（机械电子工程专业论文）齿轮副啮合传动的动力学特性研究.pdf

摘要 曼曼曼量) 一_ nm, i t 皇曼鼍曼 摘要 齿轮系统作为各种工业设备中应用最为广泛的动力和运动传递装置，其工作 时产生的振动是造成机器设备动态性能恶化的最主要因素。齿轮系统非线性振动 理论是当前齿轮系统振动控制技术领域的热点，是目前振动噪声领域的前沿课题 和发展方向。本文在研究罗茨风机齿轮系统结构基础上，对齿轮系统间隙非线性 振动特性进行了研究，提出了相应的振动控制方法，进一步研究了系统的动力学 特性。对于抑制结构振动噪声的传播，设计和评价低噪声风机齿轮传动系统结构 提供了重要的理论依据，同时对于分析非线性齿轮系统的振动，合理设计齿轮参 数具有十分广泛的理论意义和工程应用价值。 本文分别对齿轮系统非线性振动理论、判断周期解稳定性的f l o q u e t 理论以 及振动特性评估方法进行了介绍，通过对罗茨风机结构的分析，建立了考虑时变 啮合刚度和齿侧间隙的直齿轮副系统单自由度非线性动力学模型，推导出系统运 动微分方程，进而分析了周期解的稳定性条件。在研究方法上，本文利用谐波平 衡法及牛顿迭代法对系统的振动方程进行迭代求解，建立此类解的一般形式。在 上述工作的基础上，研究系统参数对振动幅频特性影响规律，为合理设计齿轮参 数以有效控制齿轮啮合过程的系统动力学行为和合理预测罗茨风机的机械噪声 提供理论依据。 通过分析齿轮系统参数变化对振动响应中主谐波与二次谐波的影响，得出了 以下重要结论：通过增加阻尼，减小外部激振力幅值，减小啮合刚度等方法均能 有效减小主谐共振与二次谐波共振幅值；同时，幅频曲线对于g 的变化很敏感， 随着g 增大，幅频曲线明显呈现不规律性，从而进入混沌状态；当减小齿形误 差时，主谐共振幅值明显减小，而二次谐波共振幅值却呈增大趋势，但是由于主 谐波占主要成分，二次谐波共振幅值跟主谐共振幅值比较而言要小的多，所以提 高齿轮加工精度，减小制造误差也能有效控制主谐共振幅值，从而控制齿轮系统 振动幅值。然而，随着齿形误差的减小，二次谐波振动幅值呈增大趋势，所以一 味的改善齿形误差，当达到某一定值时，效果不再明显。 关键词：齿轮系统谐波平衡法主谐波二次谐波 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t a st h em o s tw i d e l yu s e dm o t i v i t ya n dm o v e m e n td e l i v e r yd e v i c ei nv a r i o u s i n d u s t r i a le q u i p m e n t s ，g e a rs y s t e mm a yp r o d u c ev i b r a t i o nw h e ni tw o r k s ，w h i c hi st h e k e yf a c t o rt om a k ed y n a m i cp e r f o r m a n c e so ft h em a c h i n e r ye q u i p m e n tg e tw o r s e t h en o n l i n e a rv i b r a t i o nt h e o r yo fg e a rs y s t e mi sc u r r e n t l yt h eh o t s p o to fg e a rs y s t e m v i b r a t i o nc o n t r o la r e a a sw e l la so n eo ft h em o s tc h a l l e n g i n ga n dp r o s p e c t i v ew o r ki n t h ef i e l do fv i b r a t i o na n dn o i s ec o n t r 0 1 t h i sd i s s e r t a t i o n ，b a s e do nt h ei n v e s t i g a t i o n o ft h eg e a rs y s t e ms t r u c t u r eo fr o o t sb l o w e r , c a r d e do u tar e s e a r c hw o r ko nb a c k l a s h n o n l i n e a rv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fg e a rs y s t e m ，p u t t i n gf o r w a r dr e l e v a n tv i b r a t i o n c o n t r o lm e t h o d s ，t h e nd i daf u r t h e rs t u d yo nt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fs y s t e m t h o s ep r o v i da ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lb a s i so nc o n t r o l l i n gt