（机械电子工程专业论文）随机参数平面机构运动设计若干关键问题研究.pdf

】，粤， ，j，、，il ，fi i a l f l n k 一i i i 。 本论文获下列项目资助 辽宁省自然科学基金项目( 2 0 0 5 2 0 3 4 ) 国家自然科学基金重点项目( 5 0 5 3 5 0 1 0 ) 国家高技术研究发展计戈1 j ( 8 6 3 ) 项( 2 0 0 7 a a 0 4 2 4 4 2 ) r y - i t，lj工 f ? l 气 i - 0 时表示产品性能可靠，对应的概率用以或尺) 表示，即可靠度；当反x ) o 时表示产品性能失效，对应的概率用毋表示。如果r 与s 相互独立，毋和只可以描述 为 。 弓= e z ( j ) ie 厶( ，) d ri d s = e 厶( ，) ll 丘( j ) 出l d ， ( 2 2 5 ) e = 1 一只 ( 2 2 6 ) 可靠性指标定义为 = 等= 端 亿2 乃 巳、v a r 培峰j j 利用可靠性指标可以直接衡量产品的可靠性，如果基本随机变量向量x 服从正态分布， 用失败点处状态表面的切平面近似地模拟极限状态表面，可以获得可靠度的一阶估计量 r = 驴( ) ( 2 2 8 ) 式中奴) 为标准正态分布函数。 2 3 2 可靠度数值计算方法概述 要计算可靠度，需要知道基本随机变量向量x 的概率密度函数或联合概率密度函数。 但是，在工程实际中是很难有足够的资料来确定它们的。即使能够近似地指定其概率分 布，在大多数情况下也很难进行积分计算而获得可靠度，而数值积分往往是不实用的， 因此一般采用其它的近似方法。至今已出现的计算可靠度的方法主要有：一次二阶矩法、 高次高阶矩法、响应面法、m o n t e c a r l o 法以及随机有限元法等。以下将逐一简要地介 绍几种常用的计算可靠度的数值方法。 ( 1 ) 一次二阶矩法 一次二阶矩法在实际工程中应用相当广泛，已成为国际上结构可靠度分析和计算的 一种基本方法。其基本思想是根据基本随机变量的前二阶矩，将非线性功能函数进行 东北大学硕士学位论文 第2 章数学基础和可靠性理论 t a y l o r 展开并保留至一次项，然后近似计算出功能函数的均值和标准差，进而求得结构 的可靠度。该类方法是一种近似的计算方法，但具有很强的适用性，计算精度能够满足 工程需求。均值一次二阶矩法、改进的一次二阶矩法和j c 法都是以一次二阶矩法为基础 的可靠度计算方法。 1 ) 中心点法。该方法将非线性功能函数在随机变量的平均值( 中心点) 处进行t a y l o r 展开并保留至一次项，然后近似计算出功能函数的均值和标准差，进而求得可靠度。该 方法对于非线性功能函数，因略去二阶及更高阶项，误差将随着线性化点到失效边界距 离的增大而增大，而均值法中所选用的线性化点( 中心点) 一般在可靠区而不在失效边界 上，结果往往带来相当大的误差，同时选用不同的极限状态方程不能得到相同的可靠指 标，此为中心点一次二阶矩法的严重问题。 2 ) 验算点法( j c 法) 。针对中心点法的上述问题，h a s o f e r 和l i n d 根据失效面而不是极 限状态方程定义可靠性指标，把失效面上与原点距离最短的点作为功能函数线性化点， 并通过迭代寻求设计点和可靠性指标。r a c k w i t z 和f i e s s l e r 提出了一种当量正态转化法， 可把非正态变量变换为等价的正态变量计算可靠性指标。由于r - f 算法具有良好的普适 性，目前已被国际结构安全度联合委员会o c s s ) 所采用，并正式命名为j c 法。该方法的 特点是考虑了非正态的随机变量，在计算工作增加不多的条件下，可对可靠性指标进 行精度较高的近似计算，求得满足极限状态方程的“验算点 设计值。 ( 2 ) 高次高阶矩法 为了提高可靠度的计算精度，在一次二阶矩法的基础上人们尝试了可靠度的高次高 阶矩法，分别提出了计算可靠度的二次二阶矩法和四阶矩法【3 8 】。