（计算数学专业论文）一类各向异性非协调元在发展方程中的应用.pdf

摘要 本文在各向异性网格下讨论了一类低阶非协调元在发展方程中的应用首先讨论了 双曲积分微分方程在半离散格式下的一类各向异性非协调有限元逼近，得到了与传统有限 元方法相同的最优误差估计和超逼近性质同时利用插值后处理技术得到了整体超收敛结 果其次，对s o b 0 1 e v 方程，分别讨论了在半离散和全离散格式下的收敛性分析，也得到了与 传统方法相同的最优误差估计和超逼近性质，同时在半离散格式下，得到了整体超收敛结 果最后，给出了两个非协调板元的各向异性插值特征的验证，并给出了相应的数值算倒 关键词：非协调元，各向异性网格，发展方程，超逼近和超收敛，插值后处理技术 a b s t r a c t ac l a s so fl o wo r d e rn o n c o n f o r m i n g 最n i t ee l e m e n ta p p r 0 ) ( i m a t i o n st oe v 0 1 u t j o ne q u a - t i o i l sa r ed i 8 c u s 8 e di nt h i 8p 印e r f i r s t ，w e 印p l i e dt h e s e 丘n i t ee l e m e n ta p p r o 越m a t i o n s t oh y p e r b o l i ci n t e r g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs e m i d i 8 c r e t i z a t i o no n a n i 8 0 t r o p i cm e s h e s ， t h es a m eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa n d 8 u p e r c l o s ep m p e r t i e sa st h et r a d i t i o n a lm e t h o d s 甜e d e r i v e d f u r t h e r m o r e ，t h eg l o b 甜s u p e r c o n v e r g e n c ea r eo b t a i n e dt l l r o u g hp 0 8 t p r o c e s s i n g t e c h n i q u e t h e n ，a n o t h e ra p p l i c a t i o nt os o b o l e ve q u a t i o i l 8a r ed i s c u s s e d t h es e m i d i s - c r e t i z a t i o na n dd i s c r e t i z a t i o f o r m u l a ra r e8 t u d i e ds e p e r a t e l yt h e o p t i m a le r r o re s t i m a t e s a n ds u p e r c l o s ep r o p e r t i e sa r eo b t a i n e da 8w e l la st h ef 曲m e re q u a t i o i l s a tt h e8 a m e t i m e ， t h eg l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t sa r eg i v e nw i t ht h es 咖i d i s c r e t i z a t i o n f i n a l l y ，t h e a n i s o t r o p i cp m p e r t yo ft w on o n c o n f o r m i n ge 1 咖e n ta r ec h e c k e d ，t h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r - i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oc o n f i r mo u ra n a l y s i s k e yw b r d s ：a n i s o t r o p i c l e s h e s ；n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t s ；p o s t i ) r o c e s s i n g e c h n i q u e ；s u p e 。