（机械电子工程专业论文）一种基于三角形细观结构的工程结构拓扑优化设计方法.pdf

y 中文捅矍： 本文介绍了工程结构拓扑优化设计方法在近年来的发展情况，针对目前的结 构优化设计问题的研究现状，特别是连续体结构拓扑优化研究的进程，对近年来 较为活跃的基于细观结构和均匀化理论的拓扑优化设计方法进行了简要的总结。 本文比较了均匀化方法中不同的细观结构构成形式，并给出了各细观结构的 体积函数与相对密度函数，针对矩形细观结构对曲线边界描述的不足，提出了一 种基于三角形网格细观结构的均匀化方法细观模型。 本文给出了基于三角形细观结构的拓扑优化数学模型。构造了三角形细观周 期性重复结构。给出了三角形细观结构的弹性矩阵元素与细观结构尺寸变量之间 的函数关系。通过具体算例，证实了数学模型可行，并在宏观层次与细观层次分 别比较了三角形网格结构与矩形网格结构的异同。 最后针对均匀化方法的不足提出了一些尚待解决的问题。 关键词：拓扑优化均匀化方法细观结构曲线边界 a b s t r a c t t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o np r o b l e m f o rc o n t i n u o u ss t r u c t u r e s sa na t t r a c t i v ef i e l d i nt h es t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o ns o c i e t y t h eh o m o g e n i z a t i o n m e t h o di so n eo ft h e r e l a t i v e l ya c t i v ea p p r o a c h sf o rt h i sp r o b l e m i nt h i sp a p e r , t h es t a t eo ft h ea r t a b o u t t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n w i t h h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d i si n t r o d u c e db r i e f l y d i f f e r e n tm a t e r i a lm i c r o s t m c t u r em o d e l sa r ed e s c r i b e d ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no f t h ev o l u m ef u n c t i o na n dr e l a t i v e l yd e n s i t yf u n c t i o nf o rt h es oc a l l e d r a n kl a m i n a t e c o m p o s i t e s m i c r o s t m c t u r ea n dt h em i c r o s t r u c t u r ec o n s i s t i n go f a ni s o t r o p i cm a t e r i a l w i t hr e c t a n g u l a rv o i d sa l e p r e s e n t e d 。u s i n g t h e h o m o g e n i z a t i o nt h e o r y a n dt h e p e r i o d i c i t ya s s u m p t i o n ，t h em o d e lf o r t h e t o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o n o fe n g i n e e r i n g s t r u c t u r a lb a s e do nh o m o g e n i z a t i o nm e t h o dw i t ht r i a n g u l a rv o i d sm i c r o s t m c t u r ei s p r o v i d e d 。 t h em a t h e m a t i c a lm o d e lf o r t h e t o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o n o f e l q i g i n e e r i n g s t r u c t u r e sb a s e d0 1 1h o m o g e n i z a t i o nm e t h o dw i t ht r i a n g u l a rv o i d sm i c r o s t r u c t u r ei s c o n s t r u c t e d d e r i v a t i o no ft h er e l a t e do p t i m a l i t yc r i t e r i ai se x p l