h et r a n s m i s s i o no f v i b r a t i o na n dn o i s e ，d e s i g n i n ga n de v a l u a t i n gt h es t r u c t u r eo fg e a rs y s t e mf o rb l o w e r s o fl o wn o i s e m e a n w h i l e ，t h e r ea r ef a r - r a n g i n gt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n de n g i n e e r i n g v a l u eo na n a l y z i n gn o n l i n e a rv i b r a t i o no fg e a rs y s t e ma n dd e s i g n i n gr a t i o n a lg e a r p a r a m e t e r s i nt h i sp a p e r ，n o n l i n e a rv i b r a t i o no fg e a rs y s t e m ，t h ef l o q u e tt h e o r yf o rj u d g i n g t h es t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dt h em e t h o d st oe v a l u a t ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s w e r ei n t r o d u c e d t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h es t r u c t u r eo fr o o t sb l o w e r ，an o n l i n e a r d y n a m i c sm o d e lo fs p u rg e a r ss y s t e m 觞as i n g i ed e g r e eo ff r e e d o mw a sd e r i v e d ， b a s e do nc o n s i d e r i n gat i m e - v a r y i n gm e s hs t i f f n e s sa n db a c k l a s h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no ft h es y s t e mw a sp r e s e n t e d ，t h e nt h es t a b i l i t y c o n d i t i o n so fp e r i o d i c s o l u t i o n sw a sa n a l y s e d o nt h er e s e a r c hm e t h o d s ，t h i sd i s s e r t a t i o nu n c o i l e dt h e v i b r a t i o ne q u a t i o nw i t hh a r m o m cb a l a n c em e t h o da n dn e w t o n r a p h s o nm e t h o d ， t h e ne s t a b l i s h e dag e n e r a lf o r mo ft h i ss o l u t i o n b a s e do nt h ew o r km e n t i o n e da b o v e ， t h ei n f l u e n c e st h a ts y s t e mp a r a m e t e r sc a u s e do nt h ev i b r a t i o na m p l i t u d ea n d f r e q u e n c y c h a r a c t e r i s t i c sw e r es t u d i e d ，w h i c hp r o v i d e dat h e o r e t i c a lb a s i so n r e a s o n a b l yd e s i g n i n gg e a rp a r a m e t e r st oe f f e c t i v e l yc o n t r o ld y n a m i c so fg e a rs y s t e m w h e nm e s h i n ga n dr e a s o n a b l yf o r e c a s t i n gm e c h a n i c a ln o i s eo fr o o t sb l o w e r a b s t r a c t b ya n a l y z i n gt h ei n f l u e n c et h a tp a r a m e t e r s c h a n g e m e n to fg e a rs y s