（机械电子工程专业论文）齿轮五杆机构精确与近似尺寸综合研究及计算机模拟.pdf

摘要 摘要 齿轮五杆机构可以实现复杂的运动规律，因此，对其进行尺寸综合的 研究具有很大的实际意义。由于传统几何法和解析法的局限性，使得齿轮一 五杆机构综合的过程过于复杂和繁琐。所以，寻求一种简便、快捷和直观 的尺寸综合方法一直是人们努力的方向。 本研究用计算机几何技术具体进行了3 种基本类型齿轮一五杆机构的 尺寸综合，涉及轨迹综合、函数综合、运动综合以及高阶和复合点阶综合。 内容如下： 基于c a d 几何尺寸约束、几何约束、尺寸方程和尺寸驱动技术，构 造3 种齿轮一五杆机构的基本模拟机构。基于不同的综合任务，构造精确与 近似综合模拟机构。 轨迹综合通过规定浮动连杆上一点经过的精确与近似位置建立精确与 近似模拟机构，从而获得机构各个构件尺寸值。用解析方法验证模拟结果； 函数综合运用插值逼近法取精确点，建立输出构件和输入构件之问的函数 关系，以寻求满足规定函数关系的齿轮一五杆机构；运动综合通过不同的几 何约束方式使浮动连杆的一部分近似实现规定的位姿，以获取机构的尺寸 值；高阶和复合点阶综合结合数学理论，将导数的概念与速度和加速度的 要求相结合构造模拟机构，获取尺寸值。 计算机模拟结果表明，该方法具有直观、求解精度高、重复性好的优 点。与求解过程复杂的解析法和求解精度低的传统几何法相比，具有很大 的优势。 关键词齿轮一五杆机构；计算机辅助几何法；尺寸综合；轨迹综合；函数 综合；运动综合；高阶综合和复合点阶综合；几何约束；尺寸约束； 尺寸方程；尺寸驱动 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t g e a r e df i v e b a rm e c h a n i s m ，w h i c hc a np e r f o r mm u l t i f o r mm o t i o n ，i sa r e p r e s e n t a t i v et y p e s o ，s t u d yo nd i m e n s i o n a ls y n t h e s i so fg e a r e df i v e b a r m e c h a n i s mi sv e r yi m p o r t a n ta n dm e a n i n g f u l ，a st h el o c a l i z a t i o no ft r a d i t i o n a l a n a l y t i c a n dg e o m e t r i cm e t h o d ，t h es y n t h e s i sp r o c e s si s c o m p l i c a t e da n d t e d i o u s p e o p l es t r i v et o f i n das i m p l e ，c o n v e n i e n ta n ds h o r t c u ta p p r o a c ho f d i m e n s i o n a l a n a l y s i s i nt h ep a p e r , w ec r e a t et h r e eb a s i cs i m u l a t i o nm e c h a n i s mb yu s i n g c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r ya p p r o a c ha n dh a v ed i m e n s i o n a ls y n t h e s i sr e f e r r e dt o p a t h g e n e r a t i o n ，f u n c t i o ng e n e r a t i o n ，m o t i o ng e n e r a t i o n ，h i g h e r - o r d e ra n d c o m b i n e dp o i n t o r d e rs y n t h e s i s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： i nc a s eo fc a dg e o m e t r i ca p p r o a c h ，i n c l u d i n gg e o m e t r i cc o n s t r a i n t ， d i m e n s i o nc o n s t r a i n t ，d i m e n s i o ne q u a t i o na n dd i m e n s i o nd r i v i n g ，t h r e ep r i m a r y s i m u l a t i o nm e c h a n i s m sa r ec r e a t e d a f t e rt h a t ，t h ep r e c i s i o na n da p p r o x i m a t e s i m u l a t i o nm e c h a n i s m sa r ed e v e