（金融学专业论文）股票市场的非线性结构——实证与预测.pdf

摘要 摘要 金融市场的有效性问题，是金融市场研究的基石，它是对金融市场基本 结构和波动特性的分析。金融市场的基本结构特性，市场对于历史信息的反 馈机制，金融市场的基本波动特性以及其内在机理，这些问题都是金融市场 研究中首先要回答的问题，它为其它问题的研究奠定基础，建立一个理论框 架。 有效市场理论一直在这一领域占据着主导地位，有效市场理论( e f f i c i e n t m a r k e tt h e o r y , e m i ) ( f m a , 1 9 7 0 ) 认为，当资本市场价格对披露的相关信息 ( 历史信息、公开信息和内幕信息) 及时、迅速、准确地反映时，资本市场 有效；反之，则资本市场无效。这些理论至少建立在以下假设基础上：一是 价格的变化完全由新的信息决定，今天的价格与昨天的价格是相互独立的； 二是价格序列服从正态分布；三是投资者完全理性。这种线性范式( 看问题 的总体方法) 一直主宰着金融经济学长达半个世纪。 然而，实际金融市场中出现的众多现象，有效市场理论却无法做出解释， 比如，1 9 8 7 年的“黑色星期一”现象、小公司效应、一月效应、低市盈率效 应等。后来的大量研究发现，金融市场中存在许多与有效市场理论假定相违 背的事实，比如，金融时间序列经常表现出短期和长期相关性；金融价格分 布表现出尖峰胖尾特性；投资者经常出现反应过度或反应不足的现象。这不 是实际市场存在问题，而是有效市场理论的过分严格的假设条件存在问题。 从而，建立在有效市场理论基础之上的资本市场理论受到不同程度上的质疑 和挑战。 2 0 世纪9 0 年代以来，非线性动力学、混沌理论、分形理论等非线性科学 理论和方法广泛应用于金融市场问题的研究。金融市场本质上是一个非线性 的动力系统。因此，利用非线性的理论和方法更能揭示金融市场的本质特征， 也为金融市场的研究开辟了一个新的视野。混沌理论和分形理论是非线性理 股票市场的非线性结构实证与预测 论的一个子理论，分别从动力学和几何学角度探索系统的复杂非线性特性。 混沌、分形、多重分形均属于金融市场的非线性特征。国内外许多学者通过 大量实证研究已经证实，这些非线性特征在金融市场中广泛存在。 随着金融市场结构非线性理论的兴起，股票价格预测模型也向非线性方 向发展。常见的有一种建模方式是从时间序列中重构系统，但其预测思想与 时间序列预测模型截然不同。时间序列预测模型假设时序只具有线性相关的 随机序列，对未来的预测是根据相关性进行外推。而非线性决定性预测模型 则认为时序是由决定性动力学方程产生，下一时刻系统的状态是前一时刻的 函数，因此只要找到这个函数，预测就能实现。由于观察值常常是系统的状 态变量的时序值，因此，预测的首要任务就是从时间序列中重构出系统动力 学方程。另一种建模方式就是运用神经网络预测模型，神经网络由于能够拟 合任意的非线性曲线，并且具有较好的泛化能力，因此自从它被引入到预测 方法中，就一直是预测模型中一颗耀眼的星星。神经网络预测模型的思想是 在给定的预测精度下通过给定的训练样本进行机器训练，建立输出与输入之 间的函数关系，即为预测方程。 本文以中国股市的分形结构和神经网络预测模型为主题，进行了大量的 理论探讨和实证研究。论文的基本结构如下： 笫一章为绪论，介绍论文研究背景和研究的意义。有效市场理论已经被 证明不符合金融市场的实际情况，在此基础上建立起来的传统对金融市场的 描述方法就令人怀疑非线性的金融市场应该用非线性的方法来描i k 分形 理论的发展提供了这样一个有效的工具。 第二章，对分形理论进行了系统的阐述。包括分形理论的基本内容和特 征，以及分形市场理论对于股市的意义可以看到，分形理论具有自相似性、 标度不变性、分形维、局部相似性和整体确定性的特点分形市场理论是有 效市场理论的扩展，能为真实金融市场提供强有力的解释，为金融计量分析 揭示了一个崭新的研究方向 第三章，对中国股市的分形结构进行了大量的实证分析。本文以中国股 市最具有代表性的上证综合指数为研究对象，并对不同的时间标度下的数据 取样，包括上证综合指数的5 日收益序列、日收益序列、6 0 分钟收益序列、 3 0 分钟收益序列、5 分钟收益序列。全面详细的描述了上证综合指数的分形 2 摘要 结构。 在分析了上证综指的分形结构和记忆特性后，本文得到以下结论：上证 综指存在着3 5 周( 大约8 个月) 的长期记忆周期或非循环周期，当前信息对 上证综指的平均影响达到8 个月，8 个月后上证综指丧失初始状态的记忆，表 现为随机游动。其次则是一个4 个交易日的循环。这里所说的循环并意味着 上证综指如果连续上涨了8 个月左右，然后就会下跌，当外界环境适当的时 候，上证综指还会继续上涨，并且仍以8 到9 个月为周期。反之亦然。 上证综指不是随机游动，并且有长期记忆特性和非周期循环，这就为上 证综指可被预测提供了理论基础。从短期看，上证综指有4 个交易日的记忆 周期，也就是当前的可能会影响短期价格的信息会持续影响4 天内的价格变 化。反过来，今天的价格可能是前4 天的信息的综合作用结果。从经济含义 来说，以今天的价格或现在的6 0 分钟价格作为模型所要预测的应变量，那么 模型的自变量就应该是前4 天的价格或前1 6 个6 0 分钟价格。、 第四章，研究中国股市的预测模型。金融市场是非线性的，以线性范式 为基础的传统投资理论模型都不适合作为股市预测的模型。