c 1 。8 ep 。p e r ya n ds u p e r c 。v e r g e n c e ，刨。l ，嚏t b 伽i q u 口七屯d 惦 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则。本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) 鸹寸瞢赢 二零零六年刀月二十日 引言 有限元方法是当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法，广泛应用于解决物理现 象，工程问题及科学计算等领域中它是古典变分方法( 兄托z g n l e r 七m 方法) 与分片多 项式相结合的产物，其离散化思想最早由r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，5 0 年代由航 海工程师们所发展，直到2 0 世纪6 0 年代，国内外几乎同时在不同实践的基础上，用有限 元方法来解决工程和力学问题，并给出了收敛性分析和误差估计随后，在固体力学，弹 性力学，流体力学等领域中得到广泛应用经过4 0 多年的研究和发展，有限元已经成为 一门理论完善、应用广泛的数值计算方法 然而，经典的有限元理论是建立在单元剖分的正则性条件或拟一致假设的基础上的， 即要求剖分满足：警e 或i 兰e ，其中 是单元的最大直径，胁是k 的最大内 切圆直径，7 z = 黔罕 k ，h 。t 。= g 璺k ，五是区域n 的一个剖分族随着有限元方法 研究的日益深入和应用范围的不断扩大，正则性条件已经成为有限元应用的制约因素一 方面，许多实际问题的解可能会在边界层或区域的拐角处呈现各向异性特征，即真解仅仅 沿某一方向变化剧烈此时，标准的有限元方法会失去原有的精度另一方面，在实际应 用中，如复合材料和转子间隙问题等若采用正则性网格，计算量很大，无法承受解决此 问题的有效方法之一就是采用各向异性单元，即百l 可以很大，甚至趋于无穷因此， 各向异性元的研究成为当前有限元方法研究的热点、亮点之一，深受国内外学者的关注 最近，关于这方面的研究有很多( 见 2 _ 5 ) ，a p e l 在 5 】中对各向异性元的基础理论作了 较系统的总结，但这些工作都是针对协调元进行的由于 5 中理论的局限性，这方面的 工作虽推广到非协调元( 见 3 ，4 】) ，但仅局限于对c r 型单元近来， 2 】给出了一种更易 于操作的判断单元是否具有各向异性特征的方法，开创了各向异性非协调元研究的新局 面但是此时，传统的有限元分析方法不能直接使用( 尤其是对于非协调元不仅需要估计 插值误差，还要估计相容误差) 在各向异性网格下，通常的插值理论不能直接使用，相容 误差中的边界估计若仍采用传统的方法，在对单元k 的长边f 进行估计时将出现因子 嚣一。，无法得到收敛性因此，必须引入新的估计方法与技巧，这也是各向异性非 协调有限元研究的难点和关键点所在 近年来，随着科学技术的不断发展，发展方程的求解问题也愈来愈重要，有限元方 法对发展方程的近似求解又具有显著的优越性，在这方面的研究也有很多 2 1 2 4 及 1 4 ，1 5 1 在正则网格下分别对抛物方程，抛物积分微分方程及一般的发展型方程的协调有 限元方法进行了讨论但他们的研究中，m t z 投影或修正格式是必不可少的f 1 6 1 8 】 在正则矩形网格下通过对直角三角形的短边以及对斜边的精细估计，直接得到了最优估 计但到目前为止，有关非协调各向异性元的研究还未见报道本文针对双曲积分微分方 程提出了一类非协调各向异性有限元g a l e r k i n 逼近方法，证明了其一个独特的性质，即： m t z 投影与有限元插值是一致的，继而，通过引入不同于以上文献的分析方法和估计技 巧，在解适当光滑时，得到了与传统方法相同的误差估计和超逼近性质在此基础上，利 用后处理技巧【1 9 2 ，我们证明了相应的后处理算子具有各向异性特征，从而在各向异性网 格下导出了整体超收敛结果， 众所周知，m o r l