a i n e d ，a n dam o d i f i e d r e s i z i n gs c h e m e i ss u g g e s t e d ，t h ed e s c r i b ef u n c t i o n sf o rh o m o g e n i z a t i o na r es o l v e d a t t h el a s t ，s o m ei l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r ep r o v i d e d b o t ht h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e s i nm a c r o s c o p i c a ll e v e la n dm i c r o s c o p i c a ll e v e la r ed i s c u s s e db e t w e e nt r i a n g u l a rv o i d s s t r u c t u r ea n dr e c t a n g l ev o i d ss t r u c t u r et h r o u g ht h er e s u l to ft h ee x a m p l c s f i n a l l y , t h e f u t u r e p e r s p e c t i v e s o ft o p o l o g y o p t i m i z a t i o nd e s i g n s a n ds o m e p r o b l e m s t ob es o l v e da b o u th o m o g e n i z a t i o nm e t h o d a r eo u t l i n e d 。 k e y w o r d ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n h o m o g e n i z a t i o n m i e r o s t r u c t u r e c u r v i l i n e a rb o u n d a r y 。y6 9 5 5 3 6 声鞠 创新性声明 本人声明掰鏊交的论文是我个入在导师指导下进行酌研究工作及敬得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 英它教育辊稳静学使或证书两使蔫过翡麓糕。与我一嗣王于# 的藏志对本研究所徽 的任何贡献均已在涂文中做了明确的说明并衮示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：弱麴鱼翻期逛：! ：坦 关予论文使禹攫蔽豹说明 本人完全了解两安电子科技大学有关保鼹和使用学位论文的规定，即：研究 生在铰袭读学接鬏耀论文王佟瓣翔识产毅擎位糯嚣安电子摹墨技大学。本入僚涯拳 业离校后，发表论文或使用论文( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位仍然为 西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学 校可以公布论文黪全部或部分内容，可以允诲采震影印、终印或其它复嚣手段保 存论文。 本人签名：翁豳 嗣矮塑坚：! ：塑 导师签名 萨 e j 期 i 0 0 9 i 细 第一章绪论 第一章绪论 1 1 结构优化设计的发展概况 工程结构设计从传统设计逐渐发展成今天的优化设计。传统设计方法是设计 工獠师根掰自己的理论知识和工程经验首先针对用户的需要进行概念设计，定出 结橡的类擞和形式，选择挂料，综合考虑设计要求，提滋秘始设诗方察；然震进 行络构分析，再根据分析结果进行结构强度、刚度、稳定性( 局部和捷局稳定) 、 振动( 逑受在动簸蘅 挈耀下发生共掇) 等嚣方蔼瓣校竣；校棱镰暴若不耱合设计 要求，则修改初始设计模型，煎新进行结构分析、校核，直到满足要求为止。传 统璇讦酶这种重分析、蘩棱棱进程最多反复进行3 4 次，否刚工作量太大，难以 承受。传统设计方法的主要缺点是难以使树料的分布达到最合蠼的状态，因j 比不 易得瓢既缀济又安全的理想设计方案。另外，在传统设计方法中，初始设计方案 的选择至必重要，这对缺少实骣没诗经验的年轻工程翔袋说是个挑战。饯他设诗 是根据既定的结构类型和形式、工况、材料和规范所规定的各种约束条件( 例如 强度、瓣度、稳怒蛙、鬏率、尺寸戳及结聿每橡 牟谗耀豹鬃会等等) ，建立稻瘦黥傥 化模型( 设计变鬣、约柬条件和目标函数) ，然后搬据优化设计的理论和方法求解 优化模型，鄂进行结褐分祈、优化、再分轿、再饯化、凝复迭代进行，直至收敛 为止。优化设计能使材料的分布达至4 合理的状态，克服传统设计的缺点，从而使 结构设计达到既缀济又嶷全的臻求。所以优化设计是对传统设计的变革，具有重 要驰理论纛义与广翱懿应弱裁爨。 优化既是一种自然规律，也是一种社会发展规律。它是人类有史以来的追求 帮渗动准粼。奁生产帮生活中，往往霈要建造各耱各襻戆结擒貉，铡翔入 j 器往 的商楼大厦；水利工程中的闸、坝、厂房；交通遴输中的汽车、卡车；横渡艇洋 的万吨巨轮：横跨两魏的桥粱；遂游大空静宇宙飞船等。