本文首先介绍了 目前的一些非线性分析方法和模型，包括指数自回归模型、双线性模型、非 线性自回归模型、门限自回归模型、神经网络模型和小波神经网络模型等。 本文选择建立b p 神经网络模型，创造性地以记忆周期作为选择输入变量 的指导，尝试对上证综指进行预测。这样建立的神经网络预测模型无论从经 济含义上还是从实际操作上都是很有特色和意义的。实际预测的结果同时也 有力支持了证明了我们实证分析得出的结论，即上证综指在6 0 分钟上有着1 6 个收益率长度的长期记忆周期和循环，超过这个长度的上证综指6 0 分钟收益 会失去对初始条件的记忆在此基础上，我们预测当前时间之后的1 6 个6 0 分钟上证综指的走势就是合理的，也是有现实意义的。神经网络模型有很多 种，b p 神经网络也有很多缺点，本文b p 神经网络预测的效果还有待改善。 对b p 神经网络进行改进、运用多种神经网络模型来预测、比较它们不同的预 测效果将是我们下一步的任务 第五章，总结了本文的研究结果和一些需要进一步研究的问题。 本文的创新点有以下几方面： 1 样本范围涉及广。现有的分形结构研究成果一般都是以日收益为主， 3 股票市场的非线性结构实证与预测 本文除了分析中国股市的日收益数据之外，还包括了6 0 分钟、3 0 分钟和5 分钟收益这些高频数据。本文的实证分析是较为全面详细的。 2 分形理论与非线性分析方法的结合。现有的文献一般只描述市场的分 形结构，而很少解释，可操作性较低。既然分形理论揭示了市场是非线性的， 那么解释市场行为时就应该运行非线性的分析方法。基于此，本文以实证所 显示的市场分形结构为指导，尝试建立非线性的神经网络模型来对市场进行 预测，把分形理论与非线性方法有效地结合起来，使本文具有较强的可操作 性。 4 关键词：分形；分形市场；r s 分析；b p 神经网络；预测 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ev a l i d i t yo ft h ef i n a n c i a lm a r k e ti st h ef o u n d a t i o no ff i n a n c i a lm a r k e t i ti st h e a n a l y s i so ff l u c t u a t i o nc h a r a c t e r i s t i ca n db a s i cs t r u c t u r eo ft h ef i n a n c i a lm a r k e t t h eb a s i cs t r u c t u r e s , f e e d b a c km e c h a n i s mt oh i s t o r i c a li n f o r m a t i o n , f l u c t u a t i o n c h a r a c t e r i s t i c , i n h e r e n tm e c h a n i s mo ft h ef i n a n c i a lm a r k e ta r et h em o s ti m p o r t a n t q u e s t i o nt ot h ef i n a n c i a lm a r k e tr e s e a r c h t h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r yh a sb e e no c c u p y i n gt h el e a d i n gp o s i t i o ni nt h i sf i e l d a l lt h et i m e , t h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r y ( f a m a , 1 9 7 0 ) b e l i e v et h a tw h e nm a r k e t p r i c ei s r e l e v a n tt o i n f o r m a t i o n ( h i s t o r i c a li n f o r m a t i o nt h a tr e v c a l ，d i s c l o s e i n f o r m a t i o na n di n s i d ei n f o r m a t i o n ) p r o m p t l y , t h ec a p i t a lm a r k e ti se f f e c t i v e t h e s et h e o r i e sa r ea tl e a s ts e tu po nt h eb a s i cs u p p o s i n g f i r s t , t h ec h a n g eo ft h e p r i c ei st o t a l l yd e c i d e db yn e wi n f o r m a t i o n ，t o d a y sp r i c ea n dy e s t e r d a y sp r i c ea r e s e p a r a t e s e c o n d , t h ep