（机械电子工程专业论文）混沌系统的最优反馈控制及其在信息存储中的应用研究.pdf

混沌系统的最优反馈控制 及其在信息存储中的应用研究 摘要 f 混沌控制是目前非线性科学中的研究热点。长期以来，人们总认为混沌是无法 控制的，也无法应用。但是，研究表明，混沌是可以控制的，且具有诱人的应用前 景。从信息处理角度来看，混沌系统本身蕴涵着巨大的信息容量，对它进行控制则 有望实现新型大容量存储器，而信息存储是信息技术中的重要核心技术，也是当今 各国高技术竞争的焦点之一。正是在这样的背景下，本文进行了混沌控制的研究， 以及混沌控制在信息存储器中的应用研究。，。 本文的主要工作包括，提出一种新的最优反馈控制，并将之应用于混沌引导控 制及混沌系统高周期不稳定周期轨道( u p o ) 的镇定控制；针对不动点镇定控制的一 类非线性反馈控制器，文中给出该类反馈控制存在的充分条件及设计步骤；文中还 利用非线性凰。鲁棒控制理论对l u r e 混沌系统中的最优线性反馈控制进行鲁棒性分 析；最后，也是最重要的，作为混沌控制的应用，文中提出种基于离散时间混沌 系统的信息存储方法，系统地分析、研究了实现这种信息存储的不同方案，为以后 进行这种新型大容量存储器设计提供了一定的理论依据。 ，在非线性系统最优控制中，大部分问题都难以得到解析解，在工程中应用较多 的方法是通过数值方法( 如数值寻优方法) 离线计算控制量序列，这种控制量序列 所构成的控制本质上是开环的，而开环控制抗干扰能力较差，这在对初始条件极度 敏感的混沌系统中更是如此。因此，本文针对非线性系统提出一种新的最优反馈控 制，即将控制形式预设为一定的反馈形式，然后对其反馈参数进行寻优，这实际上 是把对控制量序列的寻优转化为对反馈参数序列的寻优。这种反馈形式的控制由于 引入反馈，使系统结构发生改变，可以具有更好的控制性能，包括抗干扰能力。 本文在混沌系统的引导控制中应用了最优反馈控制，以克服最优开环混沌引导 控制抗干扰能力差的缺陷。文中的分析表明，在混沌引导控制中，受控系统对外来 扰动的敏感性可以用运行轨道上各点到终点的转移矩阵谱半径来度量，谱半径越 大，系统对扰动越敏感，反之越迟钝。用于混沌引导控制的最优反馈控制正是通过 引入反馈、调整系统结构，改变转移矩阵谱半径，进而改善受控系统对扰动的敏感 性，使之比无反馈时有更好的鲁棒性。 本文对混沌系统不稳定不动点及高周期u p o 的镇定控制分别进行了研究。在不 动点镇定控制中，针对一类非线性反馈控制给出镇定控制器存在的充分条件及设计 步骤，在满足所给充分条件的前提下这类控制器可以通过极点配置的方法设计其反 馈系数矩阵。这类非线性反馈控制器可避免线性延时反馈控制的奇数个实数特征值 问题。在高周期u p o 的镇定控制中，本文为高周期轨道的各个周期点设置一个非线 上海交通大学博士学位论文 性反馈控制器，然后采用最优反馈控制技术设计各反馈控制器的反馈系数，所用最 优反馈控制模型以系统实际运行轨道和目标u p o 轨道间的偏差为目标函数。文中使 用噪声背景下的h f i n o n 系统、i k e d a 系统分别进行了不动点、高周期u p o 的镇定控 制数值仿真实验，其中即使在高斯噪声背景下，仍成功地镇定了i k e d a 系统周期数 高达3 2 的高周期u p 0 。 本文还利用且。控制理论中的三。增益约束条件对l u r e 混沌系统最优控制进行 了鲁棒性分析。文中以最优控制性能指标在不确定性存在的情况下是否变化过大作 为判断最优控制鲁棒性的标准，给出了最优控制的两条鲁棒性准则，并分析了两准 则间的蕴含关系。在假设最优控制性能指标为积分型的前提下，对l u r e 混沌系统中 的最优线性反馈控制利用二次型和l u r e p o s t n i k o v 型存储函数分别进行了鲁棒性分 析，将相应的耗散不等式转化为线性矩阵不等式( l m i ) ，以l m i 形式给出了l u r e 混 沌系统中最优线性反馈控制的鲁棒性判定条件。 作为混沌控制在信息技术中的重要应用，本文提出了种基于离散时间混沌系 统的信息存储方法并进行了较系统的研究。这种存储方法利用离散时间混沌系统中 的周期态进行信息存储，其核心思想是将吸引子中周期轨道上的周期点按照一定的 规则映射为一定的信息符号，进而用混沌系统的一个周期点序列来代表一个信息串 或字符串。文中将信息存储过程分为信息写入、信息保持及信息读取等三个阶段。 一个混沌系统可以看作是一个存储单元，当要往该存储单元内写入一个字符串时， 首先将它编码为一个周期点序列，然后将该周期点序列作为动力学系统的初始条件 注入给该系统，并通过混沌控制技术实现信息保持，即镇定所注入周期点序列。本 文对不同的存储单元设计方案进行了较系统的分析研究，为日后进行这种新型存储 器设计提供了一定的理论依据。文中利用i k e d a 系统进行的仿真实验清楚地描述了 这种信息存储方法的实现过程。 文中所提出的通过镇定离散时间混沌系统高周期u p o 来进行信息存储的方式富 - 有新意，有望用于开发新型大容量存储器，在理论上有很好的创新性和学术价值， 并具有良好的工程应用前景。卜了 关键词：混沌控制，最优反馈控制，鲁棒控制，不稳定周期轨道，信息存储，信息 处理 一i i o no p t i m a lf e e d b a c kc o n t r o lo fc h a o t i cs y s t e m s a n di t sa p p l i c a t i o nt oi n f o r m a t i o ns t o r a g e a b s t r a c t c h a o sc o n t r o li sa ni m p o r t a n tt o p i ci nt h ef i e l do fn o n l i n e a rs c i e n c et h o u g h ti th a s b e e nal o n gt i m ew h e nc h a o sw a sc o n s i d e r e da su n c o n t r o l l a b l ea n dn o ta p p