e y 元是自由度最小的三角形板元， 3 1 】中验证了对m o r l e y 元的修 正是满足各向异性插值特征的石钟慈在 3 4 】钟给出了一给不完全双二次非协调板元在 正则网格下的误差估计，本文第四部分首先给出了该不完全双二次高度非协调矩形板元 在各向异性条件下的误差估计接着验证了m o r l e y 元并不满足各向异性插值特征，然后 用1 1 1 中的方法验证了修正的m o r l e y 元是满足各向异性特征的最后，给出了相应的数 值算例，验证了我们的理论结果 本文的写作安排如下： 第一章：预备知识列举本文中运用的记号及定理 第二章：双瞌积分微分方程的各向异性非协调有限元逼近 第三章：s o b o l e v 方程的各向异性非协调有限元逼近 第四章：关于两个非协调板元的一个注解主要验证了两个板元的各向异性特征，并给出 了相应的数值算例 2 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及嵌人定理 设舻为n 维欧氏空间，q 为r ”中的区域用护( n ) 表示一切定义在q 上的p 次 可积函散组成的集合l 。( q ) 表示一切n 在上本性有界的可测函数组成的集合则按范 数 恻h n ) = ( 如l ( 。) i 一出) ；，1 p 。 8 u | | 工。o ( n ) = e s s s t 巾。n l “( z ) l ， p = o 。 胁| | 州n ) 为b a n a c h 空间而忆i i l 。( n ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为 ( “， ) = 如u d z 用g ”( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，e o 。( q ) 表示区域n 上 无穷次连续可微函数组成的集合，简记g o ( q ) 为g ( n ) 记区域n 上的偏微分算子d 。= d ? 1 d ：”，其中以= 矗，口一，n n 为非负整 数n = 沁1 ，q 。) 称为n 重指标，记川= n 1 + q 2 + + a 。 定义1 1 1 设圪。( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，u 珑。( n ) 如 果存在 玩。( q ) ，使得 二u d 。妒如= ( 一1 ) 川厶 妒d z ，如曙( n ) ， ( 1 1 1 ) 则称”是札的l a i 阶广义导数，并记为”= d o 设m 为非负函数，1 曼p 。，考虑函数空间 w 7 m 一( n ) = “：d 。“l p ( n ) ，f 。lsm ) ， 这个空间依范数 | 。p = ( 如l d “乱1 9 如) ；，1 墨p o 。 m ，m2 燃j p “，p 。 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间，并定义半范数 l u l 。，p = ( 矗l d 。u i d z ) ；，l p o 。 川。，o 。= 娜a x l l d 。“。，p = 。 1 又令w 扩。( q ) 为c 富o ( q ) 按范数阻0 。，p 在空间”，p ( n ) 内的完备空间，则w ；( q ) 也是一个b a n a c h 空间 简记 日m ( q ) = w ，t 2 ( n ) ，日矿( q ) = w 伊2 ( n ) ， 0 。= z ，l l 。= i l 哪 于是日“) ，f 留( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( “，口) 。= ( d o “，d o ) ，钍， h ( q ) 定义1 1 2设x 和y 是两个线性赋范空间，如果xcy ，并且把z x 映为 如y 的恒等算子，是连续的，即存在常数m 使得 j i ，z | | y 冬订i | z i i x ，、口t x ， 则称x 嵌入y ，记为x y ，又称，为嵌入算子，m 为嵌入常数 s o b o l e v 嵌人定理设nc 形为有界区域，其边界a q 是局部l i p s c h i t z 连续的， m ，为非负整数，1sp 。