t e mg i v e st o p r i m a r yh a r m o n i ca n ds e c o n dh a r m o n i ci nt h ev i b r a t i o nr e s p o n s e ，t h ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n sw e r ed r a w n ：t h r o u g hi n c r e a s i n gd a m p i n g ，r e d u c i n gt h ee x t e r n a l e x c i t a t i o na m p l i t u d ea n dr e d u c i n gm e s h i n gs t i f f n e s s ，t h ea m p l i t u d eo fp r i m a r y h a r m o n i cr e s o n a n c ea n ds e c o n dh a r m o n i cr e s o n a n c ec o u l de f f e c t i v e l yb er e d u c e d ； m e a n w h i l e ，a m p l i t u d ea n df r e q u e n c yc u r v ew a ss e n s i t i v ew i t ht h ec h a n g e m e n t o fs w i t hi n c r e a s i n g s ，t h ec u r v e ss h o w e dn oo b v i o u sl a w ，w h i c he n t e r e dt h e c h a o t i cs t a t e ；w h e nr e d u c i n gp r o f i l ee r r o r s ，t h ea m p l i t u d eo fp r i m a r yh a r m o n i c r e s o n a n c es i g n i f i c a n t l yr e d u c e d ，a tt h es a m et i m et h ea m p l i t u d eo fs e c o n dh a r m o n i c r e s o n a n c ei n c r e a s e d b e c a u s e p r i m a r yh a r m o n i c w a st h e m a j o rc o m p o n e n t , m e a n w h i l et h ea m p l i t u d eo fs e c o n dh a r m o n i cr e s o n a n c ew a sm u c hl e s st h a np r i m a r y h a r m o n i c s ，i n c r e a s i n gg e a rp r e c i s i o na n dr e d u c i n gm a n u f a c t u r a le r r o r s c o u l d e f f e c t i v e l yc o n t r o lt h ea m p l i t u d eo fp r i m a r yh a r m o n i cr e s o n a n c e ，a n dt h u st h e v i b r a t i o na m p l i t u d eo fg e a rs y s t e mc o u l db ec o n t r o l l e d h o w e v e r ，w i t ht h er e d u c t i o n o fp r o f i l ee r r o r s ，t h es e c o n dh a r m o n i cv i b r a t i o na m p l i t u d ew a si n c r e a s i n g , s ot h e e f f e c tw o u l d n tb ee v i d e n ta n ym o r e ，w h e np r o f i l ee r r o r sr e a c h e dac e r t a i nv a l u e k e yw o r d s ：g e a rs y s t e m h a r m o n i cb a l a n c em e t h o d p r i m a r yh a r m o n i c s e c o n dh a r m o n i c 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 幺查坠 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：丝丛导师签名：益日期：塑! ：型 第一章绪论 1 1 课题背景和意义 第一章绪论 本文是山东省自然科学基金资助项目“罗茨风机噪声源识别与预估模型研 究”( 编号y 2 0 0 6 f 3 8 ) 的组成部分。 