（机械设计及理论专业论文）基于几何性质的边缘检测和图像恢复.pdf

基于几何性质的边缘检测和图像恢复 摘要 本文主要是将图像作为函数( 曲面) 来处理，并将曲面性质应 用到图像处理与模式识别中。图像生成的过程，就是将实体从三维 空间投影到二维平面的过程，投影的过程中在光照等因素影响下， 最后形成了图像。所以，无论是对图像进行处理，还是对图像进行 识别都可以将图像作为一种函数来进行。 图像的边缘检测在图像处理中占有重要的地位。经典的边缘检 测方法利用梯度的思想检测边缘，有很好的效果( 特别是l o g 算子) 。 但是，对整幅图像进行处理的时候，由于图像不同区域性质不同， 如果应用l o g 算子，简单的阈值判断并不能取得很好的效果，所以 本文提出在不同性质区域分别进行阈值判断的思想进行边缘检测。 通过应用变差函数来分析图像上不同区域的性质，作为图像划分区 域依据。最后，在不同的区域应用不同的阂值得到图像的边缘信息， 取得了很好的边缘检测效果。 在对图像进行分析的时候，图像数据可以直接拟合成一种函数 型式，虽然梯度思想分析图像也是将图像看作是函数来处理的，但 是梯度是基于某一平面来形成的，它并不能反映曲面的本质信息。 所以可以应用曲面的本质性质来分析图像，进而找到边缘检测的方 法。由于边缘是图像上像素发生突变的位置，所以在图像曲面上某 一方向的法曲率值会出现由正到负的变化，故此应用这个性质来判 断曲面上某点是否为边缘点。 由于有了较为理想的边缘检测方法，所以为利用轮廓恢复图像 提供了很好的条件。本文通过引入焦距这个参量，很好的解决了在 未知圆柱体端面轮廓的情况下，对透视投影圆柱体图像进行恢复的 问题。在进行图像恢复的时候，利用图像形成过程中三维空间的透 视投影变换规则得到圆柱体投影性质，识别出圆柱体投影图像中实 体轴在三维空间中的方向。 关键词：边缘检测，模式识别，l o r 算子，变差函数，微分几何， 恢复图像 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 e d g ed e t e c t io na n ds h a p er e c o v e r yb a s e do r g e o m e t ric ai p r o p e r t y y i n gx i f e n g ( s c h o o lo f m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g ，d a l i a nu n i v e r s i wo f t e c h n o l o g y ) a b s t r a c t i nt 1 1 i sp a p e r , a ni m a g ei sl o o k e da saf u n c t i o n a n dt h ef u n c t i o ni s u s e di ni m a g ed i s p o s a la n d p a t t e r nr e c o g n i t i o nt h ep r o c e s si nt h a tt h e i m a g e i s g e n e r a t e d i st h ep r o c e s s 血a tt h es o l i di s p e r s p e c t i v e l y d r o j e c t e df r o mt h et h r e e d i m e n s i o n a ls p a c et ot w o d i m e n s i o n a lp l a n e a n di nt h ep r o c e s sm a n yf a c t o r s ( f o re x a m p l e ：t h ei l l u m i n a t i o n ) w o u l d a f f e c tt h ei m a g eg e n e r a t e d s oi nt h ei m a g ed i s p o s a la n di nt h ep a t t e m r e c o g n i t i o n ，t h ei m a g ew o u l d b et r e a t e da st h et w o d i m e n s i o nf u n c t i o n 乃站e d g ed e t e c t i o ni st h ei m p o r t a n tr o l ei n 坊ei m a g ed i s p o s a l ，t h e c l a s s i c a lm e t h o do ft h ee d g ed e t e c t i o ni sb u i l to nt h eg r a do ft h ei m a g e f u n c t i o n a n di nt h i sm e t h o dt h ee d g e sa r ed e t e c t e dw e l l ( e s p e c i a l l yt h e l o go p e r a t o r ) b u ti nt h ei m a g et