（机械设计及理论专业论文）不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动riccati传递矩阵法.pdf

摘要 本文研究了不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法的理论 及应用，取得的研究成果包括： 1 基于r i c c a t i 传递矩阵法，给出了不定参数旋转机械系统动力学响应问题的摄动 r i c c a t i 传递矩阵法，导出了一阶、二阶摄动计算公式，并给出了动力学响应问题的 摄动r i c c a t i 传递矩阵法求解步骤。 2 针对转子轴承系统的横向弯曲振动力学模型，给出了基于m y k l e s t a d p r o h l 传递矩 阵单元的一阶、二阶摄动计算公式。根据这些公式可以得到各种边界条件下的r i c c a t i 传递矩阵单元的一阶、二阶摄动计算公式。 3 基于动力响应的摄动r i c c a t i 传递矩阵法的基本理论以及r i c c a t i 传递矩阵单元的摄 动计算公式，开发出了动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法的计算程序。 4 通过数值例子来说明如何用摄动r i c c a t i 传递矩阵法计算具有不确定参数的旋转机 械系统的动力学响应问题，而且摄动分析的结果达到了较高精度。 5 基于动力响应的摄动r i c c a t i 传递矩阵法的基本理论，利用摄动分析的结果对具有不 定参数的旋转机械系统的动力学响应问题进行结构参数的优化设计，同时给出了优 化公式。 6 基于r i c c a t i 传递矩阵法的摄动分析方法不仅适用于不定参数旋转机械系统动力响 应问题的研究，同时还适用于一维及类一维不定参数结构系统动力响应问题的摄动 计算分析。 关键词：不定参数旋转机械摄动r i c c a t i 传递矩阵法动力学响应 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep e r t u r b a t i o nr i c c a t it r a n s f e rm a t r i xm e t h o df o rp r o b l e m so fd y n a m i c r e s p o n s eo fr o t a t i n gm a c l l i n e r ys y s t e mw i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sw a si n v e s t i g a t e d rt h e i m p o r t a n td e v e l o p m e n t sa c h i e v e di n c l u d e ： 1 b a s e do nt h er i c c a t it r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，t h ep e r t u r b a t i o nr i c c a t it r a n s f e rm a t r i x m e t h o dw a sp r e s e n t e df o rp r o b l e m so fd y n a m i cr e s p o n s eo fr o t a t i n gm a c h i n e r ys y s t e m w i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，a n dt 1 1 e15 a n d2 0 0o r d e rp e r t u r b a t i o nf o r m u l a sw e r e d e d u c e d ，a n dt h ep e r t u r b a t i o nr i c c a t it r a n s f e rm a t r i xs o l u t i o np r o c e s so fd y n a m i c r e s p o n s ew a sp m s e n t e d 2 b a s e do nt h em o d e lo fl a t e r a lb e n d i n gv i b r a t i o no fr o t o r - b e a r i n gs y s t e m ，t h e ：a n d2 ”4 o r d e rp e r t u r b a t i o nf o r m u l a sf o rm y k l e s t a d p r o h lt r a n s f e rm a t r i xu n i t sw e r ep r e s e n t e d a c c o r d i n gt ot h e s ef o r m u l a s ，t h e1 “a n d2 叫o r d e rp e r t u r b a t i o nf o r m u l a sf o rr i c