（机械电子工程专业论文）非圆齿轮的计算机辅助设计与制造.pdf

摘要 齿轮传动是在机械传动中应用最为普遍的一种传动形式。其中，圆齿轮作为 实现定传动比的传动副应用最广泛，但其却难以满足有些机构( 特别是一些自动 机构) 要求实现变传动比传动。而非圆齿轮则可以传递两轴间的非匀速运动，并 且其在运动学、几何学等方面都具有独特的传动特点，但非圆齿轮尚未得到较为 广泛的应用，主要原因是设计和制造的困难。计算机技术和数控技术在非圆齿轮 的设计和制造中的应用将解决该问题。 本文首先总结、归纳，并全面地论述了非圆齿轮的基本理论。接着建立了非 圆齿轮节曲线和齿廓曲线的数学模型，然后使用m a t l a b 语言编程开发了非圆 齿轮节曲线和齿廓设计的通用模块。本文设计的节曲线模块实现了对给定不同设 计要求的节曲线的自动化设计，包括给定传动比函数、主动轮节曲线或要求再现 函数的情况。该模块功能为，对节曲线的凸性、根切、压力角等参数进行校验， 若各参数都满足正确啮合要求，则对其进行自动化设计计算，生成节曲线图形， 并进行运动模拟。在齿廓曲线设计模块中，本文主要研究了较为常用的椭圆齿轮。 对于椭圆齿轮，给定设计参数，就可以自动计算并绘制齿轮齿廓图形，并进行实 体的运动仿真，直观的展现齿轮副的啮合过程。文中给出了两个模块的运行实例， 并通过测试证明本系统运行稳定、良好，可有效的辅助非圆齿轮的设计和加工。 最后分析比较了非圆齿轮多种加工方法的加工原理及特点，确定了本文设计 的齿轮宜采用3 b 指令通过电火花线切割加工。在加工之前需要对设计的齿廓数 据进行处理。通过比较分析各种插值拟合方法的优劣，确定采用二次逼近的方法 对非圆齿轮的齿廓数据进行拟合，为线切割加工做好准备。 关键词：非圆齿轮m a t l a bc a d c a m 仿真线切割 a b s t r a c t g e a rt r a n s m i s s i o n si st h em o s tc o m n l o nt r a n s m i s s i o nf o r mi n t h em a c h i n e r y t r a n s m i s s i o n a m o n gt h e m ，t h ec i r c l eg e a rt r a n s m i s s i o nh a sb e e nw i d e l yu s e d a sa f i x e d 胁s m i s s i o nr a t i op a i r , b u ti tc a nh a r d l ym e e t t h ed e m a n do fs o m em e c h a n i s m s ( e s p e c i a l l vs o m ea u t o m a t i cm e c h a n i s m ) t h a t c a na c t u a l i z ev a r i a b l et r a n s m l s s l o nr a 1 0 n c i 栅l a rg c a r sc a nr e a l i z et h ev a r i a b l ev e l o c i t y r a t et r a n s m i s s i o n b e t w e e n 铆o a x e s a n dt h e y a l s oh a v es p e c i a lt r a n s m i s s i o n c h a r a c t e r i s t i ci n k i n e m a t i c sa n d 2 e o m e t 吼b u t b e c a u s eo fi t sc o m p l e x c a l c u l a t i o ni nd e s i g n a n dd l f ! f i c u l t m a n u f a c t u r e ，n o n c i r c u l a rg e a r sh a v en o tb e e nu s e dw i d e l y s of a r t h ea p p l i c a t i o no f c o m p u t e rs c i e n c ea n dc n c t e c h n o l o g yi nn o n - c i r c u l a rg e a r sd e s i g na i l dm a n u t a c t u r e w i l ls u r e l ys o l v et h i sp r o b l e m 一 t h i sp a p e rs u m m a i i z e sa n dd i s c u s s e st h e b a s i ct h e o r yo fn o n c i r c u l a rg e a r s ，i t1 s t h ef o u n d a t i o no ft h em a t h e m a t i c sm o l d i n go fn o n - c i r c u l a rg e a r s t h e nd e v e l o p t h e c a d c a ms y s t e mf o rp i t c hc u r v e sa n dt o o t hp r o f i l eo fn o n 。