（机械设计及理论专业论文）3prrrr移动并联机构自由度、约束奇异和运动学分析.pdf

学位论文作者完 有关部门或机构送交 大学可以将本学位论 或扫描等复制手段保 本学位论文属于 学位论文作者签名： 日期：山u 年孑 l v 3 - p r r r r 移动并联机构自由度、约束奇异和运动学分析 t h ed e g r e e so ff r e e d o m ，c o n s t r a i n ts i n g u l a r i t i e s a n dk i n e m a t i c sa n a l y s i so f3 - p r r r rt r a n s l a t i o n a lp a r a l l e l m a n i p u l a t o r 浙江理工大学硕士学位论文 摘要 并联机器人因具有高刚度、大载荷、无累积误差等特点而在实际应用中发挥着它独特 的优势。本文提出了一种完全解耦的平移并联机构3 一p r r r r 移动并联机构，该并联机 构通过转动副和移动副的组合实现动平台的三自由度平移，主要研究了该机构的自由度、 约束奇异和运动学特性。 根据黄真教授提出的修订c h e b y s h e v g r t i b l e r - k u t z b a c h 自由度计算公式分析3 - p r r r r 并联机构。把机构中的运动副用旋量表示，分析了支链对动平台的约束。把冗余约束、局 部自由度等概念用在自由度的计算中，最后验证了正交3 - p r r r r 并联机构是一种三自由 度的平移并联机构。 研究了一般3 - p r r r r 并联机构存在的两种约束奇异。分析了每种情况支链约束之间 的线性关系以及动平台的自由度。而正交3 - p r r r r 并联机构由于三条支链的正交关系， 导致了支链约束螺旋线性无关，因此该机构不存在约束奇异。正交3 - p r r r r 并联机构是 一种无约束奇异的三平移并联机构。 根据正交3 p r r r r 并联机构的空间位置关系，得出机构的运动学方程，在此基础上分 析了速度和加速度的特性，得到了机构的雅可比矩阵。在它基础上进一步研究了机构的雅 可比条件数、工作空间、机构的刚度性能指标，并得到了工作空间、刚度与机构参数的表 达式，提出了如何改善这些性能指标的方法，为样机的制作提供的理论依据。 利用s o l i d w o r k s 进行虚拟样机建模，通过导入a d a m s 软件进行运动学仿真，对机构进 行位移、速度、加速度、运动干涉情况的分析，结果验证了机构的完全解耦的特性。根据 前面的理论依据设计样机的参数，并制作出试验样机。通过p c + 运动卡的方案组建了控制 系统，包括硬件设计和软件设计两部分。样机单轴和多轴驱动的实验说明了正交3 p r r r r 并联机构是完全解耦的三自由度机构以及该机构的控制系统的可行性，本文研究成果对正 交3 p r r r r 并联机构的应用具有重要意义。 关键词：平移并联机构；螺旋理论；约束奇异；性能指标；l a b v i e w 控制系统 浙江理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t p a r a l l e lm a n i p u l a t o ri sp l a y i n ga l lu n i q u ea d v a n t a g ei nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，e s p e c i a l l y w i t hh i g hs t i f f n e s s 、l a r g el o a da n dh i g hp r e c i s i o nw i t h o u ta c c u m u l a t e de r r o r t h i sp a p e r p r e s e n t s 3 - p r r r rt r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o rw h i c hi saf u l l yd e c o u p l e dt r a n s l a t i o n a lp a r a l l e l m a n i p u l a t o r i ti so n l ym a d eu po fs o m er e v o l u t ej o i n t sa n dp r i s m a t i cj o i n t st oa c h i e v et h et h r e e t r a n s l a t i o n a ld e g r e e so ff r e e d o mo fm o v i n gp l a t f o r m t h i sp a p e rf o c u s e so