r i c ei sn o r m a ld i s t r i b u t i o n t h i r d , i n v e s t o ri sc o m p l e t e l y r e a s o n a b l e s u c hl i n e a rf o r mh a so c c u p i e df i n a n c i a le c o n o m i c sa sl o n ga sh a l fa c e n t u r y h o w e v e r ，t h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r yc a n te x p l a i nn u m c r o u sp h e n o m e n a a p p e a r i n gi nt h er e a lf i n a n c i a lm a r k e t t h u s ，t h ec a p i t a lm a r k e tt h e o r yb a s e do nt h e e f f i c i e n tm a r k e tt h e o r yn o wr e c e i v e sq u e r ya n dc h a l l e n g ei nv a r y i n g d e g r e e s s i n c e1 9 9 0 s ，n o n - l i n e a rt h e o r ya n dm e t h o d sa r ea p p l i e dt of i n a n c i a lm a r k e t r e s e a r c he x t e n s i v e l y , s u c ha sn o n l i n e a rk i n e t i c s ，c h a o st h e o r y , f z a c t a lt h e o r y , e t c w i t ht h ea p p l y i n go ft h en o n - l i n e a rt h e o r yi nr e s e a r c h i n gt h es t r u c t u r eo ff i n a n c i a l m a r k e t , t h es t o c kp r i c ef o r e c a s t i n gm o d e ld e v e l o p st o w a r d sn o n - l i n e a rd i r e c t i o n t o o t h ed e v e l o p m e n to ft h ef r a c t a lt h e o r ye s t a b l i s h e st h ef r a c t a lm a r k e th y p o t h e s i s 1 ( f m 田w h i c hc o n f o r m st ot h er e a lm a r k e tb e t t e r f m hh a sb r o k e nt h ep e s s i m i s t i c v i e w p o i n to ft h ee f f e c t i v em a r k e th y p o t h e s i sa n dp r o v i d e sab a s i so ff o r e c a s t i n g t h es t o c km a r k e t t h i sa r t i c l ed o e se m p r i c a lr e s e a r c ho nf r a c t a ls t r u c t u r ea n d m e m o r yc h a r a c t e ro ft h es t o c km a r k e ti nc h i n ab yh i g hf r e q u e n c yd a t ao ft h e s h a n g h a is t o c ke x c h a n g ec o m p o s i t ei n d e x n e x tw e 1 l s can e r v en e tm o d e lt o f o r e c a s tt h es h a n g h a is t o c ke x c h a n g ec o m p o s i t ei n d e x t h er e s u l t so ff o r e c a s t i n g s u s t a i nt h ef r a c t a ls t r u c t u r ea n dm e m o r yc h a r a c t e ro ft h es h a n g h a is t o c ke x c h a n g e c o m p o s i t ei n d e xw h i c hw ec o n c l u d e t h es t r u c t u r eo fa r t i c l ei sa sf o l l o w s ：c h a p t e ro n ei st h ei n t r o d u c t i o n w ei