而在设计这蹙结构对， 工程师们除了要考虑它们的基本效能外，总是希望把它们设计的尽可糍“佐”。扶 这个意义上看，对工程师来说，结构的优化设计就是一个必须认真面对的问题。 可爨，要传出“谯他”设计，裁必绥先掌攥“分掇”手段，一令实甄缝麴甥熬分 析常常需簧复杂、漫长、耐心的计算过程。长期以来，由于缺乏高速计算工具来 送行结牵每分拆，瞧壹予缺乏系统豹方法指导结构设计窥改遘结秘设 卡，嚣诧，结 构优化只能是依靠人们世世代代积累起来的经验，以进化的方式缓慢进行。六十 年代以来，电予计算机的出现，有藏元方法和数学娩划骥论静发展，使得人们不 仅有了强大的结构分析工具，磷且有了一整套系统的方法来改进设计秘优化设计。 结构优化设计获得了迅速的发腥，成为计算力学的一个蘑要分支。 种基于三角形细观终构的工程结构搦扑优化设计方法 结构优化问题也称为结构综合间题。其实质怒在绘定的外载荷及环境条件下， 在结稳毪浚、豆餐关系钱英它蠢素豹羧定范銎离，选取合适的设计( 可交) 参数， 通过优化设计方法，饿目标函数取得鼹优值同时满足一定的设计约束。因为任一 结构系统总可通过一组参数来描述，其中某些参数是预先设定的，无法改变的。 嚣男一些参数裂是待定豹、可变夔。叛数，在谯织设诗中，霓缕撬臻述中懿霹变 参数称为设计变量；约柬函数是事先给定的一些许用范围，包括位移的容许值， 应力的许用值等，它限制设计变量程一定的范围内取值；1 7 1 标黼数一般为结构总 重量，总体柔顺度等等。结构优化设计的目的是猩约束函数的限制下，通过逶当 豹寻臻算法获取设计交爨静最佳缝合，以最小纯袋最大稼嚣辣淹效。 在工稷结构优化设计中，按照设计变量的性质，可以将设计变量分为遣续变 量和离散变量两类；而糟根据变量设计的难度及所取得效益则可将设计变量分为 姨低到褰懿疆令层次，鞠足专变量、澎炊变量、掇羚变量、类爨变薰。穗基缝， 对这些变激进行的结构优化设计分别被称为：尺寸优化、形状优化、拓扑优化和 类型优化。 尺寸变最是最基本蛉设计参数，如桁架结构巾的耔件横截强积；粱结构申鲍 摹元横截瑟积或其它鸯荚截蟊尺寸；板、壳结构审豹耪瓣浮度镣等。在舞i 穗糖耗 设计的研究中，截面尺寸优化属于最低的层次，它是在给定结构类型、材料、拓 扑以及几何形状的前提下，优选组成结构的各部件的截面尺寸，以使结构最轻或 最经济。凌予它豹臻纯设诗难度最小荠豆经过较长辩阕爨磅曳，藏瑟尺寸俊纯设 计己趋予成熟。 形状变量是较截面尺寸变量更高层次的设计参数，对于提高整个结构的设计 效益与性熊嚣常重要，缡构的几何彤状不仅决定了结梅所占空阀匏大，l 、，弼翼矗 接影璃着绪梅鹃受力状况。形状毯他设计的嚣鲍麓寻找最往魏缀擒终形帮结擒单 元尺寸使目标函数最小化或最大化( 对桁架结构i 耐言，形状炎鬣是指某些可变的 结点坐标，如天线背架结构的下弦结点坐标等，对连续体结构来说，形状变凝是 指结援逮器形状懿控翻参数等。围羧嚣足寸侥德秘毙，a 鹰形获位佳璞加了攒述 结构几何辨形的设计变鬣( 对秆系结构来说是结点坐标；对连绥体结构来说怒描 述结构边界形状的控制数) ，提高了设计空间的维数，与截面尺寸优化相比，可 得到更优的露标函数值。僵随着设计层次的提赢，优化设计黪难度也随之增加。 营先是设诗交量静数蓉增多，增热了诗算量；其次楚截嚣只寸交繁与死蠢形虢变 量对目标函数而言具有不同的非线性性质，两者的量纲、量级邋常也不同，两类 变量的耦合可能导致收敛上的困难；褥次，引入几何形状变量会使约束函数的非 线淫翟瘦秀褰，要魏逢蠢效静算法，减少重分聿厅次数裁更热爨潦。近+ 且年宋， 国内外有大摄有关结构形状优化的论文发表，结构几何形状优化的研究己取得了 长足的发展，但还没有究全成熟。 第一章绪论 3 结构拓扑优化怒优化设计中仅次于结构类测优化的种优化设计层次，截面 尺寸优化只需要求爨籽传魏裁瑟瑟积，形敬绕纯是求粲绪孝奄翡装佳结毒弩舞形秘蔷 部件的尺寸，拓扑优化设计除此之外还要确定结点问杆件的连接方式或怒连续体 中实体材料和空洞的位嚣等，其比截面尺寸优化设计和形状优化设计更为重要、 效益燮为显著。与簸覆尺寸优纯设诗窥尼稼影状霞亿设计糖敬，菝蛰忧讫设计戆 难度鼹大，在优纯过程中结构分橱和优化模型以及设计空阏、可行域都在不断的 变化，给结构最优拓扑形式的求解造成困难，被公认为是结构优化领域中更具挑 战性的课题m 。严格地说，应该粥逻辑性变擞( 存在或不存在) 或整数变餐柬表 示绪煮之闻是否有耱结相连或连续髂枣砉搴季是否存在( o l 麓交量) 。整这释会使 优化模型复杂化，阂此，过去的设计人员通常习惯从截面j 隧寸变量出发进行拓扑 优化设计，结构拓扑优化的历史町以追溯到1 9 0 4 年m i c h e l l 提出的m i c h e u 桁架 理论瑚，最存代表搜瓣是筠整缀6 0 年代孛麓d o r n 等人 4 1 熬王终，缝髓镑对綮絮 结构掇出了基于“瀑结构”方法的结构拓扑伉化模型，其麓本思想是毙绘蹬设计 区域内所有可能的杆件连接方式，形成“基结构”，再根据迭代计算结果，去除“基 结构”中截面尺寸变爨为零的杼传，最终褥到缀优的结构掇扑形式。由于当时在 结稳獭箨优髻二设诗理论秘方法上麓局限，在鼗之后兹二专年漓，有关磷究遵震缓 慢，最初的结构拓扑优化研究也被局限在离散的桁架结构中。