（检测技术与自动化装置专业论文）基于小波变换的ST段提取及其在冠心病诊断中的应用.pdf

摘要 心电图( e c g ) 是l 临床上诊断冠心病的重要方法，与其它心电检查手段相比，它 具有无创、快速、准确等优点。随着计算机技术的发展，利用计算机对心电信号 进行自动准确的分析一直是国内外学者所热衷的课题，但每年由计算机分析的心 电信号比例仍然较小，其主要原因是现阶段的心电信号自动提取算法精度较低， 并且不能很好地完成自动诊断。因此，探索更加精确的e c g 自动提取算法和可靠 的自动诊断方法有着非常重要的意义。 基于这种背景，本文设计了更为准确的特征点提取算法和s t 段的形态识别方 法。具体内容如下： ( 1 ) 准确提取心电信号特征点。首先利用二次样条小波对心电信号按a t 如u s 算 法进行分解，分析了信号奇异点与其小波变换模极大值的对应关系，然后利用小 波变换( w t ) 的多分辨率特性，提出了在不同尺度下进行r 波峰值点以及s t 段特征 点提取的策略。最后分别采用信号发生器产生的心电数据以及m 玎b m 标准心电数 据库对自动提取算法进行检验。实验表明，该自动提取算法具有一定的抗干扰能 力和较好的检测精度。 ( 2 ) 识别s t 段的形态。在心电信号特征点准确提取的基础上，本文利用斜率法 和函数拟合相结合的方法对s t 段的形态进行了分类。实验结果说明，函数拟合和 斜率法相结合的方法识别了s t 段形态的六种变化情况，这种方法简单、快捷，能 够很好的满足系统的实时性，但受特征点定位准确性以及信号噪声的影响比较大。 ( 3 ) 尝试利用模糊自适应神经网络( a n f i s ) 对s t 段形态进行建模。本文采用了 a n f i s 系统针对s t 段的正常、抬高、压低等情况进行了建模尝试。 关键词：心电信号小波变换酊b l l s 算法模糊自适应神经网络函数拟合 塑型奎耋三兰堡三兰堡篁兰 a b s 仃a c t t h ed y i l 姗i ce l e c 仃o c 羽i o g r 锄( e c g ) i so n eo fm em o s tp o p u l a ra n db a s i c d i a g n o s i sm e t h o d sf o rc o r o n a r yd i s e 韶e ni sm o r ea c c u r a t ea n dq u i c k e rt h a l lo t h e r d i a g n o s i sm e t h o d s ，a n di t h a sn oh u nt op e o p l e 晰t hm ed c v e l o p m e n to fc o m p u t e r t e c h i l 0 1 0 9 y ，m ea u t o m a t i ca n a l y s i so fe c gi sa l w a y st 1 1 et o p i cw h j c hs c h o l a r sf o c u s 廿l e i rr e s e a r c ho n i nc l i n i ca p p l i c a t i o n ，e c ga u 幻m a t i ca n a l y s i si ss t i l li nm e 掣d p e s t a g eb e c a u s ei t sc b a r a c t c rc x t r a c t i v ea 1 9 0 r i t l i m sh a v el o wp r c c i s ea i l di t si d e l l t i f i c a t i o n m e l o d sa r e l l i l s a t i s f a c t o ut h c r c f o r c ，i ti si r n p o n a i l tt oe x p l o r cam o r ep r e c i s e c x 仃a c t i v ea l g o r i t h ma i l dam o r er e l i a b l ei d c n t i 丘c a t i o n m e m o d ，s ow ed e s i 趴a n e x t r a c t i v ea l g o r i t l l r na n di d e n d 丘c a t i o nm e t h o d so fs ts e g m e n t s s h 印ei nt h ep 印e lt h e a c c o m p l i s h e dw o r kh a sm r e ep a n sa sf o l l o 丽n g ： ( 1 ) a na l g o r i t t l i ni sd c v e l o p e dt oe x n 孤tt l l ec l m m c h so fe c gs i 鲈a l sa c c u r a t e ly f i r s t ，e c gs i 印a l sa r cd c c o r 印o s e db ya 1 、m l l sa l g 嘶t l l i i lu s i n gd y a d i cs p l i n ew