（机械设计及理论专业论文）准端面圆弧齿轮啮合特性及强度分析.pdf

心坐! ! ! 型堕型型堂兰里呈垒至五 ， 幺p ， 摘要 ， 。本文对准端面圆弧齿轮成其j 具进行了理论研究，给出准端 面嘲弧齿轮基准齿形参数叫馆公式和准端而l 尉弧齿轮滚刀的j 口 j ， 刃面齿形设计计算公式，刈比分析了螺旋角b 、设定4 螺旋角1 3o 、 模数m ，和齿数z 的变化州洲、f i 、端面和准端面圆弧齿轮啮合特 性的影响，并通过有限元列卜述二利，齿轮基本齿条强度进行了分 析和比较。峙旨出准端面圆弧从，轮齿面方程式是真正通用的圆弧齿 轮齿面方程式。文中对准端f f j j 、法面、端面圆弧齿轮的优越性和 4 i 足进行了对比。开发出准端m j 圆弧齿轮齿形参数及其刀具齿形 的计算系统。系统使用歹数掘库技术、a u t o c a d 技术，全部用 v i s u a lb a s i c6 0 编写。1 关键词：准端面圆弧齿轮有限元强度分析滚刀 一坐型、! j l i 些型竺j ! 垫l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，q u a s i t r a n s v e r s e c i r c u l a r a r cg e a ra n di t sh o b a r er e s e a r c h e dt h e o r e t i c a l l y ，l 、h e f o r m u l ao ft h eh o b s h a p e p a r a m e t e ro fq u a s i t r a n s v e r s e c ir c u l a r a r c g e a ra n dt h e h o bc u t t e r t om a n u f a c t u r et h eq u a s i t r a n s v e r s e c i r c u l a r a r c g e a r a r e d e d u c e d b a s e do nt h e s e ，t h ei n l 1 u e n c eo f h e l i xa n g l e ( p ) 、g i v e n a n g l e ( 岛) 、m o d u l e ( m n ) a n dt e e t hn u m b e r ( z ) o n t h ee n g a g e m e n t s t a t eo ft h en o r m a l ，t r a n s v e r s e a n dq u a s i t r a n s v e r s e - c i r c u l a r a r c g e a ri sa n a l y z e dc o n t r a s t i v e l y ，i nt h e i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h e i n t e n s eo ft h r e ek i n d s o f g e a r s m e n t i o n e da b o v e i s a n a l y z e d c o n t r a s t i v e l y i ti sp o i n t e do u tt h a tt h et e e t h s u r f a c ee q u a t i o no f t h ea u a s i t r a n s v e r s e c i r c u l a r a r cg e a ri sr e a l l yg e n e r a le q u a t i o nf o r c i r c u l a r a r c g e a r i t i sc o n t r a s t e d t h a tt h e a d v a n t a g e s a n d d e f i c i e n c i e so fq u a s i t r a n s v e r s e c i r c u l a r a r c ，n o r m a l c i r c u l a r a r c a n dt r a n s v e r s e c i r c u l a r - a r c g e a r i n t h i s p a p e r t h ed e s i g n a n d c a l c u l a t i o n p r o c e d u r e s o ft h e q u a s i t r a n s v e r s e 。c i r c u l a r 。