（检测技术与自动化装置专业论文）基于lmi的时滞系统的稳定性分析与控制.pdf

独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士学位论文 摘要 在实际的工业过程中，由于传输、测量等因素的影响，时滞现象普遍存在。时滞特 性常常会对控制系统的稳定性及系统性能指标产生严重影响。因此，对于时滞系统的研 究具有十分重要的理论意义和实际工程应用价值，受到了控制理论研究者的广泛关注。 同时，由于在实际过程中，系统的动态特性十分复杂，很难完全准确地建立被研究对象 的精确数学模型，通过各种简化或逼近方法建立的系统近似模型跟实际对象的行为特征 存在一定的差距，这些差距可以看作是系统模型的一种不确定性。因此，对于不确定时 滞系统的研究具有更加实际的意义。 本文利用l y a p u n o v 稳定性第二方法，结合线性矩阵不等式( l m i ) 以及矩阵分析等 工具，研究了时滞系统的稳定性、记忆状态反馈控制以及保成本控制问题。主要内容： 引言概述了时滞系统稳定性与控制问题的研究背景以及研究现状。第一章对本文用 到一些基本的概念进行了详细的说明。主要分为五个部分：( 1 ) l m i 的概述；( 2 ) l m i 工具箱的使用； ( 3 ) s - p r o c e d u r e 的概述；( 4 ) 相关引理；( j ) 符号说明。第二章研 究了不确定时滞系统和具有非线性扰动的时滞系统的稳定性问题，应用l y a p u n o v 第二 方法和一种新的不确定项的分析方法，给出以线性矩阵不等式表示的稳定性判定准则。 通过与已有结论比较，结果显示本文所给出的时滞相关稳定性准则具有较小的保守性， 并且易于应用。第三章分别研究了不确定中立型时滞系统和具有非线性不确定扰动的中 立型时滞系统的稳定性问题，给出了时滞相关稳定性准则，结论以线性矩阵不等式表述。 线性矩阵不等式可以用m a t l a b 提供的l m i 工具箱方便地求解。第四章研究了不确定中 立型时滞系统的镇定问题。首先给出了记忆状态反馈控制器的设计方法。然后，进一步 讨论了保成本控制器的设计方法。仿真结果表明所给结论是有效的且易于应用的。最后， 对论文的内容进行了总结，并对时滞系统的稳定性及控制研究进行了展望。 关键词：时滞；中立型系统；稳定性；记忆状态反馈控制；保成本控制 杨家胜；基于l m i 的时滞系统的稳定性分析与控制 a nl m i a p p r o a c ht ot h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n ds t a b i l i z a t i o n f o rd e l a ys y s t e m s a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tt h ep h e n o m e n o nw i t ht i m e d e l a yc a l lb ef o m a di nt h em o s to f i n d u s t r i a lp r o c e s s e so w i n gt ot h ea c t i o n sf r o mt r a n s m i s s i o n ，m e a s u r ea n ds oo n ，m a do f t e n r e s u l t si nt h ei n s t a b i l i t ya n dp o o rp e r f o r m a n c e s t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c ea r ea l w a y st h ek e y i s s u ei nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g ，s ot h es t u d yo fd e l a ys y s t e m sa t t r a c t s c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nt h ec o n t r o lt h e o r yl i t e r a t u r e m e a n w h i l e ，a sw e l lk n o w n ，i ti sa l m o s t i m p o s s i b l et oo b t a i na c c u r a t em a t h e m a t i c sm o d e l sf o rt h eo b j e c ts y s t e m sd u et ot h ec o m p l e x d y n a n f i c a lb e h a v i o r si nt h ep l a c t i c a lc o n t r 0 1p r o c e