a v e l e t s ， a i l dm er e l a t i o nb e 帆e c i lm ec h a r a c t 面s t i cp o i n 招o fe c g s i 印a l sa n dm em o d u l u s m a x i m 哪p a i r so f t h es i 弘a l s w a 代l c t 衄塔f o 衄撕o n ( w t ) i si l h l s t r a t e d t h e ，t a k i i l g a d v a i l t a g eo ft h em u l t i p l er e s o l u t i o na b i l i t yo fw t ，w ed e v e l o pas c h e m et oi d e n l i f yt h e r w a v ea i l ds ts e g m e n t sf i d u c i a lp o i n t sa td i 腩瑚tw a v e l e ts c a l e sa u t o m a t i c a l l yt h e p r 叩o s e dm e t l l o di sd e m o n 啦a c e db yt l l ed a n 蛐舶mt 1 1 es t a n d a r dm r r ，b me c g d a t a b a s ea 1 1 dm ed a t a 咎m e r a t o li ti ss h o w n 也a tt h ep m p o da 1 9 0 r i t l l mh a st t l ev i r t u e s o fs t r o n ga n t i _ j a m m i n gc a p a b i l i i ya n dh i 曲p r e c i s e ( 2 ) a ni d e n t i f i c a t i o nm e m o di sd e s i 弘e dt 0c l 龉s 毋t h es h a p e so fs ts e g n l e n t s b a s e do nt l l ea c c u m t ee x t r a c t i o no fe c gs i 辨a 1c h a r a c t e r s ，s l o p el a wu n i t c d 、v i t h f h n c t i o n 丘“i n gm e m o di sa p p l i e di n t 0m ec 1 船s 诳c a t i o no fs ts e 舯e n t ss h 印e s t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wm a tt h em e m o dc a ni d e n t i f ym es i xs h 印e so fs ts e g m e n t s c o c c t l y t h i sm e t h o di ss i i n p l ea n dq u j c k h o w e v e r ，i “si n n u e n c e d b ym ee x t r a c t i v e a c c u r a c yo f c h a r a c t e r sa n dt h es i g n a ln o i s eg r e a t l y 基于小波变换的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 ( 3 ) am o d e l i n go fs ts c g m e m si sb u i l tb ya i la d a p t i v en e 柳o r k _ b a s e df u z z y i n f e r c n c e ss y s t e m ( a n f i s ) t e n t a t i v e l y t h ea n f l sm e m o di sa p p l i e di n t ob u i l d i n ga m o d e l i n go f t h r e eb a s i cs h a p e so f s ts e g i n c n t s k e yw o r d s ：e c gs i g n a l w ta ，i y o u sa l g o r i t h m r l i 【c t i o nf i t t i n ga n f i s 至圭! ：堡茎堡墼! 三璧堡堡垒茎垄至竺堡丝墅耋墼壁望 1 1 课题来源与研究意义 第1 章绪论 冠心病是一种常见病、多发病，并已成为危害人们健康的一种重要疾病，被 称作是“人类的第一杀手”。如何早期发现和有效诊治冠心病是广大患者和医护人员 共同关注的问题。现存的冠心病诊断方法有多种，主要诊断方法为动态心电图、 冠状动脉造影等。其中冠状动脉造影价格昂贵，并为有创检测；而动态心电图价 格低廉，并为无创检测，己成为冠心病诊断中最常用和最基本的诊断方法。 传统的心电图诊断方法，是医生对心电图机打印出的心电图，通过简单的度 量和计算，根据自己的医学知识对病情进行分析和判断，从而得出诊断结果。