（金融学专业论文）组合投资最优化问题中的策略估计.pdf

硕士论文组合投资最优化问题中的策略估计 摘要 组合投资最优化问题一直是经济研究的核心问题，经过五十多年的发展，投资组 合理论日趋完善。由于现实中组合最优化问题的解析解一般是无法求得的，所以通常 能做的是求解问题的近似解。于是，估计一个给定的策略与最优策略之间的差异就具 有很现实的经济意义和理论价值。 如所周知，研究此类差异问题常用的方法是对偶方法。这种方法可以把不完全市 场模型下的约束最优化问题转化成完全市场下的无约束最优化问题，并得到给定策略 与最优策略之间差距的上界。 对于不含消费情况下的投资组合策略选择问题，利用对偶方法估计给定策略的研 究成果颇为丰硕，但仅得到给定策略与最优策略之间差距的上界，本文通过对偶方法 进行扩展，给出了原约束最优化问题的下界。 对于含消费情形下的投资组合问题，就我们所知，此类最优性问题的研究尚属空 白。基于此，本文讨论了含消费的投资组合选择问题，利用类似的方法，同样地，也 得到了给定策略与最优策略之间差距的上界。同时，给出了实例分析。 关键字：投资组合，对偶算法，支持函数，消费投资 a b s t r a c t t h eo p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mi so n eo ft h ec e n t r a ls u b j e c t si nf i n a n c e ，a n dt h e t l l e o r yo fp o r t f o l i os e l e c t i o n si sb e c o m i n gm o r ea n d m o r ep e r f e c ta f t e rt h ed e v e l o p m e n to f m o r et h a nf i f t yy e a r s h o w e v e r , t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n st ot h eo p t i m a lp o r t f o l i op r o b l e m 锄en o to b t a i n e dg e n e r a l l yi np r a c t i c a lm a r k e t w h a tw ec a nd oi ng e n e r a li st og e tt h e a p p r o x i m a t i o n so ft h i sp r o b l e m t h e r e f o r e ，i th a s s o m ee c o n o m i cs i g n i f i c a n c ea n d a c a d e m i cv a l u et oe v a l u a t et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h eg i v e na p p r o x i m a t es o l u t i o na n d t h e o p t i m a ls o l u t i o n t h ed u a l i t ym e t h o di su s e du s u a l l yi nt h es t u d yo ft h eo p t i m a lp r o b l e m t h i sm e t h o d c h a n g e sac o n s t r a i n e do p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mi ni n c o m p l e t em a r k e ti n t o t h e u n c o n s t r a i n e do p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mo fc o m p l e t em a r k e t s ，a n dg i v e st h eu p p e r b o u n do ft h ed i f f e r e n c e t h e r ea r em a n yr e s u l t st oe s t i m a t et h eg i v e np o l i c yb yt h ed u a l i t ym e t h o di n t h e o p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mw i t h o u tc o n s u m p t i o n b u t t h o s er e s e a r c h e so n l yg i v et h e u p l ：i