c a t i t r a n s f e rm a t r i xu n i t sw i t hd i v e r s i f i e db o u n d a r yc o n d i t i o nw e r ep r e s e n t e d 3 b a s e do nt h ep e r t u r b a t i o nr i c c a t it r a n s f e rm a r xm e t h o do fd y n a m i cr e s p o n s ea n d p e r t u r b a t i o nf o r m u l a sf o rr i c c a t it r a n s f e rm a t r i xu n i t s ，t h ec a l c u l a t i n gp r o g r a mw a s d e v e l o p e d 4 u s e dn u m e r i ce x a m p l e st oi l l u m i n a t eh o wt h ep e r t u r b a t i o nr i c c a t it r a n s f c rm a t r i x m e t h o dc a nb eu s e dt oc a l c u l a t ep r o b l e m so fd y n a m i cr e s p o n s eo fr o t a t i n gm a c h i n e r y s y s t e mw i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，a n dt h a tt h ea c c u r a c yo fp e r t u r b a t i o nr e s u l t s a r e h i g h e l 5 b a s e do nt h er i c c a t it r a n s f e rm a t r i xm e t h o do fd y n a m i cr e s p o n s e ，t h ep e r t u r b a t i o n r e s u l t sc a nb eu s e dt oa n a l y s eo p t i m a ld e s i g no fd y n a m i cr e s p o n s eo fr o t a t i n gm a c n n e r y s y s t e mw i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，a n df o r m u l a so f o p t i m a ld e s i g nw e r ep r e s e n t e d 6 t h e p e r t u r b a t i o nm e t h o db a s e do nt h er i c c a t i t r a n s f e rm a t r i xm e t h o dc a r lb eu s e dt o a n a l y s e n o t o n l yd y n a m i cr e s p o n s ep r o b l e m so fr o t a t i n gm a c h i n e r ys y s t e mw i t h p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，b u ta l s oa n yd y n a m i cr e s p o n s ep r o b l e m so fo n e - d i m e n s i o n a la n d l i k eo n e d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a ls y s t e m k e yw o r d s ：p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s r o t a t i n gm a c h i n e r yp e r t u r b a t i o n r i c c a t i t r a n s f e rm a t r i xm e t h o dd y n a m i cr e s p o n s e i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得河 南工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 论文作者签名叁之佳日期至! ! ! ：点：丝 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南工业大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；本 人授权河南工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编 学位论文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：襞之j 整日期：砭! ：点：幽 导师签名： 撇日期：旦呈乒 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c z t i 传递矩阵法 第一章前言 本章提要：本章首先讨论了不定参数的概念，描述了旋转机械的结构特点，以给水泵 转子为例，分析旋转机械系统中存在的不确定因素，对这些不确定因素产生的原因进行 了分析，阐述了研究不定参数旋转机械系统动力学的方法和意义。 