这 种诊断方法存在的主要问题是，诊断结果的正误与医生的水平密切相关。特别是 对于那些难以诊断的复杂病例，人们往往求助于医疗专家。但是，专家的数量毕 竟是有限的，尤其是对一些中小型医院来说，尚不具备在各个门诊处设立专家的 条件，致使疑难病症的误诊率较高。针对这种情况，实现冠心病的自动诊断是非 常有意义的。 随着计算机技术以及人工智能技术的不断发展，如何将人工智能技术与医疗 诊断相结合，建立应用于医疗诊断领域的智能医疗诊断系统，能够通过计算机的 自动智能处理，得出正确的诊断结果，是非常值得研究的课题。 本课题的研究目的是将临床诊断中医生阅读心电图的过程自动化，实现心电 图的自动提取和诊断。研究内容是针对一个导联下，采用已预处理的心电信号， 首先利用小波变换方法自动提取心电信号的特征点，然后利用斜率法和函数拟合 相结合的方法对s t 段的形态进行了初步分类，并尝试了利用m 师i s 系统对s t 段形 态的建模。 本课题的研究得到河南省重点科技攻关项目“基于a n f i s 的冠心病诊断系统” 的资助。 郑州大学工学硕士学位论文 1 2 心电图概述 1 2 1 心电信号产生的原理 人体中存在大量正负离子，而细胞膜对于离子的通透性不同，很容易造成膜 两侧带电离子分布不均匀，所以细胞膜部位是产生生物电的结构基础。心脏是由 大量的心肌细胞构成的，每个心肌细胞都是起电单位。心肌细胞在安静状态下， 存在于细胞膜内外两侧的电位差，称为心肌细胞的静息电位。通常情况下，膜外 电位为正，膜内电位为负，大约有9 0 毫伏( m v ) 的电位差，这种“外正内负”的状 态称为极化状态。当心肌细胞受到刺激而发生兴奋时，兴奋部位的膜电位发生突 然变化，由原来的“外正内负”状态变为“外负内正”状态，这种变化过程称为 去极化。但这种电位变化是过渡性的，经过短暂的时间，膜电位又自动向“外正 内负”的静息电位方向恢复，这种恢复过程称为复极化。心肌细胞反复的去极化、 复极化过程，就构成了心电信号。由于人体是导体，所以心电变化可以传到体表 部位，因而在体表部位用两个引导电极就能把心电变化记录下来，从而得到反映 心脏有规律地兴奋的心电变化曲线，即为心电图【1 1 【2 。 1 2 2 典型心电信号的组成及其生理意义 心脏的活动是有节律的，伴随着心脏的收缩与舒张，心电图相应地具有准周 期性。依照心脏激动的顺序，一个周期的e c g 一般由p 波、0 r s 综合波群和t 波组 成，如图1 1 所示。 p 波：心房( 肌) 除极时产生的心电波。通常其前半部分代表右心房除极，中部 代表右、左心房共同除极，后半部分代表左心房除极。p 波波顶圆钝、光滑、有时 可能有小切迹，正常p 波的宽度应小于o 1 1 秒( s ) ，表示左右心房除极所花的时问。p 波的高度( 幅度、电压) 与心房肌的多少( 厚薄) 有关系，波幅从o o 3 m v 。 q r s 波群：心室( 肌) 除极时产生的心电波。q r s 波群的宽度( 时间) 即q r s 波群 起止点间距，表示整个心室除极所花的时间。正常q r s 波宽应小于o 1 2 s ，通常在 o 0 6 0 0 8 s 。q r s 波群的高度( 幅度、电压) 与心室肌的多少( 厚薄) 有关，因此q r s 波 2 基于小波变换的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 群的高度优势可以反映有无心室肥大。 r r 期问：指两次心搏的q r s 综合波主波之问的时程，代表完成一次心搏所需 时间。用6 0 s 除以平均r r l 叫期，即可得到心率。 p r 段：p 波起点至q r s 波起点间距，也可称p q 间期。p r 问期主要是电激动 经房室传导系统下传，尤其是经由房室交界区时传导延缓产生的。正常p r 间期为 o1 2 02 0 s 。 图1 1 心电幽 f i g u r e l 1e i e c t m c a r d i o g r a m j 点：为q r s 波终了及s t 段初始的结合点。j 点多位于等电位线上，上下偏移应 小于0 1 m v 。 s t 段：是心室除级结束至心室开始复极的一段，也就是q r s 波群终末点( 称j 点) 至t 波起点间距。正常情况下，s t 段位于基线上。s t 段有无抬高或压低，多以j 点后8 0 m s 处为测量点。心肌缺血、心肌梗死、电解质紊乱等都可引起s t 段的抬高 或压低。 t 波：反映心室复极过程产生的电位变化，又称心室复极波。观察t 波的方向、 形态和高度的改变与观察s t 段的变化有类似意义。波形态可以有多种，如单向、 双向等；波幅一般为o ，l 0 8 m v ；一般在r 波较高的导联中，t 波不应低于r 波的1 1 0 ； t 波历时o 0 5 o 2 5 s ；t 波的方向通常应与o r s 复合波的主波方向相同。 u 波：于t 波之后出现，有代表左室前乳头肌复极之说。因影响因素多，意义 不十分明确。倒置的u 波被认为是冠脉左主干或前降支梗阻的可靠佐证。 1 郑州大学工学硕士学位论文 0 t 间期：从q r s 波起始至t 波终结点的间距，不能把u 波计算在内。代表心 室除极和复极的总时间( 即心室的电收缩时间) ，与心率快慢有关，其一般值为o 3 2 o4 4 s 。