（材料学专业论文）化学沉积cofebre合金镀层电化学性能和分形的研究.pdf

化学沉积c o f e b r e 合金镀层 电化学性能和分形的研究 摘要 本文研究了化学沉积c o f e b r e 合金镀层的电化学性能和分形。采用化学沉积 c o f e b 合金的最佳配方，分别考察了稀土介入在3 n a c l 、3 h c l 、5 0 h 2 s 0 4 、 2 0 n a o h 和1 0 h n 0 3 这5 种溶液中镀层的电化学性能( 1 姒7 e l 曲线、循环伏安 曲线和交流阻抗曲线) ，得到不同溶液对镀层的腐蚀影响，并对其微观形貌进行观察， 用a f m 图像计算得到分形维数，对微观形貌进行表述；在化学沉积c o - f e - b 工艺最 佳配方基础上添加不同种类稀土元素，考察稀土种类和含量在不同溶液中对电化学性 能的影响，探讨含稀土c o f e b 合金中稀对合金镀层工艺、组织结构和性能的作用 机理和影响方式，分析其电化学腐蚀，并考虑分形维数与腐蚀的内在关系，以期获得 综合性能优异的化学沉积钴基合金软磁薄膜。结果表明：在3 n a c l 溶液中，适量 稀土的添加能够给增强镀层的耐腐蚀性能，随着稀土c e 添加量的增加，t a f e l 曲线自腐蚀电位先正移后负移，循环伏安曲线还原峰电位先负移后正移，在c e 添加量在o 8 9 l 耐腐性能最好，对予不同稀土，随稀土原子序数的增大，耐腐蚀性能 也呈现先增大后减小的趋势，添加重稀土( s d ，t o ，d y ) 的镀层耐腐蚀性能优于添加轻 稀土( y ，l a ，c e ) 。在3 h c i 、5 0 h 2 s 0 4 、2 0 n a o h 溶液中，添加稀土后镀 层耐腐蚀性能都有所下降，加入重稀土元素镀层耐腐蚀性能降低较少。利用高度相关 函数法对a f m 图像计算得到分形维数可知，稀土元素c e 介入化学沉积c o - f eb 合金镀层后，分形维数增大，对应的镀层组织细小，均匀，致密，稀土c e 添加量为 0 6 0 s g l 时，镀层分形维数较高。对不同稀土而言，添加重稀土镀层的分形维数大 于添加轻稀土的分形维数。分形维数与其镀层在3 n a c i 溶液中耐腐蚀能有着对应的 关系，分形维数越高，其耐腐蚀性能越大。 关键词：化学沉积；稀土；c o f e b r e 合金；分形；电化学性能 s t u d yo f t h ee l e c t r o c h e m i s c a lp r o p e r t i e sa n df r a c t a l o fe l e c t r o l e s sd e p o s i t i o nc o - f e - b - r ea l l o yf i l m s a b s t r a c t t h ee l e c t r o c h e m i c a lp r o p e r t i e sa n df r a c t a lo ft h ee l e c t r o l e s sd e p o s i t i o n c o - f e - b - r ea l l o yf i l m sw e r es t u d i e d o nt h eb a s i so ft h eo p t i m u mf o r r n u l a t i o no f e l e c t r o l e s s d e p o s i t i o n c o - f e - b a l l o y s e f f e c t s o fr eo ne l e c t r o c h e m i c a l p r o p e r t i e s ( t a f e lc u r v e s ，c y c l i cv o l t a m m e t r yc u r v e sa n da c i m p e d a n c ec u r v e s ) o ft h ec o a t i n gw e r es t u d i e di n3 n a c i ，3 h c i ，5 0 h 2 s 0 4 ，2 0 n a o ha n d1o h n 0 3 。f i v ek i n d so fs o l u t i o n e f f e c t so fd i f f e r e n tk i n d so fs o l u t i o no nc o r r o s i o no f c o a t i n gw e r eo b t a i n e d a n d i t s m i c r o m o r p h o l o g i e s w e r eo b s e r v e d f r a e t a l d i m e n s i o n sc a l c u l a t e db ya f m i m a g e se x p r e s st h em i c r o m o r p h o l o g yp r o p e r t i e s o n t h eb a s i so ft h eo p t i m u mf o r m u l a t i o na d d