众所周知，随着现代工业的发展、科技和人类文明的进步，振动噪声水平已 成为衡量机械产品性能和质量的一个重要指标【l 】。振动不仅影响到机器设备的使 用寿命、仪表器械的工作性能，振动及其产生的噪声还会严重污染工作和生活环 境，给人们的正常工作和健康造成很大影响【2 】。因此随着现代生活质量的提高， 人们对产品的工作精度要求越来越高，对振动和噪声的控制要求也越来越严格， 而环境噪声污染已成为一个受到广泛关注的社会问题。 在风机类动力机械中，罗茨风机素来享有“声老虎”的称号，不仅污染了环 境，也恶化了劳动条件，并引起人们对低噪声风机研究的广泛关注【3 】。罗茨风机 属于容积式鼓风机，是一种典型的气体增压与输送机械，其最常见的用途为例如 小高炉与小转炉的鼓风、选矿厂中的中小型过滤系统、气力输送系统的动力设备 等【4 1 ，在冶金、煤炭、石油化工、食品加工、水产养殖、污水处理、矿山与造纸 等行业均有广泛应用。罗茨风机的主要功能部件是一对被称作罗齿轮的两( 或三) 叶转子，其工作方式为周期性吸气和排气，这使得罗茨风机在工作过程中不可避 免地产生振动。风机产生振动后，机械工作性能降低或根本无法工作；某些零部 件因受附加的动载荷而加速磨损、疲劳，甚至破裂而影响寿命，或因振动造成事 故。与离心风机比较，罗茨风机具有压力高、流量受阻力影响小、供风稳定等优 点，但工程应用中存在效率低、噪声高等缺点，因此罗茨风机的噪声治理历来是 工程应用中的一个突出问题。 罗茨风机产生的噪声成分非常复杂，主要可划分为气体动力性噪声和机械 噪声。大流量三叶罗茨风机的气体动力性噪声，包括旋转噪声、涡流噪声和共鸣 声，噪声的强弱反映了风机的流体特性；机械噪声包括齿轮啮合噪声、轴承噪声 和电动机噪声等【5 】，本文主要针对齿轮啮合的噪声源特性开展研究。 确保罗茨风机两转子转动的同步齿轮，由于制造误差、装配误差等原因， 在传递原动力过程中，齿与齿之间会产生撞击，在齿轮边缘处产生面内激振力， 山东大学硕士学位论文 同步齿轮在该激振力作用下会产生振动，产生噪声。齿轮系统作为罗茨风机传动 装置的重要组成部分，其动态性能直接影响整个风机结构的可靠性。所以研究齿 轮副运动状态对于控制罗茨风机振动、抑制噪声具有重要的现实意义。 众所周知齿轮副在设计时总是留有齿n f 8 j 隙，同时制造误差和长时间磨损也 会使齿轮副产生齿侧间隙，而且轮齿的啮合刚度总是随时间变化的，于是齿轮系 统将表现出强烈的非线性。当齿轮系统处于低速、重载的工况下，间隙非线性对 齿轮系统的动态性能不会产生严重影响，传统的线性动力学模型可以较好地反映 齿轮传动的动态性能。而齿轮系统在轻载过程中将会产生轮齿分离和冲击现象， 这种冲击将会导致剧烈的振动和产生强烈的噪声和动载荷，影响齿轮传动的平稳 性、可靠性和寿命。罗茨风机齿轮系统恰恰处于高速、轻载的工况下，这时间隙 引发的冲击会严重影响齿轮的工作性能和可靠性，产生不必要的噪声、振动。于 是传统的线性模型和线性理论不能真实可靠地反映齿轮的性态，从而促使人们对 齿轮传动的间隙非线性产生足够的重视，而本文将结合罗茨风机的机械结构形 式，通过齿轮副啮合的非线性动力学系统研究罗茨风机的机械噪声源特性。 本文将以罗茨风机齿轮传动机构为研究对象，建立具有齿侧间隙和时变刚度 耦合的齿轮副啮合非线性系统理论模型，推导系统的动力学方程，分析周期解的 稳定性条件，并研究利用谐波平衡法求解系统稳态周期解的实用计算方法。在上 述工作的基础上，研究系统参数对振动幅频特性的影响规律，为合理设计齿轮参 数以有效控制齿轮啮合过程的系统动力学行为和合理预测罗茨风机的机械噪声 提供理论依据。 本课题围绕罗茨风机齿轮传动系统的啮合噪声问题开展研究，对于低噪声风 机和齿轮传动系统的动态结构优化设计、抑制罗茨风机和齿轮啮合传动的机械噪 声传播、保证其可靠运行，具有重要的工程实用价值，并可产生显著的经济效益 和社会效益。此外，非线性动力系统已成为当前振动控制领域的一个研究热点， 而齿隙振荡系统作为其中的一个典型代表，正受到越来越广泛的关注，因此本课 题也具有重要的理论研究意义。 1 2 罗茨风机振动噪声研究现状 2 罗茨鼓风机是一种典型的气体增压与输送机械，其应用广泛，但在工作过程 第一章绪论 曼曼! 曼曼皇曼曼曼! 皇! 曼曼皇曼鼍曼皇皇m mi io 曼曼曼曼曼! ! 曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量皇皇鼍曼! 曼曼皇曼鼍曼曼! 曼 中扰动源复杂，振动严重。罗茨鼓风机的振动，导致其机械工作性能降低或根本 无法工作，某些零部件因受附加的动载荷而加速磨损、疲劳，甚至破裂而影响寿 命，严重时甚至会造成工业事故，给工业生产带来巨大的经济损失，并且强烈的 振动会产生较大的噪声，恶化了劳动条件，污染了生活环境，因此振动噪声一直是 降低罗茨鼓风机工作可靠性、限制其应用的重要因素，并日益引起人们对风机噪 声的重视。 上节提到，罗茨风机产生的噪声成分非常复杂，主要分为气体动力性噪声和 机械噪声。针对罗茨风机含有多种噪声源的特性，许多学者致力于其振动噪声的 研究工作，提出了许多行之有效的改进措施： ( 1 ) 空气动力性噪声的治理方面，常采用的措施有两种：一种是被动降噪， 即使用消声器、隔离罩、隔离墙，改造风机房或进行管道包扎等措施【5 】；另一种 是主动降噪，即从鼓风机内部结构着手，通过研究转子结构、转子型线、进排气 管道和进排气口形状、转子间隙等与噪声的关系，设计出低噪声、高效、节能、 机构紧凑的鼓风机，也称为低噪声结构设计【6 ，7 1 ，如彭学院等对传统渐开线型罗 茨鼓风机转自型线进行改进，达到降低风机噪声的效剁8 】；叶仲和等利用扭叶转 子代替直叶转子来降低罗茨风机的噪声，并给出扭叶转子的型线方程【9 】。 ( 2 ) 罗茨风机的机械噪声，控制的方法主要是：提高同步齿轮精度，减小啮合 噪声；适当提高转子的动平衡精度，减小转子的惯性力、惯性力矩引起的振动噪 纠6 】；提高装配精度，更换旧的滚珠轴承，或用滑动轴承来代替滚动轴承，使转子 处于动态平衡；以弹性联轴器连接电动机和鼓风机，加强对设备的维修保养，以 及加油润滑、拧紧连接螺栓、更换损坏的零部件等等【1 0 1 。 风机系统的振动噪声已成为妨碍风机提高安全性、稳定性及工作效率的重要 因素。以上分析可以看出，综合研究整个风机结构的振动与噪声产生机理，正确 识别罗茨风机噪声源显得尤为重要，而齿轮系统作为罗茨风机主要动力传输装 置，其运动可靠性直接关系到风机总体性能的好坏，因此对齿轮啮合的噪声源特 性进行研究具有重要的工程应用价值。 山东大学硕士学位论文 1 3 齿轮系统动力学的研究概况 1 3 1 齿轮系统动力学发展概况 为了最大限度地抑制那些有害的振动，或者有效地利用那些有用的振动，首 要的任务是弄清振动的机理，揭示和了解振动的内在规律及其外部影响因素。因 此，对振动的机理进行研究是一项十分迫切的任纠1 1 】。 根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振 动理论【1 2 , 1 3 , 1 4 】。线性振动理论适用于线性理论，即质量不变、弹性力和阻尼力与 运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数微分方程。不同于线性系 统的为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。线性振动 理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可 以足够准确地反映振动的客观规律。频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都 是在线性理论中建立起来的基本概念。 严格地说，绝大多数振动系统都是非线性的。在实际系统中广泛存在着各种 非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性；法向加速度、科氏 加速度等运动学非线性；非线性结构及材料非线性；弹性变形等集合非线性等。 因此，工程实际中的振动系统绝大多数都是非线性系统。由于非线性微分方程尚 无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将 非线性系统用线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。当 非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、 参数振动、多频响应、超谐和亚共振、内共振、跳跃现象和同步现象等实际现象 做出解释。而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现。因此研究 对非线性系统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，具有重要的 工程应用价值和理论意义。 齿轮系统作为各种工业设备中应用最为广泛的动力和运动传递装置，其工作 时产生的振动是造成机器设备动态性能恶化的最主要因素。 随着齿轮传动机构向着高速、重载方向发展，造成在齿轮传动机构中产生较 为强烈的振动与噪声问题。在各种机械中，特别是在汽车和精密机床等机械中， 都要求解决齿轮传动所引起的振动与噪声问题，齿轮啮合的动力学问题同益突 4 第一章绪论 出。由于振动加剧，导致磨损、疲劳破坏、实际运动规律偏离理论运动规律，从 而发生误差，降低了机器工作的安全性、可靠性和工作质量，严重时甚至可以导 致齿轮或其他机件的破坏。从理论上讲，渐开线齿轮传动具有平稳性，但是在实 际齿轮传动系统中，往往会产生较为强烈的振动与噪声问题。齿轮传动系统振动 与噪声产生的原因，主要是由于齿轮的误差和齿轮啮合刚度的变化激起的齿轮的 振动，从而产生噪声。这种振动噪声直接或者通过轴等构件间接地发射到空气中， 同时，由于冲击而产生的强迫振动也使齿轮装置的各部分被激励，产生二次共振、 共鸣噪声【1 5 】。 齿轮系统动力学经历了由线性振动理论向非线性振动理论发展的过程。在线 性振动理论的范畴内【1 3 , 1 6 1 ，人们以平均啮合刚度替代时变的啮合刚度，并由此计 算齿轮副的固有频率和振型，利用数值积分法计算系统的动态响应，这一过程不 考虑由时变啮合刚度引起的动力稳定问题，且避开齿侧间隙引起的非线性，忽略 多对齿轮副、齿轮副与支承轴承、支承间隙等时变刚度的相互关系和相互作用对 系统动态特性的影响。然而齿轮传动系统的工作状态是极为复杂的，这就导致其 动力学行为就更为复杂。