e rb o u n do f t h ed i f f e r e n c e s ot h ep a p e rf i r s t l ye x t e n d st h ed u a lf o r m u l a t i o nt of i n dt h e l o w e rb o u n do ft h eo r i g i n a lc o n s u m n e do p t i m a lp r o b l e m f o rt h eo p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ew i t hc o n s u m p t i o n ，t h er e s e a r c ht oe s t i m a t et h ep o l i c y b vt h ed u a l i t ym e t h o d ，s of a ra sw ek n o w , i so p e nn o w t h e r e b y , t h ep a p e rd i s c u s s e st h e o p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mw i t hc o n s u m p t i o np o l i c y , a n dt h e ng e t st h es u p p e rb o u n d o ft h ed i f f e r e n c eb yu s i n gt h es i m i l a ra r g u m e n t a tt h es a m et i m e ，s o m ee x a m p l e sa r ea l s o p o s e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：p o r t f o l i o ，d u a l i t yt h e o r y ，s u p p o r tf u n c t i o n ，c o n s u m p t i o n - i n v e s t m e n t 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：伽勺年月如日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 硕士论文 组合投资最优化问题中的策略估计 1 绪论 1 1 理论背景 现代投资组合理论( m o d e mp o r t f o l i ot h e o r y ) 是西方现代投资理论的核心组成 部分之一，也是近几十年来财务金融领域引起广泛关注和深入探讨的重点课题，尽管这 一理论在不断的更新，但是经济学家们对研究投资组合以及资本资产定价问题的研究 从未中断过。投资组合理论是建立在西方经济学的基础上的，以资产的收益和风险间 的相互关系作为研究的出发点，以投资者是理性的，市场完善，投资者最大化效用以 及投资者具有理性预期为假设条件，通过理论抽象，运用数学、统计学等方法，对资 产组合的特性进行以定量为主的分析研究。 虽然在现代金融理论中研究中，最优投资组合选择问题一直是金融研究的核心问 题，也有了很全面的发展，但是问题的解析解只有在非常严格的约束条件下才能求出， 比如说：对市场构造进行严格的假设或者对投资者的效用函数进行严格的假设等等。 大多数具有实际意义的问题的解不能被精确的求解，所以我们必须通过它们的估计值 进行进行分析。既然是估计值那么一定存在误差，怎样评估误差的大小就成了一个很 重要的问题。最好的办法就是比较在估计组合策略下的期望效用与在最优组合策略下 的期望效用，但是如果投资组合选择问题最优解不能求出那么这种比较是不现实的。 但是值得高兴的是这个问题现在已经得到了充分的解决，这是一种主要采用对偶理论 解决问题的方法，这种方法会求出基于估计组合策略下的期望效用的上界，并与估计 组合策略下的期望效用进行比较，如果两者相差很小，那么这个估计值就是达到要求 的，本文就是对这种方法做更深的扩展。 以上这种方法只是考虑了投资策略而没有考虑消费策略，在本文中，我们研究即 考虑投资策略也考虑消费策略的情况下，同样也能得到理想的结果，建立更加符合实 际市场的模型给金融市场上的产品进行投资组合选择，从而使投资组合选择更能贴近 真实的预期市场，为投资者提供更加有效的决策支持。 1 2 研究现状 1 9 5 2 年，哈里马科维茨【1 1 ( h a r r ym a r k o w i t z ) 在 ( t h ej o u r n a lo f f i n a n c e ) 发表了题为 的论文，他提出的投资组合理论是现代金 融学的开端，奠定了现代投资理论的基础。投资组合理论认为投资者的效用是关于 投资组合的期望收益率和标准差的函数。