（应用数学专业论文）移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用.pdf

摘要 本文主要讨论了移动平面方法在广义平均曲率方程的先验估计和 移动球面方法在环域上半线性椭圆方程组上的应用全文安排具体如 下： 在第一章前言中，我们主要介绍了移动平面和移动球面方法的历史 及其运用得到的著名的定理，并总结了我们对广义平均曲率方程和椭 圆方程组研究的方法 在第二章中，我们主要介绍了偏微分方程的基本知识，在下面的章 节中将会用到如s o b o l e v 空间，嵌入定理，极值原理和不动点定理等等 第三章主要讨论了光滑的严格凸区域上的广义平均曲率方程d i r i c h - l e t 问题的先验估计和存在性的理论我们运用移动平面和爆破的技巧 得到正解的俨估计，结合拟线性椭圆方程的内部梯度摸，全局梯度模 估计和不动点定理，证明了正解的存在性 第四章主要运用移动球面的方法讨论了环域上半线性椭圆方程组 的正解的性质，得到了正解满足的对称性和单调性的形式 关键词：广义平均曲率方程，移动平面，移动球面，爆破，半线性 椭圆方程组 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e sap r i o r ie s t i m a t e sa n de x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f g e n e r a l i z e dm e a nc u r v a t u r ee q u a t i o n su s i n gt h em e t h o d so fm o v i n gp l a n e sa n d b l o w i n gu p ，t h es y m m e t r ya n dm o n o t o n i c i t yp r o p e r t i e sf o rp o s i t i v es o l u t i o n si n s y s t e m so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n so na n n u l a rr e g i o n su s i n gt h em e t h o d so f m o v i n gs p h e r e s t h ew h o l ep a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fm o v i n gp l a n e sa n dm o v i n gs p h e r e s a n ds o m eo u t s t a n d i n ga p p l i c a t i o n sr e l i e do nt h e m w ea l s og i v eas u m m a r yo f o u ri d e a so ns t u d y i n gt h eg e n e r a l i z e dm e a nc u r v a t u r ee q u a t i o n sa n dt h es y s t e m s o fe l l i p t i ce q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ec o l l e c ts o m eb a s i cm a t e r i a l si np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n ds o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sw h i c hw i l lb eu s e di nt h en e x tc h a p t e rs u c ha s m a x i m u mt h e o r e m sa n df i x e dp o i n tt h e o r e m s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rap r i o r ie s t i m a t e sa n de x i s t e n c et h e o r e m sf o rt h e d i r i c h l e tp r o b l e mo fg e n e r a l i z e dm e a nc u r v a t u r ee q u a t i o n so ns m o o t ha n ds t r i c t c o n v e xd o m a i n s w eu s et h em