nd e g r e e so ff r e e d o m o ft h em o v i n gp l a t f o r m 、c o n s t r a i n ts i n g u l a r i t i e sa n dk i n e m a t i c sc h a r a c t e r i s t i c s w i t ht h er e v i s e dc h e b y s h e v g r i a b l e r - k u t z b a c hf o r m u l ap r o p o s e db yp r o f e s s o rh u a n g ，w e a n a l y z et h ed e g r e e so ff r e e d o mo fp a r a l l e lm a n i p u l a t o r t h r o u g hd e s c r i b i n gt h em o v i n g p l a t f o r m 、 ，i t l ls c r e w , t h ec o n s t r a i n t so fe a c hb r a n c hc h a i n c a nb ea n a l y z e d t h er e d u n d a n t c o n s t r a i n t s 、l o c a ld e g r e e so ff r e e d o mi su s e di nt h ef o r m u l ao fd e g r e e so ff r e e d o m ，t h er e s u l t i n d i c a t e st h a tt h eo r t h o g o n a l3 - p r r r rp a r a l l e lm a n i p u l a t o ri sa3 - d o ft r a n s l a t i o n a lp a r a l l e l m a n i p u l a t o r t h ep a p e ra n a l y z e st h et w ok i n d so fc o n s t r a i n t s i n g u l a r i t i e s o f3 - p r r r rp a r a l l e l m a n i p u l a t o r w eg e tt h el i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nc h a i n sa n dt h ed o f o fm o v i n gp l a t f o r m d u et ot h eo r t h o g o n a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et h r e eb r a n c h e d - c h a i n s ，t h ec o n s t r a i n t ss c r e w so f t h em o v i n gp l a t f o r md o n ts a t i s f yl i n e a rr e l a t i o n s ot h e r ee x i s tn oc o n s t r a i n t ss i n g u l a r i t i e si nt h e w o r k s p a c e t h eo r t h o g o n a l3 - p r r r rp a r a l l e lm a n i p u l a t o ri s3 - d o ft r a n s l a t i o n a lp a r a l l e l m a n i p u l a t o rw i t h o u tc o n s t r a i n ts i n g u l a r i t i e s w i t ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e3 - p r r r r p a r a l l e lm a n i p u l a t o rs p a t i a ll o c a t i o n ，i ti sv e r y e a s yt og e tk i n e m a t i c se q u a t i o n w eg e tt h ej a c o b i a nm a t r i xb a s e do nv e l o c i t ya n a l y s i s j a c o b i a n m a t r i xi sav e r yi m p o r t a n tb a s i st of u r t h e rs t u d yo