一般而言，高的收益率往往伴随着高的风险， l 绪论硕士论文 任何一个投资者或者在一定风险承受范围内追求尽可能高的收益，或者在保证一定收 益条件下追求风险的最小化。理性的投资者通过选择有效的投资组合，实现期望效用 最大化。在这篇论文中，马科维茨明确提出了用收益率的均值及其方差来衡量资产 的收益和风险。在资产的收益和风险这一对矛盾的特征之间建立了数学联系，从而 开辟了金融定量分析的时代。m a r k o w i t z 的现代投资组合理论可表述为： m y e o 【u ( e lr pl ，仃( 白) ) 】 盯 e ( 名) = 乃e 【】 i - - i 其中厶( 歌) ) 是投资者的预期效用，e 1 表示风险资产i 的期望收益，仃( ) 是 第i 种资产的风险，e ( ，。) ，吠r 。) 分别表示组合的预期收益和风险，乃表示投资于风 险资产的权重。由该模型知道，投资者的投资目标就是使效用最大化，而投资者的效 用函数是由资产的收益和风险来定义的。投资的过程就是在风险资产中进行选择来使 投资者的效用达到最大。 m a r k o w i t z 虽然在理论上科学的阐明了组合投资能够规避风险的重要原理，但是， 在实际运用中，证券组合的选择和确定面临大量繁重的复杂计算，因为证券市场价格 变动十分频繁，证券价格每变动一次，为了保持投资组合能够获得一个满意和稳定的 收益与风险的关系，则整个计算程序又需要重复进行一次，这不仅使缺乏数学基础和 计算基础的投资者深感困难，即便是对具有良好的数学基础和计算基础的投资者而 言，也很是麻烦，这严重影响到马科维茨理论的实际运用。 1 9 6 3 年，马科维茨的学生威廉夏普( w i l l i a ms h a r p e ) 2 1 提出简化形式的计算方法 一单指数模型( s i n g l ei n d e xm o d e l ) ，这一模型假设资产收益只与市场组合有关，大大降 低了原来的计算量使得现代资产组合理论能够在实践中应用，解决了资本市场均衡 下的收益与风险问题。该模型表明了在资本市场达到均衡时，决定资产定价的是以贝 塔测度的系统风险，非系统风险对资产定价不起任何作用，从而提高了投资组合理论 的实用价值。然而单指数模型的意义不仅仅在于此，更重要的是为资本资产定价模型 的提出埋下了伏笔。 2 一2 “川j 0 ，1 叹 乃 乃 一 问 l = 、j 0 文 = 乃 h 硕士论文组合投资最优化问题中的策略估计 我国对现代投资组合理论的研究是从1 9 9 0 年的m a r k o w i t z 和s h a r p e 等人获得若 贝尔经济学奖时候开始的。十几年来，我国的经济学界对这一理论的研究产生出了浓 厚的兴趣，先后翻译出版了几本介绍现代投资组合的论理著作，比较早期的学者有费 方域( 1 9 9 4 ) 3 1 ，近期最具有代表性的有小詹姆斯l 法雷尔及沃尔特j 雷哈特( 2 0 0 0 ) 4 1 。同时，结合中国国情也发表了不少讨论现代投资组合理论中如何构造有效投资组 合方法的文章，从事这方面研究的专家学者有汪寿阳、李仲飞【4 】等。现代投资组合理 论在我国证券市场的实证研究直到1 9 9 6 年才出现的个重要原因是很多人认为我国 的证券市场成立之初还很不规范，存在着过度炒作和投机的问题，各种股票收益率之 间的相关程度比较高，因此运用现代投资组合理论来降低投资者风险的潜力比较有 限。但是，我们需要结合实际数据来检验这一理论在我国金融市场的有效性。发达国 家的证券市场上的各种股票收益之间的相关程度也是有的，所以我们没有必要也不 可能等到我国证券市场上各种股票的相关程度降低到发达国家证券市场的水平时再 来开始研究现代投资组合理论在我国的实际应用问题，何况根据证券市场的效率理 论。应用现代投资组合理论于实证，也是提高我国证券市场的定价效率，降低各种证 券收益率之间的相关系数的一个重要的前提。不少学者也注意到了这一点，例如施东 掣8 j 等对我国证券市场进行了实证研究。 现代投资组合理论的核心思想是把多种证券的持有看作一个整体来进行分析和 度量，把投资组合的风险分解为系统风险以及非系统风险。投资者通过持有多种证券 来分散非系统风险，从而降低整个组合的风险。现代投资组合理论的创立标志着现代 资本市场理论的诞生，但是它没有进一步说明如何为证券估价值和定价，也不能说明 投资组合期望回报率和风险之间的关系。 1 9 6 4 、1 9 6 5 和1 9 6 6 年，威廉夏普( w i l l i a ms h a r p e ) 、约翰林特纳( j o h nl i n t n e r ) 和詹莫森( j a nm o r s s o n ) 1 2 1 三人分别独立提出资本资产定价模型( c a p m 模型) ，非常 完美的解决了上述问题。