e t h o d so fm o v i n gp l a n e sa n db l o w i n gu pt og e tl o o e s t i m a t e so fp o s i t i v es o l u t i o n s t h e nc o m b i n i n gt h ei n t e r i o rg r 缸l i e n te s t i m a t e s ， g l o b a lg r a d i e n te s t i m a t e so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t ht h ef i x e dp o i n t t h e o r e m s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c et h e o r e m s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ep r o p e r t i e sf o rt h es o l u t i o n so ft h es y s t e m so f g e n e r a l i z e de l l i p t i ce q u a t i o n so na n n u l u sr e g i o n sw i t ht h em o v i n gs p h e r e sm e t h o d s a n dg e tf o r m so ft h es y m m e t r ya n dm o n o t o n i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ：m o v i n gp l a n e s ，g e n e r a l i z e dm e a nc u r v a t u r ee q u a t i o n s ，m o v i n g s p h e r e s ，s y s t e mo fe l l i p t i ce q u a t i o n s i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名垛欠义 3 0 0 髫年月力日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密刚 ( 请在以上相应方框内护杪) 作者签名：来久叉日期：加口踔否月诊日 导师躲褫蜊 日期衫年月尸日 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 1 前言 移动平面方法是广泛应用于偏微分方程研究的一类重要的数学分 析技巧，其最初的想法源于a d a l e x a n d r o f f 关于常曲率嵌入的研究，后来 j s e r r i n 1 ，g i d a s ，n i 和n i r e n b e r g 2 】用来研究椭圆方程正解的单调性和对 称性，初步显示出其在偏微分方程研究中的作用g i d a s ，n i 和n i r e n b e r g 2 】 用移动平面的方法得到了正解在球上的对称性和单调性，即如下定理： 定理 2 】设球q ：= z r ih 耐，u ( 工) 俨( 矗) 为方程 ja u ( x ) + ，( u ) = 0z q ，、 1 ，t i ( z ) ：0z m u j j 的任意解，如果，c 1 ，则u ( x ) 是径向对称的且 筹 0 ，v 0 o ，而r n - i , t o = - ( n 一2 ) 一1 e c ，使得 t t ( z c ) = 再面示丽研) 孚 本文利用移动平面方法研究椭圆方程的正解单调性及利用移动球 面的方法研究一般形式的椭圆方程组的解的单调性和对称性在第三 2 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 一山v ( 1 - l 。u ( z ) 1 2 ) 暑一1 。