a r c g e a r a n di t s h o bc u t t e ri sd e v e l o p e d t h ew h o l ep r o c e d u r ei s w r i t t e n w i t hv i s u a lb a s i c 6 0a n dt h e t e c h n o l o g y o fd a t a b a s ea n d a u t o c a d k e y w o r d s ：q u a s i t r a n s v e r s e - c i r c u l a r - - a r cg e a r i n f i n i t e e l e m e n ti n t e n s ea n a l y s i sh o bc u t t e r 第一章绪 论 1 1 引言 齿轮传动是应用最一泛的一种传动形式。它可以传递 机器设备任意配置的平行1 _ f f j 、州交轴及相错轴之问的回转 运动。齿轮传动是靠主动轮的轮齿依次推压从动轮的轮齿 以实现传递运动及动力。 齿轮传动的发展和生产的发展密切相关。在古代，齿 轮传动中齿廓曲线采用最简单的直线。随着生产的发展， 齿轮传动传递的功率日益扩大，速度也越来越高，轮齿齿 廓曲线的选择显得十分重要。l7 6 5 年，欧拉( l e o n h a r de l a r ) 提出以渐开线作为轮齿齿廓曲线，从而出现了渐丌线齿轮。 渐开线齿轮在中心距的可分性，以及制造、测量方面有许 多优点。这是其获得广泛应用和发展的重要原因，但它也 存在着如下缺点： 1 由于啮合面之间的滑动速度不一致，对齿面的磨损、 发热、传动平稳性和效率以及使用寿命都很不利。 2 渐开线齿轮是凸齿对凸齿的啮合传动，其相对曲率 半径小，致使接触强度低，承载能力受到限制。 为了提高齿轮传动的承载能力和平稳性，以适应生产 发展的要求。科学工作者们做出了巨大的努力，以求获得 更好的啮合形式。圆弧齿轮属于新型点啮合制的齿轮传动， 它将渐开线轮齿凸面与凸面相接触，改变成为凹形齿廓与 凸形齿廓之间的啮合，从而增大了相对曲率半径，提高了 i 接触强度。 1 2 圆弧齿轮的发展史 1 9 2 2 年，v i c h ers b 0s t o c k br a m l e y 捉了i ? j 、凹齿而 相啮合的齿轮传动，简称v b j 齿轮。其凸齿为长幅外摆线， 凹齿为长幅内摆线。由于j l 啮合齿廓具有很大的相对曲率 半径齿面接触应力比渐 线齿轮小得多，但其弯曲强度 较弱，轮齿易于折断，v b b 齿轮的应用受到了限制。 l9 2 6 年，美国的维尔特哈泊( e w i l d h a b e r ) 提出的圆弧 齿轮是凹齿齿廓圆弧半径的圆心在齿条型刀具的节线上。 齿面啮合时，凹齿齿廓圆心和节点重合，凸齿齿廓圆弧半 径比凹齿齿廓圆弧半径减少一个数值。其本质是法面为圆 弧的圆弧齿轮，凸齿只有齿顶部分，凹齿只有齿根部分， 但却没有能应用到工业中去。1 9 5 6 年，前苏联的诺维柯夫 发明了一种端面为圆弧的圆弧卤轮，他提出的圆弧齿轮与 ( e w i l d h a r b e r ) 的正好相反，是以凸齿齿廓的圆心落在齿条 型刀具的节线上，凹齿齿廓圆弧半径比凸齿齿廓圆弧半径 加大一个数值。他对该种齿轮作了系统的理论分析和强度 计算，因而在工业上得到广泛的应用。1 9 6 0 年，在联邦德 国e s s e n 召开的国际齿轮会议上，指出了圆弧齿轮的主要 优点： 1 承载能力高。能承担3 4 倍相同渐开线齿轮的载 荷而不会在齿面上产生有害的点蚀和磨损。 2 润滑好。齿面易形成油膜，油膜厚度约为渐开线齿 轮的l0 倍。 3 与渐丌线d 、i 轮柏| 1 j 的 “f t 施米提r 岛承载能力。 从此，圆弧齿轮作为 1 本、英吲等囡得到i1 益j 种新，世齿轮在前苏联、r 1 r i i 扎 泛1 n 研究禾jj 幢，h 。 1 3 国内外圆弧齿轮的研究状况 在国外，前苏联是倒弧齿轮应用很广泛的国家之 ， 它主要用于冶金矿山机械、起重运输机械、汽轮机、压缩 机、内燃机机车等，前苏联还制定了其国家标准。 在英国，圆弧齿轮用于造纸工业和水泥工业，效率高 达9 9 4 ，噪声与渐开线齿轮相近。英国还在圆弧齿轮方 面申请了不少专利具有代表性的是分阶式双圆弧齿轮的 齿形方案。 在日本，圆弧齿轮主要用于减速器，双圆弧齿廓的油 泵齿轮是日本的专利。 在我国，应用圆弧齿轮已有近四十年的历史，最初的 应用是单圆弧齿轮。7 0 年代丌始发展了双圆弧齿轮。单圆 弧齿轮的接触强度是同材质、同尺寸的渐开线齿轮的3 倍 左右，但抗弯强度约为渐开线齿轮的2 3 左右，虽然其综 合承载能力优于渐开线齿轮但抗弯强度仍是一个薄弱环 节。7 0 年代，双圆弧齿轮的研究在提高承载能力方面有了 突破，在抗弯强度方面也比相同的渐开线齿轮提高3 0 以 上。在广泛应用的基础上，我国己制定了五大基础标准。 近四十年来，我国在圆弧齿轮基础理论研究方面取得 了很大成绩，建立了具有我国特色的法面圆弧齿轮点啮合 理论、承载能力计算方法、精度检测与测量尺寸计算、滚 1 型坐i1 ：! 14 业! ： j 齿形设计与计算、修j | ；脓川ji 1 满载研齿等新工艺方法。 圆弧齿轮是凸齿x , j 叫限0 啮合， - , q 趋曲率半径要比凸 齿划i ! 、】齿时的当量曲率半i 夸人。