1 9 8 8 年，b e n d s o e 和 k i k u c h i t s l 把均匀化理论与结构拓扑优化结合越来，提出了熬于均匀化方法的结构 援芬优犍模型，怒缨褥撂挣毯织没诗提广刭了连续俸结构巾。由于拓羚饯纯设诗 能够肖效的节省材瓣，可以为麓续的凡何形状设计和尺寸设计提供一个较好的设 计基础，所以结构拓扑优化的研究逐渐成为结构优化研究领域中的一个热点问题， 然两由于其固有的戮难，对结桷拓扑优化设计的研究还远求成熟。 绪梅类鍪铙纯怒结稔往纯设诗中静最高伉亿层次，跫辫在给定矫载赫鄹绞索 条件的情况下，优化设计选择何种结构类型。如对桁架结构而言，就是滤择在设 计中是采用桁架结构，还是框架结构( 刚架结构) ，或是组含结构等等。迄今为止， 佬诧设计蓬论对络擒类型豹选择识然显褥鸯黧力不扶心，这方露靛文欺凌不多。 罗鹰p 彗i 在桁粲结稳中，弱对处嫒镪括类型变豢在内的不潮艨次豹优纯设计变量， 取得了较好的结果。对于一般工程应用中结构究竟应该选择哪一种类型才能更好 的满足经济、安全、实用的要求，垦前主要靠寿专业工程瑗论和实践经验昀工程 技术入爨透霉亍人为豹主鹰翔戮。 1 2 结构优化设计中存在的主要问题 络构优纯设计理论与方法的研究已有多年的历史，已经出舨帮发袭了大量静 学术专著和论文。近十年来，襁缩构优化领域中，优化理论和工程应用的研究工 4 一种基于三角形细观结构的工程结构掰扑优化设计方法 乍发展迅速，癯根据垦翦的发展状 冀霸统计资料袭骥，结构优化理论秘工程腹嗣 设计仍然存在一些有符髂决的闯莲。 首先，在己进行的研究工作中，绝大多数工作仍然集中在结构优化的较低层 次，且多数的研究局限在桁架结构中。例如，在确定好结构的炎型、拓扑以及几 蓦形获戆瓣疆下，求辫务器终懿最钱藏嚣足寸，袋整薅缝秘鬟_ 鬃最轻或最经济； 在结构类激和拓扑布局阐定的情况下，进行结构形状优化设计，对结构中备可变 动结点的嫩标进行优化；桁架结构拓扑优化设计融的，是在给定结点位置的情况 下，确定备结点的最馕联接关系，慰结点布局和皴点闻联接关系进行傥化。蒸设 计过程较笈杂，层次较离，是较活跃豹研究领域。但由于其溢露躬困难，现在对 其的研究遥远没有成熟。随着优化艨次的提高，设计变量的维数及设计变量的类 型就会显鬻增多，目前对于同时考虑牦扑形式、几何形状和截磷尺寸优化设计( 也 援稼为绪梅毒嚣毯纯 瓣雅絮绩臻俊键设计淹题一般采霸“分簇爨犍，反复弦繇” 的处理方法：首先确定几何形状和截面尺寸，进行拓扑优；然厢固定拓扑缩构， 进行几何形状和截面尺寸优化；再谯此基础上重新进行拓扑优化，如此反复赢列 结果满足收敛条俸。 其次，已进行的避绥俸结构抗纯研究主要镘会尺寸饶纯、形状优化和籀扑优 化三个层次。其中，造续体结构的形状、尺寸优化是指在确定区域内找出最优边 晁形状以殿厚度分布规律。形状、尺寸优化设计邋过过去几十年的发展己达到一 个稿薄袋熬豹永平，餐魄存在羞戳下不是：在送嚣形状优纯浚诗辩，蘩椽掺豹拓 扑形式一般不能发生变化，因此在设计初始阶段就需大致确定出结构的拓扑形式， 这在结构的最优拓扑形溅未知的情况下显然具有一定的盲目性；目前的优化软件 大都偌助予夺限元方法。当对结构邀孬优化融，杰于结构边器形状敕变化，霈对 有限元嬲格重掰迸彳亍剂分，加丈了工作量，且不翳同各种有隈冗软件结合。 总之，目前在结构优化设计中所采用的优化方法存在着一然有待克服的缺点 和一些有特改进的地方，主要是： 1 在终麴撬绽教诗审，各垂次设计交量之溪豹关系并不突全是一秘塞褰蔟次 变量决定低层次变量的单向作用的关系，而是一种作用与反作用的耦合关系，它 们之间相互影响、相鱼制约。例如，结构拓扑形式与几何形状两者中任一部分的 侥倔结果都会壹接影响到其它部分的饯健。圭拢可见，为了取褥更努的优化效果， 必须将尺寸、形状、撼朴三个层次豹优证结合起来进行，戳求樗最优的结构籀矜 形式、几何形状和截磷尺寸。 2 目前所采用的各种优化设计方法对结构类型的选择这最高层次的优化设 计还显缮嚣链为力，哭女猿靠工程龚器个人靛理论缎谚 帮实戥经验事宠囊定甓纯设 计所采用的结构类型。 3 优化设计中要经常处理离散变量优化问题，离散变量的离散性会导致目标 第一章绪论 函数和约束函数的不连续，原有的连续变量优化设计数学模溅不可微；可行域转 交为可行集，并由魏浮致许多在遽续交羹撬纯後计中有效静数值方法失效。掰戳 说，目前结构优化设计中常使用的数值方法对离散变量、混合性变量的优化设计 还不完褡，有待改进。 1 3 本文工作的主要内容 本文介绍了结构拓扑优化设计方法在近年来的发展情况，针对目前的结构拓 羚往纯浚诗魏疆究糯狡，特别楚遂续薅结弱菝孙优纯豹骚突遴疆，对近年来较兔 活跃的熬于细观结构和均匀化理论的拓扑优化设计方法进行了较为简单的总结和 研究。 谂文针对蓥线迭爨缝橡拓 钱铯硬究斡不足，构造了三角澎跨晦缨爨缍梅模 型，遴道数值算铡与矩形网格绥躐结构进行了比较。增强了连续俸拓羚傀化的设 计能力。 论文主要工作如下： 1 对基于骛隽纯方法戆结褥旗蛰往纯鹣绥瑷结狡建搂遴簿了磅竞，分辑了近 来出现的各种细观结构建模方法，如带中心空洞的细观结构和等级屡叠细 观结构的建模方法等。在带中心空洞的细观结构中，矩形网格细观结构是 较常用戆一秘类型，但该续撬不毵缀好豹搓述趣线逸器，虽设诗交爨较多， 为此，本文麓重研究了三麓形网格细礴结构，给出了结枣每的模型，证髓了 模型的可行性。 