（机械设计及理论专业论文）yk20100型数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴系统热特性分析.pdf

摘要 机床主轴系统的热变形是影响机床加工精度的主要原因之一，机 床主轴系统的热特性设计在机床设计中占据重要地位，本文以中大创 远数控装备有限公司新开发的y k 2 0 1 0 0 型数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴 系统为研究对象，以大型有限元分析软件a n s y s 作为分析工具，对其 热特性进行研究。主要研究内容、方法、创新点如下： 1 建立机床主轴系统零件和组件的三维c a d 模型，并对有限元网 格划分和接触面之间的接触热阻进行了研究，在此基础上建立起热特 性有限元分析模型。 2 在分析机床主轴系统主要热源和边界条件的基础上，对机床主 轴系统温度场进行分析，得到系统达到热平衡的时间为3 h ，最大温升 为1 5 7 3 2 。c ，并将分析结果与实验测量值进行比较，证明建立的有限 元分析模型和选取的边界条件是合适的。 3 在确定约束条件和热载荷的基础上，对机床主轴系统的热变形 进行分析，得到主轴前端的轴向伸长为1 0 7 7 9 p m ，并计算了机床主轴 头部的端面跳动和径向跳动，分别为0 3 2 w n 和1 6 4 m n 。 4 在分析主轴系统温度场和热变形的基础上，对机床主轴系统进 行结构优化设计，采取将主轴箱前部改成肋板式结构的方法，在计算 机虚拟环境下实现了主轴系统热特性优化设计的目标。 5 分析了散热筋板的位置和形状对散热效果的影响：应将筋板 尽可能靠近热源；应尽量将筋板做成与空气接触面积最大的形状；当 筋板的高度达到一定值后，再增加其高度，散热作用增加较小，应改 为增加筋板数量。 关键词：主轴系统，有限单元法，温度场，热变形，结构优化设计 a bs t r a c t h e a td e f o r m a t i o no ft h em a c h i n et o o ls p i n d l es y s t e mi so n em a i n r e a s o nw h i c ha f f e c t st h ea c c u r a c yo ft h em a c h i n i n g ，a n dt h eh e a td e s i g n o ft h em a c h i n et o o ls p i n d l es y s t e mp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nd e s i g no f t h em a c h i n et 0 0 1 i nt h i sp a p e r , u s i n gt h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r e a n s y s t h et h e r m a lc h a r a c t e r i s t i co ft h es p i n d l es y s t e mo fy k 2 0l0 0 c n cs p i r a lb e v e lg e a rg r i n d e rw e r ea n a l y z e d t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t i nt h i sp a p e ri sl i s t e da sf o l l o w s ： 1 t h ec a dm o d e lo fp a r t sa n da s s e m b l yo fs p i n d l es y s t e mo f m a c h i n et o o li sb u i l t t h ef i n i t ee l e m e n tm e s ha n dt h et h e r m a lc o n t a c t r e s i s t a n c eo fi n t e r f a c e sa r ed i s c u s s e da l s o t h e nt h et h e r m a lc h a r a c t e r i s t i c f i n i t ee l e m e n tm o d e lo fs p i n d l es y s t e mi sb u i l t 2 t h em a i nh e a ts o u r c ea n db o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h es p i n d l e s y s t e mo fm a c h i n et o o l i sa n a l y z e d ，t h e nt h et e m p e r a t u r ef i e l di sa n a l y z e d ， t h et i m ew h i c ht h es p i n d l es y s t e mr e a c ht h et h e r m a lb a l a n c ei s3h o u r s ， t h et e m p e r a t u r ei n c r e a s ei s15 7 3 2 。