理论i ：，lj 赫兹应力公式： 阿 m n - 0 4 1 8 小号 _ 式中： q 表示的是即化k 度上的载荷；e 表示当量弹 性模数( e ：堡) ：p 表示当量曲率半径( p = 单其中 e。一e!pl 2 p 2 正号用于凸齿对凸齿，负号刚j 二凸齿对凹齿) 。当我们采_ 【= f j 凸齿对凹菡的接触齿廓时，赫兹应力会因为当量曲率半径 的增大而减小，若使凸齿齿廓半径和凹齿齿廓半径相差不 大时，当量曲率半径会相当大，接触应力会大大减小，也 就是说，接触强度得到大大提高。圆弧齿轮正是在这种6 “ 提了而产生的高接触强度齿轮传动。 圆弧齿轮是点啮合制传动齿轮，不同于渐开线齿轮的 线啮合制传动齿轮，它的齿面是点接触共扼齿面。形成这 种点啮合齿面的方法最常用的是接触线法和包络法。在我 国，圆弧齿轮的研究开始一宜使用接触线法，后来又出现 了包络法，但主要是用接触线法，直到八十年代后，包络 法的研究开展开来。 一点接触共轭齿面接触线形成原理。 接触线法就是以理论啮合点在和齿轮固连的坐标系中 的轨迹一一接触螺旋线为基础，形成点接触共轭齿面的方 法。因为在点接触共轭齿轮传动中，同一端截面内的一对 4 浊j 廓i j 以“仟意地选u t | j u 提是保址对应的齿廓n f 啮合 f ：巩，1 ，不发， 二。1 二涉。l l 址t l l l 我们j 以选取 条过j 【| l 论 l 啮合点的曲线，令该线泔 触线作螺旋运动从而形成螺 旋曲面，即齿面。一一般我们是选取凤弧曲线作为齿廓f 线 的。如果齿轮齿面是以撕轮的端嘶圆弧曲线作螺旋运动形 成的，则为端面圆弧齿轮：? ? 齿丽是以轮齿的法耐截形一 圆弧曲线作螺旋运动形成n 0 则是法面圆弧齿轮。理论上 我们还可以形成其他形式的圆弧齿轮一一准端丽圆弧齿 轮。但接触线法存在许多致命的缺点，引起许多理论、实 际计算及具体应用方面的混乱。所以应当彻底抛弃接触线 法，代之以包络法。 二准端面圆弧齿轮共轭齿面包络法形成原理。 l 、点接触共轭齿面包络法形成原理。如下图i 一1 所 示， j 7 蠢，、， _ - 。孥。谚7 + r 。t ； 构件1 的齿面，是出产形面p 包络形成，而构件2 的 齿面：是由产形面q 包络形成。p 和q 是沿某曲线j j 彼此 相切并刚性地连接在起的两个不同的曲面，那么和： 一般就是一对点接触共轭齿面。若用c l l 表示p 和在包 络形成过程中某一瞬时接触线，用c i 2 表示q 和：在同一 时刻的接触线，那么当c li 和c l2 是两条相交的曲线时，它 们的交点是。和2 在某一时刻的共轭点。这时，和：称 为点接触共轭齿面。和：共轭点的的集合正是p 和q 的 相切曲线j j 。形成圆弧齿轮点接触共轭齿面的产形面p 、q 是一对彼此沿直线j j 相切的柱面，j j 直线平行于基本齿条 ( 以产形面为齿面的齿条称为被加工齿轮的基本齿条) 的节 平面，与被加工齿轮的轴线之间的夹角为1 3 。显然，由倾 斜角为b 的斜基本齿条包络形成的齿轮齿面，其节圆螺旋 角必然等于1 3 。柱面产形面p 和q 彼此内切。曲率半径比 0 一 ， 一 | 查型1 坠! 竺坚坚塑堡兰 较小的柱面的内侧表m ir 【：州刈运动- t t 他络形成构成之一的 凸齿齿面。，曲率半径比较人的，j 杞面产形丽的外侧发 血在相对运动t 扣! j ! 【j 包络形成j _ 一构1 1 一的i 圳齿齿听 f 。 。和f 构成了一对凸齿对齿的点接触共轭齿而。法而 恻弧齿轮的产形面p 、q 足川杠i ：面，其法向截面分别足半 径为p 。和pf 的圆弧曲线( 也就是圆弧齿轮基准齿形c h “j 齿齿廓圆弧半径和凹齿齿廓心弧半径) 。 2 端面圆弧齿轮共轭齿| _ 】的形成 在如图1 1 中，如果产形嘶p 和q 的端面截形为圆弧曲 线时，按照上述原理包络形成的齿轮的共轭齿面就是端面 圆弧齿轮。显然，端面为圆弧的基本齿条齿面，其法截面 齿形是随螺旋角( 基本齿条的倾斜角) 8 变化的椭圆曲线。 正是这一原因，加工不同螺旋角的端面圆弧齿轮，需要具 有不同齿形的滚刀。这在实际当中是无法实现的。 3 准端面圆弧齿轮共轭齿面的形成 准端面圆弧齿轮基本齿条齿面p 和q 的法截面齿形是 倾角为1 3 。( 称为设定螺旋角) 的端面圆弧齿轮的法截面齿 形。当1 3 。固定不变时，自然是不变的椭圆曲线齿形。准端 面圆弧齿轮的共轭齿面j 下是法截面齿形为上述椭圆曲线 ( 基准齿形) 的产形面p 和q 在相对运动中的包络曲面。 显然，当齿轮的螺旋角j 下好等于设定螺旋角屁时，包络形 成的正是前述端面圆弧齿轮的共轭齿面。而当p o = 0 。时，p 和q 的法截面齿形为圆弧曲线，包络形成的自然是法面圆 弧齿轮共轭齿面。 从加工的角度出发，准端面圆弧齿轮实际上是一把为 7 坐坐型坐鲨坐! ! ! ! 4 漂旋舶p 。，的端f f 】圆弧? h 轮i 奠汁的滚川加 而成的轮n 于广：j 髟【衙p 和0 的法械f “彤f i 随齿轮的螺旋伯b 变化嘶 变化，因此同一一模数j 蔼一挺 把滚刀，不会给t 艺上带米 新的麻烦。 i 列弧齿轮凸旧齿廓j 7 1 接触共轭的啮合特性降低了齿m f 之n l j 的接触应力，提高了轮f 灯的接触强度，从而获得i 当 广泛的应用。