其原理与一次二阶矩法 相同，计算可靠性指标时都是以求得极限状态方程的偏导、获得其t a y l o r 级数为基础， 计算精度较高，但较难处理一些复杂、不易求导的功能函数。张义民教授【4 】将随机摄动 技术、四阶矩技术和e d g e w o r t h 级数相结合进行可靠性分析，适用于任意分布形式的随 机变量，同时避免了j c 法的等效正态化和迭代运算，直接给出了可靠度的解析表达式， 并且可以获得较高的计算精度。 ( 3 ) 响应面法 随着机械结构系统复杂程度的提高，机械结构系统承载后的响应量与输入之间存在 着复杂的函数关系，往往难以获得功能函数的显性表达式。在计算这类复杂机械结构系 统的可靠度时，可靠性分析模型预先不能确定，采用一次二阶矩等方法就存在困难，可 能无法进行下去。响应面法【1 9 2 1 】为解决此类复杂机械结构系统的可靠性分析提供了一种 计算方法。该方法的基本思想是首先假设出一个极限状态变量与基本变量之间的简单解 1 2 东北大学硕士学位论文 第2 章数学基础和可靠性理论 析表达式，然后用插值方法来确定表达式中的未知参数，最终获得确定的解析表达式。 可靠度计算的响应面法一方面使得可靠度计算得到简化，另一方面以非线性功能函数的 二次近似来代替一次二阶矩法采用的一次近似，使计算精度有所提高。同时，在进行基 于有限元分析的可靠度计算时，如果采用响应面法，可以利用确定性有限元分析程序进 行可靠度的计算。 ( 4 ) m o n t e c a r l o 法 建立在一次二阶矩理论基础上的计算可靠度的方法，在功能函数非线性程度很高等 许多情况下，得到的结果误差较大。为了得到较精确的可靠度，目前只有用m o n t e c a r l o 法。m o n t e c a r l o 法是最直观、最精确、对高度非线性问题最有效的结构可靠性分析方法， 该法通过对随机变量的大量抽样，对抽样结果进行统计后获得结构的可靠度。 m o n t e c a r l o 法回避了结构可靠性分析中的数学困难，不用考虑功能函数的非线性和极限 状态曲面的复杂性，直观、精确、通用性强。该方法的缺点是计算量太大，因此在大型 复杂机械结构系统可靠性分析中受到了限制。为了提高工作效率，通常用减少样本方差、 提高样本质量等方法来应尽可能地减少必需的样本量，并且在此基础上发展了重要抽样 法、分层抽样法、条件期望值法等多种抽样方法。随着计算机硬件水平的提高和抽样技 术的改进，可以有效地提高m o n t e c a r l o 法的计算效率，因此该方法的应用将越来越广泛。 ( 5 ) 随机有限元法 随机有限元法【2 2 引1 是2 0 世纪7 0 年代初发展起来的处理随机现象的分析工具，它采用 确定性有限元法、随机分析理论和可靠性分析相结合的方法，综合考虑了各物理量的随 机性。该法首先求出结构相应的统计特征量，从而可以进一步进行结构的可靠性分析。 与确定性有限元比较，随机有限元在物理建模上更符合客观实际，也更合理，尤其是当 有关参数的统计特性可知时，随机有限元可提供较精确的分析结果。从随机有限元控制 方程的获得来看【7 ，2 1 ，5 3 1 ，随机有限元法可分为随机( t a y l o r 畏开) 有限元法( t s f e m ) 、随机 ( 摄动) 有限元法( p s f e m ) 、随机( n e u m a n n 展开) 有限元法( n s f e m ) 。当前，随机有限元法 已成为对随机参数结构进行不确定分析的有效的数值计算方法。 2 4 可靠性优化设计方法 可靠性优化设计，是在可靠性基础上进行的优化设计，即把可靠度要求，或者结合 在优化问题的约束条件内，或者结合到优化问题的目标函数内，运用优化方法，得出产 品参数的最优解，以便最好地达到预先确定的目标，即在设计中应保证产品的经济效益 和运行中的安全可靠。 