c b yc o m p a r i n gt h ec a l c u l a t i o nr e s u l t w i t he x p e r i m e n tr e s u l t t h ef e a s i b i l i t yo f t h em o d e l i sv e r i f i e d 3 b a s e do ne n s u r i n gt h er e s t r i c t i o na n dh e a t1 0 a do ft h es p i n d l e s y s t e mo fm a c h i n et o o l 。t h et h e r m a ld e f o r m a t i o ni sa n a l y z e d ，t h er a d i a l d e f o r m a t i o no ft h es p i n d l eh e a di s10 7 7 9 p m ，t h ee n df a c er u n o u ta n dr a d i a l r u n o u to ft h es p i n d l eh e a di s0 3 2 p r oa n d1 6 4 p r o r e s p e c t i v e l y 4 b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h e r m a lf i e l da n dt h e r m a ld e f o r m a t i o no f t h es p i n d l es y s t e m ，s t r u c t u r eo p t i m a ld e s i g no ft h es p i n d l es y s t e mo f m a c h i n et o o li sc a r r i e do u tb yr e p l a c i n gt h ef r o n to ft h es p i n d l eb o xw i t h f i b b e ds l a bs t r u c t u r e 1 1 1 et h e r m a lc h a r a c t e r i s t i co ft h es p i n d l es y s t e mi s i m p r o v e ds u c c e s s f u ll y 5 t h ei n f l u e n c eo fp o s i t i o na n ds h a p eo ft h er i b b e ds l a bt o h e a t e m i s s i o na b i l i t yi sa n a l y z e d ：t h er i b b e ds l a bs h o u l dn e a rt h eh e a ts o u r c e ； t h ea r e at h e r i b b e ds l a bc o n t a c tw i t ha i rs h o u l dm a x i m i z e d ；w h e nt h e h e i g h to ft h er i b b e ds l a bi sl a r g ee n o u g h ，d o n ta d dt h eh e i g h t ，b u ta d dt h e n u m b e ro ft h er i b b e ds l a b k e y w o r d s ：s p i n d l es y s t e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t e m p e r a t u r e f i e l d ，t h e r m a ld e f o r m a t i o n ，s t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nd e s i g n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 日期：年一月一日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：导师签名日期：年一月一日 中南人学硕士学位论文第1 章绪论 1 1 课题来源和研究意义 1 1 1 课题来源 第1 章绪论 本论文的主要研究内容来源于国家重点基础研究发展计划( 9 7 3 计划) ：数 字化制造基础研究( 编号2 0 0 5 c b 7 2 4 1 0 0 ) 。该项目主要研究高性能复杂曲而数字 化精密加工的新原理和新方法。 本文以降低主轴系统热误差，提高机床加工精度为目的，主要围绕y k 2 0 1 0 0 型数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴系统的温度场、热变形、热特性结构优化设计等问 题展开理论和实践研究。 