，则 w m + ，p ( n ) qw ，9 ( n ) ，m n p 注意w “，( q ) 一g ( q ) 的含义是任一u w “”( n ) 必等价于e ( q ) 中的一个函数( 仍记 为u ) ，同时存在常数m 使得 i i u i | c ( 6 ) w i l “i i m ，p ，v “u 7 m ”( q ) ( 1 1 2 ) 现在考虑h ”( n ) 中函数的边界值，即“在a q 上的迹“b 定义1 1 ，3 设有界区域qc 胛具有m 阶光滑的边界，“g “( 而) ，线性算子 1 b ，1 1 ，一，7 m 一1 “= 器l 锄j = o ，1 ，m 一1 称为迹算子，此处翥表示沿边界外法向的j 次方向导数 迹定理设有界区域qc 舻具有m 阶光滑的边界，札日”( n ) 则存在与“无关 的常数g ，使得 i i 札l o ，a nsg i i u | | j + 1 ，v u 日m ( n ) ，o j m 1 ( 1 1 3 ) 2 特别当a q 是l i p s c h i t z 连续时有 i l 训b n e 1 1 ，讹日1 ( q ) ( 1 1 4 ) 由于w ( n ) 是四。( q ) 的完备化空间，则根据迹算子的定义有 叼( q ) = 日( q ) ：嚣l m = o ，j = o ，l ，- 一，m 一1 ， 下面不等式是s o b o l e v 空间中常用的不等式 日；f d e r 不等式设1 p ，q 0 ，使 i n ( ”，u ) l 卢l i 1 1 2 ，b 协日， 则对任意的，日7 ，存在唯一的u 日，使 n ( 让，口) = ，( ) ，咖日， 这里日7 是日的共轭空间 下面考虑抽象的变分形式( 1 2 1 ) 的离散问题，对于协调元空间，有限元方法求解变 分问题( 2 7 ) 的离散形式为：求“ ，使得 n ( “ ，) = ，( ) ，k k ( 1 3 1 ) 关于其解的存在唯一性及误差估计有如下引理 c e a 引理如果o ( 乱，口) ，( 口) 满足l a * m i l g r 籼引理的条件，则离散问题( 1 3 1 ) 有 唯一解，且 i i “一n i e g 。! 呈矗i l “一 n | | f ， ( 1 - 3 2 ) 其中 怯为能量模，即| | 加怯= ( ( 训，叫) ) 对于非协调元空间，即茌矿，假设可以找到更大的空间s ，使得vcs ，kcs ， 一般选取s = 矿ok ，这时双线性型( ，) 可拓展到s s 上，记为蕴( - ，) ，y 7 可以 拓展到s 7 ，且保证 弧 ) = “( 札，”) ，讹，”k 3 1 ，( ) = ，( ) ，铷v 此时，变分问题( 1 2 1 ) 的离散形式为：求“ ，使得 a ( u ，) = ，( ) ，咖 ( 1 3 4 ) 关于收敛性分析，我们有如下的引理 s t r a n g 引理设面( ，) 为sxs 上的连续双线性型，并且满足强制性，s 7 ，则 离散问题( 1 ，3 4 ) 有唯一解，并且有估计式 | | u 一“n 怙a 。般) 丛龋掣， ( 1 3 5 ) y _ l “n l i o 5 其中i l 叫l l s = ( a ( 训，叫) ) j 1 4 各向异性基本定理 设霞是参考元，户是霞上的一个m 维多项式空间，户7 是户的共轭空间设 抗，庇，麻) 和 晚，觑，厩) 是户和户的一对共轭基，则 l ( 只) = 也，1 茎i ，j 茎m 设，：日。( 膏) 一户，七 1 是有限元插值算子，满足 庶( ，o ) = 藏( o ) ，i = 1 ，2 ，m 坳户 = ( q 。，q 。，q 。) 是一个多重指标，则d a 户也是霞上的多项式空间，设d l m d 。户 r ，也，i = 1 ，2 ，r ) 是d 。户的一组基。则西“( 知) d 。户可表示为 m d “( 局) = 臧( o ) d 嚏 t = 1 r 岛( 心) 白 j = 1 显然，毛是 d 8 扇) ? 的线性组合，而岛( i ) 是 藏( o ) ) ? 的线性组合。设 则由上面两式我们有 岛( 雷) m a ，藏( o ) i = 1 岛( ，毋) 各向异性基本定理【3 6 】：在上述表达下，如果岛( o ) 能表成 岛( o ) = 毋( 亩。o ) ，1 j m 其中玛( 日8 ( 霞) ) 7 ，1 i ，jsm ，同时r ( 靠) cd 8 户，f s 一1 ，则存在常数e ( 霞) 满足： d 。( 矗一，也) 忆膏g ( 膏) l d “也lz + 1 詹，o 茎t 曼z + 1 ，v 也日恤 + 。