i n gd i f i e r e n tk i n d so fr e d i f i e r e n tk i n d s o fr ea n dd i f f e r e n tc o n t e n t so fr ew e r ea d d e dt oe l e c t r o l e s sd e p o s i t i o nc o f e - b a l l o yc o a t i n g s t h ee f f e c t so fr eo ne l e c t r o c h e m i c a lp r o p e r t i e sa n dp l a t i n gr a t e w e r em e a s u r e di nd i f f e r e n tk i n d so fs o l u t i o n s t h em e c h a n i s mo fa c t i o na n d i n f l u e n c em o d eo nt h ep r o c e s s 。s t r u c t u r e ，p r o p e r t i e sa n de l e c t r o c h e m i c a lc o r r o s i o n o fc o f e ba l l o yc o a t i n gw e r ed i s c u s s e d a n di tw a sc o n s i d e r e dt h a tt h er e l a t i o n b e t w e e nf r a c t a ld i m e n s i o n sa n dc o r r o s i o n i no r d e rt oo b t a i nt h ee l e c t r o l e s s d e p o s i t i o nc o b a l t - b a s ea l l o yf i l mw i t he x c e l l e n to v e r - a 1 1s o f tm a g n e t i cp r o p e g i e s t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h es u i t a b l ea d d i t i o no fr ee n a b l et oe n h a n c et h ep r o p e r t i e s c o r r o s i o nr e s i s t a n c eo fc o a t i n g si n3 n a c ls o l u t i o n s w i t ht h ei n c r e a s i n g a d d i t i o no fc e t h ec o r r o s i o np o t e n t i a lo ft a f e lc u r v ei san e g a t i v es h i f tt h e n p o s i t i v es h i f t ，r e d u c t i v ep e a kp o t e n t i a lo fc y c l i cv o l t a m m e t r yc u r v e sf i r s tp o s i t i v e s h i f tt h e nn e g a t i v es h i f t w h e nc ea d d i t i o ne q u a l st o0 8g l t h ec o r r o s i o n r e s i s t a n c ep r o p e r t i e sa r et h eb e s t f o rd i f f e r e n tk i n d so fr e ，w i t ht h ei n c r e a s i n g a t o m i cn u m b e ro fr e c o r r o s i o nr e s i s t a n c e p r o p e r t i e s i s i n c r e a s i n g f i r s tt h e n d e c r e a s i n g a d d i n gg d ，t bo rd yi sr a t h e rt h a na d d i n gy l a o rc e b u ti n3 h c l ， 5 0 h 2 s 0 4 ，2 0 n a o hs o l u t i o n s ，w i t ht h ea d d i t i o no fr ec o r r o s i o nr e s i s t a n c e p r o p e r t i e si sd e c r e a s e di n s t e a do fe n h a n c i n g w h e na d d i n gb e h i n da t o m i cn u m b e r r ee l e m e n t s ，c o r r o s i o nr e s i s t a n c e p