1 1 不定参数的概念 自然界中，存在着各种各样的不确定因素，这些不确定因素制约着、甚至是支配着 大自然的运动规律。广义地讲，自然界的各种不确定性是一种普遍现象，而“确定性” 只能是相对的概念。人们认识自然的过程，就是不断地研究这些不确定因素与自然界的 运动规律之间的联系的过程。 人们在对自然界所进行的科学研究过程中，建立起了一系列数学的、物理的、化学 的等分析方法和模型，这些方法和模型在一定的条件下、或者说是在人们的认知范围内 客观地反映了自然界的运动规律。而在这些方法与模型中，有些因素是可以用严格的数 学常数、变量、或完全确定的数学函数来表达的，这些因素我们都称之为确定性因素， 代表确定性因素的参数称之为确定性参数、或确定参数；而有些因素根本就是无法确定 的，或者，虽然也可以用一些变量或函数来表示，但这些变量或函数并没有确定的取值、 或者取值是由某种特定的条件待定的，代表这些不可知因素或不确定或不完全确定因素 的参数就称之为不确定参数、或不定参数。 在实际的工程问题中存在着许许多多的不确定因素，例如我们在力学问题计算中经 常用到的杨氏模量，并没有唯一的取值，它本身就是在大量材料试验的基础上得到的平 均值，在不同的工作条件和不同的环境温度下，它的取值是有差异的，只有在这个差异 不会对所研究问题的结果产生明显影响、或者这种影响是可以忽略的条件下，才可以把 它作为常数，作为确定参数，否则，就要作为不确定参数考虑。所以不定参数是一个相 对的概念。再例如，结构的几何形状和几何尺寸，由于测量条件和测量手段的限制，也 不可能完全确定；建筑物承受的风力载荷和地震载荷完全是不确定载荷；桥梁上通过的 汽车、火车的不确定性使得桥梁所承受的载荷同样也是不确定的等等。所有这些含有不 确定参数的工程结构系统都称为不定参数结构系统。 河南工业大学硕士论文 1 2 旋转机械的不定参数 1 2 1 旋转机械的结构特点 如图1 1 ，某锅炉给水泵转子的实物图，该转子总长度2 4 7 m ，重量3 2 4 k g ，工作转 速4 7 0 0 r m i n 。转子上共有五级叶轮，叶轮与转轴间是热装配合，在首级叶轮前的低压 端有一0 4 8 7 m 长的轴套靠端部的螺纹压紧，轴套与转轴间是间隙配合；末级叶轮与平 衡盘间是外径较大轴套，轴套与转轴间也是间隙配合，配合长度o 2 3 9 m ，轴套靠平衡 盘上的螺纹压紧。平衡盘之后是长度为o 1 9 m 的轴套，轴套与转轴间同样是间隙配合， 并靠末端的螺纹压紧，且配合尺寸、压紧力与低压端的轴套类似。 图11 给水泵转子实物图 该锅炉给水泵转子是典型的旋转机械，它的两端由滑动轴承支撑，滑动轴承的作用 是承担转子运行时的各种载荷。转子的中间有多级叶轮，根据输出的压力、流量、工作 转速的不同，叶轮的级数一般有4 1 0 个不等。每通过一级叶轮的水的流量是相同的， 但每个叶轮的输出水的压力却不同，通过每级叶轮，其中的水介质就被增压一次，最终 叶轮的输出压力一般在1 2 0 2 6 0 个大气压。由于工作环境恶劣，叶轮与转轴之间大都是 热装配合。另外，为了避免高压端的水流向低压端，每两级叶轮间都有机械密封，轴的 两端一般都有轴套，轴套的作用主要是为了避免水介质的外泄，同时还避免转轴直接与 壳体接触。轴套与转子之间通常都是间隙配合，并通过端部的螺纹压紧。 反映给水泵运行性能的指标，主要包括给水泵转子在正常工况条件下的i | 岛界转速、 动力响应、失稳转速等等，其中以临界转速最受人们的关注。给水泵转子在正常工作时 2 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 的临界转速( 又称湿临界转速) 与在空气中的临界转速( 又称干临界转速) 有很大的差异。 干临界转速一般都远低于转子的正常工作转速，而湿临界转速则要高于转子的正常工作 转速。由于湿临界转速是给水泵转子正常运行时的动力学性能，它对转子工作时的运行 稳定性的影响也最为直接，所以，湿临界转速是给水泵所有动力学性能指标中最为重要 的指标。影响湿临界转速的因素主要有：滑动轴承、密封口环、转子的机械结构等等。 1 2 2 滑动轴承中的不定参数 在旋转机械系统中，滑动轴承的油膜动力学特性是影响系统动力特性和稳定性的重 要因素之一。在转子动力学的研究中大都是将滑动轴承的影响看作是两个互相垂直方向 的油膜力，油膜力与轴颈位移和速度之间的关系是相当复杂的非线性关系。一般是由雷 诺方程导出油膜压力分布，然后根据不同边界条件对压力进行积分得出油膜力。