（应用数学专业论文）对称hamilton系统的余切丛约化理论及其应用.pdf

摘要 摘要 自然界大多数力学系统都有某种对称性自经典力学起，力学系统的对称性已 经开始用于对其动力系统的研究上对称性必然联系到某种守恒量约化理论即是 利用具对称性的系统的某种守恒量对系统进行约化m a r s d e n 等学者发展的现代 约化理论，利用力学系统上的李群作用生成的相关动量映射来刻画系统的守恒量， 在保持相关性质的前提下，将原有力学系统约化成新的较简单的约化力学系统从 力学角度讲，余切丛是最重要的一类辛流形，多数经典力学系统的相空间都是余切 丛s m a l e ，a r n o l d ，a b r a h a m ，m a r s d e n ，p e r l m u t t e r , 等众多学者的工作发展完善余切丛 约化的相关理论 本文分为如下几个部分： 第一部分介绍了约化理论的相关基础，给出了辛流形，李群，李群作用，h a m i l t o n 向量场，动量映射等基本概念和性质，其中动量映射是现代约化理论的基本工具，而 关于主联络和曲率的相关知识是后面的嵌入余切丛约化理论的关键最后给出了 辛点约化和辛轨道约化两个基本辛约化定理 第二部分着手余切丛约化，给出了两种不同的余切丛约化方法，嵌入余切丛约 化和丛余切丛约化，将约化的余切丛空间映射到某个辛结构上其中嵌入余切丛约 化给出了约化余切丛与某个辛流形的嵌入关系，丛余切丛约化则将约化的余切丛 辛微分同胚到一个丛结构上 第三部分通过空间旋律群s o ( 3 ) 作用于自身的余切丛上的例子，详细的阐述了 这两种方法的应用，验证了它们的有效性 关键词余切丛辛约化理论李群作用对称h a m i l t o n 系统 a b s t r a c t a b s t r a c t s y m m e t r i e sa r eu n i v e r s a lp h e n o m e n ai nt h en a t u r ep h y s i c a ls y s t e m s t h eu s e o ft h es y m m e t r i e so fp h y s i c a ls y s t e m si nt h es t u d yo ft h e i r sd y n a m i c sc a l lg ob a c k t ot h eh i s t o r yo fc l a s s i c a lm e c h a n i c s s y m m e t r i e sa r ea l w a y sr e l a t e dt oc e r t a i nc o n s e r v e dq u a n t i t i e s r e d u c t i o nt h e o r ya r em e t h o d so fr e d u c i n gad y n a m i c a ls y s t e mw i t h s y m m e t r yi nu s eo fc e r t a i nc o n s e r v e dq u a n t i t i e s t h em o d e r nt h e o r yo fr e d u c t i o nt h a t d e v e l o p e db ym a r s d e na n do t h e rs c h o l a r sr e d u c eao r i g i n a ls y s t e mt oas i m p l e rs y s t e m w h i c hw ea l w a y sc a l l e dr e d u c e ds y s t e ma n dw i l li n h e r i t st h es t r u c t u r eo ft h eo r i g i n a l o n e f r o mt h ep o i n to fv i e wo fm e c h a n i c s ，c o t a n g e n tb u n d l e sa r et h em o s ti m p o r t a n t s y m p l e c t i cm a n i f o l d ss i n c et h e ya r et h ep h a s es p a c e sf o rm o s tc l a s s i c a lm e c h a n i c a ls y s - t e m s m a n yf a m o u ss c h o l a r s ，s u c ha ss m a l e ，a m o l d ，a b r a h a m ，m a r s d e n ，p e d m u