h ed i f f e r e n t p a r t s q u a l i t i e s a r e d i f f e r e n t ，t h ee d g ed e t e c t i o n sr e s u l ti sn o tg o o dw h e nt h em e t h o do ft h e l o g o p e r a t o ru s e so n el i m i t s oi nt 1 1 i sp a p c rt h ee d g e sa r ed e t e c t e d a n dt h e r ea r ed i f f e r e n tl t r a i t si nt h ed i f i e r e n tp a r t s t h ei m a g ei sd i v i d e d t od i 舵r e n tp a r t sb yr e s u l tt h a tt h ei m a g ei sa n a l y z e db yt h ev a r i o g r a m f u n c t i o n i nt h ei m a g et h ee d g e sa r ed e t e c t e db yt h ed i f f e r e n tl i m i t si n t h ed i f f e r e n tp a r t sw h o s e q u a l i t i e sa r ed i f f e r e n t t h ed a t ao ft h ei m a g ea r ec o n s t r u c t e das u f a c ea n das l l t f a c e b u t l d saf u n c t i o n t h em e t h o do ft h eg r a di sb a s e do nt h ef u n c t i o n b n t i td o e sn o tr e f l e c tt h ee s s e n c eo ft h es h t f a c e b e c a u s et h eg r a di sa p a r a m e t e rt h a ti sb a s e do no n ep l a n e i nt h i sp a p e lt h ee s s e n c eo f t h e s n r f a c ej sa n a l y z e dt og e tt h ee s s e n c eo ft h ei m a g ea n d 也em e t h o do f t h ee d g ed e t e c t i o n b e c a l 1 s et h ed a t am u t a t eo i lt h ep o s i t i o nt h a ti st h e e d g e 、t h en o r m a lc m - v a t u r eo ns o m eo r i e n t a t i o nc h a n g e sf r o mp o s i t i v e t o n e g a t i v e ，s o i ti s t h o u g h t w h e t h e rs o m e p o i n t i s j u d g e d t h e e d g e 、p o i n tb y t h i sc h a r a c t e r b e c a u s et h e r ei st h eg o o dm e t h o do f t h ee d g ed e t e c t i o n ，i tp r o v i d e s i l i 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 t h ec o n d f f i o nf o rt h es h a p er e c o v e r yf r o mt h ec o n t o u ri na ni m a g e i n t h i sp a o e rt h ef o c u si si n t r o d u c e da sap a r a m e t e rt or e s o l v et h i sp r o b l e m 也a ti st h er e c o v e r y 行o ma r li m a g et h a ti sap e r s p e c t i v ep r o j e c t i o no fa c y l i n d e r t h em e t h o do fr e c o v e r yi s b u i l t 打o mt h ep r i n c i p l eo ft h e p e r s p e c t i v ep r o j e c ta n dt h ed i r e c t i o no f t h ec y l i n d e r sa x i si sr e c o v e r e d k e yw o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，l o gf i l t e r , v a r i o g r a mf u n c t i o n ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , s h a p er e c o v e r y 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 第一章绪论 本文主要研究的是边缘检测和图像恢复，在别人研究的基础上 提出了新的方法。