目前所采用的恻弧齿轮都是法面圆弧齿轮。 由于基本齿条的法截面齿彤是圆弧曲线，导致法面圆弧齿 轮有一些难以克服的缺点，本文研究的准端面圆弧齿轮在 定程度上可以缓解甚至克服这些缺点。 1 4 本课题研究的意义 法面圆弧齿轮有如下两方面缺点： 一是理论接触位置对误差的敏感性，也就是说当安装 中心距存在偏差时，实际接触位置往往偏离理论位置。文 献【1 曾经导出了法面圆弧齿轮端面齿廓的方程表达式，指 出它是椭圆曲线在相对运动中的包络曲线。法面圆弧齿轮 的凸齿齿形往往超出啮合圆，以致存在误差时发生理论啮 合点之外的非正常接触。 二是法面圆弧齿轮的弯曲强度不足，主要表现在齿顶 或齿腰部分的强度不足。究其原因，完全是由于基本齿廓 的各个部分都是圆弧曲线所致。法面圆弧曲线的齿形使我 们很难把它调整为沿齿高方向呈弯曲强度等强度。过渡部 分的齿形变化及应力集中更加剧了齿形的不等强度。 从解决误差敏感性的角度出发，端面圆弧齿轮是比较 r 查型堑竺! 型型：1 1 1 堡! 理想的圆弧齿轮传动形l 。j i 有予页先改定的齿廓半径兹的 凸凹圆弧形的端面齿廓会人人缓解接触位臀刈误差的敏感 性。但为了保证端面呈圆弧，限制了剥齿形曲线调整的可 能性，弯曲强度不足的问题雕以解决。加工不同螺旋角的 齿轮需要不同的加_ _ j 。滚川足端面厕弧无法逾越的工艺障 碍。 通过准端面双圆弧齿轮琏准齿形的优化设计，主要是 通过调整设定螺旋角0o 的大小，以及理论啮合点的齿厚 比，可以获得弯曲强度较高的准端面双圆弧齿轮的基准齿 形。沿齿高方向的最大弯曲应力可以比法面双圆弧齿轮降 低18 左右。由于平行轴圆弧齿轮的螺旋角变化很有限 与设定螺旋角1 3o 的差值更不会太大。这样一来，准端面双 圆弧齿轮的端面齿廓将非常接近端面双圆弧齿轮的端面齿 廓一一圆弧齿廓。因此，准端面双圆弧齿轮将具有类似于 端面双圆弧齿轮的优良的啮合特性。同一模数的准端面双 圆弧齿轮只需一把滚刀自然给工艺上带来很大的方便。 1 5 主要研究内容 1 本文对文献【2 】中的准端面圆弧齿轮齿面方程的一 些齿形参数的计算公式重新进行了推导。在准端面圆弧齿 轮的齿面方程中，当bo = 0 。时，为法面圆弧齿轮的齿面方 程：当b = 1 3o 时，为端面圆弧齿轮的齿面方程。 2 对准端面圆弧齿轮的啮合原理进行了研究，并对它 的啮合状态与法面、端面圆弧齿轮进行了对比分析。 3 通过有限元对基本齿条强度进行的应力分析，调整 9 太昧j l ji 、：l _ l _ i 训充电、产仲论文 些齿形参数，如8 ( ，成川论jj 合，、：i 齿厚比等，使齿轮沿麒i 高方向的弯曲应力的最大他降至最低，从而提高齿轮的弯 曲强度。 4 推导出准端面圆弧限i 轮滚刀齿形计算方程式：丌发 了准端圆弧齿轮齿形及le j ! i 齿形计算系统：并给了计 算实例，具体地进行了列比分析。 1 0 第二章准端面圆弧齿轮的啮合原理和啮合特 性分析 2 1前言 在本章中，重点讨论了准端面圆弧齿轮的基准齿形定 义、形成和齿形参数的计竹公式，进而得出准端面圆弧齿 轮的通用齿面方程：对准端而圆弧齿轮的啮合特性进行了 分析，并与法面圆弧齿轮( 即g b l2 7 5 9 9 1 所规定的齿形) 的啮合特性进行了比较。 2 2基准齿形 2 2 1基准齿形的定义 假想的与齿轮共轭啮合的齿条，称为齿轮的基本齿条。 基本齿条的法截面齿形一般定义为齿轮的基准齿形。为了 简化计算。简化工艺，基准齿形都是比较简单的图形。基 准齿形标准是所有齿轮、包括齿轮刀具标准及有关计算的 基础。 如果我们从弯曲强度及圆弧齿轮最常采用的螺旋角范 围考虑确定一个螺旋角bo ，并按此螺旋角设计加工一把 端面圆弧齿轮滚刀，用这把滚刀加工具有不同螺旋角的齿 轮，得到的就是所谓准端面圆弧齿轮。理论上的准端面圆 弧齿轮的基本齿条，其法截面齿形，即准端面圆弧齿轮的 基准齿形，是倾斜角为1 3o 的端面圆弧齿轮基本斜齿条的法 截面齿形。在多数螺旋角的范围内，准端面圆弧齿轮的端 堕! ：+ 型生业塑! 型! ! 面l ：作尚咏将非常接近川弧川i 线。 我固渐丌线齿轮的j 南h i ：尚形标准代号为g b l 3 5 6 7 8 ， 是齿形角2 0 。的梯形1 j j l 形。l r 是这 戊彤标准决定了我i 鲴 渐丌线齿轮的制式和标准。我固尉弧齿轮的基准齿形代号 为g b l2 7 5 9 9 1 ，是【l 数段侧弧曲线订机连接的分阶式双 偏双圆弧齿形。也正是这标准，决定了我国目前采刚的 是法面双圆弧齿轮。 准端面双圆弧齿轮的基本齿条( 倾角为b ) 的法截面齿 形是一系列椭圆曲线有机地衔接起来的齿形。为了简化， 也考虑到齿形标准的继承性，我们把准端面圆弧齿轮的基 准齿形定义为圆弧曲线齿形在斜角为bo 的平面上的投影。 这样一来，准端面圆弧齿轮的基准齿形由两部分组成一一 与法面圆弧齿轮基准齿形类似的由一系列圆弧曲线连接而 成的平面曲线和角度bo 。和所有的齿轮标准一样，仍然把 法面模数取为标准模数，有关参数自然均为法面参数。 法面圆弧齿轮的基准齿形不论是单圆弧齿轮还是双圆 弧齿轮都是由几段圆弧曲线段有机地组合而成。