t t e r a n ds oo n ，h a v em a d ee x c e l l e n tc o n t r i b u t i o nt ot h ec o t a n g e n tb u n d l er e d u c t i o n t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u r p a r t s ： t h ef i r s tp a r ti n t r o d u c e sr e l e v a n tb a s i cf a c t so nr e d u c t i o nt h e o r y , s u c ha ss y m - p l e c t i cm a n i f o l d ，l i eg r o u pa n dl i eg r o u pa c t i o n ，h a m i l t o n i a nv e c t o rf i e l d ，m o m e n t m a p ，a n ds oo n ，i nw h i c hm o m e n tm a pi sab a s i ct o o li nm o d e r nr e d u c t i o nt h e o r y i t a l s oi n t r o d u c e sp r i n c i p a lc o n n e c t i o na n dc u r v a t u r ew h i c hw i l lb eu s e di nt h ee m b e d - d i n gv e r s i o no fc o t a n g e n tb u n d l er e d u c t i o n a tl a s t ，t h e r ea r et w os y m p l e c t i cr e d u c t i o n t h e o r e m ，p o i n tr e d u c t i o na n do r b i tr e d u c t i o n t h es e c o n dp a r ti sd e d i c a t e dt oc o t a n g e n tb u n d l er e d u c t i o n i tg i v e st w od i f f e r e n t v e r s i o n so fc o t a n g e n tb u n d l er e d u c t i o n ，n a m e l ye m b e d d i n gv e r s i o na n db u n d l ev e r s i o n t h ee m b e d d i n gc o t a n g e n tb u n d l er e d u c t i o nt h e o r e mg i v e sae m b e d d i n gm a pb e t w e e n t h er e d u c e dc o t a n g e n tb u n d l ea n dac e r t a i ns y m p l e c t i cm a n i f o l d i nb u n d l ev e r s i o n ，w e r e d u c ec o t a n g e n tb u n d l e si n t oac o a d j o i n to r b i tb u n d l e i nt h et h i r dp a r t ，w ea p p l yt h et w om e t h o d si na ne x a m p l eo fc o t a n g e n tb u n d l e r e d u c t i o n ：s o ( 3 ) ，t h er o t a t i o n si ns p a c ea c t so ni t sc o t a n g e n tb u n d l e ，i nw h i c hw e v e g o t t e nc o n c r e t er e s u l t s ，a n df o u n dt h et w om e t h o d sa v a i l a b l e k e y w o r d sc o t a n g e n tb u n d l es y m p l e c t i cr e d u c t i o nt h e o r y l i eg r o u pa c t i o nh a m i l 一 a b s t r a c t t o n i a ns y s t e mw i t hs y m m e t