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文档简介

施密特正交化在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。GramSchmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。这种正交化方法以Jrgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。在数值计算中，GramSchmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。记法 ：维数为n 的内积空间 ：中的元素，可以是向量、函数，等等 ：与的内积 ：、张成的子空间 ：在上的投影 基本思想图1 v在V2上投影，构造V3上的正交基Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。设。Vk是Vn上的k 维子空间，其标准正交基为，且v不在Vk上。由投影原理知，v与其在Vk上的投影之差是正交于子空间Vk的，亦即正交于Vk的正交基i。因此只要将单位化，即那么1,.,k+1就是Vk在v上扩展的子空间spanv,1,.,k的标准正交基。根据上述分析，对于向量组v1,.,vm张成的空间Vn，只要从其中一个向量（不妨设为v1）所张成的一维子空间spanv1开始（注意到v1就是spanv1的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vn的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。例 考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为 = bTa：下面作GramSchmidt正交化，以得到一组正交向量：下面验证向量1与2的正交性：将这些向量单位化：于是1,2就是spanv1, v2 的一组标准正交基。不同的形式随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。例如，在实向量空间上，内积定义为：在复向量空间上
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