不仅有载荷工况和动力装置引入的外部激励，而且齿轮 副本身会产生各种内部激励，同时由于润滑和安装的考虑以及齿轮传动过程中的 磨损，齿轮副中不可避免地存在齿侧间隙，而且轮齿的啮合刚度总是随时间变化 的。具有齿侧间隙和时变啮合刚度的齿轮系统将表现出强烈的非线性，这使得齿 轮传动系统成为一种参数激励且具有时变刚度的间隙非线性系统。当齿轮系统处 于低速、重载的工况下，间隙非线性对齿轮系统的动态性能不会产生严重影响， 传统的线性动力学模型可以较好地反映齿轮传动的动态性能。然而在工程实际 中，齿轮可能处于高速、轻载的工况下，这时间隙引发的冲击会严重影响齿轮的 工作性能和可靠性，传统的线性模型和线性理论不能真实可靠地反映齿轮的性 态，这就要求必须用非线性动力学的理论和方法来研究这种非线性动力学行为。 由于非线性动力学系统本身的复杂性，系统的解往往因问题而异，至今没有一个 合适的通用解法，于是就促使各个领域的研究人员纷纷探求新的理论和方法来研 究所遇到的问题。 山东大学硕士学位论文 1 3 2 动力学分析目标与内容 齿轮系统的动力学行为包括轮齿动态啮合力和动载系数，以及齿轮系统的振 动和噪声特性等。齿轮系统动力学的研究就是要确定和评价齿轮系统的动态特 性，从而为设计高质量的齿轮系统提供理论指导，主要包括四个方面的内容：即 固有特性、动态响应、动力稳定性、系统参数对齿轮系统动态特性的影响。 1 ) 固有特性 固有特性指固有频率和振型，是齿轮系统的基本动态特性之一。目前，齿轮 系统固有特性分析主要包括：利用集中参数方法研究齿轮传动系统的固有频率 和振型【1 _ 7 】；利用有限元方法计算齿轮轮体和箱体结构的固有频率和振型【1 8 】； 利用灵敏度分析和动态优化设计方法研究系统结构参数、几何参数与固有频率 和振型的关系，进行结构动力修改【1 9 1 。 2 ) 动态响应 在动态激励作用下齿轮系统的动态响应是系统动力学研究的重要内容，主要 包括轮齿动态啮合力和轮齿激励在系统中的传递以及传动系统中各零件的动态 响应等。研究轮齿的动态啮合力，可以了解系统动态激励，确定动载荷和动载系 数，对轮齿强度和可靠性设计具有重要意义【2 0 2 1 2 2 1 。 3 ) 动力稳定性 齿轮系统是一种参数激励系统，因而有必要研究系统的动力稳定问题。通过 齿轮系统的参数激励动力稳定性问题的分析，可以确定影响稳定性的因素和稳定 区、非稳定斟2 3 刀，2 5 1 。 4 ) 系统参数对齿轮系统动态特性的影响 这方面的内容主要是研究齿轮系统的几何参数、结构形式等对动态性能的影 响，并以系统动力学模型为基础，通过灵敏度分析定量地了解各类参数的灵敏程 度，以进行齿轮系统的动态优化设计。 通过齿轮系统动力学的研究，可以了解齿轮系统结构形式、几何参数、加工 方法等对这些动力学行为的影响，从而指导高质量齿轮系统的设计与制造【2 6 , 2 7 1 。 近百年来，齿轮系统动力学问题一直受到人们的关注，对此问题进行了大量深入 的分析研究，取得了相当的进展，已经形成了一个完整的理论体系。 6 第一章绪论 曼曼曼曼曼曼量! 曼曼曼曼量曼曼曼曼曼i i ii 曼曼曼曼曼曼曼皇曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼鼍曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼皇曼皇曼曼曼曼曼曼! ! 曼! 曼曼曼 1 3 3 齿轮系统非线性动力学的求解分析方法 在振动理论的范畴内，齿轮系统的动力学模型经历了由线性振动到非线性振 动，由定常系统向参变系统的发展，可归类为：线性时不变模型、线性时变模型、 非线性时不变模型、非线性时变模型【2 8 】。 齿轮系统间隙非线性动力学问题在力学上处理为振一冲( v i b r o i m p a c t ) 问题： 振一冲问题的研究是齿轮系统间隙非线性动力学研究的基础和重要组成部分，采 用两种力学模型进行研究。一种是“刚性冲击模型”( t h er i g i di m p a c tm o d e l ) 2 9 , 3 0 】， 模型假设冲击物体为刚性，通过一个补偿系数( ac o e f f i c i e n to f r e s t i t u t i o n ) 来描 述能量的损失【3 1 】；另一种模型是“弹性冲击模型( t h ee l a s t i ci m p a c tm o d e l ) 3 2 , 3 3 】， 这种模型可以揭示齿轮系统非线性间隙振动的一些重要特性，模型中考虑了两种 阻尼：黏性阻尼( v i s c o u sd a m p i n g ) 【3 4 】和冲击阻尼( i m p a c td a m p i n g ) 1 3 5 】。我们通 常所考虑的模型主要是“弹性冲击模型”，这类模型的研究实际上构成了齿轮系 统间隙非线性动力学问题的基础。对这种模型的研究，重点是求解方法和动态特 性。目前用于求解“振一冲问题”的方法很多，大体上分为分析法和实验法，前 者又可分为定性分析法和定量分析法【3 5 1 。定性分析法，又称几何法或相平面法， 由庞加莱( p o i n c a r e ，h ) 首先提出，即在相平面上研究解或平衡点的性质和相图 性质，从而定性地确定解的性态，一般以研究二维问题为主；定量分析法有解析 法和数值解法。