《线性代数》的意义.doc

线性代数的意义是理、工、生、化、地、经济、管理等相关专业的重要的基础课。搞好大学数学的教学,不仅为各专业提供现代数学技术(信息化技术、数量经济技术、控制技术、优化技术、现代试验设计技术、系统分析与系统工程技术等)奠定必要的数学基础,而且对培养学生科研能力,加强学校的校风、学风建设也有一定的促进作用。大学新生首先接触的课程之一是高等数学,这对刚进入大学校门的新生来说,高等数学是他们改变学习方法,提高自学能力的重要途径之一,高等数学老师配备得好,新生的五、项目推动教学改革的实践过程1、开展教学研究，讨论授课方案（教材编写方案），确定指导思想（）学习工科数学课委会关于数学类公共基础课教学的基本要求，学习我校关于重点建设课程的基本要求，学习龚升文章数学基础课教材随想（高等理科教育年第期）；研究国内外优秀教材，研究教学规律，研究目前教学中存在的问题，研究学生的知识结构和认知规律。（）针对本课程中抽象的内容较多而学生在这方面的知识基础较差的教学实际，讨论确定总授课方案（教材编写方案）及指导思想，即“淡化严密性，强调思维性，加强实践环节，运用现代技术”，对课程的结构体系作较大幅度的调整。 2.课题组对线性代数内容进行重排，具体内容重新编排如下：第一章线性方程组及矩阵(1)线性方程组及其矩阵表示、矩阵的概念：(2)消元法；第二章矩阵代数，分以下6节： () 矩阵的运算；()常用的重要方阵：()逆矩阵及其应用()分块矩阵；() 矩阵的初等变换与矩阵的秩。在这一章主要变动有两个；一个是逆矩阵这一节加上其应用这一部分内容，主要讲述逆矩阵在信息的加解密的作用，旨在调动学生的学习积极性。另外一个是在这一章中引进了矩阵的初等变换与矩阵的秩，指出矩阵的初等行变换的作用：利用矩阵的初等行变换求逆矩阵及矩阵的秩(虽然矩阵的初等列变换法也可求逆矩阵及矩阵的秩，但我们只向学生介绍矩阵的初等行变换法求逆矩阵及矩阵的秩，这样学生比较不会糊涂)。第三章行列式，分以下5小节：(1)n阶行列式的定义；(2)行列式的性质；(3)行列式的按行展开；(4)克莱姆法则；(5)行列式在微积分与解析几何中的应用。该章的编排与流行教材的差别主要在加了第5节，旨在加强线性代数与其他数学分支的联系。该节主要内容有：利用行列式来统一Roll，Lagrange，Cauchy三个中值定理：利用行列式给出二重、三重积分的换元公式及多元函数链式法则；利用行列式介绍几何可中三点共线、四点共面的充要条件：利用行列式给出二点决定的直线方程、三点决定的平面方程公式：利用行列式给出三点决定的三角形的面积公式、四点决定的四面体体积公式：利用行列式给出两空间直线共面的充要条件。第四章 n维向量空间，()向量及其运算：()向量的线性相关性；()最大线性无关组；()向量的内积；()向量空间：第五章为线性方程组，主要围绕线性方程组的三个主要问题(即：线性方程组的解的个数有多少?如何求解线性方程组?在线性方程组有无穷多解时，解如何表示?)展开，分以下9节：()线性方程解的讨论；()线性方程组解的结构：()齐次、非齐次常系数微分方程解的结构简介。这一章变动较大，第节主要给出线性方程组Axb有解的充要条件：矩阵A的秩等于矩阵(Ab)的秩，且在r(A)等于未知个数时，线性方程组有唯一解：在r(A)小于未知数个数时，线性方程有无穷多解：并讲述解线性方程组的初等行变换法。增加了第节：齐次、非齐次常系数微分方程解的结构简介，主要是让学生体会最大线性无关组(基)在其他数学分支的作用，让学生的学习产生正迁移。第六章 特征值与特征向量，()方阵的特征值与特征向量；()相似矩阵与矩阵的相似对角形问题；第七章 二次型，分以下8节：()实对称矩阵的相似对矩阵：()二次型的基本概念；()化二次型为标准形的方法；()正定二次型；()正定和负定的一个应用。这一章主要加第节是为了介绍利用正、负定二次型得出多元函数取得极值的充分条件。第八章为Matlab简介与线性代数的应用实例，分以下5节：(1)Matlab简介；(2)Matlab基本运算；(3)Matlab图形绘制；(4)Matlab程序设计；(5)线性代数在实际生活中的应用。第一节对Matlab作简单的介绍：第2节让学生熟悉Matlab的一些基本运算的操作；第3节介绍Matlab的图形绘制功能；第四节介绍Matlab的程序设计的一些语法操作：第五节主要是利用线性代数对现实生活的一些实际问题进行建模求解并用数学软件求解，以激发学生学好线性代数的积极性。3.在教学的同时开设数学实验选修课（由于线性代数安排的教学课时有限，故其中的数学实验部分作为选修课开设），编写一本线性代数学习辅导书，编写一套与教材配套的学生线性代数作业题，进行多媒体建设和网络资源建设。