2008年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试及参考答案.pdf

2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 （10月11日 上午8:309:30） 本卷满分100分（7 48 410 4100） 【第 1 题】 a、b表示两个数，规定* 3 ab a b ，那么3* 2*7_。 【分析与解】 27 2*73 3 ； 33 3* 2*73*32 3 。 【第2题】 两个四位数之差为2008，那么这两个四位数的和最大值是_。 【分析与解】 要使这两个四位数的和尽可能的大； 则要使这两个四位数中较大的数尽可能的大； 当这两个四位数中较大的数为9999； 这两个四位数中较小的数为999920087991； 这两个四位数的和最大值是9999799117990。 【第3题】 一个数除以4余1，除以6余3，除以8余5，那么满足条件的最小自然数是_。 【分析与解】 这个数3分别是4，6，8的倍数； 则这个数3是 3 4,6,82324的倍数； 那么这个数是24的倍数3； 那么满足条件的最小自然数是24 1321 。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 【第4题】 1，2，3，2007，2008这2008个数中，数码0共有_。 【分析与解】 先考虑0 1999中的数； 将所有0 1999所有的数都看成四位数，不足四位的在前面补0，即看成0000 1999； 个位数字是0的，千位、百位、十位可以是000 199，有200个数； 十位数字是0的，千位、百位、个位可以是000 199，有200个数； 百位数字是0的，千位、十位、个位可以是000 199，有200个数； 千位数字是0的，百位、十位、个位可以是000 999，有1000个数； 则0000 1999中，一共有20020020010001600个数字0； 0 9，每个数多算了3个数字0，一共有多算了3 1030个数字0； 10 99，每个数多算了2个数字0，一共有多算了290180个数字0； 100 999，每个数多算了1个数字0，一共有多算了1 900900个数字0； 0 1999中，一共有160030180900490个数字0； 因为0有1个数字0，2000 2008一共有 82 322219 个 个数字0； 1，2，3，2007，2008这2008个数中，数码0共有4901 19508 个。 【第5题】 有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局两队各 得1分。比赛结束后，全部球队的总得分是120分，那么比赛中平局的场数共有_场。 【分析与解】 10支足球队进行单循环赛， 一共有987654321199245 或 2 9 109 45 2 1 C 场比赛； 一场比赛分出胜负双方共得303分； 平局双方共得1 12 分； 如果45场比赛都分出胜负，那么全部球队的总得分是3 45135分； 比实际多13512015分； 因为一场比赛分出胜负比平局总得分多321分； 所以比赛中平局的场数共有15 115 场。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 【第6题】 如图， 四个一样大小的正方形和七个一样的小长方形拼成一个大长方形， 如果大长方形的面积是30平方分 米，那么这个大长方形的周长是_分米。 【分析与解】 3个小长方形组成的小长方形与4个小正方形组成的小长方形的长、宽分别相等，故面积也相等； 那么大长方形的面积相当于10个小长方形的面积； 小长方形的面积为30103平方分米； 4个小正方形的面积为3 39平方分米； 即3个小长方形的面积为9平方分米； 小正方形的面积为 9 94 4 平方分米； 小正方形的边长为 3 2 平方分米； 即小长方形的宽为 3 2 平方分米； 大长方形的长为 3 46 2 分米； 小长方形的长为632平方分米； 大长方形的宽为 33 25 22 分米； 大长方形的周长是65222分米。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 【第7题】 今年某高级中学高三年级有甲、乙、丙、丁四个班，每班人数相等。参加高考后，甲、乙、丙三个班录取 大学本科的比例顺次是 4 5 ， 9 10 ， 7 8 。而丁班录取大学本科是全校录取人数的 37 140 ，那么全校录取大学本 科学生占全高三年级的_（填几分之几） 。 【分析与解】 设每班人数为1； 甲班入取 44 1 55 ，乙班入取 9 1 10 ，丙班入取 77 1 88 ； 全校录取大学本科学生 497377 1 51081402 ； 全校录取大学本科学生占全高三年级的 77 4 28 。 【第8题】 ABC中，M 和N分别在 AB 和AC上， 使得:1:3AM MB 和:3:5AN NC 。 那么MNC的面积对ABC 的面积之比是_。 