1 1 2 研究意义 机械制造业肩负着为国民经济各部门提供各种技术装备的任务，是国民经济 各部门赖以发展的基础，而机床工业则是机械制造业的基础，一个国家机床工业 的技术水平在很大程度上标志着这个国家的工业生产能力和科学技术水平，所以， 机床工业在国民经济现代化建设中起着重要的作用。高速、高效、高精度是当今 机床的主要发展趋势，相应的对机床的各项性能的要求也越来越高，通常通过提 高三大刚度( 静刚度、动刚度、热刚度) 来改善机床的工作性能。就机械加工而言， 尤其是现在的高速切削机床中，随着机床转速和零件表面加工质量的提高，切削 深度和走刀量一般来说都比较小，因而切削力也不大，所以机床受力变形对加工 精度的影响也不大，与热变形相比处于次要地位。大量的研究表明，影响高速机 床加工精度的主要因素是热误差，约占机床总误差的3 0 7 0 【l j ，而主轴部 件的热变形误差又是引起机床热变形误差的主要因素，因此，对主轴系统进行热 特性分析与设计对提高和保证机床的精度至关重要，是高速高精度机床必须要考 虑的关键技术之一。 就数控螺旋锥齿轮磨齿机而言，由于它把机械的复杂性转移到软件上，实现 了螺旋锥齿轮的信息化制造，其应川范围迅速扩大，地位也变得越来越重要，但 在国内几乎还是进口产品独占市场。2 0 0 2 年，参照进口产品，中南大学机电工 程学院研制出了y k 2 0 4 5 型螺旋锥齿轮磨齿机l z l ，但某些性能与国外产品相比还 有一定差距。冈此，如何提高主轴系统的热性能，降低热误差，从而提高机床的 加工精度和稳定性已成为一个重要问题。 中南人学硕士学位论文第1 章绪论 为了在现有产品的基础上，开发出性能更加完善的数控磨齿机，缩短产品开 发周期，降低开发成本，本课题的主要任务是在设计阶段采用有限元法完成数控 磨齿机主轴系统的热特性分析，并对其进行热特性结构优化设计，以期达到降低 主轴系统热误差，提高机床加工精度的目的。 1 2 数控螺旋锥齿轮磨齿机简介 数控螺旋锥齿轮磨齿机是一种涉及到机械设计、液压传动、气动等传统技术， 以及计算机、自动控制、信息技术、数学和齿轮啮合原理、多自由度数控联动等 很多前沿技术的高科技产品，设计难度非常大，目前只有美国和德国能够大批量 生产。 数控螺旋锥齿轮磨齿机去掉了传统机械型磨齿机的一切凸轮、鼓轮和所有的 调节环节，无内联系机械传动链，用计算机直接控制3 个直线轴、3 个转动轴联 动就能磨削各种螺旋锥齿轮。 上世纪8 0 年代，美国格里森公司率先研制出六轴五联动的数控铣齿机，后 来又研制成功与数控铣齿机结构基本相同的数控磨齿机，采用金刚滚轮修正砂 轮，可以高效高精度地磨削圆弧收缩齿的螺旋锥齿轮。德国克林贝格 ( k l i n g e l n b e r g ) 公司收购了瑞士奥利康公司的锥齿轮机床部分和德国w i n n e r 公司研制的数控磨齿机技术，使它和格里森成了世界上能生产螺旋锥齿轮数控铣 齿机和数控磨齿机的两家公司。2 0 0 2 年，中南大学研制出y k 2 0 4 5 型数控螺旋锥 齿轮磨齿机，使我国成为世界上第三个能够生产这种高精密机床的国家。该机床 的成功研制打破了外国的技术垄断，填补了国内空白，是我国高精度数控机床领 域的一个新突破。 1 一z 轴 2 一x 轴 卜y 轴 8 _ c 自i 9 一b 轴 1 m a 奢 图卜1数控螺旋锥齿轮磨齿机简图 数控磨齿机的出现是螺旋锥齿轮加工技术的一场革命，把螺旋锥齿轮加工技 术从机械自动化提高到了信息自动化的水平，它代表了螺旋锥齿轮加t 的方向。 r f l 南人学硕士学位论文第1 章绪论 要掌握数控螺旋锥齿轮磨齿机设计、制造的核心技术，还需做大量的研究工作。 磨齿机的主轴系统如图1 - 2 所示，包括主轴、传动齿轮、轴承、法兰盘、砂 轮卡盘，主轴为阶梯轴。齿轮为m = 4 ，z = 4 6 的圆柱齿轮，由一个2 2 k w ，转速为 1 5 0 0 r m i n 8 0 0 0 r m i n 的s i m e n s i p h 7 电机驱动，前后支承均为s k f 7 0 2 8 c d p 4 a 轴承，前支承为3 个，后支承为2 个。 主轴系统所受外力主要是磨削力和驱动力。在磨削加工时，沿砂轮径向磨削 力毋大于切向磨削力尼，当工件材料是淬火钢时，毋尼= 1 9 2 6 ，参考相 关文献，毋的计算公式为1 3 l 【4 l ： 砂= 9 8 l o ( 芸) ( z b v ) t a n 口 ( 卜1 ) 二 式中：c f 切除单位体积的切屑所需要的能耗，k g ( s 2o m m ) ； 工件速度，m s ； f 每分钟径向进给，m m ； b 磨削宽度，m m ； 口磨粒锥顶半角，。； ，电轮速度，m s 。 参考文献 5 6 可得p v = 2 8 8 n ，f = 1 5 0 n 图1 - 2 磨齿机主轴系统结构简图 1 3 机床主轴系统热特性研究综述 近年来，国内外学者在主轴系统热特性研究方面做了大量卓有成效的工作， 有力地推动了机床事业的发展。l u n d b e r g 和p a l m g r e e n t 7 j 通过试验研究提出的计 算轴承摩擦力矩的经验公式，一直是计算轴承摩擦热的基础。