ft h ej a c o b i a nc o n d i t i o ni n d e x 、w o r k s p a c ea n d s t i f f n e s si n d e x ，g e t t i n gt h em a n i p u l a t o rp a r a m e t e r so fe x p r e s s i o n 谢t l lw o r k s p a c ea n ds t i f f n e s st o i m p r o v et h e s ep e r f o r m a n c e si n d i c e s ， av i r t u a lp r o t o t y p ei sm o d e l e db ys o l i d w o r k ss o f t w a r e t h em o d e li st h e ni m p o r t e dt o a d a m ss o f t w a r et od ok i n e m a t i c ss i m u l a t i o n t h r o u g hd i s p l a c e m e n t ，v e l o c i t y , a c c e l e r a t i o n ， m o t i o ni n t e r f e r e n c ea n a l y s i st oc o n f i r mt h ei s t r o n p i co fp a r a l l e lm a n i p u l a t o r w ed e t e r m i n et h e f i n a lp r o t o t y p ep a r a m e t e r sa n dd e s i g nt h ep r o t o t y p e t h ec o n t r o ls y s t e mi sd e s i g n e dt h r o u g h p c + m o t i o nc o n t r o l l e r , i n c l u d i n gh a r d w a r ed e s i g na n ds o f t w a r ed e s i g n t h es i n g l e a x i sa n d t t 浙江理工大学硕士学位论文 m u l t i - a x i s d r i v e ne x p e r i m e n t sp r o v et h a tt h eo r t h o g o n a l3 - p r r r rp a r a l l e lm a n i p u l a t o ri sa 3 - d o ft r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o ra n dt h ec o n t r o ls y s t e mi sf e a s i b l e t h er e s e a r c h r e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e ri so fi m p o r t a n c ei nt h ea p p l i c a t i o nt h eo r t h o g o n a l3 - p r r r r p a r a l l e lm a n i p u l a t o r k e y w o r d s ：t r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o r ；s c r e wt h e o r y ；c o n s t r a i n ts i n g u l a r i t i e s ； p e r f o r m a n c e si n d i c e s ；l a b v i e wc o n t r o ls y s t e m m 3 43 - p r r r r 移动并联机构的约束奇异分析1 9 i v 浙江理工大学硕士学位论文 3 4 1 一般3 - p r r r r 移动并联机构的第一种约束奇异1 9 3 4 2 一般3 - p r r r r 移动并联机构的第二种约束奇异2 0 3 4 3 正交3 - p r r r r 移动并联机构约束奇异2 1 3 5 本章小结2 2 第四章正交3 - p r r r r 移动并联机构运动学分析2 3 4 1 引言。