s s t h em o d e lu n d e rw h i c ht h ec o n t r o l l e r d e s i g n e di su s u a l l yd i f f e r e n tt ot h er e a lp l a n to w i n gt os o m ek i n d so fm o d e la p p r o x i m a t i o no r r e d u c t i o nm e t h o d s ，a n dt h ed i f f e r e n c ec a i n b er e g a r d e da sac e r t a i nu n c e r t a i n t y t h e r e f o r e ， m o r ev a l u e sc a nb eo b t a i n e df r o mt h er e s e a r c hi n t ot h ed e l a ys y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e s b yu s i n gt h el y a p u n o vs e c o n dm e t h o d ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sa n dm a t r i c e sa n a l y s i s ， t h i sp a p e rs t u d i e ss t a b i l i t y ，m e m o r ys t a t ef e e d b a c kc o n t r o l ，m a dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r 0 1 t h e m a i nw o r k si si l l u s t r a t e da sf o l l o w i n g ： a tf i r s t ，t h eb a c k g r o u n do ft h er e s e a r c hi n t os t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o no ft i m ed e l a y s y s t e m si si n t r o d u c e d i nt h ef i r s tc h a p t e r , s o m eb a s i cn o t i o n sa r ei n t r o d u c e d w h i c ha r e m a i n l yc a t e g o r i z e di n t of o u rp a r t s ：o ) c o n c e p t i o no fl m i ；( 2 ) l m it o o l b o x ；( 3 ) c o n c e p t i o n o fs - p r o c e d u r e ；( 4 ) r e l a t i v el e m m a s ；( 5 ) e x p l a n a t i o no f n o m e n c l a t u r e i nt h es e c o n dc h a p t e r ， u n c e r t a i nt i m ed e l a ys y s t e m sa n dt i m ed e l a ys y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n sa r es t u d i e d an e wa p p r o a c hi si n t r o d u c e dt oa n a l y z et h el i n e a ru n c e r t a i n t i e so fd e l a ys y s t e m s t h i s a p p r o a c hy i e l d sal e s sc o n s e r v a t i v es t a b i l i t yc o n d i t i o nf o rac l a s so fu n c e r t a i nt i m ed e l a y s y s t e m s a ni l l u s t r a t i v ee x a m p l ei sg i v e nt oi n d i c a t et h a tt h ec r i t e r i o ni nt h i sp a p e ri sl e s s c o n s e r v a t i v et h a nt h ef o r m e rr e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h es t a b