本章重点介绍边缘检测和图像恢复的发展状况以 及本文将要进行的工作和工作结论。 1 1 本文的背景】i i 2 】f j 3 f 1 4 】 现代的图像处理与模式识别技术，虽然各自性质不同，但它们 又紧密联系。 模式识别( p a t t e r nr e c o g n i t i o n ) 是研究图像或各种物理对象 与过程的分类和描述的学科。所谓“模式”具有广泛的含义，不仅 涉及图形、文字、声音( 即视觉与声觉) ，而且还涉及到任何物质 和思维过程的测量、分类与描述。它是人工智能的一个重要方面。 它的应用范围已渗透到了国民经济的许多领域，除了早期的文字识 别及语音识别以外，目前它在天气预报、质量控制、国防科学、指 纹识别、遥感技术、地震探测、疾病诊断、细胞识别等各个方面都 有广泛的应用。对于机械领域，模式识别在机器人视觉方面的应用 更具有价值。随着计算机技术的发展，其应用的深度和广度将有更 大的发展。 模式识别的过程如图1 所视， f 图像卜+ 图像h 特征卜一分h 结果 i 输入l1 处理j1 提取il 类il 输出l l jl j l ，一l ，一l ，j 图1 图像处理包括图像编码、图像压缩、图像增强、图像复原、图 像分割、边缘检测。 对图像进行处理，首先要对图像信息进行预处理( 前处理) 。由 于输入图像在进行数字元化和在拍摄图像的过程中，出现了各种干 扰因素，而这些因素会产生闺像的误差，所以要对图像进行前期处 理，去除干扰噪声，作几何、彩色矫正，得到希望的处理结果。然 后在对图像进行增强、复原。为了从图像中找到需要识别的目标， 还要对图像进行分割和边缘检测。在实际处理中，由于图像信息量 非常大，在存储及输送时，还要对图像信息进行压缩。 图像中目标的边缘，表现为强度的非连续性。图像的非连续性 来源于不同的物理现象：表面反射和纹理不同，以及照明、表面取 基于几何性厦的边缘检测和图像恢复 向、深度等，这些目标特性混在一起会随后的解释变得非常困难。 边缘检测是针对区域不连续住将特定区域与其它区域分开。边缘检 测中提取特征，主要是提取一种非连续特征。经典的边缘检测方法 和由经典方法发展而来的方法，主要依据一阶导数幅值有最大值或 二阶导数过零点的思想，而其它对边缘检测的方法，也是将边缘两 边的图像性质不同为依据。 随着模式识别技术的发展，同时，也是现实具体情况的要求， 在识别的过程中仅仅知道目标属于哪一类物体已经远远不够了，还 需要了解目标的一些具体情况，三维实体的图像恢复的问题也就提 了出来。图像恢复是对单幅或多幅图片恢复物体的三维形状，它在 计算机视觉和计算机图形学领域中受到了广泛的关注，解决这类问 题的方法被称为“s h a p ef r o mx ”( x 可以是图像的结构或非结构特 征信息：t e x t u r e 、s h a d n g 、c o n t o u r ) l l “。当然，从图像中知道目 标的所有信息也是不可能的，因为从目标到形成图像的过程中，已 经有大量信息损失，这就要求能够从图中得到尽可能多有用的信 息。所以，图像恢复也并不是完全恢复幅图像目标中所有真实信 息( 除非还有其它信息或者用不同角度的几幅图像进行恢复，来得 到从同一幅图像中不能得到的信息) 。基本几何形体的识别与恢复 问题是以物体三维形状问题为理论基础。即可利用几何实体表面的 基本特征，又可利用几何形体的轮廓的基本特征。 1 2 国内外的研究现状【2 3 j 经典的边缘检测算法认为边缘具有方向和幅度两个特性，沿边 缘走向的灰度变化平缓，而垂直与边缘走向的灰度变化剧烈，这种 变化可以认为是阶跃或斜坡形，在边缘上灰度的。一阶导数幅值较 大，而二阶导数值在边缘上的值为零。以下就介绍几种经典的边缘 检测方法。 一阶微分是图像边缘和线条检测的最基本方法。图像函数f ( x ，y ) 在点( x ，y ) 的梯度( 即一阶微分) 是一个具有方向和大小的矢量， 即 v f ( w ) ：娑i + 錾_ 7 优鲫 其梯度最大值为： 如= 鹰2 + c 争2 ( 1 1 1 ) ( 1 _ 1 2 ) 基于几何性质的边缘榆测和图像恢复 由罗伯茨( r o b e r t s ) 提出的算子是在2 2 邻域上用方向差分 的均方值r m s 来近似的梯度最大值，即 g 仁力“舷力= l ，b 力一b + l y + 1 ) 1 2 + 【，b y + 1 ) - f ( x + r y ) 2 ( 1 1 3 ) r ( x ，y ) 被称为罗伯茨交叉算子。也可用罗伯茨绝对最大值来近 似。 