n t r o d u c e t h eb a c k g r o u n da n dm e a n i n go ft h er e s e a r c h c h a p t e rt w o ，w es y s t e m a t i c a l l y e x p l a i nt h ef r a c t a lt h e o r y , i n c l u d i n gb a s i cc o n t e n t , c h a r a c t e r i s t i ca n dm e a n i n go f t h ef r a c t a lt h e o r y c h a p t e rt h r e e , w ed oal o to fe m p h - i c a lr e s e a r c ho hf r a c t a l s t r u c t u r ea n dm e m o r yc h a r a c t e ro ft h es t o c km a r k e ti nc h i n a c h a p t e rf o u r , w e s t u d yt h ef o r e c a s t i n gm o d e l so ft h ec h i n e s es t o c km a r k e t f i n a l l yw es u m m a r i z e t h er e s u l to fs t u d ya n ds o m ep r o b l e m sn e e d i n gf u r t h e rs t u d y i n g k e yw o r d s ：f r a c t a l ；r sa n a l y s i s ；l o n g - t i m em e m o r y ；b pn e r v en e t ；f o r e c a s t 2 1 绪论 1 1 论文研究的背景 1 绪论 金融市场的有效性问题，是金融市场研究的基石，它是对金融市场基本 结构和波动特性的分析。金融市场的基本结构特性，市场对于历史信息的反 馈机制金融市场的基本波动特性以及其内在机理，这些问题都是金融市场研 究中首先要回答的问题，它为其它问题的研究奠定基础，建立一个理论框架。 长期以来，这块理论基石一直披有效市场理论所统治。有效市场理论认 为，资产价格的变动是独立、随机、不可预测的。当资本市场价格对披露的 相关信息( 历史信息、公开信息和内幕信息) 及时、迅速、准确地反映时， 资本市场有效；反之，则资本市场无效。这些理论至少建立在以下假设基础 上：一是价格的变化完全由新的信息决定，今天的价格与昨天的价格是相互 独立的；二是价格序列服从正态分布；三是投资者完全理性。这种线性范式 ( 看问题的总体方法) 一直主宰着金融经济学长达半个世纪。 然而，实际金融市场中出现的众多现象，有效市场理论却无法做出解释， 比如，1 9 8 7 年的“黑色星期一”现象、小公司效应、一月效应、低市盈率效 应等。后来的大量研究发现，金融市场中存在许多与有效市场理论假定相违 背的事实，比如，金融时同序列经常表现出短期和长期相关性；金融价格分 布表现出尖峰胖尾特性；投资者经常出现反应过度或反应不足的现象。这不 是实际市场存在问题，而是有效市场理论的过分严格的假设条件存在问题。 从而，建立在有效市场理论基础之上的资本市场理论受到不同程度上的质疑 和挑战。 e d g a r e p e t e r s ( 1 9 9 4 ) 突破有效市场理论的独立、线性、正态、静 态等假定，提出了分形市场理论( f r a c t a lm a r k e tt h e o r y ，f m t ) 。该理论认 段票市场的非线性结构实证与预涮 为，资本市场是由大量的具有不同投资期限的投资者组成的，信息对各种不 同投资者的交易时间有着不同的影响。资产价格的变化不是随机游动，而是 具有增强趋势的持久性，今天或未来的资产价格变动与初始状态之间并非相 互独立，而是持续相关的。分形市场理论的提出尽管使得理解市场和经济的 问题变得复杂得多，但是也现实得多，更加符合金融市场的实际统计特性。 随着金融市场结构非线性理论的兴起，股票价格预测模型也向非线性方 向发展。从预测方法本身而言，股票价格预测模型可以分为两类j 即定性预 测模型和定量预测模型。定性预测模型中以d e l p h i 法为代表，其在股票市场 也有相近的用法，如投资者在媒体上昕各类股评家及机构对后市的预测，对 投资者而言就相当于作了一个d e l p h i 法的调查。定量预测模型中又可分为线 性的因果回归预测模型和时间序列预测模型，以及非线性的非线性动力学预 测模型、以时间序列驱动的各类人工智能技术预测模型及智能预测支持系统 等。其中非线性预测模型越来越为人们关注和运用。 1 2 论文的基本结构与创新点 1 2 1 论文基本结构 论文以中国股市的分形结构为主题，进行了大量的理论探讨和实证研究。 第。漳为绪论，介绍论文研究背景和研究的意义。有效市场理论已经被 证明不符合金融市场的实际情况，在此基础上建立起来的传统对金融市场的 描述方法就令人怀疑。非线性的金融市场应该用非线性的方法来描述。分形 理论的发展提供了这样一个有效的工具。 第二章，对分形理论进行了系统的阐述。