l o p e df r o mi t f o rp a t hg e n e r a t i o n ，s i m u l a t i o nm e c h a n i s mi so b t a i n e db yp r e s c r i b i n gt h e p a t ho fo n ep o i n t w eu s em e a s u r et h ed i m e n s i o no fa l ll i n k a g e s w ea l s o c a l c u l a t et h ed i m e n s i o nb ya n a l y t i c sa n dc o m p a r et h e i rr e s u l t s f o rf u n c t i o n g e n e r a t i o n ，s i m u l a t i o nm e c h a n i s m i so b t a i n e d b ys e t t i n gu pt h ef u n c t i o n c o n n e c t i o nb e t w e e n i n p u t a n d o u t p u tl i n k a g e f o r m o t i o n g e n e r a t i o n ， s i m u l a t i o nm e c h a n i s mi so b t a i n e db yr e s t r i c t i n go n ep a r to ff l o a t e dl i n k a g et o r e a l i z et h ep r e s c r i b e dm o t i o n f o rh i g h e r o r d e ra n dc o m b i n e dp o i n t o r d e r s y n t h e s i s ，c o m b i n e d w i t hm a t h e m a t i c st h e o r i e s ，s i m u l a t i o nm e c h a n i s mi s c r e a t e d t h er e s u l to fc o m p u t e rs i m u l a t i o ns h o wt h a tt h em e c h a n i s ms i m u l a t i o n a p p r o a c hi sn o to n l yf a i r l yq u i c ka n ds t r a i g h t f o r w a r d ，b u ta l s oh a sa d v a n t a g e s o fa c c u r a c ya n d r e p e a t a b i l i t y i i a b s t r a c t k e y w o r d s g e a r e df i v e b a rm e c h a n i s m ；c o m p u t e r - a i d e dg e o m e t r ya p p r o a c h ； d i m e n s i o n a l s y n t h e s i s ；p a t hg e n e r a t i o n ；f u n c t i o ng e n e r m i o n ； m o t i o n g e n e r m i o n ；h i g h e r - o r d e r a n dc o m b i n e d p o i n t o r d e r s y n t h e s i s ；g e o m e t r i cc o n s t r a i n t ；d i m e n s i o nc o n s t r a i n t ；d i m e n s i o n e q u a t i o n ；d i m e n s i o nd r i v i n g n i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文齿轮五杆机构精确与近 似尺寸综合研究与计算机模拟，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕 士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注 明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究： 作做出 重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式注明。本声明的法律结果 将完全由本人承担。 作者签字j 晶矗 日期：砷年妇，角 燕山大学硕士学位论文使用授权书 齿轮一五杆机构精确与近似尺寸综合研究与计算机模拟系本人在 燕山大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的 研究成果归燕l 【大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位 及相关人员。