（机械电子工程专业论文）齿轮泵优化设计及参数化仿真.pdf

摘要 优化设计是数学规划与计算机技术相结合的产物，它在工程设计中 的应用大大提高了设计质量，缩短了设计周期。本课题以广泛应用于各 种行业中的液压动力元件一一外啮合齿轮泵为研究对象，从设计方法的 角度分析传统设计方法在齿轮泵设计中所体现出的不足，以非线性数学 规划和多目标函数优化为理论基础，采用序列二次规划的工程优化算法 对齿轮泵的核心工作部件一一齿轮的基本参数( 模数m ，齿数z ，齿顶 高系数，和变位系数孝) 进行优化设计使它们的设计值达到最优化匹 配，从而使表征齿轮性能的几个重要指标( 流量脉动率以，齿轮径向 力f ，单位排量泵的体积圪) 达到最优。随过与生产厂家现有产品的性 能对比，映证了优化结果是可靠的， 稳定性和适应性。 所编程序及采用的算法具有较强的 参数化设计对于高效地开发结构相同、尺寸有差异的系列产品有重 要的意义i 7 结构相同的齿轮泵通常是以排量或模数来划分系列的，本文 紧密结合齿轮泵设计实践，以a u t o c a d 的c 语言开发系统( a d s ) 为 参数化设计的平台，运用c 语言将齿轮真实啮合过程的仿真和浮动轴 套及卸荷槽的参数化设计结合起来作二次开发，为齿轮泵的设计工作提 供了直观的依据，对于提高设计效率和设计质量有很好的参考作用。 关键词：齿轮泵浮动轴套优化设计参数化 a b s t r a c t o p t i m u md e s i g ni st h er e s u l to fc o m b i n i n gm a t h e m a t i c sp l a nw i t hc o m p u t e r t e c h n o l o g y i t sa p p l i c a t i o ni ne n g i n e e r i n gd e s i g nh a si m p r o v e dt h eq u a l i t yo fd e s i g n g r e a t l ya n ds h o r t e n e dt h ed e s i g nc y c l e t h i sp a p e ra n a l y s e s t h ed e f i c i e n c yo f t r a d i t i o n a lm e t h o d si nt h ed e s i g no f e x t e r n a lg e a rp u m pt h a th a sb e e na p p l i e di nw i d e i n d u s t r y f i e l d i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m s ，s q pa l g o r i t h m ( s e q u e n t i a l q u a d r a t i cp l a n ) t h e o r e t i c a l l yb a s e do nn o n l i n e a rm a t h e m a t i c sp l a na n dm u l t i - o b j e c t o p t i m i z a t i o ni su t i l i z e dt oo p t i m i z et h em a i np a r a m e t e r s ( m o d u l u sm ，t h en u m b e ro f t e e t hz ，t e e t hh e i g h tp a r a m e t e r c h a n g i n gp a r a m e t e rf ) o fg e a r t h r o u g ht h e o p t i m i z a t i o no fp a t a m e t e r s ，w eg e ts e v e r a lg r o u p so fo p t i m u mm a t c h i n gp a r a m e t e r s t h e s eo p t i m u mp a r a m e t e r sm a k et h et h r e ei m p o r t a n tp r o p e r t yi n d e x e s ( t h er a t eo f f l o wv a r i a t i o n 毛，m d i a lf o r c ef ，t h ev o l u m eo fd i s p l a c e m e n tp e ru n i t 匕) o fg e a r p u m pa p p r o a c ho p t i m u mv a l u e s i th a sb e e np r o v e dt h a tt h ep r o g r a m sm a d eb y m y s e l fa n da l g o r i t h ma p p l i e dh a v eg o o dr e