这一模型是以马科维茨的资产选择理论由为依据，来进一步 探索均衡市场条件下资产的价格决定及其收益与风险间的相互关系问题，即对如下两 个问题作出解答： 1 如何正确度量某项资产的风险； 2 该风险与此项资产的预期收益间有怎样的关系； 资本资产定价模型认为，均衡市场条件下某资产的预期收益仅由其对市场的相对 风险决定，而相对风险则由该资产与市场投资组合间的协方差来加以描述，由于资本 资产定价表述简明和理论直观，迅速被证券投资业界认可和接受成为指导投资行为的 重要准则，随后资本资产定价模型在理论和实践中又不断得到发展和完善，并在测定 投资组合效绩、证券估价、资本预算等诸多方面得到广泛应用，至今已成为财务金融 领域的基本理论工具之一。 l 绪论硕士论文 1 9 7 0 年，法玛( e f a m a ) 【5 】研究了多个持有期的c a p m 模型。除了法玛之外， 还有m e a o n ( 1 9 7 1 ) 、s a m u e l s o n ( 1 9 6 9 ) 、h a k a n s s o n ( 1 9 7 0 ) 等也对此进行了不少的 研究，在f a m a 等学者的研究基础上，1 9 7 8 年，l u c a s ，m e r t o n 3 l 】等人在资本资产定 价模型的基础上提出了跨期的资本资产定价模型( i n t e r t e m p o r a la s s e tp r i c i n gm o d e l ) - i c a p m ，i c a p m 分为离散时间模型和连续时间模型两种。l u c a s 假设投资者在离 散的时间点上进行投资和消费决策，并且各期的产出量与消费量相等。该模型以投资 者的终期效用最大化为目标函数，导出资产价格与边际效用之间的关系，再结合产出与 消费的均衡关系，得到用边际效用函数表示的资产定价方程。森达礼桑( s u n d a r e s a n ， 1 9 8 5 ) 、贝尔曼( b e r g m a n ，1 9 8 5 ) 、布里斯、克劳伊和施莱辛格( b r i y s ，c r o u h y , a n d s c h l e s i n g e r , 1 9 8 8 ) 等学者放松了跨期模型的某些严格的假设条件，得到了更加符合 实际的模型。其中最具代表性的是m e r t o n 在1 9 9 0 年提出的，并经c o x 、r o s s 进一 步发展的连续时间模型，这里假设投资者连续地进行投资和消费，推导过程的本质是在 既有财富的约束下使投资者终身消费的效用达到最大，通过求解最优的消费投资方案 得到资产定价的基本方程，再结合代表投资者的间接效用函数和财富过程，解出资产的 价格。 一大类容易解决的问题是动态完全金融市场下的模型，完全市场允许我们能用鞅 方法把原投资组合选择问题转化为一个与其对应等价的静态形式。这种方法最早是被 c o x 和h u a n g ( 1 9 8 9 ) 6 1 ，k a r a t z a s ，l e h o c z k y , s e t h i ，和p l i s k a ( 1 9 8 6 ) t 7 1 提出的。这种静态 问题可以求出解析解并且适用于模拟方法。但是当一存在头寸限制或者无跨度风险时 金融市场就是非完全的，只有在很特殊的情况下这样的问题才存在精确的解，例如： k i m 和o m b e r g ( 1 9 9 6 ) t 8 】假设市场风险价格是一个仿射无跨度过程和无投资策略限 制。 这种应用在完全市场的鞅方法被很多研究者通过随机对偶理论应用到存在头寸 限制和无跨度风险的非完全市场模型。但是精确的求解很少，于是必须于数值的估计。 现在已经有很多的估值方法，比如：c a m p b e l l ( 1 9 9 9 ) t 9 l 和v i c e k a ( 2 0 0 2 ) 1 0 1 ( 1 9 9 9 ，2 0 0 2 ) 的对数线性分析估值方法，b r e n n a n 和x i a ( 2 0 0 1 ) 【1 1 】的有限微分p d e 方法。这些估 值方法存在很大的缺点一很难评价已得到的估计值的准确性。j u d d ( 1 9 9 6 ) 1 2 】指出： 这些应用在经济方面的估值方法很难具有收敛的性质，就算这种收敛性质存在也不能 保证给定的估计值的准确性。这样m a r t i nb h a u g h ，l e o n i dk o g a n ，j i a n gw a n g 提出了 一种更直接的方法，一种如何评估估计值的方法，这种方法基于c v i t a n i c 和k a r a t z a s ( 1 9 9 2 ) 【l3 】的组合选择问题中的二元公式。对于有头寸限制的投资组合选择问题，可 4 硕士论文组合投资最优化问题中的策略估计 以定义一个我们假设的、无约束的投资组合选择问题。在新的问题中，资产的价格过 程被改良了，并且新问题的最优解达到的期望效用始终是原问题最优解达到的期望效 用的上界。在特定的假设下，求解新问题所得到的上界是紧的，也就是说与原问题的 期望效用最大值相一致的。