本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅。本人授权燕l b 大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：彳晶哉 隅闻年f 月册 导师签名 蝴 h 期：卿卵厢 第1 章绪论 1 1 概述 第1 章绪论 常用机构中结构最简单的机构通常称为基本机构。如单自由度的四连 杆机构、齿轮机构、凸轮机构、螺旋机构和两自由度的五杆机构、四杆高 副机构、差动轮系等。通常，原动件作匀速连续转动，实现执行构件的运 动较为简单时可选用一个基本机构实现。然而，随着机械产品创新设计的 发展，单一的基本结构往往由于本身所固有的局限性而无法满足多方面的 要求。于是，人们尝试利用几个相同类型的或不同类型的基本机构组合应 用。通常，将由单自由度基本机构约束多自由度基本机构组合而成的机构 统称为组合机构。它可以用来实现一些特殊的运动轨迹或获得特殊的运动 规律，因此被广泛应用于纺织、印刷、农业和轻工业等生产过程1 1 l 。 齿轮连杆机构是组合机构的一种。它将齿轮机构与连杆机构组合使 用，通常是将连杆固联在互相啮合的齿轮副上。这样，不同的杆长比、不 同的齿数比和不同的相位角都影响输出的运动规律或轨迹。所以只要改变 以上这些参数，我们就可以获得多种运动规律或实现复杂的运动轨迹。因 此它是一种很好的自调机构。另外，齿轮连杆机构中的连杆和齿轮易于加 工、精度易于保证，而且运转可靠。由于这类机构一系列的优点和特性， 在工农业各个领域的应用广泛。 常见的齿轮一连杆机构为齿轮一四杆机构和齿轮一五杆机构。对于四连杆 机构来说，各杆长一定时，机构的运动是确定的。加载的齿轮串应有一个 端部齿轮与连杆机构的构件相固联，才能保证其自由度仍为l 。外加不同 的齿轮机构，只是在于使从动件的运动由各分运动叠加时，获得不同的数 值，从而满足更多的运动要求。 对于齿轮五杆机构，它的两个连杆分别固定在两个互相啮合的齿轮 上，即由一个单自由度的齿轮机构封闭一个两自由度的平面铰链五杆机构 的封闭式传动机构。这种单自由度的组合机构，更容易控制其运动，使其 满足我们的运动要求。当改变其齿轮传动比参数时，就相当于具有两个不 燕山大学1 = 学硕上学位论文 同输入运动规律的原动件的平面铰链五杆机构，故它包含了铰链五杆机构 运动特性的全部信息。因此，对齿轮五杆机构运动特性的研究更具有重要 的理论意义和学术价值【2 】。齿轮五杆机构有如图1 - 1 ( a ) 、( b ) 、( c ) 所示的三 种主要型式【3 】。 ( a )i 型齿轮一五杆机构 ( b ) i i 型齿轮五杆机构( c ) 1 1 1 型齿轮- 五杆机构 图1 - 1 齿轮五杆机构 f i g 1 - 1 g e a r e df i v e b a rm e c h a n i s m 2 第1 章绪沦 机构学研究的问题，按逻辑学观点分为机构分析和机构综合两类。分 析是对现有的机构进行分析，分析其运动学特性( ( 角) 位移、( 角) 速度、 ( 角) 加速度) 和动力学特性( 输入力或力矩、各运动副的反力及其变化 规律) 。综合是设计机构，使其达到规定的运动学和动力学要求，包括类型 综合和尺寸综合。机构的分析内容不但用于分析已有机构的性能，而且用 于机构综合结果的检验【4 j 。因此，分析是综合的基础，综合是最终目的。 传统的连杆机构综合即指尺寸综合，它可归纳为三类问题：轨迹综合、 函数综合、运动综合。轨迹综合是要求浮动连杆上的一点产生预期的轨迹； 函数综合问题是要求机构的输出变量与输入变量之间呈规定的正弦、余弦、 积分等函数关系；运动综合是通过规定浮动连杆的一部分必须经过的几个 位置来寻求机构杆件的尺寸1 5 4 】。另外，本文还将涉及机构高阶综合和复合 点阶综合的问题，即要求所确定的机构不仅产生所期望的运动轨迹，而且 还应满足规定的运动速度、加速度要求。对于机构的高阶综合就是要求机 构在一点满足规定的位置、速度和加速度；对于复合点阶综合则要求机构 在多点满足规定值。如在第一点满足规定轨迹位置和速度，在第二点满足 规定的轨迹位置，在第三( 位置) 点满足规定的速度或加速度等【7 】。 在机构学中，将由于制造不精确、构件弹性变形及工作条件等因素造 成的误差称为随机误差，将设计出来的机构简图理论上的运动与要求的预 期运动之间的误差称为结构误差。所谓精确综合，即没有结构误差的机构 综合；近似综合即包含着按某种规律分布的结构误差的机构综合。精确综 合在用多杆机构精确实现轨迹发生上得到了发展。但在许多情况下，实际 上不可能得到既简单方便又能精确发生轨迹或函数关系的机构。因此，近 似综合方法得到了很大发展【8 】。尤其在高阶综合和复合点阶综合时，实现 精确综合是比较困难的。在很多场合，以尽量小的结构误差，使机构简图 的理论上运动再现预期运动，是机构近似综合所追求的目标。 1 2 平面机构尺寸综合的研究现状 机构尺寸综合的两个基本工具是图解法( 几何法) 和解析法9 1 。二十 世纪五十年代以前，进行机构尺寸综合时几乎都是用图解法1 0 l 。传统图解 3 燕山大学t 学硕士学位论文 法的优点是形象直观、作法一般较为简便，但往往不能满足高精度的要求， 且重复性差、效率低。