r o p e r t i e s r e d u c el e s s b yh e i g h t - r e l a t e d f u n c t i o n t h ef r a c t a ld i m e n s i o nc a nb ec a l c u l a t e df r o mt h ea f m i m a g e s w ec a ns e e t h ee l e c t t o l e s sd e p o s i t i o nc ec o f e ba l l o yc o a t i n g sw i t hr ej o i n e d t h ef r a c t a l d i m e n s i o n si n c r e a s e ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o a t i n g sa r ec l o s e ，u n i f o r m ，d e n s e w h e nc er e a c h e s0 6 0 8g l f r a c t a ld i m e n s i o n sa r e1 a r g e r f o rd i f i e r e n tk i n d so f r e ，a d d i n gb e h i n da t o m i cn u m b e rr ee l e m e n t s ， f r a c t a ld i m e n s i o na r eg r e a t e r t h a na d d i n gb e f o r ea t o m i cn u m b e rr ee l e m e n t s t h ef r a e t a ld i m e n s i o n sa n d c o r r o s i o nr e s i s t a n c ep r o p e r t i e so ft h ec o a t i n gi n3 n a c is o l u t i o n sh a v ea c o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i p ，t h e f r a c t a ld i m e n s i o na r e l a r g e r , t h e c o r r o s i o n r e s i s t a n c ep r o p e r t i e sa r eb e t t e ri n3 n a c ls o l u t i o n s k e y w o r d ：e l e c t r o l e s sd e p o s i t i o n ；r a r ee a r t h ；c o f e b - r e ；f r a c t a l ；e l e c t r o c h e m i c a l p r o p e r t i e s 图1 1 图1 2 图1 3 图1 4 图1 5 插图清单 土星光环中的缝隙2 三分c a n t o r 集2 图形的比例性质7 网格法测量海岸线的分维 9 1 。8 表面碳膜的形貌【l o l 8 3 1 在s i 基体上沉积的纳米碳膜的a f m 照片【8 3 】2 6 3 2 碳膜的高度相关函数法0 ( 0 随r 的变化【盯】2 6 3 3 化学沉积c o - n i - b 合金a f m 图像2 7 3 4 从a im 图像中截取的t i f f 图像2 8 3 5 程序运行中的图像3 1 3 6 程序运行结果3 2 4 1 化学沉积c o f e b 合金的a f m 图像3 4 4 2 化学沉积c o f e b - 0 2 c e 合金的a f m 图像3 5 4 3 化学沉积c o f e b 一0 4 c e 合金的a f m 图像3 5 4 4 化学沉积c o f e b - 0 6 c e 合金的a f m 图像3 6 4 5 化学沉积c o f e b 0 8 c e 合金的a f m 图像3 6 4 6 化学沉积c o f e b 1 0 c e 合金的a f m 图像3 6 4 7 化学沉积c o f e b 1 2 c e 合金的a f m 图像3 6 4 8 化学沉积c o f e b 0 4l a 合金a f m 图像3 7 4 9 化学沉积c o f e b 0 4g d 合金a f m 图像3 8 4 - 1 0 化学沉积c o f e b - 0 4t b 合金a f m 图像3 8 4 1 1 化学沉积c o f e b 0 4d y 合金a f m 图像3 8 4 1 2 化学沉积c o f e - b - 0 4y 合金a f m 图像3 9 4 1 33 n a c l 溶液下c o f e b r e 镀层的t a f e l 曲线4 l 4 1 43 n a c i 溶液下c o f e b r e 镀层的自腐蚀电位电流曲线4 2 4 - 1 53 n a c l 溶液下c o f e b c e 镀层的t a f e l 曲线一4 4 4 - 1 63 n a