课件：双曲线及其标准方程.ppt

课堂练习,课后小结,课题,主界面,1,2,教学目的,1.给出双曲线的一个定义2.用坐标法求双曲线的标准方程,(返回主界面),教学重点,1.双曲线的定义2.双曲线的标准方程,(返回主界面),教学难点,1.比较复杂的根式化简问题2.由两个二元二次方程组成的方程组的问题,(返回主界面),8.3双曲线及其标准方程,我们知道,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是一个椭圆.那么,平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是什么呢?,(先返回主界面-再找演示按钮),双曲线的定义:,平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.,主界面,用坐标法求双曲线的方程,如右图建立直角坐标系xOy,使x轴经过F1、F2点,并且点O与线段F1F2的中点重合.,设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c0),那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0)、（c，0）.又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.,由定义知，双曲线就是集合P=M|.,?,?,?,?,|MF1|-|MF2|=2a,主界面,(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).,2c2a,c2-a20,令c2-a2=b2(b0),方程叫做焦点在x轴上的双曲线的标准方程.,双曲线的标准方程,它表示焦点在x轴上的双曲线的标准方程.焦点为F1(-c,0)、F2（c，0），且c2=a2+b2.,它表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程.焦点为F1(0,-c)、F2（0，c），且c2=a2+b2.,主界面,例1已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.,解:双曲线的焦点在x轴上,可设其标准方程为,2a=6,2c=10,b2=52-32=16.所求双曲线的标准方程是,x2/9-y2/16=1.,a=3,c=5.,主界面,例2.已知双曲线的焦点在x轴上,并且双曲线上两点P1、P2的坐标为（3，-4）、（9/4，5）,求双曲线的标准方程.,解:,因为双曲线的焦点在y轴上,所以设双曲线的标准方程为,x2/a2-y2/b2=1(a0,b0).,因为P1、P2为双曲线上两点,所以它们的坐标均适合方程.,将（3，-4）、（9/4，5）分别代入方程中,得方程组,(-4)2/a232/b2=1,25/a2(9/4)2/b2=1.,注意:象这类二元二次方程组,应该怎么样解呢?这是本节的难点.,主界面,例2.已知双曲线的焦点在x轴上,并且双曲线上两点P1、P2的坐标为（3，-4）、（9/4，5）,求双曲线的标准方程.,解:设双曲线的标准方程为,x2/a2-y2/b2=1(a0,b0).,将（3，-4）、（9/4，5）分别代入方程中,得方程组,25/a2(9/4)2/b2=1.,(-4)2/a232/b2=1,令m=1/a2,n=1/b2,则方程组化为,32m-9n=1,25m-81/16n=1.,解这个方程组,得,m=1/16,n=1/9.,于是a2=16,b2=9.所求双曲线的标准方程为,y2/16-x2/9=1.,主界面,例3一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点就在什么样的曲线上?(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s（不同温度下声速是不同的）,求曲线的方程.,解:,(1)由A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.,因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.,(2)如图8-14,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.,设爆炸点P的坐标为(x,y),则,|PA|-|PB|=3402=680,即2a=680,a=340.,又|AB|=800,2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.,|PA|-|PB|=6800,X0.所求双曲线的方程为x2/115600-y2/44400=1(x0).,本例确定了爆炸点所在双曲线的方程,而没有确定爆炸点的位置.受本例启发后,你能想办法确定爆炸点的准确位置吗?,(返回主界面),答案如下:例用A、B这两个不同的观测点可确定爆炸点在双曲线C1上,如果再增设一个观测点C,利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸事件声的时间差，又可以求出另一双曲线C2的方程，,解由C1、C2组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置。,这是双曲线的一个重要应用。,(返回主界面),课堂练习,1.已知方程x2/(2+m)-y2/(m+1)=1表示双曲线,则m的取值范围是_.,解:,a2=2+m0,b2=m+10,m-1;,或者,a2=-(m+1)0,b2=-(2+m)0,m-2,m-1,2.证明椭圆x2/25+y2/9=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.,解:x2/25+y2/9=1,c2=25-9=16,c=4,椭圆焦点为F1(-4,0)、F2(4,0).,x2-15y2=15x2/15-y2/1=1,c2=15+1=16,c=4,双曲线的焦点为F1(-4,0)、F2(4,0).,由上述可知,椭圆x2/25+y2/9=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.,3.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5);(3)焦点在x轴上,经过点.,解：,(1),x2/16-y2/9=1为所求；,(2),设y2/a2-x2/b2=1为所求，,则c=6，,，又a2+b2=62,a2=20,b2=16,所以y2/20-x2/16=1为所求.,3.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(3)焦点在x轴上,经过点,解:(3),设x2/a2-y2/b2=1为所求，,将,代入x2/a2-y2/b2=1,得,所以,x2-y2/3=1为所求.,课堂小结:,1.双曲线的定义:,平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.