为了满足 不同的工况条件及工艺条件，国内外的圆弧齿轮工作者提 出了不同系列的基准齿形。我国也制定了自己的标准，那 就是前已述及的双圆弧圆柱齿轮基本齿廓标准 g b l 2 7 5 9 9 1 ，相配套的标准有：圆弧齿轮模数系列标准 g b l8 4 0 8 9 ；圆弧圆柱齿轮精度标准j b 4 0 2 1 8 5 ；双圆弧 齿轮滚刀标准j b 3 9 13 9 1 ：双圆弧圆柱齿轮承载能力计算 方法g b t 13 7 9 9 9 2 。 圆弧齿轮基准齿形参数的选择，其原则和渐开线齿轮 - 1 2 苎坠型! ! ：型w ”苎：! ：! 些笙兰 摹准齿彤设汁完全 致，山e i i i 力求达到弯h 强度等强搜 的要求，另一方面力求筋”以利寸二加】制造。g b l 2 7 5 9 9 1 型双圆弧齿轮基准齿形址分阶式叔偏齿形，i “j1 1 】 ：作齿_ | 乎i 的中心分别落存节线两侧，如图2 一i 所示。 这种齿形充分考虑了个双t ，岛h 、理论啮合点 力f j 口。、 凸世1 齿齿廓半径差o 、出咏凼心偏移量x 。和x f 、侧向 间隙j 等对弯曲强度和接触强度的影响。实践证州， g b l2 7 5 9 9 1 对于法面圆弧齿轮而言是比较适合的。至于 形状与g b l 2 7 5 9 9 1 类似的圆弧曲线齿形投影到与之央角 为反的平面上所得到的椭吲彤基准齿形，在什么情况下成 为准端面圆弧齿轮的最优螓准齿形，正是我们要研究的主 要内容。下一章，通过有限元对基本齿条进行应力分析， 我们可以得到些初步的结论。在本文中就是采用类似于 g b l 2 7 5 9 9 1 的圆弧齿形在与之失角为b0 的平面上的 投影作为准端面圆弧齿轮的基准齿形。 图2 1 1 3 查坠些! ! ：型! ：型! ! ：! ! ! 笙! 2 2 2准端面双圆弧齿轮基准齿形的形成 由准端而双圆弧齿轮占准齿肜的定义知道，h i i 端而双 圆弧齿轮的基本齿条的浊蛾出彤赴侧弧曲线齿形( 称之 为设定齿廓，我们采用类似g b l2 7 5 9 9 1 齿形) 在倾斜角 为bo 的平i i f i i 上的投影，也就是倾蒯j 为8o 的端而i 员：| 弧斜 齿轮的基本齿条法截面齿彤。为了时论上的方便，建立如 图2 2 所示的坐标系。 i l x 、 x 二、7 ：， f j ； 一。j 0 疑一，。多乏。卫 图2 2 0 。( 0 。一x 。y 。z s ) 一一与基本齿条固连的端面坐标系 o 。( 0 。一x 。y 。z 。) 一一与基本齿条固连的法面坐标系 当倾斜角为8o 的斜齿条的端面齿形为圆弧曲线时，其 法截面齿形为下式所表达的椭圆曲线： 5 一啪“州三、。 ( 2 1 ) y 。= ( p ，lc o sd + 只1 ) c o s 岛j 。 式( 2 1 ) 中的参数p 。1 ，e 。1 ，f 。1 为端面齿廓中相应圆 弧曲线的曲率半径及中心的x 。1 、y 。1 坐标。as ，是任意点 向径与y 。1 轴正向之间的夹角。曲线段的取值范围则出as 1 角的起始值a ：和终止值a ：所限定。式( 2 1 ) 是适用于基 准齿形中任意一段圆弧的通用表达式。 在齿轮的设计中，由于制造上的原因，总是把齿轮的 1 4 坐：11 11 型! 型l 型竺笙兰 烈、m 模数取为标准值。n 玳端【f l 舣弧试轮的改汁汁锥i 7 法面参数与端面参数之f l l j n l 天系j , l ： 风= 矗t2 志_ 一2 面f 2 把式( 2 2 ) 代入( 2 1 ) f ! 剑齿彤参数为法面参数p ，e f 的准端面双圆弧齿轮丛准f 灯形表达式： _ = 絮群l。， y 。= p c o s o f + f j 2 2 3准端面圆弧齿轮基准齿形的参数计算公式 在基准齿形计算公式中，我们把p 、e 、f 及。的起止 值口和口。称之为基准齿形的计算参数，其确定原则及方法 如下： 一、不变主参数 oo 一一设定齿廓理论接触点压力角 h 一一全齿高 h ：一一齿顶高 h ；一一齿根高 砖一一理论接触点到节线的距离 吒一一过渡曲线与凸齿工作齿廓切点到节线的距 离 二r 一一过渡曲线与凹齿工作齿廓交点到节线的距 离 二、随模数变化的主参数 一1 5 - 查型11 生兰! 业鲨，竺兰! 一 ， 一一齿侧n | j q ： k 一 设定齿廓川齿i 一作齿廓圆弧半径与1 1 j 戊 _ 作齿廓圆弧、卜径之比，见表二。 s 。一凸齿i 作尚廓理论接触点法向齿厚 s f 。一一凹齿工f 1 撕廓理论接刖! 点法向齿厚 q 一一齿厚比9 8 7 哌。 ( 耿值范围1 6 19 ) l 一一凸齿齿廓圆心偏离参数，= 兰l _ 一 l p | 一p 。) s i r q 0 ( 取值范围0 1 ) 三、设定齿廓参数 p 一一圆弧曲线曲率半径 e 一一圆弧曲线曲率中心的x 坐标 f 一一圆弧曲线曲率中心的y 坐标 a 一一圆弧曲线段起始点压力角 a 。