包括分形理论的基本内容和特 征，以及分形市场理论对于股市的意义。可以看到，分形理论具有自相似性、 标度不变性、分形维、局部相似性和整体确定性的特点。分形市场理论是有 效市场理论的扩展，能为真实金融市场提供强有力的解释，为金融计量分析 揭示了一个崭新的研究方向。 第三章，对中国股市的分形结构进行了大量的实证分析。本文以中国股 市最具有代表性的上证综合指数为研究对象，并对不同的时间标度下的数据 2 1 绪论 取样，包括上证综合指数的5 日收益序列、日收益序列、6 0 分钟收益序列、 3 0 分钟收益序列、5 分钟收益序列。全面详细的描述了上证综合指数的分形 结构。实证的结果发现上证综合指数最长有一个1 8 0 个交易日( 大约8 到9 个月) 的循环，其次是一个4 个交易日的循环。 第四章，研究中国股市的预测模型。金融市场是非线性的，以线性范式 为基础的传统投资理论模型都不适合作为股市预测的模型。本文首先介绍了 目前的一些非线性分析方法和模型，包括指数自回归模型、双线性模型、非 线性自回归模型、门限自回归模型、神经网络模型和小波神经网络模型等。 然后介绍了神经网络模型的原理和算法，并尝试建立神经网络模型来对中国 股市进行预测。 第五章，讨论了金融市场结构的可能发展方向和一些需要进一步研究的 问题。 1 2 2 论文创新点 1 样本范围涉及广。现有的分形结构研究成果一般都是以日收益为主， 本文不但有上海和深圳两市的日收益，还包括了6 0 分钟、3 0 分钟和5 分钟收 益这些高频数据。本文的实证分析是较为全面详细的。 2 分形理论与非线性分析方法的结合。现有的文献一般只描述市场的分 形结构，而很少解释，可操作性较低。既然分形理论揭示了市场是非线性的， 那么解释市场行为时就应该运行非线性的分析方法。基于此，本文以实证所 显示的市场分形结构为指导，尝试建立非线性的神经网络模型来对市场进行 预测，把分形理论与非线性方法有效地结合起来，使本文具有较强的可操作 性。 3 股票市场的非线性结构实证与预测 2 分形市场理论 2 1 有效市场理论及其缺陷 有效市场理论( e m h ) 的发端可以追溯到上世纪初它的随机游走版本。继 b a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 提出市场遵循随机游走之后，k e n d a l l ( 1 9 5 4 ) 、r o b e r t s ( 1 9 5 9 ) 、o s b o r n e ( 1 9 5 9 ) 、c o o t n e r ( 1 9 6 4 ) 等学者的研究也支持随机游 走理论。当时研究专家认为，只要对市场施加某些约束性的必要条件，在分 析资本市场过程中使用概率微积分得以正当化，就可以实现。而收益序列必 须相互独立或至少必须具有短期记忆；则是最严格的必要条件。在这种条件 下，收益就是随机游走的随机变量。随机游走理论为有效市场理论的发展奠 定了基础。但是，随机游走理论是有效市场理论的最严格版本。市场有效并 不一定意味着服从随机游走，但随机游走确实意昧着市场有效。对随机游走 模型的偏离，并不能代表市场无效。因此，满足随机游走模型只能看作是市 场有效的充分条件，并不是必要条件，随机游走要求的条件比市场有效严格 的多 f a m a ( 1 9 7 0 ) 将市场效率与信息结合起来，提出有效市场假说，即当市 场价格充分及时地反映了所有可得的信息时，则这样的市场是有效的。不同 的信息集对应着不同层次的市场有效性。f a m a 进一步将有效市场划分成三个 具体的层次：弱式有效市场：市场价格已充分反映价格历史序列所包含的 一切信息；半强式有效市场：市场价格不仅已充分反映历史的价格信息， 而且反映所有与公司有关的公开信息，比如公司的资产负债表、现金流量表、 分配方案、股票拆细等公布信息；强式有效市场：市场价格已充分反映所 有可利用的所有信息( 包括公共和私人信息) 。如果市场是弱式有效，意味着 投资者不可能利用过去的市场价格获得超额利润，股票投资中的技术分析将 4 2 分形市场理论 失效；如果市场是半强式有效，意味着投资者既无法从历史信息中获取超额 利润，也无法通过分析当前的公开信息获得超额利润，此时，技术分析和基 础分析均将失效；如果市场是强式有效，意味着投资者无法从所有信息中获 取超额利润，此时，任何分析均将失效。至此，f a m a 对有效市场的定义标志 着有效市场理论的形成。 国内外众多学者对有效市场理论进行了广泛深入的检验。一般地，检验 也是按照市场有效性的三个层次来进行的。过去的经济学家主要集中检验弱 式有效，代表性检验方法包括：随机游走检验、游程检验和过滤检验。随着 研究的不断深入，新的检验方法也相继产生，比如，乘积过程模型( t a y o r ， 1 9 8 6 ) 、条件异方差模型( g a r c h ) ( b o l l e r s l e n ，1 9 8 9 ) 、重标极差分析法( r s ) ( p e t e r s ，1 9 9 1 ) 。事件研究法是对半强式有效检验的常用方法，即分析某事 件发生前后一段时期研究对象的具体行为的变化特征。对于强式有效检验目 前尚未形成比较成熟规范的方法，主要通过观察那些最有可能利用内幕消息 的交易者( 如机构投资者、公司内部人员) 的业绩来研究内幕信息对超额收 益的反映程度和速度。