l oc h i h h a o l 8 】等 对车削加工中心热误差实时补偿进行了研究，提出了柔性误差测量方法和优化温 度变革选择过程，克服了按确定的坐标确定元件误差和从大革温度传感器中做部 分选择的难题。1 9 7 9 年，a r t i a l 9 1 研究了“接触而热阻一载荷热应力”沿时间变 化的闭环相互作用的理论，为深入探讨机床热变形，提供了新方法。k i ml t o l 等 中南人学硕士学位论文第1 章绪论 人分析了轴承发热对主轴系统刚度的影响。1 9 9 3 年，佛罗里达大学w e i g u o z h a n g 博士l l l j 建立了一个高速角接触球轴承生热模型，并用实验做了验证。1 9 9 8 年， 韩国学者j i nk y u n gc h o i 等人1 1 2 i 用有限元软件a n s y s 分析了五轴加工中心的主 轴一轴承热态特性，分析结果与实验所得数据接近，该研究表明，如果选用合适 的传热系数，有限元法是主轴系统热特性分析的合适工具。1 9 9 9 年美国普渡大 学的b e r n db o s s m a n n s 和j a yft u 教授【1 3 i 用有限差分法，建立起电主轴的热分 析模型，分析高速电主轴的能量分布，热传导等热性能。2 0 0 1 年印度学者vpr a j a 等人1 1 4 1 分析计算了高速主轴的轴承摩擦发热，并用有限差分法及有限元法估算 了主轴部件的温度分布。文献 1 5 提出机床主轴系统热特性的热闭环概念，已建 立带滚动轴承的机床主轴系统的热特性的动态仿真模型。文献 1 6 提出一种用于 高速主轴冷却系统设计的新的固流耦合计算方法。o k u y a m a 等人1 1 7 1 ，通过实验测 量了在平面研磨机工作过程中，砂轮主轴和工作台的相对热位移，结果分析表明 瓯方向的主要热变形是由液压油温度升高引起的，并使用有限元方法对研磨机 的热变形进行理论研究，理论结果与实验结论相一致，最后，提出了用降低油温 的方法来补偿热位移，结果表明点，方向的热位移减少了3 0 。m o r i w a k i 等人卅通 过实验和有限元方法研究了由于环境温度变化引起的热变形对加工中心的影响。 美国学者提出一种同时使用热膨胀系数是铁两倍的铝和镍合金钢，以消除主轴热 膨胀而引起的误差【1 9 1 。日本和西德的一些学者还提出了由于温度变化引起热变 形的“热刚度”概念，并将其与静刚度、动刚度结合在一起进行研究。 我国在上世纪五十年代就开始了机床热变形的研究，当时的大连工学院在一 台内圆磨床上定程磨削一批零件并进行测量，应用统计法对零件尺寸误差进行分 析，发现机床热变形是引起零件加工误差的主要原因。2 0 世纪六七十年代，北 京机床研究所，上海机床厂等单位对热变形做了大量研究工作，浙江大学等院校 和科研单位对机床热态几何精度超差问题进行了攻关。此后，许多学者继续在热 特性分析方面做过许多深入的研究，洛阳轴承研究所的杨启威1 2 0 l 用热流网络法 分析轴承系统温度场，并开发了一个叫s y b t e m 的计算程序。赵宏林1 2 1 1 通过实验， 对机床中的某些结合面热阻给出了拟合公式，并提出了虚拟扩张单元用于接触热 阻的有限元研究。浙江大学的蒋兴奇f 2 2 l 等人分析了高速精密角接触球轴承的发 热特性和热传递特性，并对电主轴的发热与热传递特性进行了计算。文献 2 3 计算了单点锥体接触模型的接触热阻，并在某些假设的基础上推导出多接触点接 触热阻的算法。郭策1 2 4 l 首次将热变形的研究扩展到了机床整机系统，通过对整 机热源的确定，计算出整机的温度场分布及整机的热一力结构耦合变形，并依据 主轴头部跳动量的人小变化，来判明机床整机的热变形对机床加工精度的影响程 度。清华大学1 2 s 在测量主轴热误差的基础上，用逐步回归方法建立了多元线性 4 中南大学硕士学位论文第1 章绪论 回归模型，为机床的设计与制造提供了参考依据，也为机床的误差补偿提供了模 型。天津大学1 2 6 1 提出一种基于主轴转速的机床热误差状态方程模型。广东工业 大学1 2 刀用有限元法完成了电主轴的热特性分析。浙江大学【2 8 1 根据相变材料的特 性，提出将相变材料注入到机床基础件中，可在一定范围内消除基础件的热变形。 吉林省机电研究设计院 2 9 1 利用自准直原理设计新型导轨磨床，这种方法可基本 消除由于环境温度变化引起的基础件的热变形。通过计算机对机床现实环境的模 拟，进行结构优化设计，也是一种提高加工精度的有效途径，浙江大学1 3 0 l 对弹 性热接触问题用有限元方法进行研究，而且对有限元系统进行开发，并应用于 t k a 6 9 1 6 数控落地铣镗床的结构优化上，取得了一定的成果，但它是以数控落地 铣镗床为原型，对机床结构经过适当简化，在按5 ：1 的比例缩小的模型上进行 实验验证和分析的，所以并不能真实的反映机床工作时的实际情况。北京机械工 业学院1 3 1 1 对五轴加工中心进行开发，采用大型通用软件a n s y s ，对机床主要部件 进行运动学、动力学和热力学分析，取得了一定的成效。 