它对于复杂机构是无能为力的。随着计算机技术的 发展和数学方法的不断完善，解析法得到迅速发展，正逐步取代传统的图 解法。解析法将机构问题抽象为数学问题，根据运动学原理建立连杆机构 尺度参数与运动要求的解析式，然后列方程求解。一般的平面连杆机构的 解析法都转化为高阶非线性方程组的求解或优化问题。解析法适于计算机 编程，求解精度高且重复性好，但求解过程复杂且不直观。 在图解法方面，传统的方法是基于构件位移的极、极三角形以及基点 等概念，利用等视角定理、波比利尔构图法等进行有限个相关位置连杆机 构的综合“】。另外，l o e r c h 和e r d m a n 研究了二元矢量几何法，并用于 四连杆机构的三个规定位置综合 1 2 - 1 3 】。z h a n g 等研究了齿轮五杆机构的轨 迹图谱 t 4 - 1 5 。 计算机辅助图解法方面，在符合传统几何作图的理论依据的基础上， 利用a u t oc a d 技术进行模拟作图亦是一种设计趋势1 1 6 - 2 5 l 。e d w a r d 等尝试 利用几何约束编程获得综合结果怛“。 利用解析法进行平面机构综合，f r e u d e n s t e i n 和s a n d o r 最早提出了精 确综合方法2 饥，s a n d o r 和e r d m a n 又发展了这种方法，使综合出的精确点 数目有所增加2 8 1 。s o d h i 确定了可调四连杆机构运动综合的最多精确点数 目【2 9 1 。 在坐标变换矩阵用于机构分析的基础上，c h s u h 提出了位移矩阵法 综合机构( 3 m ，开辟了平面与空间机构综合的新途径，尤其在平面多杆机构 的综合方面表现出很大的优越性。这种方法的实际求解过程，主要足求解 二次非线性方程组或超越方程组，常用的求解非线性方程的方法是数值迭 代求解，如n e w t o n r a p h s o n 法”1 ，另外还有h o m o t o p y 法阻3 3 1 、吴方法3 4 3 5 】 等。 利用解析法进行平面机构的综合，早年苏联还提出了函数逼近法，但 曾因计算手段的落后无法应用予实际。随着现代计算机技术的发展，函数 逼近法由于其理论的科学性和计算求解的现实性，成为机构综合广泛应用 的方法之一。 4 第1 章绪论 在近似综合方面，美国的f r e u d e n s t e i n 早在上世纪五十年代就提出了 近似综合用解法，用于四个以上位置求解上的应用 3 6 om i r t h 研究了四连 杆机构的近似位置综合解析法，综合的机构满足近似的规定运动l ”1 。其它 学者也做了相关的研究f 3 s 】。 另外，解析法的运用普遍与各种优化方法相结合，通过寻求最小目标 函数得到最优解。比较常用的优化方法有遗传算法3 9 q 3 1 、进化理论 4 4 4 6 1 、 内部点澍4 7 1 和高斯约束法等，些学者也尝试了其它优化的方法一虬5 6 1 。 在c a d 方面，学者主要基于解析法，用现有的软件研究和编写相应 的程序5 7 枷l 。但是编程难度大，特别是在多解情况下难以确定合适解，因 而在应用中亦受到了限制。 目前，平面机构尺寸综合的研究主要在平面连杼机构方面研究成果比 较多f 6 l 】。t o d o r 等研究了平面四杼机构综合的方法【6 2 6 6 1 ，f a l l a h i 等研究了 平面五杆机构轨迹综合、函数综合等6 7 ”】，c h a n d 和b a l l i 研究了平厩七 秆机构的综合四杆机构n ”。另外，z h o u 和t i n g 对曲柄滑块机构进行了轨 迹综合，n o k l e b y 等研究了齿轮一五杆机构的综合7 岳7 7 1 ，g a t t i 和m u n d o 用优化的方法综合了凸轮六杆机构 7 8 1 , w a 和d i n g 研究了线性机构的高阶 综合7 9 1 。 为了寻求简单、快捷的综合方法，采用计算机几何技术【8 “，路懿等构 造了四连杆近似函数、轨迹和运动综合计算机模拟机构，并作了相关的理 论研究【8 “。继而义将计算机几何技术应用到s t e p h e n s o n 六杆机构近似位姿 综合方面瞵”。 1 3 论文选题的意义及目的 平面连杆机构在工农业及日常工作中应用广泛，具有一个自由度的平 面四杆机构的结构相对简单，因而对其运动规律的研究已相当成熟，应用 也较多。然而随着机械产品创新设计的发展，平面连杆机构的设计已经不 局限于单自由度机构，平面多自由度机构已经广泛应用于并联机器人、串 联机械手等领域，以实现高精度的运动输出或完成更复杂的运动规律。而 齿轮一五杆机构( 齿轮一五杆机构一g e a r e df i v e 。b a rm e c h a n i s m ) 是两个连杆 燕山大学1 = 学硕士学位论文 分别固定在蹲个互相啮合的齿轮上，即由一个单自由度的齿轮机构封闭一 个两自由度的平面铰链五杆机构的封闭式传动机构。当齿轮传动比参数不 同时，就具有两个不同的输入运动规律的原动件平面铰链机构。它较四杆 机构具有更多的设计参数，因而其连杆形状更丰富。因此对齿轮一五杆机构 运动规律的研究更具有重要的理论意义和学术价值。 机构尺寸综合的目的是使设计的机构在尽可能多的规定位置产生规定 的位姿。