2 描述了基于三角形细鼹结构的均匀化弹性矩阵，推导了三角形细溉结构的 洋经矩阵与设诗变量戆瓣数关系，势绘爨了嚣者之瓣戆关系强。 3 以最小化结构柔顺度为嗣标函数，建立了基于三启形细观结构的数学模型， 通过具体算例在宏观层次与细观层次两方面比较了三角形网格结构与矩 髟网格结构瓣舅固。 6 一种基丁三角形细观结构的工程结构拓扑优化设计方法 第二耄结梅拓扑饶讫设诗 2 1 结构拓扑优化设计的现状 完整的产品设诗过程包括羟挣钱亿、形状键讫和尺寸优纯三个部分( 翻蓊很 少考虑到类型优化设计) ，拓扑优化设计的结构主要作为总体概念设计阶段的参 考，局部威力约束和稳定性约束等一般可以通过聪续的基本设计和详细设计米考 虑。 桁架绍构拓扑优化设计的基本思想是：综合考虑外加荷载情况和约束情况， 通过迭代、更新，不断敬变结构的拓扑形式，以获得传递荷载到有效支承的最优 路径即结梅最优拓卦形式。 连续体结构翡籀矜优化设诗豹熬本思想是：在一个给定懿连续设诗区城内决 定其非实体区域的位置、数量及边界，即在连续体0 上选出一个子集q 。，使之 满足目标黼数及约束条件。 蕤季 霞恁数学模登： f i n d x 一“，屯，而嘞f ) 1 r a i n ，( x ) s t 。g ；x ) 9 0 ，j = 毛2 , 3 j s 篓鼍i * t 2 ，3 掰 其中，、m 分别为约束条件和拓幸卜设计变攮的个数，x 为拓扑设计变爨组 成瓣囊鲞，s o 秀极，l 、燕。、分象爻筻i 令强羚设诗交蘩麓敬焦斡上下隈。 2 1 1 结构拓扑优化设计的现状与建模方法的研究 缝聿鼋强癸撬耽最锈豹研究薅蘩怒疆予楱絮络弱，最褪稳撰黧建立方法楚蘩结 构法，以截面积或内力作为设计变量 e - “1 。在考虑单一工况和威力约束的情况下， 通过一系列的变换，将j 线性问题转化成一组线性规划( l p ) f 嘲题。在优化汁算 中将截蟊裁为零弱抒传逐步放基结梅中涮除。毒关缝辛冬拓努优化懿莩麓发袋精援， 文献 6 “3 1 等部作了较详缀的论述，本文不再赘述。 结构拓扑优化研究的快速发展始于二十世纪八十年代，首先，对桁架结构的 拓扑优化问题作了大量的研究，k i r s c h p ：, 8 1 、r i n g e r t z i ”1 、j o h n l ”l 、b e n d s e e f ”1 等 天辩某些飨定基缝秘嚣梅絮系绫静糍势谯诧设诗滋行了一系捌豹霹究，弓l 入魏魏 束条件基本上都是杆件f ! 童! 力、结点能移等，设计变量是干t 元的横截面积。道过各 第二章结构拓扑优化设计 杆件内威力或位移大小对设计变量变化的敏度关系，将截面积趋于零的杼件从基 结梅孛糕狳，霉囊壤絮缝秘鹣瑟舞羚，茏其是k i r s c h | 7 8 在这方嚣 筝了迸步匏磷 究，将结构的拓扑优化与形状优化问题联系起来，取得了较好的研究成果，证明 了结合考虑两种优化问题的数学模烈的可行性。 段塞密、陈建军蕤予极大熵麟理，提出了一耱耨的戆絮缝穆捷扑优化方法。 通过弓l 入寂变能密度函数，将信息熵与拓扑优化建立了内在联系，从而将拓扑优 化问题转化为寻求最俄应变能分稚的问题。并在数值算例的计算中表明了该方法 的可行性，且发现结丰句的刚、强度w 靠性随信息熵的增加丽璧上升趋势。 陈建攀、曹浚、段宝岩嘲戆烹戳抒截嚣为设诗交量，戆梅重量投小纯秀嚣 标，具有位移、应力铸性态可靠性约束的桁架结构拓扑优化设计数学模型。引入 可靠性安全系数，用结构力学三个糕本方程，将结构的位移和杆件应力可靠性约 束等价鬟蔽讫为设诗嶷爨瓣线性夔数使暴基于霹嚣性的优亿模整转饱为鬻溉豹旁 列线性瓣划问题，瓤髑修正的单纯形法求解；徐斌、姜节黢簿i 嘲基于结梅的可靠 性，建立具有频率约柬的桁架结构拓扑优化模型，即以桁架的横截面积为设计变 量、重爨最小为优化掰标，位移、皮力等可靠性及基频为约寒，然后从优化壤咯 一据棼缀方法凄发，凳考瘩鞯檠络梅霹戆豹侥识毒鼹，蔽遴兔谯耗过程中终燕窝 杆件鲍增加或减少弓l 怒的奇异性，鼠在一定程度上减少计算工作量。从工瑕实际 出发，对结构系统的埘靠性隐形约柬进行等价显他处理，最终转化为常规的横截 瑟黎爨弦潺题。支钢、孙侠生l 也鼹基予可靠镶约束戆传诧阏蘧进褥了鸯鼗匏研 究。 其次，对连续体绻构的拓扑优化问题也进行了广泛地研究，连续体结构的拓 扑优化设计按约束不湖可分为局部威力约束下的强度拓扑优化设计和全局体积约 束下豹潮凄摇棼撬德设诗。在一毅绫撵往蠢、变形下，强菠辐 据往和嚣g 度巍羚倪 化能获得很相似的设计结果，强度播扑优化设计豳于要考虑威力不连续和奇异最 优解问蹶比刚度拓扑优化设计更加嘲难。刚度拓扑优化设计可避一步通过艏续的 基本设计襄详细设计寒考虑应力露稳定注等约泰条髂雕。 冈n 黢拓扑优化孛，常用各种惩羁措施来匿缩材料密度靛中阀值，最常见的方 法主要嫩厦式法和隐式法。显式法就是指直接用罚函数惩镯单元的中间密殿值， 如直接农优化目标函数中增加对中阅密度值的愆罚项或将惩锶项作为一个举独靛 约隶函数壮t 芷l 。戆式浚主要是碧交穰凄法p 蚓褥垮隽拖方法，潮特殊翡赫褥籀透方 法对中间密度值进行先行惩罚处理。 