图1 - 3有限元分析流程图 现在的机床丰轴系统丰要分为两大类，类是把驱动电机装在丰轴箱内，电 机转了和土轴同轴的电土轴，电土轴由于去掉了一切中问传动装置，真正实现了 零传动，减少了传动误差和传动过程中效率的损失，冈此，其精度和效率都很高， 中南大学硕士学位论文第l 章绪论 电主轴以其惯性小、动平衡性能好、振动和噪声小等特点成了高速主轴的代名词， 电主轴一般都自带冷却系统，但由于把电机直接安装在主轴箱内，主轴高速旋转 时，会产生大量的热，因此，如何较好的控制电主轴的温升，改善其热特性已成 为电主轴研究领域的关键技术；另一类主轴系统的回转部分由没有冷却系统的主 轴、轴承等部件组成，此类机床的主轴高速回转，在机床中产生大量的热，是机 床的主要热源之一，其产生的热变形对加工精度有很重要的影响。本课题研究的 数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴系统是属于第二类自身不带冷却系统的主轴系统。 研究机床主轴系统热特性的主要任务就是分析和计算主轴系统的热源、温 升、温度场和热变形，采用的主要方法有解析法和数值法。解析法的求解过程往 往很复杂，有时求不出解，因此在工程实际中应用比较少。数值法是一种以离散 数学为基础、利用计算机作为计算工具的计算方法，它求出的结果虽然不如解析 法精确，但在很多复杂的情况下能求得令人满意的结果，因而在工程实际中应用 较广，随着计算机技术的发展必将得到更为广阔的应用。 有限元法是常用的数值解法，其基本思想是把欲求解物体的随时间和空问连 续分布的温度离散为在时间域和空间域的有限个点的温度值，然后求解，用这些 离散点的温度去逼近物体的温度场。利用有限元法分析工程问题的常用步骤见图 1 - 3 。 研究机床主轴系统热特性的目的是为了掌握系统的温度场分布情况和热变 形情况，从而采取有效措施减小机床主轴系统的热误差，提高加工精度，减小机 床热误差的方法主要有以下几种【i l ：改进机床的材料和设计：控制机床主要部件 的温度变化：建立机床温度场与热误差之间的数学模型，通过软件预测误差的大 小，并进行补偿。 1 4 研究思路和研究内容 1 4 1 研究思路 本论文以国家晕点基础研究发展计划“数宁化制造基础研究”为依托，以降 低数控螺旋锥齿轮磨齿机丰轴系统的热变形和提高机床的加t 精度为目的，基于 传热学、热弹性力学、有限单元法等理论，对磨齿机主轴系统的热特性进行深入 研究，研究思路如图卜4 所示。 6 中南大学硕士学位论文第1 章绪论 1 4 2 研究内容 图1 - 4 论文研究思路 本课题以y k 2 0 1 0 0 型数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴系统作为研究对象，通过对 磨齿机主轴系统采用有限元分析软件a n s y s 进行热特性分析，a n s y s 是一个广为 应用的工程有限元分析软件，其原理是用有限元法将所研究的系统转化成有限元 系统，该系统由若干节点组成，以代替原系统，完整的有限元模型除了节点外， 还包括边界条件，如约束条件和负载等。把计算机辅助工程分析应用于数控机床 的设计，可以使y k 2 0 1 0 0 型磨齿机的性能进一步改善，使设计制造工作建立在科 学理论基础之上，满足高速、高效、高精度、低成本等现代设计要求。本课题的 主要研究内容和方法如下： 1 对y k 2 0 1 0 0 型数控螺旋锥齿轮磨齿机的主轴系统( 包括主轴、驱动齿轮、 轴承、法兰盘、砂轮卡盘等切削加工时和主轴一起旋转的部分) 的实体模型进行 适当简化，忽略螺孔等细小局部的影响，根据实际结构情况，将丰轴系统简化为 前端固定、后端滑动的简支梁结构。在p r o e 巾建立数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴 系统的c a d 模型，再将其传到有限元分析软件a n s y s 中得到主轴系统的几何模型， 然后划分网格，从而建立起机床主轴系统热特性分析的有限元模型。 2 机床主轴系统的温度场分析。主轴系统热特性很重要，已成为进一步提高 切削速度和加工精度的主要制约因素，要研究机床热特性，必须先确定其温度场。 中南大学硕士学位论文第1 章绪论 为此，分析机床主轴系统的热源，计算发热量，确定热量传递方式与边界条件， 用a n s y s 软件计算出机床主轴系统瞬态温度场和稳态时的温度场分布，并将数控 螺旋锥齿轮磨齿机主轴系统的温度场分布与试验对比。 3 机床主轴系统的热变形分析。主轴的热变形是影响机床加工精度最主要也 是最直接的因素，以a n s y s 通用有限元分析软件为工具，把主轴系统达到热平衡 时的温度作为热载荷加到有限元模犁上，结合主轴系统的约束，计算主轴系统的 热变形，并将机床主轴头部的径向跳动和端面跳动作为标准，以确定主轴系统热 变形对加工精度的影响程度。 4 对丰轴系统进行热特性结构优化设计，改善主轴系统的散热状况，使系 统的温升降低，主轴头部的径向跳动量和端而跳动量有效减小，从而改善机床的 加工性能。 中南大学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 对机床主轴系统进行热特性有限元建模是进行热特性分析的基础，包括建立 理论模型和数字化的模拟模型。