一1 3 东北大学硕士学位论文 第2 章数学基础和可靠性理 2 4 1 建立可靠性优化设计模型的方法 可靠性优化设计与传统的优化设计的不同之处，仅仅在于前者把设计变量、设计参 数当作随机变量来处理以及将可靠性约束加到约束条件中，由于对具体问题的要求不 同，可靠性优化设计的数学模型 9 6 口- - - j - 有如下几种表示形式： ( 1 ) 均值模型： m i ne 沙伍) s 屯三嬲0 以鲨皆) 删 g ，) ，( f = 1 ，) l r v 办，) = 0 ，( ，= 1 ，肌)i ( 2 ) 方差模型： m i nv a r 扩伍) 1 s l 三嬲0 喜。誊紫川) ， g ) ，( f = 1 ，) i r 7 乃) = 0 ，( = 1 ，历)l ( 3 ) 概率模型： r a i np 沙伍) s l 三嬲0 孝。澄皆川) 冽 g f ) ，( f - 1 ，)i 。7 办，) = 0 ，( ，= 1 ，优)i ( 4 ) 混合模型： r a i n 扫。e l f ( x ) + c o ：w k ( x ) l 1 s l 三嬲0 孝。誊! ，川) 删， g ，) ，( f = 1 ，) i r 7 厅，伍) = 0 ，( ，= 1 ，朋)i 式中p 称为事件的概率，r 为设计所要求的可靠度，x 为基本随机变量向量，包括随机 设计向量和随机参数向量。在上述几种模型中，最有代表性的且最常用的是均值模型， 这时的目标函数可以是重量、成本或某项性能指标。因此，本论文只针对均值模型进行 简单的介绍。 2 4 2 可靠性优化设计模型的求解方法 对于式( 2 2 9 a ) 这类均值模型可靠性优化设计问题的求解，要比确定型优化模型的求 解困难得多，计算量也较大，而且它与随机变量的分布形式有密切关系。针对该模型的 求解方法有多种，根据对概率约束处理的方法的不同，可将其分为以下几种9 7 】： 1 4 东北大学硕士学位论丈 第2 章数学基础和可靠性理论 ( 1 ) 随机约束规划法 随机规划方法首先由c h a m e sa n dc o o p e t 5 3 1 提出，之后被众多学者广泛地应用于可靠 性优化设计中。下面对该方法进行简要的介绍。 假设概率约束中的x 服从正态分布，且相互独立。根据应力一强度干涉理论，以应 力极限状态表示的状态方程为 g 似) = - - o r ( 2 3 0 ) 式中，为材料强度，盯为应力( 它是设计变量、设计参数的函数) 。由于，的均值f 与方差 v a r ( r ) 已知，根据假设仃的均值歹与方差v a r p ) 可采用泰勒级数展开的近似法求得。根 据这些信息，g ( x ) 的概率分布显然有下述的均值与方差 虿似) = 一 - - o 一 ( 2 3 1 ) v a r 伍) ) = v a r o ) + v a r p ) ( 2 3 2 ) 根据概率原理，当只知道一种概率分布的均值和方差时，其最小偏差的概率是正态 分布，因此约束函数g 伍) 的概率分布被选为正态分布。令魂玉，则其概率密度函数 为 纠= 赤e x p e 一簪 o o z 0 】 = e 去e 一去e - - e # d o = e 去e ( 2 3 7 ) 将舶在随机变量向量x 的均值处展开为泰勒级数，并取其线性项，可得 g 。( x ) 鼠伍) - 窆i - - - i 警。l x i 阮一冠) ( 2 3 8 ) 东北大学硕士学位论文 第2 章数学基础和可靠 其均值及标准差分别为 瓦= 鼠伍) o g i 2 由于正态分布为对称分布，则式( 2 3 4 ) 又可变换为 耻岛杀e 吼日= 痧皖) 式中 二丝：旦( 2 4 2 ) u z o g - 若已知毋或r “，则有反函数 乏羔受； 仁4 3 ， 靠= 驴1 。) j r 7 且靠= 一啡，由标准正态分布表可查出相应的o r 和以。 很明显，当设计要求为 尸话。