i l i t yp r o b l e m so fu n c e r t a i n n e u t r a ld e l a ys y s t e m sa n dn e u t r a ld e l a ys y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n sa r er e s e a r c h e d ， i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h es t a b i l i z a t i o np r o b l e m so fu n c e r t a i nn e u t r a ld e l a ys y s t e m sa r e r e s e a r c h e d a tf i r s t ，t h em e m o r ys t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d b a s e do ni t ， g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri ss t u d i e d t h er e s u l t sa r es h o w r lb yl i n c u rm a t r i xi n e q u a l i t i e s a t l a s t ，w es u mu pa l lt h ep a p e ra n dp r o s p e c t so f t h et i m e d e l a ys y s t e m ss t u d i e s k e yw o r d s ：t i m e - d e l a y ；n e u t r a ld e l a ys y s t e m s ；s t a b i l i t y ；m e m o r ys t a t ef e e d b a c k c o n t r o l ； g u a r a n t e e dc o s te o n t r o l 大连理工大学硕七学位沦文 引言 时滞现象在各种各样的控制系统中都是普遍存在的，比如在涡轮喷气机、微波发生 器中，核反应堆和轧钢系统中。在计算机信息和数据的传送过程中，时滞就是一个不可 忽略的部分。随着控制系统变得越来越复杂，控制精确度变得越来越高，我们已经不能 对时滞做简单的处理，而是要建立时滞微分方程这个较为精确的数学模型，因而对时滞 系统的研究这个课题就摆在了我们的而莳。 对于一个系统而言，我们首先要关注的是这个系统的稳定性问题。然而，系统中时 滞的存在，对系统的影响首先是稳定性。对于大多数线性控制系统来说，系统中存在的 时滞总是产牛消极作用，使系统由稳定交为不稳定。众所周知，时滞的存在将改变系统 的特征方程以超越方程的形式表示，特征方程的数量将变为无限多个。下面以单输入译 输出时滞系统为例来说明这一情况，系统的方框图如图1 1 所示。 系统的传递函数为 其特征方程为 e 用泰勒公式展开为 图1 ，1 时滞系统 f i g 1 1t h e t i m e d e l a ys y s t e m 旦盟：竺g 塑 r ( s ) 1 + e - r s o ( s ) 1 十er s g ( s 1 = 0 e = 1 十( - r s ) + 壶( 一r s ) 二十- 十击( 一r s y + 因此，特征方程可以表示为 杨家胜：基于l m i 的时滞系统的稳定性分析与控制 l + ( 1 + ( 邮) + 五1 ( 塌) 2 + + i 1 ( 琊) ”+ - ) ( ) = 。 目前，对时滞系统的研究大致可以分为频域和时域方法两种。频域方法，例如经典 控制理论中的奈奎斯特法、波特图法 8 】。虽然它们能够容易地得出理论上时滞系统的稳 定性条件，但是由于其求解的复杂性几乎不能用于实际工程当中。时域法主要有 l y a p u n o v t l ，6 ，9 ，1 0 1 泛函方法和r a z u m i k h i n 型定理【1 , 9 1 给出的l y a p u n o v 函数法，它们分别由 k r o s o v s k i i 和r a z u m i k h i n 创立于五十年代末。这种方法是时滞系统稳定性分析中非常重 要的一般化方法，九十年代以前由于没有可行的l y a p u n o v 泛函和l y a p u n o v 函数构造方 法，而没有得到普遍应用。九十年代以后，由于利用l m i 解析方法构造l y a p u n o v 泛函 和l y a p u n o v 函数的方法，使得这两种方法在时滞系统的稳定性分析中得到了广泛的应 用。例如，对于时滞系统 t ( f ) = a x ( t ) + b x ( t h ) 根据许多学者经常使用的l y a p u n o v 函数，对于线性时滞系统，最为普遍的一种形式就 是 矿( x ( f ) ) = x 1 ( t ) p x ( t ) + ix ( s ) r x ( s ) d s 式中p ，尺为正定对称矩阵。