l i a b i l i t y a n da d a p t a b i l i t y t h r o u g h c o m p a r i n go p t i m u mr e s u l t sw i t hs o m ee x i s tp r o d u c t s ni ss i g n i f i c a n tt od e v e l o pas e r i e so f p r o d u c t sw i t hs a g n es t r u c t u r ea n dd i f f e r e n t s i z eb yu s i n gp a r a m e ( x i z a t i o n g e a rp u m pi sak i n do ft y p i c a ls e r i a l p r o d u c t c l a s s i f i e di na c c o r d a n c ew i t hm o d u l u so rd i s p l a e e m e n t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h e s i m u l a t i o no ft h er e a lm e s h i n gp r o c e s so fg e a r si np u m pa n dp a r a m e t r i z a t i o nd e s i g n o ff l o a t i n gb e a r i n ga n du n l o a d i n gg r o o v e sb a s e do ncd e v e l o p m e n ts y s t e mo f a u t o c a d t h er e s u l to f t h i sp a r to f f e r sd e s i g n e r sav i s u a d e s i g nb a s i s ，w h i c hm a k e s d e s i g n i n gw o r km o r ee f f i c i e n t l y k e yw o r d s ：e x t e r n a lg e a rp u m pf l o a t i n gb e a r i n g o p t i m i z a t i o nd e s i g n p a r a m e t r i z a t i o n 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 第一节课最的来源及其意义 齿轮泵作为一种典型的液压动力元件广泛应用于机床工业、农用机械、工 程机械、航空航天和船舶工业等众多工业领域。它的结构简单，主被两齿轮就 构成了其主要工作部件，较之叶片泵( 叶片、转子及其它附件) 及各种型式的 柱塞泵( 斜盘、柱塞、缸体和回程盘等部件) 在原始设计、制造工艺和加工手 段等方面有着无法比拟的优越性。齿轮泵工作部件是轴对称的旋转体，故其高 速性能很好( 一般最高转速可达3 0 0 0 r m i n ，飞机用齿轮泵最高能达到 匝 p 图l 一1 8 0 0 0 r r a i n ) 。它具有优良的自吸性能( 最 高自吸真空度可达4 2 5 m m h g 3 1 ) ，这是除 螺杆泵( 约4 7 5 m m h g ) 以外其它形式的泵 所不及的。齿轮对油液污染的敏感性远远 低于叶片及柱塞等部件，在齿轮泵的运行 故障中很少是由于液压油污染所致。但是 我们也知道齿轮泵具有流量脉动率较大、 噪声较高、效率相对较低和个别零件受力 情况恶劣等特点。 如图l - 1 所示( 其中f 为啮合点c 到节点p 的距离，r 为节圆半径) ，由 文献 1 可知，对于任何结构形式的外啮合齿轮泵，只要确定了f 值，就可知其 瞬时流量q n 为： q _ = m 8 ( r ；一r 2 一f 2 ) ( 1 1 ) 式中 国一齿轮泵转速( j 1 ) 曰一齿宽( n u n ) 疋一齿顶圆半径( m m ) 齿轮在转动时，其啮合点沿公法线印不断变化，因而啮合点与节点之间的 第1 页 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 距离f 也发生改变。由式( t - 1 ) 可知，f 值的变化会造成瞬时流量q 曲值的变化， 从而产生流量脉动，同时也会产生对噪声指标的影响。以上分析得知，这种流 量脉动是齿轮泵运行工作中所固有的。为了尽量减小这种流量脉动，就必须研 究它与齿轮其它参数的相互关系，进而寻求到最佳的匹配关系，这也是本课题 即将研究与论述的一个重要部分。 具有流量脉动的油液进入系统时，会因系统的阻抗而产生压力脉动，这种 液压振动给噪声带来的很大影响。除此p 4 ：5 , t - ，齿轮泵的机械振动也是导致其噪 声的一个重要方面。齿轮泵的振动噪声与其它机械振动产生的机理一样是由于 弹性系统受激响应的结果。