c i r c u l a rg e a r sb yu s l n g m a t l a bl a n g u a g e t h em o d u l e so fp i t c ho l i v e sd e s i g nr e a l i z et h a tw h e n 毋v m g t r a n s m i s s i o nr a t i o nf u n c t i o n ，g i v i n gp i t c hc u r v e so ft h ed r i v i n gn o n 。c i r c u l a rg e 鸥o r r e a l i z i n gaf u n c t i o nf i t t e df o rap a i ro fn o n - c i r c u l a rg e a r s ，c h e c k o u t t h ep a r 锄e t e r m a k ea u t o m a t i cd e s i g no f t h ep i t c hc u r v e s i nt h em o d u l e so ft o o t hp r o f i l ed e s i g nt h e e l l i p s eg e a ri sm a i n l ys t u d i e d p r o g r a mt od e s i g na n dd r a wt h ef i g u r eo ft h e t h p r o f i l e r e a l i z et h es i m u l a t e dm o t i o nt h r o u g hp r o g r a m m i n g e x a m p l e sa r e e n 士o r t h eb o t hm o d u l e s ；t h r o u g ht e s tw ec a l lk n o wt h i ss y s t e mc a r r i e so u tc o r r c c t l y a n d s t e a d i l v i tw i l la i dt h ed e s i g na n dm a n u f a c t u r eo f n o n 。c i r c u l a rg e a r se f f i c i e n t l y f i n a l l y a n a l y s i s a n dc o m p a r et h em a i nm a n u f a c t u r em e t h o d s ，d e c i d e t o m a c h i n i l l gn o n c 栅l a rg e a r su s i n gl i n e a rc u t t i n g ，3 bi n s t r u c t i o n i su s e dt om a k et h e m a c h i n i n gc o d e d a t ap r o c e s s i n g i sn e e d e db e f o r em a c h i n i n g c o m p a r e t h em e t h o d s o fi n t e r p 0 1 a t i o na n df i t t i n g c h o o s et h eq u a d r a t i ca p p r o x i m a t i o nt of i t t i n g t h et o o t h p r o f i l ed a t a ，t h a ti sf o r t h e l i n e a rc u t t i n go fn o n 。c i r c u l a rg e a r s k e yw o r d ：n o n c i r c u l a rg e a r s m a t l a bc a d c a m s i m u l a t e l i n e a rc u t t i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他为获得玉 洼王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：鸯勾妮签字日期：弦。踔，月oe t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解云洼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权云洼工些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：奄密妮 刷币签轹7 友 签字日期：砂g 年f 月口e l 签字日期：m 年r 月铲e t 学位论文的主要创新点 一、在非圆齿轮理论建模的基础上，基于m 棚a b 语言进行了非圆齿轮节曲线 与齿廓的通用模块设计。 二、节曲线设计模块可以在以各种不同形式给出设计要求时，准确无误地设计计 算非圆齿轮并对其进行运动仿真；齿廓设计模块主要研究了较为常用的椭圆 类齿轮，该模块实现了根据要求计算、绘制椭圆类齿轮，并进行啮合仿真。 三、对于所设计的齿轮的制造，本课题选用电火花线切割加工。