在进行 稳定性和响应特性分析时，一般是用油膜力在轴颈的静平衡位置附近的线性化表达式， 这线性化表达式中有四个油膜刚度系数和四个油膜阻尼系数，统称为油膜动力特性系 数口“”。 当转子由滑动轴承支承时，其动态行为除了受制于转子本身几何参数、物理参数、 运行转速等参数外，在很大程度上还取决于滑动轴承的动态特性，这时滑动轴承的支承 作用被充分地显示出来。从积极的意义上说，转子在工作中，滑动轴承所提供的阻尼能 有效地起到抑制转子振动的作用，使系统平稳地渡过临界转速，实现超临界高速运行； 但不利的一面是当转子工作转速超出定范围时，滑动轴承的动态油膜力可能导致整个 系统产生自激振动，从而出现特有的“油膜涡动”现象。因此，轴承动力特性直接关系 着旋转机械的工作效率、可靠性和寿命。 由于油膜力特性系数之间缺乏内在联系且很繁杂，有些学者提出了一种基于实验和 连续油膜假设的简化的滑动轴承动力特性模型【4 j 。滑动轴承油膜对转子的支撑作用可以 简化成如图1 2 所示的力学模型，油膜作用在转予上的动态油膜力 目可以表示为 f 吲c 】饼 其中，t 足，= 乏乏 ，为刚度系数矩阵，c c ，= 芝乏 ，为阻尼系数矩阵。、 唧、哂被称为油膜的交叉动力系数，交叉动力系数的大小和正负很大程度上影响着轴承 的稳定性。与系数k 、b 对应的油膜弹性力是保守力，在转子转动一周的过程中作功 为零；与系数、劬对应的油膜阻尼力恒作负功，即消耗能量。与系数b 、对应的 3 河南工业大学硕士论文 油膜弹性力是非保守力，它们与系数勺、铷对应的油膜阻尼力一样，在转子转动一周 的过程中所作的功可以为正( 即向转子系统输入能量) ，也可以为负( 即消耗系统能量) ， 这取决于转子涡动轨迹的形状、动力系数的正负和大小。如果，在转子转动一周的过程 中向转予系统输入的能量小于各种阻尼所消耗的能量，那么涡动就会越来越小，并趋于 消失，这时系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。因此，油膜的交叉动力系数的大小 和正负对转子的稳定性起着十分重要的作用【2 ”。 劬 纛弧蔓 箩一 图1 2 滑动轴承动力学模型 油膜的动力系数取决于滑动轴承的各种工作参数，即取决于轴颈在滑动轴承中的静 平衡位置，在不同的静平衡位置工作，就会有不同的动力系数。由于加工手段和加工精 度、几何形状和尺寸上的测量误差、轴承在工作中的自然磨损、轴承承受载荷的波动等 等，这些不确定因素都会导致静平衡位置的不确定；因此，油膜的动力系数取决于滑动 轴承的结构形式、几何参数、轴承承受的载荷参数等等。另外，滑动轴承在工作时，润 滑油的温度、粘度、供油压力等也是不确定因素。因此，这些不确定因素决定了油膜的 动力系数是不确定参数。 1 2 3 流体密封中的不确定参数 密封也是转予动力学的重要研究内容之一，其性能直接关系着转子系统的工作效 率。随着旋转机械向高速、高效率方向的发展，流体密封的作用也日趋重要。对转予系 统密封动力学的研究包括其动力学特性分析、稳定性分析和效能分析等，是当前国际上 4 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 转子动力学研究中的一个很活跃的领域。但遗憾的是我国尽管在密封工艺、可靠性等 方面也做了很多研究，但在密封动力学的研究方面还很欠缺【6 】。由流体密封产生的密封 力对转子的稳定性也有很大的影响。7 0 年代，美国航天飞机的高速燃料泵转子系统由于 密封形式不当而导致过大的分频涡动振动，以至转予无法达到额定转速。一些大型汽轮 发电机组的高压转子在运行中所出现的亚同步振动，也跟密封力有关口】。 给水泵每两级叶轮间都有密封，密封的结构形式和密封间隙是影响给水泵转子动态 特性和确保给水泵可靠运行的重要因素之一。锅炉给水泵转子由多级叶轮组成，每级叶 轮与密封环和平衡盘与节流衬套之间都有一定间隙。水通过这些间隙的被增压，起着水 力轴承的作用，形成隐态跨距，缩短了支承距离。特别是在高速，密封环部分压差的情 况下，密封环处产生的流体力会使转子出现振摆回转的情况。密封环的形状、宽度比、 间隙、压差等都对轴系稳定性有影响。 在动态情况下密封所引起的作用在转子上的密封动力的系数可以简化为和与油膜 动力特性系数相似的形式，密封力表达式如式( 1 1 ) 。 密封动力的系数受密封面沟槽的形状和几何尺寸、密封间隙、密封件的磨损、密封介质 温度的变化、承受载荷的波动等这些不确定因素的影响。由于密封面沟槽由于加工手段 和加工精度、几何形状和尺寸上的测量误差，会导致密封间隙的大小不确定，密封件的 磨损同样会引起密封间隙的变化，在转子运行过程中，密封介质温度的变化也是不确定 因素，因此这些不确定因素导致密封力也是一个不确定参数。 图1 3 轴承座和基础的简化模型 5 河南工业大学硕士论文 1 2 4 基础中的不确定参数 转子系统在滑动轴承起支撑作用时，轴承座和基础也可以简化为质量一弹簧一阻尼 器模型。相应的动力特性系数矩阵可以简化为和与油膜力相似的形式： k 朴呲) 其中 ( 1 2 ) 畅】一k k b y , 乏j 为刚度系数矩阵 g 】5 l 乏c b v t j 为阻尼系数矩阵 这一动力特性系数矩阵综合反映了轴承座和基础的刚度及阻尼特性。轴承座及基础 在x 、y 方向的等效质量分别用 缸、m o y 表示，因此整个支承可简化为图1 3 的模型， 即各向异性的支承模型。 