（机械设计及理论专业论文）图象正交矩及其反变换理论的研究.pdf

w i 。硫e 汹b 毗n g h 舢mt o n gu 曲粥吣r 。x ! 曼卫黧8 6 i i i i i i i i r l ii ii ii i r li irj r r i ii o r t h o g o n a lm o m e n t s o f i m a g e sa n dt h e i ri n v e r s et r a n s f o r m s c a n d i d a t e ： w a n g g u o b a o s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gs h i g a n g m a j o r ：m e c h a t r o n i c sd e s i g n sc h o o lo fm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g s h a n g h a i j i a ot o n gu n i v e r s i t y , c h i n a j a n u a r y2 0 0 5 l 弋 ， 上 j 。_ l ， ， 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 眵 日期：歹矿歹车乡月i 了日 人i i ( b 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 ， 保密囱，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“ ) 一签名( 嵇 日期：沙肄多月d - e l 指导教师签名： 日期： 一 弓月夕日 l ，p 毋龟。 ：g 上海交通大学博士学位论文 图像正交矩及其反变换理论的研究 摘要 图像矩是图像的一个重要特征，它广泛应用于图像处理和机器视觉领域中的 品类不变量和非不变量识别以及模式分析方面。正交矩由于具有可逆变换和最小 i i 总冗余，成为图像矩的一个重要形式。本文针对当前图像正交矩研究中的几个 i _ ：长问题，如正交矩的提取方法、反变换重建、快速计算、新型正交矩、以及局 套窀矩等问题，进行系统和深入的研究。 ，t - v 一。 1 基于正交矩变换的图像重建是关于正交矩分析的重要方面。我们选择一个不 同于现有研究的重建误差模型，着重于使用统计分布的原理来分析基于正交 矩变换的信号与图像重建过程，推导出正交矩( 如l e g e n d r e 矩、t c h e b i c h e f 矩和k r a w t c h o u k 矩) 的信号和图像重建过程满足相关统计分布的重要结论 这一重要的统计分布结论将可用于各类基于正交矩的图像分析应用上。 2 图像正交矩的快速计算对正交矩的应用有着至关重要的影响。现有研究中， 除l e g e n d r e 矩外，正交矩计算多还是采用直接的方法，即先进行多项式运算， 然后执行离散求和计算；而且，作为正交矩应用的一个重要方面，正交矩反 变换的快速算法研究尚未受到应有的重视。本文利用c l e n s h a w 递归形式来 “ 推导t e c h b i c h e f 矩及其反变换、k r a w t c h o u k 矩及其反变换，以及l e g e n d r e 矩反变换的快速算法。与传统方法相比，这些递归算法不仅有较低的计算复 杂度，而且具有简单、规则和模块化的二阶递归滤波结构，非常有利于进行 大规模集成电路( v l s d 的实现。 3 现有的各种矩和正交矩特征的提取均是基于等间隔采样的均匀域上进行的。 本文开展在非等间隔空间采样的非匀域上进行正交矩提取的研究，以 l e g e n d r e 矩为例利用离散正弦变换和离散余弦变换开发了连续正交矩提取 的两种方法，并提出了正交矩反变换的新形式；分析了这两种方法的计算误 差和计算复杂度；通过无噪和有噪图像的重建实验，验证了利用本文方法提 取的正交矩的图像特征描述能力。与现有方法相比，本文方法在计算复杂度 和图像特征描述能力两个方面都具有优越性。此外，l e g e n d r e 矩的图像特征 描述能力传统上被认为是弱于t c h e b i c h e f 离散正交矩的，而本文通过图像重 建实验给出了新的结果。 摘要 4 在现有面向数字图像分析的正交矩形式中，l e g e n d r e 矩有连续正交性，但是 没有离散正交性，而t c h e b i c h e f 矩和k r a w t c h o u k 矩有离散正交性却无连续正 交性。基于非等间隔采样处理，本文提出一类用于图像分析的新型正交矩， 称之为c h e b 矩。c h e b 矩的矩基底函数定义在连续域上，具有连续正交性； 同时，它的计算执行却是在非等空间的离散域上，并且具有离散正交性。于 是它综合了连续正交矩和离散正交矩的优点。c h e b 矩可以利用快速离散余弦 变换进行计算，其计算复杂度只有o ( n 2l o gn ) 的，与其它正交矩的o ( u 3 ) 计 算复杂度相比，计算量大为降低。有噪和无噪的图像重建实验表明，c h e b 矩拥有优良的图像特征描述能力，优于现有的各类正交矩如l e g e n d r e 矩、 t c h e b i c h e f 矩、k r a w t c h o u k 矩以及z e m i k e 矩等。此外，现有的离散正交矩 即t c h e b i c h e f 矩和k r a w t c h o u k 矩在高阶的时候都有数值不稳定性，而c h e b 矩则有着良好的数值稳定性。 5 正交矩及其应用目前主要还是基于图像全局，本文系统阐述了局部正交矩的 卷积计算形式，给出了相应的计算模板；并利用局部正交矩来描述小面模型。 基于本文推导的关于正交矩重建的统计分布理论，根据统计假设检验的原 理，提出了小面模型的自适应选择机制，并利用它来解决图像处理中的一个 基本研究问题图像平滑去噪，验证了提出的自适应小面模型的有效性。 