o t 间期在诊断某些心律失常、调整抗心律失常药物剂量、判断心肌梗死 患者预后等方面有着重要的临床意义。 p j 间期：p 波起点至q r s 波群终末点( j 点) 间距。 t p 段：代表心室的电收缩期( 除极与复极) 完毕到下一个心电周期心房开始除极 的时间。此段为心室的电舒张期( 静止期) ，处于心电图等位线上。 1 3 心电信号自动诊断的研究现状 心电信号自动诊断的研究涉及的内容和技术非常广泛，但从查阅的有关研究 文献来看，基本可归为三个主要方面：一是预处理技术的研究；二是波形检测与 参数提取技术的研究；三是诊断技术的研究。 1 3 1 心电信号预处理技术 预处理技术主要是进行噪声干扰抑制的研究。由于心电信号比较微弱，仅为 毫伏级，极易受环境的影响。体表电极检测到的e c g 信号所受干扰一般可分为七 种，即工频干扰、基线漂移、电极接触噪声、电极极化噪声、肌电干扰、放大电 路内部噪声和运动干扰【3 】。 e c g 信号的预处理技术也就是采用各种经典的数据滤波方法及各种现代信号 处理方法对信号进行去噪。预处理技术部分已较为成熟，包括高频噪声抑制、工 频干扰的抑制及基线漂移的抑制等，本文并未重点研究。 1 3 2 波形检测与参数提取 在临床诊断中，医生根据各个波的幅度、形态、各波之间的间隔时间以及波 的持续时间来确定分析心电图是否正常。在心电图自动分析中，也需要对于各个 波的起点、顶点和终点进行自动识别，即自动识别其特征点，这是心电图自动分 析中最基本的一步。 4 基于小波变抉的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 波形检测和参数提取是心电信号自动分析系统的关键，其准确性和可靠性决 定着诊断的效果。在特征参数检测中，由于r 波相对明显，通常先检出r 波位置， 而后以r 波为参考，在一定时窗内进行搜索，实现s t 段的定位和e c g 信号其它细节 信息的检测。 1 3 21r 波的检测r 波准确的检出通常是其它特征点准确检测的前提。经检索，这 方面的研究文献多达数百篇，涉及的检测方法繁多，这里仅简要回顾部分有代表 意义的方法。 r 波检测方法有时域分析、句法分析、神经网络法、非线性滤波、小波变换法 等几个方向。在以往的检测中，时域分析方法最为常用，其又可分为幅度法、斜 率法和面积法，近年来，更侧重于小波分析、神经网络等现代处理方法的探讨。 由于r 波的幅度和斜率一般较大，采用幅度法和面积法对于正常r 波较易检出，但 在t 波高耸时易出错，因而在效果较好的波形检测算法中，几乎无一例外需要引入 临床经验参数，如略过r 波的不应期、当指定时段内无r 波检出时进行回溯处理等。 如文献【4 】中首先采用带通处理的方法进行基漂及高频干扰的抑制，而后对信号进 行差分，并对差分信号平方及移动窗口平方积分，通过综合判断差分及积分信号 进行r 波的检测。此外，判断中还引入了临床经验参数及自适应阈值调整方法，取 得了较好的r 波检测效果。文献【5 】中作者则对幅值差分法( a f ) 、一阶导数法( f d ) 、 二阶导数法( f s ) 及导数滤波法( d f ) 四类，共9 种q r s 检测方法进行了比较，指出了 各自方法的优缺点。文献【6 】的带通滤波器组法则是基于频域的特征提取方法，无 法从滤波器的输出信号上提取出r 波峰值点，直接推出原始心电图上r 波峰值点位 置，必须回到原始心电图上才能准确定位r 波峰值点。文献 7 】，【8 】， 9 】， 1o 采用 了小波变换方法进行了q r s 波的检测，通过多尺度变换，综合判断小波各尺度上 的模极值对，从而实现了r 波的定位。从工程应用的角度来看，不同尺度的小波变 换可认为是不同通带的滤波器，这一方法实际上利用了q r s 波不同频带下的能量 联合分布特性实现了q r s 与其它噪声干扰的区分。文献【1 1 】， 1 2 】基于神经网络法， 在对心电数据进行处理时，神经元数量多，运算量大，实时性较差。 1 3 2 2s t 段的检测s t 段是心室肌除极后到复极前的一段时间，对心肌缺血和心肌 梗塞有重要的临床价值。由于s t 段频率低，形态变化多样，容易受到基漂等低频 干扰影响，使得s t 段的测量较为困难，成为动态e c g 信号自动分析的难点。为此， 许多研究者都做了大量的工作，大多都采用j + x ，r + x ，窗口搜索法等方法来确定 郑州大学工学硕士学位论文 s t 段的特征点，但这几种方法对噪声十分敏感【1 3 1 1 4 】。文献 3 4 】主要采用小波变换 法进行s t 段基准点提取，具有较高的抗干扰能力。相比传统的方法，小波在识别 s t 段特征点时具有一定的优越性。 1 33 诊断技术 这里的诊断技术是指在前面的预处理，特征点检测基础之上进行病理结果的 判断方法，许多学者进行了大量相关探讨，多局限于一种或几种病理信号的研究。 对于心电波形的分类，有关研究又基本可分为两种倾向，一种是期望根据心电波 形的自然结构实现分类；另一种则是根据临床医师给出的标注结果，强制训练分 类器，进而用于波形类别的判断。前一种方式多是通过聚类分析来完成。文献 1 5 】 提出首先采用聚类分析的方法进行训练样本预处理，而后利用不同聚类样本构造 多个子分类器，以提高神经网络对e c g 的分类能力。