因为新问题无约束条件，所以它很容易用c o x 和h u a n g ( 1 9 8 9 ) 【6 】的鞅方法求解。 当目标函数本身不可用时，我们要评估最优策略和目标函数的估计值，就可以用 这种方法得到上界。目标就是准确的选择新假设的问题使得到的上界是紧的，显然这 种选择将以要评估的最优策略和目标函数的估计值为依据。具体的做法：第一，要用 给定的组合策略的估计值找到目标函数的估计；第二，要用目标函数的估计定义新问 题中所有资产收益过程：第三，选出新问题中最合适的资产收益过程；第四，求解这 个无约束的新问题的最优化问题。这样，新问题的目标函数给出了原先问题的目标函 数的一个上界。 1 3 本文所做的工作和结构安排 本论文的主要工作： 如上所述，这种基于对偶理论的估计组合投资策略的方法以前仅应用于考虑投资 策略的市场模型，现在本文利用同样的方法考虑具有消费策略的市场模型，得到类似 的结果。 首先，引入了具有消费的投资模型。其次，对此市场模型引入相似的对偶算法， 利用这种对偶算法评估给定的组合投资策略，得到给定的策略对应的目标函数值与最 优策略对应的目标函数值之间差距的一个上界。最后，对原不考虑消费的投资模型中 的对偶算法进行扩展，可以得到原有约束最优化问题的一个下界。 本文的结构安排： 第一章为引言部分。本章详细阐述了论文的选题背景，国内外相关的研究现状以 及存在的问题，在此基础上提出了本文所要研究的内容以及研究意义。 第二章对只考虑投资策略的市场模型进行介绍，并对以前文献中基于此市场模型 的对偶理论进行回顾。 第三章是本文最重要的部分。首先构造了含消费的投资市场模型。其次，引入基 于此市场模型的对偶算法，同时用这种方法把有约束投资组合最优化问题转化为新市 场模型下的无约束的组合最优化问题。最后，利用对偶方法估计了给定策略与最优策 略之间的差距，得到两者对应的目标函数差距的上界并用实例说明这种方法的一般步 骤。对对偶方法进行扩展即：仿照对偶算法得到问题最优目标函数值的下界，并通过 第二章中只考虑投资策略的模型进行说明。 s l 绪论 硕士论文 第四章是结论和启示部分。就本文的研究情况进行全面的总结以及展望。 6 硕士论文 组合投资最优化问题中的策略估计 2 预备知识及对偶方法的扩展 本章主要是对无消费投资市场模型及其对偶方法进行介绍，同时对此模型中的对 偶方法进行扩展。 2 1 无消费投资市场模型 本节将要介绍基于非完全市场和有投资组合限制条件下的最优投资组合选择问 题。 2 1 1 投资概率空间 考虑完全的概率空间( f 2 ，f ，p ) ，固定的时间跨度 o ，q ，其中t 是一个大于零的实数。 定义在概率空间的n 维标准布朗运动： w = ( f ) ：f 【o ，r 】，n = l ，2 n ) 由w 构造的过滤器：f = r f ：f 【o ，r 】 ，它是一个递增的r 的盯域。假设f 是完全的 即：r 。包含测度p 的零测集并且r r = r 。 金融市场m 由一种无风险债券和n 种股票组成，t 时刻无风险债券的利率为， 价格为昂。，n 种股票的价格向量为：= ( 丑t9g 9 氏) 。不失一般性我们假设这n 种股 票无红利的派发。即刻资产的收益由m 维的状态变量x 决定的。满足： d e o f = ，( t ) d tl o o = 1 ( 2 1 1 1 ) d e , = e 【作( 五) 衍+ p ( 五) d 形】 ( 2 1 1 2 ) d r , = u x ( x , ) d t + e j ( 五) d 形 ( 2 1 1 3 ) 其中：作和以分别是n 维、m 维的漂移向量，p 和x 分别是n x n ，m x n 的扩散 矩阵。设定： r ( t ) - - c ，v o f 5 t ， g p ( x ，) p ( x ，) f g 6 s l l 2 ，v ( t ，c ) a 0 ，r 】x r 其中，r 0 ，6 o 。 7 2 预备知识及对偶方法的扩展 硕士论文 r 同时要求：昂p ( s ) a s 。 0 定义一个“相对风险过程”即n 种股票的即时风险价格： 仉= - i ( 脚，一，( r ) d ( 2 1 1 4 ) i - ( 1 ，1 ) ，并且假设满足平方可积性： 2 1 2 投资组合限制条件 本文认为一个经济主体可以在时刻f 【o ，丁】做出如下的决定：第i 种股票在总资产 中a ( t ) 所占的比例乃( f ) 。显然，这个决定都由现在的信息量r ，决定的，并不包含对 未来的任何预期，同时保证经济主体的这种市场行为不会影响证券的市场的价格。当 万( f ) = ( 万l ( f ) ，和( f ) ) 确定后，可以知道4 ( f ) 1 一万 资金投资在无风险债券。 由( 2 1 1 1 ) 、( 2 1 1 2 ) 可知t 时刻财富过程a ( t ) 满足： d a ( t ) = a ( t ) z 。( f ) ( 作，d t + z d w t ) + a ( t ) ( 1 - z 。