关键词 正交矩；反变换；图像重建；l e g e n d r e 矩；t c h e b i c h e f 矩；_ 虹a w t c h o u k 矩；统计 分析；递归计算；离散正弦变换；离散余弦变换：c h e b 矩；局部正交矩；小面 模型 一 广 - 上海交通大学博士学位论文 o r t h o g o n a lm o m e n t so fi m a g e sa n dt h e i ri n v e r s et r a n s f o r m s i m a g em o m e n t sa l ea s e to ff e a t u r e so fa ni m a g ea n dh a v eb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e dt ov a r i o u so f i n v a r i a n ta n dn o n = i n v a r i a n tr e c o g n i t i o na n dp a t t e r na n a l y s i si nt h ef i e l d so fi m a g ep r o c e s s i n ga n d m a c h i n ev i s i o n t h ef o r mo fo r t h o g o n a lm o m e n t si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti nv a r i o u sf o r m so f m o m e n t st h a n k st oi t sa v a i l a b l ei n v e r s et r a n s f o r ma n dt h el e a s ti n f o r m a t i o nr e d u n d a n c yi nas e to f m o m e n tf e a t u r e s t h i sp a p e ri sf o c u s e do ns e v e r a lb a s i ci s s u e sa b o u to r t h o g o n a lm o m e n t s , s u c ha s t h ee x t r a c t i o no fo r t h o g o n a lm o m e n t s ，i n v e r s em o m e n tt r a n s f o r m s ，f a s tc o m p u t a t i o n ，n o v e lf o r m o fo r t h o g o n a lm o m e n ta sw e l la sl o c a lo r t h o g o n a lm o m e n t s ，a n ds oo n ，f o rd e e pr e s e a r c h 1 1 地r e c o n s t r u c t i o n a s p e c t s o f o r t h o g o n a l m o m e n t sa r e v e r yi m p o r t a n t f o rt h e o r t h o g o n a l m o m e n t s b a s e di m a g ea n a l y s i s 1 1 1 i sp a p e ru s e sar e c o n s t r u c t i o ne r r o rm o d e l ，w h i c hi s d i f f e r e n tf r o mt h eo n ei nt h ee x i s t i n gr e s e a r c h , f o ra n a l y z i n gt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o nf r o m o r t h o g o n a lm o m e n t s t h et h e o r e mo fs t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o ni sa p p l i e dt ot h er e c o n s t r u c t i o n p r o c e s sa n di t se r r o rt od e r i v et h a tt h eo r t h o g o n a lm o m e n t - b a s e dr e c o n s t r u c t i o no b e y sac h i - s q u a r e s t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o n i nt h e c o m p u t a t i o n a la s p e c t s ，m o s to ft h ea l g o r i t h m sf o ro r t h o g o n a lm o m e n t sc o m p u t i n g , n o t i n c l u d i n gt h el e g e n d r em o m e n t sc o m p u t i n g , f a l lt ot h ed i r e c tm e t h o dw h i c hf i r s te v a l u a t e st h e m o m e n tb a s i sp o l y n o m i a l sa n dt h e n i m p l e m e n t st h e d i s c r e t es u m m a t i o n i na d d i t i o n ，t h e d e v e l o p m e n to fe f f i c i e n ta l g o r i t h m sf o ri n v e r s em o m e n tt r a n