伍) o ) 民 ( 2 4 4 ) 一 时，有 胪去e - o v 2 d o = 忑1 e 却 于是可得 或r i t ) ( 2 4 6 ) 即 瓦二多。 。o g 。2 0 ( 2 4 7 ) 式( 2 4 7 ) 就是随机约束等价地转换为确定型约束的基本型式，将其代替式( 2 2 9 a ) e ? 的 概率约束，均值模型就可以近似地转化为如下的确定型模型来求解，即 m i n 厂似) = e 矿伍) = 厂伍) 1 s t 。i = 。1 。擘g 世。1 2 ，川 ( 2 4 8 ) g 。j 0 ，( f = 1 ，)l 。 哆伍) = o ，( ，= l 一，朋) l 式中r “为设计所要求的可靠度。 随机约束规划法中计算可靠度的方法采用的是均值一次二阶矩法。由于均值一次二 阶矩法的主要缺陷是用泰勒展开式代替g ( x 9 会对失效概率带来很大的误差且解不是唯 一的。因此，相应的随机约束规划法的计算结果在很多情况下并不十分可信【们1 。 - 1 6 东北大学硕士学位论文第2 章数学基础和可靠性理论 ( 2 ) 安全指标优化方法 直接用可靠性指标建立的可靠性优化的数学模型如下： m i ns ( x ) = e w ( x ) ) = 厂伍) 1 s l 关罱掣溜等”川) 亿4 9 ， g ，j o ，( f = 1 ，)i 、。 h j 伍) = o ，( ，= 1 ，m )j 式中是采用在均值一次二阶矩法基础上改进的各种算法计算得到的可靠性指标。 由于均值一次二阶矩法不能保证对于等价形式的极限状态方程获得唯一确定的可靠 性指标，因此h a s o f e r 和l i n d i n l 建议根据失效面而不是极限状态方程定义失效模式的可 靠性指标。对于同一失效面，根据h l 计算得到的可靠性指标不会由于选择不同描述形 式的等价极限状态方程而变化。h l 方法的计算程序为 将随机变量进行正则化处理 u ：x - g ( 2 5 0 ) 在门维正则化空间矿= ( 阢，u ：，u ) 中，极限状态方程为g 修) ，相应的可靠性指标定 义为 ，。、1 m i n 肛l 1 = 1 砰j ( 2 5 1 ) i 、一7 s t g ( “) = 0 j 从几何上看，可靠性指标是n 维正则化空间中坐标原点到失效面g ( - ) = 0 的最短 距离。满足式( 2 5 1 ) 的正则化矢量面= b 。，“：，“。) 定义为设计验算点。在原始坐标系 中，设计验算点为歹，也被称为最可能失效点( t h em o s tp r o b a b l ep o i n t ，m p p ) t 1 3 1 。 安全指标优化方法【5 9 _ 6 1 1 与随机约束规划法的不同之处在于进行可靠性分析时，采用 的是在均值一次二阶矩法上改进的各种算法，如j c 法、几何法等。这些方法不仅提高 了可靠度计算的精度，而且解决了均值一次二阶矩法解的不唯一性问题。目前，安全指 标优化方法在可靠性优化设计中被广泛采用。但是，对于复杂的大型结构系统，由于该 方法的计算量很大，从而显得不适用 6 2 1 。 ( 3 ) 修正的安全指标法 近年来，随着可靠性分析技术的迅速发展，在此基础上的可靠性优化设计方法也出 现了一些新的研究成果。m vr e d d y 等【6 2 】提出了一个修改的安全指标法。下面对修改均 值法进行简单的介绍f 9 8 】。 假如基本随机变量向量x 表示相互独立的随机变量，将功能函数在均值点按 - 1 7 - 东北大学硕士学位论文第2 章数学基础和可靠性理论 t a y l o r 级数展开，得 z 伍) = z o ) + 善 ( 谜a z ， 、x ，一“) + 日伍) = + 喜q _ + 日伍) = z i 伍) + 日伍) ( 2 5 2 ) 这里z l ( x ) e l 、 一一，一，x y 莹一 ，m ( x ) 代表高次项，也是随机变量，但在 修改均值法中把日( 又) 看成确定函数。