2 3 4 2 并联机构描述2 3 4 3 位置分析2 4 4 3 1 位置正解2 4 4 3 2 位置反解2 5 4 4 速度分析和加速度分析2 6 4 5 正交3 - p r r r r 移动并联机构运动性能分析一2 7 4 5 1 灵巧度2 7 4 5 2 工作空间2 9 4 5 3 刚度3 2 4 6 本章小结3 8 第五章基于l a b v i e w 的正交3 - p r r r r 移动并联机构控制系统3 9 5 1 引言一3 9 5 2 控制系统概述3 9 5 3 硬件组成3 9 5 3 1 运动控制卡和数据数据采集卡一4 0 5 3 2 驱动器和步进电机4 2 5 3 3 硬件连接4 3 5 4 软件设计。4 4 5 4 1l a b v l e w 及m o t i o na s s i s t a n t2 3 软件概述4 4 5 4 2 功能实现和人机界面一4 5 5 5 本章小结4 8 第六章正交3 - p r r r r 移动并联机构样机试验研究4 9 6 1 引言4 9 6 2 正交3 - p r r r r 移动并联机构虚拟样机模型。4 9 v 浙江理工大学硕士学位论文 6 3a d a m s 运动学仿真5 0 6 3 1a d 触s 运动学仿真概述5 0 6 3 2 单轴驱动仿真。5 0 6 3 3 三轴驱动仿真5 3 6 4 样机参数5 6 6 5 样机试验5 7 6 6 本章小结6 0 第七章总结与展望6 1 7 1 课题的工作总结6 1 7 2 研究与展望：6 l 参考文献6 3 致谢6 7 攻读硕士学位期间发表的论文6 8 浙江理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题背景及研究意义 机器人按照结构可以划分为串联机器人和并联机器人两种类型。串联机器人发展虽然 已经很成熟，但结构上的缺陷使它无法应用在高精度和高刚度的工业场合。与传统的串联 机器人相比较，并联机器人具有以下特点： 采用并联结构系统刚度大，承载能力比较强，特别是负载自重比很大。 运动累积误差小，具有较高的精度。 由于驱动关节可以装在支架上减少了机构的负载，使得机构整体的运动惯性减小能 够高速运动。 采用对称的结构，各向同性性能好。 动力学特性好，在较大尺寸时仍保持很好的动力学特性。 运动控制更加容易。 位置反解求解容易，位置正解求解困难。 工作空间较小。 并联机器人和串联机器人都有本身的局限性，两者的相互配合弥补了彼此的不足，扩大了 在焊接、搬运、喷漆作业、尺寸检验、自动装配等产业领域的应用。 随着机构学的发展与进步，出现了很多各种新型的并联机构，但是并联机构位置正解 求解困难、运动耦合、工作空间较小等特性限制了它的应用。实际应用对并联机构提出了 更高的要求，具有运动学求解简单、运动解耦、较大工作空间、高精度的并联机构在工业 中越来越得到青睐。 少自由度并联机器人是并联机器人领域的一个重要分支，也是目前国际上研究的热点 之一。它们具有并联机器人刚度大、承载强、精度高等特点，最主要的是它们的结构简单、 成本低。在工业中有时不需要复杂的六自由度机器人，只需要简单的少自由度机器人就能 完成任务，多自由度的机器人就会显得复杂和笨拙。 本文提出一种3 - p r r r r 三平移的新型并联机构，对称的机构只需要简单的移动副和 转动副的组合就能实现空间的三平移运动，它的支链之间完全解耦，更加容易控制。在整 个工作空间内具有良好的各向同性以及无奇异位形。该机构的运动学求解简单、具有较大 的工作空间和运动灵活性，是很具有工业应用前景的新型机构。本文也由此展开对该机构 的研究工作。 l 浙江理工大学硕士学位论文 1 2 目前国内外研究现状 1 2 1 国内外并联机器人的研究现状 并联机构是由动平台、底座通过至少两个支链的闭环机构组成( 如图1 1 所示) 。1 9 4 7 年英国人g o u 曲1 1 采用并联机构设计了一种6 自由度的轮胎测试机器( 如图1 2 所示) 。这 种类型的机器从1 9 5 4 年被投入使用，直到2 0 0 0 年才退出历史舞台。1 9 6 5 年英国高级工程 支链1 图1 1 并联机构示意图图1 2 轮胎测试机器 师s t e w a r t 通过对g o u g h 提出的轮胎测试机器结构的研究把它应用于模拟飞行器，这就是 著名的s t e w a r t - g o u g h 平刽2 1 ( 如图1 3 所示) ，它是一种含有三个支链的六自由度运动平 图1 3s t e w a r t - g o u g h 平台 台。s t e w a r t 首次通过研究论文的方式向世界展示了并联机构。这种飞行模拟器应用在当时 并没有引起学术界的广泛关注和兴趣，直到1 9 7 8 年澳大利亚机构学家h u n t 3 】提出把6 自 由度的s t e w a r t 并联机构应用于机器人操作器，由此拉开了并联机器人研究的序幕。各种 新型的并联结构不断出现，推动了并联机器人的巨大发展。 机床是并联机器人应用的一个重要领域。与传统的机床相比较，并联机床具有机构简 单、刚度比重大、响应速度快等特点，更加容易加工一些复杂的曲面。