基础的动力学参数通常是通过实测的方法得到的，即【岛 和 g 是通过大量的实验 得到的统计平均值，不是确定参数。另外，基础的动力学参数也可通过计算的方法得到， 例如有限元分析计算，用有限元法计算时，其中几何参数、边界条件以及物理参数( 如 杨氏模量等) 等不是确定的值，这些参数的取值是在一定范围内变化的。因此，基础的 动力学参数是不确定参数。 1 2 5 转轴上的不确定参数 旋转机械转轴上通常带有附件( 如叶轮、轴套、轮毂等) ，它们会对轴的刚度产生 一定的影响。对于该给水泵转子，叶轮与转轴间是热装配合，轴套与转轴间是间隙配合， 轴套靠端部的螺纹压紧，因此，叶轮、轴套对转轴的弯曲刚度有加强作用，其加强作用 的强弱取决于叶轮、轴套与转轴间配合的紧力、叶轮轮毂的厚度、配合的长度等。低压 端的轴套和高压端平衡盘后面的轴套有相近的外径尺寸，且都是间隙配合，它们对转轴 弯曲刚度的加强作用主要取决于两端螺纹的压紧力；最后一级叶轮及平衡盘间的轴套对 转轴弯曲刚度的也有加强作用，它的加强作用主要取决于轴套的外径和螺纹的压紧力。 压紧力的大小是一个不确定因素，因为压紧力是靠螺纹压紧实现的，压紧力的大小 取决于螺纹的压紧程度，而螺纹的压紧程度是不确定的；轴套与转子之间通常都是间隙 配合，间隙的大小对轴的刚度也有影响，由于叶轮、套简、轮毂等这些附件在加工中存 在几何尺寸的偏差、测量的偏差，加工工艺和安装工艺中同样存在不确定因素的干扰。 因此，间隙的大小也是个不确定因素。因此，这些因素使得这种对转轴刚度的加强作 6 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a f i 传递矩阵法 用具有一定的不确定性，这种不确定性必然会导致转轴刚度参数的不确定性，其刚度的 增加量可以作为不确定参数。 由以上分析可知，旋转机械系统中存在着这些不确定因素，因此，需要对它们进行 深入的研究，从而分析这些不确定因素对转子稳定性的影响。 1 3 不定参数旋转机械系统动力学研究的方法 1 3 i 传递矩阵法 旋转机械动力问题的研究，可以追溯到1 0 0 多年以前。但是，现代意义上的转子动 力学问题研究，始于2 0 世纪的6 0 年代 】，n e w k i r k 、l u r i d 、g l i e n i c k e 等人在这方面做 了开创性的工作。有关线性及非线性转子动力学问题的研究，国内外学者做了大量的工 作，我国在许多方面的研究处于国际先进水平。但是，国内外有关具有不定参数的旋转 机械系统动力学问题研究的报道并不多见。 从理论上讲，结构动力学问题，可以用有限元素法进行分析。用有限元素法分析转 子动力学问题是否可行呢? 答案是否定的。由于旋转机械中油膜轴承、气体密封、液体 密封动力学特性参数的不对称性和阻尼的作用 3 , 7 , 8 , 1 1 , 1 2 】，以及转子陀螺力矩等因素 2 - 3 j i ， 用摄动有限元素法研究此类问题时，会遇到刚度阵不对称、阻尼阵不对称、非比例阻尼、 大阻尼、甚至质量阵不对称问题p 3 1 ”，因此，这类问题不能用摄动有限元素法进行分 析 2 - 3 , 7 “1o 】。特别是在研究旋转机械系统的稳定性问题时，若作对称化处理，会丢失一些 重要的信息，影响分析结果。这正是转子动力学问题与结构动力学问题的不同之处。用 有限元素法来研究不确定参数旋转机械系统动力学问题时，同样也会遇到此类问题，因 此，有限元素法同样不适合研究不确定参数旋转机械系统动力学问题。 我们知道，传递矩阵法是研究旋转机械系统动力学问题的有效方法，在转子动力学 问题的研究当中，传递矩阵具有独特的优点。典型的传递矩阵计算方法有m y k l e s t a d p r o h l 传递矩阵法和r i c c a f i 传递矩阵法。 在转子动力学问题的研究当中，传递矩阵法具有其它方法( 如有限元素法) 无法比拟 的优点。例如，在做转子系统的阻尼固有频率、临界转速和稳定性计算分析时，由于油 膜轴承、液体或气体密封交叉刚度、阻尼项往往是不对称的；再加上陀螺力矩的影响， 用有限元素法形成的单元刚度阵和系统总体刚度矩阵是不对称的；阻尼也无法简单地以 比例阻尼或小阻尼系统来替代。求解这样一个非对称系统的复特征值问题，还没有个 比较理想的方法。而传递矩阵法却没有有限元法在求解这样的非对称大阻尼系统特征值 7 河南丁业大学硕士论文 问题时所带来的这些困难，所以，传递矩阵法在转子动力学问题的研究中占有主导的地 位 2 - 3 , h 。 1 3 2 摄动理论的研究概况 摄动，原本是个天文学名词，是指一较小的扰动或影响某一现象的微小因素。在量 子力学中把它叫做微扰( 摄动和微扰在英文里是同一个词p e r t u r b a t i o n ) 。在应用数学中， 一般称为“摄动”【2 3 】。 在天文学中，“摄动”通常指天体在某一引力场中的周期运动轨道受到其他天体影 响所产生的小扰动。例如，在发现冥王星之前天文学家在观测、分析海王星的轨道时， 发现它还受到一个未知天体的摄动，并精确推算了该未知天体的轨道、周期，后来果然 发现了冥王星。 天文学家l i n d s t e d t 等人通过研究行星轨道的摄动问题创立了摄动理论( p e r t u r b a t i o n t h e o r y ) 。