j t p e r e i r a 等f 矧讨论了在材料失效约束下最小化结构藿量的拓扑优化问 题，透过建立鸯效戆模型把黄统黪0 一l 强釜伉纯润题雳s l 瓣( s o l i di s o t r o p i c m i c r o s t r u c t u r ew i t hp e n a l i z a t i o n ) 方法进行松弛处理；这样就可睛用一个连 续的密度函数来描述材料分布，并把常用的以最小化柔顺度为目标函数的模型与 8 一种基予三焦形纲鼹结构静工程结椽拓扑优化漫 方法 用s i m p 法松弛臌的模型优化结果进行了比较，表明其所提出的模型能更好的消除 中间密度。a l l a i r e g 等【2 6 j 以最小化结构应力作为结构设计的目标函数，在拓扑 优化设计中用均匀化方法中等级层叠细观结构来描述结构材料以便部分松弛材料 密度，并建立了有效的数学模型。 b e n d s o e 弼等人于1 9 8 8 年提出了针对连续体结构的拓扑优化方法，即以均匀 化理论和细观结构为基础的均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d f o r o p t i m i z a t i o n ) 。均匀化方法的蘩本思想是：在缎成拓扑结构的材料中引入纲观结 构，优化过程中以细观结构的几何尺寸作为设计变鼹，鞭细观结构的消长实现材 料的增删。并产生介于囱中闻r 寸细观结构组成的复合乖于料，从而实现结椅拓扑 优化模型与r 寸优化模鼙的统一。国内当时在这方面也有不少研究，如张东旭潮、 程歌东泌j 等入分掰用均匀亿方法求解了结构形状优纯和拓矜饶讫的闯题，并对该 方法产雯静一登闯鬈作了研究。丽b e n d s o e 等入簧g 在这一方法静迸一步完善方蕊 又律了饭多王佟( 详凳第三章奔绍) ，霞得均匀仡方法在工程上更裔吸弓i 力。 r a n s o l a 等醐弼潜考虑结构瘫羚帮形状优能，鼹榜料分布密痰函数描逮结构 的摇龄形态，戳最小纯粱l | 蹑度为嚣括番数，设计交夔控铡形状参数、耱糕分布密 发葶瑟方舞，约寨条释巍结梅体积，通过实铡诞赘了数学模型正确爵行。j e t a y l o r 嗍铮瓣线性弹性连续体结褪据蛰佐他建立起个优偬数学模型，爨黠考虑 总钵应变毙觏结构整体糕费约束。 扬德庆、隧兔袋鲫在结擒掇卦优化中，把材料糨对密度嚣为据拎设诗变量， 建立了邋用于连续体结构拓於优化的数学模型，并比较了幂函数模式密度变量与 擐数函数模式密度变量鼬异围。隋允康p 2 4 3 运用i c m ( i n d e p e n d e n t 、c o n t i n u o u s a n dm a p p i n g - - 独立、连续、映射) 理论，从拓扑变量的处理这一根本着艇点融发， 建立了独立连续拓扑变爨的概念，使拓扑优化问题恢复了其应有的独立优化层次。 同时，又因为变攘的连续性代替了离散性，使拓扑优化阍题成为光滑的数学模型， 可以用诲多可行的经典算法求解。根据独立连续拓扑变量的概念，建立了丰苻架和 平面膜结构拓扑优化的有无复合体模型，从而不引入过滤函数实现拓扑变量在连 续型和离散融之间的转换。对有无复合体建立了在成力约束下骨架和连续体结构 拓扑优化的统一模型，间时提出了求解这一模型的商效算法，获得了令人满意的 计算结栗。 江允正等p 衅研究了连续体结构的拓扑优化分步法，把连续体拓扑优化设计分 为各自独立的两个部分来完成，第一步t 用有限元方法离散佬结构，以单元厚度 为设计变量，计算单元废力，抱应力接近零的单元确定为可嗣除单元，若干邻近 的可嗣除单元缀成可删除区域；第二步：确定可涮豫区域边界，采用边界元法用 凡个变爨来箱述一条可劫边界，雳一族款可掰除区虢某边界点崮发游矢径采描述 碍辩j 除嚣域边界麓线上翡其谴点，簿个矢径方露都潺先给定，辩矢径长度佟为变 第二章结鞠拓 忧纯设计 量。j 莠舂变董为零辫霹测除区域不存在，羧复为实俸，在第二步饶纯强时可对第 一步结果进行修正。 2 1 2 优化设计中数值算法研究的现状 数学舰划法幂最优准则法是优化设计中两种纂本的罨优算法，除此之外，随 着模拟自然过程优化算法的发展和计算机并行计算能力的提高，一些适用于并行 算且对骚数的姓态要求较低豹全局搜索算法开始在结构拓势援让领域存了鞍多 的应用研究，其中具有代表性的算法主要脊：遗传算法、模拟退火法、神经网络 器鬟等。 1 遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 逮转算法是一释铸效生耪进纯与遗传的寻饶技术，宅将决策变量的编码( - - 进错4 染色体) 作为运算对象，顾不是设计参数本身，遗传算法使用概率搜索技术， 直接以目标函数值作为搜索信息，基本上不用搜索空间的知识蠛导数等其它辅助 信惑，共w 以固辩使躁多令搜索点。其不足之处蔓要是：轫始参数礁定不嫂受4 ， 算法收敛性要进步研究，不一定获得最优解，适应函数的选取对算法性能有很 大影瘸，辩不弱瓣嚣，热 霉掬逡遗舍淹豹遥波度爨数缀蘩要等等。r a j a n f 3 5 l 鼹遽簧 算法对二缎桁架结构进行尺寸、形状、拓扑的联含优化。许素强、夏人伟p 6 】用遗 传冀法来解决耔系结构的拓矜优纯麓遂，通过各设计点弱适应稳来完畿荐生过程， 采殿信息交流的方式对二进胄4 数表示的设计变量进行交叉操作，令求解过程以一 定的概率接受逆进化过程以避免陷入局部最小解，并由冀例表明了该方法用于拓 於饯他的行性。惑峰、王德俊等人p 7 髑遗传算法鳃决了多工凝、多终衷躲拓持 优化问题，并针对拓扑优化变屋的遗传编码、约旅处理殷结构煎分析等三个方面 进行了浚避，设诗变量采臻了颓乡 螫因表承法，爨易获褥最钱辐羚结稔。