如 = 舷力= 力一厂b + l y + 叫+ j 厂( w + 1 ) 一厂u + l 叫 ( 1 1 - 4 ) 罗森菲尔德( r o s e n f e l d ) 和卡克( k a k ) 提出罗伯茨最大算子 如叻“舷力= m a 拯b 力一b + l y + 酬，1 毽y 十1 ) 一b + l 叫) ( 1 1 5 ) 式中能提供较好的不变性边缘取向，对于同等长度但取向不同的边 缘，应用式( 1 1 ，5 ) 比应用式( 1 ，1 3 ) 所得到的合成幅度变化小。 罗伯茨算子在计算方向差分时对噪声敏感。索贝尔( s o b e l ) 提 出了一种将方向差分运算与局部平均相结合的方法，即索贝尔算 子，该算子是在以f ( x ，y ) 为中心的邻域上计算x 和y 方向的偏导数， 即 s # r ( x + t y d + 2 代x + l 力+ 弘十l j ，+ 瑚一i ，( x t y 一1 ) + 2 f ( x i j + 二踵x t y + 1 ) j s y - f ( x l y + p 十2 1 慨y + d 十，0 + l y + 1 一l ， 一1 , y 一1 ) + z ，玩y 一1 ) + 狂+ k y 一1 g ( x ，j ，) “s = 2 + 妙2( 11 6 ) 或 g ( x ，y ) 。s = i s x i + i 砂l ( 1 1 7 ) 普鲁伊特( p r e w i t t ) 提出类似的偏微分估计方法 p ) # 【厂( x + l y d 十，u + l ) 0 + u ， + l y + 1 ) j 一【厂强一t y d t ， 一l 力叫 一l y + i ) j 。q 声! ，b l y + d 斗j ，毽y + d t ，讧+ 1 j ，+ 1 ) 1 一【，酝一l j ，一9 吖如y d + b + i y 1 ) 1 ( 11 8 ) 在具有相等斜率的宽区域上，一阶算子有可能将全部区域都当 作边缘提取出来，因此，有必要求出斜率的变化率，即对图像函数 进行二阶微分运算 v ：( x 劝：掣+ 掣 ( 1 1 9 ) 蹦 o y 这就是应用拉普拉斯算子提取边缘的形式，即二阶偏导数的和，其 离散计算形式为 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 铲舷力= 舷 = 3 倦+ 1 力一瓜力_ 瓜一圳一l 舷力坝x 圳 + n ，酝y + 】) 璁剜l ，酝y ) - - f ( , y 1 ) | ( 11 1 0 ) - 抖i 力b 一幻讹j ，十母t b 一一p 4 如力 人的视觉的空域特性和频域特性极为平滑，对于微小的啦面变 化和微小的色彩变化，很容易识别出来。 用高斯函数对图像进行平滑 f ( x ，y ) = f ( x ，y ) 。g ( x ，y ，仃)( i 1 1 1 ) 利用二阶导数出现零交叉点就是边缘点这一特性，得 y ( x ，y ) = 厂、( x ，) 十v2 c ( x ，j ，口)( 1 1 1 2 ) 其中v 2 g 就是马尔和希尔德累斯( m a n 和h i l d r e 山) 所提出的最 佳边缘检测算子( 简称m h 算子或l o g 算子) 咿瞰卫国= 等+ 窘= 习1 ( 警一1 ) e x p 喜妒) ) ( t 1 1 3 ) l o g 算子由正和负两个分量所组成，它类似于神经生理学所解 释的激励和抑制的效应。它实际上实现进行了一次平滑滤波，然后 在进行边缘检测。其抗干扰能力强，边界定位精度高，边缘连续性 好，且能提取对比度弱的边界；不足之处在于当边界宽度小于算子 宽度时零交叉处的斜波会发生融台，小于2 b 的边界缅节会丢 失。故用l o g 算予检测边缘时，窗口大小一定要选择合理，使之 即能抗干扰，又有一定的定位精度。但是，应用l o g 算子时，当 。增大时，其边缘的定位精度也下降口j 。利用边缘聚焦的思想和多 尺度的方法就可以达到窗口选择合理的目的。边缘聚焦就是利用 个很强的平滑( 模糊) 在低分辨率下检验出重要边缘，然后，减弱 平滑强度进行跟中聚焦以确定其准确位置。但是在进行很强的平滑 的时候很可能由于边缘定位不精确，而使得再进行弱平滑时得到的 边缘不能同，使得聚焦不能实现。 由图像灰度值是离散的特点，在连续情况下推导出来的式 ( 1 1 ，1 2 ) 中精确的“零穿点”无法实现。因此不能直接应用“零穿点” 来判断是否是边缘点。在正负值点之间一定存在边缘点，但是不知 道其位鼍更接近正负值点的哪一边。张娇等1 2 】重新定义了边缘点， 即在用l o g 算子模板进行卷积计算后，将负值附近存在正值的点作 4 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 为可能的边缘点。在对原始图像用l o g 算子模板作卷积后，选取负 值点，将其八个邻点中最大的值取出来，如果为正，将此最大值与 其本身( 负值) 之差作为该点的输出，其余点为非边缘点。由于 l a p l a c i a n 算子对所有的起伏( 包括真正的边缘，和并不构成边缘的 微小起伏和噪声) 都进行提取，并且不加区分的给予同样的处理。 所以，就要去除那些被误认为是边缘的小的起伏和噪声而保留真正 的边缘。但由于非常严格的区分并不符合实际要求，所以设定两个 域值t ；、t 。