九年级数学寒假专题—实际问题中的二次函数关系华东师大版知识精讲.doc

用心 爱心 专心 初三数学初三数学寒假专题寒假专题实际问题中的二次函数关系实际问题中的二次函数关系华东师大版华东师大版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 寒假专题实际问题中的二次函数关系 中考课标要求 理解并掌握“通过对实际问题的分析确定二次函数表达式”。 中考能力要求 （1）会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题； （2）会应用数形结合思想来解决有关的函数综合性问题。 【典型例题典型例题】 例 1. 如图，矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，在 BC 边上取一点 P（不与 B、C 重 合），在 CD 边上取一点 Q，使APQ90，设 BPx cm，CQy cm。 （1）试求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）点 P 在什么位置时，CQ 有最大值，最大值是多少？ A D Q 6 y B x P 8- x C 分析：分析：在背景图形中，能很容易地确定两个相似的三角形：ABPPCQ，两三角 形相似，就可得出对应边成比例。也就建立了 x 与 y 之间的关系，进而可求出 y 与 x 之间 的函数关系式。 解：解：在矩形 ABCD 中，APQ90 则BC90 APBQPC90 QPCPQC90 故APBPQC 又因BC 所以ABPPCQ 故有 AB PC BP CQ 而 AB6，BC8 所以 6 8 x x y 故，即 y 与 x 间为二次函数关系yxx 1 6 4 3 2 用心 爱心 专心 因此二次函数的图象的顶点坐标为4 8 3 ， 故：当时，y 有最大值为x 4 8 3 即当点 P 在 BC 中点处时，CQ 有最大值 8 3 例 2. 如图，改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管 AB 高出地面 1.5m，点 B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线形状，喷头 B 与水流最 高点 C 的连线呈 45角，水流的最高点 C 比喷头 B 高出 2m，在所建的坐标系中，求水流 的落点 D 到 A 的距离是多少 m？ 分析：分析：由题目描述结合图象，可将抛物线上的点 B 和顶点 C 的坐标求出来，（在求 C 点坐标时，注意解直角三角形BCF）由 B、C 坐标可以确定出抛物线的解析式，进而可 以求出点 D 的坐标，最后求出 D 到 A 的距离。 解：解：由题意得：OBAB 15 . 故点 B 的坐标为（0，1.5） 过 C 点作 CEx 轴，垂足为 E，过 B 作 BFCE，垂足为 F，连结 CB 则 CF2，CBF45 所以 BFCF2 又因 EFOB1.5，则 EC21.53.5 顶点 C 的坐标为（2，3.5） 故可设抛物线解析式为ya x2 7 2 2 又过点 B（0，1.5） 1502 7 2 2 .a a 1 2 则抛物线解析式为：yx 1 2 2 7 2 2 令，则y 00 1 2 2 7 2 2 x 解得：x 27 则 D 点坐标为（）270， 用心 爱心 专心 即ADDO27 例 3. 一个涵洞成抛物线形（如图），现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与水面 的距离为 2.4m，此时，离水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少？是否为超过 1m？ 分析：分析：由已知，建立如图坐标系，要想求出 ED，只须求出 FD，即只要求出点 D 的横 坐标即可，而由已知，可确定出点 D 的纵坐标，故若先求出抛物线解析式，就可借此进一 步求出点 D 的横坐标。 解：解：AB1.6，CO2.4 A 点坐标为（-0.8，-2.4） 又抛物线顶点坐标是（0，0） 可设解析式为，因又过点 A（-0.8，-2.4）yax 2 2408 2 .(. )a 则a 15 4 抛物线解析式为：yx 15 4 2 因，则CF 15 .OFOCCF241509. 故点 D 坐标为（x，-0.9） 故 09 15 4 2 .x 则，则x 6 5 D 6 5 09， . ，则FD 6 5 EDFD2 2 6 5 1 即离水面 1.5m 时，涵洞宽m，并未超过 1m。 2 6 5 例 4. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的 过程。下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时 间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）。 用心 爱心 专心 根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图像上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与时间 t（月）之间的函数关 系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ 分析：分析：此题主要是识图，从图中可确定抛物线上四个点的坐标：（1，-1.5），（2，- 2），（0，0）及（5，2.5），可由其中三点的坐标求出抛物线的解析式，第二问则应理解 为当时，？第三问则应理解为。S 30t SS 87 ? 解：解：（1）设，由图可得抛物线上三个点的坐标分别是（0，0），Satbtc 2 （1，-1.5）和（2，-2），则有： c abc abc 0 15 422 . 解得： a b c 1 2 2 0 Stt 1 2 2 2 （2）当 S30 时，30 1 2 2 2 tt 解得：（不合题意，舍去）tt 12 106 ， 截止到 10 月末，公司利润累积达到 30 万元 （3）当 t7 时，前 7 个月利润总额为S7 2 1 2 727105. 第 t8 时，前 8 个月利润总额为S8 2 1 2 82816 第 8 个月公司利润为：（万元）SS 87 1610555. 例 5. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000kg，购进价格为每千克 30 元。物 价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发现：单价定 为 70 元时，日均销售 60kg；单价每降低 1 元，日均多售出 2kg。在销售过程中，每天还要 用心 爱心 专心 支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为 x 元，日均获利 y 元。 （1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数关系式配方成的形式，ya x b a acb a 2 4 4 2 2 写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均 获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和单价最高这两种销售方式，哪 一种获总利最多，多多少？ 分析：分析：（1）由销售单价为 x 元，得每千克降低了元，日均多销售70 x ，日均销售量是，则日均获利 y日均销售量每千克获2 70 x kg602 70 x kg 利每天支出费用 500。 （2）将何时取得最大利润与顶点的纵坐标联系起来，在单价定为顶点的横坐标时，日 获利最多即是顶点的纵坐标。 （3）分别算出日均获利最多时的利润及单价最高时的利润，然后进行比较即可。 解：解：（1）若销售单价为 x 元，则每千克降低了元，则日均多销售出70 x ，此时，日均销售量为千克，每千克获利元。2 70 x kg602 70 xx 30 由题意得：yxx30 602 70500 即yxxx 22606500 3070 2 () （2）yxx 22606500 2 21306500 213065656500 2651950 2 222 2 xx xx x 抛物线顶点为（65，1950），且过点和（70，1500）659750， 用心 爱心 专心 由图可知：当单价定为 65 元时，日均获利最多，为 1950 元。 （3）当日获利最多时，单价为 65 元，日均销售量为602706570kg 则此时总获利元1950 7000 70 195000 当销售价最高为 70 元，日均销售量为 60kg，要销售天 7000 60 117 则此时总获利元70307000117500221500 故第二种即以单价最高这种方式获利多，多出 26500 元。 例 6. 如图一单杠高 2.2m，两立柱之间距离为 1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠 结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。 （1）一个身高 0.7m 的小孩站在立柱 0.4m 处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到 地面的距离； （2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为 0.4m 的木板，除掉系木板 用去的绳子后，两边的绳长正好各为 2m，木板与地面平行，求木板到地面的距离。（供选 用的数据：）336183641943621.， 分析：分析：（1）建立好适当的平面直角坐标系后，可由条件推出抛物线上 A、B、D 三点 的坐标，由此得到抛物线解析式，故可得到抛物线顶点 C 的坐标，顶点即最低点，进而得 到绳子最低点到地面的距离。 （2）作出等腰梯形的两条高后，通过解直角三角形求出梯形的高，就可得到木板到地 面的距离。 用心 爱心 专心 解：解：（1）由已知可知：AB1.6，BE2.2 点 D 到 x 轴距离为 0.7，到 y 轴距离为（）0804. 故得 B（0.8，2.2），D（-0.4，0.7） 由图设抛物线解析式为：yaxc 2 则有 06422 01607 . . ac ac 解得： a c 25 8 1 5 yx 25 8 1 5 2 此抛物线顶点 C 坐标为（0，） 1 5 则绳子最低点即 C 点到地面的距离为米 1 5 （2）作 EGAB，FHAB 由题知：，AEBF2ABEF1604.， 四边形 AEFB 为等腰梯形 则AG 1604206. 则在 RtAGE 中，AE2，AG0.6 EGAEAG 2222 20636419. 221903. ( )m 即木板到地面的距离为 0.3m 【模拟试题模拟试题】 1. 已知：二次函数的图象过点（1，0），且对称轴为直线，与 y 轴交点到原点x 3 的距离为 3，求二次函数的解析式。 2. 已知：二次函数图象的对称轴为直线，在 y 轴上截距是-3，且图象在 x 轴上截x 2 得的线段长为 6，求二次函数解析式。 3. 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（如图），若ym xx91 ACB90，求：m 的值。 用心 爱心 专心 y A B -1 O 9 x C 4. 已知：ABC 中，C90，BC4，AC8，DEAC，DFBC，设 。DExDFy， （1）AE 用含 y 的代数式表示为：AE_； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值。 A D E B F C 5. 某商场购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为获得更高的利润，决定 提高售价，经实验发现，若每件 20 元，每月能够卖 360 件，若每件 25 元，每月卖 210 件， 假定每月销售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数。 （1）试求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在商品不积压且不考虑其它因素条件下，问售价定多少时，才能使每月获得最大 利润？每月获得最大利润是多少？ 6. 心理学家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的 注意力逐步加强，中间有一段时间保持较为理想的状态，随后注意力开始分散，经过实验 分析，学生的注意力 y 随时间 t 的变化规律有如下关系式： y ttt t tt 2 24100010 2401020 73802040 () () () （1）讲课开始后第五分钟时与讲课开始后第 25 分钟时比较，何时学生的注意力更集 中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多久？ （3）一数学题，需讲解 24 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到 180， 那么经过老师的适当安排，能否在学生注意力达到所需的状态下讲完这道题？ 7. 如图，边长为 4 的正方形 ABCD 上，CE1，直线 EF 交 AB 的延长线于CF 4 3 G，H 为 FG 上一动点，HMAG，HNAD，设 HMx，矩形 AMHN 的面积为 y。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； 用心 爱心 专心 （2）当 x 为何值时，矩形 AMHN 的面积最大，最大是多少？ D F C E N H A B M G 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1. 答：答：yxxyxx 12 3 7 71 3 7 71 ； 2. 答：答：yxx 3 5 15 3. 答：答：m 1 3 4. 答：答：（1）；AEy8 （2）；yx