在1 9 9 4 年的芝加 哥机床展览会上，g i d d i n g s & l e w i s 公司推出了基于并联机构的六足并联机床( 如图1 4 所 示) 引起了轰动，吸引了学术界对并联机床的关注和研究，被誉为“2 l 世纪的数控加工装 2 浙江理工大学硕士学位论文 图1 4g i d d i n g s & l e w i s 公司六足并联机床 备 。在随后的几十年内促使了一批新型的机床出现。图1 5 所示的是德国m i k r o m a t 公司 生产的6 x 型高速并联机床；图1 6 是瑞士联邦科技学院研制的h e x a g l i d e 虚拟轴机床。我 图1 5m i k r o m a t 公司6 x 型机床 图l - 6h e x a g l i d e 虚拟轴机床 国并联机床研究起步晚，直到1 9 9 7 年清华大学和天津大学共同研制出了我国的第一台并 联机床- v a m t l y ( 如图1 7 所示) 。并联机器人还可以用于微动机器人，用在生物工程、 医学工程高精度与分辨率的场合。图1 8 所示的是p i 公司的手术机器人。 3 浙江理工大学硕士学位论文 图1 7y a m t i y 并联机床 图1 8p i 公司手术机器人 1 2 2 三自由度移动并联机器人国内外研究状况 三自由度移动并联机器人是少自由度并联机构中研究的热点之一。它在构型设计、运 动控制、成本等方面的优势是六自由度并联机器人无法比拟的。它不但可用于三维坐标测 量机、航空三维防震射击平台、三维装配机器人等领域，还能用于精密加工、医学、微电 子、精密测量等精密工程领域。 机器人领域最著名的平移并联机器人是c l a v e l 4 1 提出的d e l t a 并联机器人( 如图1 9 所 示) 。d e l t a 并联机器人是由动平台、静平台、三根主动杆、三个平行四边形支链组成。该 图1 9d e l t a 并联机器人 机构的仅仅通过转动副的组合，采用对称的平行四边形从动支链保证了动平台只能有三个 方向的平动自由度【5 】。d e l t a 机器人是一种具有三个平动自由度的高速并联机器人，也是目 前商业应用最成功的并联机器人之一。d e l t a 并联机器人具有较广阔的操作空间，能够适用 多种应用场合，a b b 公司成功将它推广到市场应用。a b bi r b 3 4 0 机器人( 如图1 1 0 所示) 在2 0 0 9 年成功进驻欧洲最大的“太阳谷 德国萨克森安哈尔特的塔尔海姆太阳能生产基 地，帮助q c e l l s 等业内领先企业提升工件的输送效率。 4 浙江理工大学硕士学位论文 图1 1 0a b bi 髓3 4 0 机器人 3 - u p u 并联机构( 如图1 1 1 所示) 是t s a i 6 】提出的一种三平移并联机构。3 - u p u 并联机 构动平台和底座由三个u p u 运动链构型的连杆连接。其中u 代表的是虎克铰，p 代表的是移 动副，通过驱动连杆上的移动副使连杆伸缩，从而使动平台做空间三自由度平动。d i g r e g o d o 和p a r e n t i c a s t e l l i 7 1 通过研究法发t 观3 - u p u 并联机构存在转动的奇异；黄真【8 1 等人也 对该机构进行了深入研究。 图1 1 13 - u p u 并联机构 s t a r 并联机构( 如图1 1 2 所示) 是h e r v e 9 通过群理论构造的一种三自由度并联机器人。 动平台和底座通过四根支链连接。s t a r 并联机构由三个相同的分支与动平台连接，每个分 支中都是由移动副和平行四边形铰链机构组成，驱动固定在支架上减小了机构本身的负 载，该机构具有三平移自由度。b a r o n 和b e n l i e r 【1 0 】【1 1 1 、j o s h i 1 2 1 对该结构的运动学分析进行 了深入研究。 浙江理工大学硕士学位论文 图1 1 2s t a r 并联机构 3 - c r r 并联机构( 如图1 1 3 所示) 是由k o n g 和g o s s e l i n i l 3 】提出的。该机构是由三个c r r 分支构成，每个分支都是由一个圆柱副c 和两个转动副r 组成，这三个运动副的轴线互相平 行。k i m 和t s a i 1 4 】对于c r r 结构进行了优化设计并且分析了转动驱动和直线驱动时机构的 奇异性，并对结构的刚度进行了研究。h e r v e 和s p a r c i n o t l 5 】研究发现两个c 己支链能够产生 三个平移自由度，另外的一个仅仅辅助配合。黄真16 1 研究了过约束的3 i 冰c 的平移并联结 构。 弋一_ 癌 图1 1 3c r r 并联机构 o r t h o g l i d e 机构是w e n g e r 和c h a b l a t t l 7 】提出的一种三自由度平移并联机构( 如图1 1 4 所示) ，它是由三条相同的p r p a r 支链组成，其中p 代表移动副，r 代表转动副，p a 是指 平行四边形铰链结构，平行四边形铰链机构可以等效为一个沿四边形平面的广义移动副p a ( 图1 1 5 所示) 。