然后求导可以获得系统的稳定性条件为 月+ ? + 一。p 笺 0 ，使得下面的不等式成立 爿1 p + 删 o ( 1 3 ) 其中x = ( x ，x 。) 7 r ”是变量，巧= f 7 ”，i = 0 ，m 是己知对称矩阵。以上不 等式意味着h x ) 正定，即对于任何的非零向量：r “，都有“7 f ( x 皿 0 。 我们在实际问题中可能还会遇到形如f ( x ) 0 ，这样的非严格l m i 。严格l m i 和非 严格l m i 是密切相关的，b o y de ta i ( 1 9 9 4 ) 对此有着较详细讨论，在这里不在赘述。另外， 对于一组如下的l m i s f e ( z ) 0 ； ( 1 4 ) i f a x ) 0 实际上可以用单个l m i f ( x ) ：= d i a g 5 ( x ) ，f a x ) o ( 1 5 ) 堑窒壁! 茎三幽塑堕堂墨竺塑整塞堂堑皇堡型 来表示，所以今后对l m i 和l m i s 在讨论中不加区分。 在控制系统闭环性能的分析和控制器的设计中，往往遇到求解以正定矩阵为变量的 不等式问题，如l y a p u n o v 不等式和r i c c a t i 不等式 4 1 p + p a 0( 16 ) a t p + 朋+ p b r 一1 8 7 尸+ q 0 ( 18 ) ( 3 ) 含l m i 约束的广义特征值问题( g e v p ) ： f 2 b ( x ) 一a ( x ) 0 r a i n 五j f b ( z ) 0 ( 19 ) 1c ( x ) 0 其中4 ( x ) ，b 扛) ，c ( x ) 为依赖于x 的仿射矩阵函数。不难看出，这个问题又可表述为 m i n 丸。( 爿0 ) ，b 0 ) ) ， s t 占( x ) o ，c ( x ) 0 ( i 1 0 ) 其中厶。( z ，d 表示矩阵约束五y 一肖的最大广义特征值，也即矩阵y 。“姗刈2 的最大特 征值。 12l m i 工具箱介绍 线性矩阵不等式( l m i ) 工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件 包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示形式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然 大连理工大学硕士学位论文 块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题旦确定，就可以通过调试适当的线 性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 l m i 工具箱提供了确定、处理和数据求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用 于： ( 1 ) 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； ( 2 ) 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息： ( 3 ) 修改现有的线性矩阵不等式系统： ( 4 ) 求解线性矩阵不等式组问题； ( 5 ) 验证结果； 下面将介绍几个与本文有关的函数和命令。 s e t l m i s 和g e t l m i s 一个线性矩阵不等式系统的描述以s e t l m i s 开始，以g e t h n i s 结束。当要确定一个新 的系统时，输入： s e t l i n i s ( 【】) 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为l m i s o 的现有的线性矩阵不等式系 统中，j 则输入： s t l m i s ( 1 n f i s o ) 当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入： l m i s y s 。g e t l m i s 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示h n i s y s 。 n e w i m i 函数n e w l m i 用来确定线性矩阵不等式的名称。例如：l m i t a g = n e w l m i 表示增加一 个名称为l m i t a g 的新的线性矩阵不等式到线性矩阵不等式组中。 