这一方法虽然使分类器的性 能有所改善，但距实际应用仍有较大差距。文献 1 6 】首先采用h e 衄i t e 函数对r 波前 后1 0 0 m s 的波形进行特征提取，并引入了r r 间期等信息，而后通过自组织神经网 络( s o m ) 聚类分析，结果表明聚类分析可以较好的实现不同类型病理信号的划分。 这类研究虽然从自然结构上考虑了波形分类的合理性，但由于同类病理信号的变 异很大，若进行多患者、大样本实验，很容易使聚类结果变得过于琐碎，失去实 用价值。更多的文献侧重于有教师学习方法的探讨，文献【1 7 】中采用非线性p c a 和 径向基函数网络( r b d 进行正常s t 段和异常s t 段的区分，以用于心肌缺血的检测。 此外，不同学者常采用不同特征抽取方式，而不同的特征抽取方式常常对分类器 有不同的影响。有的学者主张采用特征点检测结果作为输入特征，有的学者则主 张采用一定的数学变换作为分类器的特征输入空间，这方面工作也有学者在不断 进行探讨i l 。 从以往的研究文献看，e c g 诊断研究方法的热点一直在跟随新的研究方法的 出现而不断转换。从早期的逻辑分支判断、经典数字信号处理，至后来专家系统、 句法分析、分形、a n n 、小波变换等现代处理手段，以及各种分类、聚类方法， 都在不断地应用于这一领域。但很多研究仅是针对某些病例进行，或者是采用e c g 对于某些方法性能本身的测试，缺乏实际应用前景。 6 基于小波变换的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 1 4 心电信号的数据来源 在确定研究的方向和理论基础后，需要首先解决的是心电信号的数据来源。 如果不能获得大量真实的心电信号数据，则不能根据实际情况选定实验参数，无 法验证算法的有效性。经过多方面的努力，我们通过以下渠道获取了一定规模的 心电信号数据： ( 1 ) 运用信号发生器产生心电数据。 ( 2 ) 运用网络现有心电数据库资源( m i t 倡m 心电信号数据库) 。 ( 3 ) 利用中健科仪公司的c b 1 3 0 0 c 1 2 导s m 闪卡动态心电记录仪( 简称h o l t e r ) 采集患者的心电信号。 其中，信号发生器产生的心电数据由河南华南医电科技有限公司提供； m i 哟m 心电数据库是网络现有的数据资源，由美国麻省理工学院f t h e m a s s a c h u s e t t s1 1 1 s t i t u t eo f1 k h n o l o g y ) 和b e t hi s r a e l 医院合作建立，网址为： h 郇：w w p h y s i o n e t o 呵c 百- b i “c h a n ；用h o l t e r 采集的心电数据是与郑州大学一附 院合作获取。 在获取心电信号数据后，需要对数据格式进行分析。经过分析，信号发生器 产生的心电信号数据，信号的采样率为4 0 0 0 h z ，数据格式为1 2 导联，每个采样点 占2 个字节；m 1 t b m 数据库中每个病例的e c g 数据，采样率为每通道3 6 0 h z 、采 样精度为1 2 位，每个采样点占1 5 个字节。利用h o l t e r 采集的e c g 数据，采样率为每 通道1 2 8 h z 、采样精度为1 0 位，每个采样点占2 个字节。 针对每种数据的不同数据格式，我们编写了不同的读取程序将之转换成统一 的、能够由m a t l a b 读取的数据格式，为后续工作提供数据来源。 1 5 本文的主要研究工作 本文主要在心电信号的自动提取和诊断方面做了一些有意义的探索，论文的 重点工作是e c g 信号心电信号特征波形的自动检测以及对s t 段形态的分类和建 模，具体安排如下： 第1 章本章首先简明论述了心电图的产生原理和特点，然后介绍了当今心电 郑州大学工学硕士学位论文 信号自动提取和诊断方法，以及论文所用的心电数据的来源，最后对数据格式的 转换做了说明。 第2 章本章阐述了小波理论，给出了连续小波变换方法与离散小波变换方法， 介绍了基于多分辨率分析的m a i l a t 塔式分解以及a t b u s 算法，并比较了两种算法的 优缺点。最后本章对信号的奇异性和其小波变换后所表征信号的突变( 瞬态) 特征作 了重点介绍，为心电信号的特征点的提取提供理论基础。 第3 章本章具体介绍了利用小波变换在不同尺度下进行心电信号的q r s 波以 及s t 段的特征检测，并对实验结果进行分析。实验表明，利用小波变换的方法能 够比较准确的提取e c g 信号的特征参数。 第4 章在准确提取心电信号的特征点之后，本章利用斜率法和函数拟合相结 合的方法对s t 段形态进行了分类，并尝试了利用模糊自适应神经网络( a n f i s ) 对s t 段形态进行建模。 第5 章本章总结了整个论文的研究工作，并对以后的工作做了展望。 8 基于小波变换的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 第2 章小波变换理论 小波变换作为信号处理的一种新工具，目前己成为国际上极为活跃的研究领 域，尤其是在突变信号检测这一数字信号处理领域具有非常重要的地位和作用。 小波的一个最重要的特点是具有良好的时频局部化性质，对于处理时变信号具有 独特的优越性，所以近年来在医学信号处理中得到越来越广泛的应用。 