本章首先介绍机床主轴系统热特性分析所涉及到 的温度场和热变形的基础理论和有限元理论，然后介绍通过有限元分析软件 a n s y s 建立有限元模型的关键步骤，最后建立起数控螺旋锥齿轮磨齿机主轴系 统的有限元模型。 2 1 温度场计算的有限单元法 2 1 1 热传导的理论基础3 2 1 1 3 3 1 1 3 4 i 1 温度场和温度梯度 在某一瞬时内，物体内各点的温度分布情况，就是温度场。一般情况i - ，物 体的温度分布是空间和时间的函数，即 t = 丁( x ，y ，z ，t )( 2 一1 ) 式中：x , y ，z 空间直角坐标； 下时间坐标。 物体的温度场分两类：一类是物体内的温度分布与时间无关，只是空间坐标 的函数，这种温度场称为稳态温度场：另一类是随时间改变的温度场，称为不稳 定温度场或瞬态温度场。将物体内温度相同的点连接起来，就形成了等温线或等 温面，不同的等温线或等温面在物体内不相交，并且热量只能沿着不同的等温线 或等温面传递。将等温线或等温面上任意一点的法线方向的温度变化率定义为温 度梯度，即： g r a d t ：_ o t( 2 2 ) 温度梯度是矢量，在空间直角坐标系中，可以表示为： i a t ：娶口+ 竺+ o _ 。2 y ( 2 - 3 ) c o s oi 一2 _ = 口+ + 。 y o n0 xu - v _ c o so z c o s 式中：口，y 等温线或等温向上任意一点的法线方向与x ，y ，z 轴的夹角。 温度梯度也是空间坐标的函数，构成了温度梯度场，但是和温度场不同，它 是一个矢量场。 2 傅立叶定律 9 中南大学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 热量在物体内部或者物体之间的传递，是因为在向量空间存在温差，热量沿 温度高的方向向温度低的方向流动。在各向同性的导热物体中，通过单位面积的 热量正比于该导热面积法向温度变化率，即 q = - 七娑 ( 2 4 ) 式中：g 热流率，m 2 ； 七导热系数，w ( m c ) ； 产嘞体的温度，。 当物体在各方向上的导热系数不同时，有 七孥：屯娶c o s g l + 七，罢c 。s p + 屯娶c 。s t ( 2 - 5 ) o no xo vo z 式中：t ，七，屯材料在x ，y ，2 方向上的导热系数，w ( m o 。c ) ； 口，y 等温面上法线方向与x ，y ，z 轴的夹角，； x , y , z 直角坐标系中的三个坐标轴。 竽是温度梯度，是负值，而g 为正值，故在方程右边取“一，号，这就是 著名的傅立叶定律，又称热传导基本定律。 3 牛顿冷却公式 由热对流理论推导得出牛顿冷却公式： g = 厅( r s 一乃) ( 2 - 6 ) 式中：办对流换热系数，w ( m 2 。c ) ； 兀固体表面温度，c ； 瓦流体表面温度，。 2 1 2 导热微分方程和定解条件p 刁p 3 1 3 4 1 1 导热微分方程 首先研究导热固体内部任一微元体的瞬态热平衡。这里为了使问题简化，只 讨论固体和静止的流体，并假设物体是连续月均匀的。 如图2 - 1 所示，在导热物体内任取一微元体出咖沈，由能蔑守恒定律可知， 导入微元体的净热流量q 与单位时间内内热源产生的热量q 之和，等于单位 时间内微元体热力学能的增量u 。即： l o 中南大学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 图2 - 1徽兀体导燕情兄不蒽图 q + q = a u 在x 处，通过微元体表面咖出- g a 微元体的热流量为： q ：一ka ta y 出 在z + 出处，通过微元体表面导出微元体的热流量为： q x + a k = q x + 警出= q + 昙o x ( 七罢撇) 出= q 一七窘撕o x锻o一 在x 方向上导入微元体的净热流量为： q = q 也矿七窘蝴 同理，在y 和z 方向上导入微元体的净热流量分别为： g = g 一峨害舭 q = q 一q z + a , = k 害批 三个方向上导入微元体的总净热流量为： 岛= q + 9 + q 圳万0 2 t + 萨0 2 t + 窘) 蚴 微元体内部在单位时间内的发热量为： q = p q d v = p q a k d y d z 式中：p 材料的密度，k g m 3 。 g 物体内热源密度，w m 3 。 甲 市时问内微元体热力学能增量为： ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f ) ( g ) ( h ) 中南大学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 u ：筇塑妣纰 ( i ) 拼 。 式中：c 材料的比热，j ( k g c ) 。 将以上几式代入方程( a ) 后，可得热传导方程式： 胪鲁叫窘+ 萨0 2 t + 窘，+ p q c 2 剞 如果材料各向的导热系数不同，则得到普遍的导热微分方程： 署= 昙( 也罢) + 瓦0 【勺瓦o t ) + 昙( t 警) + p q ( 2 - 8 ) 如果材料各向同性且不存在内热源，则可得到简化的导热微分方程： 胪詈叫窘+ 矿0 2 t + 窘) i 彬7 ( 2 - 9 ) 胪百2 七( 丽+ 矿+ 可) i 七v 7 ， 式中：v 2 拉普拉斯运算符号。 