( 其中t l t ：) ，若某个象索的梯度值大于t 1 ，则它立即 被输出；所有超出t 2 的象素均被标记，若一个已标记的象素与某 个己输出的象素连通，则它也被输出。 广义模糊算子 2 4 1 是基于图像边缘包括其它部分的灰度信息这 个原则，利用并改进这个算子检测边缘，所得边缘细腻，效果好且 计算简便。 杨海军和梁德群3 1 将曲率引入边缘检测中来，通过屋脊边缘最 大主曲率方向的最大主曲率局部极值检测屋脊边缘。他们很好的利 用了三角形屋脊边缘的曲面几何性质：理想屋脊边缘被平滑后，沿 边缘走向的方向的法曲率小，而垂直于边缘走向的法曲率大。 边缘检测的准确性会反映到以后图像的模式识别的结果中。在 得到很好的边缘结果后，就可以利用轮廓( 边缘) 来恢复图堡。型 甬话廓恢复图像( s h a p ef i - o mc o n t o u r ) 【4 】 5 【6 】f 7 】1 8 【1 5 】【】6 ”吲”9 1 口四 的最大优点就是摆脱了光源的限制，但是这就要求目标表面的几何 性质要同一( 目标表面的几何性质要有规律性) 。所以，这种方法 仅对表面性质有规律的几何型体适用。而且在实际工程中，大部分 几何实体表面的几何性质都具有规律性，故应用的范围还是很广 的。 j p o n c e 、d ，c h e t b e r g 和wb m a n n 1 5 1 对利用轮廓来恢复图像 作了一些探索性工作。他们应用微分几何，对直齐次广义柱体 f s t r a i g h th o m o g e n e ：o l l sg e n e r a l i z e dc y l i n d e r s ，简称为s h g c ) 进 行了分析。直齐次广义柱体是由空间平面上一条曲线，绕固定轴旋 转，并在此过程中按一定函数关系进行放缩形成的。它的回转截面 与轴垂直，并且回转截面互相平行，回转截面边界曲线的投影相互 平行对称。直齐次广义柱体的表面上存在高斯曲率为零的点，而高 斯曲率零的边界点在投影面上的投影为轮廓曲线上曲率为零的点。 由投影的线性性和直齐次广义柱体的轴对称性可知：投影图像中可 能会出现以日标轴的投影线为对称轴的轮廓曲线曲率为零的点对。 而轴对称点到目标轴投影线的距离相等，同时，它们在轮廓上的切 线在目标轴投影线上相交。所以，可以通过两对或两对以上的轮廓 基于几何性质的边缘榆测和图像恢复 曲线上曲率为零的点找出图像上实体对称轴的投影直线。但这种方 法有它的局限性：必须找到至少两对曲率零点，使得在实际应用中， 对目标要求严格。而这种方法仅能找到目标轴的投影线，不能找到 目标轴在三维空间中的方向，使得此方法在实际应用中有了很大局 限性。 fu l u p i n a r 和r n e v a t i a 忙1 进一步分析了s h g c 的空间投影性 质，建立起完整的理论体系，同时，又对p r c g c ( p l a n a r , r i g h t c o n s t a n tc r o s ss e c t i o ng e n e r a l i z e dc y l i n d e r s ) 的三维实体和投影图 像性质进行了分析。他们利用从轮廓中恢复实体的技术，将s h g c 和p r c g c 图像进行恢复，并取得了很好的恢复效果。他们在进行 分析之前，对对称的概念进行了重新的定义。如果两条曲线上相对 点的切线以某条曲线上相对点的切线对称，则称这两条曲线平行对 称。如果图像上两条曲线的相对点切线的交点交与某条直线，则称 这两条曲线线汇聚对称。如果两条曲线对应点的切线与某条曲线的 切线成菜个角度的对称，则称两条曲线斜对称。这些对对称的重新 定义方便了对s h g c 和p r c g c 性质的分析。 可以利用s h g c 实体的回转截面边界曲线的投影相互平行对称 性质，按目标个端面的投影曲线来恢复图像目标的投影表面。在 轮廓上同一回转截面的点，其轮廓曲线的切线交点在几何实体轴的 投影线上，利用7 1 提供的方法对实体的轴线进行恢复。p r c g c 是 c o c s ( c o n s t a n tc r o s ss e c t i o i lg e n e r a l i z e dc y l i n d e r s ) 的一种特殊类 型( 几何形体的对称轴线为二维曲线) 。它是条二维封闭曲线沿 空间二维曲线运动，并始终与曲线的切线互相垂直形成的。二维封 闭曲线所围成的区域叫做截面，二维曲线叫做截面线，而空间曲线 叫做轴线。轴线并不固定，只要是与截面相垂直的曲线就是轴线， 空间中的轴线都相互平行对称。几何实体的截面线互相斜对称。截 面线的投影曲线仍然斜对称。在正投影中，轮廓曲线上同一截面点 的切线与轴线投影线的切线互相平行( 也就是说轮廓线与轴线的投 影平行对称) 。在图像恢复时，先在实体投影范围内找到一条与轮 廓平行对称的曲线( 将此线作为轴线的投影曲线) ，然后，再根据 截面线投影曲线互相斜对称和一端截面投影曲线已知的条件，利用 轴线投影曲线相对位置切线的旋转角度，与截面线投影益线不同位 置的变换关系，描绘几何实体截面线的投影曲线。再根据截面投影 的形状与轴的关系，得到表面不同点的表面法向。e a n g e l o p u l o l j 和l b w o l f f 8 】提出利用高斯球的方法，曲面点按照高斯曲率 的正负和零点的分为三类点：椭圆点、双曲点和平面点，进而进行 图像的恢复。 