2 1 连续小波变换 小波函数的确切定义为，设矿( f ) 是平方可积函数，也即( r ) e r 俾) ，若其傅 里叶变换掣( w ) 满足条件 g ：哗丛咖 ( 2 2 ) 称为x 似的小波变换。式中n 0 是尺度因子，f 反映位移，其值可正可负。符号 代表内积，它的含义是( 上标+ 代表共轭) - l 工( f ) y ( f ) 出( 2 3 ) 虬，= h “2y ( ) 是基本小波的位移与尺度伸缩。式( 2 2 ) 中不但f 是连续变量，而 且d 和f 也是连续变量，因此称为连续的小波变换( c o n t i i m o u sw a v e l e tt r a n s f 0 锄，简 记c w t ) 。 连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几个方面的性质1 9 1 ： ( 1 ) 叠加性 设x ( f ) ，y ( f ) r ( r ) ，t ，屯为任意的常数，且x 的c 、t 为聊：( 口，f ) ，y 的c w t 为l ( d ，r ) ，则z ( f ) = 岛x ( f ) + ：y ( f ) 的c w t 为 塑些奎兰三兰竺圭耋堡篓圣 暇( 叩) = 暇( 口i r ) + 如啊( 町) ( 2 4 ) ( 2 ) 时移不变性 设z 的c w t 为阡互( a ，f ) ，则z 仔f o j 的c w t 为聊：( n ，f f o ) ，即延时后的信号 x 瞳一圳的小波系数可将原始信号z 的小波系数在f 轴上进行周样的时移即可。 ( 3 ) 尺度转换 设x 例的c w t 为暇( n ，r ) ，则z 【寺j 的c w t 是 厮b 孙五 o ( 2 5 ) ( 4 ) 内积定理( m o ”l 定理) 设( f ) ，屯( f ) e r ( r ) ，它们的c w t 分别为嘿( n ，f ) ，呱，( n ，f ) ，也即 墨( a ，r ) = 聊i ( a ，f ) = 则有m 0 y a l 定理： ( 嘿( 叩) ，( 叫) ) = q ( 2 6 ) 2 2 离散小波变换 在实际应用中，特别是在计算机实现上，往往需要将连续小波及其变换离散 化，通常的做法是将小波基函数眈，= h - 1 “吵( 尘三) 的a ，r 限定在一些离散点上 取值。最常用的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取a “= n ? ( m 为整 数，口。1 ，一般取= 2 ) 。关于位移的离散化，当a = 2 0 = j 时，。( f ) = y o f ) 。 通常对f 进行均匀取值，以覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，我们要求采样间隔 f 满足n y q u i s t 采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通带的二倍。每当m 增 加1 ，尺度a 增加一倍，对应的频带减小一半，可见采样率可以降低一半，也就是 采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度埘= d 时的f 的间隔为z ，则在尺度为2 “时， 间隔可取为2 i ，此时虬，( f ) 可表示为 古叫半 _ 古y m 1 吨味邶e z 万妒l 彳j 2 万y 亨”s j 一i ) 瑚川配 为简化起见，往往把f 轴用z 归一化，这样上式就变为 y 。( f ) = 22 y 2 1 f n ) ( 2 7 ) 任意函数厂“) 的离散小波变换为 l o 基于小波变换的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 喝( m ，n ) = p ( f ) y + 。( f ) 西 对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的= 2 当于连续小波只在尺度上进行二进制离散，而位移仍取连续变化， 二进小波，表示为 ( r ) _ 2 _ ；少陪 相应的二进小波变换为 喝小) _ 厂( 矿( f ) 2 - ；p 妒( 等) 出 这样定义的二进小波变换具有平移不变性，即若厶( f ) = 厂( f 一) ， 波变换为哆。( r ) ，厶( f ) 的二进小波变换为噶( r ) ，则有 啊。( r ) = 喝( 卜f o ) 2 3 多分辨分析与m a l l a t 算法 2 3 1 多分辨分析 ( 2 8 ) r = o ，即相 称这类小波为 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 设厂的二进小 ( 2 1 1 ) 1 9 8 8 年，m a l l a t 提出了多尺度分析( m u l t i r 脚o l u t i o n a n a l y s i s ，简称m r a ) 概念， 从而将所有正交小波基的构造方法统一起来。多尺度分析这一概念的提出是小波 分析理论的一大突破，它揭示了函数逼近结构的自相似性，以及小波分析和分形 几何的内在联系。