动平台通过三条支链和支架连接，通过驱动移动副实现动平台在空间的 移动。c h a b l a t 1 8 1 【19 1 、p a s h k e v i c h 【2 0 】1 2 1 】瞄】 2 3 】、m a j o u t 冽对该机构的运动学、工作空间、奇 异、刚度进行了详细的分析和研究。 由于三自由度平移并联机器人最近几年的研究热点，因此国内外的研究现状只是在探 索，只有少量成果运用于实际生产领域。特别是完全解耦、机构简单、精度高、刚度大的 6 浙江理工大学硕士学位论文 并联机构吸引着众多学者的注意，也是一直以来的研究重点。 图1 1 40 r t h o g l i d e 机构 图i 1 5 平行四边形铰链结构 1 3 论文主要工作和研究内容 本文提出了一种完全解耦的3 - p r r r r 移动并联机构。通过螺旋理论对机构的自由度、 约束奇异进行了分析，同时对机构的运动学和性能指标进行研究，通过优化杆长使机构获 得最大的性能。通过s o l i d w o r k s 建立三维模型并制作样机，根据p c + 运动控制卡的方案设 计了运动控制系统。 第一章介绍了并联机器人特点和意义，以及国内外三自由度平移并联机构应用现状、 研究热点、发展趋势，提出了本文研究的工作和内容。 第二章介绍了螺旋理论的基础知识为后面的分析打下基础。通过螺旋理论的分析， 给出公共约束和冗余约束的概念和几何存在的条件。引入黄真教授提出的修订的 c h e b y s h e v g r t i b l c r - k u t z b a c h 自由度计算公式，利用螺旋理论计算并联机构中公共约束和冗 余约束。最后利用修订的自由度计算公式验证计算正交3 - p r r r r 平移并联机构的自由度。 第三章介绍了根据约束螺旋在空间不同几何条件下的线性相关性对约束螺旋进行分 类。通过螺旋理论的互易原理获取每种约束螺旋系所约束的运动，分析了一般3 - p r r r r 7 浙江理工大学硕士学位论文 移动并联机构可能存在的两种约束奇异。由于正交3 - p r r r r 移动并联机构约束螺旋线性 无关，因此在整个机构正常运动的情况下无约束奇异。但是p r r r r 支链之间转动副处于 一条直线时会发生极限位置奇异，通过设置合理的参数可避免这种极限位置奇异发生。因 此，正交3 - p r r r r 移动并联机构在整个工作空间内无奇异位形。 第四章运动学分析是并联机器人的研究基础，研究了正交3 - p r r r r 移动并联机构的 运动学分析、速度分析、加速度分析。通过运动学分析得出了雅可比矩阵，对机构的灵巧 度、工作空间、刚度指标进行了分析和研究，提出具体的解决办法。 第五章针对正交3 - p r r r r 移动并联机构的特点，通过p c + 运动控制卡的方案组建了 控制系统，详细介绍了系统硬件和软件的原理及组成，最后通过l a b v i e w 程序生成可视 化的人机界面。 第六章介绍了正交3 - p r r r r 移动并联机构样机的设计，对该机构的运动学进行了仿 真，验证了机构的解耦性能。给出机构的杆件参数，并对样机的工作空间和刚度进行了计 算，最后通过单轴和多轴驱动实验验证机构的性能。 第七章对本文工作进行总结，提出了工作中的不足与进一步的展望。 浙江理工大学硕士学位论文 第二章基于螺旋理论的3 - p r r r r 移动并联机构自由度分析 2 1 引言 空间刚体的运动都可以看成平动和转动的组合，螺旋不但表示刚体的复合运动，还指 明了轴线在空间的方位。对空间并联机构而言，螺旋理论已成为现代空间机构分析的一种 重要数学工具。在分析复杂的空间机构时，运用螺旋理论可以把问题的描述变得十分简洁。 传统的c h e b y s h e v c j r i i b l e r - k u t z b a c h 自由度计算公式对于绝大多数的机构是适用的，但是 对许多的机构并不能得到正确的结果。许多学者如s u h t 2 5 1 、s a n d o r t 2 6 1 、t s a 2 7 1 、m e r l e t t 2 8 1 、 g o g u 2 9 1 都发现了一些机构用该公式无法计算出正确结果。特别是对于少自由度并联机器人 的研究经常让人迷惑。本章将重点介绍螺旋理论的基础知识，为后续的自由度分析、约束 奇异分析等内容做准备，利用黄真教授提出的含公共约束和冗余约束的修订的 c h e b y s h e v g r o b l e r - k u t z b a c h 自由度计算公式，分析了正交3 - p r r r r 移动并联机构的自由 度。 2 2 螺旋理论基础 2 2 1 线矢量和螺旋 螺旋理论最早起源于十九世纪。18 0 6 年p o i n s o t 研究发现作用在刚体上的任何力都可 以用一个沿某直线的力和绕该直线的力矩来合成。