也( z 蠢兰i 三重薹三 正解的先验估计和存在性( 其中p ，g 是正实数) 我们得到了所有的解存 在一致的界并证明了解的存在性首先反证存在无界的解的序列，然后 运用移动平面方法证明平面能沿着边界点上的法线方向移动，直到不能 移动为止，从而得到正解在法线上单调性借助于凸区域的性质，我们知 道任意解至少存在一个与边界有一致的距离的极大值点通过b l o w i n g - u p 技巧，可得到广义平均曲率方程会爆破成r 空间的p - l a p l a c e 方程， 这与p l a p l a c e 在r 中l i o u v i u e 定理矛盾，故我们知道所有的解存在一 致的界利用闸函数的方法和严格凸区域的性质，我们可得到边界上的 梯度模估计内梯度估计可用广义平均曲率算子的结构性条件得出，进 一步可得到正解的c - ，卢模的一致估计利用拟线性方程的不动点定理， 我们可证明解的存在性 在第四章，我们研究了一般形式的椭圆方程组 i t 上1 - t - ( z ，i z i 丁n - 2 u l ，l z i t n - 2 t 正2 ，( z v ) ( 1 z i t n - 2 札1 ) ) = 0 ，z q ， u 2 - t - ，2 ( z ，i z l 丁n - 2 t | 1 ，l z i t n - 2 u 2 ，( z v ) ( 1 z l t n - 2 t 1 2 ) ) = 0 ，z q ， l 也l = u 2 = o ， z a q 正解的单调性的对称性借助于椭圆方程组的小区域的极值原理和移动 球面的技巧，我们证明了正解关于环域上的中心环某种反演对称性和单 调性，这对了解解的特性很有帮助 3 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 2 一此- - - - 预备知识 - j 纵田 u 、 2 1s o b o l e v 空间 设qc 舻为一开域对任何整数丌l 0 ，任意实数p ，1 p c k ) ，考 虑函数空间 w ”p ( q ) = ：三尸口l p ( q ) ，i a i 仇) ， 其中口= ( a - ，d n ) 为整指标，i 口i = ，d 表示 的分布导数这个 空间范数 n = ( 1 a l _ m i f 删p 如) l 如1 p o o o 0 口0 ，n = m a - 5 e s ss u pl “t ，( z ) i ) ，如= o o ：， z t i l d plal 构成一个b a n a c h 空间，这种b a n a c h 空间，我们叫做s o b o l e v 空间有时 我们也采用半范数 川帅n = f ，l a l = m m l p 刁；，如1 p 。o o 川m 禹q = 髀a x e s ss u pi d 8 u ( z ) i ，如p = 对于舻上每个函数t ，记 s u p p ( ) = z q ：u ( z ) 0 ) ， 并称之为函数u 的支集( s u p p o r t ) 支集属于q 的紧集的一切无限次可微 函数的全体记为d ( 1 2 ) ，即 d ( 1 2 ) = t ，：s u p p ( ) cq 且s 唧( u ) 为紧集， c ( q ) ) d ( q ) 按范数i i , i i 唧，f l 的闭包记为伊p ( q ) ，显然 w 伊沪( q ) cw m p ( q ) 一般，咿伊( q ) 是w m ，p ( q ) 的一个真闭子空间，记 5 硕士学位论文 日m ( q ) = w i n , 2 ( q ) ， h y ( a ) = w g 2 ( q ) 1 i i i m n = ”l i m ：，n ，i i m ，n = i 1 m ，2 , 1 1 ，于是日m ( q ) 依范数”i i m n 构成 一个h i l b e r t 空间，钾( q ) 为其闭子空间 为简便计，我们有时将以上空间中的范数、半范数简记为 0 - i l 。p ，l i m 一， 0 l l m ，i l m 2 2s o b o l e v 嵌人定理 s o b o l e v 嵌入定理是s o b o l e v 空间中最重要的理论，其证明过程可以参照 文献【3 】 s o b o l e v 嵌人定理设f tc 俨为一有界区域，1 p + c o 一 ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = n 时，有 w 1 , p ( f t ) cl q ( q ) ， 1 q + o o 而且对任意的u w 1 ，p ( q ) ，有 0 t ij l 。( n ) c ( n ，q ，q ) 0t 1 1 w , ，( n ) ，1 g + o o ， 当p n 时，有 w i , p ( 呲俨( - ) 0 a 1 ；， 而且对任意的t w 1 p ( q ) ，有 i t i a ；n c ( n ，口，q ) ot i o t - p ( n ) ，0 a 1 一； 6 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 在这里，我们称矿为p 的s o b o l e v 共轭指数，而称上述三个不等式中的 常数c 为嵌入常数 注：上述嵌入定理可以简记为 慨wlp浆(ft)q器lq(f1),， 1 q 矿= 嚣，p n ； 1 口 + ，p = 竹； 0 n 注：需要说明的是上面的第三个嵌入，即 w 1 ，p ( q ) qc n ( - o ) 其含义是，对任意的缸w 1 护( q ) ，总可以通过修改乜在一个零测度集上 的函数值，使u 为c 。