( t ) i ) r ( t ) d t ( 2 1 2 1 ) 2 r ( t ) a ( t ) d t + a ( t ) z d w o i ( 2 1 2 2 ) ， 其中：w o ，全彤+ n ，出是一标准布朗运动。 定义：1 投资策略过程：万= 万( f ) ，o t t ) r ， 一) 循序可测过程，满足 2 财富过程：给定投资策略，就能得到满足( 2 1 2 1 ) 的财富过程为：a 量a 舭，其中 a e ( 0 ，c o ) 是初始财富。 3 策略的可行性：对于初始财富a e ( 0 ，) ，满足：a 口，石( f ) o ，v o f t 的投资、消费策 略万成为可行的。所有可行的策略集万定义为已。( 口) 。 我们假设投资比例向量z ( t ) 限制在一给定的闭凸的且包含零元素的约束集合k 上， 即： z ( t ) k 8 ( 2 1 2 3 ) 凼 2 仉 rjo 昂 o 凼 2 厅 r n 川o 硕士论文 组合投资最优化问题中的策略估计 2 1 3 效用函数 定义：效用函数u 满足：u ：( o ，o o ) 一r 是严格递增连续的，严格凹的，且： v u ( o + ) 皇l i m v u ( x ) = o o 工t u v u ) 全l i r av u ( x ) = 0 ( 2 1 3 1 ) 定义：j ( ) ：( o ，o 。) 斗( o ，) 是函数v u ( ) 的逆函数，并且是连续严格递减的，满足： ( 0 + ) = 0 0 ，i ( o o ) = 0 ( 2 1 3 2 ) 定义：u ( x ) 的l e g e n d r e - f e n c h e l 变换： u 全m a x u ( x ) - x y 】= u ( ，( y ) ) 一y 1 ( 少) ，0 y u 痧是严格递减、严格凸函数，并且满足： u ( ) ，) = 一1 0 , ) ，0 y o o 重要的不等式： u ( x ) 皇m i n u ( x ) + x y 】= u u ( x ) ) + 用u ( x ) ，0 o 都满足，( 2 1 3 3 ) 和( 2 1 - 3 4 ) 可由( 2 1 3 1 ) 、( 2 1 3 2 ) 直接 得到。在此模型中要用到如下效用函数： 计算期末财富的效用函数u ：( 0 ，o o ) 专r 。 2 1 4 目标函数 对于可行的策略集z 。( 口) 中的可行策略( 石) ，则总的期望效用： ，( 口；万) 全昂叽( 彳口石( 丁” ( 2 1 4 1 ) 定义集合z 0 ( 口) = 万z o ( 口) ：e o u ；( a 叩( r ) ) ) ( 注：x 一= m a x ( - x ，0 ) ) 。 基于此模型的约束最优投资组合选择问题( b ) 定义为： 9 2 预备知识及对偶方法的扩展 硕士论文 v ( a ) 全s u p ，( 俄万) ，a ( 0 ，0 ( 2 ) 厅( 口) s t 犯，= 蜀f ，( t ) d t= l 犯= 只 ( 五) 出+ ，( 置) d 彬】 a x t = 以( 置) a t + z 工( 置) d 形 幽( r ) = 么o ) 万( f ) ( 心，a t + y , d w t ) + a ( t ) ( 1 - z ( t ) i ) r ( t ) d t 其中z ( 口) 全 ( 刀) z i o ( 口) ：万( f ，w ) k ) ，k 是( 2 1 2 3 ) 定义的集合。 2 2 对偶算法 对偶算法的思想是：通过定义在投资策略集合k er 上的线性函数占( ) 得到原空 间r 的对偶空间，并且在得到的对偶空间中找到满足一定条件的集合d 。任何v d ， 都可以得到相对与原市场模型的新的假设的市场模型，并且使原市场模型下的有约束 最优化问题与新市场模型下的无约束最优化问题存在一定的联系，在这里随机过程 v ) 起到的作用跟约束最优化问题中的拉格朗日乘子所起的作用是一样的。这种方法 是c v i t a n i c ，k a r a t z a s ( 19 9 2 ) t 1 3 】和s c h r o d e r , s k i a d a s ( 2 0 0 3 ) 【1 7 1 提出的。 2 2 1 投资策略限制集k 上的支持函数 给定一非空的、闭凸投资策略限制集合k er ，定义在凸集k 上的支持函数： 万( x ) 会s u p ( 一 。x ) ：r 一乏u + 。o ( 2 2 1 1 ) z e k 支持函数的有效域：云全 x r n 。万( x ) = x r ：j 酞，一万x ，v 万k ) ( 2 2 1 2 ) 有效域是一个凸锥，而且万( x ) 在有效域上是连续的。 支持函数满足的性质： 1 非负同质性：8 ( a v ) = 口万( 1 ，) ，v ver n , 口0 。 