解析方法主要包括谐波平衡法、分段线性方法、模态分析法、摄 动法和打靶法等【蚓；数值方法包括数字仿真和模拟仿真，可以用来模拟系统的 稳定和瞬时响应，主要有迭代法、变分法、有限元法和配置法等。实验法是指在 实物或模型上进行实验研究，通过实验得出结论，目前主要用于：( 1 ) 利用实验 结果验证理论分析的正确性；( 2 ) 币l j 用试验数据精化和修正理论分析模型，以便 更有效地利用计算机进行齿轮系统的动态设计。 1 3 4 齿轮间隙非线性动力学国内外相关研究 近年来国外学者以系统非线性振动理论为基础，以齿轮啮合过程的时变啮合 刚度和齿侧间隙等非线性因素为核心，对齿轮系统非线性振动问题进行了大量研 究。1 9 8 4 年，k u c u k a yf 在进行高速齿轮系统间隙问题的研究中，考虑啮合刚度 的时变性并研究了由于啮合刚度时变的参数激励而引起的动力稳定性问题【3 7 】； 山东大学硕士学位论文 1 9 8 8 年，o z g u v e n 和h o u s e r 3 8 1 建立了一对齿轮副单自由度非线性分析模型，采用 分段线性方法计算了啮合过程、轮齿力、动载系数和动态传递误差等，分析了时 变啮合刚度、阻尼、轮齿误差和轮齿间隙的影响；1 9 9 0 年，k a h r a m a n 和s i n g h f 3 9 】 分别使用数值分析方法和谐波平衡方法研究了内外激励作用时具有齿侧间隙的 一对直齿轮副的非线性频响特性，研究了内谐波激励的稳态解和给定频率的多重 解问题；2 0 0 0 年，t h e o d o s s i a d e ss 等用解析方法研究了单自由度齿轮系统的动 力稳定性问题【4 0 ；2 0 0 7 年，c h r i s t o p h e rk h a l s e 等研究了轻载齿轮系统的共存解 及分岔情况。 对于齿轮系统的非线性研究，国内学者也进行了大量研究。2 0 0 3 年，王立华 等针对齿轮系统时变啮合刚度和齿侧间隙耦合作用的具体特点，利用变步长四阶 r u n g e k u a a 数值仿真方法对该系统的动力学方程进行数值求解，得到一些有用 的结论【4 2 】；2 0 0 4 年，郜志英、沈允文等基于含有间隙的单自由度齿轮系统非线 性动力学模型，运用伪不懂点追踪法探讨了系统状态空间中同时存在的多重周期 解，研究了阻尼参数和激励频率变化时周期解结构的变化【4 3 】；2 0 0 5 年，杨绍普、 申永军等利用增量谐波平衡法研究了一类考虑时变啮合刚度和间隙的直齿轮副 的非线性动力学，建立了这类模型的解的统一形式】。 1 4 振动特性评估 任何含有质量和弹性的系统，都会构成一种含有一个或一个以上的常规振动 系统。测量某种振动，主要从以下三个振动量进行评估：振动位移、振动速度及 振动加速度【4 5 1 。 ( 一) 振动位移 强调低频率量； 具有对旋转部件和固定部件之间干扰的危险进行测量的用途； 可能对某些机床的振动有些用处； 一般说来没有多少用处，除非伴有频率测量。 ( 二) 振动速度 对于许多实际工作，特别是在机械振范围内，振动速度是一种需要测量和评 估的重要量。这种机械振动系统具有几何相似性并由同样材料构成的，当它们以 第一章绪论 同样方式和以同等的线性速度自由振动时，势必会受到同样的振动应力。 ( 三) 振动加速度 强调高频分量； 对评估动态质量力有用； 对评估瞬时现象( 冲击载荷) 可能有些用处； 对于许多实际工作，频率分析也是重要的。 1 5 本文的主要工作 本文在研究罗茨风机齿轮系统结构基础上，建立单对齿轮啮合传动的非线性 动力学模型，运用谐波平衡法对方程进行解析求解，对齿轮系统非线性振动特性 进行了研究，通过研究清楚的揭示了阻尼、齿轮制造误差、外部激振力以及刚度 等参数的变化对齿轮系统动力学行为的影响，本文具体内容包括以下几个方面： l 、第二章在分析罗茨风机齿轮传统系统物理模型基础之上，建立了考虑时 变啮合刚度和间隙的直齿轮副系统单自由度非线性动力学模型，并由此得到系统 的运动微分方程。同时由于不同的评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，为 了消除量纲和量纲单位不同所带来的不可公度性，本文对变量进行归一化变换进 而得到系统量纲一化方程； 2 、第三章介绍了用于非线性动力系统周期解结构分析的现代理论和方法， 包括周期解稳定性分析的一般方法及分叉规律研究的理论等，进而对齿轮间隙振 动系统的周期解稳定性进行了讨论； 3 、第四章在第二章得出量纲一化方程基础上，用大量篇幅详细推导了采用 谐波平衡法及牛顿迭代法对方程求解的数值求解算法，得出了用谐波平衡法求解 齿轮系统非线性振动的一般过程； 4 、第五章在第四章推导利用谐波平衡法及牛顿迭代法求解齿轮系统振动方 程的数值求解算法基础上对其进行归纳，同时总结迭代流程计算公式中各派生分 支，并研究各参数对系统动态特性的影响，为合理设计齿轮参数以有效控制齿轮 啮合的系统动力学行为和合理预测罗侧风机的机械噪声提供理论依据； 5 、第六章为全文的总结与展望。 9 山东大学硕士学位论文 第二章齿轮啮合传动动力学模型的建立 2 1 引言 本章将利用罗茨风机齿轮传动系统关于n & v 问题的特殊参数构建模型，建 立一类考虑时变啮合刚度和齿侧间隙的单自由度直齿轮副非线性动力学模型，包 括物理模型和数学模型( 运动微分方程) ，并得到系统无量纲化方程，为后面的动 力学分析奠定基础。 