若机构在某些位置产生精确位姿，而在另一些位置产生近似位姿， 并保证机构的运动实际位姿与规定位姿之差在容许的范围内，则这类机构 尺寸综合称为机构的近似位姿综合。在许多情况下，实际上并不可能得到 既简单方便又能精确发生轨迹或函数关系的机构。因此近似综合在某些场 合更有实际意义。 目前对机构进行综合较为常用的方法是解析法，图解法因其低效率和 低精度已不适合现代术的发展需要。随着计算机技术的发展和数学方法的 不断完善，解析法发展很快，能够满足高精度的要求。然而解析法与数学 方法的结合，建立数学模型并求解的过程比较复杂，计算的工作量大。这 一缺点在求解复杂机构时尤为突出，有时甚至难以得到合适解。而且在进 行机构近似尺寸综合时，解析法亦表现力不从心。所以研究出一种简单、 直观、求解精度高又易于掌握的对平面机构进行尺寸综合的方法是本课题 的研究目的。 1 4 主要研究内容 针对图解法和解析法的缺点，基于c a d 尺寸驱动和几何约束技术， 以及c a d 软件含有的相应功能，利用机构尺寸综合的新方法一计算机辅 助几何法对齿轮五杆机构进行尺寸综合。 本课题主要研究用c a d 软件的几何约束、尺寸约束、尺寸方程和尺 寸驱动技术，构造出基本的齿轮五杆机构，使机构在规定位置处产生规定 的位姿，并确定机构各项尺寸参数。此法可对齿轮五杆机构进行轨迹综合、 函数综合以及运动综合。亦可进一步用于高阶和复合点阶综合。用此法构 造齿轮一五杆机构简洁、直观，不需复杂运算，并且基本模拟机构构造完成 6 第1 章绪论 后，对于不同类型的综合任务均可以采用此模拟机构，不用改变约束关系。 改变机构参数时，对于已链接或建立方程式关系的尺寸，只需改变驱动尺 寸，被驱动尺寸即可相应变化。 计算机辅助几何法具有简单、快捷、直观、求解精度高的优点。在整 个求解过程中，不需要建立复杂的数学解析方程，为机构的尺寸综合提供 了有效工具。 本文的研究内容主要有以下几方面： ( 1 ) 采用c a d 软件中的几何约束、尺寸约束和尺寸驱动技术，建立齿 轮五杆机构的几何模型，通过改变驱动尺寸、齿轮传动比等参数，进行运 动模拟。 ( 2 ) 用上述方法对模拟机构进行精确点轨迹综合，找出最多精确点的个 数。用尺寸测量工具测定机构各项尺寸参数，并用解析法对模拟结果进行 验证。 ( 3 ) 规定容许误差，同样利用计算机辅助几何法进行近似轨迹综合。 ( 4 ) 规定输出构件相对于输入构件的某种函数关系，计算出符合规定函 数关系的插值点即精确点，在精确点处对机构进行函数综合。确定模拟机 构各个尺寸参数，得到综合结果。 ( 5 ) 规定浮动连杆一部分在规定位置处位姿，利用模拟机构实现近似运 动综合，然后确定尺寸。 ( 6 ) 结合数学导数理论，利用计算机几何技术对齿轮五杆机构进行高 阶及复合点阶的运动综合。 ( 7 ) 总结运用计算机辅助几何法构造齿轮一五杆机构以及对其进行尺寸 综合的规律，形成一套可以适用于其它平面机构的理论。 7 燕山大学下学硕士学位论文 第2 章理论基础及相关软件 2 1 概述 用计算机几何法建立齿轮五杆机构的模拟机构，进行精确与近似尺寸 综合的模拟。验证此方法的可行性，即将计算机模拟的结果与解析法运动 分析的结果进行比较。 图解法是平面机构运动分析的传统方法，然而随着计算机技术的发展， 解析方法在机构学的发展中逐步扮演了主要的角色。本章将介绍用解析法 对齿轮，五杆机构进行运动分析的步骤及相关概念。 另外，简单介绍进行尺寸综合模拟的c a d 软件的基本功能；对函数 综合采用的取精确点方法一插值逼近法的原理进行阐述。 2 2 计算机解析法机构分析的规定 2 2 1 坐标方向的规定 用解析法建立运动学方程，首先要建立坐标系，确定坐标方向。目前 使用较为广泛的是右手坐标系。在三角函数中，角度和各三角函数之间的 关系都是以右手坐标系建立的，运动学各矢量的解析形式也是根据右手坐 标系判定其正负方向。 2 2 2 点的位置坐标表示法及角位移的规定 点的位置用坐标表示，而不用距离尺寸表示，即把位置关系表达成坐 标形式。 在建立运动学方程时，角位移的设置一定以x 轴为始边，逆时针方向 为正，反之为负。通常以两铰链点连线作为基本位移，一般不采用负角。 杆件上其它点角位移可在基本角位移基础上加( 逆时针) 减( 顺时针) 该 点相对铰链点连线的夹角。 8 第2 章理论摹础及相关软件 2 2 3 机构示意图和坐标原点设置 一般来说，坐标原点应该设在曲柄转动中心。曲柄转动方向尽量选为 逆时针，这样可以在曲柄往复位移方程中省去负号。如果从一个方向看机 构曲柄转动方向为顺时针，则可以从反方向画出机构示意图。示意图应表 明杆件的序号( 用阿拉伯数字表示) 、铰链点的英文代号、各杆件角位移， 以及重要点与铰链点连线的角度等。 2 2 4 模型中符号的设定 符号的设定是在建立方程前和方程变换中常遇到的问题，我们尽量选 择程序中也可以使用的符号。为了便于识别，对运动学分析中符号的规定 见表2 1 表2 - 1运动学分析符号说明 t a b l e2 - i e x p l a n a t i o no f k i n e m a t i c sa n a l y s i ss y m b o l s 符号说明 杆件顺序编号，表示杆件各运动学参量的下标 厶i 杆件两铰链点间的距离 “ i 杆件铰链点连线在平面内与j 轴的央角 厶b杆件上某点占( 铰链点或任意点) 与铰链点a 的距离 x i y t ，杆件端点坐标 2 3 运动学分析的一般步骤和方法 2 3 1矢量方程的建立 进行机构运动学分析时，首先要建立矢量方程。