于是l i n d s t e d t 等人就尝试将它的解用小参数的幂级数来表示。虽然这些级数解 常是发散的，但由于能正确地描述和解释各种天体现象，也就被广泛采用，但人们对这 种发散级数得出正确结论存在着质疑。直到1 8 9 2 年，数学家、力学家p o i n e a r e 在他的 著作天体力学的新方法( n e wm e t h o d so fc e l e s t i a lm e c h a n i c s ) 对以上质疑给出了解 答。他用严格的数学方法证明了这些级数虽然是发散的，但却是一种“渐近级数”，即 虽然它的部分和当胛_ o o 时不趋于有限值，但它的前几项之和当i 占i 充分小时，可任 意接近原问题的解，因此能够精确地表达自然现象【甜】。 建立了严格的数学理论后，摄动法方被自然科学家们承认，并广泛应用到自然科学 的各领域中，2 0 世纪5 0 年代后期发展更为迅速，天文学家用它来研究天体现象，力学 家们用它来研究力学现象( 如流体、固体和等离子体等中的力学问题) ，物理学家应用它 来研究物理现象( 如光、声、电磁等中的波动问题) 。近年来，还被用来研究化学( 如化学 反应动力学) 、生物学( 如生物振荡) 以及控制论( 如最优控制) 中的许多问题。 在实际工程中，很多大型复杂结构( 如飞机、海洋钻探平台、航天器、高速车辆等) 在做动态设计时，结构的振动设计与分析时非常重要的。由于结构系统的复杂性，大型 结构模型的自由度数通常很大，因此在设计过程中不得不进行大量的计算、分析，这是 相当费时、费力的，特别是在结构的反复迭代设计、优化设计与分析过程中，这种弊端 就更加明显。结构振动分析的矩阵摄动理论，主要研究结构参数有小变化后，结构固有 频率和固有振型的变化趋势和规律，因而正是进行结构重分析、优化设计及结构动态灵 敏度分析的有力工具。所以，对矩阵摄动理论的研究，具有很高的理论价值和学术价值。 8 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 1 3 3 矩阵摄动理论的研究概况 小参数摄动法在不定参数参数结构系统的摄动有限元分析当中有十分重要的地位。 所以研究小参数摄动方法对不定参数结构系统和随机参数结构系统都是很有意义的。由 于结构动力学问题的小参数摄动方法都是使用矩阵进行的，所以有时又称为矩阵摄动方 法。 在结构动力学领域，最早研究矩阵摄动法的是f o x 2 ”。后来，r u d i s i u t 2 “，c h e n t 2 7 】 等人相继发表了关于矩阵摄动法的论文。他们的工作都仅限于结构系统只存在孤立特征 值的最简单情况。对称结构、频率优化结构以及比较复杂的空间结构，常会遇到重特征 值情况，对于这种复杂情况的矩阵摄动法的基本思想。是由h a u g r o u s s e l e t t 2 ”、胡海昌 和陈塑寰彼此独立地提出的。陈塑寰【2 9 】、胡海昌【3 0 1 对小参数摄动方法都做了系统的研究， 陈塑寰还对这方面的研究成果做了比较全面的总结【3 0 l 。 上述研究工作都是以实模态理论分析为基础的，但对于转子动力学问题，例如旋转 机械系统，系统的刚度矩阵和质量矩阵出现不对称、或者系统阻尼是非比例阻尼时，实 模态的矩阵摄动理论已不再适用，因而需要采用更为复杂的模态矩阵摄动理论。殷学纲、 蹇开林提出了基于m y k l e s t a d p r o h l 传递矩阵法的摄动传递矩阵方法，并用于研究转子动 力学问题，他们也曾给出了基于r i c c a t i 传递矩阵的摄动传递矩阵法。但他们均没有涉 及复特征值问题的摄动，也没有提及重特征值问题的摄动，有关特征向量的摄动计算还 存在一些问题，对摄动传递矩阵法的工程应用也很少涉及。刘保国深入地研究基于 r i c c a t i 传递矩阵的摄动传递矩阵法，给出了一维结构系统孤立特征值问题及其特征向 量、重频特征值问题及其特征向量的摄动求解方法，并对响应问题的摄动r i c c a t i 传递 矩阵法进行了初步研究，并取得了一系列的重要研究成果，这些成果在旋转机械系统得 到了应用【”。 1 4 不定参数旋转机械系统动力学研究的意义 转子的临界转速、动力响应与转子一轴承系统的各种参数有关，某一阶临界转速对 系统某些参数的变化可能是敏感的，而对另一些参数的变化可能是不敏感的。转子轴承 系统各种参数有微小变化时，系统各阶临界转速、动力响应有何变化? 这是一个设计人 员所关心的问题。因为在设计过程中，有可能遇到与此有关的问题，例如： 1 如所设计转子的某阶临界转速与工作转速比较接近，根据实际可能，修改哪些 参数，能最有效地避开该阶临界转速? 9 河南工业大学硕士论文 2 具有滑动轴承的转子，由于油膜作用会出现半频涡动，当工作转速接近其一阶 临界转速的二倍时，有可能出现失稳现象。对于这种转子，应修改哪些参数可 以提高其一阶临界转速，使得在工作转速范围内不会失稳? 3 一个新设计的转子一轴承系统，在支承的各种参数尚未测得之前，往往选用其 它类似支承的参数来计算系统的临界转速。一旦这些参数测定后，如与计算时 所采用的估计值略有差别，能否简单而且定量地估算出由于这些差别导致系统 临界转速的变化量? 