l i c a b l e t h e s i t u a t i o nh a sc h a n g e dw i t ht h ed e v e l o p m e n to fc h a o sc o n t r o ls i n c er e s e a r c h e r sf o u n d o u tt h a tc h a o sc o u l db ec o n t r o l l e da n dt h a ti th a da na t t r a c t i n gp e r s p e c t i v eo fa p p l i c a t i o na n dd e v e l o p m e n ti ne n g i n e e r i n g ，e c o n o m i c sa n ds oo n f r o mt h ev i e w p o i n to f i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，c h a o t i cs y s t e m sp o s s e s sal a r g ea m o u n to fi n f o r m a t i o na n dc a n b eu s e da sn o v e li n f o r m a t i o n s t o r a g ed e v i c e so fl a r g ec a p a c i t yi fs u c c e s s f u l l yc o n t r o l l e d o nt h eo t h e rh a n d ，a so n eo ft h ec o r et e c h n o l o g i e so fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ( i t ) ，t h e t e c h n o l o g yo f i n f o r m a t i o n s t o r a g eh a sb e c o m e o n eo ft h ef o c u s e si nt h eg l o b a lh i g h - t e c h c o m p e t i t i o n i ti su n d e rt h ed e s c r i b e db a c k g r o u n dt h a tt h et h e s i sh a sc a r r i e do u ti t s s t u d yo nc h a o sc o n t r o la n d i t sa p p l i c a t i o nt oi n f o r m a t i o ns t o r a g ed e v i c e t h e m a j o r c o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i si n c l u d e ：( 1 ) p r o p o s i n gan e wk i n do fo p t i m a l f e e d b a c kc o n t r o l ，f o l l o w e db yi t sa p p l i c a t i o nt oc h a o st a r g e t i n ga n ds t a b i l i z a t i o no f h i g hp e r i o du n s t a b l ep e r i o d i co r b i t s ( u p o ) ；( 2 ) s t a b i l i z a t i o no fu n s t a b l ef i x e dp o i n t i nc h a o t i cs y s t e m su s i n gs o m ek i n do fn o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l ，a n dg i v i n gs u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ec o n t r o l l e ra sw e l la st h es y n t h e s i sp r o c e d u r e ；( 3 ) a n a l y z i n gt h er o b u s t n e s so fo p t i m a lc o n t r o li nc h a o t i cl u r es y s t e m su n d e rt h eh e l po f 矗o 。c o n t r o lt h e o r y ；( 4 ) f i n a l l ya n dm o s ti m p o r t a n t l y ，i n t r o d u c i n gan o v e lm e t h o do f i n f o r m a t i o ns t o r a g eb a s e do nd i s c r e t et i m ec h a o t i cs y s t e m sa st h ea p p l i c a t i o no fc h a o s c o n t r o l ，a n ds y s t e m a t i c a l l ys t u d y i n gd i f f e r e n ts c h e m a t a f o ri m p l e m e n t a t i o n ，p r o v i d i n g at h e o r e t i cb a s i sf o rt h ed e s i g no fs u c hn e wk i n do fi n f o r m a t i o ns t o r a g ed e v i c e sw i t h l a r g ec a p a c i t y m