c l 溶液下c o f e b c e 镀层的自腐蚀电位电流曲线4 5 4 - 1 73 h c l 溶液下c o - f e - b r e 镀层的t a f e l 曲线4 6 4 - 1 83 h c l 溶液下c o f e b c e 镀层的t a f e l 曲线一4 7 4 1 95 0 h 2 s 0 4 溶液下c o f e b r e 镀层的t a f e l 曲线4 7 图图图图图图 图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 4 2 05 0 h 2 s 0 4 溶液下c o f e b c e 镀层的t a f e l 曲线4 8 4 2 12 0 n a o h 溶液下c o f e 。b r e 镀层的t a f e l 曲线4 8 4 - 2 22 0 n a o h 溶液下c o f e b c e 镀层的t a f e l 曲线4 9 4 2 33 n a c l 溶液下稀土添加量对循环伏安曲线的影响5 0 4 - 2 43 n a c l 溶液下稀土c e 添加量对循环伏安曲线的影响5 l 4 2 53 n a c i 溶液下c o - f e b r e 镀层的交流阻抗曲线5 2 5 1 高度相关函数法c o f e b 0 4 r e 的分形维数5 4 5 23 n a c l 溶液下c o f e b 0 4 r e 镀层的自腐蚀电位分形维数图5 5 5 3 高度相关函数法c o f e b c e 的分形维数5 6 5 - 43 n a c l 溶液下c o f e b c e 镀层的自腐蚀电位分形维数图5 7 图图图图图图 图图图图 表格清单 表2 1 化学镀c o f e - b 合金镀覆工艺基础配方和施镀条件2 0 表4 13 n a c l 溶液中不同稀土对镀层耐蚀性的影响4 1 表4 23 n a c ! 溶液中不同含量c e 对镀层耐蚀性的影响。4 4 表4 3c o - f e - b - r e 置于不同溶液中腐蚀倾向4 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其它人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得 金墅三些盘生 或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的 说明并表示谢意。所知，除 学位作者签名：琴勋签字日期：知噼蝴d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金盟王些盘生 有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本 人授权 金盟三些盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 罗翩 签字日期：为曰年f 朔，d 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 匿灭蚂 签字日期：砷年朔，阳 电话： 邮编： 致谢 特别由衷地感谢我的导师宣天鹏教授! 宣老师崇高的敬业精神、严谨求实 的治学态度、细致入微的科研作风，渊博深厚的知识底蕴、清晰广阔的视野和 乐观豁达的生活态度给了我莫大的启发和无限的激励。 在两年半的研究生学习和生活中，宣老师不仅给予我学习上的指导，更重 要的是他在做人做事的道理上给予我的悉心教诲。宣老师在学习和工作方面循 循善诱的教导以及在生活中给与的无微不至的帮助，仿佛历历在目。对导师的 崇敬和感激之情，非我的笔墨所能言尽，谨在此表示最由衷的祝福和深深的谢 意。 特别感谢我校计算机学院的蒋建国教授和宣曼同学的大力支持和帮助，丁 厚福教授本科期间的教导，许少凡副教授的关怀，风仪教授的热忱帮助。同时 还要感谢校材料科学与工程学院实验中心金相实验室的郑玉春老师、张明秀老 师、程娟文老师和王学伦老师等，谢谢你们给予的帮助与指导。 在做课题阶段除了本校的老师外，还得到了其它学校老师的热情帮助，安 徽建工学院的刘安忠老师，北京科技大学的薛老师，东南大学纳米结构表征研 究所巴龙教授，南京理工大学李老师，北京科技大学的崔凤娥老师。在此向各 位老师表示衷心的感谢! 同时，还要特别感谢朱云丽、贾韦、张翼、李磊、张路长、琚正挺、杨礼 林、2 0 0 7 届本科毕业生等以及课题组的其它老师和同学的悉心指导和热情帮 助! 感谢家人的支持和培养。 i i 材料科学中的分形 1 1 1 分形的基本概念 第一章绪论 人们周围的世界，远自浩瀚的星云，近至山川景色、浓云闪电、叶姿树态， 以至月中陨坑、岩石结构、海岸边界，大自然诸多的静态与动态形成了无比绚 丽多变的复杂系统“1 。在经典的欧几里德几何中，我们可以用直线、圆、球等 这一类规则的形状去描述诸如墙、车轮、卫星等人造物体，这是极其自然的事 情，因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而自然界中， 却存在着许许多多极其复杂的形状，如：山不是锥，云不是球，闪电不是折线， 雪花边缘也不是圆等等，再如宇宙中点点繁星所构成的集合更非经典几何所能 描述的，他们不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑( 可导) 这一 基本性质了，而是非线性的【2 】。