近几年来，国内众多学者也对中国股市有效性进行了 大量检验，大部分实证检验结果表明，目前中国股市已达到弱式有效，而几 乎没有结论证实中国股市达到半强式有效。 通过对有效市场理论的检验，人们发现金融市场中的许多现象、特性是 有效市场理论所不能解释的，甚至是与有效市场理论相矛盾的。有效市场理 论对于现实市场作出种种简化，使其前提假设与真实市场情况不符，从而无 法揭示市场复杂的波动特性。 e m h 告诉我们，目前所有的信息均已反映到价格中去，因此，下一时刻价 格的波动与历史数据无关，只与下一时刻的信息有关，是随机的且不可预测。 这里e m i l 实际上作出了如下假设：所有投资者具有相同的、理性的预期，并 且市场上有如此之多的投资者，他们都能免费、及时的获取信息，并对信息 作出迅速的、一致的反应，使得所有信息都立即反映到价格中去，任何人都 无法获取超额利润。但是在现实市场中，投资者并非完全理性的，同时他们 具有不同的偏好，如风险、效用、投资期限等，对于市场走势有着不同的预 期，对于股票价值有着不同的判断，e l 肛1 认为投资者以线性的方式对信息作出 反应，简化了市场行为便于进行分析，然而，正是这样的假设，可能掩饰了 5 股票市场的非线性结构实证与预涮 市场的真实特性。 e m h 以一种线性范式来拟合市场，可能正是所有关于e 姗争论的症结所 在。在关于投资者的齐次理性预期、对于信息相同、及时的反应、以及市场 的均衡状态等方面，e e l 都采用了一种线性的范式，在系统的线性区及近线性 区，采取线性的分析方法可以简化问题的复杂性，然而在系统的非线性区仍 采用线性的分析方法，则会得出错误的结论。非线性系统是更为一般的存在， 而社会经济系统包括金融市场，从本质上讲也是非线性的，非线性理论为金 融市场的研究提供了一个更为广阔的方向和更加有力的工具，同时也揭示了 闯题的复杂性。 由以上分析看出，e e l 试图用一个简练的理论框架来描述金融市场，但正 由于其前提假设的种种局限性，归根到底是由于其所采用的线性范式，使其 只能描述金融市场的一种特殊形态，而未能全面揭示金融市场的结构和波动 特性可喜的是，非线性系统理论的研究已经引起了人们的注意并取得了一 定的进展，诸如混沌和分形等理论的研究已经开始在各个领域得到广泛应用， 也包括在金融市场研究中的应用。 2 2 分形理论的创立与发展 美籍法国数学家b b m a n d e l b r o t ( 1 9 6 7 ) 在( s c i e n c e ) 杂志上发表的 论文中首次提出分形思想。他( 1 9 7 3 ) 在法兰西学院讲学时正式提出分形几 何的概念。m a n d e l b r o t ( 1 9 7 7 ) 出版第一本著作( f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) ，标志着分形理论的正式诞生1 9 8 2 年，( t h ef r a c t a lg e o m e t r y o fn a t u r e 出版标志着分形理论的初步形成。 自从诞生之后，分形理论得到迅速的发展和广泛的应用，已涉及自然科 学、社会科学、经济科学、思维科学等各种领域。如今，分形和分维的概念 早己从最初所指的形态上具有自相似性的几何对象这种狭义分形，扩展到了 结构、功能、信息、时间上等具有自相似性的广义分形。在此基础上，迸一 步提出了分形方法论，其内容主要包括以下两点：第一，以分形客体的部分 和整体之间的自相似性为锐利的武器，通过认识部分来映象( 即反映和认识) 整体，以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识；第二，运用分形理论 6 2 分形市场理论 的思想和方法，从无序中发现有序，揭示杂乱、破碎、混沌等极不规则的复 杂现象内部所蕴含的规律。 分形理论及其分形方法论的提出有着极其重要的科学方法论意义，它导 致了科学思想、科学思维方式和科学方法论的深刻变革，为人们认识世界提 供了新的视角和新的思路。它打破了整体与部分、混乱与规则、有序与无序、 简单与复杂、有限与无限、连续与间断之间的隔膜，找到了它们之间相互过 渡的媒介和桥梁( 即整体与部分之间的相似性) ，为人们从混沌与无序中认识 规律和有序、从部分中认知整体和从整体中认识部分、从有限中认识无限和 通过无限深化和认识有限等提供了可能和根据：它同系统理论、自组织理论、 混沌理论等研究复杂性的科学理论一起，共同揭示了整体与部分、混沌与规 则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续与闻断之间多层面、多视 角、多维度的联系方式，使人们对它们之间关系 认识的思维方式由线性进展到了非线性阶段 现在，分形理论及其方法作为- 个有力的工具正在被人们用于各个领域 的研究。近1 0 多年来，分形应用到对金融市场的研究，已得到极其迅速的发 展和肯定。由此形成的分形市场理论( 就是分形理论应用于金融市场的产物) 对有效市场理论提出了前所未有的挑战。 2 3 分形简介 当你走在林荫大道上，仔细观察道边的树，你会惊奇地发现，树与树之 间都是如此惊人的相似，但是你又能辨认出每一棵树。再仔细观察每一棵树， 将进一步惊喜地发现，树与树上长满的树枝之间、大树枝与小树枝之间、树 枝与树叶之间等都具有不同程度的相似。这种相似，我们称之为自相似。树 所具有的这种结构，我们称为分形。 