s f o r m sh a sn o tb e e np a i dm o r e a t t e n t i o ni td e s e r v e d t h i sp a p e ra p p l i e dt h ec l e n s h a wr e c u r r e n c ef o r m u l at od e r i v et h ef a s t r e c u r s i v ea l g o r i t h m sf o rt h et c h e b i c h e fm o m e n t s ，k r a 叭c h o u km o m e n t sa n dt h e i ri n v e r s e t r a n s f o r m s ，a sw e l la st h ei n v e r s el e g e n d r em o m e n tt r a n s f o r m ，r e s p e c t i v e l y c o m p a r e dw i t ht h e c o n v e n t i o n a ld i r e c tm e t h o d s , t h ep r o p o s e dr e c u r s i v em e t h o d sh a v el o w e rc o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y ；h o l ds i m p l e ，r e g u l a ra n dm o d u l a rs e c o n d r e c u r s i v e f i l t e r ss t r u c t u r ea n da r ee s p e c i a l l y s u i t a b l ef o rv l s ii m p l e m e n t a t i o n a l lo ft h ee x i s t i n gm e t h o d sf o rt h ee x t r a c t i o no fo r t h o g o n a im o m e n t sa r eb a s e do ne q u a l l ys p a c e d s a m p l i n g t h i sp a p e rp r e s e n t saf r a m e w o r kf o re x t r a c t i n go r t h o g o n a lm o m e n t sb a s e do nu n e q u a l l y s p a c e ds a m p l i n g w i t ht h el e g e n d r em o m e n t sa sa ne x a m p l e ，t w oa l g o r i t h m sw i t ht h eu s a g eo f f a s td i s c r e t es i n et r a n s f o r m sa n dd i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m sh a v eb e e nd e v e l o p e df o rt h ee f f e c t i v e e x t r a c t i o no fo r t h o g o n a lm o m e n t s an o v e lf o n no fo r t h o g o n a lm o m e n t - b a s e dr e c o n s t r u c t i o ni s p r o p o s e d ，a n dt h ea n a l y s i so fr e l a t e de r r o r sa n dc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t ya r ea l s op e r f o r m e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ep r o p o s e dm e t h o d ss u p e r i o ro v e rt h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d s 1 i i - 摘要 a c c o r d i n gt ot h ec c 粕p 删o n 越c o m p l e x i t ya n dt h ef e a t u r er e p r e s e n t a t i o nc a p a b i l i t yo ft h e c a l c u l a t e do r t h o g o n a lm o m e n t s f u r t h e r m o r e , l e g e n d r em o m e n ti s c o n v e n t i o n a l l yd e e m e d 船 i n f e r i o rt ot c h e b i c h e fm o m e n t s t h i sp a p e rg i v e sad i f f e r e n ta n s w e rt ot h i si s s u eb a s e d0 nt h e r e l a t e de x o e f i m e n t a lr e s u l t sa b o u ti m a g er e c o n s t r u c t i o n 1 l lv s r i o b $ f o r m so fo r t h o g o n a lm o m e n t sf o ri m a g ea n a l y s i s , t h el e g e n d r em o m e n t sh a v e c o n t i n u o u so r t h o g o