加工前，须对齿 廓的原始数据进行一定的插值拟合处理，本文通过对不同插值拟合方法的分 析比较，确定采用适合非圆齿轮的二次逼近法进行拟合，即先用三次样条插 值，作一次逼近；再采用双圆弧拟合进行二次逼近。其拟合曲线光滑，并且 精度高。减小了从设计到加工的误差。 第一章绪论 第一章绪论 非圆齿轮( n o n c i r c u l a rg e a r s 或n o n c i r c u l a rg e a r s ) 是一种变传动比的齿轮机构， 而目前应用最多的圆形齿轮则是实现定传动比的齿轮机构。当某些机械( 特别是 自动机械) 要求变传动比传动时，单一的圆形齿轮就难以满足这种要求了。 非圆齿轮由于在运动学、几何学方面独有的特点，能够实现主、从动件转角 问的非线性关系，即变传动比传动。通常可以实现这种非线性关系的机构还有连 杆机构、凸轮机构，而非圆齿轮机构与这两种机构相比，具有结构紧凑、传动平 稳、运转可靠，可精确实现任意变速运动规律等明显优点1 1 1 。 非圆齿轮技术的设想最初是在3 0 年代由德国一位机械专家提出，这项高科 技技术一直成为世界机械学家研究攻关的热点，但由于其设计复杂，制造困难， 半个世纪以来未能得到广泛应用，在实际中应用最多的变传动比机构仍是凸轮机 构和其它一些连杆机构。随着计算机技术、数控技术及洲c a m 系统的日益 发展，使非圆齿轮的设计、制造水平产生了质的飞跃，非圆齿轮的设计和制造将 不再是一个难题，非圆齿轮必将在新世纪的各种轻、重机械中得到更加广泛的应 用。 1 1非圆齿轮的发展状况概述 齿轮传动作为应用最广泛的一种传动机构，其历史可以追溯到3 0 0 0 多年前， 而非圆齿轮的发展和应用远远落后于圆形齿轮，大约1 9 世纪在欧洲，才有人提 出非圆齿轮的设计，并制造出非圆齿轮模型，1 8 5 6 年，荷兰产立车的刀架快回 机构中，采用了非圆齿轮【羽。1 9 1 0 年，d u n k e r l e y 在他的著作m e c h a n i s m ( 机构) 一书中描述了用卵形齿轮做成的泵，这是一部较早提及非圆齿轮的著作，而此时 非圆齿轮尚未真正应用于实际1 3 1 。非圆齿轮的发展经历了一个跌宕起伏的历程， 可以将之分为三个阶段： 第一阶段：( 1 8 5 6 年2 0 世纪6 0 年代、) 非圆齿轮理论研究阶段； 第二阶段：( 2 0 世纪6 0 年代2 0 世纪8 0 年代、) 非圆齿轮低潮阶段； 第三阶段：( 2 0 世纪8 0 年代至今、l 非圆齿轮应用研究阶段。 2 0 世纪初期，由于机械制造业的发展，对传动机构的要求愈来愈多样化、 复杂化，已有的齿轮传动或其它传动机构很难满足需要。为了实现变传动比传动， 人们突破了传统圆齿轮的局限而发明了非圆齿轮，从4 0 年代末到6 0 年代初，在 第一章绪论 非圆齿轮的理论研究和开发应用方面水平较高的是原苏联和日本等国，其中原苏 联处于世界领先地位。原苏联学者中中李特文在非圆齿轮的理论研究方面有 很深的造诣 4 1 ，特别是在啮合理论的研究方面，取得了许多的研究成果，曾发表 了大量的论文，并编著了非圆齿轮一书。该书的主要内容反映了这一时期原 苏联在这一领域的研究水平1 5 1 。这一时期，非圆齿轮传动技术也有所应用，尤其 是形状简单的椭圆齿轮副。m i l l e r a n dy o u n gg o b l e r 等人在其文献中对此都有论述 1 6 - a 1 。 到了2 0 世纪6 0 年代末到8 0 年代初，受当时设计计算水平和制造加工水平 的限制，在非圆齿轮的加工中，一般使用靠模法或单齿法甚至用铸造法，只能生 产出一些精度不高的非圆齿轮且效率较低，因此限制了它的应用 9 1 。从6 0 年代 末至8 0 年代初，非圆齿轮的发展一直处于低潮阶段。 8 0 年代后，随着计算机技术的发展，特别是c a d c a m 技术的逐渐成熟并 广泛应用，非圆齿轮的研究再度在日本出现研究高潮，以香取英男、山崎隆、太 田浩等为代表的一批日本学者在非圆齿轮的研究领域取得了一批令人瞩目的成 就 1 0 l ，特别是在非圆齿轮加工方面，利用数控技术加工非圆齿轮，取得了突出 的成果，使非圆齿轮加工难的问题得以解决。他们研究的用于非圆齿轮的 c a d c a m 系统，包括自动设计过程、自动检验过程和自动生成数控指令的过程， 实现了从设计到加工的自动化。但该系统所生成的数控指令是用于数控铣床，只 能加工节曲线外凸的非圆外齿轮，而不能加工具有凹节曲线的非圆外齿轮和非圆 内齿轮。为了克服这一问题，同本有关学者又研制了用数控插齿机加工非圆齿轮 的c a d c a m 系统，这种系统可以加工节曲线有内凹的外齿轮和非圆内齿轮。 加工非圆齿轮毛坯可以用数控铣床。除日本外，德国、法国、加拿大等国的学者 在非圆齿轮的研究方面也取得了一些成果。1 9 9 1 年在汉诺威工业展览会上德国 k e t t e r e rg e t r l e b e b a u 公司展示了可用于计算和模拟任何形状和任意传动比的非圆 齿轮和扇形齿轮程序包【1 1 1 【1 2 j 。 我国非圆齿轮传动的研究起步较晚，与国外有一定的差距 1 3 1 。1 9 7 5 年李福 生等人编译了非圆齿轮一书，该书是国内最早全面、系统的介绍非圆齿轮的 著作，对我国非圆齿轮的发展起到了积极的推动作用。1 9 8 1 年李福生等人又编 著了非圆齿轮与特种齿轮传动设计一书，标志着我国在非圆齿轮啮合理论方 面已经迈上了一个新台阶。