齿轮泵在工作中，齿轮在交变的激振力作用下将会 激起圆周振动、径向振动以及轴向振动。引起交变激振力的因素很多，主要是 由齿轮本身的原因产生的。如由齿轮端面的粗糙度、齿轮的接触精度和齿轮制 造的各种误差所导致。由此可使泵产生冲击性、周期性的或随机性的振动。实 际设计工作中，通常通过控制齿轮的运动精度和工作平稳性精度来限制齿轮在 一转内回转角的全部误差数值及齿轮在一转内回转角的全部误差中多次重复的 数值，以达到使从动轮在一转中回转角误差的最大值不得超过工作情况允许的 限度，并且其瞬时传动比的变化应在一个允许的范围内，以减小冲击、振动和 噪声f 2 1 。 另外，泵在工作中还会出现由啮合齿间闭死容积变化引起高压和气穴交替 出现的现象，同样会使泵产生强烈的振动和噪声。在轴套或侧板上适当地设计 合适形状和大小的卸荷槽会大大缓解由此所带来的噪声。本课题的参数化设计 部分对此将有论述。 齿轮泵的效率相对而言处于中等水平。由于各工作构件之间的缝隙造成的 泄漏流量大体上与工作压差成正比，与液体的粘度成反比，与间隙的三次方成 正比，因此，工作构件的泄漏通道的间隙大小会对容积效率产生明显影响。此 外，容积效率还随着转速的减小而降低。机械效率的影响因素较为复杂，但其 基本上随工作压羞的增大而提高。齿顶园与泵体内孔问的径向间隙产生的泄漏 占总泄漏的1 5 , - - 2 0 。通过齿轮两侧面与前后侧板或轴套之间的端面间隙产生的 泄漏占总泄漏的8 0 左右。同时，转动的齿轮还会受到齿顶面和齿轮端面间隙 中液体的粘性摩擦阻力。对于高压齿轮泵来说，必须采取一定的措施来提高其 第2 页 天津大学硕士学位论文第一章绪论 容积效率，否则其工作性能将降到无法忍受的地步。 在高压齿轮泵中，被动齿轮及其轴承会承受相当大的径向力，这对泵的寿 命会有很大的影响。通过对浮动轴套和轴承的改进可以适当降低径向力的影响。 本课题试图通过优化齿轮基本参数来将径向力减至最小。 经过本人对元件生产厂家和使用客户的调查分析，深感提出一种能够在一 定程度上综合提高齿轮泵性能的现代设计方法的重要性。本课题正是针对齿轮 泵所具有的以上这些优缺点参照国内外使用发展现状及成果而进行探讨的。 第= 节国内外发展现状 多年以来，国内外的专家、学者及企业中的设计人员在提高齿轮泵工作性 能、优化零部件结构、延长使用寿命方面做了大量的研究工作。在实际应用中， 起到了一定的效果。归纳起来，这些工作主要分两个方面： 一以常规设计方法为基础的研究工作 以泵的各零部件结构改进作为开展研究的出发点，针对关键部件做结构上 的调整，从部分着手到整体性能( 性能、效率等指标) 的优化提高。这种思路 秉承了传统常规机械设计方法的思路，通过对所占有文献资料的分析，这方面 的研究可大体概括为以下几点： 1 对非对称齿形齿轮的研究和应用。非对称齿形齿轮具有双模数、双压 力角渐开线非对称齿形，其齿顶圆和分度圆较一般对称齿形的齿轮大，且齿顶 圆弧齿厚较短，从而增大了齿轮与壳体间工作腔容积，提高了泵的排量及功率。 相同外形尺寸情况下，此两项指标增大约2 0 【3 】。这种齿轮的轮齿两侧重合度 不等，以重合度较小一侧作为工作侧，可减小困油现象、降低噪声、改善齿轮 受力及延长齿轮泵的寿命。另外其轮齿两侧压力角不等，以压力角大的一侧承 载，改善了轮齿受力状况。 但非对称齿轮齿形须用不同刀具加工，而且由于有工作侧和非工作侧之分， 加工精度也不同( 工作侧精度高) ，加工起来不方便，工艺性差。 齿轮的设计也可结合计算机制图作立体图分析，找出适合于实际工作的理 第3 页 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 想齿形参数。 2 卸荷槽的结构形式与参数的合理与否对困油引起的液压冲击振动影响 很大，设计要求卸荷槽在高转速下能泄油通畅，不会因困油产生高压和气穴的 现象。合肥工业大学与原机械部通用研究所联合研制的齿轮泵卸荷槽面积计算 程序对合理设计齿轮泵卸荷槽提供了很好的参考。另外，武汉冶金科技大学研 究的种同时适用于无齿侧和有齿侧间隙的通用阻尼槽式卸荷槽，结构新颖， 很好地解决了因卸荷槽的存在容积效率随齿侧间隙增大而减低的问题，具体 结构如图1 2 所示。 图卜2 半圆形阻尼槽及矩形阻尼槽 3 改善泵体内流场边界条件，使流道壁面尽量圆滑，采用高阻尼材料或 采取附加阻尼等办法会对泵的降噪有所帮助。也有些厂家通过改进泵体材料， 采用经挤压工艺形成的拉伸形材，可使泵体在强度、刚度都有一定改善。 4 高压齿轮泵中的滑动轴承往往是决定泵寿命的重要环节。浙江大学通 过对齿轮泵齿轮轴的挠曲变形对其轴承承载能力的影响的研究，提出了一个用 一、 十 一- i s f _ 、 = r 亡 、墼堡擅 近似公式计算带挠曲变形轴的滑动轴承的 方法，为轴承设计提供了有价值的借鉴。 较新的齿轮泵一般采用刚背塑料复合滑动 轴承，其自润滑功能好，摩擦系数低。在 此基础上适当加大轴径尺寸，改善润滑油 槽结构，可有效延长轴承寿命。 5 从密封方面考虑，采用在齿轮泵 的轴端部和轴径处真空密封的方法，从二 第4 页 蒌堡查堂堡圭兰垡笙苎 塑二蔓堕笙一 次压力密封腔经泄漏孔引到吸油腔，有效根治了轴向外泄漏，降低了轴径处旋 转摩擦阻力，减少了泵体和两端盖间轴端和轴径处的轴向推力。”