以上这些问题用摄动传递矩阵法都可以得到很好的解答。 用摄动方法研究不定参数旋转机械系统动力学问题的目的主要有两个：其一是对随 机参数结构系统，主要目的是要解决随机参数结构系统的动力学分析问题，如随机特征 值问题、随机动力学响应问题、以及由于参数的随机性所带来的结构系统的可靠性分析 问题等等；其二是利用系统的动力学特性与动力学响应对摄动参数的依赖关系，解决结 构系统特征值、特征向量和动力学响应的快速重分析、结构参数的优化设计、以及结构 系统动力学特性和动力学响应的灵敏度分析、不确定参数的识别等问题。 随着我国工业化和现代化步伐的加快，对能源、电力的需求将日益增加，能源、电 力的短缺将是长期困扰我经济发展的瓶颈。在这些领域，旋转机械是至关重要的设备， 其运行的可靠性和稳定性直接影响到这些部门的生产效率、经济效益、甚至安全性。本 项研究的成果，可以用于各种水轮机发电机组、汽轮发电机组、大型离心机、压缩机等 旋转机械的可靠性和稳定性分析，可以对这些设备的动力可靠性进行分析，从而提高旋 转机械设备运行的效率、经济效益和安全性。 另一方面，随着我国航天航空事业的发展，在微重力环境下运行的旋转机械将是人 们研究的下一个课题。由于在微重力环境下，随机因素和随机干扰的作用不容忽略，因 此，本项目研究的成果，也可能应用到航空航天领域微重力环境下运行的旋转机械设备 的动力学问题研究和可靠性分析。 一维结构作为一类特殊的结构在工程中十分普遍，许多工程结构都可以简化成一维 结构，例如，各种管道，有输油管道、输水管道，铁路和公路的路基、桥梁，还有常见 的各种旋转机械和透平机械的转子等等。以上这些在一定条件下，都可以把它们简化为 一维结构系统。在这类结构系统中同样有大量的不确定因素存在，例如，对输油和输水 管路来说，各个时间经过输油或输水管道的流量、流速可能是变化的，管路基础的性能 可能是随机的，管路的几何尺寸可能是不均匀的等；对铁路和公路来说，汽车或火车的 通过速度、载荷量是难以确定的，路基的厚度和性能是不均匀的。基于r i c c a t i 传递矩 阵法的摄动分析方法，同样适用于一维或类维的不定参数结构系统。 1 0 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 1 5 本章小结 本章以给水泵转子为例，对旋转机械结构系统中的不确定参数进行了分析，指出了 滑动轴承、流体密封、轴承基础和转子结构中存在的不确定因素，并对这些不确定因素 产生的原因进行了分析。根据转子动力学与结构动力学在结构上的差异以及研究方法上 的不同，指出了摄动有限元素法不适于不定参数旋转机械系统动力学问题研究的原因。 同时，对摄动传递矩阵法的国内外研究现状做了回顾，阐述了本课题研究的工程背景和 意义。 河南工业大学硕士论文 第二章摄动r i e e a t i 传递矩阵法的基本理论 本章摘要：本章对传递矩阵法作了回顾，对两种常用的传递矩阵法m y k l e s t a d p r o h l 传递矩阵法和r i c c a t i 传递矩阵法的各自特点进行了分析。其中，r i c c a t i 传递矩阵法由 于其更鲜明的优点在工程中得到了广泛应用。因此，本章基于r i c c a t i 传递矩阵法，给 出了不定参数旋转机械系统动力学响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法，导出了一阶、 二阶摄动计算公式，并给出了动力学响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法求解步骤。通 过数值例子来说明如何用摄动r i c c a t i 传递矩阵法计算具有不确定参数的旋转机械系统 的动力学响应，并分析了摄动r i c c a t i 传递矩阵法的计算精度。 2 1 传递矩阵法简介 1 9 4 4 年m y k l e s t a d 用初参数法研究了飞机机翼和梁的横向振动问题，1 9 4 5 年p r o h l 用初参数法计算了柔性转子的临界转速。以后，随着电子计算机技术的发展，以及矩阵 运算在力学问题中的大量使用，初参数法也发展成为传递矩阵法。由于m y k l e s t a d 和p r o h l 最先把这种方法用于解决一维结构的振动问题，所以人们习惯把这种方法称为 m y k l e s t a d p r o h l 传递矩阵法1 2 。 m y k l e s t a d p r o h l 传递矩阵法有很多优点，如矩阵的维数不随结构自由度数的增加而 增大、计算速度快、程序设计简单、占用内存少等，所以在工程中得到了广泛的应用。 但是，在这种方法大量应用的过程中，人们发现这种方法也存在一个问题，就是当计算 的频率较高、或结构的自由度数较多、或结构支承的剐度很大时，会出现数值不稳定现 象，从而使计算结果的精度大为降低p 部“。为此，1 9 7 8 年h o m e r 和p i l l e y 提出了r i c c a t i 传递矩阵法【3 9 1 ，这种方法保留了m y k l e s t a d p r o h l 传递矩阵法的全部优点，且计算精度高， 数值上也比较稳定。