为了描述测量这些问题，1 9 1 5 年豪斯道夫 ( h a u s d o r f f ) 引入了豪斯道夫维数的概念，这类同统计相似性图形和曲线的豪 斯道夫维数一般都不是整数，而是一个分数值。2 0 世纪2 0 年代到7 0 年代，维 数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数使分形理论初具雏形。 但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用。哈佛 大学数学系教授曼德布罗特( b e n o i t b m a n d e l b r o t ) 在1 9 7 5 年第一次提出分形 ( f r a c t a l ) 概念，在1 9 7 7 年出版了f r a c t a l ：f o r m 。c h a n c ea n dd i m e n s i o n 一书，标志了分形理论的诞生，1 9 8 2 年又出版了t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e 一书，这两本书把分形理论本身及应用推动到了一个全新的阶段。在 这个阶段中分形理论本身得到迅速的发展、并得到了科学界的广泛重视，同时 在物理学、化学、生物学、地学、材料科学、表面科学、纳米科学乃至经济学 等广泛的领域得到了应用”1 。迄今为止，分形还没有一个严格的定义。1 9 8 2 年 m a n d e l b r o t 将分形定义为h a u s d o r f f 维数大于拓扑维数的集合。1 9 8 6 年 m a n d e l b r o t 给出了一个更广泛的、更通俗的定义：分形是局部和整体有某种方 式相似的形( af r a c t a li sas h a p em a d eo fp a r t ss i m i l a rt ot h ew h o l ei n s o m ew a y ) “1 。一般可把分形看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图 形和构造以及现象的总称。由于在许多科学中的迅速发展，分形已成为一门描 述自然界中许多不规则事物的规律性的学科。分形理论与耗散结构理论、协同 学、混沌理论都是同一时期在非线性科学研究中取得的重要成果拍1 。分形所研 究的对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的，面非欧氏几何 中的整数维，如空间的欧氏维数是3 。在最近二十年内，分形理论在包括物理、 化学、数学、得到了较为广泛的应用。 1 1 ，2 规则分形和分维【i 】 规则分形是一种无限多层次自相似的、支离破碎的、奇异的图形，c a n t o r 集就是分形最经典的例子。 m a n d e l b r o t 在他新版的大自然的分形几何学中提到”1 ，最早人们认为 土星只有一个光环围绕。后来发现环上有一个空隙，接着发现有两个空隙，而 现在旅行者1 号宇宙飞船己探测到极大数量的空隙，而且大多数都是非常细的， 能够透过太阳光，见图卜1 。这种看起来杂乱无序的结构却可以用分形来加以 描述。从该环的结构使人联想起这是一些近乎圆的集合，每个圆的半径对应于 从某个原点到康托尘埃中一点的距离。最典型的康托集( c a n t o r ) 是这样形成 的：第一个构造阶段是把 0 ，1 分为三段，然后移去中间的1 3 开区间，剩下 两段。下一步，再移去剩下的n = 2 个中每一个的中间1 3 开区间。如此下去直 至无穷。由无限次内插和外推产生的集合是自相似的。这种去掉三分之一的 c a n t o r 集称为三分c a n t o r 集，见图卜2 。 图1 1 土星光环中的缝隙 f i g 1 - 1g a pi ns a t u r f f sr i n g s 口 一最 一一焉 南 毛 图1 2 三分c a n t o r 集 f i g 1 - 2m i d d l et h i r dc a n t o r 它具有一些基本特征“1 ： 它是自相似的。在每一次的区间 o ，i 3 和 2 3 ，i 内分割，以前的长度 比例是一致的，极相似比为i 3 。 它包含有任意小比例的细节，越放大c a n t o r 集的图，间隙表示得越清楚， 即c a n t o r 集存在着精细结构。 2 它是由迭代过程产生的。随着迭代步骤地增加，它越来越逼近其极限。 它的整体与局部的几何性质均难以用传统的术语来描述，不能用简单方 程的轨迹来表示。 