l 6 通过对外啮合齿轮泵轴套两端受力的精确计算，给出一套切实可行的 补偿面计算机辅助设计方法，以提高泵的机械效率、容积效率和工作平稳性。 此外，在两卸荷槽中间加过渡槽是一种解决困油问题的新方法( 如图1 3 ) ， 其结构简单，工艺性好，成本低。 二采用优化设计理论选择出齿轮泵的最佳参数 优化设计是6 0 年代开始发展起来的一门新的学科。这种设计方法是数学规 划与现代电子计算机技术相结合的产物。我们知道对于一种工程设计问题可能 有许多种解决方案，如何确定最优方案，实现设计参数的最优化是优化设计要 解决的闯题。 优化设计以其所用原理的不同分为数学规划法和准则法。数学规划法以严 格的数学规划理论为基础，保证结果收敛到问题的最优点。其算法平稳、成熟， 但迭代次数多、收敛时间长，对于大型复杂的设计问题，有一定的缺陷。但最 近计算机硬件的发展速度相当惊人，以前许多由计算速度和容量约束的问题现 在已受到了越来越少的限制。准则法是以一些基本概念出发，建立一些准则并 认为满足这些准则的可行方案，即为最优或近似最优方案。与前一方法相比缺 乏严格数学理论依据，有时还需要凭直觉做近似处理，结果比较粗糙。但这种 方法能较快地出优化结果，往往用于较复杂的工程设计问题，然而其应用面较 窄。目前一般只能作工程结构的最小体积或最轻重量的优化设计。 根据占有的文献资料，国内外在齿轮优化设计方面有一些研究先例，传动 装置的齿轮优化有些可供借鉴的资料。例如关于对齿面接触强度最佳齿廓的设 计；最佳油膜或其它条件下齿轮几何参数的最优化设计；传动参数的最优化及 满足强度要求等约束条件下单位功率质量或体积最小的变速器的优化；齿轮副 及其传动系统的动态性能的最优化等。但对应于齿轮泵中的齿轮做专业上要求 的优化设计却很少，只有一些文章简单地提出以等排量下体积最小为目标函数 的优化思路。波兰的w k o l l e k 在这方面有过论述，他通过穷举的方法求得最优 变向量，提出了可供借鉴的思路和模型2 瑚。其优化的目标函数及各参数的意 第5 页 墨堡查堂堡主堂垡堡苎苎二童堕堡 义如式( 1 2 ) 所示。 华。b + 掣 一d 十= 一f ：生2 一 ( 1 - 2 ) 式中：f 优化的目标函数值( m m r m 1 ) q 名义排量( m l r ) d 。实际中心距( m m ) b 齿宽( m m ) 卜一轴承工作有效宽度( m m ) d 轴承直径( m m ) 本课题中的优化部分也正是基于这种思路展开论述的。 第三节本课曩主要研究内容 本课题以齿轮泵生产厂家的设计及生产现状为出发点，广泛占有最新研究 资料和相关研究成果，以离散多目标最优化理论作为理论基础，利用m a t l a b 的强大计算和图表处理能力编写计算程序，运用a u t o c a d 的a d s 二次开发系 统，在v i s u a lc + + 开发平台上作齿轮及浮动轴套的参数化和仿真的工作，充 分利用现有计算机设备，做到程序的最终实现及理论上的对比验证。 一齿轮参数的优化设计 在齿轮泵的实际应用中，对齿轮泵性能的要求依不同场合而各有侧重点。 如机床行业中使用的齿轮泵要求流量均匀性要好，而有的场合( 如行走机械) 要求泵的尺寸小一些比较好。为延长一些中高压齿轮泵的轴承寿命，要求径向 力不要太大。本课题构造了一个多目标函数齿轮泵齿轮优化设计数学模型。基 于以上分析，以流量脉动率、单位排量体积和径向力f 作为三个目标函数， 而后对这三个分目标函数取不同的权系数来构造统一的目标函数，之后对这个 统一的单目标函数进行优化。主要工作包括以下几个方面： 1 确定设计变量，即找出对以上所述目标函数影响最大的齿轮参数组成的 第6 页 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 变向量。 2 依据设计目标的不同，确定出各个目标函数的具体表达式。 3 确定优化设计应满足的最低条件，即约束函数。 4 根据前面确定的分目标函数确定目标优化设计问题的数学模型，以权系 数方式找出统一单目标函数。 5 选择最优化方法，解出最优解( 最优参数及最优结果) 。 6 与其它成型产品的对比验证。 二齿轮及浮动轴套采用参数化及仿真设计 针对工厂设计人员具体工作中遇到的实际问题或优化后得出的参数，对齿 轮及浮动轴套采用参数化及仿真设计。在定性能的计算机支持下，使设计人 员对真实齿轮的啮合过程、闭死容积的变化情况和卸荷槽对困油区的连通缓解 情况有直观的了解。如对设计方案尺寸不甚满意，可随时利用其参数化的性能 修改参数，观察分析新的设计工况。程序中还有轴套两侧受力计算的模块，以 便通过调整部分结构参数动态地计算和优化两侧力平衡及作用点重合情况。 第7 页 天津大学硕士学位论文 第二章优化设计方法的基本理论 第二章优化设计方法的基本理论 一工程优化设计概述 一般工程设计问题都有许多种可行的设计方案。如何根据设计任务和要 求，从众多的可行方案中，寻求一个最好的方案，即最优方案，是设计工作者 的首要任务。