一一圆弧曲线段终止点压力角 b0 一设定螺旋角 四、下标参数 a 一一凸齿齿顶参数 f 一一凹齿齿顶参数 j 一过渡曲线参数 g 一齿根连接圆弧曲线参数 m 一一理论接触点 五、设定齿廓参数计算公式 不变参数表一 1 6 丸蟓川一ij 、j i 圳究尘付沦t - 代号 0 0 hh ah f hmh jah jr 参数 2 4 。2 0o91105 4 5o1602 0 值 随模数变化的主参数表 化乎 j 。k ：丛 l 模数滁尸。 15 300 610 9 o5 3 6 00 510 805 6 100 0 410 7 05 10 1 60 0 41 0 605 16 3 20 0 3 1 0 505 3 2 5 000 2 510 3 05 设定齿廓参数计算公式 1 、凸齿工作齿廓( 右) p ：= 面丽h i c o s 而p o 而 e = 印： 一1 ) s i n a 。 巧= 而x - 画2 j ：一厄c 蝴。 虻c o s p o e ： ：c o s 风一e ： 2 、凹齿工作齿廓( 右) 6 f = k 文 巧= ( 1 一) ( p ：p ：) s i n a 。 1 7 一 ，l，、 n n s s = = 型! “型塑堡型塑! 巧= 案署叫+ c o s e ：= h jc o s f l 。，+ e ： e ：2 + ( f j ) 一18 0 。 h ：c o s 臼t ) ) 二 2 ( e ：一p ：+ h ：c o s p o ) 弘喀。窿 3 、齿根曲线部分( 右) p ：= e ：+ ；c o s f l 。 e ：= e ： = 必 口g2 口f 口：= - 9 0 。 4 过渡曲线部分( 右) 一= h ；o 胪警 x 2 = 一砖 胪警 1 8 0 。 一1 8 太原理工人学f ! j ! i 研究生学位论史 x ? + ( y 2 一y 1 ) 2 t g a ：+ 2 x 1 ( y 2 一y i ) 2 y 2 一y l + ( x 2 一z 1 ) t g c t 】 j ，= 三阜+ y t g a 。 p ：= c o s 风( x x 1 ) ! + ( y y i ) 2 e ：= 二c o s f l 。+ p ：s i n a ： ，? = y lc o s 风+ p ：c o s ： 口i = 口：一1 8 0 。 口：= s i n 弋尘掣) _ 1 8 0 。 p 7 根据公式( 2 3 ) 可计算出准端面双圆弧齿轮的基准 齿形各点的坐标。 六、计算实例 已知m n = 1 0 、a = 2 0 。、l = 0 5 、k = 1 0 7 、q = 1 6 0 、= 0 0 4 ， 根据上面的公式可计算出准端面双圆弧齿轮基准齿形计 算齿廓参数： 1 、凸齿工作齿廓( 右) 厄= 1 2 1 6 5 e = 0 0 1 7 3 如= 4 2 9 1 7 8 。 2 、凹齿工作齿廓( 朽) = 1 3 0 1 7 e ：= 0 0 1 7 3 6 t j = 一1 7 0 9 2 7 6 。 3 、撕根曲线部分( 右) 巧= 一o 5 2 2 6 = 6 2 7 8 0 0 = 2 1 3 1 2 a ，= 一1 3 8 2 0 7 8 。 一1 9 戌= 0 5 5 0 1 = 一0 4 8 3 6 口。= 一1 3 82 0 7 8 。 4过渡曲线部分r 5 - 7 0 8 9 0 。 p ：= 0 5 7 6 7 e = 0 2 1 3 4，= 12 5 9 9 a = 一1 7 3 7 2 2 0 。口= 一1 3 58 9 4 7 。 图2 3 给出了当m = 10 、l = 0 5 、k = 1 0 7 、q = 1 6 0 、 = 0 0 4 时，不同屁对应的准端面双圆弧齿轮的基准齿形。 h2 3 i r ：f 。5 旷 ，0 1l 砷：0 一 j 八 p 25 0 。 i ； 越。0 。 p 。= 5 0 。 从齿形的内侧到外侧依次为bo = 0 。、b0 = 5 。、 o = 1 0 。、b0 = 1 5 。、po = 2 0 。、bo = 2 5 。、9o = 3 0 。、 b0 = 3 5 。、8o = 4 0 。、口0 = 4 5 。、0o = 5 0 。的齿形。 2 2 4 基准齿形的讨论 在不变参数g o 、h + 、e 、 ；及 ：、砖相同的情况下，法 面双圆弧齿轮的基准齿形曲线( g b l 2 7 5 9 9 1 ) 被限定为一 系列圆弧曲线的有机连接曲线。显然，这样的基准齿形在 一2 0 = = 。胁 尘型”：! ：! “生业! ! 竺堕! 一定杩! 度上限制了“优化i 5 i 1 ”的j 能性。换t ，之，、_ 小 改变所述不变参数时，t z 讪的啮合特r i ：和轮齿的强度已纤 没仃什么变化的余地。m 准端而双捌弧齿轮的基准齿形则 由于设定螺旋角鼠的变化，以及叫齿理论啮合点与凸齿瑚 沦啮合点齿厚比p 的变化使我们能够通过对端面啮合图晰 的分析以及基本齿条轮齿仃限元分析，找到啮合特性好， 弯曲强度高( 接触强度由没定齿廓凹凸工作齿廓半径差保 证) 的准端面双圆弧齿轮的最优化基准齿形，从而确定j 之对应的设定齿廓计算参数及设定螺旋角。 