1 1 3 分形几何的特点 从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状， 从远距离观察，其形状是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则性又是相同 的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似， 它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不 完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述 混沌和非线性系统的 由1 - 1 2 可得，典型的分形集一般具有如下几个特征： ( 1 ) 无论用什么尺度衡量，其复杂性不消失，即具有无穷精细的结构； ( 2 ) 分形是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述： ( 3 ) 部分与整体是相似的，即具有自相似性( s e l f - s i m i l a r i t y ) ： ( 4 ) 可以通过递归、迭代等简单的方式产生： ( 5 ) 其分维数大于拓扑维数。 需要说明的是，上述典型的分形集( 如c a n t o r 集) 是人们精心构造出来的分 形集合，因而具有非常严格的自相似结构。但在自然界中，我们处理的对象往往 并不都具有如此良好的分形特征，大多属统计自相似性，存在一个特定的无标度 区，超出这个范围就不再是分形结构。 1 1 4 分形理论基础与分形维数 描述分形的参量为“分形维数( 简称分维) ”，它定量地表示了分形图形的 “非规则”程度，分维越大其个体越复杂。在欧氏空间中，人们习惯把空间看 成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广， 认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形 理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引 入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1 9 1 9 年，数学家 从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓 扑集维数为整数的界限。 分维的概念我们可以这样建立起来，首先，推导出欧氏维数的对数形式： 把单位长度的线段n 等分，每个线段r ( 即每- - 4 , 段均缩小r 倍) ，则 n r = l 或n = 1 r 3 把单位面积的正方形n 等分，每个小正方形的边长为r ，则 n r 2 = 1 或n = ( 1 r ) 2 把单位体积的正方体n 等分，每个小正方体的边长为r ，则 n r 3 = 1 或n = ( 1 r ) 3 上面三个等式中，r 的幂次实际上就是该几何体能得到度量的欧氏 ( e u c l i d ) 空间的维数d ，于是得到式( 1 1 ) 。 n r 。= 1 或n = ( 1 r ) 4 ( i 1 ) 两边取对数，就获得欧氏几何中维数d 的对数形式，即 d = 丝型( 1 2 ) l g ( i r ) 式中，n 为小几何体的数日：r 为小几何体线尺度所缩小的倍数，郎每个小 集合体的线度是原几何体的i r 。对直线d = l ，对正方形d = 2 ，对立方体d = 3 。 这就是说，对欧氏几何图形，d 为整数。 很显然，d 不是整数的几何图形，不是欧氏几何图形，而称之为分形。下 面将证明，对三分c a n t o r 集的自相似分形，按式( 1 2 ) 算出的维数d 不是整 数，故称之为自相似分形维数，用d 来表示。 三分c a n t o r 集是自相似图形，可用分形维数d 来定量描述这些分形结构的 自相似性。下面以三分c a n t o r 集为例，给出分形维数d 的定义。图1 - 2 可以分 为3 个部分，每一个部分的线段长度( 即 0 ，1 3 ，( 1 3 ，2 3 ) 和 2 3 ，1 ) 是原 线段长度( 即 o ，1 ) 的1 3 。或者说，把图卜2 的三分c a n t o r 集是由每次获 取的单元数为2 个小相似线段构成的，每个小相似形的线尺寸( 0 ，i 3 ，和 2 3 ，1 ) 是原图形线尺寸( 即 0 ，1 ) 的i r = i 3 。类似于式( 1 2 ) ，这种自 相似结构的自相似分形维数d ( 简称分维) 定义为 d - - i g n ( r )( 1 3 ) l 畎l ，r ) 这个定义可推广到其他分形结构。一个自相似分形图形可划分为n 个大小和形 态完全相同的小图形，每一个小图形的线尺度是原图形线尺度的i r ( 即缩小r 倍) 。这个分形结构的相似维数d 就由式( 1 3 ) 给出。 反过来，若一个小几何体的线尺度放大k 倍后，就变成一个由m 个小几何 体构成的大相似体，则这个大相似体就是一个分形，该分形的相似分维定义为 d ：! 也( 1 4 ) i g k 这两个定义是一致的。对图1 - 2 的三分c a n t o r 集，把 0 ，i 3 部分放大k = 3 倍后就变成了 0 ，1 ，它含有m = 2 倍个 o ，i 3 线段。对于三分c a n t o r 集， k = i r = 3 ，m ( k ) = n ( r ) = 2 。故式( 1 3 ) 和式( 1 4 ) 是等价的。 