要完成这样一个困难的任务，必须掌握可靠的先进设计方法。 然而长期以来，机械设计工作者一直沿用着经验类比设计方法。这种传统 设计方法的设计过程可概述如下：首先根据设计任务及要求进行调查研究和搜 集有关资料，参照已完成的相同或类似任务和现有的较为成熟的设计方案，凭 借设计者的经验，辅以必要的分析计算，确定一个合适的设计方案，并通过估 算，初步确定有关设计参数：然后对初步方案进行必要的分析及校核计算；如 果某些设计要求得不到满足，则可进行设计方案的修改，设计参数的调整，并 再次进行分析及校核计算，如此多次反复，直到获得满意的设计方案为止。 也就是说，传统的设计方法要通过多次反复地“设计分析再设计”的 过程，才可能得到一个较为满意的设计方案l 。显然，这个设计过程是人工试 凑与类比分析的过程，不仅需要花费较多的设计时间，增长设计周期，而且只 限于在少数几个候选方案中进行分析比较。所以，这种设计方法虽然也有可能 获得较好的方案，但是由于设计过程缺乏严格的、科学的定量分析计算，一般 很难得到近乎最优的设计方案，特别是对于影响因素很多的复杂设计问题，更 是如此。为此，寻求新的设计理论和设计方法成为一项迫切的任务。 随着电子计算机技术的发展与应用，5 0 年代发展起来的以线性规划与非线 性规划为主要内容的新的数学分支数学规划被应用于解决工程设计问题， 形成了工程设计的新理论和新方法，即工程优化设计理论与方法。 优化设计亦称最优化设计，它是以数学规划理论为基础，以电子计算机为辅 助工具的一种设计方法。近2 0 年优化设计在理论和应用上都得到了很大发展， 己成为工业界的一项先进的、并得到广泛使用的设计方法。实践证明，优化技 术可明显地提高设计质量及效率，为进一步改进设计方法提供了可行的手段。 优化设计理论和方法用于工程设计是在6 0 年代后期开始的，国内则从7 0 年代中期才开展有关研究。发展历史虽然不长，但由于数学规划理论的日趋成 第8 页 天津大学硕士学位论文 第二章优化设计方法的基本理论 熟，电子计算机技术的高速发展与普及，优化设计理论、方法在飞机、汽车、 船舶、机床、起重运输机械等领域内，得到了广泛的应用，取得了显著的技术 突破和经济效果。据有关资料介绍，机电产品的优化设计比传统的设计可以节 省材料5 0 ，2 5 t ”】。2 0 余年的工程优化设计理论与方法的研究与实践，使传统 的工程设计方法发生了根本性变革，从而把经验的、感性的、类比的、传统设 计方法转变为科学的、理性的、立足于计算分析的设计方法。特别是近年来， 随着有限元素法、可靠性设计、计算机辅助设计( c a d ) 的理论与方法的发展 及与优化设计方法的结合应用，使整个工程设计过程逐步向自动化、集成化、 智能化发展。 对工程问题进行优化设计，本质上是根据优化设计理论，采用优化设计算 法，运用计算机高质量高速度地完成设计任务。为此，首先要把工程设计问题 转化为数学模型，即用数学表达式描述工程设计问题；然后，按照数学模型的 特点选择优化设计方法及其计算程序，运用计算机求得最优解，即最优设计方 案。因此，工程优化设计包括建立数学模型和运用优化方法求解这两个方面的 重要内容。 二优化设计的数学模型 工程优化设计的数学模型是优化设计问题的数学表达式，它反映了优化设 计问题中各主要因素间的内在联系。因此，这一联系的正确反映，即从工程实 际问题中抽象出正确的数学模型，是工程优化设计成败的关键，也是工程设计 工作者进行优化设计时所要完成的主要任务。优化设计的数学模型通常包含设 计变量、目标函数和约束条件三个基本要素。 由设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素所组成的工程优化设计数 学模型所表达的意思是：在满足一定的约束条件下，寻求一组设计变量值，使 得目标函数达到极小值( 极大值) 。 设工程优化设计问题为n 维优化设计问题，即 = x i ，x ，x a 7 并含有m 个不等式约束，p n 个等式约束，则可将目标函数极小化的优化问 题写成下述标准形式 第9 页 一而；靠 墨堡奎兰堡主兰堡鲨塞 篁三璧垡些堂! 查鎏塑苎查堡堡一 一 r a i n ( 工) x r ” j f g 。o ) 0 = 1 , 2 ，m ) ， ) = 0 ( v = 1 , 2 ，p 0 即 厂( x ) f ( x ) 所以x 点必定是f ( x ) 的一个极小点。这样就得到其充分条件为； 夥0 ) = 0 和矩阵h 为正定。 2 有约束问题最优解的必要充分条件 ( 1 ) 受等式约束的多元函数优化一拉格朗日乘子法 研究的问题是 r a i n f ( x ) x = ( x l ，x 2 ，一，x 。) 7 j f h j ( 曲= 0 ，= 1 , 2 ，m m ” 1 7 6 0 年拉格朗日首先提出将这种条件极值问题变为等价的无约束极值问题 求解。