i m i v a r 函数l m i v a r 用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量，每一个只能描述一 个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表达式是： x = l m i v a r ( t y p e ，s t r u c t ) 这一函数定义了一个新的矩阵变量x 。函数中的第一个输入量t y p e 确定了矩阵变量x 的 类型，第二个输入量s t r u c t 进一步根据变量工的类型给出该变量的结构。变量的类型分 成三类： t y p e = 1 ：对称块对角结构。这种结构对应于具有如下形式的矩阵变量： 杨家胜：基于l m i 的时滞系统的稳定性分析与控制 d l 0 0 d 2 o0 0 0 ： d - 其中对角线上的矩阵块口，( f - l n ) 是方阵，它可以是零矩阵、对称矩阵和数量矩阵。 这种结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵( 分别相当于只有一块) 。此时，s t r u c t 是一个，x 2 维的矩阵。如果该矩阵的第i 行是( m ，z ) ，则其中的m 表示对称矩阵块口的 阶数，而n 只能取1 、0 和i l 。其中一= 1 表示d j 是一个满的对称矩阵( 或无结构的对 称矩阵) ；= 0 表示口是一个数量矩阵；疗= 一1 表示口是一个零矩阵。 t y p e = 2 ：长方型结构。这种结构对应于任意的长方矩阵。此时，s t r u c t = ( m ，, ) 表 示矩阵的维数。 d p e = 3 ：其它结构。这种结构用来描述更加复杂的矩阵，也可以用于描述矩阵变 量之i d j 的一些关联。的每个元或者是0 ，或者是x 。，其中x 。是第n 个决策变量。相 应地，s t r u c t 是一个和变量j 有相同维数的矩阵，其中每个元取值如下： l 0 ， s t r u c k ，j ) = 厅， l 一门， 如果x ( f ，j ) = 0 如果z ( f ，j ) = 矗( 1 11 ) 如果z ( f ，j ) = 一 i m i t e r m 在确定了矩阵变量以后，还需要确定每个线性矩阵不等式中各项的内容。线性矩阵 不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的单个矩阵。这些项可以分成三类： ( 1 ) 常数项： ( 2 ) 变量项，即包含了矩阵变量的项。一般的变量项具有形式p s q ，其中工是一个 变量，p 和q 是给定的矩阵，分别称为该变量项的左系数和右系数： 在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，l m i 工具箱提供了这样的功能，即只 需要确定对角线上和对角线上方的内容，或者只描述对角线下方项的内容，其他部分项 的内容可以根据线性矩阵不等式和对称性得到。 用命令l m i t e r m 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。 该函数的一般表达式是： l m i t e r m ( t e r m l d ，a ，b ，f l a g ) 大连理工大学硕士学位论文 这个函数定义增加了一项到矩阵不等式中。该项可能是一个常数项或变量项。 y e r r n l d 是一个四元向量，它刻画了所描述的项所在的位置和特征，其中： f 1 ) 第1 个元表示所描述的项属于哪一个线性矩阵不等式。值m 表示第l m 个矩阵不 等式的左边，一m 表示第m 个不等式的右边。 ( 2 ) 第2 和第3 个元表示所描述的项所在块的位置。例如，nz 量 m l2 x 表示 所描述的项位于第m 个线性矩阵不等式左边那因子块( 1 ，2 ) 中。 ( 3 ) 最后一个元表明了所描述的项是常数项还是变量项。 t e r m i d ( 4 ) = 0 ，则表示该项为常数项； t e r m i d ( 4 ) = x ，则表示该项为变量项a x b ； t e r m i d ( 4 ) = 一x ，则表示包含变量x 转置肖的变量项倒b ：a 表示外因子 的值，常数项或者是变量项 a x b 或a x 7 b 的左系数。b 则表示变量项a _ u b 或删7 丑的右 系数。f l a g 是可选择的，且只能是j 。当f l a g = 。5 时，则函数所表示的变量项为 a x b + b 7 x t a 7 。 在描述项的g , j 容时，有一些项简化的方法。 m 零块可以省略描述。 但) 可以用一个标量值来描述一个数量矩阵，即用口表示数量矩阵球，其中a 是一 令标草矩阵。例如：3 1 能够被描述成l n f i t e r m ( m 11 o l ，3 ) 。 