r i c c a t i 传递矩阵法在使用过程中遇到的另一个问题是在特征根的搜 索过程中剩余量有许多无穷大奇点，因此可能产生增根现象，1 9 8 7 年王正在研究了这 现象后给出了这种奇点的消除方法【4 0 】。 传递矩阵法是研究旋转机械系统动力学问题的有效手段。传递矩阵法还具有其它方 法( 如摄动有限元素法) 无法比拟的优点。例如，在做转子系统的阻尼固有频率、临界转 1 2 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 速和稳定性计算分析时，由于油膜轴承、流体密封的交叉刚度、阻尼项往往是不对称的， 再加上陀螺力矩的影响，这样，用有限元素法形成的单元刚度阵和系统总体刚度矩阵是 不对称的，阻尼也无法简单地以比例阻尼或小阻尼系统来替代，求解这样一个非对称系 统的复特征值问题，还没有一个比较理想的方法。而传递矩阵法没有有限元法在求解这 样的非对称大阻尼系统特征值问题时所带来的这些困难。所以，传递矩阵法在转子动力 学问题的研究中占有主导的地位 2 3 , 3 9 4 8 】。 摄动r i c c a t i 传递矩阵法，由于避免了模态截断误差的问题，因此在分析不定参数 的旋转机械系统特征值、特征向量问题时，其摄动分析的结果较摄动有限元素法有更高 的精度”3 5 。”。因此，本文拟用摄动r i c c a t i 传递矩阵法，作为具有不定参数的旋转机械 系统动力响应问题研究的基础。下面先介绍一下动力响应问题摄动r i e c a f i 传递矩阵法 的基本思想和公式。 2 2 响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 如图2 1 所示，为一般转子轴承系统的横向弯曲振动计算模型，这是一个由个 集中质量、一1 个无质量弹性轴段和m 个支承组成的转子一轴承系统。如图2 2 所示 的传递单元，是任意一个传递单元，是由第i 个集中质量和第i 个无质量轴段组成，并 以第f 个截面处x 、y 方向的位移孙y f ，转角最，、岛，弯矩 矗、晦和剪力旦k 、q _ 构 成如下状态向量 矿 ，= z ，b ，鸭，q ，弘一致，一 t ，g ： n 一2n 一1 nn + i 吵败一啦 图2 1 转子轴承系统的力学模型 在考虑外力作用时，用m y l d e s t a d p r o h l 传递矩阵法，可以得到转子轴承系统第i 个单元上第i 和第i + 1 截面状态向量间的递推关系如下 1 3 河南工业大学硕士论文 ) 。= 【r 】。 f 矿) 。+ p 。 ( 2 2 t 1 ) 其中 叨，是由2 r 个元素组成的状态向量， 刀。是2 r x 2 r 的单元传递矩阵【2 3 j 。 图2 2 传递单元模型 根据r i c c a t i 传递矩阵法的基本思想，依照起始截面的边界条件，司以把旋转机械 转子一轴承系统第i 个截面的状态向量 叨。重新组合成两个歹0 向量( ， 。和 p ) 。，其元素数 都是r 个，且满足起始边界条件价i = o ) ， e l l 0 ) 。用r i c c a t i 传递矩阵法，可以得到 各截面状态向量间的传递关系如下1 3 4 6 4 7 。= 【 。+ 【m ：】。喊+ 弓- ( 2 2 - 2 a ) 。) 。= 【地。】。 ，) ，+ “：】， e 。+ ， ( 2 2 2 b ) 引入r i c c a t i 变换 n = 吼 e j l + q j ( 2 - 2 3 ) 把式( 2 2 3 ) 代入式( 2 2 2 a ) 和式( 2 2 2 b ) ，展开得到 = 【“2 l s + u ：r ( e ) l + t 一 q 。) ( 2 2 4 ) + 。3 【“- t s + 吼 十蝴1 扣i + lq - q ，) 5 1 - u 。s - - u 1 ：】【地，s + u ：h q 其中 q ， ，= h 】。 q ，+ 弓) i ( 2 2 - 6 a ) q j j = k 】。 q ，+ 跣 ( 2 2 - 6 b ) 对比式( 2 2 3 ) 与式( 2 2 5 ) ，可得到如下递推关系： ( s l 。= h s + u ，：s + u 2 ：1 i 1 ( 2 2 7 ) 1 4 不定参数旋转机械系统动力响应问题的摄动r i c c a t i 传递矩阵法 q ) 。= 9 ， ，一i s 。 q ( 2 2 8 ) 其中，闷，就是所谓的r i c c a t i 传递矩阵， q ，是r i c c a t i 传递矩阵的广义力向量； u 1 1 ，、 u 1 2 i 、 z 2 1 i 、【b 2 2 i 是r x r 的子矩阵，由 刀根据起始边界条件重新组合后得到； 只 ，、 ，分是由 毋。根据边界条件重新组合后得到。 2 3 摄动r i c c a t i 传递矩阵法计算公式 假定白( j = 1 ，m ) 是系统的m 个不确定参数，这些不确定参数可表示为 q = 6 ，。( 1 + 勺) ( ，= 1 ，埘)( 2 3 1 ) 其中，如是不确定参数的初值，蚓“1 ，是小参数。 由于系统参数的不确定，必然导致系统动力响应 g ) ；、仂，的不确定，因此，动力响 应 p ，、 ， ，可根据t a y l o