o s t l yi t i sd i f i l c u l tt oo b t a i na na n a l y t i c a ls o l u t i o nt ot h eo p t i m a lc o n t r 0 1p r o b l e m so fn o n l i n e a r s y s t e m s ，a n di ne n g i n e e r i n gp r a c t i c en u m e r i c m e t h o d ss u c ha sn u m e r i c o p t i m i z a t i o nm e t h o d s a r ee m p l o y e dt oo b t a i na no f f - l i n ec o n t r o ls e q u e n c ew h i c hg e n e r a l l yr e s u l t si no p e nl o o pc o n t r 0 1 a si sw e l lk n o w n ，o p e nl o o pc o n t r o li s s e n s i t i v e t od i s t u r b a n c ee s p e c i a l l yi nc h a o t i cs y s t e m s ，w h i c ha r ee x t r e m e l ys e n s i t i v et oi n i t i a l c o n d i t i o n s o ，t h et h e s i si n t r o d u c e san o v e lo p t i m a lf e e d b a c kc o n t r o l t h ep r e s e n t e d m e t h o dc o n v e r t st h eo p t i m i z a t i o no fc o n t r o ls e q u e n c et ot h eo p t i m i z a t i o no ff e e d b a c k p a r a m e t e rs e q u e n c eb yp r e s c r i b i n gt h ec o n t r o l5 8s o m ef e e d b a c kc o n t r o la n do p t i m i z i n gi t sf e e d b a c kp a r a m e t e r s t h ei n t r o d u c e df e e d b a c kl e a d st ot h ec h a n g eo fs y s t e m 上海交通大学博士学位论文 s t r u c t u r ea n dm a k e si tp o s s i b l et oi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo fc o n t r 0 1 t h et h e s i sa p p l i e so p t i m a lf e e d b a c kc o n t r o lt ot h et a r g e t i n gc o n t r o lo fc h a o t i c s y s t e m si na ne f f o r tt oa v o i dt h es e n s i t i v i t yo fo p t i m a lo p e nl o o pc h a o st a r g e t i n gt o u n c e r t a i nd i s t u r b a n c e a c c o r d i n gt oa n a l y s i sb yt h et h e s i s ，t h es e n s i t i v i t yt oe x t e r n a l u n c e r t a i nd i s t u r b a n c eo fad i r e c t e dc h a o t i cs y s t e mc a nb em e a s u r e dw i t ht h es p e c t r a l r a d i u so ft r a n s i t i o nm a t r i xf r o mt h o s ep o i n t sa l o n gt h ed i r e c t e dt r a j e c t o r yt ot h ed e s t i n a t i o np o i n to ft h et r a j e c t o r y t h el a r g e rt h es p e c t r a lr a d i u si s ，t h em o r es e n s i t i v e t h ed i r e c t e ds y s t e mi s i ti sb yi n t r o d u c i n gf e e d b a c ka n dc h a n g i n gs y s t e ms t r u c t u r e ， t h u sc h a n g i n gt h es p e c t r a lr a d i u so ft r a n s i t i o nm a t r i xt h a tt h eo p t i m a lf e e d b a c kc o n - t r o lu s e df o rc h a o st a r g e t i n gc a ns u p p r e s st h es y s t e m ss e n s i t i v i t yt od i s t u r b a n c ea n d i m p r o v ei t sr o b u s t n e s s s t a b i l i z a t i o no fb o t hf i x e dp o i n ta