位移方程是根据矢量 方程来建立的，矢量方程足按照矢量封闭多边形列出的。矢量封闭多边形 简称矢量环。矢量环通常是将杆件铰链点间以矢量连接，最后形成矢量封 闭环。 矢量环域法要遵循以下原则： ( 1 ) 所列位移方程求角位移时可以方便地得到唯一值； q 燕山大学工学硕上学位论文 ( 2 ) 同一环路不可以画两个矢量环； ( 3 ) n 矢量环可部分重叠，但不能有任何铰链点不包括在某个矢量环 中： ( 4 ) 所画矢量环的数量由确定机构位置的未知量决定。未知量足偶数， 矢量环数量等于机构未知量被2 除的数值。 2 3 2 位移方程的建立及解法 按照矢量方程建立位移方程，以图2 - 1 为例。 ( 1 ) 建立矢量方程 ( 2 ) 建立位移方程 图2 - 1 矢量环画法 f i g 2 1d e s c r i p t o ro f v e c t o rc i r c l e 葫+ 历：瑟+ 历 矢量方程转换为位移方程实际足将方程由矢量形式变为解析形式，将 矢量的方向和方向分别列出等式。在方程中，和方向各标量相加，各标量 1 0 吒 s 1出 幻厶 十 + k = | i 哆吒 菪_ 5 | 如厶 卜 + 日 y ，-t(-ll 第2 章理论摹础及相关软件 的正负由方程中的角位移的正弦或余弦值确定。 2 4 函数逼近法 函数逼近法的基本思想是：首先推导出机构所实现的函数e 震l ， 飓，) ，然后与给定的预期函数m ) 进行比较。即求出它们之间的偏差解 析表达式= 哟，且l ，r 2 ) 一只x ) ，并使其尽可能的变小，直到满足 精度要求。其中，x 为自变量，r l ，飓为决定机构运动简图的待定的机 构参数。 通常所采用的函数逼近法有：插值逼近法、平方逼近法、最佳逼近法 等。而这些逼近方法，其基本思想是基于不同的数学处理方法。现就插值 逼近法的基本思想进行说明。 插值逼近法也称内插值法，其基本思想是：用一个含有机构待定参数 马的连续函数 y = 一( 工，q ) ( 2 1 ) 替代给定的预期函数 y = f ( x ) ( 2 2 ) 其中，冠为待定机构参数。即机构中各构件的相对长度和相互位置参数， 这里，y j ( x ，母) 即为逼近函数。它与所给预期函数的偏差解析表达式为 a ，= 一( x ，墨，r 2 ，) 一f ( x ) ( 2 - 3 ) 插值逼近法的偏差解析式表达式( 2 3 ) 的含义是：在自变量善的变化 区间( 功，) 内取h 个插值点，使得给定函数y = f ( x ) 与机构所实现的函 数尸巧向，呦二者的值在i 1 个插值点处相同，即其偏差表达式的值a = 0 。 插值逼近法的基本思想还可以用图2 2 来表达。图2 2 的虚线表示所 给定的预期函数尸m ) ，实线表示机构所实现的函数，即逼近函数咏， 马) 。( 勒，如) 表示自变量x 的变化区间，而饥，) 则表示与自变量x 在 区间( x o ，x m ) 内所对应的给定函数f 的值。由图2 - 2 可见，以上两条 函数曲线呈反复相交状态，其交点即为插值结点。 燕山大学t 学硕上学位论文 显然，在各插值结点k 处两个函数值相等，而在插值结点以外的所有 位置上均由偏差。在所有偏差乱中，必然存在一个最大值，为了使得该最 大偏差尽可能小一些，同时又能使在其插值结点的两侧，其偏差的正负值 交替出现，这与插值结点如何分布有关。 y 辨 m y o d 勘 x i靠 ，” 图2 2 插值逼近法图不 f i g ，2 2f i g u r eo f i n t e r p o l a t i o na p p r o x i m a t ea p p r o a c h 根据函数逼近理论，并利用柴贝歇夫插值结点分布关系式，插值结点 的位置可按下式选取 = 一x m - - x 0 2 2 c 。s ( 型2 堋。) l， 式中k1 ，2 ，3 ，厅5 ，卜插值结点的数目。 2 5 计算机软件基础 计算机模拟尺寸综合的第一步即是根据机构的特点构建模型，然后利 用构建的模型即模拟机构进行各种运动分析及综合。根据需求创建模型， 以实现高精度，可重复性的设计足我们探索的计算机模拟几何法的优势所 第2 章理论基础及相关软件 在。开发模型的步骤主要有以下几点： ( 1 ) 运用草图绘制工具，创建由各基本构件组成的草图； ( 2 ) 根据需求标注尺寸，应用几何关系、尺寸约束、方程约束等； ( 3 ) 运用模型进行运动模拟，分析已构件模型的可行性，编辑模型； ( 4 ) 利用已开发模型进行机构的运动分析及综合。 2 5 1 草图实体 所有草图包含以下基本实体： ( 1 ) 原点为草图提供定位点，多数草图都始于原点； ( 2 ) 基准面标准基准面使用前视基准面、上视基准面和右视基准面。 其中，前视基准面为新零件第一个草图的默认基准面，可根据需要添加和 定位基准面； ( 3 ) 尺寸尺寸用于定义零件的长度、半径等。当用户更改尺寸时，零 件的大小和形状随之发生改变，用户必须根据设计意图来标注尺寸。