2 次可加性：8 ( v + r 1 ) 8 ( v ) + 8 ( r ) v v ，r r 。 3 万k 8 ( v ) + t r 。v 0 ，v 1 ，k 。 4 有界性：万( v ) q o ，v ver n , j 鲕r 。 1 0 硕士论文组合投资最优化问题中的策略估计 注：当集合k 包含零点，那么性质4 满足，且可以使氏= 0 。 2 2 2 新市场模型及其无约束最优化选择问题 假定7 l = v = ( v ( f ) ，o f d ：1 ，( ，) r ，v 是 l 循序可测过程 ，此空间上定义范 数：i i v i l 2 ： e oj l l v ( t ) 8d t o o 。如果再定义内积：“，v 2 ) 皇岛n ( f ) v ：( t ) d t ，空间壳是 一h i l b e r t 空间。 定义：r r - 可适的、r 上的过程集。：。全 v 壳：昂了巧c v c 功讲 o 。) ， 其中，万( ) 是( 2 2 1 1 ) 定义的支持函数。 显然有：任何v d ，可推断出：v ( t ，w ) k 。 对于给定的1 l ，d ，我们可以得到一个新的金融市场模型坂，同样也有一种无风 险债券，n 种可交换的股票，但在新的市场中这些证券的价格过程都发生了相应的变 化： d 昂，“= 蜀f 【，( f ) + 万( h ) 】a r t ： 昂= 1 ( 2 2 2 1 ) d e ”= 【( 作( z ) + ，o ) + 跃v ( t ) ) d t + z p ( 置) d 彤】 ( 2 2 2 2 ) 新市场模型下的风险市场价格、无风险收益率分别为： t i t v = z - , l 【+ 1 ，o ) + 万( 1 i ，( ，) ) ，一( + 万( 1 ，o ) ) ) ，】2 仇+ e - p iv ( t ) ( 2 2 2 3 ) r y o ( o ( t ) 皇e x p 一f ，( s ) + j ( v ( s ) ) a s ( 2 2 2 4 ) 0 在新币场f 的! i ! 才酉过程满足： 以( ”( f ) = 4 v ( ，) 刀 ( 心，+ v ( ，) + 万( v ( f ) ) ) 衍+ p fd e ) + 彳7 ( r ) ( 1 一万：，) o o ) + 万( k ) 出 = 队r ) + 万( k ) 彳9 ) 出+ 彳( t ) z c 。d v = ，( f ) 4 ( t ) d t + 4 o ) 万( ，( f ) ) + 万：v 9 ) 出+ 4 o ) 刀p ，d 4 ( ) ( 0 1 ：a ( 2 2 2 5 ) 2 预备知识及对偶方法的扩展 硕士论文 f 其中：，v 垒形+ p ，y 出。 o 同样定义新市场鸩的可行策略集：z 。( 口) = 万：4 ”( f ) o ，v os t - - - o o ， 其中，艿( ) 是( 2 3 1 ) 定义的下支持函数。 对于给定的，d ，我们同样得到一个新的金融市场模型m ，且在新市场中，无 风险利率与风险证券的期望收益率都发生了变化： 厂7 ( ，) = ，( f ) + 6 。( v ：) ( 2 3 2 ) v ( 置) = 口( t ) + ( f ) + 万( v ( t ) ) ( 2 3 3 ) 从而在新的市场中这些证券的价格过程都发生了相应的变化： 犯。( v ) = 昂f ( f 【，( f ) + 万( 1 ，。，) 】出：l o v ! = 1 ( 2 3 4 ) 妲7 = 只” ( p ( 置) + v 。( f ) + 万。( v 。( t ) ) d t + z p ( 五) d 形】 ( 2 3 5 ) 那么新市场模型m 。下的风险市场价格与无风险利率分别为： 2 预备知识及对偶方法的扩垦 一璺兰兰苎 _ - 一 1 7 t ( ，) = 甜t p ，+ v ( f ) + 跏。( f ) ) j 一( + 踟( f ) ) ) 川5 仉+ ：1 ，( f ) 在新市场m 下的财富过程满足： v d a ( f ) ：4 ( v 。( f ) 万： ( 肼+ v ( f ) + 万( v ( f ) ) ) 击+ p ，d 形) + 彳”( ，) ( 1 一万：，) o o ) + 万。( v r ) a t ：( ，o ) + 万。( v ，) 彳( v i o ) 1 出+ 4 ( v ( f ) 石。p d r v o 。( v ) ：r ( r ) ( f ) 出+ ( f ) p ( v ( f ) ) + 万：v 。( t ) l a t + ( f ) 万。a w o 。 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 其中，彳( ( 0 ) ：口 ( 2 3 8 ) 同样定义新市场鸭的可行策略集：z ) 。= 万：4 。