2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代末，我国的不少学者从不 同侧面对非圆齿轮进行了研究，并取得了一定的研究成果。如国内学者崔希烈、 刘生林、田立俭、徐晓俊、李健生等人，分别从非圆齿轮的齿廓分析、节曲线设 计、重合度计算及实际应用等不同角度对非圆齿轮传动技术进行了深入的研究 1 4 - 1 7 1 。随着计算机技术的迅猛发展，胡恩楚、孙文磊、丁国富等学者利用计算 2 第一章绪论 机技术，对非圆齿轮传动的设计、模拟仿真作了探讨。1 9 9 6 年吴序堂、王贵海 编著的非圆齿轮及非匀速比传动一书是在总结国内外先进经验和技术的基础 上而成的非圆齿轮专著，它全面反映了近年来非圆齿轮的研究成果，广泛介绍了 非圆齿轮的各种实际应用，标志着我国在非圆齿轮传动理论，尤其是在应用方面 迈上了一个新台阶1 1 2 非圆齿轮的特点及应用 1 2 1 非圆齿轮的特点 非圆齿轮可以认为是圆齿轮的一种变形，即其滚动节圆已变为非圆形，称之 为节曲线 1 s l 。非圆齿轮的节曲线通常是按照要求的传动比函数关系精确设计的。 非圆齿轮兼有凸轮及齿轮两者的优点：既能实现凸轮的变速传动且易于控制，又 能实现齿轮的精确高效传动，因此非圆齿轮是一种集成化的机械元件。非圆齿轮 不仅可以代替传统的凸轮、连杆变速比结构，而且具有传统机构不可比拟的优点： 1 ) 非圆齿轮结构紧凑且传动平稳、可靠、刚性好、容易实现动平衡等。 2 ) 用非圆齿轮来实现按一定规律的变速传动，易于实现，而且还可以实现函数 计算。 3 ) 非圆齿轮可按运动要求进行精确的设计和制造，运动精度高。 4 ) 非圆齿轮的传递效率高，接近于圆形齿轮，远高于其它的变速比传动机构。 5 ) 非圆齿轮和其它机构组合还可以实现摆动、振荡及间歇等各种复杂特殊的运 动，而且还可以获得较好的性能。 6 ) 非圆齿轮为回转体，适用于高速传动，摩擦小、承载强、精确平稳且体积小 重量轻，节能省材。 7 ) 特别适用于机电一体化的自动控制机械机构，如汽车发动机输出轴与变速器 的柔性非圆连接器等。 非圆齿轮的上述显著的特点和优势，使得其有广阔的应用前景，实际应用的 需要必将促使非圆齿轮技术不断发展，从而得到更加广泛的应用。 1 2 2 非圆齿轮的应用 非圆齿轮机构可以实现变传动比传动，非圆齿轮与某些机构组合可以实现许 多特殊规律的运动1 1 1 。在某些情况下，采用非圆齿轮后，机构的运动性能和动力 性能大大改善。因此，非圆齿轮逐渐在轻工自动机械、机床、仪器仪表以及其他 产业机械等诸多行业中得到日益广泛的应用： 3 第一章绪论 ( 1 ) 用于轻工自动机械中 在纺织机械中应用非圆齿轮实现周期性改变经纬纱的密度，以得到不同的花 纹；在卷烟机的传送带上用非圆齿轮实现间歇式驱动机构等等。 图1 - 1 所示为在滚筒式平板印刷机的自动造纸机构中采用的非圆齿轮机构用 椭圆齿轮可使纸张送到印刷该简的前面时。送进速度最小，以便对纸张的位置进 行校准、对位和避免将纸张压皱。而当纸张送进滚筒后，纸张的送进速度则近似 等于印刷滚筒的圆周速度。 图1 - 1 印刷机自动造纸机构 图1 - 2 自动机床的转位机构 ( 2 ) 用于机床行业中 在插齿机主运动机构中采用一对非圆齿轮来驱动曲柄连杆机构，可使主轴在 工作行程中的速度变化均匀，回程速度加大；在多轴车床中，采用一个主动非圆 齿轮同时带动五个非圆齿轮的机构，以获得变速比传动等等【1 9 j 。 图卜2 所示为自动机床上的转位机构。利用椭圆齿轮机构的从动轮2 带动转 位槽轮机构，使槽轮3 在拨杆速度较高的时候运动，以缩短运动时间，增加停 歇时间。亦即缩短机床加工的辅助时间、而增加机床的工作时间。 ( 3 ) 用于仪器制造业中 非圆齿轮在仪器制造业中的主要用途是在函数装置中再现某种函数；液体 流量计中应用一对卵形齿轮，如图1 3 ，使得测量密室的密封性好，从而提高了 计数器的校对度，且容积比性能优于一般用圆形齿轮做成的齿轮泵；在可变频率 摆动器和电位计等测量仪器中非圆齿轮也有应用。 4 图1 - 3 微小非圆齿轮流龄汁 非圆齿轮在解算装置中也得到了广泛的应用，如飞行仪表、航迹仪、火炮指 挥仪等i ”i 1 2 i 。此外，高空摄影等光学仪器中也应用了非圆齿轮。 以上所介绍的非圆齿轮应用情况只是- 4 , 部分，随着非圆齿轮设计加t 方法 现代化，非圆齿轮的应用范围将更加广泛。 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 2 1非圆齿轮传动的分类 非圆齿轮传动的分类方法有多种，可从以下几个不同的角度进行分类： ( 1 ) 按非圆齿轮节曲线的形状分为：一般非圆齿轮传动( 包括椭圆齿轮、高阶 椭圆齿轮、变性椭圆齿轮等特殊的非圆齿轮传动) 、非圆齿轮。齿条传动、圆形齿 轮非圆齿轮传动。 ( 2 ) 按非圆齿轮节曲线是否封闭分为：节曲线封闭的非圆齿轮传动和节曲线 不封闭的非圆齿轮传动( 或称为非圆扇形齿轮传动) 。 ( 3 ) 按非圆齿轮的啮合方式分为：外啮合非圆齿轮传动和内啮合非圆齿轮传 动。 ( 4 ) 按非圆齿轮的维数分为：平面非圆齿轮传动( 占绝大部分) 和空间非圆齿 轮传动( 如多圈非圆齿轮传动等) 。 ( 5 ) 按非圆齿轮转动轴线是否固定分为：两轮中心都固定的非圆齿轮传动； 一轮中心固定、另一轮中心可以移动的非圆齿轮传动；两轮中心都可以移动的非 圆齿轮传动。 