2 3 准端面圆弧齿轮通用齿面方程 根据上面的基准齿形计算参数计算公式，计算出的参 数，正是文献f 1 】所给出的准端面双圆弧齿轮方程通用齿面 方程的各项原始参数： x = ( 甓茅+ r c o s a p + ( 9 s i n a + e ) 。鬻c 呻 一( 笔茅+ r ) s i n 0 9 + ( p s i n a + e ) 器一唧 一m 脚茹舞+ 户嚣( 嘉_ 1 ) - 南 ( 2 4 ) 其中k r c t g 一一螺旋参数。 方程( 2 4 ) 是准端面双圆弧齿轮左右各部分齿面的通 用表达式。 2 4准端面圆弧齿轮的端面齿廓 2 1 爪川jj 、：圳宄q 学他论业 专法截面齿肜【“乃f 齿条的端面齿廓为： x ，= 兰l 儿2 p c 磊o s 历一 口+ ， ( 2 5 ) 显然，准端面圆弧齿轮的端面齿廓i i i 是陔方程所表达 的曲线( 椭圆曲线) 在川刈运动中的包络线。如图2 3 选 取坐标系，其中，坐标系o 。( 0 。一x 。y 。z 。) 与齿条固连， 坐标系o ( o xyz ) 与齿轮心连，坐标系o0 ( o0 一x oy oz o ) 是静止坐标系。 得坐标变换关系为： 儿 1 lo o01 f x s 0l0 r 妒1 只 oo1o l 乙 0 0 0la1 图2 3 m 一一y 。 ( 2 6 ) 2 2 查型竖“型业鲨型丝! 工 j ， z 1 c o s s i n 妒 0 s i n 妒 c o s 妒 0 o0 00 lo 0o0i ( 2 7 ) 把式( 2 5 ) 代入( 2 6 ) 阿代入式( 2 - 7 ) 整理而得 x = ( 旦等：i i 墨+ r c 。s 妒+ 警s i n 妒+ r 妒s i n 妒 y = 一( 旦 ：；兰+ ， s i n 妒+ 警c 。s 妒+ r 妒c 。s 妒 z = 0 ( 2 8 ) 如图2 3 ，m 点为理论啮合点，p 点为节点，由啮合原 理知，基本齿条端面椭圆曲线上任一点成为接触点的条件 为： p m i i - 0 = ：， 1 p s i n q 七e ： p m 卸s 锕，2 岢i r 2 丽, o c o s 口r - ；- c o s 型c o s p o z3 8 。 引 ( 2 9 ) + ( 坐州 z ( 2 - 1 0)cos l厂 把( 2 10 ) 、( 2 1 1 ) 代入( 2 9 ) ，整理得 ( p s i n a + e 脚器一型c o s - r 删 ( 2 - 1 2 ) c o s + 玩 于是，准端面圆弧齿轮的端面齿廓表达式为 一2 3 x = ( 甓群w c o s 州班m 懈口而c o s s i n 妒 一( 宅群+ 1 s i 叩邯幽跏舭并c o s 妒 妒=剖(psino+e)ctgal啷c o s 一万3 旦掣c o s jl r lc o s 一。l ( 2 13 ) 事实上，在方程( 2 4 ) - 一令z = 0 ，我们马上就_ 以得 到方程( 2 13 ) 。完全同样的道理，令bo = 0 。，可以由方 程( 2 13 ) 求得法面圆弧齿轮的端面齿廓方程表达式。而 f 3 o = f 3 时，方程( 2 13 ) 将变为端面圆弧齿轮的端面齿廓 方程表达式。 2 5 理论啮合点端面压力角口。、接触点偏移量i 。，端 面齿廓接触图谱 在平行轴齿轮的传动中，一对啮合传动的齿轮在同一 端面内的齿廓，必然是满足啮合基本定律的一对共轭齿廓。 圆弧齿轮是点接触共轭齿轮，一对共轭齿面的端面齿廓之 间只有一个共轭点。共轭点在静坐标系中的位置由所论点 的c g s o ( 端面压力角) 和所论点到节点的距离( 接触点偏 移量) 来确定。在方程( 2 13 ) 中令口= a o ，可以得到准 端面双圆弧齿轮理论啮合点的偏移量0 和端面啮合角口，。 需要注意的是，对于表一给出的不变主参数计算的准端面 双圆弧齿轮，对于右侧凸齿理论啮合点，a o = 2 4 0 ：对于右 侧凹齿理论啮合点，a 0 = 一1 5 6 0 。这样一来： 理论啮合点端面啮合角： 一2 4 太原理丁人学坝i ：l 口f 究生学位论义 舭矿辔唑 ( 2 1 4 ) c o s j 理论啮合点偏移量： k = 嘲= 端厨i 磊丽而面 同理：1 3o = o o 相当于法面圆弧齿轮的情况。 b = bo 相当于端面圆弧齿轮的情况。 在式( 2 12 ) 中，令o = oo ，可以求得理论啮合点处 于啮合状态时，0 相对于oo 的转角中o ： 舻南 ( p s i n a 。+ e ) c t g a o 嚣七c o s ”f ) ( 2 - 1 6 ) 显然： _ 钉。o 叩。叫8 1 嗽吖 ( 2 17 yx 2 x s i n 爷b + y c o s p o 所表达的是当理论啮合点处于啮合状态时，端面齿廓 上任意点的坐标，而所论点剑节点的距离由下式计算： ，= x ：+ y ； ( 2 18 ) 理论上，理论啮合点之外的端面齿廓，只要彼此不发生干 涉，可以任意地选取。但是埘于不同的凹凸端面齿廓之f h j 的组合，由于不可避免的。