( 西) 中的函数 重复应用嵌入定理k 次，可以得到如下推论： 1 w k , p ( q ) q 伊( q ) ， 1 g p = 亲， k p n ； w 七p ( q ) ql q ( 1 2 ) ， 1 g + o o ，k p = n ； 【w k p ( q ) qc 。( 孬) ，0 n s o b o l e v 紧嵌人定理设qc 舻为一有界区域，1 p + o o ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则下列嵌入是紧的： w 1 p ( q ) - + l 9 ( q ) ，1 g 矿，p n ； w 1 p ( q ) ql q ( a ) ，1 g n 时下列嵌入是紧的： w i , p ( q ) qc 。( 孬) ，0 u ( z ) ， ( i i i ) z o 点在a q 处满足外部球条件 则u ( z ) 在x o 点外法线导数，如果存在，满足下列严格不等式 癸( z o ) 0 丽【z o ) 如果c ( z ) 0 ，则只要t t ( z o ) 0 ，相同的结论成立如果u ( 印) = 0 ，则不论 c ( z ) 的符号如何变化，相同的结论依然成立 强极值原理如果l 如上定义，当z q 时，c ( z ) = 0 且l u ( x ) o ( o ) ， ( q 不必有界) ，则除非u ( z ) 为常数，让( z ) 的极大值点( 极小值点) 必在q 的内部取得如果c ( z ) o ) ，则除非札( z ) 为常数，u ( z ) 不可能在q 的内 部取得非负的极大值点( 极小值点) 8 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 小区域极值原理假设l 如上定义，假设u ( z ) 俨( q ) n c ( f i ) 满足当 z q 时，l u ( x ) 0 ，且z a q 时，乱( z ) s0 ，如果d i a m i 2 d ，则存在某个 仅依赖于n ，d ，c o ，和m 的常数6 ，当m e a s l 2 = l q i 6 时， t l ( z ) 0 ， z q a l e x a n d r o f f 极值原理设u c x ) 嘧( q ) n 伊( 壳) 在中有界开区域 q 上满足微分不等式l u f ，其中l = n u ( z ) 锄+ b l ( x ) o l + c ( z ) 是q 上的 椭圆型算子，系数矩阵a = ( 口巧( z ) ) 在q 上处处正定，记d = 啡t ( a ) 】击， 若量l i 岳l l 二。( n ) m ，舌el n ( q ) ，c ( z ) 0 ，则 j = l 8 u n p u s a n u p 矿+ c d l l 吉l l 帅) ， f na n 这里d = d i a m 1 ，c 是仅依赖于n ，m 的常数 定理2 3 1 令9 为b a n a c h 空间b 上的紧凸集，t ：ghg 的连续映 射，则t 映射存在不动点，即，存在某z g ，使得t x = z 定理2 3 2 令t ：bhb 的紧映射，如果当口【o ，1 】，z b 时，对 z = a t x ，存在独立z 的常数，使得 z 0 口 m ， 则t 映射至少存在一个不动点 最后需要特别指出是，在整篇论文中，c ，m 表示正常数，它们在不 同行和段落可以不同，都是与u ( z ) 无关的正常数 9 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 3 广义平均曲率方程正解的先验估计和存在性 3 1引言 一d i v ( 1 + l 。u ( z ) 1 2 ) 号一1 。仳( z 蠢兰i 其中p ，q 是正实数，qc 为有界俨- a 光滑区域，1 p n ，q 为正实 数，为q 的维数，当p = 1 时，( 3 1 1 ) 为平均曲率方程文献【7 】研究了 d i r i c m e t 条件下，方程 一d i v ( 1 + i d u c x ) 1 2 ) 一1 d u ( x ) = h ( z ，t i ( z ) ) ，( 3 1 2 ) 的变分问题的全局界和内梯度估计在( 3 1 2 ) 中 等蛏o ，比咄t r ( 3 1 3 ) 是一个重要的结构条件在 1 3 ，1 4 】中，作者们也研究了在( 3 1 3 ) 条件下， 方程( 3 1 2 ) 的古典解的内梯度估计如果在我们的方程( 3 1 1 ) 方程中， 令p = 1 ，则鬻( z ，t ) 0 ，这与( 3 1 3 ) 的条件恰好相反，故当p = 1 时，考 虑方程( 3 1 1 ) 