沁) o ，v o f 丁 ， 那么，新市场m 下的无约束最优化问题巧可定义为 v o ( v 。) ( 口) 全s u p e o ul ( 彳( v ) 口万( 丁) ) 石ez ( ) o 旺 蛾，( 小= 昂f ( v 。【，( f ) + 万( 1 ，f ) 】d t ； e o ( o = 1 鸩v i ) = ( p ( 置) + i ，。( f ) + 艿( v 。( t ) ) d t + x p ( x ，) d 形】 以( ) = ，( f ) 彳( ) d t + ( f ) 1 8 ( v i ( f ) ) + z 1 ，( ，) 疵+ ( f ) 万a w o r 其中a ( 0 ，o o ) 。 注：由( 2 1 2 1 ) 、( 2 3 8 ) 知： 幽( ”( f ) 幽( ，) 4 ( v 。o ) 彳( f ) = 【r ( t ) d t + 陬v ( ，) ) + z 1 ，。( t ) l d t + 万a w o ，卜出+ 7 r 。p fa w o r 】 = 万。( v ( f ) ) + 万：v ( t ) l d t 。 由定义( 2 3 1 ) 可知：若石k 上式为非正值。那么， a ( t ) 么( ”o ) 0 ，v o r 丁， 1 4 、-、j 凼 、-l， 、j、j s ，l v ，l 万+ 、j j ，、 r ，jl r r j 0 一 ，i 即 e 尘一d ，l “ 硕士论文 组合投资最优化问题中的策略估计 也就有： v ( 口) v o ”( 口) ，v v d 。 如果满足一定的条件，可以在原市场模型一系列目标函数的下界中找到上确界： 定理2 3 ：对于某些旯。d 。，如果满足：刀( ( f ，w ) k ( 2 3 9 ) 万。( 兄o ，们) + 万( 旯) 。o ，川旯。0 ，川= 0 ( 2 3 1 0 ) 那么万( 五) z ( 口) 是原市场模型下的问题( p ) 的最优解，并且有： 昂睁a 归。， wd 证明：对于( 2 3 8 ) ，让v 。暑见。，并有( 2 3 9 ) 、( 2 3 1 0 ) 得到： d d ( a o ) ：r ( t ) d a ( f ) 衍+ 彳五( t ) r c a 。口fd f ， a ( 五( o ) ：口 ( 2 3 1 1 ) 上式跟( 2 1 2 2 ) 比较，可知：4 ( 五。( f ) 是在原市场模型下策略石( - ) 对应的财富过程， 从而万( z ) z 。c a ) ，即名小o 名( 口) 。 同样，由于( 2 3 9 ) 且( 2 3 1 1 ) 可得： 名( 口) 名( 小。 再由上一节的结果：y ( 口) v o ( 口) ，v 1 ，d 。 这就证明了万( z ) 是原市场模型下的约束最优化问题的解。 另一方面，固定任何的v ，定义么v ( a ) 兰彳y 口 万a 。是在市场模型以下策略 石( 一) 对应的财富过程。那么( 2 3 8 ) 式可以写成： 彬砸) = ，( f ) ( f ) 班+ 4 ( f ) 万( v 。) ) + 万( 1 ：v ( f ) 出+ 4 歹) ( f ) 万( a ) d w o ， 彳。( 五( o ) = 口 上式与( 2 3 1 1 ) 比较得： 得到：彳五( ，) 管( f ) o ，v t 0 ，丁】， 1 -1 因此：岛iu ( 占q ) i v o ( 7 ( 口) v v 。ed 。 3 含消费模型的构造及最优解估计硕士论文 3 含消费模型的构造及最优解估计 本章是本文的主要内容，主要工作是：在具有消费的投资市场模型中通过利用对 偶方法估计给定的策略与最优策略的差距。 3 1 含消费的投资市场模型 含消费的投资市场模型只是在原第二章提到的投资市场模型m 中考虑了消费策 略，为简洁起见，本章模型中涉及的符号除特别说明外都与第二章提到的一样。 本文假设一个经济主体在时刻r 【o ，丁】不仅可以做出第i 种股票在总资产中a ( t ) 所占的比例乃( f ) 的决定，即投资策略，同时也可做出用c ( d 0 花费在消费上的决定， 即消费策略。同样这两个决定都由现在的信息量r ，决定的，并不包含对未来的任何 预期而且这两种市场行为不会影响证券的市场的价格。 金融市场m 同样也由一种无风险债券和n 种股票组成，t 时刻无风险债券的利 率为，价格为晶，n 种股票的价格向量为：e = ( 毋，) 。即刻资产的收益由m 维的状态变量z 决定的。无风险债券价格过程、股票价格过程、状态变量过程分别 满足等同于( 2 1 1 1 ) 、( 2 1 1 2 ) 、( 2 1 1 3 ) 的式子： d p o ，= p o f ，( t ) d t= 1 ( 3 1 1 ) 妲= ( 置) d t + x p ( 五) d 形】 ( 3 1 2 ) 鹕= 以( 置) d t + x ，( 五) d 形 ( 3 1 3 ) 定义：消费策略过程：c = c ( f ) ：o f 丁，c ( f ) o ) ，是 r 0