n a l i t y , b u tn o th o l d i n gd i s c r e t eo r t h o g o n a l i t y w h i l et e h e b i c h e fm o m e n t sa n d k r a w t c h o u km o m e n t sh a v ed i s c r e t eo r t h o g o n a l i t y , n o th o l d i n gc o n t i n u o u so 确o g o n a t y t h a n k s t o 锄u n e q u a l l ys p a c e ds a m p l i n gp r o c e s s i n g , an o v e ls e to fo r t h o g o n a lm o m e n t s ，c a l l e dc h e b m o m e n t s ，i sp r o p o s e di nt h i sp a p e rf o ri m a g ea n a l y s i s t h eb a s i sf u n c t i o n so fc h e bm o m e n t sa r c d e f i n e di nt h ec o n t i n u o u sd o m a i na n dh o l dc o n t i n u o u so r t h o g o n a l i t y m e a n w h i l e ，t h e i rc o m p u t i n g i m p l e m e n t a t i o n i so nad i s c r e t ed o m a i na n dh o l dd i s c r e t eo r t h o g o n a l i t y , w h i c hm a k e sc h e b m o m e n t so b t a i nt h ea d v a n t a g e so fb o t t lc o n t i n u o u so r t h o g o n a lm o m e n t sa n dd i s c r e t eo r t h o g o n a l m o m e n t s c h e bm o m e n t sc a nb ee v a l u a t e db yf a s td i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r mw i t hav e r yl o w c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yo fo ( 产l o g i v ) c o m p a r e dt ot h ed ) c o m p l e x i t yf o ro t h e ro r t h o g o n a l m o m e n t s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wc h e bm o m e n t sa r cs u p e r i o ro v c 4 a l lo ft h ee x i s t i n g o r t h o g o n a lm o m e n t ss u c ha sl e g e n d r e 、t c h e b i c h e f , k r a w t c h o u ka n dz e m i k em o m e n t si nt e r m so f t h er e p r e s e n t a t i o nc a p a b i l i t yf o rn o i s e l e s sa n dn o i s yi m a g e s a d d i t i o n a l l y , t h ee x i s t i n go r t h o g o n a i m o m e n t s ( t c h e b i c h e fa n dl c , a w t c h o u km o m e n t s ) a r en u m e r i c a l l yu n s t a b l ew h e nh i g h e ro r d e r sa r e i n v o l v e d ，w h i l ec h e bm o m e n t sa l w a y sk e e ps t a b l ep e r f o r m a n c ef o ri m a g ea n a l y s i s g l o b a lo r t h o g o n a lm o m e n t sh a v eb e e ng i v e nm u c ha t t e n t i o n , w h i l el e s sw o r kh a sb e e nd o n ef o r t h el o c a lo r t h o g o n a lm o m e n t ss of a r t h i sp a p e rp r e s e n t st h ec o n v o l u t i o nf o r m so fv a r i o u sl o c a l o r t h o g o n a lm o m e n t sa n dp r o v i d e st h e i rs p e c i f i cc o m p u t a t i o n a lm a s k s t h el o c a lo r t h o g o n a i m o m e n t sa r es u g g e s t e di nt h i sp a p e rt od e s c r i p tt h ef a c e tm o d e lf o ri m a g ea n a l y s i s t h a n k st ot h e a