尺寸 分为驱动尺寸和被驱动尺寸。前者用于改变模型值时改变模型的大小和形 状，它右“尺寸”工具创建。模型的其它尺寸为从动尺寸，它们由软件自动 生成，只作为信息应用，用户可删除它们，但不可修改它们。当修改驱动 尺寸时，被驱动尺寸随之改变。 ( 4 ) 几何关系用户可用“推理”和“添加几何关系”工具在草图实体之间 建立几何关系( 相等、相切等) 。 2 5 2 草图实体 草图可以完全定义、欠定义或过定义。在完全定义的草图内，草图所有 的直线、曲线及其位置，均由尺寸或几何关系确定。要创建零件，必须完全 定义草图。通过显示欠定义草图实体，可以确定需要添加什么尺寸或几何关 系，来完成定义草图。欠定义的草图实体在草图中不固定，可以任意拖动。 过定义草图包含冗余的尺寸或几何关系，用户可删除它们，但不能编辑它们。 在s o l i d w o r k s 软件中，用户可用颜色来提示草图是否欠定义。一般情 况下，黑色表示完全定义；蓝色表示欠定义；红色表示过定义。 燕山大学t 学硕上学位沦文 2 6 本章小结 本章的内容是全篇的理论基础，是最基本的也是非常重要的。以上介绍 的数值方法可以验证模拟法综合结果的正确性；函数逼近法是进行函数综合 的理论依据；计算机软件基础是构造模拟机构，具体应用计算机模拟法进行 尺寸综合的软件基础知识。 第3 章齿轮一五杆机构的轨迹综合 第3 章齿轮一五杆机构的轨迹综合 3 1 概述 轨迹综合的主要问题是寻求连杆上某一点能通过某一预先给定的轨迹 而完成一定的功能的机构。一般地说，连杆机构不可能精确实现任意给定 的轨迹，只能精确实现给定轨迹的几个位置。在其它位置只能近似实现给 定轨迹，在设计过程中力求结构误差最小。 按运动轨迹综合连杆机构是当代机构尺寸综合中发展较快的内容。仿 生机构、机械手、机器人机构的综合与运动轨迹密切相关。齿轮一连杆机构 与普通平面连杆机构相比，其具有更多的设计参数，运动轨迹也更加的丰 富。因此，对齿轮连杆机构运动规律的研究更具有重要的理论意义和学术 价值。而齿轮一五杆机构又是齿轮连杆机构中比较重要的型式，这里重点研 究齿轮一五杆机构的轨迹综合问题。 如绪论所述，齿轮一五杆机构有三种主要型式。这里对l 型和i i 型齿轮 。五杆机构进行轨迹综合，探索在尽可能多的点实现规定轨迹的计算机几何 方法。 3 2i 型齿轮五杆机构轨迹综合的模拟 i 型齿轮五杆机构是将一对互相啮合的齿轮分别固联在两个连架杆 上，它的运动特性与一般的双曲柄五秆机构相似。将其中一个齿轮作为主 动件，另一连架杆的运动即为从动。此时浮动连杆上点的运动轨迹与齿轮 的传动比有关。我们用计算机几何法构造齿轮一五杆机构的模型，并利用它 在有限个位置处精确实现规定的轨迹，在尽可能多位置处实现容许误差范 围内的近似轨迹。 3 2 1 基本模拟机构的构造 i 型齿轮五杆机构的模拟机构如图3 一l 所示，它用于在k 个规定位置实 现预期轨迹。模拟机构在第i ( i = 1 ，2 ，“1 ) 点位置时，2 个圆c l 和c 2 1s 燕山大学1 = 学硕士学位沧文 是一对齿轮副，直线d l 晚是固定二元杆，a o 为直线。l d 2 与水平方向的夹 角。厶，和如是固定在齿轮副上的连架杆，如和如为浮动连杆。在第i 点位置，用方程式建立连杆三。，和如相对初始位置转过角度与圆弧c l 、 c 2 直径对应的函数关系，从而构造出齿轮的传动比。采用c a d 的几何约束 和尺寸约束技术，构造出各连杆及连架杆位置。 图3 - li 型齿轮五杆机构基本模拟机构 f i g 3 1 t h ep r i m a r ys i m u l a t i o nm e c h a n i s mo ft h ef i r s tt y p eg e a r e df i v e b a rm e c h a n i s m i 型齿轮一五杆基本模拟机构的构造过程说明如下： ( 1 ) 分别构造两个圆c t 和c 2 ，用相切命令使两圆相切，分别标注尺 寸d 1 ，。2 。 ( 2 ) 以两相切圆的圆心0 1 ，0 2 为两个端点构造直线o ，三。为固定二元 杆。 ( 3 ) 构造一条直线厶i ，用移动和复制命令，移动和复制“1 个相同的 直线“( i = 1 ，2 ，“1 ) ，其中k 为规定位置数，第一条虚线为起始位 置处。同法，构造n 1 个相同的直线如。 ( 4 ) 分别构造两个圆c l 和c 2 的同心圆c ，和c 2 。用几何约束的点与 点重合命令将直线厶，的一端连接到圆c - 的圆心，用几何约束的点与圆重 1 6 第3 章齿轮一五杆机构的轨迹综合 合命令将直线厶的另一端连接到圆c i 上任一点。同法，将直线k 的两 端约束到圆c 2 上。 ( 5 ) 分别标注直线厶与厶，+ l 及直线如与上西+ l 之间的夹角庐，和彬( 佰1 ， 2 ，助。用方程式命令添加方程蛾= 影t d 2 ，d l ，即可认为连杆厶，和如分 别固定在两互相啮合的齿轮上。 ( 6 ) 重复步骤2 ，构造直线上加和l 。，( f = 1 ，2 ，“1 ) 。用几何约束的 点与点重合命令，将直线三加的一端与直线。在圆c ，上的一端连接，另 一端与直线厶，的一端连接。同法，将直线三。，的另一端与直线三击在圆 c 2 上的一端连接。 ( 7 ) 用尺寸标注命令分别标注直线工鲥和l 。