2 2 非圆齿轮的节曲线 非圆齿轮副用来传递非匀速传动比，两齿轮的节曲线一般不是圆形。设计非 圆齿轮的首要任务是确定它的节曲线。节曲线就是一对互相啮合的齿轮在其啮合 过程中实现无滑动地纯滚动的共扼曲线1 2 2 1 矧。设计非圆齿轮主要由两个步骤：第 一是确定齿轮副的节曲线，第二是确定齿轮其它几何参数，最重要的就是齿轮的 齿廓，以保证齿轮副能正确的按求得的节曲线传动。 2 2 1 按传动比函数计算节曲线 齿轮传动可以分为外啮合和内啮合。下面分别就上述两种情况分析其节曲线 方程。 1 外啮合 如图2 - 1 示，设齿轮副的中心距为a ，主动轮度为他，瞬时角速度为q 从 6 第二章 非圆齿轮的设计建模理论基础 动轮2 的转角为缈：，瞬时角速度为哆。在起始位置，= o ，妒：= o 。 主动轮和从动非圆齿轮转角之间的关系叫做位置函数。位置函数可以用下 面的表达式表示： 驴2 = f ( 妒1 ) 因此齿轮副的传动比函数。1 2 为 f 1 2 = 罢= 糍d t = 象= 地) f ”= 一= = 2 ，、缈t ， “ d 驴2d 伊2 。”“ 舳- ) 5 雨1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 可以证明，两齿轮在任意瞬时，总有一个相对运动速度等于零的点p ，称 为瞬时回转中心( 简称瞬心) 2 4 1 ，它位于连心线d 1 d ：上，且满足条件 。0 1 p = 2 0 2 p ，分另j m r , ，r 2 表示d ，p 及d 2 p ，则瞬时传动比又可以表示为 ： 1r 2a 一厂1 z 1 22 2 一。j 0 ) 2 r 1厂1 ( 2 4 ) 当传动比：变化时，瞬心p 的位置及，1 ，厂2 是变化的。瞬心在齿轮1 ，2 回转 平面上的轨迹称为两齿轮的瞬心线，也就是齿轮的节曲线【2 5 1 。 由式( 2 4 ) 可得主动轮1 的节曲线方程为 _ 慨) 。去2 赢 由式( 2 4 ) 及( 2 2 ) 可得从动轮2 的节曲线方程为 7 ( 2 5 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 叫一r - ( ) 2 最 仍= 聪l d 驴l - - r 而1 d 仍 ( 2 6 ) ( 2 5 ) 与( 2 6 ) 式是外啮合非圆齿轮副节曲线的极坐标形式方程。用这个 公式计算节曲线时，极角妒，伊：的计量方向和相应的回转角速度。，：方向相反。 特殊情况，当传动比f l ：是常数时由式( 2 5 ) ，( 2 - 6 ) 知厂1 ，厂2 都变成常数，这就是普 通圆形齿轮的节圆。 若给定的条件为中心距a 及主动非圆齿轮1 的节曲线方程 ，l 一厂1 ( 驴。) 则传动比函数为 也刊小唰 从动轮2 的节曲线方程为 r 蕃j 笺嘞 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 图2 - 1 外啮合齿轮传动节曲线图2 2内啮合齿轮传动节曲线 8 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 2 内啮合 如果从动轮2 为内齿轮，如图2 2 ，齿轮副给定的条件与外啮合一样，用同 样的方法可以求出主、从动轮的节曲线方程为 口口 _ 。一1 1 2 - - 1 。丽 ，2 = 口+ 1 = 口面1 1 j 2 ”r i ld 舻j ：口o ，、1 习d 9 。 2 2 2 按要求再现函数计算非圆齿轮节曲线 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 设要求非圆齿轮再现某个函数y = f ( x ) ，小在闭区问【z ，工：】内连续可导。令 主动非圆齿轮1 的转角吼与自变量x 成正比，从动非圆齿轮2 的转角驴：与f ( x ) 成正比，即 则传动比为 妒，= 尼。g z 。) 1 驴：= k 2 i f ( x ) 一i ( x 。) f f - z = 一d c p l = - - k 霸1 c l i 0 2k 2 怔， 上式中，k l , k ：是比例系数，厂g ) 是函数厂g ) 对石的一阶导数。 自变量的变化区间为i x 。，石：】，则仍，驴：的最大值分别为： 妒，。= k lb 一工。) 驴：一= k 2 厂g ：) 一i ( x ，) 】 9 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 为了提高函数的再现精度，在结构许可的条件下，应该把转角仍，妒：设计得 大些，一般可取在3 0 0 。3 3 0 。，由此确定比例常数的值。 f 1 3 式( 2 5 ) 、式( 2 6 ) 、式( 2 1 1 ) 及式( 2 - 1 2 ) ，可得外啮合主、从动轮1 和2 的 节曲线方程分别为： 鼍磊1 仫 吒一番1 q 。3 伊：= k 2 ，g ) 一厂g 。) 1 吃2 口一_ 。k _ ：翻i 。1 1 + 七2 厂b ) i 2 2 3 几种典型的节曲线 以下是五种常用的节曲线，是对上面所述的节曲线设计方法的很好应用，在 这里作以简单的介绍。 1 传动比随主动轮的转角均匀变化的节曲线 给定齿轮副的中心距a 及主动轮1 的转角范围：仍= 0 一仍。，齿轮的传 云) jl l i 。