的先验估计是比较困难的我们在本文中考虑1 p 1 时，广义平均曲率方程为一致椭圆方程，然而仍然没有相关 文献考虑( 3 1 1 ) 的先验估计，文献【7 】从变分的方法得到方程( 3 1 1 ) 的 解的存在性尽管变分的方法简洁，但并不能得到解的先验解我们研 究( 3 1 1 ) 的先验估计，给出解的上，模，梯度模的估计文献【1 8 】研究 了当1 p 2 时，p l a p l a c e 方程的先验估计，他们运用了移动平面和 b l o w i n g - u p 的方法得到了先验界，我们的想法也源于此 我们主要证明了如下定理，在本文中，矿= 惫 113 ，l 、 q g 勰 z z z 硕士学位论文 定理i 令q 为俨，a 的有界严格凸区域，当p 2 ，p 一1 q 矿一l 时，或1 p 2 ，1 q p + 一1 时，存在某个独立于u ( z ) 的常数m ，使得 对方程( 3 1 1 ) 的任意解t - ( z ) ，满足i m = ) i i p m 定理i i 令q 为俨，a 的有界严格凸区域，当p 2 ，p 一1 q 矿一1 时，或1 p 2 ，1 q 矿一1 时，方程( 3 1 1 ) 至少存在一个正解 评论我们仅在p 2 的情形下证明定理( i ) 和定理( i i ) 1 p 2 的 情形可相似的论证 3 2 引理 引理3 2 1 1 3 】假设1 2 为r 有界区域，q 为壳中椭圆算子，系数 a 0 ，b c 。( f i r r n ) ，0 - 1 时，结 构条件( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 满足，则对v y 1 2 ，有 i d t i ( ) i c 其中c 仅依赖于r ，扩( m ) ，p ( m ) ，s u pi a ( z ，牡，0 ) 1 ，m = s u pi t | l ，d = d i s t ( y ，a q ) ， q t = d i v a ( z ，t ，d u ) + b ，t i ，d u ) = 0 ，( 3 2 3 ) 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 p “z i ) ( 1 + i p l ) 7 i 1 2 p p j a ( z ，u ，p ) 已岛u ( i z l ) ( 1 + i p l ) 7 i 1 2 ， ( 3 2 4 ) ( 1 + l p l ) t d z a i + i d 。a i + i b i u ( i z l ) 0 + l p l ) 7 + 2 ( 3 2 5 ) 在这里z 表示u ( z ) ，p 表示d u ( x ) ，为非增正函数，肛为非减正函数 引理3 2 3 2 0 】令q = r j r ，n p ，假设，( u ) 为次临界函数且当u 0 时，f ( u ) 0 ，那么满足方程 一a p u = ，( ) ，u 0 ， z q 的任意有界解为平凡解其中 锋仳= d i v ( d u p 2 d u ) 引理3 2 4 i 1 令mcr 为俨的n 一1 维紧子流形，那么存在开集 vcr ，使得mcv 且存在单位映射厶m 的连续延拓r ：y m 满足 ( 1 ) v x v ，y m ，有i z r ( z ) l i z y l ，当且仅当y = r ( z ) 时等号成立 ( 2 ) 对比o m ，纤维丛r 一1 ( z o ) 由伽r n x = z o + t n ( x ) ，t 0 我们称y 为m 的半径为p 的管状域 ( ) 当m = 弛，q 为有界凸区域，那么 ， 【z r n i z = y + t n ( y ) ， 0 ，使得( y + t n ( y ) ) q ，由于q 为凸区域，可知当v s ( 0 ，t ) ，有 y + s n ( y ) q 我们取手：= s u p t o l ( y + t n ( y ) ) q ) 0 ，由于q 的有界性， 故f 为有限且( y + t n ( y ) a q 我们可得f 2 p 如若不然，假设吾 2 p ， 令仇表示区间由，y + 轨( 妙) 】的中点，则i m r ( m ) i = i m 一( y + 元( 3 ，) l ， a l ( v ) ：= s u p a , ( v ) ， 其中( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 为 ( 啾) cq ， ( 3 3 1 ) v x 勰n 巧，n ( z ) i ，0 ，( 3 3 2 ) n ( z ) 为z 勰的单位外法向量 因为当a a ( v ) 足够靠近a ( u ) 时，( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 满足且q 为有界区 