g 含h ( x ) 是为了校正高阶误差，为了权衡精度 和效率，这里对每一个z ( x ) = z o 只允许日( x ) 取一个值。 为了定义日( x ) ，让我们首先忽略日( x ) ，则 z 僻) = z l 伍) = z o( 2 5 3 ) 对于z o 的每个值，如果变量为非正态，应用等效正态法转化为正态，在标准正态空 间中五到原点的距离为 8 = 如果计坼= “- a ，) o l ，则相应的最可能点是 材，：下坠 赶旆 这里正负号的取法是：当概率大于0 5 取正号，否则取负号。 对于非线性的z “) 函数，日伍) 非零，因此假如我们重新计算z - ) ， z o ，两者的差定义为日伍) 日伍) = z 0 ) 一z o ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 则将不同于 这样，对于每个而值就有一个定义日( x ) 的最可能点。如果没有日伍) ， 值为 函( + ) 尸【z 伍) z o 】 如果有日伍) ，概率估计值变为 妒( + ) 尸【z 。伍) z o = p z 伍) o 、7 式f x ( x ) 为基本随机变量向量岸啪恐五】7 1 的联合概率密度，这些随机变量代表载 荷、机械结构件的特性等随机量。甙的为状态函数，可表示机械结构件的两种状态 g g ( 伍x ；三三婺萎萎姜套 力 ) o为安全状态j v 一7 这里极限状态方程反的= o 是一个刀维曲面，称为极限状态面或失败面。 把随机变量向量x 和状态函数甙的表示为 x = x d + ( 4 3 ) g ( x ) = g d 伍) + 曙，伍) ( 4 4 ) 这里0 1 的情况。根据计算实践表明， 当有r 1 情况出现时，采用下述经验修正公式要比使用e d g e w o r t h 级数所获得的计算结 果更接近于m o n t e c a r l o 数值模拟结果，当没有r 1 情况出现时，e d g e w o r t h 级数可以 获得足够精确的解。 尺) = 月p ) 一研砑r c e ) 研- 盘, c e ) ( 4 1 7 ) 东北大学硕士学位论文第4 章任意分布参数可靠性优化设计 司以看出，在推导过程中放松了对随机变量的分布概型的限制，使之更接近于工程实际。 4 3 任意分布参数的可靠性优化设计 可靠性优化设计的基本思想是：要求机械结构在满足一定性能的条件下，使其可靠 度达到最大；或者使机械结构达到最佳性能指标时，要求它的工作可靠度不低于某一规 定水平。一般说来，后一种方法更为实用1 0 0 1 吲。 当设计要求为 尸塘伍) o ) r ( 4 1 8 ) 时，有 r = p 舀伍) o - r 。 ( 4 1 9 ) 这里尺。是给定约束应满足的概率值，可靠度r 由前述的e d g e w o r t h 级数或经验修正公 式获得。 可靠性优化设计模型就可以近似地转化为如下的确定型模型来求解，即 m i n i m i z e 厂似) = e 杪伍) = ) 1 s u b j e c t t o 耋瀑州h ，力 g f 伍) o ，( 扛l ，) f - “w 乃伍) = o ，u = l ，聊) j 式中r o 为给定应满足要求的可靠度，吼瞎) 和吃伍) 为不等式约束和等式约束。 4 4 平面连杆机构可靠性优化设计 4 4 i 平面连杆机构可靠性 对于平面连杆机构为了保证机构能够正常工作，必须使其输出运动误差保持在允许 范围内。即 i a v l = l 【：- 怿 亦即 ( 4 2 1 ) 一8 a u 8 ( 4 2 2 ) 其中 a u = a u l ，a u 2 ，硝r 为刀个机构输出参数误差向量； u = 埘，u 2 ，域】2 为理想输出位置向量。 