，f 。分别对应于= 0 ，吼= 仍。，且f 。 f o ，并要求f 1 2 在此范围内随驴。均匀 减小，其传动比函数可表示为 式中a 为比例系数 i 1 2 = i o a 仍 a ，生玉 仍m x 由式( 2 5 ) ，主动轮1 的节曲线方程为 口口 _ 2 瓦2 1 + i o - a q l 1 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 图2 - 3i 1 2 随伊l 均匀变化的节曲线 由式( 2 6 ) ，从动轮2 的节曲线方程为 ，2 2 妒 其节曲线图形如图2 3 2 对数螺旋非圆齿轮副 给定中心距a ，主动轮节曲线为对数螺旋线，其方程为： 砚 ，1 = o e “ 式中m 常数； 厂l 。对应于妒。= 0 时节曲线的向径。 求与其啮合的另一非圆齿轮的节曲线。 ( 1 ) 夕h 啮合 由式( 2 8 ) 可知齿轮2 的节曲线方程为 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 揣和音去 = 一 吃r = 一1 ， 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 ( 2 ) 内啮合 由式( 2 8 ) 图2 4 对数螺线外啮合非圆齿轮 图2 - 5 对数螺线内啮合非圆齿轮 3 再现函数y - = c r 2 ，s zs x z ) 的非圆齿轮节曲线 给定齿轮副的中心距，要求再现的函数为 y ；h 20 1 墨z 量x 2 ) 式中k 为常系数。 可以令吼一七b z ，) 驴：；七：( ) ，一y 。) ；k 。k ：b ：一x ，2 ) 1 2 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 驴 戋 鱼 一 d 拒 萨 一咀m 盟m 百l 蓦 滩 塑m 一 矿 i 晰 ：= 口 一 口 1 融o ”o 删 一 叫 盟一塑一 删 黼妇镧 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 则由式( 2 1 2 ) k lk l 1 1 22 砀奶2 2 k k 2 x 由式( 2 1 3 ) 可得，主动轮1 的节曲线方程为 由式( 2 1 4 ) 可得，从动轮2 的节曲线方程为 4 给定中心距a 及转角函数求节曲线 若给定转角函数为 伊：；ml n c 4 + b “) 式中a 、b 、m 、n 均为常数 由上式，传动比函数1 2 为 2 = 挚d q 9 2 一尘b m n 萼科 由式( 2 5 ) ，可知主动轮节f h j 线为 a a b m n q g , 一1 铲瓦2 赢砺访面力 1 3 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 2 ：i 一 一吒 ：h 瓦 2 0百 引 = 仍 吃 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 由式( 2 6 ) ，知从动轮的节曲线方程为 5 给定中, b i l la 及要求再现的函数求节曲线 若要求再现的函数为 爿 y 。x i sxs x 2 b c x 式中a 、b 、c 为常数 可令仍= k l ( x d x ，) 七z a 瓦一而h ，) 则其传动比函数为 七；弯茅庀以【一 由式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 可得 主动轮的节曲线方程为 p a a c k 2 从动轮的节曲线方程为 1 4 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 r 2 一讯i a k , ( 两b - 面c x ) 2 ”七z a 瓦一b - c x i ) 2 2 4 非圆齿轮节曲线封闭的条件 ( 2 3 1 ) 非圆齿轮的节曲线一般是不封闭的，这种齿轮副只能作往复的摆动而不能作 连续的回转。如果要求齿轮副作单向连续的运动，以传递周期性的运动关系，则 主动轮和从动轮两齿轮的节曲线都应该是封闭的 2 6 1 2 7 1 。 下面分别对要求实现传动t ：l i 垂i 数i 。：= 厂( 驴。) 和要求再现函数y f ( x ) 的非圆 齿轮的封闭性条件进行推倒。 2 2 4 1 实现传动比函数i 。：= ，( 妒。) 的非圆齿轮副 由一对非圆齿轮副节曲线的方程式( 2 5 ) 及( 2 6 ) 口口 ”仆，l5 赢 ”瓦2 碉”睁 r 晶锄 可以看出，主动轮1 节曲线封闭的条件是：f 。：一，( 妒。) 是转角的周期函数， 而且在转角z0 纫范围内，变化的周期数为整数( 用以，表示) 。因而，在此范 围内，r l 也变化个n 。个周期，而且在6 p 1 = 0 及伊：= 幼时的厂l 相等，使节曲线能够 封闭。 同理，从动轮2 节曲线封闭的条件是：在仍= 0 一h 范围内，f 1 ：变化的周期 数也应为整数( 以，l ：表示) 。这样，在此范围内，1 2 也变化咒：个周期，而且在妒：= 0 及仍；幼时的厂相等，使节曲线能够封闭。在i ，变化一个周期时，主动轮1 的 转角为幼n ，从动轮2 的转角为幼咒，这两个转角是在同一时间内完成的， 应该符合关系式 蠹向吼 1 5 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 所以从动轮2 节曲线封闭的条件式为： 詈= 扩打伊。