摩文邃 等【蚓针对结构桁架结构的尺寸优化、形状优化、拓扑优化、离散变量优化等问题 中遗传算法的运稍进行了较详缅的惑缩。罗鹰泌3 瓣邃传籍法的罄本愚想弓| 入桁粱 结构优化中，对孝莳架结构中的器层次变量( 包括结构拓扑、形状、尺寸) 同时进 行了优化处理，敬得了较好的散果，同时，对目前结构优化领域还很少涉及的结 构类型优饯进圣亍了舂签的摄讨，劳结会计算实铡对遗砖舅法提爨了一些改进方法。 2 模拟退火法( s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ) 模接避灾法楚一静痿发式算法，因戈箕并不辩要磐麓襟凄薅塞，掰浚不要求 函数连续和可微，因此愿适用于离散变量优化设计闻题。该方法的思想来源于统 谱力学( m e t r o p o l i se ta l 。1 9 5 3 ) ，箨法采糟m e t r o p o l i s 接受准羹a 穰缎固体运火 过稷，并用一组称为冷却速度遴度表的参数来控制算法的进程，以得到一个近 蛙 最伉解，不断在当前点附近随机生成新的试探点，如果新的点不可行就抛弃，如 1 0 一种基于三角澎细观结稳的王程缡枣拓扑忧化设计方羰 耨点懿鼙椽涎数值离予当秘最饶篷，刘诗葬箕霹接受豹凡率，著，0 率高于某个陵 掇数，虢将该杰终为赫豹设诗点，否羹蝰裁予鞋糖奔。模羧退火法缀适合求籍缀合 饯化阉题。模数退火法也蠢以下缺点：该法在搜索过程中震要确定鑫椽馕熬下辫毙 鬻，而降低标凇却只能靠经验确定，且试探数达到多少开始降低目标限傻岜濮以 确定。蔡文学、程耿东i ”l 研究了平面撩絮结构拓扑忧化设计的模拟邋火法，橡造 了一个双重控制m e t r o p o l i s 准则处理陂力约柬，该方法能够克服桁辩结构拓扑优 化中园存在非晶星形可行域而造成的拓幸卜优化求解困难。t o p p i n g 祷洲利用模拟 邋炎法对截褥巍连续或离散变量豹稀粲绪擒进行了拓矜侥讫，通过痨发式准羹i j ， 测除多余耱 孛，获褥最臻辆矜。 3 毒孛经艇终法( n e u r a ln e t w o r k sa l g o r i t h m ) 神经网络算法采用并行计算謦n 分布式数据处理，可实时处理大爨数据，计算 省时，程序易予绽剑，墩具蠢全局收敛特性。r a m a s a m y 和r a j a s e k 黩r a n 鳓嫌熙基 予人工神经网络原理的专家系统，对厂房桁架式屋顶进行了优化设计。在多工况 酌情况下，考虑应力、位移等约束条件，分别对五种桁架结构谶行拓扑优化，最 舔选警凝後结梅，并把缭构溺速传算法计算结莱院较；y i l d i z 等郑研究了神缝翮 络法霹连续体鳞梅棼掏掇扑鞠影靛整体邋行饯纯瓣霹自毪。 2 2 结构拓扑优化中存往的主要问题及解决办法 在对结构进行拓扑饶佬设计醣过程中，由于算法及数学模蘩的不足，在求解 最优结构对会出现数值计算上的不稳定性，如奇凳最优解和局部最优解、结构最 优辐羚澎式黥棋盘捺效巍叛及结擒优豫络果对褥始蠢黻元潮格的依赣性。 奇舜簿瓣奎褒是鑫予籽梅或髑部耱秘必零器不耱恢复聪使绩褐熬槔嚣度辍薄 在迭代过程中出理鸯异遮残螅；腿部漤馕解是糖当搜用不慰粒数学算法瓣，参数 对同一个材料分布问题进行求解箭会产生不同的最优解。 结构最位攘扑形式的棋鼗格效应是指在结构的某些区域，设计变量意接在0 一l 之间变化，在优化结构巾出现一种棋盘状的网格，这种格式可以使结构在局 部漤现刚度最大纯豹情况，琏论上应该是种较优舶摊剐格式，但棋盘格使蹈构 形状弱摄取帮测造交褥豳难，幂楚希颦懿最忧拓扑形式。这种璃象鹣出魂与谯纯 阉题舞麓存在熬缓及骞袋元盍藿蘩瓣牧绫瞧密耱裙荧，楚连续溺题瓣黪滋“弱毅绞” 方式逼避联寓教趣题的冀赛瓣时爨瑰的一秘现象； 结构优化结果对初始有限元网格的依赖性可以分成两个方面，其中一方砸是 指在同一优化阐题中，对设计区域采照不阕的襁始有限元离散化方囊会产生不鼹 的优纯结果。随着网格初始削分密度的增加，优纯结构的几何复杂髋增加，部件 尺寸逐渐减小，优化结构中类似秆状部件的数量变多变长，不便于制造，在受压 燕= 章结擒拓扑优偬设计 时容易失稳。理论上讲，同样的优化结构，网格细化应该形成更好的有限元模型 和更详细的边界描述，不应出现几何关系的更复杂的不同的优化结构，结构优化 结果对初始有限元网格的依赖性的出现主要是由于在优化过程中网格细化将导致 对内部结构在更精细的尺度上进行描述，相当予增加了更多的孔洞，造成数值求 解的不稳定。另方面怒指拓扑结构的非唯一解，网格细化后，可能会形成不同 的局部最优解。如由个宽度较大的杆件所完成的结构功能与由几个相对较细的 秆件组合结构所宪成的结构功能相同，造成设计域空间的最优解不楚难一的。新 戳，结构优傀结莱对初始有限元网格的依赖性造成了最优解的不存在和不唯一。 0 s i g m u n d 和j p e t e r s s o n 在文献 舭i 中总绪了近年来对拓扑优化过程中出现 的种种数值计算不稳定性问题，针对特定问题提出了一些有效的解决办法。 对奇异性问题，通常用极小的正实数e 来代替截面面积或单元厚度中出现的 零值朱避免奇异解的出现；对棋盘格现象常常采用增加几何约束的方法来限制数 值解空间，保证有限元求解的光滑性和稳定性；对嘲格依赖性常采用一些对密度 变量的全局和局部约束，以防止精细尺度结构的形成。 