+ 1 ，戽 6 m m 口 m 日 1 | m q m = p岛 第二章双曲积分微分方程的各向异性非协调有限元逼近 2 1 引言 要求区域剖分满足正则性条件或拟一致假设1 1 】是传统的有限元方法分析的基础性条 件，即舞墨g 或老= sc ，其中h 是单元的最大直径，肌是k 的最大内切圆直径， 2 躐h ， m m2 蹴 ，五是区域n 的一个剖分族然而，在实际应用中，如复合 材料和转子间隙问题等若采用正则性网格，计算量很大，无法承受解决此间题的有效方 法之一就是采用各向异性单元，即i 兰可以很大，甚至趋于无穷但是，这时传统的有限 元分析方法不能直接使用( 尤其是对于非协调元不仅需要估计插值误差，还要估计相容误 差) 而在各向异性网格下，通常的插值理论不能直接使用，相容误差中的边界估计若仍采 用传统的方法，在对单元k 的长边f 进行估计时将出现因子禺一o 。，无法得到收敛性 1 1 】最近国内外出现了很多关于各向异性有限元的研究( 参见 2 1 3 】，【2 5 ) ，得到了与传 统方法相同的最优误差估计然而，其大多数工作主要是针对二阶或四阶问题进行的，而 且考虑的是协调元方法 ( 2 1 2 4 及【1 4 ，1 5 】在正则网格下分别对抛物方程，抛物积分 微分方程及一般的发展型方程的协调有限元方法进行了讨论但他们的研究中，m e s z 投 影或修正格式是必不可少的 1 6 一1 8 】在正则矩形网格下通过对直角三角形的短边以及 对斜边的精细估计，直接得到了最优估计但到目前为止，有关非协调各向异性元的研究 还未见报道本文针对双曲积分微分方程提出了一类非协调各向异性有限元g a l e r k i n 逼 近方法，证明了其一个独特的性质，即： m t z 投影与有限元插值是一致的，继而，通过 引入不同于以上文献的分析方法和估计技巧，在解适当光滑时，得到了与传统方法相同的 误差估计和超逼近性质在此基础上，利用后处理技巧旧2 ，我们证明了相应的后处理算 子具有各向异性插值特征，从而在各向异性网格下导出了整体超收敛结果 2 2 单元的构造 为简单起见，设n 是帮中的一个有界凸多边形区域其边界a n 平行于z 轴或 轴，磊是n 的一个矩形剖分族，即q = uk ，不要求满足上述的正则性假设和拟一 只靠 致假设v 磊，设其中心点为( z k ，姚) ，两边分别平行于z 轴和轴，两边长分别 为2 虬和2 设= 一1 ，1 一1 ，1 】是一叩平面上的参考单元，其四个顶点分别 7 为a l = ( 一l ，一1 ) ja 2 = ( 1 】一1 ) ，五3 = ( 1 ，1 ) 和a 4 = 否i 石，f 3 = 石；瓦和f 4 = 石丽；则存在可逆仿射变换取 忙：篙 ( l ，1 ) ，四条边为1 = 硒i ，毛= 窳_ k ： ( 2 2 1 ) 在霞上构造有限元( 膏，户( ”，宝( 。) ，0 = 1 ，2 ) 如下： 宝( 1 ) = 。o ，0 1 ，仍，0 3 ，锄) ，户( 1 ) = j p o 凡 1 ，f ，叩，妒( ) ，妒( 叩) ) 7 ，1 q ， 妻( 2 ) = 0 1 ，0 2 ，0 3 ，讥，0 1 + 0 3 = 如+ 讥) ，p ( 2 ) = s p 口他 1 ，f ，q ) 2 q ， 其中斌= 南丘i 幽，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，2 南如。d 咖，妒( t ) = j ( 3 t 2 1 ) 容易验证w 日1 ( 霞) ，其插值函数n ( 2 ) 0 0 = 1 ，2 ) 可分别表示为： n ( 1 ) 。= 铂+ ；( 如一也蟮+ ；( 。3 一舌t ) q + j ( 如+ 戗一2 痂) 妒 ) + j ( 。3 + 。，一2 锄) 妒( 叩) ( 2 2 2 ) 以及 n ( 2 ) 。= ；( 心。+ i 。+ 。+ 。4 ) + ；( i z 一瓯) + ；( 伲一。，) 叩 ( 2 2 3 ) 引理2 2 1 插值算子n ( 2 ( i = 1 ，2 ) 具有各向异性插值特征，即对任意o h 2 ( 霞) 及 多重指数o = ( n 1 ，n 2 ) ，当一1 时，有 l l d 。( i n ( ) o ) 膏se i d 。o i 】膏 证我们只对i = 1 证明，i = 2 时类似 当o = ( 1 ，0 ) 时， d 。( n ( 1 ) 。) = ；( 。