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 杨忠根 4 1 对旋转体进行了分析，利用轮廓曲线与实体的关系来 恢复图像，并判断图像的类型。旋转体是直齐次广义圆柱( s h o c ) 的一种重要子类，旋转体的识别和三维视觉信息的恢复是机器视觉 中的重要课题，在实际工程应用中具有广泛的实际意义。旋转体表 面是由一条二维曲线绕固定轴旋转形成的( 旋转时放缩函数值为1 的s h g c ) 。它的截面曲线为圆，截面曲线的投影为椭圆曲线。可 利用椭圆曲线，与实体对称轴的投影关系，得到实体轴的空间方向， 再利用旋转体截面为圆的特点，得到旋转体每个截面圆比例半径， 恢复实体三维造型。由于不知道实体的准确尺寸，仅知道各部分的 比例关系，所以，将轴线方向的高设为1 ，得到实体的相对大小， 然后，通过与已知模板比较进行模式识别。 以上这几种图像恢复算法，都要求轴截面线的投影曲线已知， 并且轴截面要与轴垂直，这就多少的限制了此种类型方法的应用。 1 3 本文的研究方法 通过以上几种边缘检测方法的分析可以发现，虽然理论上有很 好的效果，但根据边缘检测评价的三条原则：1 ，好的信噪比；2 ， 好的定位性能；3 ，对单一边缘仅有唯响应。它们并不是很理想 的边缘检测算子，特别是在图像各个区域变化并不是很一致的情况 下，它们检测效果并不理想，所以可以在区域性质相近的区域内进 行检测。利用变差函数对图像各个小区域进行统计，得到不同小区 域变差函数值，然后利用 2 】中给出的改进l o g 算子检测出图像的 边缘。 利用变差函数对图像划分区域检测边缘，实际上就是对灰度图 像的灰度值进行统计，并将灰度图像作为曲面( 函数) 来处理。由 文 3 可知，将灰度图像作为曲面来处理，得到三角形屋脊边缘，有 很好的效果。所以本文也将曲面的性质应用到边缘检测中。由于微 分几何学能够对曲面性质进行分析，故剥用微分几何学上的曲面定 理及性质来分析图像边缘位置的曲面性质，检测出曲面上的边缘。 得到图像中的边缘，就可以利用轮廓( 目标轮廓就是图像中检 测到的边缘) 恢复图像。利用轮廓恢复图像有其优点，但是对于单 幅图像，要完全恢复图像上的实体是很难的，而且，对于仅知道实 体曲面投影的轮廓、而不知道实体正截面投影的图像，是非常难恢 复的它缺少必要条件，因此，引入一个新的参数量图像投 影的焦距。而且，在图像透视投影过程中，焦距一般是己知的，所 以利用它来进行圆柱体图像的恢复。 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 1 4 本文的主要工作 本文的主要工作在以下几个方面： 第一通过对一种改进l o g 的边缘检测方法的分析，知道其优 点和不足之处后，利用地质统计学上的变差函数划分出性质类似的 区域，在每一个性质类似的区域分别进行边缘检测，最后，根据整 幅图像的检测结果，得到完善的图像边缘。 第二，将图像作为曲面，利用微分几何学中曲面法曲率的性质， 对三种曲面点进行分析，得到图像中得边缘。然后，对已经得到的 边缘进行分析，在利用各种改进方法对图像进行边缘检测。 第三，在已经得到轮廓的情况下，进行图像恢复。在图像俊复 中，在焦距已知的条件下，推导出不知道圆柱体正截面投影情况下， 轮廓( 侧面投影形成的两条直线) 与三维空间中圆柱绛轴的方向的 关系。在计算机仿真过程中，首先，利用圆柱体透视投影的空间性 质，得到投影的灰度图像：其次，进行边缘检测，得到图像中实体 的轮廓；然后，对已检测出的轮廓应用h o u g h 算法，得到曲面投影 形成的两条直线轮廓的方程：最后，利用以推导出来的侧面投影直 线与圆柱体中心轴在空间中的方向的关系，得到圆柱体投影图像 中，圆柱体在三维空间中的方向。 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 第二章理论基础 在进入本文讨论之前，先介绍所用到的数学知识地统计学 和微分几何中曲面几何性质，这样在后面的讨论中，有利于对本文 提出的问题更好的理解。 2 1 地统计学 2 1 1 地统计学概述 地统计学( g e o s t a t i s t i c s ) ，亦称地质统计学。5 0 年代开始形 成，6 0 年代法国著名统计学家g m a t h e r o n 形成。1 9 7 0 年他将地统 计学定义为以区域化变量理论在评估矿床上的应用。8 0 年代认为： “地质统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工 具，研究那些在空间分布上即有随机性又有结构性，或空间相关性 和依赖性的自然现象的科学” 9 1 。 地质统计学可研究空间分布数据的结构性和随机性，或空间相 关性和依赖性，或空间格局与变异，并对数据进行最优无偏差内插 估计，或要模拟这些数据的离散性、波动性。 地统计学研究的变量不是纯随机变量，不能进行无限次重复或 进行大量重复观察试验，它是区域化变量，是在空间不同位置取样。 地统计学除了要考虑样本的数学特征外，更主要的是研究区域化变 量的空间分布特征。 2 1 。