于是，我们可以得到，把操作的基元过程是由n = 2 段已缩小i r = i 3 的线 4 段去相似原线段。因此 d ：盟1 9 20 6 3 0 9 l g o r ) 1 9 3 显然，用线段数去测量三分c a n t o r 集，其结果是无穷大，而用线段去量， 其结果是0 ( 此三分c a n t o r 集中不包含线段) 。那么只有找一个与三分c a n t o r 集维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于0 、小于1 ，那么 只能是小数( 即分数) 了，所以存在分维。其实，三分c a n t o r 集的维数是 0 6 3 0 9 一。 1 测度概念o 毗 测度是定量描述几何图形的基本参数，是赋予一个集合以数值“大小”的 一种方式。简单地说一个测度归结为一个集合的一种数值“体积”，使得若一个 集合以某种适合的方式分解成有限或可数多块，则整体的体积是这些块的体积 之和。对规整几何图形的几何测度是指长度( 边长、周长、以及对角线长等) 、 面积及体积的测量。所以又把长度、面积和体积分别称为1 维测度、2 维测度 和3 维测度。 在欧氏几何测量中，可以把这些规则图形分为两类( 分别以正方体和球作 为代表) 归纳为如下二点： ( 1 ) 长度= 1 ，面积= 1 2 ，体积= 1 3 ( 正方体) ( 2 ) 长度( 半径) = r ，面积= r 2 ，体积= ( 4n 3 ) r 3 ( 球) 从上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲分别是长度单位的1 ，2 ， 与3 次方它们恰好与这些几何图形存在空间的欧氏维数相等，而且均为整数。 总结欧氏几何的测量可以看到： 长度l = 1 面积a = a 1 2 体积v = b 1 3 式中a 和b 为常数，称为几何因子，与具体的几何图形的形状有关，如对 圆a = 、对球b - - - - - 4 3 。由上面式子我们可以得到如下的结论： 它们的测度是以两点间的直线距离为基础的，而且，它们的量纲数分别等 于几何图形存在的空间的维数。 当几何图形的周界曲线或曲面可以用解析函数给出时，几何量的计算可以 用微积分给出。如计算曲线的弧长，弧长的微分公式是以欧氏几何为基础的。 其长度的量纲也是长度单位的1 次方。计算曲边梯形的面积时，其积分是以小 矩形的面积进行迭加所求得的，其面积的量纲是长度单位的2 次方，而在计算 曲顶柱体的体积时，是以立方体为标准的，求得的体积的量纲是长度单位的3 次方。由此可见，微积分是以欧氏几何为基础的，它所给出的几何量( 长度、面 积和体积) 的量纲是长度单位的整数次幂，分别是长度单位的l ，2 ，和3 次幂。 一般地，如果我们用维数大的尺子去测量维数小的物体，得到的测度值为 0 ；用维数小的尺子去测量维数大的物体，得到的测度值为无穷大；用维数一定 的尺子去测量维数相同的物体，得到的测度值是一个常数。如用3 维的尺子去 测量2 维的正方形，得到的体积数值为0 ；用1 维的尺子去测量2 维的正方形， 得到的长度值为无穷大；用2 维的尺子去测量维数相同的正方形，得到的面积 值是一个常数。若用2 维的尺子去测量k o c h 曲线，得到的面积积值为o ；用l 维的尺子去测量k o c h 曲线，得到的长度值为无穷大。也就是说k o c h 曲线的维 数是大于1 ，小于2 的一个分数。为了深入理解维数为分数的意义，m a n d e l b r o t 最先提出分形维数( p r a c t a ld i m e n s i o n ) 的概念，建立了分形几何学。其中最难 理解也是最重要的的分形维数是h a u s d o r f f 维数( h a u s d o r f fd i m e n s i o n ) 。 2 h a u s d o r f f 分维 h a u s d o r f f 分维优点是它对任意集都是适用的，且由于它是以测度为基础， 在数学上是方便的，也比较容易处理。其主要不足是在很多情形下用难以计算。 然而对于理解分形的数学理论，熟悉h a u s d o r f f 分维是最基本的。 首先我们来了解一下什么是覆盖。若是n 维欧氏空间的任意非空子集； 的直径定义为i 驯= s u p ix y 1 ；x ，y 研，即，内任意两点的距离的最大值， 式中的s u p 是上确界的缩写。若( 以 是直径至多为6 的且覆盖f 的一个可数( 或 有限) 集族，即f cl j 研且对每个i ，o i “i 0 ，我们 定义 i 珥( 一= i n f 1 ul i ： 以 是f 的一个6 覆盖，k 是( 以 的元素总个数 ( 1 5 ) 百 式中i n f 是下确界的缩写( 取下确界就自动保证了在覆盖上是没有浪费 的) 。此时式中的6 是一个定值。于是考虑所不超过6 的f 的覆盖，并试图使这 些直径的8 次幂的和达到最小。当6 减少时，能覆盖f 的集类的个数是减少的， 而下确界珥( 的数值是增加的。当6 一。时，下确界蟛( 趋于一个极限 记为： ( 力2 熄联( 刃 ( 1 6 ) 对f 中任何子集只这个极限都存在，但极限的值可能是0 或一。( 一被称 为尸的s 维。 