= 庐考黯驴。 ( 2 3 2 ) 2 2 4 2 再现函数y2 ，( x ) 的非圆齿轮副 再现函数y = f ( x ) ，在闭区间i x 。，工：j 内连续可导。对式( 2 - 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 进行分 析可知，要使两非圆齿轮的节曲线是封闭，需满足下列条件： ( 1 ) 再现函数的导数f ( x ) 应是周期函数，且其周期应为 兰1 ，其中咒- 为j 下整数( 咒- = 1 ，2 ，3 ) 。 ，1 1 ( 2 ) 比例系数k 。，k ：应满足下面关系式： ( 3 ) 再现函数端点需满足 厂b 。) = 1 ( x ：) 2 2 5 节曲线的曲率半径及凸性校验 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 非圆齿轮的节曲线不是圆，其上各点的曲率半径是不同的。不区分非圆齿 轮是主动轮1 还是从动轮2 ，令其节曲线方程为r = r ) ，根据微分几何，它上 面各点的曲率半径的计算式为【1 】1 2 8 】： 1 6 墨不 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 p = 2 一鲁 上式中j d 伊r 及d d 妒2 r 。分别为r 对驴的一阶导数及二阶导数。 主动轮的节曲线由式( 2 5 ) 式 ，l2 口n 1 + i 1 2 砒 d c p l d 2 ，1 d 妒； 口 o + i ，：) 2 i 1 2 = 厂1 ( 吼) ( 1 + f l ：) 3 中= 厂( 仍) f ”。：一厂( 妒。) ， 导数。将上式代入( 2 3 5 ) ，化简得 p 1 。 ( 2 3 5 ) 分别为传动比函数，( 驴，) 对驴。的一阶及二阶 1 + i 1 2 + i ”1 2 由从动轮2 的节曲线方程( 2 6 ) 式 厂2 。 a l l 2 1 + i 1 2 啦矾d c p la i l 2 i 1 2 一昌一= = 一 d 妒2d 仍 d 妒2 ( 1 + i 1 2 2 1 7 ( 2 3 6 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 将上式代入( 2 3 5 ) ，并化简得 p 22 1 + i 1 2 一i 1 2 i 1 2 + 吒) 2 ( 2 3 7 ) 根据微分几何的有关知识，由式( 2 3 6 ) 及( 2 3 7 ) 所计算的p ，p ：若为正 值，则节曲线在相应点是外凸的；反之，当p ，或p ：为负时，节曲线在相应点处 是内凹的1 2 6 1 2 9 1 。含有内凹部分的节曲线是不能用齿条形刀具或齿轮滚刀加工的， 只能用适当直径的盘形插齿刀插制，所以设计非圆齿轮时，要对节曲线的凸性进 行必要的校验。 综上所述，节曲线没有内凹部分的条件是整条节曲线上各点的曲率半径都大 于零。而式( 2 3 5 ) 的分子恒大于零的，因此，判断条件就成为该式的分母大于或 等于零了。对于传动比函数：= 厂( 纺) 的齿轮副，主动非圆齿轮1 节曲线上无内 凹部分的条件为 或 扣一1 象。 1 + i 1 2 - i - i ”1 2 0 从动轮2 节曲线上无内凹部分的条件为 坤2 一嚎乏。 或 1 + i 1 2 - i - ( i t l 2 ) 2 一i 1 2 i ”1 2 芑0 1 8 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 丝 驴 办一 生魄 鄙 乞一谚 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 对于要求再现函数y _ f ( x ) 的齿轮副，由于f ，：= 乏歹k i 两，代入式( 2 - 3 8 ) 及 ( 2 3 9 ) ，并化简得无内凹条件 对于主动轮1 为 k l k ： 厂g 汗+ 七? 厂b 汗+ 2 f g 汗一厂g ) 厂g ) 0 ( 2 4 0 ) 对于从动轮2 为 七： 厂b 冲k 。+ 七：f g ) + 厂g ) 厂g ) 一 厂”g 汗0 ( 2 4 1 ) 在上面( 2 2 0 ) 及( 2 2 1 ) 中的，b ) ，厂b ) ，b ) ，分别为要求再现函数f ( x ) 对x 的一阶，二阶和三阶导数。 2 2 6 常用的封闭非圆齿轮节曲线 2 2 6 1 主动轮是椭圆时的非圆齿轮副 椭圆齿轮是最常见的节曲线封闭的非圆齿轮， 造纸机械、卷烟机和往复式输送机等机器中 3 0 - 3 2 。 主动轮的节曲线为椭圆，如图2 - 6 ，齿轮的回 转中心0 1 ，在椭圆的一个焦点处，椭圆的方程式为： _j孺plpk 爿4 2 )。= 彳【1 一。2 川 主要应用于一些纺织机械、 式中a 为椭圆长半轴半径 屯为椭圆的偏心率 显然向径，1 的变化周期是仍= 幼， 图2 - 6 椭圆齿轮节曲线 即，l 。= 1 ，假若要求从动轮回转一圈， r 2 的变化周期为n ：，则由条件式( 2 - 3 2 ) 1 9 加 咒2舻f 。而翩仍。 由上式可解出中心距a 为 r aia l l + l 由式( 2 6 ) ，从动轮2 的节曲线方程为 对伊：的表达式进行积分，可得 咒2 够2 ta n 三二三。 