在构建模型过程中我们发现，由于存在广泛的通用性，此模型同时可应用于 其他单自由度时变啮合刚度、间隙型强非线性齿轮传动机构。 2 2 单自由度齿轮副啮合系统模型的建立 2 2 1 物理模型 首先建立罗茨风机齿轮系统的物理模型。 罗茨风机两个渐开线转子( 用x 和y 表示) ，固联在两条平行轴上。一条轴 ( x 轴) 由电机驱动，另一条轴( y 轴) 由两轴间的同步齿轮驱动，如图2 1 所 示。必须特别注意的是两轴间仅有齿轮接触，转子是不接触的，即运动由同步齿 轮来传递的，而不是靠叶轮的轮廓线传递。 l o 图2 1 罗茨风机物理模型 第二章齿轮啮合传动动力学模型的建立 2 2 2 力学模型 罗茨风机齿轮副啮合系统的力学模型如图2 2 所示，此类模型也可应用于更 广泛的齿隙振荡系统。两个相互啮合的齿轮安装于两平行轴上，以x 和y 标记 两个齿轮，并设齿轮x 为主动齿轮，齿轮y 为从动齿轮。图中： 1 致和r 分别为作用于齿轮x 和y 上的力矩； 2 ，x 和h 表示齿轮x 和y 的节圆半径； 3 厶和 为齿轮x 和y 绕其回转中心的转动惯量； 4 氏和巩为齿轮x 和y 转动的角位移； 5 齿轮啮合部的描述，以颇f ) 表示啮合过程中啮合齿的接触刚度( 它在本质上 是时变的) ，以c m 表示啮合过程中的阻尼系数( 在此假设它是线性的) ，以2 j 表 示齿轮副( 在啮合线上度量) 的啮合侧隙，同时考虑到制造安装误差，设齿轮沿 基圆切向度量的综合误差为e ( f ) 。 对于齿侧间隙的定义和度量，根据目的不同，所定义的方式和测量方式也不 同。在我国国标g b l 0 0 9 5 8 8 中，侧隙的定义是：对于装配好的齿轮副，当一个齿 轮固定时，另一个齿轮的晃动量，其度量以分度圆上对应的弧长来计算。在实际 的应用中，侧隙的大小也可以用沿啮合线上测得的位移值来表示，或者在用齿轮 中心测得的角度来表示。在齿轮动力学中，一般均是考虑各齿轮在啮合线上的运 动【1 5 】，因此，除非特别说明，在本文中所提到的齿侧间隙均是指在啮合线上度 量所得到的值。 xy 图2 2 齿轮副啮合系统的力学模型 系统啮合过程中的动态特性由以下方程决定： ，x 民+ c m 呶【仅氏一，y o v 一台( _ ) 】+ r x k ( r ) ( 厂x 民一0 y - e ( r ) ，万) = r x ( 2 1 ) 1 1 山东大学硕士学位论文 ，y 巩一c m f v r x o x r v 乱一毒( f ) 卜七( f ) f ( r x o x 一厂y 巩一p ( f ) ，万) = 一墨 ( 2 - 2 ) 以上两式中，厂是齿隙间隙函数( 参见图2 3 ) ，影响齿隙函数形式的因素包 括润滑、预加载荷以及弯曲刚度等，在此考虑最简单的形式，定义齿隙间隙函数 为 fx - - 万，x 8 g ) = 0 ， i 卅万 ( 2 - 3 ) 【工+ 万，x l 孔) = 0 ，h l ( 2 2 1 ) i z + 1 ， 石 0 和t 。= 0 ，存在万= 8 ( 8 ，t 。) 0 ，对于任一 满足恢l i 0 时，均有恢0 0 ，当k0 0 ，无论万 0 怎样小，总存在一个， k0 t 。，有忙( ) i l 占，则方程( 3 - 1 ) 是不稳定的。 3 2 2 稳定性研究的主要方法 判别平衡位置和运动状态稳定性的方法有多种，常用的有： 1 图解法 对于二阶自治系统或自激振动系统，通常采用相平面法。对于平衡位置的稳 定性，可由奇点的稳定与不稳定来判别。对于周期解的稳定性，可以由极限环的 稳定性加以判别。 对于非自治系统，可以用点变换( 或称点映射) 或胞变换( 或称胞映射) 方 法进行研究，也可以用频闪法加以判断。还可以将周期运动的稳定性判定问题转 化为庞加莱不动点的稳定性加以判断。 2 代数判据法 山东大学硕士学位论文 依据微分方程理论，由微分方程特征根实部的符号来判定微分方程的稳定 性，微分方程的特征方程为代数方程，从而可以利用代数判据法来判别线性系统 运动状态的稳定性。 3 一次近似判别法 对于非临界情形的非线性系统的稳定性，可以用其对应的一次近似方程的稳 定性来判别。 4 马提鄂( m a t h i e u ) 方程稳定性判别法 将微分方程变换为马提鄂方程的扰动方程式，然后利用马提鄂方程的稳定与 不稳定区域图判别运动状态的稳定性。 5 里雅普诺夫( l y a p u n o v ) 直接法( 第二方法) 根据微分方程的特点找出所谓的里雅普诺夫函数，再根据里雅普诺夫函数的 性质判别运动状态的稳定性。 6 中心流形判别法 对于临界情形的n + m 维非线性系统的稳定性，可以用其具有零实部的以维 系统中的中心流形来判定。 3 2 3 对周期运动稳定性分叉问题进行研究的现代理论与方法 对于自治系统平衡点解分叉产生稳态周期解的问题，用h o p f 分叉理论进行 研究，对摄动方程中的雅可比矩阵直接分析就可确定稳态平衡点解的稳定性及分 叉临界点，然而，对于稳态周期解的稳定性及分叉情况，问题远为复杂，因此引 进一种新的分析方法一f l o q u e t 分叉理论【5 0 5 1 1 。 1 、f l o q u e t 分叉理论 对于式( 3 2 ) 所示的连续动力系统， 坚：f ( t ，x ，彩)( f ，x ，缈) 尺r 一r 用( 3 - 2 ) d t 假设给定外参数国= q 和这