f o r e m e n t i o n e ds t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o nt h e o r e mo fi m a g er e c o n s t r u c t i o nf r o mo r t h o g o n a lm o m e n t s ， a r la d a p t i v es e l e c t i o ns t r a t e g yf o rc o n s t r u c t i n ga na d a p t i v ef a c e tr e p r e s e n t a t i o nf o rl o c a li m a g e a n a l y s i si sp r e s e n t e da n da p p l i e dt or e s o l v et h eb a s i ci s s u eo fd a t ad e n o i s i n gi nt h ef i e l do fi m a g e p r o c e s s i n gt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo f t h ep r o p o s e dm e t h o d ， y w o r d s 气 o r t h o g o n a lm o m e n t s ，i n v e r s et r a n s f o r m ；i m a g er e c o n s t r u c t i o n ；l e g e n d r em o m e n t s ；t e h e b i c h e f m o m e n t s ；k r a w t c h o u km o m e n t s ；s t a t i s t i c a la n a l y s i s ；r e c u r s i v ec o m p u t a t i o n ；d i s c r e t es i n e - t r a n s f o r m ；d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ；c h e bm o m e n t s ；l o c a lo r t h o g o n a lm o m e n t s ；f a c e tm o d e l - l v f 一 上海交通大学博士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景、目的和意义1 1 2 图1 象矩l 1 2 1 几何矩一3 1 2 2 复数矩3 1 3 3 正交矩4 1 3 方形域上的正交矩5 1 3 1 连续正交矩5 1 3 2 离散正交矩5 1 4 研究内容与章节安排6 f 第二章正交矩及其反变换的统计分析8 2 1 引言8 2 2l e g e n d r e 矩j ：8 2 2 1l e g e n d r e 矩及其基函数8 2 2 2l e g e n d r e 矩反变换与重建统计分析。1 1 2 3t c h e b i c h e f 矩! 11 ； 2 3 1t e h e b i c h e f 矩及其基函数。1 5 2 3 2t c h e b i c h e f 矩反变换与重建统计分析1 7 2 4k r a w t c h o u k 矩：1 1 2 4 1k r a w t c h o u k 矩及其基函数2 l 2 4 2k r a w t c h o u k 矩反变换与重建统计分析一2 4 2 5 ，j 、1 2 ；：2 8 第三章正交矩及其反变换的递归计算2 9 3 1 引言一2 9 3 2c l e n s h a w 递归2 9 3 3 正交矩变换的递归算法3 0 3 3 1t c h e b i c h e f 矩的递归计算j ：_ j 一：j j ：。：3 0 3 3 2k r a w t c h o u k 矩的递归计算3 3 3 3 3l e g e n d r e 矩的计算3 7 3 4 正交矩反变换的递归算法3 8 - v 目录 3 4 1t c h e b i c h e f 矩反变换的递归计算3 3 3 4 2k r a w t e h o u k 矩反变换的递归计算 3 4 3l e g e n d r e 矩反变换的递归算法4 4 3 5d 、结。4 7 第四章非匀域上的正交矩及其反变换算法 4 1 弓l 言4 8 4 2 基于离散正弦变换的正交矩提取厶 4 8 4 2 1 原理4 8 4 2 2 误差分析5 2 4 2 3 计算复杂度。 4 3 基于离散余弦变换的正交矩提取5 4 4 3 1 压；j 里5 4 4 3 2 误差分析。5 6 4 3 3 计算复杂度5 7 4 4 基于正交矩反变换的数字图像重建6 l 4 4 1 理论推导6 1 4 4 2 两类方法的重建实验比较。6 2 4 4 3l e g e n d r e 矩与t c h e b i c h e f 矩的性能比较6 6 4 5 j 、结6 9 第五章基于非均匀域的新型正交矩c h e b 矩，7 0 5 1 引言。7 0 5 2 新型正交矩。7 0 5 2 1 正交矩基底函数7 0 5 2 2c h e b 正交矩定义及其计算7 2 5 2 3 与几何矩的关系7 4 5 3 重建方面7 5 5 3 1 重建计算式7 5 5 3 2 统计重建分析7 5 5 4 实验比较7 6 5 5 小结。8 5 第六章局部正交矩变换与图像小面模型8 6 6 1 引言8 6 6 2 局部正交矩及其计算8 6 6 2 1 局部正交矩的统一描述8 6 v 1 产 i j ：海交通人学博 ：学位论文 6 2 2 局部l e g e n d r e 正交矩8 8 6 2 3 局部t c h e b i c h e f 正交矩9 l 6 2 4 局部k r a w t c h o u k 正交矩9 4 6 _ 3 基于正交矩的臼适应小面模型9 7 6 3 1 小面模型的正交矩描述9 7 6 3 2 自适应性的矩阶数选择策略9 8 6 3 3 自适应小面去噪9 9 6 z i ，j 、结10 4 第七章总结与展望1 0 5 7 1 本文工作与创新点1 0 - 5 一一 7 1 1 本文工作10 5 7 1 2 本文创新点10 6 7 2 研究展望10 6 参考文献= 10 8 - 毫一 攻读博士学位期间的论文1 1 4 致谢。