域，故 a l ( v ) 0 ，且a i ( v ) o 1 4 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 其中p 的定义见引理3 2 4 ， 证明：对比a q ，我们将证明 d i s t ( x ，础( z ) ) ) p 易知 d i s t ( x ，苏瑚) = a l ( 7 l ( z ) ) 一口( n ( z ) ) 考虑到a - ( n ( z ) ) 的定义，我们只需要证明v 入( 口( n ( z ) ) ，口( 几( z ) ) + p ) 时，( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 成立，下面用反证法来证明结论 令a = a c n ( x ) ) + ，其中0 0 ，m = y + t n c u ) 由( 3 3 3 ) 可知，d i s t ( ma q ) 又由( 3 2 6 ) 知，m q ， 故r ( m ) = y 如果矿q ，那么必存在某个旷铀，使得l 仇一旷i i m 一乩 这与引理( 3 2 4 ) 矛盾 故上述引理可证 引理3 3 2 如果q 如前面定义，q 1 ，1 p n ，u 俨( 而) 为方程 ( 3 1 1 ) 的古典解，对任意的方向向量r n ，a ( a ( v ) , a i ( y ) 】，我们有 t 正( z ) st i ( z ；) ，v z q i 证明：因为广义平均曲率算子在旋转坐标下是不变的，对任意方向 ，我们不妨旋转其坐标使得平行于z 。轴为方便起见，我们假设, 表示z 。的正方向令乃表示超平面 z 1 = a ) ，对于v 入( a ( v ) ，a ( ) 】， ( a ) = z qz l a ，在( 入) 中，令v ( x ，y ) = u ( 2 a z ，3 ，) 由方程( 3 1 1 ) ， 我们有 - d i v ( 1 + l d v ( x ) 1 2 ) 呈d r ( x ) = v q ( x ) ( 3 3 4 ) 定义w ( x ，入) ：= v ( x ，y ) 一u ( z ，可) 由方程( 3 1 1 ) ，( 3 3 1 ) 及积分中值定 理，我们可知w ( x ，a ) 满足如下椭圆方程 j l w 三( z ，入) 叫+ 地x ) d i w + c ( z ，a ) w = o ，z ( 入) ， ( 3 3 5 ) 1 w ( x ，a ) 0 ， z a ( a ) 、 1 5 硕士学位论文 因此存在岛c o 0 使得 c d 吲25a i j ( x ，a ) & 白a o l 1 2 对于任意选取的古典解u ( z ) ，由于1 0 ，z ( a ) = a l ( ) 假设i n f a l w ( z ，a ) 0 ，z ( a ) = a o 0 令k 为( 知) 中的紧集，满足i ( 知) k l ；( 6 由【4 】中的引理所定 义，保证窄小区域的极大值原理成立，仅与j 、r ，q 的半径，c o ，阮( z ，a ) 和 c ( z ，a ) 的l 有关) 对任意z k ，很明显叫( z ，知) 0 ，取垤足够口z k 时，我们有 i ( 知+ e ) k i 6 及( z ，a o + e ) 0 对于z ( 知+ e ) k ，t l ，= 叫( z ，知+ g ) 满足 p 。弩姚吣m 枷麓搿芽z 三菡精雠 再次运用窄小区域的极值原理，可得到当z ( ( 知+ e ) ) 时，w ( x ，知+ e ) 0 因此( z ，知+ ) 0 ，比( 知4 - e ) ，这与假设矛盾，故结论成立 下面的引理的主要部分源于【8 】中的引理( 4 1 ) 我们将运用到方程 ( 3 1 1 ) 来 引理3 3 3q 如前引理如定义，q i ，那么对方程( 3 1 1 ) 的任何正 解，至少存在某一极大值点剪q ，使得 d i s t ( y ，抛) p 证明：p = 2 的证明见【2 2 】当p 2 时，我们证明垤( 0 ，p ) 至少存 在某一个极大值点y 使得d i s t ( y ，贷1 ) ( p 一) 我们用反证法来证明假 设任意极大值点与边界的距离严格少于p 一取y o 为某一极值点，我们 1 6 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 能找到一点z o 狮，使得y 位于z o 搠的法线上且d i s t ( y ，知) p 一 我们称此法线为d 由引理3 2 4 和引理3 3 1 可知，存在z d n q n ( 翟：训) 使得d i s t ( x ，z o ) = p e = d i s t ( x ，铀) 根据y o 为极大值点及我们已经假 设不存在与边界的距离大于p 一的极大值点我们有u ( x ) 让( y ) ，这 与引理( 3 3 2 ) 矛盾如果我们取序列n = 蜘，则可得到极大值点序列 ( ) ，使得d i s t ( y n ，a q ) p 一石1 又因u ( x ) 的极大值点的紧性，我们可找 到某一极大值点y ，使得d i s t ( y ，砌) p 定理i 令qb 为俨t a 的光滑有界凸区域，p 一1 0 ，则w n 满足方程 ( 砺栖+ l d 1 2 ) g - x d w d 如2 ! ：蛾如 0 t u n l l p = 1 t ( z ) = 0 z q n ， ( 3 3 6 ) z o f t n 其中咖c 铲( q 。) 