2 样本数据的空间分析 数据的空间分布格式常常与异常值分布或特殊的异常区段有 关，这种局部的异常值的分析通过局部数据的平均值和标准差表示 出来。“移动窗口”( m o v i n gw i n d o w s ) 统计在分析局部异常值及变 化规律方面提供了一个有效的方法。所谓移动窗口统计就是将整个 空削抽样区域的数据分成几个局部相等的小区，每个小区称为“窗 口”。根据“窗口”内的数据计算平均数和标准差。“窗口”有时也 被称为研究或统计的“尺度”( s c a l e ) 。“窗口”的大小依据数据空 间位鬣和研究区域的面积大小确定。为了满足既有足够的数据，又 不使“窗口”过大，采用重叠( o v e r l a p i n g ) 移动窗口的统计。 空间连续( s p a t i a lc o n t j n u i t y ) 特点存在于许多空间抽样数 据中。两个相距很近的观测点的数据要比相距较远的点上的观测数 据接近。 将数据分别按分隔距离h 和方向进行展点分析数据与h 的关系， 基于几何性质的边缘检测和倒像恢复 在地统计学上称为h 一展点( h - s c a t t e r p l o t s ) 。对所研究的统一变 量z ( x ) 进行h 一展点，首先设x 轴为z ( t ) ，y 轴为z ( t + h ) ( h 为方 向) 。( 可利用二维或多维数组表示：h ( 0 ，2 ) 表示在x 轴方向上数据 中空间点的分隔距离是零，面在y 轴方向上分隔距离是2 倍的h ( 基 准距离) ) 。随着两点间的距离加大，两点间的相关性或相异性与 数据之间分隔的距离h 有密切关系。这种关系定量描述可通过两点 之间的数据z ( t ) 和z ( t + h ) 的统计得到。 自相关的变量主要与分隔距离h 有关。在理论上只要分析z ( t ) 和z ( t + h ) 之间的相关性和相异性，就可以得到抽样区域中数据之间 是否存在空间相关和空间格局。为此，地统计学在普通统计学基础 上发展了协方差函数和变异函数，从数学理论上分析空间相关的自 然现象。 2 1 3 区域化变量理论 设e 是一个随机实验，其样本空间为x = x x j ，均有一个实数 z ( x ) 与之对应，而且，对任意一个实数z ，当 z ( x ) z ) 时，都有一 个确定的概率，称z ( x ) 为个随机变量。 设e 是个随机实验，其样本空间为x = x ，若对任意一个x ( x e x ) ，均有一个函数z ( x 。，x ：，x 。) ，其中x ：x 。x 2 x z ，x 。 x 。与之相对应，且当各自变量x ，x ：，x n 均敢任意固定值时，函数 z ( x 。，x 圹”x 。) 为一随机变量，称z ( x ，x 。，x 。) 为定义在( x 。，x 。， x 。) 上的一个随机函数。当随机函数依赖于多个自变量时，称为随机 场。 一个变量呈空间分布时，称其为“区域化”。这种变量常常反映 某种空间现象的特征。 m a t h e r o n ( 1 9 6 3 年) 将区域化变量( r e g j o n a i z e dv a r i a b l e ) 定 义为：以空间点x 的三个直角坐标x 。x 。，x 。为自变量的随机场 z ( x ) = z ( x 。，x x ) ，称为区域化变量( 区域化随机变量) 。区域化 变量具有两方面的含义，即观测前z ( x ) 是一个随机场，观测后z ( x ) 是一个普通的空间三元函数值或空间点函数值。区域化随机变量是 普通随机变量在域内确定位置上的特定取值，它是随机变量与位置 有关的函数。 d a v i d ( 1 9 7 7 ) 、j o u r n e l ( 1 9 7 8 ) 等，认为区域化随机变量与普 通随机变量不同，普通随机变量的取值按某种概率分布而变化，而 区域化随机变量则根据其在一个域内的位置取不同的值。 区域化变量的性质： 1 空间局限性区域化变量被限制在一定的空间范围内，在几何 基于几何性质的边缘检测和圈像恢复 域或空间范围内，变量的属性最为明显，在几何域或空间范围之外， 变量的属性表现不明显或表现为零。区域化变量是按几何支撑 ( s u p d o r t ) 定义的。 2 不同程度的连续性不同的区域化变量具有不同程度的连续 性，这种连续性是通过相邻样点之间的变异函数来描述的。在某些 特殊意义或情况下，连这种平均意义下的连续性也不存在，这种现 象称为“块金效应”( n u g g e te f f e c t ) 3 不同类型的各向异性( a n js o t r o p y ) 。 在随机函数中，当只有一个自变量x 是称为随机过程，而随机 过程z ( t ) 在时间t ，和t 。处两个随机变量z ( t ，) ，z ( t 。) 的二阶混合中 心距定义为随机过程的协方差函数，记为c o y z ( t ，) ，z ( t ：) ) ，即 c o v z ( t 】) ，z ( t 2 ) e z ( r 1 ) 一e z ( t 1 ) z ( f 2 ) 一e z ( t 2 ) ，。