n d h i g hp e r i o du p 0 o fc h a o t i cs y s t e m si ss t u d i e d i nt h et h e s i s s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i y e nf o rt h ee x i s t e n c eo fs o m ek i n do fn o n l i n e a r - f e e d b a c kc o n t r o li nt h es t a b i l i z a t i o no fu n s t a b l ef i x e dp o i n t t h es y n t h e s i sp r o c e d u r e i sa l s og i v e nf o rt h ec o n t r o l l e ri nt h et h e s i s w h e nt h eg i v e ns u i i c i e n tc o n d i t i o ni s s a t i s f i e d ，t h ef e e d b a c kc o e f f i c i e n tm a t r i xo fc o n t r o l l e rc a nb ed e t e r m i n e dw i t hp o l ea s s i g n m e n tm e t h o d a st ot h es t a b i l i z a t i o no fh i g hp e r i o du p 0 an o n l i n e a rf e e d b a c k c o n t r o li sd e p l o y e df o re a c ho ft h ep e r i o d i cp o i n t sa l o n gt h eu p o t h ef e e d b a c kc o e f - f i c i e n tm a t r i x e sf o rt h ec o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e dw i t ho p t i m a lf e e d b a c kc o n t r o l ，w h o s e o b j e c t i v ef u n c t i o ni st h ed e v i a t i o ne r r o rb e t w e e nt h ea c t u a lo r b i ta n dt h et a r g e tu p 0 t h eh 4 n o ns y s t e ma sw e l la st h ei k e d as y s t e mu n d e rn o i s yb a c k g r o u n da r es t u d i e d w i t hn u m e r i ce x p e r i m e n tw h e r eu p oo fp e r i o d3 2i ni k e d am a p p i n gi s s u c c e s s f u l l y s t a b i l i z e du n d e rg a u s s i a nn o i s e w i t ht h e h e l po fl 2g a i nc o n s t r a i n tc o n d i t i o ni nt h e 日o 。c o n t r o lt h e o r y ，t h et h e s i s s t u d i e st h er o b u s t n e s sa n a l y s i so f o p t i m a l c o n t r o li nc h a o t i cl u r es y s t e m s t h er o b u s t n e s sc r i t e r i o no f o p t i m a lc o n t r o li st h a t ，i nt h ep r e s e n c eo fu n c e r t a i n t y ，t h ep e r f o r m a n c e i n d e xc h a n g e st o w a r dw o r s eo n l yi nam i n i m a la c c e p t a b l er a n g e b a s e do nt h i sc r i t e - r i o n ，t h et h e s i sp r o p o s e st w op r i n c i p l e st oe v a l u a t et h er o b u s t n e s so fo p t i m a lc o n t r 0 1 r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w op r i n c i p l e si sa n a l y z e d p r e s u m i n gi n t e g r a lp e r f o r m a n c e i n d e x ，t h et h e s i se m p l o y sq u a d r a t i ca n dl u r l e - p o s t n i k o vs t o r a g ef u n c t i o nr e s p e c t i v e l y t oc a r r yo u tr o b u s t n e s sa n a l y s i sf o ro p t i m a ll i n e a rf e e d b a c kc o n t r o li nc h a o t i cl u r e s y s t e m s t h ea n a l y s i sc o n v e r t st h ec o