利用多尺度分析，d a u b e c h i e s 于1 9 8 8 年构造出了具有紧支撑和一 定正则性的小波正交基，这就是人们熟知的d a u b e c l l i e s 基。m a r 分析是在2 倒函 数空间内，将函数，描述为一系列近似函数的极限，每一个近似函数都是函数脚平 滑版本，这些近似是在不同尺度上得到的，它可以越来越精细地逼近己知函数。 空间r ( r ) 的多分辨分析是指满足以下条件的一个空间序列 _ 。a ( 1 ) 单调性( 包容性) ：c c k c c 圪，c c ( 2 1 2 ) ( 2 ) 逼近性：n _ = o ，u = r ( r ) ( 2 1 3 ) i e zi e z ( 3 ) 伸缩性：z ，厂( x ) 厂( 2 x ) 巧一。 ( 2 1 4 ) ( 4 ) 构造的相似性，即 = 即 丸n z ( 2 1 5 ) 塑型奎耋三茎堡圭耋堡堡兰 其中，丸，。= 2 1 ”妒( 2 “f 一”) 是r i e s z 基，即存在o g 。2 ( z ) ( 2 2 0 ) 对任意的厂( f ) e r ( r ) ，设存在 c 。2 ，使得 1 2 基于小波变换的s t 段提取及其在冠心病诊断中的应用 厂( r ) = q 戎，。( r ) 则信号分解和重构的m a l l a t 算法如下【2 0 】【2 1 】： n ) 分解算法： f = 2 。“岛。1 i 珥= 2 1 ”鼠一。q 1 用算子形式表示即为： l c = 月c ，1 l d = 爿= d 川 ( 2 1 重构算法 q = 红。+ 9 2 。d f ( 2 2 1 ) f 2 - 2 2 】 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 用算子形式表示即为： c 7 = 7 c + g d 7 f 2 2 5 1 这里日，g + 分别表示为，g 的对偶算子。 下面将m a l l a t 算法推广到二维情况。假设已经有二维多尺度分析，设 c o = ( 。) ez 2 ( z ) ，定义珥，q 和致，g c 为算子日，g 对行和列分别作用。则c 。 可分解成c 。和3 个不同的对应于y ，j = l ，2 ，3 的细节d “，d “，d o ， o = h ，h ， 髓搿 亿z s ， 。 i z z 6 阿2 = 以g r c o 、7 【d ”= e q c o 而重构公式 c 。= 彰研c + 珥d “+ q d “十q j o ( 2 2 7 ) 上面公式对任意的，也是成立的。 由尺度函数的允许条件i 庐( f = l 和小波的允许条件i 妒( f ) 出= 1 可知，尺度函 ；点 数的f o 嘶e r 变换面( w ) 具有低通滤波特性，而小波函数f o i l i i e r 变换甲( ”的具有带通 性质，不同尺度上的小波变换对应不同的频段。上述式中的 噍 。与 & 。是由 给定的m r a 确定的镜象滤波器，可以看作是相应的低通滤波器和高通滤波器，在 信号处理时仅用到分解和重构的m a l l a t 算法。 郑州大学工学硕士学位论文 2 4 a t r o u s 算法 小波变换利用小波的多分辨特性，将信号分解成一系列具有不同分辨率特性 的子信号。常用的m a l l a t 算法由于存在抽取和插值运算，使得变换后的子信号的尺 寸发生了变化，而且其变换显然不具有平移不变性【2 5 】，这在信号处理、模式识别 等许多应用中时常是一大不足( 2 2 】 2 3 】。由h o l s c l l i l e i d c r 等人提的a t m u s 算法也是一 种经典连续小波变换的离散化方法，但其通过有限滤波器内插近似，实现了无抽 取的离散小波变换，使得分解后的信号具有与原始输入信号相同的尺寸，并使算 法具有平移不变性【2 6 】。 假定信匈彬的连续小波变换定义为 吩，6 ) = 击矿( 等) 饨渺 眨z s ， 特别地，令d = 2 ，6 = 口n ，则( 2 2 8 ) 变为 ( z 2 f n ) = 击烈多一一j m 出 口z ， 为计算的方便性，通常对的积分形式变为离散求和形式，也即 形( z 行) = 击莩矿( 参一万卜， 亿s 式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 式等号右边的2 n 表明，其对应的是一种二抽取的小波变换， 在i 尺度下，每2 个采样点对应一个输出。这使得算法不具有平移不变性。 对于连续信号，圳，定义其初始输入离散信号p 】为俐和尺度核庐o n ) 的卷 积，即 m = ( ，( f ) ，妒( f n ) ) = 厂( f ) 妒( f n ) 疵 ( 2 3 1 ) 对任意的- ，0 ，定义 勺【n 】_ ( ，( f ) ，唬，o n ) ) ( 2 3 2 ) 其中 唬m 2 方妒( 方) ( 2 3 3 ) 对应f 尺度下的整节点上的小波系数由下式计算 嘭m = 矽( n ，2 ) = ( 厂( f ) 矿：，( f 一胛) ) ( 2 3 4 ) 1 4 董三! ：堡苎堡墼! ：璧堡壁垒茎耋垂窒堑鎏塑塞墼星星 对一给定的滤波器z ，其系数为x 【n 】，用【n 】表示在每一个x 系数之间插入 27 1 个零后得到的滤波器。