f e a s p 函数f e a s p 是一个求解器，用以寻找一个x r “或给定结构的矩阵，使得满足线性 矩阵不等式 爿( x ) ， ( 】1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 二1 8 三 ，c = 口钼是已知常数矩阵，问x ，j 满足以上 可以用以上介绍的l v i i 函数对该系统矩阵进行分析，代码如下 a = - 2 ，0 ；1 ，一3 1 ； b = 【一l ，o ；一0 8 ，一l 】； c = 10 ；0 1 ； s e t l m i s ( ) ； x = l m i v a r ( 1 ，【21 ) ； s 2 l m i v a r ( 1 ， 21 】) ； b r i g = n e w l m i ； l m i t e r m ( b r l1 1x ，1 ，a ，s ) ； l m i t e r m ( b r l1 1s 】，c ，c x l m i t e r m ( b r l12x ，1 ，b ) ； l m i t e r m ( b r l22s ，一1 ，1 ) ； x p o s = n e w l m i ； l m ! t e r m ( - x p o si lx ，1 ，1 ) ； s l m i = n e w l m i ； l m 女e r m ( 一s l m i1 1s 】，1 ，1 ) ； l m i t e r m ( 一s l m i 】1o ，1 ) ； l m i s y s = g e t l m i s ； 【t m i n ，x f e a s = f e a s p ( l m i s y s ) ； x 2 d e c 2 m a t ( l m i s y s ，x f e a s ，x ) s = d e c 2 m a t ( l m i s y s ，x f e a s ，s ) 运行结果显示： s o l v e rf o rl m if e a s i b i l i t yp r o b l e m sl ( x ) 0 ，则以下两个条件是 等价的。 科2 】：对使得仃l ( y ) o 的所有y r ，y 1 q o y 0 ； s i 2 ：存在f 0 ，使得q o f 鸟 0 。 利用定理可以知道：存在对称矩阵p o ，使得对满足石7 丌7 c 7 c 善的所有孝o 和 跚矿p + p p a 船。帆j k u j 。 ( 1 2 2 ) 0 一 y 1 、l 1，i一 矗靠靠 + + q l 靠 。 + 1，0，j 岛 、，l 杨家胜：基于l m i 的时滞系统的稳定性分析与控制 成立当且仅当存在标量f 0 和对称矩阵p 0 ，使得 r + p a ，+ b 科c ! r il 。 n ：， 7 ， 一 。 、 显然，上面的不等式是一个关于矩阵p 和标量f 的线性矩阵不等式。 1 4 相关引理 引理1 4 h ( s c h u r 补定理) 对给定的对称矩阵s 菱： ，其中s 。是，x ，维的。以 f 条件是等价的： ( 1 ) s 0 ( 2 ) s 。 o ，是：一碓甄1 s i ： 0 ( 3 ) 0 及向量算子 ： 0 ，y 叶r ”，并且定义如下积分，则满足 yp 7 ( ) 讹( 尸) 妒( 弘( ) 印) m ( 弘( ) 够) 引理1 4 | 3 【2 4 】：对v 9 0 辨，v m 贸，如下条件是等价的： ( 1 ) p ( m 1 m ) 1 ( 或0 忙1 ) ( 2 ) m 7 0 m q 0 引理1 4 4 ：给定矩阵q = q 7 以及适当维数的矩阵h 和e 则 q + h f e + e 1 f 7 h 7 0 ，使得 q + 占一1 h h 7 + 占e 7 e r表示矩阵方程一y 是正定的，其中和y 是相同维数的对称矩阵 p ( q )表示矩阵的谱半径 五，。( 爿) 表示矩阵a 的最大特征值 a m m 一) 表示矩阵a 的最小特征值 a 矩阵a 的谱范数，即f 1a j | = ( 五。( 爿1 一) ) “2 上z o ，o 。) 所有满足f x 。( f ) x ( t ) d t 0 ) ( 2 1 ) l x ( t ) = ( r ) ，f _ h ，0 】 其中：x ( o r ”是系统的状态矩阵，a ，b 是已知实常数矩阵。她) 是给定区m 卜鬼o 上 的连续可微函数。爿( f ) ，日( f ) 是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵，假定其 只有如下形式： 爿( f ) = d f ( t ) e ，a b ( t ) = g i ( f ) h( 2 2 ) 其中：d ，e ，g h 足已知矩阵，f ( ，) ，f ( f ) er ”为未知函数阵，其满足 ，“r o f ( o ， f ( ，) 巧( r ) ， 首先，( 2 ，1 ) 式能够以如下的新的形式表示 量( f ) = y ( t ) y ( t ) = ( a + 爿( f ) ) x ( f ) + ( b + b ( f ) ) x ( f h ) 定理2 1 ：如果存在矩阵尸 0 ，只，昱，以( f ，j = l ，2 ，3 ) 和t o ( i = 1 ，2 ) 满足如下的线性 矩阵不等式，则系统( 21 ) 是渐近稳定的。 