、，、 = e z ( r ，) z ( r 2 ) e z ( t 1 ) e z ( t 2 ) 随机场z ( x ) 在空间点x 和x + h 处的两个随机变量z ( x ) 和z ( x + h ) 的二阶混合中心距定义为随机场z ( x ) 自协方差函数，即 ( o v z ( x ) ，z ( x + ，) = e z ( x ) z ( x + 五) e z ( x ) e z ( x + a ) 在一维条件下变异函数定义为：当空间点x 在一维x 轴上变化 时，区域变化量z ( x ) 在点x 和x + h 处的值z ( x ) 与z ( x + h ) 差的平方 一半定义为区域化变量z ( x ) 在x 轴上的变异函数( 也叫作变差函 数) ，记为r ( x h 1 ，即 r ( x ，自) = 寺v a t z ( x ) 一z ( x 十自) 2 ( 2 1 2 ) = i ，e z ( x ) 一z ( 戈+ ) 2 一丢 e z ( x ) 卜e z ( x + ) ) 2 在二阶平稳假设条件下对任意h 有： e z ( x + ) = n z ( x ) ( 2 1 3 ) 故 r ( x ，自) = 妻三 z ( x ) 一z ( x + a ) 】2 ( 2 1 ，4 ) 平稳假设( s t a t i o n a r ya s s u m p t i 0 1 1 ) ：设随机函数z ( x ) ，其空 间分布率不因位移h 而改变，即无论任意位移向量h ，两个n 维随 机变量 z ( x 、) ，z ( x 。) ，z ( x 。) 和 z ( x j + h ) ，z ( x 2 + h ) ，z ( x h ) 基于几何性质的边缘检测和图像恢复 具有相同的分布率，即： 只m “( z l ，z 2 ，z 。) = e ，& “，。+ ( z l ，z 2 ，一，z 。) 在线性地统计学中，主要研究方差，只要假设其一、二阶矩阵 存在且平稳就够了，因此提出二阶平稳假设( s e c o n d o r d e r s t a r i o n a r ya s s u m p t i o n ) ： i 整个研究区内，区域化变量z ( x ) 的数学期望对任意x 存在且 等于常数 e z ( x ) = m 2 在整个研究区内，区域化变量的协方差函数对任意x 和y 存在 且平稳： c o v z ( x ) ，z ( x + f ) = e z ( x ) z ( x + 向) 一e 【z ( x ) e 【z ( x + 如) = e z ( x ) z ( x + a ) 卜m 2 = c ( h ) 本正假设( i n t r i n s i ca s s u m p t i o n ) ( 弱二阶平稳假设) ： 1 在整个研究区域内，区域化变量z ( x ) 的增量 z ( x ) 一z ( x 十h ) 的数学期望对任意x 和h 存在且等于0 ，即： e 【z ( x ) 一z ( x + h ) 】= 0 2 在整个研究区域内，区域化变量的增量 z ( x ) 一z ( x h ) 的方 差函数对任意x 和h 存在且平稳，即： v a r z ( x ) 一z ( x + ) 】= e z ( x ) 一z ( x 十 ) 】2 = 2 y ( x ， ) = 2 z ( h ) 协方差函数计算公式： 1n ( a 】 。南蕃【z j z j 】【z ( x c “) 变异函数的计算公式： n ( h ) y 铴) 。赢萎 z 。o 气 ；舶) 】2 瓦再丽】( 2 1 5 ) 2 1 4 变异函数的结构分析 协方差函数的性质： i c ( o ) = p 匆 。( x ) 0 ，先验方差不能小于零 ( 2 1 6 ) 墨型! 堡丝堕竺望竺笪型塑堕堡堕堡 2 c ( 矗) = c ( 一a ) ，c ( h ) 对于h = o 的直线是对称的( 偶函数) 3 j c ( a ) j c ( o ) ，协方差函数绝对值小于等于先验方差 4 斗。时，c ( 矗) _ o 或c ) = 0 5c ( h ) 是非负函数 变异函数的性质： 2 y ( t 2 ) = ，( 瑚) 变异函数偶函数 3 z ( h 1 0 4 f h f 。m 时，( ) 斗c ( o ) 或， ) = c ( o ) 5 卜y ( 纠必须是一个条件非负定函数：由 - r ( x ，一善，) 】构成的 变异函数矩阵在条件y = 0 时，为非负定的。 面 协方差函数与变异函数的关系： e ( 自) = c ( o ) 一，( 约( 2 1 7 ) 当h 一。时，c ( h ) 一0 ，y ( h ) 一c ( 0 ) 。实际上，当h a 时( a o ) ， 即h 足够大后，就可以使c ( h ) = o ，y ( h ) = c ( 0 ) ，这里a 是变程 ( r a n g e ) ，变程的大小，反映区域化变量影响范围的大小，或者说 反映该变量自相关范围的大小。 变异函数的理论模型分三种：有基台值模型、无基台值模型、 孔穴效应模型( h o l ee f f e c tm o d e l ) 有基台值模型分为： l 球状模型( s p h e r i c a lm o d e l ) 0 h ：0 朋) = c 0 托( i 3 ：h j l 了h 3 ) o 厅细 ( 2 1 8 ) lc 。+ c h o 3a 变程 4 线性有基台值模型( 1 i n e a r