暑= 【q ，e 2 ，毛】2 为允许输出位置误差向量； 因此平面连杆机构运动精度可靠性问题应分为两部分进行讨论，即满足下限一8 a u 可 靠度毗和满足上限u s 的可靠度足u ，然后即可求出该机构的可靠度 r 镏l 十屁u - 1( 4 2 3 ) 为了简化叙述过程，这里仅讨论运动精度满足上限a u s 时的可靠性问题，用相同 - 3 2 - 。一 东北大学硕士学位论文第4 章任意分布参数可靠性优化设计 的方法可以求得运动精度满足下限一8 a u 的可靠度。某时刻f 对应于输出分量u f 可靠 度可以定义为 r = k ，) 。厂( z ) 尥 ( 4 “) 式中：a z ) 为机构运动输出误差允许值万= 研( i = l ，2 ，刀) 和输出误差，= a u ，( i = 1 ，2 ，z ) 的 联合概率密度函数，g ( 万，) 为状态函数，可以表示机构的两种状态： g g p ( 8 ；三。0 羹萎萎姜套 2 5 ， ，) 为安全状态l 、7 式中g ( 8 ，) = 0 为极限状态方程，代表极限状态面，也就是失败面。 根据状态函数的定义，平面连杆机构运动精度极限状态函数可以表示为 g ( 8 ，) = 万一，( 4 2 6 ) 可以认为机构运动输出误差允许值万与输出误差，是相互独立的随机变量。 由式( 4 6 ) 、( 4 1 0 a ) 、( 4 1 0 b ) 和( 4 1 0 c ) 状态函数的前四阶矩可以表示为： 以= e g ( 8 ，) 】- 心一从 ( 4 2 7 a ) = v a r 眩( 万，) 】= 一+ 。 ( 4 2 7 b ) 哝= e g ( 8 ，) 一季( 万，) r = 幺一只 ( 4 2 7 c ) = e 【g ( 占，) 一亭( 玩，) 】4 = + 巩 ( 4 2 7 d ) 由式( 4 1 2 ) 可得可靠性指标，将、岛和巩代入公式( 4 1 6 ) 或( 4 1 7 ) 即得到该时刻 位置输出分量u j 满足上限时的可靠度或。满足下限时的可靠度盈或砭可以以相 同的方法求得，随后由式( 4 2 3 ) 既可求得u ，可靠度r 。以同样的方法可以求得u i 在其它 时刻的可靠度以及其余运动( 位置、速度和加速度) 输出分量在任一时刻的可靠度。 4 4 2 平面连杆机构可靠性优化设计 优化方法是最优化理论和计算技术结合发展起来的- - f 3 崭新的学科，目前广泛应用 于工程设计领域。利用这种新方法，容易在较短时间内从众多的设计方案中寻找出最优 的设计方案，从而大大提高了设计效率以及设计质量。 对机构设计而言，在解析法进行设计时，往往需要求解关于设计参数的非线性方程 组，不但求解复杂困难，而且其结果存在着许多不同的方案，这样既费时又很难得到满 意的设计方案。为了使设计方案能够按照某种评价标准来衡量，能最好地满足预定要求， 需要对这些方案进行比较并作出判断。因此，优化方法是机构设计的理想方法。然而， 传统的机构优化设计是确定性设计，没有引入随机变量的概念，不能给机构运动精度赋 予可靠性意义的解释和度量，不能按给定机构运动精度可靠度要求进行机构运动综合。 本小节中我们将尝试建立机构运动精度可靠性优化设计模型，用以确定机构最优结构参 - 3 3 - 东北大学硕士学位论文 第4 章任意分布参数可靠性优化设计 数，解决传统连杆机构优化设计遗留的问题。 4 4 2 1 设计变量 机构设计方案是由机构的一组基本参数表示，参数值不同意味着设计方案不同。一 般情况下，部分参数受结构、使用要求等限制是预先确定的常量，其余则需要在设计过 程中进行选择和调整。在设计过程中需要确定的独立变化的参数，称为设计参数，既设 计变量。这些设计变量可能是一些物理量，例如杆件的重量、转动惯量，力或力矩等， 也可以是一些几何参数，例如杆件长度、结构点位置坐标等。这些设计变量的全体可用 一个列矢量弘阱，恐，来表示，称x 为设计矢量。在机构设计过程中需要不断修 改、调整这些设计变量的值，使获得的设计方案按某种标准评价时达到最优。 