h a u s d o r f f 分维的数学定义是严密的，作为基础性的了解，我们只要简单 地认为：h a u s d o r f f 分维是与l 维的长度、2 维的面积和3 维的体积相等同意义 的对任意s 维都适用的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广。说得再 通俗一点：1 维的大小用长度来度量，2 维的用面积来度量，3 维的用体积来度 量，那么s 维的大小用什么来度量呢? 就是h a u s d o r f f 维数。 h a u s d o r f f 分维的一个重要性质一一比例性质：长度、面积和体积的比例 6 性质是我们熟悉的。当比例放大x 倍时，曲线的长度放大 倍，平面区域的 面积放大 2 倍。三维物体的体积放大九3 倍。正如可以预料到的，s 维h a u s d o r f f 维数扩大 倍，见下图。于是我们很容易理解下面的比例性质成立： f ( d = 。 ( 力( 1 7 ) 这个比例性质是分形理论的基础，也是分形理论的最重要性质之一”1 。 力一仁欠) 、4 鼍簟x 7 、 一蒜 。：委兰茄盘毒一二 图卜3 图形的比例性质 f i g 1 - 3r a t i on a t u r eo f g r a p h i c 用比例九放大集合，长度放大 面积放大 2 倍，s 维h a u s d o r f f 测度放大 倍虽然h a u s d o r f f 维数的定义是极其严密的而且适用于任何集合，但是要从 不规则的图形中得到启发来计算h a u s d o r f f 维数相当困难，而且有些情况使用 6 一o 是不适合的，例如，在物理学上当6 - - 0 时，一都要受到h e i s e n b e r g 不 确定性原理的拒绝，即使不是这样，要进行实验测定也是是相当困难的。在实 际应用中，人们还提出了不少实用的分形维数，如计盒维数、关联维数和链维 数等 3 计盒分维 计盒分维是用实验方法测出的分形维数，在很多情况下它和自相似分维和 h a u s d o r f f 分维相同。计盒分维是应用最广泛的维数之一，它普遍应用主要是 由于这种维数的数学计算及经验估计相对容易。计盒分维为： d = ( i n n 。+ 。一1 n n 。) ( i n 。一l ne ) ( 1 8 ) 当用盒子计数法测分维是不论图形中曲线重叠多少才次都只能计数一次；但根 据自相似分维的定义，可把重叠部分计算在内。可以证明，用计盒维数法测量 平面上的任何曲线或图形时，其分维不能超过2 ，即d 2 。 由于分形的不规则性和自相似性，用不同的尺度去度量会得到不同的结果， 即分形是不具备特征长度的对象：但是不管测量的尺度和长度如何，其分维是 固定不变的，即分维是一个有确定几何形状的分形图形的固有特征婶。一般可 用相似性维数、容量维数、计盒维数、h a u s d o r f f 维数等来定义分形维数，对 于一个有确定维数的几何形体，分形维数d 可用下式表示： d = l n n ( ，) 1 n ( 1 ) 7 ( 1 9 ) 数。 式中r 是基准尺度，n ( r ) 是用基准尺度r 去近似界面类海岸线时所得线段的总 1 1 5 分维的测定方法 一般实际的测定分形维数的方法，大致可以分为如下五类“1 ：改变观察尺 度求维数：根据测度关系求维数；根据相关函数求维数；根据分布函数求维数 和根据频谱求维数。 实际计算表界面分维的方法有： ； u ，r ； ：。 。，； 7， )i ： 二， f “； ”月r 。j 小 量 i ：；“ 。，j 。 ， ? ： ； ， r 一： 曩 ? 谳i j ；，_ ” t 、- j “ a：， ；： 刊：；、f ” 。二。- 靠 一：n l ； 一t+ ；：慵 ： ? 、：!。； 图卜4 阿格法测量海岸线的分维“。 f i g 1 4t h ef r a c t a ld i m e n s i o no f c o a s t l i n ew i t ht h ec a l c u l a t i o no f b o xc o u n t i n g 1 网格法( 计盒数法) 如图卜4 所示，以上就是计算分形维数的网格法。通过把海岸线放在一个 边长为单位尺寸a 。的网格内，数出和海岸线相交的网格数n ，然后把码尺缩小 一倍，变为a 2 - a 。2 ，即把网格缩小，再数出和海岸线相交的网格数n 。，这样继 续下去就可以由一组a 。，8 2 ，a “一，测出一组n 。，心，地，一，根据分维定义式 n 。( a 。) = a a 。1 ( a 为散数) 对其取对数，作图，则i nn 。和i na 。的双对数坐标，为一直线，其斜率便是分维 数d 。 2 小岛法 图1 5 表面碳膜的形貌“o 8 f i g t - 5t h ef i g u r e0 f t h es u r f a c ec o a lc o a t i n g 图卜5 是在原子力显微镜( a f m ) 下薄膜的表面形貌，这种大小不同的凸起 之间具有近似的自相似，这种表面的计算方法一般是，照相后，把照片进行图 像处理，固定放大倍数测出每个小岛的面积以及周长，用网格法计算，然后根 据很多小岛的面积和周长数据就可以计算分维