1 8 3 2 年c h a s l e s 证明了刚体从一个位置 到另一个位置的运动都可以用绕一条直线的转动和沿平行于该直线的移动复合实现，并把 这种运动称为螺旋运动。英国剑桥教授r o b e r ts b a l l 3 0 l 对c h a s l e s 和p o i n s o t 提出的螺旋理 论加以发展，第一次对螺旋理论进行了系统全面的研究，最终在1 9 0 0 年完成了 a t r e a t i s e o nt h et h e o r yo fs c r e w s ) ) 这本经典的螺旋理论著作。在随后的几十年里螺旋理论并没有引 起学者的关注，直到1 9 7 8 年澳大利亚学者k h h u n t t 3 1 1 出版了k i n e m a t i cg e o m e t r yo f m e c h a n i s m s ) ) 才奠定了近代螺旋理论的发展，螺旋理论在以后机构学的研究中开始受到了 重视。 如果把空间的一个向量约束在一条方向和位置确定的直线上，我们就称这个被直线约 束的向量称为线矢量【3 2 1 。因此线矢量在空间的位置和方向是由矢量s 和线距岛决定，s 表 示约束直线的方向，它与原点的位置无关；而线距岛表示它在空间的位置，它与原点的位 置有关( 如图2 1 所示) 。 9 浙江理工大学硕士学位论文 y 图2 1 线距与位置有关 线矢量的p l u c k e r 坐标表示形式为 s = ( s ；s o ) = ( s ；r s ) = ( 三mn ；pqr )2 ( 1 ) 其中，昧示线矢量轴线方向的单位矢量，可用三个方向余弦表示为 s = ( mn ) p 州2 + 2 = l2 ( 2 ) - 称作线矢量的线距，记为& = ( pqr ) 线矢量的偶量表达形式为 墨= s + 2 一( 3 ) 其中，s 为原部矢量，& 为偶部矢量，为对偶标记。 在一般情况下，对偶矢量的原级矢量和次级矢量是不满足矢量正交条件s & 0 ，此 时对偶矢量( s ；氐) 称为旋量。可以表示为 5 = s + 品，s 孓02 一( 4 ) 一个螺旋包括了四个要素：螺旋的轴线位置、螺旋的节距、螺旋的大小和方向。而单 位螺旋只包括螺旋的轴线位置、螺旋的节距和螺旋的方向。螺旋也可以写成如下表达式。 墨= ( s ；& ) = ( s ；，s + 胳) = ( s ；咒+ 舾) = ( s ；氐) + ( o ；舾) 2 ( 5 ) 任何螺旋都可以用一个线矢量和个偶量的同轴叠加表示。 2 2 2 螺旋的代数运算 螺旋的代数和是指两螺旋的原部和对偶部分各自叠加之和，它们的结果仍然是螺旋。 假设螺旋 墨= ( s ；s 。) = ( 厶m l ；点q 蜀) ；是= ( ；岛。) = ( 厶鸩2 ；昱qr 2 ) 那么 1 0 浙江理工大学硕士学位论文 n 邑棠二乏2 麓) l 峨枇m ， 2 邓， = ( 厶+ 厶m + 鸩l + 2 ；丘+ 罡骇+ q 垦十恐) 一 螺旋互易积是指两旋量的原部矢量与对偶矢量交换后的点积之和，互易积通常用符号 。表示。 墨。是= s 。+ 岛。s 。= 厶最+ m q 2 + m 如+ 只厶+ q 鸠+ 蜀22 ( 7 ) 螺旋的互易积的实质是两条空间直线的互矩，即两螺旋矢量的公法线长度与二者夹角的正 弦之积。螺旋共面的充要条件就是互易积为零，任意螺旋对其自身的互易积都是为零。 2 2 3 运动旋量和刚体瞬时运动 任意刚体运动都可以用绕某轴的转动与沿着该轴移动的复合实现。而刚体的螺旋运动 可以看成是绕着某旋转轴的匀速转动与沿此轴的等速移动的合成，螺旋运动是刚体运动， 刚体运动也是螺旋运动【3 3 1 。螺旋运动的无限小量称为运动旋量。 5 = ( s ；& ) = ( s ；r x s + h s ) 2 - ( 8 ) 当h = - o 时，r - - - o 时，它表示过原点的纯转动。 h = - o 时，它表示非过原点的纯转动。 h = _ o o 时，它表示纯移动。 这样就可以把转动副、移动副用运动旋量表示。 2 2 4 反旋量和螺旋系 如果两个旋量的互易积为零，我们就把其中一个称为另外一个的反螺旋，反螺旋通常 用矿表示。 墨。萝7 = 0 2 一( 9 ) 互易积为零则意味着力旋量与运动旋量的瞬时功率为零，也就是无论该力旋量的力或力矩 有多大，它都不会对刚体做功，也不能改变约束允许下刚体的运动状态。 萨( 0 ；s ) 反旋量表示的是一个约束力偶。力偶是自由矢量并不改变对物体的作用效 果。对于一般的刚体运动，在该反旋量的作用下转动部分被约束而移动部分不被约束。 弘( s ；o ) 反旋量表示作用线经过原点、作用方向为s 的约束力。由于力的作用线是 确定的，约束的运动是沿s 方向的移动。而不能与s 斜交的任何方向的移动。 肛( s ；r x s ) 反旋量表示作用线经过点，且方向为s 的约束力。被约束的运动包括沿s 方向的移动，同时也会对转动运动产生影响。