对滤波器插入零产生孔洞，而a t r o u s 在法语中就是孔 洞( h o l e s ) 的意思，此即该算法如此命名的原因。令弓【n 】= 勺【一n ，则利用a t r o u s 算法快速计算二进小波变换的方法如下： 定理：对任意的o ， n 川p 】_ n ，8 瓦 n 】，嘭+ 卜】_ 巳4 邑【n 】 ( 23 5 ) 且 a 小】_ 寺( 。川+ 弓h + 哆+ 4 季小】) ( 2 3 6 ) ( 其中示对偶) 。 i 一 + 一 一 图2 1a t r o u s 算法流程图 f i g u r e2 1a t b u sa l g o r i t h m 式( 2 3 5 ) 对应a t r o u s 小波变换的分解算法，如图2 1 左半图示；( 2 3 6 ) 为相应的回 复算法，如图2 1 右半图示。初始输入信号从尺度l ，的二进小波表征定义为尺 度1 ，的所有小波系数加上厌度下的剩余低频信息吩，即 巳 ( 2 3 7 ) a t b u s 算法跟m a l l a t 算法分解重构算法相比，后者在分解时，输入信号与一对 称滤波器做卷积运算后，每一级的输出数据量将逐级以2 的幂级数减少，这种输出 对于心电检测的算法是不适用的，其缺点就是需要回到原始的数据上对特征点进 行定位；因此，本文采用了等效滤波器组即a t r o l l s 算法，来代替级联抽取形式的 m a l l a t 算法，滤波器首选通过补零的形式被扩展，卷积输出不再有二次采样过程。 可以证明，这样得到的各尺度上小波分解序列与原始输入信号具有相同的尺寸， 而且，算法本身具有平移不变性。 2 5 小波基的选择 采用不同的小波基对信号进行分析，其效果存在差异，甚至差异较大。本文 通过对大量小波文献研究的基础上，比较全面、系统的对小波的特性进行总结。 选择小波基的一般要求如下： ( 1 ) 紧支性理想小波具有紧支集，实际小波如果不是紧支集的，则要求其衰 减速度一定要快。 ( 2 ) 正交性对于离散小波变换，通常为二进离散小波变换，即在( ，) ( a ，6 ) 中，6 = 2 1 ，口= 2 。，j ，七z 。如果y p ( 尺) 时正交小波，即 y 肼 是r ( r ) 的 一个规范正交基，( ，。) = t ，瓯 豇，m z 。则对于v er ( r ) ，刷可唯 一的表示成 厂( x ) = 勺。( 曲 ( 2 3 8 ) j t = “ b 吖m 可以唯一的表示成小波级数，其中c ，。成为小波系数 铲( 厂批) = ( ，) ( 2 一 ) 1 = 2 加厂( z ) y ( 2 。x 一七) 出 。 从r ( r ) 空间分解的角度来看，如果y 为正交小波，对于，z ，令表示 y m ；z 线性张成的闭包，即 = c 胁勺 j ；七z ( 2 4 0 ) 则r ( r ) 能过分解为子空间的正交和，即 r ( r ) = 旦一o 彬。o o 研o ( 2 4 1 ) 其中，子空间暇是相互正交的，即 上，m n 或 ( g 。，邑) = o ，m n 其中岷，岛= 呒。 这样，v 厂r ( r ) ，均有一个唯一的分解 厂( 工) = + g 一。( x ) + g 。( z ) + g 。( 石) + ( 毋，j z ) ( 2 4 2 ) 事实上，我们并不一定要求 吩。；七z 是r ( r ) 的正交基，它只要是r 俾) 上 的一个m e s z 基，就能够将r ( r ) 分解为子空间阢的直接和，即 1 6 基于小渡变换的s t 段提取及其在冠心炳诊断中的应用 r ( r ) = t - + 矽。+ + 彤+ 也就是说，可r ( r ) ，均有唯一分解，只是g f ( _ ，z ) 之间不正交。 由此可知，能够得到空间p 似) 的正交基将是十分重要和有用的。因为有了这 一空间的基底，我们便可以把空间r ( r ) 中的函数和空间，2 中的序列等同起来，把 空间r 似) 上的算子和空间，2 上的矩阵等同起来，从而将分析问题转化为代数问题 来解决。 ( 3 ) 对称性小波变换及小波包具体到算法是以对应于小波函数及尺度函数的 滤波器来进行的。由信号分析理论可知，如果滤波器具有线性相位，或至少具有 广义线性相位，相位失真就能够避免或减少。对称性对应于线性相位，反对称性 对应于广义线性相位，所以，小波的对称性( 或至少反对称性) 的要求是很重要的。 ( 4 ) 正则性为了使构造出的小波具有实用价值，小波必须足够的光滑，小波 越光滑，重构的信号和图像越光滑，h a r r 小波是唯的具有紧支集的对称的正交小 波，但由于h a r r 小波不连续，所以在小波分析中，它只是用于小波理论的引入，实 用价值不高。 ( 5 ) 高阶消失矩理想的小波应具有尽可能的高阶消失矩，这一特性在数据压 缩中特别有用。 ( 6 ) 理想带通滤波器理想的小波滤波器为一带通滤波器，其支集包含 口= ( 一k ，一艿，一w ：，+ 艿) u ( 1 ，一占，w ：，+ s ) 内，其中，6 ，s 0 ，且w c + 占k 一万。当w 口时，信号可以通过，而当w 曰 时，信号不能通过。实际的小波滤波器并不是完成具有这种截止特性，由此会带 来一定的频率重叠。 到目前为止，数学家、物理学家、计算机学家、信号和图像处理专家以及工 程师们己构造出许多具有独特性质的小波。在实际应用中