论研究 2 3 2 显式动力积分算法 在数学上，式( 2 2 2 ) 是一个二阶微分方程组。如果考虑物体在有限元系统 在，+ ，时刻的平衡，就有下式口盯 m 冱。+ a t + c a t + t + k a t + a t = p t + a t ( 2 2 3 ) 式( 2 2 3 ) 是一个非线性的微分方程组，需采用隐式积分解法求解。但如果式( 2 2 2 ) 是一个常系数的微分方程组，便可以用任何一种适当的差分格式通过位移来近似 表示速度及加速度，使它成为未知变量u o + & ) 的显式线性方程组，从而可直接 解出u ( r + ，) 。考虑物体有限元系统在t 时刻的平衡，就可以得到心5 1 。 ( 1 ) 隐式算法 隐式算法的形式如下汹1 d 川= 厂州，i ；州，d 。，) ( 2 2 4 ) d 川表示当前时l b j 需要求解的方程，但这在当前时间段内是未知的，很明显这将 使求解变得复杂：该算法由刀= o 时为初始条件开始求解的，但必须事先估计d 川， 然后再进行霞复迭代，通过一系列线性逼近( n e w t o n r a p