大连理t 大学硕十学位沧文 其中 彬j d 一日1 + 爿7 与# 。历与岳7只7 召0 4 一一琏七h x n 琏b 琏西0哎8 0 十。 融000h $ 一1000 48 一1 00 十$ 一，0 十十十十 一 瞩= 爿1 只+ 舅1 爿十矗一+ 置，+ a z 墨： 置： 墨， x 2 3 ” o = a 墨：一x ! ，一爿三，= e 1 b 十硝：一x i ，+ 翼己 d = d k ，e = ke ，g = g k , ，h = k i l h o ，q 0 ，g z 0 ，鼻，只和z ，( f ，：1 ，2 ，3 ) 满足如下线性知 阵不等式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，则系统( 2 1 ) 是渐近稳定的。 其中 彬 p 一舅1 + 一。昱p i t de t a , 鼻1 g 0 4 一r 一哎+ h x 。墨8p 、d 0 琏6 0 + 暇0 0 0h 7 g + + + 一g0 00 4 + 一g0 0 + 48+ 一g0 4+ 8十 十 一g 、 卜 k = 爿7 + # 7 0 + 凡k + 3 + 砭 = 彳口+ ，嘁：一置，+ 砖，暇= ：一五，一鼻互 0 可知适当维数的可逆矩阵，墨是必然存在的。 0 i五墨鼍 ， ，一 一以一。 咖+：+ 大连理工大学硕士学位论史 2 3 具有非线性扰动的时滞系统的稳定性 考虑如下具有非线性扰动的时滞系统： 。掣协? “_ 八“o ，f ) + “卜 ( 2 1 3 ) i x ( t ) = 妒( ，)r 卜h 0 】 、 其中：x ( f ) r ”是系统的状态向量，爿，b 是描述名义系统模型的已知实常数矩阵。是 给定区间 - h , o 】上的连续可微函数。厂( z ( ，) ，f ) ，g ( x ( t 一 ) ，) 是反映系统模型中非线性扰 动的函数，并假定满足如下形式： i 厂( x ( ，) ，) ! i 口c i x o ) | 1 ，l l g ( z u 一 ) ，t ) c 7 l l x ( , 一 ) i 【 ( 21 4 ) 其中口是已知常数。 式( 21 4 ) 等价于 厂7 ( x ( ，) ，t ) f ( x ( t ) ，) “2 x 1 ( f ) x ( f ) ( 2 1 5 曲 g 。( x 0 b ) ，t ) g ( x ( t 一 ) f ) 卢2 x o h ) x ( t 一 ) ( 21 5 b ) 首先，( 2 1 3 ) 式能够阻如下的形式表示 i ( t ) = ( r ) y ( t ) = a x ( t ) + b x ( t h ) + 厂( x 0 ) ，t ) + g ( x ( t 一 ) ，r ) 以下定理给出保证系统( 213 ) 渐近稳定的一个充分条件。 定理2 3 ：如果存在矩阵p 0 ，只，最，e ，q 0 ，墨，( i j = 1 - 2 3 ，4 ) 和 0 ( i = 1 ，2 、3 ，4 ) 满足如下的线性矩阵不等式，则系统( 2 1 3 ) 是渐近稳定的。 哆 譬b e 暇 1 1 爿12 五3 ，r ? 。! +4 也3 埘。+ 乌1 + 碍 d 触：。+ 口一矗 o 丸y 4 4 一s 2 i o 0 对于v 只，e ，只，v 的导数满足 矿兰：2 x 1 ( f ) 。砂( f ) + 2 x 7 ( 0 8 1 + ，1 ( t ) e d + x 7 ( f 一 ) 可 【4 x ( r ) 一y ( ) + b x ( f 一 ) 十厂( x ( f ) ，f ) + g ( x 0 一 ) ，f ) 】+ 砂7 0 ) x ”y ( f ) + x 7 0 ) q x 0 ) 一x 7 ( f h ) q x ( t 一 ) + h x l 0 ) 爿l x ( o + 2 h x l ( o x l 。x ( 1 一 ) + h x 0 一 ) 冀j 2 x ( t h ) + 2 x 7 0 ) i3 x ( r ) 一2 x 7 ( r ) 置3 x ( t 一 ) + ：工一。一一，置，x 。，一：x 7 。一一，x 。x 。一一，+ z 9 7c x 。一功， 妻毫 1 。二( 二：， + 2 9 7 ( x u 一 ) ，f ) 墨。 