六、取得的成效或经验本课程是本校大部分专业的一门公共基础课，自1982年以来我系教师一直对线性代数课程积极地展开教学研究与教学改革，我校和我系也非常重视该课程的建设。教学成果是1998年被列为校重点建设课程，2004年又被列为校级精品课程建设，2006年申报省级精品课程。课程建设主要体现在：1、将教学思想和教学理念贯穿到课程的内容和体系。强化数学思想方法、加强学生分析解决问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启迪学生的创新思维。2、准确把握课程定位，转变教育观念，以适应知识经济时代综合国力的竞争为目标。课程的教学定位于：培养具有扎实的数学基础知识、数学的逻辑思维能力、应用数学知识、技术解决经济等问题的能力，为培养综合素质高的人才奠定良好的科学思维能力和一定的数学处理方法。3、积极进行课程改革、课程体系改革。遵循整体优化、着重基础、加强应用。课堂教学提倡启发式教学、两阶段教学法、多层次教学法。近年来考研数学上线率大大提高，数学建模获得全国一等奖1项，二等奖1项;省、省级一等奖7项，二等奖多项。4、努力优化师资队伍。采取了内部培养、提高，外部引进的措施。不断提高科研水平，积极从事教研与科研活动，定期举行学术活动，以科研促教学。建设期间，已承担各级课题省、部级5项，近五年发表论文多篇，编写并公开出版教材3部，在院讲课比赛中3人代表数理系获得优秀成绩。5、课程组始终确保教学质量作为教学工作的生命线。为此，不断规范教学管理，严格执行课程教学计划，坚持相互听课制度，长期坚持了任课教师回避的抽题统一考试，实行统一评分标准，统一流水阅卷，并对试卷进行分析、统计，确保考试成绩更客观、公正、公平。这样，对教师的教学也起到一定的促进作用。6、为了加强课程建设，充分吸收兄弟院校的长处。以互通信息为手段，长期保持了与同类院校对教改、教学、课程建设、指导考研等信息的交流、沟通。7、成为精品课程建设的一部分，线性代数电子教案已经完成，顺利完成线性代数网络资源建设，校线性代数精品课程网站已经开通，它是我院重点建设课程内容的一部分。8、在数学教学中加载实践环节，是培养学生综合素质的重大举措，是教学理念的巨大飞跃。近年来，学校的规模日益扩大，办学条件不断改善，数学实践教学的环境也越来越好。数理系建立了数值计算实验室和信息分析实验室，配备了专用多媒体教室和机房。开设数学实验选修课，让学生亲自动手设计和操作，感受和体验数学应用及实践的过程和氛围，开放性思维以及创新能力得到了培养。正 线性空间是线性代数中最基本、最重要的概念之一,这个概念以高度抽象的形式出现,在表面上掩盖了它起源于客观世界的实质,但这丝毫也不能否认它是描述某种自然现象的有力的数学工具;丝毫也不能否认线性空间所蕴含的实际意义。事实上早在十七世纪拉格朗日Lagrange在研究质点运动中就利用4维向量(x_1,x_2,x_3,x_4)来刻划质点的运动状态,其中前3个分量反映了质点在运动中的位置,第4个分量则表示质点处于这个位置的时刻。因此4维线性空间作为一种重要的数学工具早在物理学中得到应用。随着生产实践的不断进步,随着科学技术的飞速发展,线性空间的理论和方法目前已经广泛的渗透到自然科学和工程技术的各个领矩阵的每一列可以看作几何空间中的一个向量。该矩阵有多少行，该向量就是多少维空间里的向量。几列放在一起，就成了一个矩阵。几个向量放在一起，同一起点，就成了一个“坐标系”。矩阵是用于坐标变换的。 线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题-那些表现出线性的问题是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上1、可以用线性方程组来表征线性系统；2、线性代数可以用来分析线性方程组的性质因为我们把现实中各个问题用方程描述来求最优化，在N维世界求解几乎不可能，计算机中你会讨论的，为了简化模型，我们接着将所有归纳为线性关系，并从中找出一些共性或者简便方法，提纯后就是我们现在见到的以为莫名其妙的线性代数，任何期望在N个相关变化量的世界里寻求最优解时，你得一步步简化模型，知道你碰到线性代数，所以你应该了解他的意义，如果你希望了解解决问题的实质，建议你真正理解他，而不是会做题目想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。l 对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解； 作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。l 另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的