r r e s p o n d i n gd i s s i p a t i o ni n e q u a l i t yi n t ol i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，w h i c hr e s u l t si nr o b u s t n e s sc r i t e r i o ni nt h ef o r mo fl m if o r o p t i m a ll i n e a rf e e d b a c kc o n t r o li nc h a o t i cl u r es y s t e m s a sa ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o no fc h a o sc o n t r o lt oi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，t h et h e s i s p r o p o s e sa n ds y s t e m a t i c a l l ys t u d i e san o v e li n f o r m a t i o ns t o r a g em e t h o dt h a ti sb a s e d 上海交通大学博士学位论文 o nd i s c r e t et i m ec h a o t i cs y s t e m s t h es t o r a g em e t h o du t i l i z e st h ep e r i o d i co r b i t s e m b e d d e di nc h a o t i ca t t r a c t o r sf o ri n f o r m a t i o ns t o r a g e t h em a i ni d e ai s t om a p p e r i o d i cp o i n t so nt h eu p o i n s i d et h ea t t r a c t o r st os o m es p e c i f i ci n f o r m a t i o na l p h a b e t a c c o r d i n g t os o m em a p p i n g r u l e ，a n dt h u sr e p r e s e n ta n i n f o r m a t i o n s t r i n g a sa s e q u e n c e o fp e r i o d i cp o i n t s t h et h e s i sd i v i d e st h ep r o c e d u r eo fi n f o r m a t i o ns t o r a g ei n t ot h r e e p h a s e si n c l u d i n gi n f o r m a t i o nw r i t i n g ，i n f o r m a t i o nh o l d i n ga n di n f o r m a t i o nr e a d i n g a c h a o t i cs y s t e mc a nb ed e p l o y e da 8a ni n f o r m a t i o ns t o r a g eu n i t s t o r i n ga ni n f o r m a t i o n s t r i n gi n t os u c h au n i ti st ot r a n s l a t et h es t r i n gi n t oas e q u e n c eo fp e r i o d i cp o i n t s o ft h es y s t e m ，a n di n j e c tt h es e q u e n c ea si n i t i a lc o n d i t i o nt ot h ed y n a m i cs y s t e m c h a o sc o n t r o lt e c h n i q u ei sa p p l i e dt oh o l dt h es t o r e di n f o r m a t i o n ，w h i c hi st os t a b i l i z e t h ei n j e c t e ds e q u e n c eo fp e r i o d i cp o i n t t h et h e s i ss y s t e m a t i c a l l ys t u d i e sd i f f e r e n t d e s i g ns c h e m a t ao fs t o r a g eu n i t ，p r o v i d i n gat h e o r e t i c a lb a s i sf o rd e s i g no fs u c hn o v e l i n f o r m a t i o n s t o r a g ed e v i c e sw i t hl a r g ec a p a c i t y n u m e r i ce x p e r i m e n to ni k e d am a p p i n g d e m o n s t r a t e st h ei m p l e m e n t a t i o np r o c e d u r eo fs u c hi n f o r m a t i o ns t o r a g em e t h o d t h em e t h o do fi n f o r m a t i o n s t o r a g ei n t r o d u c e di nt h et h e s i s ，w h i c hu s e ss t a b i l i z e d h i g