传统的蕊结构法通道截面下限取零采实现拓扑变更，但删除的秆件不能重新 恢复，会出现奇异的拓扑结构，主要困难就是出现“奇异最优解”润题。奇异簸 优解现象最擎由s v e d 和g i n o s 发现，德们在采震广义截蕊优亿横鹜求解多工况威 力约窳下三秆桁柒拓扑优仡算静j 时，始终无法求遗全届鼹优解，只熊褥翔局部最 优解。s h e u 帮s c h m i t l 4 5 1 对_ l 鞋：闯纛进行了洋续谎鞠。k i t s c h 洳辩该藩题俸了递一步 磷究舞指出，结梅最优搐卦冒能是设计空润瓣一个奇异点，并绘涮了设计竣的胬 形。程耿东等邮磁魏进移了深入辑究，著指窭了应力终寒函数程零截瑟处静不连 续性是造成奄冥擐热解的根本蒙嚣。结梅拓羚钱化懿可褥域不仅可能菲趣焉屋霹 娆呈攫形，全局凝钱解霹能健于设计空阀中 凸星形可行域躲邀位子壤瓣尖端。 程耿东教授对以斑力为约束黪撂扑优化赝产生款毒髯性趣题箨了详缨熙解黪 及讨论 9 , 4 8 1 ，菸提出期应蛇解决方法。段塞岩教授、时尚烬教授、桧雕华教授在缎 决奇异拓扑的优化闷题方厦作了大量鳃工作珥。 为解决礁求勰掘扑优化中，由于抒元截甄积趋予零藏删除杼元恧产生的病态 总刚方程，以及在设计空间中产生的奇舆性。b e n d s a e 等人 ”】以结构的最小莱顺 性( c o m p l i a n c e ) 为优化目标函数，体积为约束条件，建立了拓扑优化的新的数 学模型。在求解方法上，提出用“同步分析和设计”( s i m u t l a n e o u sa n a l y s i sa n d d e s i g n ) 5 1 1 及非光滑优化准则法( n o n s m o o t ho p t i m a l i t y c r i t e r o nb a s e d m e t h o d ) 来求解。此方法以位移和截面积同时做设计变量，不必担心病态刚度矩 阵的影响。 p e t e r s s o n 、s i g m u n d 的局部密度斜率控制法 5 2 1 ( 1 0 c a ld e n s i t ys l o p e 1 2 一秘基于三受彤缨观缱橡的工程结构拓扑优佬设诗方法 c o n t r 0 1 ) ，主要对单元局部寮度斜搴弓l 入约束栗傈证鸯限元裳勰斡獭确蛙。密度 斜率控制法是一种局部约束方法，能消除棋盘格现象，而且一般会有限控制结构 弱足 鼍复杂性，癌止爨理缨长豹杼状单元。褪在谯豫瓣蘧中弓| 入了2 n 或3 n 个额 外的约束，使得计算时间大大增加，应用困难。 h a b e r 、b e n d s o e 等提高鹣等髑长控铡法【5 3 1 ( p e r i m e t e rc o n t r o lm e t h o d ) ， 是一种全局约京方法，它在优化问题中引入一个额外的周长约束，在优化缕梅中 可能包含j # 常缩小静秆状单元。局长约束由设计人员的经验决定，其取值怒否合 理凌接影晚至最优解的存在性和求瓣过程的稳定瞧。 b o u r d i n 嘴于s i m p 插俄模型，提出一种改进的柔艘最小化的拓扑优化模型， 奁该模型巾，掰卷获爨数弱患态密度( p o i n t w i s ed e n s i t y ) 卷稷褥委一个爱辩纯 的密度场，材料的弹性模量由卷积以后的密度重新表示，这样卷积以后的密度函 数麴光漕毪藕可徽往掇商，该方法链保证优仡薅遂解酌存在性、有黻元透仪解静 稳定性和收敛性，从丽消除棋盘格式、网格依赖相关毂。 b o r r v a l 和p e t e r s s o n i s s l 直接建立了材料属性同点态密度之问的线性擂值格 式，逶过餍谓热紧支线性算予秘密度罚函数的卷积来获褥个对中闽密度瓣正璺 化弱函数，把弱函数赢接加入日标爝数或作为一个额外的约束，也可以消除棋盘 辏裁，获褥较辩豹弱格无关瞧。 s i g m u n d f 5 6 i 婚过滤技术( f i l t e rm e t h o d ) 是一种简单适用的启发式算法，在 工程中褥铡了广泛酶艨翊。锨废过滤技术潍事先定义优化结鞠中秆狡单元酌最小 尺寸，能有效消除棋盘格现象，并使结构体现出鼹格无关性，它的最大优点是在 优化问题中不用加入额外的约束，程序实现简单，实践证明辩于有较少约赢的问 题楚一秘髑单鸯散的方法。 虽然对结构拓扑优化问题已经进行了大嚣的研究工作，但棋盘格现象 ( c h e c k e r b o a r d s ) 、爨臻镶蔟牲闫题( m e s h - d e p e n d e n c i e s ) 和嫠煞投壤润嚣( l o c a l m i n i m a ) 等数值计算上的不稳定闯躐仍需得到更完善的处理和解决，探寻可靠、 有散豹捂挣优纯求解方法仍将是今箍拓补伉纯领域中亟待解凌的目题。 第二章结构菇接挽讫设计 2 ，3 本章，、结 本章介绍了藉扑饶纯设汁翡现狭，介绍了现有的一些傀纯设计中数学模垄的 建立方法，归纳了一些适用于并行计算且对函数的性态要求较低的全局搜索数噬 算法，总结了结构拓扑优化中所遇到的数值f 哥题及解决办法。 1 4 一种基于三角形细观结构的工程结构拓扑优化设计方法 第三章基于均匀化理论的结构拓扑优化设计 3 1 基于均匀化理论的结构拓扑优化设计的现状 b e