4 4 2 2 目标函数 根据特定问题所追求的目标建立起来的、用以评述机构性能好坏( 即设计方案好坏) 的函数成为优化目标函数，也称为评价函数。一般来说，机构性能的优劣直接决定于机 构基本参数的选择，所以目标函数可以表示为设计变量的函数，记作厂( 贾) 。 以不同的设计对象建立的目标函数是各式各样的，它可以是机构运动学方面的要 求，例如连杆机构输出构件运动规律与期望的运动规律之间的最大偏差为最小，又如连 杆点描绘的轨迹( 连杆曲线) 尽可能逼近期望的轨迹；它也可以是机构动力学方面的要求， 例如要求连杆中某一杆件的角加速度最大值达到最小，作用于机座的振动达到最小，作 用于驱动轴上的扭矩波动最下等；也可以是其他指标，如机构的重量、体积、成本、变 形、应力等。 目标函数的建立在机构参数优化中是非常重要的，它不仅直接影响机构设计方案的 质量，也影响优化设计进程和计算的难度。在某些机构优化设计问题中，它可能存在两 个或两个以上需要优化的目标，例如机构在设计时既要考虑运动误差，又要考虑动力特 性，这就是多目标优化问题。一般而言，分目标函数越多，对设计方案的评价就越全面， 但计算也越复杂、耗时，甚至各分目标函数可能存在矛盾，使优化算法难度增加。 在按机构的运动学要求进行机构参数优化时，常见的目标函数有以下两种形式。 ( 1 ) 平方和误差形式 平方和误差形式即以待设计机构所实现的函数与所期望的函数在所讨论区间内的 差异的平方和作为目标函数，即 f ( 又) = q p ( 日，又) 一p ( 谚) 2 ( 4 2 8 a ) 式中，( b ) 为给定的以2 为自变量的期望函数；p ( 2 ，贾) 为机构在设计矢量x 下能实 现的函数。哆为权系数，它表示误差在区间内各计算位置的重要程度，根据设计对象 3 4 东北大学硕士学位论文 第4 章任意分布参数可靠性优化设计 的具体要求选择，如果各处重要程度相同，则均取1 。 ( 2 ) 最大误差形式 最大误差形式即以待求机构所能实现的函数与给定的期望函数在所讨论区间内的最 大误差的绝对值作为目标函数，即 f ( 贾) = m a x l p ( o , ，贾) 一p ( 谚) l ( 4 2 8 b ) 4 4 2 3 约束条件 所有设计方案( 设计点) 的集合称为设计空间。在工程中，除所追求的目标外，对设 计方案一般还有一些其他的要求，所以并不是所有方案都是可以被接受的，即不一定都 是满足设计方案的要求。 在优化过程中，对设计方案的限制，即对设计变量取值加以限制的条件称为约束条 件，或称为设计约束。根据是否对设计变量的取值加以限制，优化问题可分为无约束优 化和约束优化。 机构参数优化往往是约束优化问题。首先机构的运动运动精度可靠性应该满足要 求，即机构的运动精度可靠度r 大于或等于设计要求的可靠度凰。另外，各杆件的长 度必须大于零，并且有时还受空间的限制即上下界范围限制；要成为曲柄摇杆机构，则 各杆件的长度尺寸必须满足曲柄存在的条件；为了保证良好的传力性能，要满足机构的 压力角或传动角条件；刚强度条件等。这些都是机构参数优化时可能提出的约束条件。 4 4 2 4 优化模型 综上所述可建立如下平面连杆机构运动精度可靠性优化设计模型 m i n i m i z ef ( x ) s u b j e c t t or r o 虿( 贾) o h ( x ) 0 ( 4 2 9 ) 式中月。为给定约束应满足的概率值，可靠度月由前述的e d g e w o r t h 级数或经验修正公 式获得。留( 贾) 和 ( 又) 为不等式和等式约束矩阵。 4 5 数值算例 4 5 1 平面四杆机构运动精度可靠性分析 如图3 1 所示平面四杆机构，已知机构各构件几何尺寸的均值为：曲柄长度1 1 = 6 0 m m ，连杆长度1 2 = 17 0m m ，摇杆长度1 3 = 2 2 0m r n ，支架长度1 4 = 2 4 0r a i n ，支臂角度= 4 5 。， 支臂长度1