hp e r i o du p oi nd i s c r e t et i m ec h a o t i cs y s t e m sf o ri n f o r m a t i o ns t o r a g e ，i sn o v e l a n dc a nb ea p p l i e dt od e v e l o pn e w t y p es t o r a g ed e v i c e sw i t hl a r g ec a p a c i t y t h ei d e a i st h e o r e t i c a l l yo fg o o do r i g i n a l i t ya n da c a d e m i cv a l u e ，w i t hp r o m i s i n g p e r s p e c t i v eo f a p p l i c a t i o ni na n g i n e e f i n g k e yw o r d s ：c h a o sc o n t r o l ，o p t i m a lf e e d b a c k c o n t r o l ，r o b u s tc o n t r o l ，u n s t a b l e p e r i o d i co r b i t s ，i n f o r m a t i o ns t o r a g e ，i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i i i 第一章绪论 提要介绍混沌控制、信息存储的研究现状，及本文的主要研究内容。 1 1 混沌 1 1 1 混沌的含义与特性 根据英国不列颠百科全书，英文中的c h a o s ( 混沌或浑沌卜一词来自希腊文 “x 8 0 s ” 1 4 s ，其原意是指在万物出现之前就存在的广袤虚无的空间。中国庄子内 篇卷七中有旬云“北海之帝为倏，南海之帝为忽，中央之帝为混沌”，其含义与c h a o s 有所 不同，在这里有愚昧无知的意思1 1 7 q ，庄子在这里隐喻的是关于人类行为混沌性态的一种哲 学观点；而在三国时代，徐整在他撰写的三五历记中则说：“未有天地之时，混沌如鸡 子，盘古生其中，万八千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地”，同时，在小说三国演 义中，也有关于混沌的类似描述：“昔混沌既分，阴阳剖判：轻清者上浮而为天，重浊者 下凝而为地”。可见，无论是西方还是中国，在古人眼里，混沌是天地分离、万物出现之前 就存在的一种清浊不分、尚未开化的状态。 在今天人们的日常生活中，无论是当代英语中的c h a o s 还是现代汉语里的“混沌”，它 们都有“混乱、无序”的含义，人们也普遍认为混沌表示一种无序和不规则的状态，譬如， 人们用混沌一词来描述国家政局的混乱不堪。另外，混沌一词也可以用来形容人的思维混乱 不清甚至愚昧无知。 以上介绍的是古人对混沌的理解以及日常生活中混沌一词的含义。而在现代科学中尤其 是在非线性科学中，混沌的含义与此有关联，又不尽相同。作为一个科学概念，混沌是指一 类确定性非线性系统长期动力学行为所表现出来的似随机性，是非线性系统的一种往复非周 期动力学行为。就目前人们所知，确定性非线性系统在经历过暂态过渡过程后可以产生平衡 态( 或静止状态) 、周期态、准周期态及混沌态等四类不同的动力学行为。为了直观地说明和 比较这四种不同的动力学行为，图1 1 至图1 4 分别给出了它们的例子。从长期动力学行为 的角度来看，在相空间里，平衡态对应着极限点这种吸引子，而周期态则对应了极限环。拟 周期运动则是由有限个周期运动线性叠加而成，这些周期运动的周期中至少有两个周期的比 值为无理数，比较典型的准周期态吸引子是环面( 如图1 5 ) 。混沌运动也是由确定性非线 性系统产生的一种运动状态，但它与上述平衡态、周期态、拟周期态不同，它是一种始终局 限在一定的有限区域内、运动轨迹永不重复的复杂运动。仔细看一下图1 4 ，我们会发现混 沌运动的运动轨迹相当复杂，在运动过程中忽左忽右，看起来毫无规律，这就是所谓的似随 机性。 混沌系统具有这样一些主要特征： 第一章绪论 上海交通大学博士学位论文 图l _ 1 ：稳态为静止运动 f i g 1 1 ：s t i l lw h e ns t e a d y x ( t 1 = 1 一o 2 e 一c o s 6 t 图1 3 ：拟周期运动 f i g 1 3 ：q u a s i - p e r i o d i cx ( t ) = c o st + c 0 8 倔 2 图1 2 ：周期运动 f i g 1 2 ：p e r i o d i cz ( t ) = 1 一c o s2 t y 图1 4 ：混沌运动 f i g 1 4c h a o t i c l o r e n z 系统在相空间的运动轨迹 。 t r a j e c t o r yo ft h el o r e n zs y s t e m i ni t sp h a s es p a c e 上海交通大学博士学位论文 1 1 混沌 图1 5 ：准周期态的三维实例：环面 f i g 1 5 ：a ne x a m p l eo fq u a s i - p e r i o d i cm o t i o n ：t h et o r o i d ( z ( t ) ，可( c ) ，z ( t ) ) = ( ( r + rc o sc 1 2 t ) c o sw i t ，( r + r c o su 2 t ) s i n w l t ，rs i n w a t ) w h e r e r = 2 0 ，r = 6 ，u 1 = 2 ，“2 。怕 1 对初始条件及系统参数的极度敏感性：混沌系统对初始条件及系统参数的敏感性表现 为，初始条件或系统参数的微弱差异，都会导致系统运行轨迹发生巨大的偏差，即 “失之毫厘，差以千里”。著名的“蝴蝶效应”讲的就是混沌系统的这种特征。混沌 系统的初始条件及参数敏感性使得混沌系统难以进行长期预测。 