由于引理( 3 3 3 ) 知，至少存在一个极大值点z ，使得 d i s t ( x l ，砌) p 我们选取这样的极大值点，则当n 一+ o o 时一r 我们任意选取以原点为球心的雪，则必存在n o ，使得当n n o 时，雪c q 。在给定的豆上，运用c 1 ，a 局部估计【2 7 】则存在独立于叫。，n 的常 数k ，使得 c 1 ，。( 后) ， 0 0 g - ，a ( 雪) k ， v n n o 我们由a r z e l a - a s c o l i 定理知，存在函数t i ，c 1 ( 豆) 和收敛序列，当 z b ，n 一+ o 。时，0 ，( z ) 一硼( z ) i l c l 后一0 选取足够大的且，重复上 述推论，我们可得到，( 不妨仍用，表示) ，当n + + o 。时，0 ，( z ) 一 1 7 硕士学位论文 叫( z ) i l c - 哼0 且函数伽( z ) c 1 ( r ) 满足 ffl v w p - 2 v 叫v c d x = fw q d p d z ， p = 1 ， ( 3 3 7 ) l ( z ) 0 ，比r 对任意c 铲( ) 成立这于引理( 3 2 3 ) 矛盾，因此定理得证 在阻】的启发下，我们有如下的边界梯度估计 引理3 3 4 假设a q 的平均曲率有正下界4 0 ，1 p k o 时， 一d i v ( 1 + i d l f ，( z ) 1 2 ) 暑一1 d 妒( z ) 】一d i v ( 1 + i d u ( x ) 1 2 ) 5 1 d u ( x ) 】= 牡p ， z 矿 且 七d ( p ) i l u l l , * = m 结合7 筮, g 件；口口n 厂 妒( z ) = 仳( z ) = 0 ，z f ，q ， 1 8 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 及拟线性方程的比较定理，我们有 0 u ( z ) 妒( z ) = k o d ( x ) ， z u 运用闸函数的方法及i d d ( x ) l = 1 ，因此存在常数c 使得 s u pi d u i c z a l 故引理可证 因此由定理( i ) ，经过仔细的计算，我们能得到引理3 2 2 ，应用【1 3 】中 定理8 2 9 相似的讨论方法及引理3 2 2 的内梯度估计和边界梯度估计， 我们得到 s u p i d u ( x ) i c 矧三n 根据【1 3 】中的定理1 3 2 的类似的讨论，我们有 t l ( z ) l l ，口c ， 故运用引理3 2 1 的结论，我们得到定理( i i ) 定理i i 令q 为c 2 ，o 的有界严格凸区域，当p 2 ，p 一1 q 矿一1 时，或1 p 2 ，1 q p 。一1 时，方程( 3 1 1 ) 至少存在一个正解 当q 为球时，我们能得到下面的推论，p = 2 的情形见【2 】 推论i 设q 为以原点为圆心，半径为r 的球时，当p 2 ，p 一1 q p - 一1 时，或1 p 2 ，1 q p + 一1 时，则方程( 3 1 1 ) 至少存在一 个解且该解为径向对称的，满足器 0 ，0 r r 1 9 移动平面和移动球面方法在椭圆方程中的一些应用 4 环域上半线性椭圆方程组正界的对称性和单调性 4 1 引言 1 9 7 9 年，b g i d s 等【2 】用移动平面结合极大值的原理讨论了椭圆方 程正解的对称性和单调性，此后二十几年中，这方面的研究工作开展的 十分活跃，如p 4 】等移动球面是移动平面的变形，简单来说，只是把 对称面由原来的平面换成了球面，基本思想没有变化移动球面的方法 在解决全空间，半空间和环域上的解的对称性和单调性上发挥了重要 的作用，在【1 0 - 1 1 】中都得到了运用本文将【2 4 】中椭圆方程组的窄小区 域的极值原理和移动球面的方法相结合，把【2 5 】中一般形式的单个方程 的解的对称性和单调性推广到方程组的情形 本文考虑如下半线性椭圆型方程组的正解的单调性和对称性问题 f t 上l + ( z ，l z l t n - 2 t 正l ，i 。l 下n - 2 u 2 ，( z v )