2 劬 t a n 2 2 由上面式化简并整理并代入( 2 4 4 ) 式，可得从动轮2 的节曲线方程为 r 22 口一n2 以2 2 p l 上式还可以写成以下的普遍方式 r 2 2 百i p ；5 2 而 + 七1c o s 2 2 驴2 2 0 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 其中 舻南 七：2 丽i k 需1 司 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 对照式( 2 - 4 7 ) 和式( 2 - 4 2 ) ，可以看到这两式的形式非常近似，属于同 一类曲线，所不同的是厂2 的变化周期为驴：一2 ：t ，称其为，l ：阶椭圆。 刀2 齿轮副的传动比f 。：为 ，：一a一；墨!查!二!竺!鱼二查!骂!b巨互二三圃(2-50)1 1 1 ，= 一一= i 。一 “ 厂1 一七f 下面计算节曲线的曲率半径： 对于主动轮1 ，由( 2 4 2 ) 式可得 一d r l ：二旦! 生! ! ! 竺丝 d 驴1 ( 1 一k lc o s q ，1 ) 2 d 2 厂1 一p l k lc o s q 0 1 + p l 足? + p 1 足? s i n2 妒l d 驴；( 1 - k 1c o s q 9 1 3 将上面式子代入式( 2 3 5 ) ，可得椭圆上任意点的曲率半径j d ，的计算公式： 胪p 。b 藩等监 ( 2 5 1 ) 由于0 k 。 1 ，c o s q 9 l 的值在- , - 1z h - j ，所以上式计算所得的p 。恒为正值，所以 椭圆是全凸而没有内凹部分的。曲率半径在驴。= 0 及( p l ；h 处( 即在椭圆长轴 的两端点处) 达到最小，其值为 p l m i n2p l 2 1 ( 2 5 2 ) 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 对于从动轮2 ，由( 2 4 7 ) 式可得 d 驴2 d 2 r 2 d 驴； p 2 k 2 咒2s i nn 2 妒2 ( 1 + k 2c o s n 2 缈2 ) 2 将上面式子代入式( 2 3 5 ) ，可得椭圆上任意点的曲率半径的计算公式： p 22p 2 ( 2 5 3 ) 同理由于0 七： 1 , c o s 驴2 的值在1 之间变化，所以o + k ：c o s h 2 驴：) 3 恒为正，故 从动轮2 节曲线上不出现内凹部分的条件为 1 一k ：；一1 ) c o s n ：妒：0 上式c o s n ：驴2 = 1 时，最难满足，故条件为 k 2 墨 ”2 2 1 再将式( 2 4 9 ) 代入上式化简得 七1s ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 曲率半径最小的点在c o s 1 2 妒2 = 1 ，即，1 2 驴2 - = l r ，妨，处，由式( 2 5 3 ) 可知最小 值为 煎 黜 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 p z 晌2 百硐p 2 再将式( 2 - 4 8 ) 代入上式化简得 2 丽彘 2 2 6 2 主动轮是高阶椭圆时的非圆齿轮副 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 由几何学，阶数不为1 椭圆统称为高阶椭圆，其主动轮节曲线方程式为 1_-p丽lpa 1 ，一 一七? )i 从动轮2 节曲线的求解与上节类似，节曲线封闭的条件为： 等= = 庐者吼= 萨可i 意匆而d 由上式解得中心距a 式中咒：竺 ，1 1 所以从动轮的节曲线方程为 ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) 嘉 壁一 口 n ，鄙f = 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 对( 2 6 0 ) 式中的驴z 式进行积分，得 n 2 伊2 ta n 三2 2 将其代入( 2 6 0 ) 式得厂2 式，可得 t a i l 盟 2 屹2 矿丽奇而 将其写成如下普遍形式 其中 ，2 。i 毒p 石2 而 p z2 南 咖矿彘葡 可以看出，从动轮为n ：阶椭圆，齿轮副的传动比 高阶椭圆上各点的曲率半径按式( 2 5 3 ) 计算。 主动轮节曲线的最小曲率半径及无内凹的条件分别为 p 晌2 瓦嗣e l 小者n i 1 一 ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) 一 吼一 啊一 | ；i 砰峰 州一 一 化一 t 一 屯 第二章非圆齿轮的设计建模理论基础 从动轮节曲线的最小曲率半径及无内凹的条件分别为 p 2 m i n p 2 5 瓦1k 酮1 + ，i 咒；一j 吣去 将式( 2 6 4 ) 及( 2 6 5 ) 式代入上面两式，有 。2 乒丽每而翻 吣丽南 2 3 非圆齿轮设计中的参数校验 2 3 1非圆齿轮的压力角 ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) 1 节曲线上点的切线与极径的夹角 设