对每个约束l ( x ) = 0 引入一个待定的拉格朗日乘子五，因为h j ( z ) = 0 ， 敌 可正可负，对问题的实质无关，并构造拉格朗日函数： z ( x ，五) = 厂( 曲+ 五，l ( x ) ( 2 - 1 ) ，z i 其极值点该满足下列的必要条件： 第1 i 页 墨堡查兰塑圭堂堡兰塞整三里垡垡堡生立鲨塑茎查堡丝一 一8 1 ：_ a f ( x ) + 萝a ，掣f = 1 , 2 ， 苏舐智7 加， 祟0 ，= 1 , 2 ，肌 u i 解上述方程组，可得n + m 个未知数的值，其中n 个变量x l 、x 2 、x 。，i t l 个拉格朗日乘子 、a ：、九。可见拉格朗日法的维数比原问题的维数更 高，因此原问题去掉等式约束的代价是一个维数比原问题维数高m 维的优化问 题。 ( 2 ) 受不等式约束的多元函数优化研究的问题是 m i n f ( x ) x = ( x i ，x 2 ，x 。) 7 占t g s ( x ) s0 j = 1 , 2 ，一，川，竹 0如果g ( x + ) = 0 ( 2 - 7 ) z = 0如果g ，o ) 0 ( 2 8 ) 如果g ，( x + ) = 0 ，说明x 落在第j 号的约束上，这种约束称为有效约束，由 ( 2 7 ) 式可见，此时相应的拉格朗日乘子应为非负。 如果g ，( x ) 0 ) ，有： f ( x 。+ s ) f ( x 如果函数u ) 在工咔点是一次可微的，则对足够小的 ( “，则有： f ( x 。+ 彤。s ) 一f ( x ) v 7 f ( x ) s ( 。) 因此目标函数有所下降的要求也可以写成： v 7 f ( x ) s o 或一v 7 f ( x ) - s ( 。 0 这一式子说明探索方向应该与目标函数负梯度方向的夹角小于9 0 。，这个方向称 为下山方向。 当探索方向决定后，步长的决定方式一般是使目标函数在x 点上沿 s ( ”方向达到最小，即要求： m s 1 ) = r a ，i 。n f ( x + 艚) 也就是说要求以 为变量的一元函数极值问题，即一维搜索问题。 如果决定”时，必须满足 厂( 五) = f ( z + 2 , 7 ) = o 于是 善 瓦o f ( j + a s ) 刍( x r + 您r ) - o 即 v 7 f ( x + 2 l s 、s ( ) = 0 、一 图2 - 1 说明第k 次迭代的探索方向与这次迭代所达到的点z ( ) = 工( 十_ s t 的目标函 数梯度正交，亦即第k 次应与的探索方向s ( 应与目标函数等值面在工( 处相 第1 4 页 天津大学硕士学位论文第二章优化枣计方塑基葶! 兰坠 切，如图2 1 所不。 在算法上应具有收敛性，即产生的极小化序列具有这样的性质：或者序列 中的某一点本身就是极小点；或者序列中有一个极限，它是目标函数的极小点。 收敛的准则一般有下列几种： ( 1 ) 当相邻两个迭代点的移距己达到充分小时，即 r 一 ”“l 划b 或、萋( x 掣一x r l ) 2 q ( 2 ) 当函数下降量已达到充分小时，即 icz仆“，一，cz似，s占：或眢巳 ( 3 ) 当目标函数梯度已达到充分小时，即 桫( x 仕) 忙s 。 式中蜀、占，、岛和占。分别表示极小的正数，其值根据问题的实际要求而定。 综上所述，迭代法可归纳为四个步骤： ( 1 ) 选择初始点x ( “，使之尽可能靠近最优解。 ( 2 ) 如已算出x ( “，且x ( 。不是最优解，选一个搜索方向s “，使沿s ( 方向 的目标函数厂( x ) 之值是下降的。 ( 3 ) 搜索方向s ( 确定后，在射线【x ( + 魑】上选取步长“，使 九x 【4 - 办s ( 】 厂( x ( ) ，如此确定下一个点x ( ) = x ( + s ( “。 ( 4 ) 检验所得的新点x 耻“是否满足收敛准则。如果收敛准则得到满足，x 似“) 就可以作为近似局部极小点，迭代过程中止；否则，以z ( “1 ) 作为新的初始点近 似继续从第( 2 ) 步开始重新迭代计算。 第三节优化设计的基本方法 一无约束优化方法 工程优化问题几乎都是有约束的，一类约束优化方法的基本策略是将约束 优化问题转化为无约束优化问题求解的；还有一类约束优化方法的策略是来源 于无约束优化方法的。因而可以认为，无约束优化方法是约束优化方法的基础。 所以，无约束优化方法在工程优化设计中有十分重要的作用。 第1 5 页 天津大学硕士学位论文第一二章优化设计方法的撼奉j 里堡 若函数r ( x ) 为一元函数，则求解问题的无约束优化方法，称之为一维搜索 方法。工程优化问题中的目标函数为一元函数的情况并不多见，但一维搜索方 法是优化方法的基础。维搜索方法主要有：分数法、0 6 1 8 法( 黄金分割法) 、 二次插值法和三次插值法等。 多元函数的无约束优化方法，可按其确定搜索方向所使用的信息和方法的 不同分为两大类。一类方法是需要利用函数的一阶偏导数甚至二阶偏导数构造 搜索方向，如梯度法、牛顿法、变尺度法和共轭梯度法等。由于需要计算偏导 数，这类方法计算量大，但收敛较快，般称之为解析法。另一类方法是仅利 用迭代点的函数值，对于无法求导或求导困难的函数，这类方法就有突出的优 越性，但是其收敛速度较慢，一般称之为直接法。 