x ( f ) 一x ( t 一 ) 】 + h 9 1 f x ( t 一 ) ，t ) x 4 4 9 ( x ( t 一 ) ，) 0 应用s - p r o c e d u r e ，v 0 ，s 2 0 ，上式等价条件为： 矿玉量+ 岛( 口2 x 1 0 ) z ( f ) 一厂1 ( x ( f ) ，) 厂( x ( f ) ，) ) 屁如矗儿 ， 3 3 葺墨玛+ ，一 2 墨矗| * + i 十女女 大连理工大学硕士学位论文 + 岛( 2 x 7 ( ，一h ) x ( t ) 一9 7 ( x q 一 ) ，t ) g ( x ( t 一 ) ，) ) 工( ，) y ( o x v m 厂( 工( f ) ，) g ( x ( t 一 ) ，) g b 一墨 睨 肛 0 h x 4 4 一c 2 1 x ( r ) y ( f ) x q m 厂0 ( f ) ，) g ( x ( t a ) ，f ) 其中： 嵋= h x i i + 工】3 + 片j + q + 爿1 鼻十暑1 a + 口2 ， = 是x 1 2 一x 1 3 + x 乏+ 只7 8 十4 。马 w 3 = h x n x 毛一x n q + ：b + b 1p 3 + l p 。l 岷= h x l 。+ 鼻1 + 爿三，= p 1 一日+ 4 1 只 = ，一口一最，= h x ：。+ 可一矗 因此，如果满足l m i ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ，则矿是负定的，即保证了系统( 2 1 3 ) 是渐近稳定的。 2 4 数值仿真示例 例2 1 考虑如下系统 2 ( 0 = ( 爿+ 4 u ) ) x q ) + ( 曰+ a b ( t ) ) x ( t ) ( 21 9 ) 系统参数如下： 爿= 子三 ，口= 二：。三 ，削c r ，= d f c ，e ，衄c r ，= g 曩c r ，h 其中： d ：e ：d i a g 厄，瓜) ，g = h = d i a g 瓜，瓜) f 7 ( f ) f ( f ) sf ，鼻。( 幻e ( f ) s ， 参考文献 2 6 2 8 中给出的系统的稳定性条件分别是h 0 , 4 4 ， 0 , 5 3 ，h 0 6 9 。应用 本文定理2 2 ，可以得出当h s0 , 8 2 时系统是渐近稳定的。与文献 2 6 2 8 给出的系统的 定性条件相比，结论有了较大的改善。当取h = o 8 2 时，解l m i ( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 得： 杨家胜：基于l m i 的时滞系统的稳定性分析1 j 控制 p l 4 1 5 3 i5 0 0 0 0 fp l 3 1 8 13 2 6 8 - 0 0 y f 5 4 0 3 1- 8 2 8 0 0 1 一1 3 4 5 0 0 1 3 0 0 0r 2 一l 一2 4 7 0 0 3 3 ，0 0 0l “一i 一8 2 8 0 02 1 0 0 0i 3 7 8 6 12 8 5 0 0 1 6 5 5 15 6 9 3 1 8 9 4 l l 一1 ，2 6 1 9 7 5 0 0 0 置32 ；瑚5 m 4 0 o o oj ，x l 2 2 l - 4 6 17 5 7 4 捌6 2 2 4 l ，x l3 。l - 4 5 7 1 0 - 4 25 0 0 i 时间【杪) 图2 1 系统( 25 ) 响应 f i g 2 1t h er e s p o n s eo fs y s t e m ( 2 5 ) 、， 5 7 4 5 94 6 70 0j 。，4 6 4 1 8- 3 5 0 0 0 山25 | - 4 6 7 0 0 6 0 0 0 0l 如32 | _ 3 6 50 04 9 0 0 0 相应的系统响应如图2 1 。 注2 2 本文定理2 2 所描述的新的不确定项分析方法，可以用于现存的许多具有线性不 确定项的时滞系统的稳定性分析及控制的文献 17 ，2 6 2 8 中改善已有结论的保守性。 例2 2 考虑如下系统 i ( t ) = a x ( t ) + b x ( t h ) + 厂( x ( f ) ，f ) + g ( x ( t 一 ) ，f )( 2 2 0 ) 系统参数如下： 爿= l ：j ! i ，b = l ! f 一0 7 1 ，l i 厂( x ( r ) ，圳l 。，i i i i x 。川 爿= l o 1 1l b = l 1 一 ，l i 厂( x ( ) ，) | | o 1x o ) | | 2 4 大连理丁大学硕士学化f t 垒义 l i g ( x ( t a ) ，t ) l l - o 1 l l x ( , 一 ) 爹丐义献l z ，j 甜出m 系耽明穗疋任泶仟分别足h 1 8 7 5 3 。他用卒又定埋2 3 ，刈 以得出当h s l 8 9 3 1 时滞系统是渐近稳定的。当取h = 1 8 9 3 1 时，解l m i ( 2 16 ) 一( 2 i 7 ) 得： 肚离8 8 4 2 3 9?839。|，q：|篓嚣：381833弘l嚣描：1。，6仍90939 0 8 3 92 2 9 2 8 48 3 3 。；i 1f i 3 8 ，l： 。1 3 6 0 0 1 42 4 5 7 5 1 5 p l2 2 0 8 5 5 71 1 8 8 4 0 p 一 一8 2 1 9 5 _ 2 4 6 0 5 9 r i7 2 4 6 0 9 6