2 边界条件和初始条件 导热微分方程是对物体内部温度场内在规律的描述，是一个普遍方程，为了 使固体导热偏微分方程有唯一解，需要附加一定的边界条件和初始条件，统称为 定解条件。 边界条件是指导热物体边界处的温度或表面传热情况。根据物体边界处传热 特点的不同，通常把边界条件分为三类： ( 1 ) 第一类边界条件：物体边界上任何时刻的温度分布为已知，用公式表 示为： r l s i = r ( 工，y ，z ，f ) ( 2 1 0 ) 当边界上的温度分布与时问无关时，为恒温边界，上式可简化为： r l s l - r o ( 2 1 1 ) 以上两式均在第一类边界条件s 上。 式中：s 1 物体边界； 瓦已知温度，。c ： t ( x ，y ，z ，) 已知温度函数。 ( 2 ) 第二类边界条件：物体边界卜的热流密度为已知，用公式表示为： 一七i o ti s 2 = q ( x ，y ，z ，f ) ( 2 1 2 ) 当边界卜的热流密度恒定不变时，称为恒热流边界条件，上式可简化为： 一七i o t l s 2 ：q ( 2 1 3 ) 1 2 中南人学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 以上两式均在第二类边界条件& 上。 式中：g 热流密度( 常数) ，w 肌2 ； q ( x ，y ，z ，) 热流密度函数。 ( 3 ) 第三类边界条件：与物体接触的流体介质的温度和热对流系数已知， 用公式表示为： 一七鼍kh ( t 一吼， ( 2 _ 1 4 ) 上式在第三类边界条件& 上。 式中：l 流体介质的温度，。c ； j i i 热对流系数，w ( m 2 。c ) 。 t 和h 可以是常数，也可以是随时间和位置变化的函数，而边界温度丁和温 度变化率娑都是未知的，这与第一和第二类边界条件是不同的。 o n 在以上边界条件中，第一类边界条件是强制边界条件，第二和第三类边界条 件是自然边界条件。 设温度场的求解域为q ，则全部边界条件s 应满足： s = s i + 是+ 墨 ( 2 1 5 ) 初始条件是指传热过程开始时物体在整个区域巾所具有的温度为已知值，用 公式表示为： r l ，= o = t ( x ，y ) ( 2 1 6 ) 式中：t ( x ，y ) 已知温度函数。 2 1 3 温度场的有限元理论3 5 “3 6 “3 7 1 用有限元方法计算温度场时，在空间域上，一般假设在一个单元内节点的温 度呈线性分布，根据变分原理推导节点温度的一阶常系数微分方程组。再在时间 域上用有限差分法将它化成节点温度线性方程组的递推公式，然后将所有单元矩 阵叠加起来，形成节点温度线性方程组，进而求出节点温度。 1 空间域的离散 假设空间域v r 3 被m 个具有m ，个节点的单元离散，v 内共有个节点， 在每个单元内各点的温度用单元节点温度来表示，则有： t = 【j ) v 】 z ) ( 2 1 7 ) 式中：【】形函数。 在每个单元内对瞬态温度应用伽辽金法( 一种变分法) ，由于【】只是空间 中南人学硕士学位论文 第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 域的函数，所以有： 妒r 队竺? + j ，m 7 掣驯胁州【n t e d s 3 ( 2 _ 1 8 ) = f p g 】，d v + f 岛巩】7 蝇+ b h i t s n 7 姆 “ 式中：【b 】= 陋】【】； 【三】微分算子矩阵。 在构造r = 【】 z 时，上式已满足s 上的边界条件，故式中没有出现与s 相 关的项，整理有有限元的总体合成为： ( z t , q 。+ e w l 。) n + ( e t c l 。) = h 心) 。+ 民) 。( 2 一1 9 ) 式中各表达式分别是： 单元对热传导矩阵的贡献： 【五】。= 1 ，【召】7 【五】【艿】 d y ( 2 2 0 ) 单元热交换边界对热传导矩阵的修正： 【】。= lh n 7 【n r a d s 3 ( 2 - 2 1 ) 单元对热容矩阵的贡献： 【c 】。= l ，p c n 7f n d v ( 2 2 2 ) 单元热源产生的温度载荷： ) 2l ，趔】7 d v ( 2 2 3 ) 单元给定热流边界产生的温度载荷： r ，= l 讲】1 码 ( 2 2 4 ) 单元给定对流换热边界产生的温度载荷： r ) = lh y t b n 7 驾 ( 2 2 5 ) 总体合成也可以表示为： 【c 】 n + 【u t ) = 研 ( 2 - 2 6 ) 式中：【柚咄导矩阵，包含导热系数、热对流系数、热辐射率和形状系数： 【c 】比热系数，考虑系统内能的增减； t - 一节点温度列向量： 于 _ 温度对时间的导数； q 节点热流率向量，包含热生成。 如果材料热物理性能随温度发生变化，则为非线性热分析，称为材料非线性。 