二约束优化方法 工程优化设计问题绝大多数属于约束非线性规划问题，本课题所设计的优 化问题也属于典型的约束非线性规划问题，这类问题数学模型的一般表达式为 m i n f ( x ) s j 红( x ) = 0( 江1 , 2 ，聊) ( 2 9 ) g 。( x ) 0 ( f = m + 1 ，m + 2 ，p ) 其中，( x ) ，啊( 功，g ，( x ) 都假定具有连续偏导数。 求解这类问题的方法称为约束优化方法。一般根据对约束条件处理方法的 不同，可以将它分为两类：其一是直接从可行域中寻找出它的约束最优解，称 之为约束优化问题的直接解法；其二是将复杂的约束优化问题转化为一系列简 单的容易解决的子问题，用这一系列子问题的解去逼近原问题的解，称之为约 束优化问题的间接解法。 网格法、随机实验法及复合形法属于直接解法。这一类方法的优点是：算 法简单，直观性强，对函数无特殊要求；其缺点是：计算量大，收敛满，因而 效率低。这类方法只适用于维数低、函数复杂，要求精度不高的问题；而对于 维数较高的问题，则因计算时间随维数的增高而加长很多，故这类算法就不适 用了。 间接解法的种类较多，其中广义简约梯度法、广义乘子法以及序列二次规 划算法被誉为解决非线性规划问题的最优秀的计算方法。对于本文所涉及的优 化问题，选用了序列二次规划的优化方法来解决，得到了理想的优化结果。 序列二次规划法是采取构造二次规划子问题的方法。二次规划问题是最简 单的非线性规划问题，其目标函数是二次函数，而约束条件是线性函数。由于 二次规划问题的求解方法比较成熟，人们便企图将求解较幽难的一般非线性约 第1 6 页 天津大学硕士学位论文 第二章优化设计方法的基本理论 束优化问题转化为较易求解的序列二次规划子问题。 序列二次规划算法的基本思想是：在每个迭代点x ，构造一个二次规划 子问题，以这个子问题的解，作为迭代的搜索方向s 仆) ，并沿该方向s 耻按照迭 代格式x ( “) = x ( + 瓯j 进行一维搜索，使序列x “( 七= 0 ，l ，) 最终逼近约束 优化问题的解x 。 ( 1 ) 等式约束下的二次规划子问题的形成 等式约束的非线性规划问题 m i n f ( x 、 x r “ ( 2 1 0 ) s j c 。 ) = 0( f = 1 , 2 ，埘) 根琚瓦( 2 1 ) ，口j 将瓦( 2 1 0 ) 即璁格i i j j 口圈瓤表达为 三( x ，a ) ：厂( x ) + 窆丑c ，( x ) ( 2 11 ) 其中，a = 阢，旯：，以】r 是拉格朗日乘子向量。 根据函数的一阶导数和二阶导数的定义，可求得以下各量： 可= 等，百o f ( x ) ，掣 。 甲咖) ：j 掣，掣，掣f ( 川 2 ，州) l 斑l 0 x 2 0 x j 耻降，警，警 h = v ：t ( x ，a ) = a 2 l ( x ，a ) 缸? a 2 l ( x ，名) 良。缸l a 2 三五) 苏l 缸2 a 2 l ( x ，z ) 缸。缸2 a 2 l ( x ，旯) 缸1 良。 a 2 上0 ，五) 嬲 其中拉格朗日函数对x 的一阶偏导数矩阵也可以由式( 2 - 1 0 ) 求得 v ，上( 五a ) = w ( x ) + v c ，( x ) ( 2 一1 2 ) i = l 由以上诸式，可将拉格朗日函数在点x 的二阶泰勒展开式及c ，( x ) ( f = 1 , 2 ，m ) 在点工( 的阶泰勒展开式表达为 ( x “，名) = 三 “，名”) + v ，l ( x ( 1 0 , 名”) o “一x ”) + 委( x “一工”) 7 可”f ) 一x ( ”) 第1 7 页 天津大学硕士学位论文第二章优化设计方法的基本垂咝 q ( x ( 1 ) = q ( x ) + pc ( x ( ”) r ( x ( 川1 一x )( 净1 2 一，m ) 若令s ( 。) = x ( k + 1 ) 一x “，并考虑到约束条件c ，( x ) = 0 ( f = 1 , 2 ，m ) ，则应有 q ( x ( 柏) = q 似) + p c o 哪) r 占= 0 ( 2 1 3 ) 由以上各式司得 烬，) ：弛) + 羔斧，【c ，q ) + ( v c ，( x ) ) 7 s 叫+ 卜掩m 小s m 十：o ) 7 。o ( 2 1 4 ) 若式( 2 1 3 ) 成立，则式( 2 1 4 ) 中的第二项应为零，于是式( 2 1 4 ) 可简化为 l ( x c k + 1 ) , 2 ( 蚰) ：f ( x 啪) + 阿) r s + ；o ) 7 日s ( 2 1 5 ) 现将式( 2 - 1 5 ) 中的向量s 作为自变量，略去上式中的常数项f ( x “) ，并考 虑到上式成立的前提条件是式( 2 - 1 3 ) 成立，得到二次规划子问题q p 为 m i n q p ( s ( k 1 ) = 阿( x ) r s + 要( s ) 日s “ q ( x ) + v c 心) r j = 0( j - 1 2 一，珊) ( 2 ) 序列二次规划算法的原理 若令c ( x ) = 【c ( x ) ，c 。( x ) ，c 。