l15 v i i 缸 ， 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景、目的和意义 数字图像技术目前已经广泛地应用于基础科学和应用科学的各个领域。图像分析主要是 对图像中感兴趣的目标进行特征提取、测量和分析，以获得客观信息从而建立对图像的描述。 机器视觉( 或者计算机视觉) 则着重于利用计算机或机器来实现类似于人的视觉功能。对图 像目标进行表达和特征描述是图像分析和机器视觉领域中的一个重要过程。图像常见的特征 有灰度( 包括颜色) 、形状以及纹理等方面。如何有效地进行这些特征的描述以及提取并利 用这些特征信息，便成为一个重要研究课题。图像矩即是一种用于各种特征描述与分析的有 效方法【5 ，6 】。它属于一种区域积分，通常具有良好的抗噪性。与其它用于特征描述的方法 如傅里叶描述符、余弦变换以及小波变换等不同的是，由于图像矩是建立在代数多项式基础 上的图像统计特性，并且通常低阶矩都有明确的几何意义，非常易于理解：、而且利用图像矩 可以方便地构造用于视觉识别的各种不变量特征。于是至今，各种形式的矩及其函数已经成 为图像分析和机器视觉领域中的重要方法。 正交矩是图像矩的一种重要形式。非正交矩( 如几何矩) 的各阶特征之间通常具有相关 性，包含了冗余的信息，并且通常从一套非正交矩特征中进行原图像重建是件非常困难的事 情。正交矩则不同，它的各阶特征之间是线性无关的，实现了信息冗余最小化；并且正交矩 具有可逆变换，很容易利用反变换进行图像的重建表达。然而，目前关于图像矩的研究多集 中于几何矩或者各类不变量的构造与应用方面，对正交矩及其反变换的研究则相对较少。正 交矩及其变换方面的一些基本问题尚未得到有效解决。 本文将开展关于正交矩及其变换方面的一些基本问题的研究。作者导师与作者早前提出 了利用基于多项式空间变换的运动模糊图像分析来实现振动测量的视觉方法，并得到国家自 然科学基金面上项目基于主动序列运动模糊图像的机器视觉振动测量资助( 编号 5 0 3 7 5 0 9 9 ) 。由于图像矩特别是正交矩将在这一新方法中起着重要作用，所以本文关于正交 矩的研究及其有关结论将不仅推动一般性图像处理和分析中的正交矩方法的进展，也将为振 动的机器视觉测量方法提供有效的基础理论支撑。 1 2 图像矩 “矩”最初是统计学和力学等领域中的一个重要概念。在统计学中，矩常用来描述随 机变量的分布特征，例如一阶原点矩表示数学期望，也就是均值：二阶中心矩即为方差，反 应数据的集中或离散程度。在材料力学中，利用静矩( 一次矩) 、惯性矩( 二次矩) 等来表 示截面儿何性质。矩在图像分析、模式识别以及计算机视觉领域的广泛应用则始于1 9 6 2 年 上海交通大学博士学位论文 图1 - 1 图像矩的结构框架 f i g 1 - 1t h ef r a m e w o r k o fi m a g em o m e n t s h u 的研究工作【7 】。h u 建立了图像与它的矩特征之间的唯一确定性，并提出矩不变量，用 于实现各类平移、转动和比例变换后的物体的视觉识别。1 9 8 0 年t e a g u e 提出正交矩的概念 【8 】，主要用来从一套矩特征中有效地重建原图像。2 0 0 1 年m u k u n d a n 又提出离散正交矩【9 】， 以实现矩特征能更为精确地描述数字图像。目前各种形式的矩形式已经广泛应用于图像分析 和视觉的许多方面 5 ，6 】。一个关于图像矩体系结构的示意图如图1 1 所示。 概括地说，把图像投影到实数域或复数域的多项式基底上，所得到的投影系数都可以认 为是图像矩。按多项式基底在其定义域上的正交性与否，我们可以把图像矩分为非正交矩和 正交矩。典型的菲正交矩包括几何矩和复数矩等；正交矩则主要包括l e g e n d r e 矩、z e m i k e 矩、t c h e b i c h e f f 矩、k r a w t c h o u k 矩等。几何矩与复数矩主要优点在于其能方便地构造各类 不变量以应用于物体的视觉识别，但是从这些矩特征中进行原图像的重建则非常困难；此外， 几何矩或复数矩的基底函数不是正交矩的，所以各阶矩之间存在相关性，包含有冗余的信息。 而正交矩具有可逆的反变换，一幅图像能够方便地从它的正交矩特征中进行反变换重建：正 交矩由于其正交性，所以信息冗余度很低，能够更为有效地描述图像。 2 第一章绪论 1 2 1 几何矩 1 9 6 2 年h u 的研究工作开创了图像分析、识别以及计算机视觉领域中的图像矩这一重要 概念【7 1 。严格地说，h u 提出的矩应称为几何矩( g e o m e t r i cm o m e n t s ) 定义域d 上的图像函 数f ( x ，j ，) 的( p + q ) 阶几何矩定义为： = 儿x p y 叮厂( x ，y ) d x d y ( 1 1 ) h u 利用几何矩的非线性组合构造了一套能够在图像平移、旋转和缩放情况下保持不变 的矩不变量，以实现物体的视觉识别关于几何矩不变量的研究，可进一步参阅文献【7 ， 1 0 - 1 5 。低阶的图像矩有明确的几何意义【5 】，例如，零阶矩表示函数厂 ，y ) 的质量， 如果是二值图像，则可表示图像的面积。一阶矩砚o ，m o l 则表示图像的质心。 几何矩的应用主要包括各类不变量识别【7 ，1 6 - 2 1 、边界检测 2 2 = 2 4 、刚体位姿估计 【2 5 2 7 】、形状识别【2 8 ，2 9 】、图像正则化【3 0 】、相机焦距测量【3 1 】、机器人视觉伺服控$ j j 3 2 ，3 3 】、 图像纹理分割【3 4 】、图像插值 3 5 1 等关于几何矩的计算，参见文献 3 6 - 4 0 。 。