N M CB A 【分析与解】 因为:1:3AM MB ； 所以:1:3 CAMCMB SS ； 所以 1 4 CAMABC SS ； 因为:3:5AN NC ； 所以:3:5 MANMNC SS； 所以 5515 88432 MNCCAMABCABC SSSS ； 即MNC的面积对ABC的面积之比是5:32。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 【第9题】 如图，从边长为1的正方形开始，以这个正方形的对角线为边长作第二个正方形，再以第二个正方形的对 角线为边长作第三个正方形，如此下去，那么第23个正方形的边长是_。 【分析与解】 如图所示，第1个正方形的面积是阴影部分的2倍，第2个正方形的面积是阴影部分的4倍； 第2个正方形的面积是第1个正方形的面积的422倍； 同理，第3个正方形的面积是第2个正方形的面积的2倍； 第3个正方形的面积是第1个正方形的面积的224倍； 第3个正方形的边长是第1个正方形的边长的2倍； 23 1211； 第23个正方形的边长是第1个正方形的边长的 11 22048倍； 因为第1个正方形的边长是1； 所以第23个正方形的边长是1 20482048。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 【第10题】 在长方形ABCD中，AEEB，BFFGGC，3DHHE，那么HFG的面积是长方形ABCD的面积 的_（填几分之几） 。 H GF E D CB A 【分析与解】 S R QP DA BC O 如图所示，点O是长方形内任意一点； 过点O分别作/PQAD，/RSAB； 因为 AOPAOR SS ， BOPBOS SS ， COQCOS SS ， DOQDOR SS ； 所以 AOPBOPDOQCOQAORDORBOSCOS SSSSSSSS ； 即 1 2 AOBDOCAODBOCABCD SSSSS 长方形 。 A BC D E FG H 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 分别连接AH、BH、CH； 因为AEEB； 所以 1 4 ADEABCD SS 长方形 ； 因为3DHHE； 所以3 ADHAEH SS ； 所以 3313 44416 ADHADEABCDABCD SSSS 长方形长方形 ； 因为 1 2 ADHBCHABCD SSS 长方形 ； 所以 1135 221616 BCHADHABCDABCDABCDABCD SSSSSS 长方形长方形长方形长方形 ； 因为BFFGGC； 所以 BFHFGHCGH SSS ； 所以 1155 331648 FGHBCHABCDABCD SSSS 长方形长方形 ； 即HFG的面积是长方形ABCD的面积的 5 48 。 【第11题】 如果将1，2，3，4，5，6，7，8，9，以某种次序写成一个九位数，那么所有连续的三个数码所成的 三位数之和的最大可能的值是_。 【分析与解】 设这9个数字写成的九位数为ABCDEFGHI； 所有连续的三个数码所成的三位数之和为ABCBCDCDEDEFEFGFGHGHI 100110111111ABCDEEGHI； 要使所有连续的三个数码所成的三位数之和尽可能的大； 则从大到小依次考虑,C D E F G，B，A，H，I； 当,9,8,7,6,5C D E F G，4B ，3A ，2H ，1I 时； 所有连续的三个数码所成的三位数之和最大， 为987651114 1103 1002 11 1 14648 。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 【第12题】 如果两位数ab（0a ，0b ）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么称ab为“好数” ，那么“好数”的 个数是_。 【分析与解】 根据整除的基本性质：若|k m，|k n，则|k mn。 故 ,ab baab ba abba； 因为ab与ba有大于1的公因数； 所以ab、ba与abba有大于1的公因数； 10109abbaabbaab。 当0ab时： ab，则ab、ba与abba有大于1的公因数ab； ab为11，22，33，44，55，66，77，88，99。 当2ab、4、6、8或2ba、4、6、8时： 则ab、ba与abba有大于1的公因数2； 故a与b均为非零偶数； ab为22，24，26，28，42，44，46，48，62，64，66，68，82，84，86，88。 当1ab、3、9或1ba、3、9时： 则ab、ba与abba有大于1的公因数3； 故ab是3的倍数； ab为12，15，18，21，24，27，33，36，39，42，45，48，51，54，57，63，66，69，72， 75，78，81，84，87，93，96，99。 当5ab或5ba时： 则ab、ba与abbaabba有大于1的公因数5； 故5ab； ab为55。 2008 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年