心距误差的存在，理论接触位 置的偏离的可能性将是不6d 的。如果以节点为圆心，以行 点到理论啮合点的距离( 接触点偏移量i 。o ) 为半径画个 圆( 称为啮合圆) ，应尽量使恻弧齿轮的凸齿端面齿廓全部 位于啮合圆之内，| i _ 与之川 】合齿轮的巴i 齿撕廓应尽：诗个 2 5 奎堕型! 叁兰堡! ! ! 垒生兰篁堡兰 部位于啮合圆之外。这样的一对点接触共轭齿廓不会对中 心距误差很敏感，因为理论啮合点之外的齿廓之间不会因 少许的误差而接触。其齿廓对误差的敏感性可以用它们和 啮合圆的关系来评价。 令： a i = ，。一， ( 2 19 ) 其大小表征的是端面齿廓上的点偏移啮合圆的量，而 正负号则表示所论点与啮合圆的关系：a i ，o ，所论端面齿 廓点在啮合圆之外，反之亦然。 由于准端面圆弧齿轮的端面工作齿廓是光滑曲线，我 们可以用工作齿廓的上下两个端点位置的，和，”值来描 述整个端面齿廓与啮合圆的相对关系。为此，只需在方程 ( 2 - 13 ) 中以口口分别代入。 为了对准端面圆弧齿轮的啮合状态进行详细的分析， 我们分别对模数、设定螺旋角不变时，不同螺旋角齿轮的 ，和刖。值进行了计算分析( 其中m 。= 10 、bo = 2 0 。见附 表2 2 和附表2 4 ) 也对模数、齿数一定时，设定螺旋角风 和螺旋角口变化时，7 和，”值的变化进行计算分析( 其中 朋。= 1 0 、z = 4 0 见附表2 3 和i 附表2 5 ) 。附图1 是端面接触 图谱。( 因为经过第三章对摹本齿条的强度分析，我们得知 当1 30 = 2 0 。时，准端面圆弧齿轮的强度较高，所以在下面 的端面齿廓啮合分析中，取bo = 2 0 。进行分析。) 2 6 端面齿廓啮合分析 在附表2 1w t ，接触点俯移 建，。随衲始螺旋f ( jb0f 门增 2 6 奎堕型! 叁兰坐! ：! ! ! 塑生兰竺笙兰 大而增大，端面啮合角a 。随初始螺旋角00 的增大而减小； 端面啮合角口。减小致使齿的弯曲强度减小。 由附表2 2 到附表2 - 5 的计算结果，分析知： 第一：对于凹齿工作齿廓而言，无论是那一种双圆弧 齿轮，理论啮合点之外的点均保持在啮合圆( 节点为圆心， ，。为半径的圆) 之外。螺旋角8 越大，齿顶齿根部分的，和 ，”值越大：初始螺旋角bo 越大，齿顶齿根部分的，和，” 值越小。当1 3o = 2 0 。时，齿数的影响不甚明显，但经过计 算分析，我们可以得知当口 8 。时，会出现凹齿的，” 0 的 情况即部分凹齿进入啮合圆，由于凹齿的a i ” 0 ，即部分凸齿已超出啮合圆；当 bo = 1o 。和bo = 15 。时，在b = 2 5 。时已超出：当po = 2 0 。时，在b = 3 0 。时已超出：当b0 = 2 5 。和1 30 = 3 0 。时， 在b = 3 5 。时已超出。2 ) ( i i 凸齿齿顶部分，当 bo = 0 。 时，在b = 3 5 。已非常接近啮合圆；而b0 为其它值时， 尚有一段距离。这表明，随竹螺旋角b 的增大，凸齿齿根 部分会首先超出啮合圆，哑人的螺旋角会使凸齿齿项部分 限常接近啮合圆，正是i l ij 。这原因，当存扫：加工及装配 2 7 查! 型】：二竺j 型! ! ：i ：! 篁堡! 侈麓n , j ，接触点会俅，l 离州沦接触他馘，也就足接触位。封刑 叫1 心距误差比较敏感：玳稍弧圆弧撕轮州刈于法面圆弧 齿轮而言。，它对中心距议：的敏感性要小。、j目0 确定时， 随着z 的增大，7 和a “似7 延化不火，但经过计算分析知， 当bo = 2 0 。、卢2 8 0 时， 1 l i 芮齿根部分会超：“啮合随】，增 加了准端面圆弧齿轮的以，i ：敏感性，所以从啮合性能的角 度来说，尽量取口 2 8 。 第三：准端面圆弧齿轮的啮合间隙并未因其齿廓接触 偏离量的减小而减小，【臼附图1 知，其l 啮合问隙是随螺旋 角b 的增大而呈增大的趋势，这是由于凸齿齿廓接触偏离 量比法面圆弧齿轮更向负方向发展所致。前面已经讨论过， b0 = 2 0 。时，从啮合性能的角度来说，1 3 的取值范围应尽 量在8 。一2 8 。之问；从附图1 知，法面圆弧齿轮在b = 2 0 。时凸齿齿根已经超出啮合圆，而准端丽圆弧齿轮在1 3 = 2 5 。时啮合状态依然很好，所以准端面圆弧齿轮可以取更大 的b 值。因此在同等条件下，准端面圆弧齿轮由于安装误 差而引起的齿形干涉的可能性要比法面圆弧齿轮小。 一2 8 太原理丁人学坝i 研究生学位论文 第三章准端面圆弧齿轮轮齿的弯曲强度分析 由第二章关于准端面圆弧齿轮基本齿条的论述，我们 了解到：理论上的准端面圆弧齿轮的基本齿条，其法截面 齿形是倾斜角为1 3o 的端面圆弧齿轮斜齿条的法截面齿形。 因此，齿轮模数一定时，对具体的准端面圆弧齿轮而言， 不同的1 3o 对应不同的准端面圆弧齿轮法截面齿形。而齿轮 的弯曲强度是由其法截面齿形决定的。在这一章里，以有 限元作为工具，主要讨论bo 的大小及凹凸齿廓理论啮合点 齿厚比对准端面圆弧齿轮轮齿的弯曲强度的影响，从而从 强度的角度出发，寻求准端面双圆弧齿轮的最佳基准齿形。 3 1 有限元概述