根据运动旋量与约束力旋量的互易关系可以 得出，只有物体的转动沿约束力，轴线上的分量为零，其转动才不受限制，而分量不为零的 转动都将被限制。 浙江理工大学硕士学位论文 由忍个单位旋量墨，是瓦的任意线性组合构成的向量空间称为旋量系，可记为 s = 墨，岛& ) ，s 中所有旋量都是这些，个旋量的线性组合，则称该，个旋量为旋量集s 的 一组基，则称，为该旋量系的阶数。刚体在空间的所有瞬时运动可以由一个六维旋量系的正 交标准基表示为 墨= ( 1 0 0 ；0 0 0 ) 是= ( 0 1 0 ；0 0 0 ) 耋- - ：( ( 0 0 1 ；0 0 0 0 0 0 ；1 0 0 ： ，2 - ( 1 。) 墨= () ， 、7 砖= ( 0 0 0 ；0 1 0 ) & = ( 0 0 0 ；0 0 1 ) 根据螺旋数目，螺旋系又可以分成螺旋一系、螺旋二系、螺旋三系、螺旋四系、螺旋五系、 螺旋六系，它们是根据螺旋的相关数目决定的。螺旋系是所有运动螺旋的集合，它决定了 刚体的运动。螺旋系在以后的自由度分析、约束奇异、运动学分析中将十分重要。 一个，z 阶旋量系s = 焉，是瓯) 必然存在一个( 6 一珂) 阶的反旋量系s 7 ，该旋量系有 ( 6 一玎) 个互易的旋量集。反螺旋的意义表示了物体所受到的约束或约束反力。在分析物 体在空间运动时，可以通过求物体上的反螺旋系来判断物体受到的约束数和物体的自由 度，以及物体可能实现和被约束的螺旋运动。 2 3 传统的c h e b y s h e v g r i i b l e r - k u t z b a c h 公式 传统的c h e b y s h e v g r t i b l e r - k u t z b a c h 公式【3 4 】为 m = d ( n - 1 ) - ( d 一，) = d ( n - g - 1 ) + z 2 - ( 1 1 ) 其中，万为构件数；g 为运动副数；石是第f 个运动副的相对自由度数；d 是机构的阶数。 对于空间机构和平面机构计算自由度时公式中的唯一的不同是d 的系数，对于空间机构 萨6 ；平面机构d = 3 。对于许多的机构都能用该公式得出正确的结果。 2 4 修订的c h e b y s h e v g r i i b l e r - k u t z b a c h 公式 在机构学的发展过程中，出现了许多机构应用传统的自由度公式计算无法得出正确的 结果。这个问题经历了1 5 0 年还没有解决。而黄真教授在吸取了前人的研究成果，通过研 究巧妙的回避t i b 线性求秩的问题，而使自由度的计算获得了暂时的解决。他提出的修订 的c h e b y s h e v c b l e r - k u t z b a c h 公式网解决了遗留的困惑结构，首次通过约束螺旋原理分析 并联机构的自由度。修订后的自由度计算公式考虑到公共约束、冗余约束、局部自由度， 浙江理工大学硕士学位论文 能够简单、准确的计算复杂机构的自由度。修订的自由度计算公式为 g p m = a ( n - 1 ) - ( d - f ) + v - g = d ( 刀- g - 1 ) + f , + 1 ，一g 2 - ( 1 2 ) i = 1f = l 其中，m 为机构的自由度 n 为构件数( 包括机架) g 为运动副数 万是第i 个运动副的相对自由度数 ，是机构的冗余约束数 f 是局部自由度数 d 是机构的阶数，d = - 6 - 2 ，五是机构的公共约束数 冗余约束是由于机构的部分运动副之间满足某种特殊的几何条件，使其中的有些约束 对机构的运动不产生作用。局部自由度是由于构件中存在的并不影响其它构件以及输出构 件运动的自由度，通常局是由观察来决定。 由于运动螺旋的反螺旋是约束力的概念，它表示了物体在空间受到的约束，机构的公 共约束是通过反螺旋来定义。当机构的所有运动副都以运动螺旋矿表示，所有的运动螺旋 就构成一个螺旋系k 若存在与螺旋系k 中每个螺旋墨m 都相互易的反螺旋矿，这个反螺旋就 是机构的一个公共约束。要得到机构的公共约束，首先要写出运动螺旋系k ，求出螺旋系 k 构成的矩阵的秩a 。 a = r a n k ( k ) 2 - ( 1 3 ) 当螺旋系的秩为6 时，不存在反螺旋，当螺旋系的秩为，时，机构就有6 一厂个反螺旋，也就是 6 ，个公共约束。 2 5 正交3 = p r r r r 移动并联机构自由度计算 2 5 1 机构的描述和坐标系的建立 正交3 - p r r r r 移动并联机构采用对称的结构，动平台和定平台通过三条相同的 p r r r r 支链连接，三条支链成正交分布状态。静坐标o x y z 和动坐标系p x y z 的轴线方向 一致只是坐标原点不同，如图2 1 所示。p i ( 卢1 ，2 ，3 ) 表示第f 条支链的移动副，它们是机 构中的驱动副。r ，( 卢l ，2 ，3 产1 ，2 ，3 ，4 ) 表示第f 条支链中的