( x ) r ，则可将等式约束非线性规划问题写作 相似地，二次规划子问题可写作 m i n 嘶m ) = 卜m ) r j ( ) + 昙o ) 7 h ( ”s ，。 ( 2 - 1 6 ) s t c ( x 耻) + i v c ( x 似) f 。似= 0 其中 v c ( x ) = c j ( n v c 。( 并) ，v ( 功r 由第二节的有约束问题最优解的必要充分条件可知，等式约束非线性规划 问题极值存在的一阶必要条件是： v ，上( 。：，互) = 夥( x + ) + ( 刀) 7 v c ( x ) = 0 ( 2 - 1 7 ) v 2 三0 ，五) = c ( x + ) = 0 这是一个非线性方程组，其变量为x 矗”，r ”，因而此问题包含( n + m ) 个设计变量和( n + m ) 个方程。可以采用序列二次规划法，即构造一系列二次 0 = ，d似“ 唑咄 丕望盔堂堡主堂垡堡苎 丝三童垡些堡生互鲨盟薹查翌堡一 子问题如式( 2 1 6 ) ，用二次规划子问题的解去逼近原优化问题的解。根据等 式约束非线性规划问题极值存在的必要条件可知，二次规划子问题的最优解存 在的一阶必要条件是： v 。0 ，) = v f ( x ) + s r 日+ 7 v c ( x ) = 0 v i l ( s ，) = c ( x ( ) + s r v c ( x ) = 0 令u = “”，则上式可写作s j 7 + u r v c ( x ) = 一可) ( 2 1 8 ) s t v c ( x 耻) = 一c ( x ) 一系列这样的二次规划子问题的解将逼近等式约束极值问题式的解。 ( 3 ) 不等式约束下的二次规划子问题 考虑一般形式的非线性约束优化问题 m i n f ( x ) s t c 。o ) = 0 i e c 。( x ) 0 f j 其中，符号e 表示等式约束条件的下标j = 1 , 2 ，m 的集合，符号i 表示不等式 约束条件下的下标i = m + l ，p 的集合。仿式( 2 - 1 3 ) 可得到不等式约束 c ；0 ，( f ，) 在点x ( 的阶泰勒展开式为 c ，( x ( m ) = c ，( x ( 。) + c ，( x ) rs ”- 0 ( 2 1 9 ) 在优化迭代过程中，随着迭代点x ( 的变化，不等式约束集合i 中的起作用 约束及其个数也会发生变化。为此，可在每次迭代后对不等式约束进行判断， 保留其中的起作用约束，除掉其它约束，这样就将不等式约束问题转化成等式 约束问题，因而仍可形成二次规划子问题式( 2 - 1 6 ) 。若考虑到式( 2 1 9 ) ， 可将不等式约束下的二次规划子问题q p 写成如下形式： m i n q p ( 沪陬棚k 扣7 胛s “c f ( x ) + 【v c ，( x ) 】r s = 0 i e ( 2 2 0 ) c ，( x ( t ) + p c ，( x ) 】r j s o f ， ( 4 ) 二阶导数矩阵日忙1 的修正方法 计算拉格朗日函数的二阶导数矩阵耻是非常困难的。因而，在序列二次 规划算法中，o ) 不是直接计算出来的，而是采用变尺度法逐渐形成日( “。其 具体做法是；先用一对称正定矩阵雪( ”近似地代替( “，然后在迭代过程中不 断修正，最终逼近h 耻。因而成功的关键在于如何构造修正矩阵a 占( “，使得 第1 9 页 蒌婆查兰堡圭兰垡堡苎 兰三塞垡些垦盐查鲨塑苎奎里笙一 口( + 1 ) = 口( + a 8 ( ( 2 2 1 ) 更近似于何( “。目前最为成功的变尺度法是b f g s 算法，其迭代修正矩阵为 一一眷黼崭+ 辫岛协z z ， 其中，x ( 。) = x ( “_ ”一x ( ，g = v ，三( x h 1 ) 一v 。( x ) 。 在开始迭代时，一般可取单位阵b “，即令b o = 。此后的每次迭代之后， 按式( 2 2 1 ) 、 ( 2 2 2 ) 修正b ( “，形成下一轮迭代的二次规划子问题。故可将 式( 2 。2 0 ) 重新表示为 m i n q p ( s ) = 阿( 棚】r s + 尹1 7 b s 豇q ) + 阮 汀j = 0 i e ( 2 2 3 ) q ( x ) + p q ( x ) r s - 0 i ， ( 5 ) 序列二次规划算法的求解步骤 以上介绍的序列二次规划算法中采用了变尺度法方法构造矩阵珂( “，因而 这种算法也被称之为约束变尺度法。优化方法具体步骤如下： a 给定初始值x 仰、“、及? i x 一正定对称矩阵b o 及允许误差s l ( 或 乞、岛) ； b 根据式( 2 - 2 0 ) ，在点z 。构造一个二次规划子问题q p i c 求解二次规划予问题q p ，并确定新的拉格朗日乘子向量x 仲“和搜索方 向s ( 。： d 确定步长因子吼，求得新的迭代点x = x + j ； e 。检验是否满足收敛判别准则，若满足l l 甲，l ( x c k + t ) , 五m ) 8 占t 或同时满足 下列二式 c ，( x 耻十1 ) 占2o = 1 ，2 ，p ) j ，( x 耻“)