r y l l l 符号说明表 ( m ，u ) ( t 4 m ，q 一) e n ( m ， ，) g g 奉 圣：g m _ m m g m a d 9 a 一- g b g 口 p g 丑a x 吒 r 4 ( q ) ( k ) 1 3 ( q ) ( x q ，k ) 百：= qx gg j ：m _ g + 心：= d - 1 ( 弘) g 卢 m o s 0 ( 3 ) 符号说明表 辛流形，其中u 是一个闭的非退化的2 形式 余切丛，其中q 伽；是其上典则辛形式 余切丛的典则1 形式，也称l i o u v i l l e 形式 p o i s s o n 流形 李群g 的李代数 李群g 的李代数9 的对偶 流形m 上的李群作用 与相应的无穷小生成子 点m 的迷向子群 李群g 在g 上的伴随作用 李群g 在9 4 上的余伴随作用 点“的余伴随迷向子群 点弘的迷向子代数 余伴随轨道 挠积 与h 相应的哈密顿向量场 哈密顿向量场的流 联络 曲率 伴随丛 动量映射 流形m 的口点约化空间 流形m 的过“点轨道约化空间 空间旋转群 v 南开大学学位论文原创- i 生声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 2 0 年月日 南开大学研究生学位论文作者信息 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百。下匕 1 1引言 自经典力学建立起，物理系统的对称性即已用于研究其自身动力系统对称性 总是会关联到某些守恒量经典力学时代的学者们已经开始用守恒量来消除所研 究系统的自由度结点的j a c o b i 消去法即是其中的一个重要结论 上个世纪初，n o t h e r 形式化了对称性与运动守恒量间的密切联系，他将体现出 系统对称性的李代数作用，关联起一个从相空间到李代数的对偶空间的映射，其水 平集在对称系统动力学下保持不变这就是我们现在用到的动量映射 a r n o l d 于1 9 6 6 年发表了”关于有限维李群的微分几何及其在完美流体的流体 力学上的应用”( 参见 3 】) ，其中研究了构形空间是李群的系统；s m a l e 于1 9 7 9 年发表 的”拓扑与力学”( 参见 2 7 1 ) 中，关注相对平衡点的分叉问题现代约化理论的发展由 此开始 综合a r o n l d 的李代数约化方法和s m a l e 关于交换群的余切丛约化方法，m a r s d e n 和w e i n s t e i n 于1 9 7 4 年发表了”带对称性的辛流形的约化”( 参见【1 7 】) ，完整的给出 了利用等变动量映射对辛流形进行约化的理论这篇论文在现代约化理论发展过 程有着非常重要的意义，从此现代约化理论逐渐系统起来并成为数学研究中一个活 跃领域随后，l a g r a n g e 约化，h a m i l t o n 约化，切丛和余切丛约化，半直积约化，奇异约 化都逐渐发展完善起来，并开始应用到刚体力学，流体力学，弹性力学，量子力学，以 及控制论等等各种相关领域中。 余切丛约化在约化理论中有着非常重要而基础的地位s a t z e r 于1 9 7 7 年发表 的”交换群作用下不变的力学系统的典则约化及它到天体力学上的一个应用”( 参 见【2 4 】) 一文中，研究了余切丛约化中的最简单的情肛零动量值约化，即弘= 0 时t + q 的约化。其结论见本文引理3 1 1 。零动量值约化有时也会被称为是零点 约化。在这之前的1 9 7 0 年，s m a l e 的”拓扑与力学”( 参见 2 7 】) 中研究了可交换李群 作用下的余切丛约化。该结论是引理3 1 2 中的一种情形。余切丛在非交换李群作 用下，在任意动量值处的约化首先见诸a b r a h a m 和m a r s d e n 于1 9 7 8 年出版的”力学基 础”( 参见【1 】) 一书中。1 9 8 1 年k u m m e r 的”带对称性的h a m i l t o n 系统的约化相空间的 第章绪论 构造”( 参见【1 7 】) 一文中首次以联络的形式来理解该结论，这个联络，现在称之为 力学联络，其定义方法在本文2 3 节中给出，具体定义见式( 2 3 1 ) 。 