象这样的结构，自然界还有很多很多，比如。漂浮在空中的云球、动物 的肺、起伏不定的山脉、这些我们都将其称为分形。 至此，你脑海中肯定对分形( f r a c t a l ) 有了一个大概的认识。那什么是 分形呢9 分形几何之父b b m a n d e l b r o t 曾给分形下过两个定义： m a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年给出分形的第一个定义：分形是h a u s d o r f f 维数 7 段票市场的菲线性结构实证与预溺 大于其拓扑维数的集合，他于1 9 8 6 年给出了分形的另一个定义：一个集合称 之为分形若整体与其组成部分具有某种程度的自相似。m a n d e l b r o t 认为，分 形具有“r o u g hb u ts e l f s i m i l a r ”的特性。 然两，人们逐渐发现，绘分形下一个准确的数学定义是困难的。f a l c o n e r ( 1 9 9 0 ) 曾给分形下过一个如下的定义一个集合a 称之为分形，若a 满足下 列中的若干条性质： ( 1 ) a 具有精细的结构即有任意小比例的细节； ( 2 ) a 是如此的不规则以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语 言来描述； ( 3 ) a 通常有某种自相似的形式可能是近似的或是统计的； ( 4 ) a 的某种分形维数大于其拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下a 以非常简单的方式定义或是由迭 代产生。 在非线性系统的研究中，人们发现分形往往与混沌现象同时出现。其实， 分形和混沌是从不同的角度对非线性动力系统的描述，分形侧重于从吸引子 角度的角度描述系统，揭示了动力系统吸引子的奇异性和分数维特性，而混 沌理论则更侧重于动力系统轨道和动态特性的描述。但是，这两种理论都可 以统一到非线性动力系统理论的框架之中，并且，二者具有紧密的联系。如 对于动态过程的长期相关关系，在分形理论中称为长期记忆性，而在混沌理 论中称作对于初始值的敏感，二者具有一定的相似性： 2 ，4 分形维 我们容易认为，任何有深度的物体都是“三维的”从数学上说，这是不 对的。一条标绘在三维空间里的线也有深度，但线仍然是一维的。一个真正 的三维物体是一个立体，也就是说，物体的表面没有洞或间隙。这一点解释 了为什么用欧几里得几何去再生具有自然外表的物体是如此之困难大多数 真实的物体在经典的、欧几里得的意义上都不是立体：它们有洞或间隙。它 们仅仅是存在于三维空间。 一个时间序列，只有当它被许许多多的发生可能性相等的事件所影响时， s 2 分形市场理论 才是随机的。用统计学术语说，它有很大的自由度。一个非随机时间序列反 映出其影响的非随机性质。数据会团在一起，反映出其影响的内在的相关性。 换句话说，时间序列是分形的。 分形维是由物体或时间序列如何填充其空间决定的i 一个分形物体是以 不均匀的方式填充其空间的，因为它的各个部分是有关系或相关的。要确定 分形维，我们必须度量物体在其空间中是如何团在一起的。有许多计算维数 的方法，但所有这些方法都牵涉到算出分形形状的体积或面积，以及当体积 或面积增加时，它的标度如何变化。海岸线是一个很好的例子，特别是考虑 到海岸线与时间序列的几何相似性。麓a n d e l b r o t 曾认为我们永远不可能真正 量出一条海岸线的长度，因为我们计算的长度依赖于我们用来量它的尺予的 长度。尺子越短，海岸线就越长。 因为这对于所有的海岸线都对，长度不是一个比较海岸线的有效方法。 作为替代，m a n d e l b r o t 提议用分形维来比较它们。海岸线是参差不齐的线， 所以它们的分形维大于一( 一是它们的欧几里得维数) ；究竟大多少取决于海 岸线参差不齐的程度它们越参差不齐，它们的分形维就越接近予二，一个 平面的维数。分形维是通过度量这一参差不齐的性质计算的。我们计算需要 多少个具有某个直径的圆，才能覆盖住海岸线。我们增加其直径，再数一数 圆的数目。如果我们继续这样做，我们会发现，圆的数目于圆的半径有一种 指数关系。圆的数目按照以下关系变化： ( 2 - - ) d 1 ( 2 1 ) 其中：= 圆的数目； r = 半径； d = 分形维数。 等式( 2 1 ) 可以用对数进行变换； d 堕盟 ( 2 2 ) 1 0 9 ( 1 2 r ) 与比较海岸线相似的，我们可以通过计算其分形维来比较不同的股票。 我们通常通过看其易变性来比较不同证券的风险。一个股票越易变，它就被 认为是风险性越大易变性或风险被确定为收益率的标准差。但是，只有在 其背后的系统是随机的时候，标准差才可以作为离散度的有效度量。许多研 9 股票市场的非线性结构实证与预测 究都一致显示，股票收益率的分布不是正态的，标志差作为相对风险的一个 度量的有用性是有疑问的。 作为一个侧子，让我们看两个可能的收益率序列，在表2 1 中标为s 1 和 s 2 。 袭2 - l标准差与分形维 l 观测 12 3456 累积收益率标准差分形维 s l + 2- i- 2+ 2- i+ 2+ l9 31 7 0 1 4 2 is 2 + l+ z+ 3+ 4+ 5+ 6+ 2 2 8 31 7 11 1 3 s l 是一个无趋势序列，s 2 不是正态分布的，而s 2 则显示了明显的趋势。 