，( i - 2 ，3 ，“1 ) 的尺寸 现f 和0 0 0 = 2 ，3 ，“1 ) 。用尺寸链接命令将直线三扑厶j ( i = 2 ，3 ， “1 ) 分别与直线厶i 、厶i 进行尺寸链接。这样，当修改直线如l 、厶1 的尺 寸时，其它链接直线的尺寸相应地同步变化。 通过以上步骤，我们可以得到一个齿轮一五杆机构的模型。它可以用于 在多点实现规定轨迹。 3 2 2 精确与近似轨迹综合模拟机构的构造 在机构轨迹综合的规则中，要求浮动连杆( 不与机座直接连接的连杆) 上一点相对某规定坐标系走过规定的轨迹。根据轨迹综合的要求，在图3 - 1 所示基本模拟机构的基础上，我们构造了一个用于精确与近似轨迹综合的 齿轮一五杆机构模拟机构，如图3 - 2 所示。 在该机构中，两连架杆厶f 、三西( i = 2 ，3 ，“1 ) 转过的角度与两齿 轮的转角相同。而两齿轮在某一个位置相对于初始位置转过的角度由齿轮 副的传动比决定。输出轨迹位置由浮动连杆l 加( - - 2 ，3 ，“1 ) 上的点 b ，( i = 2 ，3 ，“1 ) 位置确定。在图3 1 所示的齿轮五杆机构基本模拟机 构的第f ( - - 2 ，3 ，“1 ) 个位置，将直线s ( f = 1 ，2 ，助的一端点研 ( i = 1 ，2 ，d 作为输出轨迹精确位置点，将直线s 的另一端连接到连 杆三加上的点b ( i = 2 ，3 ，“1 ) 作为输出轨迹近似位置点。显然点b ，被 约束在半径为s 的圆弧上g 上。因此，g 上任意点都可能是连杆的近似 1 7 燕山大学工学硕上学位论文 位置。这样，既减少了机构的约束数，又增加了综合的规定位置数，这易 于在更多位置实现齿轮一五杆机构的轨迹综合。当s = o 时，连杆上点b ，与 点d 重合，此位置即为输出轨迹与规定轨迹重合的位置处。 图3 21 型齿轮一五杆机构实现规定轨迹模拟机构 f i g 3 2 t h es i m u l a t i o nm e c h a n i s mo fp a t hg e n e r a t i o nw i t ht h ef i r s tt y p eg e a r e df i v e 。b a r m e c h a n i s m 轨迹综合模拟机构的构造过程说明如下： ( 1 ) 构造一条基线曰，将基线b 的两个端点b i ，b 2 固定，如图3 2 所示。 ( 2 ) 构造k 条直线p ，( f = 1 ，2 ，七) ，用几何约束的点与点重合命令， 将k 条直线p 的一端与基线b 的端点b 2 连接。 ( 3 ) 构造k 条直线s ( i = l ，2 ，并标注尺寸d ，( i = 1 ，2 ，助， 用尺寸链接命令把k 个尺寸进行链接。再用几何约束的点与点重合命令， 将直线s 的两个端点分别与直线只的自由端和连杆l 加( i = 2 ，3 ，“1 ) 1 8 第3 章齿轮五杆机构的轨迹综合 上的点b 连接。 ( 4 ) 逐步减小直线s 的尺寸到容许限度内，给基线曰与直线只之间的 夹角岛和直线只的长度标注规定的尺寸值，即可得到齿轮五杆机构近似 轨迹综合的理想的模拟机构。 利用以上i 型齿轮一五杆机构轨迹综合的模拟机构，我们可以模拟精确 点轨迹实现，从而得到i 型齿轮五杆机构各个构件的尺寸值，即实现尺寸 综合。亦可以模拟在容许误差范围内的近似轨迹实现，得到i 型齿轮一五杆 机构的尺寸值。在规定了精确位置及容许误差后，利用以上模拟机构进行 模拟，得到如下结论： ， l 。 & i 图3 - 3i 型齿轮一五杆机构精确实现规定轨迹模拟机构 f i g 3 3 t h es i m u l a t i o nm e c h a n i s mo f3p r e s c r i b e dp o s i t i o n sp a t hg e n e r a t i o nw i t ht h e f i r s tt y p eg e a r e df i v e - b a rm e c h a n i s m ( 1 ) 当将直线s 的尺寸值逐步减小到0 ，此时的机构为实现精确轨迹模 拟机构，如图3 3 所示。在使两曲柄相对于起始位置的转角口和影符合 1 9 燕山大学t 学硕士学位论文 齿轮传动比，并给基线b 与直线只之间的夹角研和直线只( 扫1 ，2 ， 的长度赋予输出轨迹规定值的前提下，模拟机构精确实现轨迹的最多规 定位置数是k = 3 。 图3 - 4i 型齿轮五杆机构近似实现规定轨迹模拟机构 f i g 3 4 t h es i m u l a t i o nm e c h a n i s mo fa p p r o x i m a t e p a t hg e n e r a t i o nw i t ht h ef i r s tt y p e g e a r e df i v e b a rm e c h a n i s m ( 2 ) 当浮动连杆数k 增加到6 时，直线s 的尺寸值足够小，即位置点误 差在容许范围内，直线b 和只( i = 1 ，2 ，助之间的夹角只( f - 1 ，2 ， 助和直线p ，的长度可被赋予驱动尺寸的初值。这表明，对于近似实现规定 轨迹模拟机构，最多规定位置数可增d ! ：i n6 ，已明显超过精确实现