1 2 本文的主要工作 本文主要介绍了对余切丛进行约化的两种方法 其中第一部分( 第二章) 介绍了约化理论的相关几何与力学基础，给出了辛流 形，李群，李群作用，h a m i l t o n 向量场，动量映射等基本概念和性质，动量映射做为刻 画系统对称性的一种方法，是现代约化理论的基本工具其中我们特别给出了主联 络和曲率的相关知识，和伴随丛的相关内容，是后面的嵌入余切丛约化理论的关键 最后给出了辛点约化和辛轨道约化两个基本辛约化定理，并给出辛点约化定理的 一个特别的情况_ 李群作用于李群本身的余切丛时的约化 第二部分( 第三章) ，也即本文的主要内容，我们用两个定理给出了两种余切丛 约化方法，嵌入余切丛约化和丛余切丛约化，并分别具体的给出了约化的余切丛的 辛结构，及其约化辛形式的计算方法其中在嵌入余切丛约化( 定理3 1 1 ) 中，将余切 丛的弘点约化空间辛嵌入到一个辛流形 t + ( q g “) ，n b 灶) 上，同时在某些条 件满足的情况下，它会是个辛微分同胚进一步的，在某些情况下这个嵌入的像是 t + ( q g 口) 中的一个向量子丛在丛余切丛约化( 定理3 2 1 ) 中，我们给出了约化余 切丛的丛结构，余切丛的弘点约化空间辛微分同胚于丛 t + ( q g ) x q c0 ，q 一) 注意到丛余切丛约化理论刻画了约化余切丛的丛结构 第三部分( 第四章) 用这两种方法来具体计算空间旋转群s o ( 3 ) 作用于自身的 余切丛t 4 s o ( 3 ) 下的约化 2 第二章相关基础 第二章相关基础i l i 弟一早个日大荃田 这一章开始我们来介绍余切丛约化的相关背景知识，以及两个辛约化定理其 中第一节和第二节是关于辛流形与李群作用的相关知识，第三节中我们介绍嵌 入余切丛约化定理( 定理3 1 1 ) 将要用到的主联络与曲率的相关内容第四节，我们 给出与约化理论密切相关的动量映射的概念，以及两个辛约化定理( 定理2 4 1 ，定 理2 4 2 ) 其中的一些详细介绍与证明可以参考 1 】【2 】【4 】 5 】【6 】 7 】【8 】 1 0 1 1 】 1 2 】【1 3 】 1 6 】 1 7 】 1 8 】 2 0 】【2 3 】 2 7 儿2 8 】【2 9 1 2 1 辛流形与h a m i l t o n 向量场 余切丛是个辛流形这一节我们给出了辛流形，p o i s s o n 流形以及其上的h a m i l t o n 向量场的相关概念与性质，相关文献可以参考【l 】【1 0 】【1 1 】【1 6 】【2 7 】【2 8 】 2 9 定义2 1 1 f 辛流形) 若流形m 上有这样的微分形式u 满足? 对任意一点m m ，皆是m 的辛结构f 非退化2 形式j ，并且d w = 0 f ，闭的2 形式j ，则称叫是 流形m 上的一个辛结构，并称( m ，叫) 为辛流形 辛流形必然是偶数维的它同时也是可定向的，可以取它的辛形式u 的d i m m 2 阶外积幂，即0 ) d i m m 2 做为其自身上的一个体积元 任意一个向量空间y ，设y 表示其对偶空间它们的乘积空间v v 是个辛 空间，其上的典则辛形式u 定义为 u ( ( u 1 ，q 1 ) ，( v l ，o l i ) ：= ( q 2 ，7 3 1 ) 一( 0 1 ，v 2 ) ( 2 1 1 ) 定义2 12 ( d a r b o u x 坐标) 设( m ，u ) 是2 礼维辛流形，对任意点m 以存在m 点 附近的坐标卡( 阢妒) ，使得对任意名以垆( z ) = ( q 1 ，q n ，p 1 ，) 辛形式可记 为u l u = e d q ad p i 使得u 形如d q iad p i 的坐标卡，即称为d a r b o u x 坐标卡或者 典则坐标卡 命题2 1 1 余切丛是一个辛流形 设m 是个扎维流形，在m m 点附近取局部坐标卡( q 1 ，q n ) 因为( 由1 ，d g n ) 是焉m 上的一组基，于是可以将任意的q t q q 写成q = 鼽幽形式，从而在 3 第二章相关基础 t q 上定义了一个诱导的局部坐标卡( 9 1 ，q n , p 1 ，矿) 定义t + q 上的一个2 - 形式= d 口la 觑它显然是个闭2 形式此外还可以证明不依赖于坐标局部坐标 卡( 9 1 ，矿) 的选取其实它就是焉m 上的一个典则辛形式有时也称它是余切 丛的标准辛形式 余切丛的这个典则辛形式也可以如下构造，它们是一致的其中具体的计算细 节可以参考 1 6 1 第六章的6 1 节和6 2 节 定义2 1 3 f 余切丛的典则辛形式) 设m 是一个光滑流形，其余切丛t m 到m 的 投影记为7 r m ：t + m m 我们首先定义p m 上的典则j 形式，对任意p t + m ， 坳乃( 丁+ m ) ? e 。口n ( p ) ：= ( p ，t j o i r m v f l ) ( 2 1 2 ) 从而p m 上的典则辛形式q 一定义为q n = 一d e n 余切丛的典则1 形式在有些文献( 例如 8 】) 中也称为l i o u v i u e 形式 后面余切丛的辛形式皆取为这个典则辛形式 下面来给出p o i s s o n 括积与p o i s s o n 流形的相关内容 定义2 1 4 f 函数的p o i s s o n 括积) 设f ，g c ( m ) ，它们的p o i s s o n k 舌积, , , ，9 ) c 。