2 一啦) + ；( 。2 + 砒一2 玩) ( 2 1 2 4 ) 显然， 1 ，f ) 是d 。户的一组基令西= 囊，则 j ( o z o a ) = ( 丘。咖一见o d 叩) = j ( 正。 ( 1 ：q ) 一o ( 一1 ，q ) ) 咖= j ( 。( 正。裳( f ) d 町 = 妾成赛d 叩= 南佞曲嘶咖= q ( 面) ( 2 2 - 5 ) ；( 仍+ 砒一2 锄) = ( 正。 ( 1 ，叩) d 叩+ 仁， ( 一1 ，叩) d 叩一层。必d 叩) = 委屈f 赛鹰咖= 南瓜黝嘶d 叩= 毋) 8 由日d f d e r 不等式，易证毋 ) 0 = 1 ，2 ) 是日1 ( ) 上的有界线性泛函a = ( 1 ，o ) 时可类似地验证 故由 1 1 1 中的基本定理可知，该单元具有各向异性插值特征 定义一般单元上的函数口( z ，可) 如下。口( z ，) = 口( z ( ，叶) ，! ，( f ，町) ) = o ( ，q ) i e = o o ，膏1 那么形函数空间磺= 切；p = j ；o e i l ，筘户( ) t = 1 ，2 ，相应的有限元空间为： 以1 = ；蜥l 耳磺，v 五，居h 如= o ，f ca k ) ， 其中h 】代表跨过单元边界的跳度，当fca n 时，b 】= 显然，w ”览 日1 ( n ) ，0 = 1 ，2 ) 定义插值算子n ：日1 ( n ) 一垤如下： n 2 i = 镏，铷日1 ( k ) ，铅秽= ( n ( i ) o ) 。歧1 ，i = 1 ，2 2 3 逼近问题及各向异性网格下的收敛性分析 考虑双曲积分微分方程【1 q u “一u j ：u ( 茁，s ) d 3 “= o 札( z ，o ) = ( z ) ，札( z ，o ) ： = ，( z ，t ) ，饥q ( o ，q ， o na q ( o ，t 】， ( 2 3 1 ) w 扛) ，撕n 相应的受分彤式为：求u 捌( 2 ) 便得 i ( u m 砂) + ( v ，v 妒) + 启( v 札( s ) ，v 妒) d s = ( ，妒) ，v 砂瑶( q ) 1u ( z ，o ) = ( z ) ，“：( z ，o ) = 叫( z ) ， 其中( ，1 妒) = 如，砂d z 咖 ( 2 3 2 ) 的非协调有限元离散为：求u 以”，使得 i ( “ 。妒) + n h ( “ ，砂) + 詹n ( u ( s ) ，砂) d s ：( 厂，妒) ，v 砂磷”， 1 “h ( o ) = o ，钍舭( o ) = 2 叫， 其中0 ( u ，砂) 2 嘉k v “ v 砂，( ，砂) 2 善& ( 2 3 2 ) f 2 3 3 1 g 口， ( i = 1 ，2 ) 分别为口，叫的有限元插值，也可以取为u ，叫的某个逼近 定义”= ( 善l 瞪x ) ，显然它是吲2 ( i = 1 ，2 ) 上的模 9 记真解“( t ) 的椭圆投影为磁u w 。满足 d h ( p i l ) u ( ) ，砂) = n h ( “o ) ，砂) ，v 妒碟4 i = 1 ，2 ，( 2 - 3 4 ) 我们有下面重要的 引理2 3 1铷h 1 ( q ) ，磁4 = 2 口，江1 ，2 证对i ：1 ，因为妒垤1 是分片二次多项式且妒i k ? m n 1 ，z ，z 2 ，f 2 ) ，所以 砂l k 是常数，爱b k 也是常数，由格林公式和插值条件得v 妒瞻， o h 2 莓厶v ( ”一v 纰句 = 车厶一扣一锣口) 妒如妇+ 萎上扣一掣”) 甏d s = 莓妒上却一啪蛐+ 萎箬加一d s = o ， 而当i ：2 时，妒碟2 是分片线性多项式，故t f l = o ，且裟i a 是常数，所以由格 林公式和插值条件也可以得到v 讪垤 2 莓厶v ( 口一v 蛐由 = 莓上一扣一错”) 妒如旬+ 莓五k 扣一紫”) 甏d s = 。+ 莓凳船一d s = o 又由磁2 的定义，有n h ( 磁。) 一2 ”，砂) = o ，v 矽谨” 在上式中取妒：磁4 ) 一 瞻”，即得瑾 = n ，日1 ( q ) ，i = 1 ，2 为方便起见，在下文的讨论中，除非有特殊说明，对垤”，碟2 和0 ，n 乎我们 不再逐一区分，而是分别统一记为和n 引理2 3 2 【7 】设u 是( 2 - 3 2 ) 的解且明( n ) n 日2 ( q ) ，则在各向异性网格下有 丢上嘉灿m 川悱，v 妒嘶 ( 2 3 5 ) 1 0 更进一步，若“硪( q ) n 日3 ( n ) ，则在各向异性网格下，有 i 事z 赛妒如l c 2 i “妒w 注2 3 1 在引理2 3 2 的证明过程中，利用估计； i l 也 i o ，x 茎c ；1 l i 妒i h 耳，i i 妒。