非线性热分析矩阵方程为： 【c ( r ) 】 r + 【九( 1 ) 】 t = q ( 7 ) ) ( 2 - 2 7 ) 这样包含空问域和时问域的偏微分方程就在空间域内被离散成有个节点 中南大学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 的常微分初值问题。 2 时间域的离散 离散方程【c 】 于) + 【u t ) = 奶包含对时间的一阶微分方程，对时间的离散 比较简单，假设时问域用等时间间距f 离散，并且f 。时刻空问域矿内各点温度 已知，边界条件已给定，则有： 学= 昙 瓦 + 秒( 妄 瓦一卜昙 乃 ) ( 。口1 ) ( 2 2 8 ) 式中：口加权系数。 将离散方程【c 】 于) + 【刈 t ) = q ) 代入上式得： ( 【c 】，+ 口【k 】) 瓦一。) = 【c 】血一( 1 一目) 【k 】 l + 【臼 r 一。) + ( 1 一p ) r 】( 2 2 9 ) 一旦给定初 i f t o ，就可以用上述递推公式求出时间域内任意时刻f 。时，空 间域内的温度分布。当0 = 0 时，为向后差分格式；口= 0 5 时，为中心差分格式； 秒= 1 3 时，为伽辽金格式；口= l 时，为向前差分格式。 2 2 热变形计算的有限单元法 2 2 1 热弹性基本理论咖3 9 脚1 热弹性力学是研究弹性体温度的变化与热应力、热应变、热位移的关系以及 与此相关的理论、分析方法、计算、实验和应用的学科。热应力是联系温度场和 热变形的桥梁和纽带，因此研究热应力对研究热变形很重要。 在热弹性方程中，由微元体的平衡条件推导出的平衡方程是和温度无关的， 故平衡方程和弹性力学中的平衡方程相同；由于变形和位移之问的关系是纯几何 关系，不会因为引起变形和位移的原因不同而改变，几何方程也和弹性力学中的 一样，但是，这里的变形和位移是由温度的改变和温度应力共同作用而引起的。 只是应变关系有所不同，因为弹性体在温度变化后，各个微元体要发生膨胀或收 缩，从而产生热应变。对于均匀且各向同性的物体来说，在自由膨胀或收缩的情 况下，温度变化只引起正应变，不产生剪应变。即： = 占，= t = u t ，= y 婚= 比= 0 ( 2 3 0 ) 式中：t - 一变温，：c ； 口热膨胀系数，1 c 。 若温度的变化是一定的或者是坐标的一次函数，则上式戍满足协调力程，决 定物体变形的位移分量的连续函数存在，则弹性体内不产牛热应力。但般情况 中南大学硕士学位论文 第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 下，温度变化的结果，使微元体发生变化，微元体之i 司不相互约乘是小口j 能明， 因此产生热应力。所以，应变分量是两部分之和：一部分是由于应力引起的，一 部分是由于温度变化引起的，根据胡克定律有： = 警= 吉【q 一( q + 吒) 】+ 砑 ( 2 - 3 1 ) 髟= 誓= 扣刊吒训】瑚 ( 2 - 3 2 ) 乞= 警= 去【吒一( q + 吒) 】+ 口丁 ( 2 - 3 3 ) = 罟，= 罟，坛= 罟 ( 2 。4 ， 式中：g = e 2 ( 1 + u ) 卜式用钫阵可表示为： s y z y 砂 1 1 z 7 = 【d 】一 十 s 曲) 式中： g 曲) = a t a ta t0 00 7 ，为热应变列阵。 【d 】- l = 1 e 一z e l l e 000 一u | e 1 e p e 00 0 一h | e l l e 1 e0 00 000l g0 0 0000 1 g0 0 000 0l g 则i - _ 式可表示为应力分量矩阵形式： = 【d 1 s l y ： y 硌 y y ： 比 ( 2 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) 一 d l l e 腑 ( 2 - 3 7 ) 式中：【驯弹性矩阵，它完全取决于材料的弹性模量e 和泊松比。 1 6 q q 吒k o 吒q 吒o o 中南大学硕士学位论文第2 章机床主轴系统热特性分析的有限元建模 2 2 2 热变形的有限元理论p 1 “4 2 4 3 1 假设空问域v r 3 被m 个具有m 个节点的单元离散， 在每个单元内各点的位移用节点位移表示为： w = 【】( 材) 式中：【】形函数； ” - 节点位移向量。 根据虚位移原理有： 矿内共有个节点， 6 u = 6 v 于是有： f 。，【口】7 【d 】【b 】d ( ，d ，) 甜) 一f 耐【b r d 】 腑 d ( v 0 1 ) = 一pf 耐【】7 【】d ( 阳，) 舀 + f o 唧- n r p d ( a r e a p ) + f 村 。 式中：【b 】= 【上】【j v 】； 【】微分算子矩阵： 【m 】边界法向形函数矩阵； f 耐 2 单元节点力载荷； f f _ 加速度矩阵。 对上式进行整理后可得到有限单元法的总体合成为： ( 【k 】。) ”) 一 f 曲 。= ( 【m 】。) 舀 + f 。+ f 村) 。 式中各项分别为： 单元刚度矩阵： 【k 】。= i 。，【曰】7 【d b d ( v 0 1 ) 单元热载荷列阵： f 腑 。= f 耐【b r 【d 】 s 曲 d ( v 0 1 ) 单元质量矩阵： 【m 】。= piv d f 【】7 【n d ( v 0 1