( m ) 定义为 夕) ( 仇) = w ( m ) ( x l ( m ) ，k ( m ) ) = k f l ( m ) = 一鼍b 】( m ) ( 2 1 3 ) 在典则坐标中，p o i s s o n 括积形如 ，夕) = 墨。( 鬈鲁) 一( 鲁器) 定义2 1 5 ( p o i s s o n 流形) 流形尬若在c ( m ) 上存在一个双线性算子 ，) ，使 ( c o 。( m ) ， ，) ) 成为李代数r l e i b n i z 巨等式对双线 生算子 ，) 成立，则称( m ， ， ) 是 个p o i s s o n 流形同时称( c o o ( m ) ， ，) ) 为而妇，z 代数 p o i s s o n 流形上可以定义一个可以粗略得看成是类似于辛流形上的辛形式u 的 协变反对称2 张量b a 2 ( 丁+ m ) ： 定义2 1 6 ( p o i s s o n 张量与特征分布j 定y p o i s s o n 流形m 的p o i s s o n 张量为m 上 的一个协变，反对称2 - 张量b a 2 ( t m ) ? b ( m ) ( q m ，风) = ，g ) ( m ) ( 2 1 4 ) 4 第二章相关基础 其中够m ) = q m 焉m ，d 9 ( m ) = 风焉m 于是存在自然相关于b 的向量丛映射b # ：t 4 m t m b ( m ) ( q m ，风) = ( q m ，b 4 ( 风) ) ( 2 1 5 ) 称d ：= 剖( t + m ) ct m 为助括s d n 流形的特征分布 定义2 17r 辛映鼽p o i s s o n 映射j 辛流形( 尬，u 1 ) ，( m 2 ，忱) 间的光滑映射妒： 舰_ m 2 称为辛的或是典则的，若 妒+ 0 3 220 3 1 p o i s s o n i j 栅( 蝇，_ ，) ) 和( ， ，) ) 间的光滑映射垆：m 1 一称为助锄，z 映 射，若对m 2 中任意光滑映射见 t q oox h 。妒= 溉。p 关于辛映射有一个非常有用的事实：辛映射是浸入的，同维辛流形间的典则变 换是局部微分同胚 下面给出辛流形和p o i s s o n 流形上的h a m i l t o n 向量场的相关概念 定义2 18f 函数的胁胁跏以向量场) 辛流形( m ，u ) 上的h a m i l t o n 函数m l 勺 h a m i l t o n 向量场x h , y f ( m ) 定义为 i x h w = d h ( 2 1 6 ) 类似的，p o i s s o n 流形( m ， ，) ) 上的胁m 泐咒函数h 的胁m f 加，l 向量场定义为 x h = ， ) ( 2 1 7 ) 记辛流形( m ，u ) 上的h a i n i l t o n 向量场集合为x h ( m ，u ) 易见，x 戈日( m ) ， 当仅当1 形式奴m 是恰当形式 定义局部h a m i l t o n l 向量场为1 形式奴m 仅是闭的1 形式的向量场x ，并记局部 h a m i l t o n 向量场的集合为芏埘( m ，u ) x x l h ( m ，u ) ，当仅当l p x m = 0 5 第二章相关基础 事实上，x h ( m ，u ) 是x l h ( m ，u ) 的一个理想 辛流形上的向量场x 笺埘( m ，u ) ，当仅当x 的流r 是由局部辛微分同胚 构成的即对r ：d o r a ( f , ) _ f d d o m ( r ) ) ， 巧叫l r ( d 帆( r ) ) = u l d 帆( e ) 定义2 1 9 p o i s s o n 流形( m ， ，) ) 上的向量场x 戈( m ) 被称为? ( i ) 无穷t j 、p o i s s o n 自同构，若它的流r 是由局部p o i s s o n 映射构成的，即，若尻在 固定值亡点的定义域为d o m ( f t ) ，则对任意的，9 c ( e ( d d m ( e ) ) ) ，映射r ： d o m ( f t ) _ f t ( d o m ( f t ) ) ，满足 露( ，夕 i r ( d m ( r ) ) ) = ，or ，9 oe ) l d 。m ( r ) ( m ， ，】) 上所有无穷小p o i s s o n 自同构的集合记为x l p a ( m ) ( i i ) 局部h a m i l t o n 向量场，若对任意z 脱存在一个开邻域和一个光滑函 数，c ( 以) ，使得 x u z = x f ( m ， ，) ) 上所有局部h a m i l t o n 向量场的集合记为x l h ( m ) ( 溉) 胁珊跏刀向量场，若存在c 函数，c 。