s 1 有一个1 。9 3 的累积收益率，与此相对照，s 2 的累积收益率是2 2 8 3 。然 而，s l 的标准差是1 7 0 ，而s 2 的标准差几乎是同样的1 7 1 在这个假想的 例子中，两个有着几乎相同的易变性的股票的收益率的特征却相当不一样。 纯粹主义者会说，两个序列都不是正态分布的，因而作这种比较也就没有意 义。问题恰恰就在这里因为股票收益率显然不是正态分布的，用标准差作 为风险的一个度量，就像在比较海岸线时使用长度一样，是无效的。s 1 的分 形维是1 4 2 ，而s 2 的分形维是1 1 3 。s l 显然是一个比s 2 更参差不齐的序列， 所以，分形维是定性地区分两个序列的一种方法 2 5 分形特征 由于难以直接对分形进行精确定义，因此，往往从分形所具有的主要特 征对分形做深入的刻画。分形确实具有某种可测的性质，而且具有符合建模 目的的要求。 ( 1 ) 自相似性 一个系统的自相似性是指某种结构或者过程的特征从不同的空间尺度或 时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体 类似另外，在整体与整体之闻或部分与部分之间也会存在自相似性。一般 情况下，自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简 单地与整体完全重合。但是，表征自相似系统或结构的定量性质如分形维， 1 0 2 分形市场理论 并不会因为放大或缩小等操作而变化，所改变的只是其外部形式。在前述的 三个分形例子中，可清楚地看到这一性质，它们的任意一部分都与整体是完 全相似的，然而，它们是严格意义上的自相似，因为它们是按照一定的数学 法则生成的，因此，这种自相似性仅在数学意义上存在。实际中的分形，其 自相似是在统计意义下的自相似。比如，树枝之间，尽管相似，但是并不完 全相同。 ( 2 ) 标度不变性 所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时 得到的放大国又会显示原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或 缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标 度不变性又称为伸缩对称性。通俗地讲，如果用放大镜来观察一个分形，不 管放大倍数如何变化，看到的情形都是一样的，从观察到的图形，无法判断 所用放大镜的倍数。上述的分形例子均具有标度不变性，因为无论将它放大 或缩小多少倍，它的基本几何特征都保持不变。对于实际的分形体，这种标 度不变性可能只在一定的范围内适用，通常把这个适用的空间称之为该分形 体的无标度空间。具有标度不变性的分形体是没有特征长度( 代表物体几何 特征的长度) 的。欧氏几何空间中的正方体、球都是具有特征长度，分别为 正方体的边长和球的半径。一定的特征长度对应于特定的图形，在不同的特 征长度下对应的图形是不同的对于分形体，没有特征长度意味着，如果用 具有特征长度的图形去近似的话，与真正的形状相比，任何时候( 改变图形 类型或特征长度) 都会产生不可忽视的很大误差，为减少这些误差，必须使 用无数大小不同的这样的几何体。 ( 3 ) 分形维 欧几里德几何世界的维数是整数维，比如，直线是一维、平面是二维、 体积是三维。而且，欧氏几何体光滑而连续、同质而对称。欧氏空间形式是 完美的。然而，分形世界的分形维取值不限于整数( 注意分形维不一定等同 于分数维) 分形维是对具有非光滑、非规则、破碎等极其复杂特性的分形体进行定 量刻画的重要参数，表征分形体的复杂程度、粗糙程度，即就是分形维越大， 分形体就越复杂、越粗糙，反之亦然。分形空间的分形维特征化分形体是如 股票市场的非线性结构实证与预测 何填满它的空间的和如何规模变化的。而分形时间序列的分形维刻画时间序 列的参差不齐程度。 ( 4 ) 局部随机性和整体确定性共存 在分形世界中，随机性和确定性、混沌与秩序两两共存。例如，每棵树 都有整体结构的确定性和枝叶部分的随机性。一般来说，我们知道松树看起 来像什么，而且能够高精度地预测任何松树一般的和整体的样式。尽管每棵 树都各不相同，但它们却呈现某种整体特性。而在单个树枝水平上，每个树 枝又是不同的，不知道它们的长度和直径。w e s t 和g o l d b e r g e r 表明，具有这 种特征的分形结构比其他结构( 例如对称结构) 更有稳定性和更具容错性。 在每一个枝节上，平均直径依幂律法则而减少，每一节的直径依据上一节的 直径减少，并且任何单个枝节仅能以概率意义描述因此，我们有整体的确 定性( 平均的枝节尺度) 和局部的随机性( 单个枝节的直径) 假如直径是指 数形式按比例变化的，一个枝节的差异将不仅仅可能影响下一个枝节，而且 误差将伴随每一连接枝节而增加。一个小误差将导致树枝变成畸形。然而， 在分形结构下，由于直径依分形的规模比例变化( 因为幂律法则) ，以及局部 概率结构，误差有较小的影响。每一枝节有一个直径范围，一个畸形树枝在 其他枝节的形式上有较少的影响。这样一来，分形结构( 整体确定、局部随 机) 在形式上比其他结构更具容错性。我们可以从树的分形( 稳定) 结构交 换到股票市场的动态结构上来。将变换枝