2 有界性：混沌系统的有界性是指混沌系统在相空间内局限于一定的有界空间内，具有 全局稳定性。这归因于系统非线性对相空间的拉伸、折叠及压缩作用，拉伸虽然使系 统轨迹互相分离，表现出局部不稳定性，但折叠、压缩又使系统轨迹回归，局限在一 定的范围内，表现出全局稳定性。 3 吸引子的奇异性：混沌系统的拉伸、折叠作用同时也使系统吸引子出现奇异特性，具 有分形特征，其中还嵌有无穷的不稳定周期轨道。 4 功率谱的连续与宽频带特性：混沌系统本身所具有的内秉随机性则使得系统功率谱象 随机系统那样也具有连续性，并有较好的宽频特性。因此，利用传统的频谱分析工具 难以区分混沌系统和随机系统。 1 1 2 混沌研究的历史 混沌的研究可追溯到十九世纪末。1 8 9 2 年，法国数学家昂里庞加莱( h e n r yp o i n c a r 6 ) 在 研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现，三体引力相互作用能产生出惊人的复杂动力 一3 第一章绪论 上海交通大学博士学位论文 学行为，其确定性动力学方程的某些解非常复杂，有不可预见性。他预言可能存在混沌运 动，在科学的价值一书中写道f 1 8 ：“我们察觉不到的极其轻微的原因决定着我们不能 不看到的显著结果，於是我们说这个结果是由于偶然性。可以发生这样的情况：初始条 件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别。”这些正是混沌现象的重要特征。 虽然混沌的初步研究开始于十九世纪末，但真正得到发展是在二十世纪六七十年代以 后。在六十年代初，气象学家洛仑兹在一个简化大气对流模型的计算机数值计算中发现，这 个由三阶常微分方程描述的确定性系统确实具有规则行为，但在某些条件下也可出现非周期 的无规则行为，只有微小差异的两个不同的初始条件也可以产生完全不同的计算结果，这与 当时气象界的权威观点是相矛盾的。在五、六十年代，人们普遍认为气象系统作为一个遵守 牛顿力学定律的确定性动力学系统，在计算机的帮助下，应该是可以精确预测的，但事实并 非如此，人们一直未能成功地对气象系统进行长期预报。经过长期反复计算和思考，l o r e n z 后来在1 9 6 3 年发表了确定性非周期流等三篇论文，指出了计算结果的实质意义，即气 候不能精确重复与无法长期天气预报之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见 性之间的关系；系统在某个临界点上，小的变化可以放大为大的变化，这也就是今天所说的 1 混沌系统的初始条件敏感性。l o r e n z 的这些论述被公认为是发现混沌的第一例f 1 7 7 】。 1 9 7 5 年马里兰大学( u n i v o fm a r y l a n d ) 的李天岩及j a m e say o r k 在“a m e r i c a n m a t h e m a t i c s ”杂志上发表著名的论文“p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ”( 周期三蕴涵着混 沌) ，提出了l i - y o r k 定理。该定理的基本内容已经包含在乌克兰数学家沙尔可夫斯基f a n s h a r k o v s k i i ) 在1 9 6 4 年提出的“沙尔可夫斯基定理”中。根据这两个定理，对于一维线 段上的映射，只要知道存在某个特定的周期轨道( 如周期三的轨道) ，就可以判断还存在哪 些周期的轨道。李天岩的论文里首次公开、正式地使用“混沌”( c h a o s ) - - 词，“混沌”也 从此作为正式术语使用。 1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利举行，标志着混沌科学的诞生；接着，美国物 理学家费根鲍姆( m j f e i g e n b a u m ) 发现倍周期分岔序列的两个普适常数6 和n ，这两个普 适常数的发现使混沌科学确定起自己坚固的地位。八十年代初，p a c k a r d 等人提出了重构相 空间的实验方法，t a k e n s 利用w h i t n e y 嵌入定理给出了严格的证明。h o l m e s 转述并发展了 m e l n i k o v 方法，这种方法用于判别二维系统中稳定流形和不稳定流形是否相交，也即判断是 否出现混沌。1 9 9 0 年，o t t 等人提出了控制混沌的o g y 方法【9 8 】，p e c o r a 及c a r r o l l 则实现 了两个混沌系统的同步【t o s 。自此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用研究，越来越 多的控制工程、通信、生物医学等工程技术界的学者专家也开始加入这个原本主要是物理学 家、数学家们参加的纯理论基础研究领域。 人们对混沌现象的认识，是非线性科学最重要的成就之一。混沌理论已经发展成为内容 丰富、覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学技术中起到了重要作用。混沌科学 的倡导者之一，美国海军部官员m s h l e s i n g e r 说，“二十世纪科学将永远铭记的只有三件 事，那就是相对论、量子力学，和混沌”。第一次混沌国际会议主持人之一的物理学家j f o r d 则认为，混沌现象的发现是二十世纪继相对论、量子力学问世以来的物理学第三次最大 的革命【1 7 8 j 。混沌理论在现代科学中的地位由此可见斑。 4 上海交通大学博士学位论文 1 2 混沌控制 1 2 混沌控制 大量的工程系统中都有可能存在着混沌现象，如车辆、机床、船舶、航空航天器、非线 性电子电路系统、通信系统、激光系统等等。对于这类系统，混沌现象可能是有害的，譬 如，对于那些工作性能主要依赖于稳定性态的系统，混沌的存在会使系统的工作性能变差， 使稳定性、可靠性变差，生命周期缩短，甚至威胁到系统的正常工作。以激光系统为例，由 于混沌功率谱的连续及宽频带