o ( m ) ，使得 x = x s ( m ， ， ) 上所有h a m i l t o n 向量场的集合记为芏抒( m ) 光滑向量场x 戈l p a ( m ) 当仅当x 是尸d 如s d ，z 代数( c o 。( m ) ， ，) ) 的一个导子，即 对任意的厂，9 c 。0 ( m ) ， x ，9 】= x 月，夕) + ，x 9 】 ， 也即玖b = 0 下面这个定理给出 p o i s s o n 流形结构与辛流形间的关系 定理2 1 1 f 辛叶面结构定理) 设( m ， ，) ) 是尸d 厶彻，l 流形，d 是相关特征分布，则d 是 个光滑可积的广义分布且其极大积分叶构成了一个广义叶面结构，将m 分解成初 始子流形2 ，其中每一个子流形都关于使包含映射i ：2 一m 成为一个p o i s o n 映 射的唯一辛结构是辛的，即乡是f | m ，) j 的一个尸d 缸伽子流形 文献 2 2 】的4 1 2 8 中给出了其详细证明 6 第二章相关基础 2 2 李群作用 本文的约化主要是p r o p e r 李群作用下的约化这一节中我们来给出关于李群与 李群作用，轨道空间，p r o p e r 李群作用，挠积等相关概念与命题并给出管道与切片定 理，它们在辛约化定理的证明中是极重要的工具本节还给出了的一种重要的辛结 构：余伴随轨道的定义与其辛形式这一节内容主要参考【4 】【5 】【7 】【2 3 1 定义2 2 1 f 李群) 一个光滑流形g ，若存在一个光滑算子：gxg _ g ，使它 同时也是一个群，则称g 为李群 记弘( 夕，) = l g , 弘( ，g ) = r g ，分别称为李群的左变换和右变换 李群g 上的向量场x 芏( g ) 称为左不变向量场，若i l * g x = x 左不变向量场 空间记为芏l ( g ) 李群的任意左不变向量场都是完备的 李群的左不变向量场空间与切空间正g 间存在一个同构关系： x x l ( g ) hx ( e ) 疋g ； g x l ( g ) 其中已( 夕) = t e l g 定义2 2 2 f 李群的李代数) 在切空间正g 上定义括积陪，r 】：= 彘，钆 ，则正g 成 为一个李代数，记为g 定义2 2 3 f 指数映射j 定义李群g 的指数映射e x p ：g _ g , e x p = c ( 1 ) ，其 中“砂是已芏l ( g ) 的初始条件为c ( o ) = e 的积分曲线 指数映射是光滑映射，并且定义了g 上原点的一个开邻域与g 上恒等元的某开 邻域之间的微分同胚 定义2 24f 伴随映射与伴随表示序! 群g 的伴随映射a d ：g _ e 佗d ( g ) 定义为 a d ( g ) = ( l go 正( b ) - 1 ) ( e ) ：正g _ 正g 它同时也是一个线性表示a d ：g _ g l ( 9 ) ，称为伴随表示 7 第二章相关基础 定义2 2 5 r 李群作用，设g 是一个李群，m 是一个流形，定义g 在m 上的r 左j 作 用为这样一个光滑映射圣：g m _ m ，满足 ( ) 对任意z 尬西( e ，z ) = 乞 ( i i ) 对任意g ，h g , z m ，西( 夕，圣( 愚，z ) ) = 圣( 夕危，z ) 一般简记为夕z = 西( 9 ，z ) = 呜z ) = 圣。( g ) 下面是两个重要的李群作用： 定义2 2 6 r 伴随作用和余伴随作用j 算子a 吨：= 疋厶：g g 定义了g 上的一 个g 一作用，即 a 如：g 9 一g ( g ，) ha 也， 称之为伴随作用； 伴随作用的对偶a 蝣：g + 一9 4 类似的定义了g + 上的g 一作用，即 圣：g g _ g + ( g ，u ) h4 蟛一v 称为余伴随作用 定义2 2 7 r 群作用的切提升和余切提升j 设西：g m _ m 是流形m 上的一 个光滑李群作用，这个群作用的切提升作用是如下定义的切丛t m 上的g 一作用? gxt m_ t m ( 夕，) h 吼 群作用的余切提升作用定义为余切丛丁+ m 上的g 作用? g t + m _ t + m ( g ，q m ) h 7 茹圣9 一oq m 定义2 2 8 f 无穷小生成元j 群作用圣：gxm _ m 下，关于g 的无穷小生 成元知芏( m ) 是这样一个向量场? m ( m ) ：= d t = o f f 2 e x p t ( m ) = e 圣m ( 2 2 1 ) 第二章相关基础 无穷小生成元锄是个完备的向量场锄的流为( 亡，m ) he x p t m 进一步 地，映射专ghf m 形( m ) 是一个李代数反同态，即对所有的a ，b r ，叩g ， ( i ) ( n + 5 , 7 ) m = o m + 6 刀m ， ( i ) 畦，叩】m = 一翰，卵m 】 将( 仇，) mxgh 锄( m ) t m 称为m 上g 的一个李代数( 右) 作用，或是无 穷小作用，称为李群作用的相关李代数作用 定义2 29f 迷向子群和轨道) 定义g 作用下点m m 的迷向子群为 g m ：= 9 c 1 圣9 ( m ) = m ) c g 定义g 作用下点m m 的的轨道为 0 i m = g m = 夕m m i g g ) 迷向子群g m 的李代数g m 为 g m = g l 知( 仇) = o ) 特别的，如果我们考虑的是余伴随表示，则p g + 的迷向子群g “称为g 的余伴随迷 向子群它的李代数为 g 弘：= 代g t a d * # = o ， 称为余伴随迷向子代数 称群作用是自由的，如果流形m 在群作用下有且只有一条轨道，即g m = m ； 称这个作用是传递的，如果m 中每一个元素的迷向子群都只包含单位元，即g m = e 定义2 2 1 0 f 轨道空间) 我们将m 在g 作用下的同一轨道中的元素视为等价，在 这个等价关系下的商空间记为m g ，称为轨道空间 轨道空间总是原流形的一个浸入子流形，且若作用李群g 是紧致的，则轨道空 间是个闭的嵌入子流形 这里我们再给出一个重要的轨道结构：余伴随轨道 定义2 2 1 1 r 余伴随轨道j 设一个李群g ，它的肛点余伴随轨道c 九定义为g + 在李 群g 的余伴随作用下的轨道空间? 0 i ：= a d ：一( p ) i 夕g 】= g p ( 2 2 2 ) 9 第二章相关基础 一个李群的余伴随轨道总是辛流形，其上的辛形式可以给出为： 命题2 2 1 f 余伴随轨道的辛形式j 李群g 的余伴随轨道o g + 上，定义 u 士( p ) ( 岛( 肛) ，7 7 0 ( p ) ) = 土( p ，睦，叫) ，弘o ，7 7 g 则它是余伴随轨道p 的辛形式 本文所考虑的大部分李群作用都是p r o p e r l 拘 定义2 2 1 2 ( p r o p e r 李群作用) 设g 是一个李群，并通过映射圣：g m _ m 作 用在流形m 上我们称圣是一个p 唧已作用，如果映射( 夕，z ) h ( z ，g z ) 是尸唧p ，映 射，也即映射的每个紧集的原像都仍是紧第 我们一般这样来证明作用的p r o p e r 性： 对m 中的任意两个收敛序列 m 竹) 和 鲰m ”) ，如果能找到g 中鲰的一个收敛子序 列 9 m ) ，则证明了该作用是p r o p e r 的 紧致李群作用总是p r o p e r 的李群g 的左变换作用于其自身，及其到自身切丛，余 切丛上的提升作用，都是p r o p e r 的p r o p e r 作用的切提升作用和余切提升作用也 是p r o p e r 的 李群作用的p r o p e r 性是一个很强的假设，因为p r o p e r 李群作用具有很多重要 的性质，如下面的定理所示： 定理2 21 设西：g m _ m 是李群g 在流形m 上的一个p r o p e r 用，则 ( i ) 对于任意一个m m ，迷向子群g m 是紧的 ( i i ) 轨道空间叫g 是一个f 砌“砌谚拓扑空间 ( i i i ) 如果作用还是自由的，g , , m c 是- - 个光滑流形，并且典则投影7 r ：m _ m g 在m 上定义了一个光滑左主g 一丛结构 如果群作用是p r o p e r 的，则通过切片定理可以得到一个十分方便的半局部模为 此，我们现介绍下面的概念 定义2 2 1 3 r 挠积j 设g 是个李群，hcg 是个子群假设日左作用在流 形a 上则日在g a 上的挠作用定义为 h ( g ，a ) = ( g h ，h 一1 - o ) ，h h ，g g ，a a 1 0 第二章相关基础 因为日在g 一因子上的作用是自由且p r o p e r 的，所以日在g a 的挠作用也是 自由且p r o p e r 的定义挠积g 日a 为相应于挠作用的轨道空间( g a ) h ( gxa ) h 中的元素记为b ，n 】，其中g g ，a a 并定义挠积g 日a 上的 g 一左作用为9 7 9 ，叫：= b 7 9 ，0 】 挠积gx ha 是一个g 一空间挠积上的g 一作用是p r o p e r 的当且仅当日在 a 上的作用也是p r o p e r 的挠积g 日a 上的g 一作用的迷向子群为g l q ，d j = g h , ，g 一1 ，其中g g ，a a 命题2 2 2 设gx 日a 是一个挠积，k 是g 的一个子群，使得日ckcg 则映射 ：g 日a _ gx k ( k 日a ) g ，叫h g ， e ，叫】 是一个g 一等变微分同胚 与p r o p e r 作用密切相关的，有两个重要的概念：管道和切片下面我们来介绍其 定义与相关的两个重要定理 定义2 2 1 4 f 管道j 设李群g 在流形m 上的作用是尸，1 叩p ，的，m m 且日：= g m 轨道g 仇周围的一个管道是一个g 一等变微分同胚 ：gx ha _ 以 其中u 是g m 的一个g 一不变邻战流形a 上由一个日一作用 因为m 上的g 一作用是p r o p e r 的，所以迷向子群日是紧的，从而日在a 上的作用 是p r o p e r 的，因此挠积gx ha 上的g 一作用也是p r o p e r 的 定义2 2 1 5 r 切片j 设李群g 在流形m 上的作f l e p r o p e r 的，m m 且日：= g m 设限m 的一个子流形，使得m s 并且s = 我们称s 是m 处的一个切片，如 果存在g m 的一个g 一不变开邻域使得g 一等变映射 ：g 丑s _ u b ，s 】hg 8 是g 仇的一个管道注意如果s 是仇处的一个切片，则噶( s ) 是点圣g ( m ) 处的一个切 片 第二章相关基础 定理2 2 2 r 管道定理j 设m 是一个流形，李群g 作用在m 上，并且该作用在点m m 处是p r o p e r 的，日：= g m 则存在关于g m 的一个管道西：g 日b _ 阢b 是一 个日一等变同构于m i r = ( g m ) 的向量空间中d 的一个开日一不变邻战其中日在 该向量空间上的作用为危( v + ( g m ) ) ：= 毗 + ( g m ) 定理2 2 3 r 切片定理j 设m 是一个流形，李群g 作用在m 上，并且该作用在点仇 m 处是尸r o p e r 的，则关于这个g 一作用在m 处存在一个切片 由上面的介绍可见，管道与切片与p r o e r 李群作用下的流形的局部结构关系紧 密事实上，它们是正则辛约化理论研究中的重要工具 下面我们给出典则作用的定义，并相应的给出对称h a m i l t o n 系统的定义。 定义2 2 1 6 f 典则李群作用j 设李群g 通过作用垂：g m m 光滑的左作用 于辛流形( m ，u ) 上，我们称作用圣是典则的，若对任意的m 上光滑映射f ，允有垂= ， 类似的，对李群g 作用 1 = ( g j p o i s s o n 流形( m ， ，) ) ，我们称其为典则或者是尸d i s s o n 配j ，若 对任意的，h c o 。( m ) ，和任意的夕g ，有中： 六 = m ；，西；庇) 定义2 2 。1 7 f 对称h a m i l t o n 统) 我们称觑珊f z 幻以系统( m ， ，) ， ) 是g - 对称的，若 李群g 典则的作用于( m ， ，) ) 上，且砌，l i z 幻珂函数 是g 一不变的，即对任意的m 尬9 g ，h ( 9 m ) = 危( m ) 2 3 主联络和曲率 这一节主要介绍主联络与曲率以及伴随丛的相关内容，并引入了力学联络的 构造它们对后面的嵌入余切丛约化比较重要，因为余切丛约化定理中的磁力项将 会作为一个曲率出现这一部分主要参考了 1 3 】，其中力学联络的构造，见【9 】 设q 是一个流形，李群g 自hp r o p e r 的左作用于其上设7 r q g ：q _ q i g 是 从构形空间q 到形状空间s = q g 的一个丛映射称7 r q ，g ：q _ q i g 为一个主丛 定义2 3 1 f 主联络j 丛丌q ，g ：q _ q g 上的一个主联络是一个李代数值1 一形 式a ：t q _ g ，满足： f 力对任意的f g ，4 ( 白( g ) ) = f ， f f 力对任意的v 正q ，4 ( 五呜( 钉) ) = a 如( 4 ( 钉) ) 1 2 第二章相关基础 定义2 32r 相伴1 一形式j 有了主联络么的定义之后，对任意的p g ，定义相应 的相伴l 一形式o l p 为( g ) = a ( g ) + ( p ) 命题2 31 相伴1 一形式a p 将在j - 1 ( p ) 中取值，并满足g 一等变性质 西；口p = a a 略p 通过主联络，一点的切丛m 被分割成了水平空间与垂直空间的直和： 定义2 3 3 f 水平空间，垂直空间j 对如上主丛，给定联络4 ，则口q 点的水平 空间定义为 峨= v q 毛q i a ( v q ) = o ) ， 垂直空问定义为 k ：= 白( q ) 1 5 g 】 关于水平空间与垂直空间有正q = 凰ok 同时我们称映射 v ghv e r q ( v q ) ：= m ( g ) ( ) 】( q ) 为垂直投影，映射 hh o r q ( v q ) ：= v q v e r q ( v q ) 为水平投影