0 0 ，k 曼e i 1 1 | 砂i i o ，k ，还可以推出： 莓上k 关灿i 冬g 懈。o 我们将看到( 2 3 7 ) 在我们以后的分析过程中起着很重要的作用 引理2 3 3v 扎瑶( q ) n 日2 ( q ) ，有 | | “一h u l l o + i i u 一 钍i i 曼e 2 i 1 2 证由b r a m b l e _ h i l b e r t 引理，易得 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 利用仿射变换f k 的定义及引理22 1 ，引理2 3 1 u 一h u ij ：=i “一丌h u 臣 靠 = l i d 。( 札一n u ) i i ，k 五川= 1 = 斧。( 。 ，) l i d 。( 血一f i 矗) | | ；靠 k 矗川= 1 g 孑。( k ) l 伊啦膏 矗川= l g 7 。列d “9 “憾 引理得证 下面我们给出本文关于收敛性分析的主要结果 定理2 3 1 设“，u h 分别是问题( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 的解，“，u ，“ ，w 日2 ( q ) ，则 在各向异性网格下有 i i u ( t ) 一u 0 ) 队+ i | 撕( t ) 一“舭0 ) | i o 曼g ( 1 u i 。+ i i 。+ i 俐i 。+ 菇| h ( 丁) l 。d 1 一十j ；毗( 丁) 1 2 d 7 一 + 矗i “( r ) l 。d r + ( 矗( 1 “( r ) ；十( 1 毗( r ) 1 2 + i u ( r ) 1 2 ) 2 ) d 7 一) ) ( 2 3 1 0 ) 1 1 证令u 一“ = u 一h u + 一“ i 叩+ 靠，其中巩，显然有靠( o ) = 目 t ( o ) = o 由引理2 3 3 l l ，7 0 ) i l 2i i “一 | | sg l 训z 茎g ( 1 u ( o ) i z + 上l u t ( 7 _ ) l 。d r ) ， ( 2 3 1 1 ) i i 轨o ) i l 。= o 毗一 “t i l 。sc 危2 | 毗1 2 曼g 2 ( i t ( o ) 1 2 + 上i “( r ) i 。打) ( 2 t 3 1 2 ) 下面估计0 以( 圳 和i ( 圳o 对任意的妒坛，由( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 得 ( p t ) + n ( 日 ，砂) + j ：n ( 日 ( 7 _ ) ，妒) d r = ( “m 妒) + n h ( u ，妒) + 詹n ( 札( r ) ，砂) 正r 一( 乱 ，妒) 一n ( u ，1 _ ) 一j ；d ( u ( 7 ) ，妒) d 1 - = ( “m 廿) + ( u ，讪) + 詹o ( u ( 丁) ，妒) 打一( ，妒) = 一( 啦t ，妙) + ；厶嘉砂d s + 届( 善厶譬妒d s ) 打， ( 2 3 1 3 ) 因为k ，在上式中取妒= 目胁得 ；袅( | | 如t 雌+ 。h ( 如，巩) + 2 矗。h ( 靠( r ) ，靠) 打) 一。 ( 如( f ) ，靠( t ) ) = 一( ，目m ) + 岳( 善厶x 舞如d s ) 一器如x 筹以d s + 击( 矗( 善如* 导如d s ) 打) 一蚤厶蒙巩d s ( 2 3 1 4 ) 对上式两边从0 到t 积分并利用民( 0 ) = 靠c ( 0 ) = 0 ，引理2 3 2 和y 0 u n g 不等式得，对任 意常数 0 ， ；( | | 目m 船十f 归n 峨) 十蛞o n ( 如( r ) ，钆( f ) ) d r 一蛞j l 靠( r ) 脆d r = 一后( 珊，巩t ) + 善b 耳舞日n ( f s 一矗( 蚤如x 鬻靠d s ) 打+ j ； ( 善如n 譬如( t ) d s ) 打 一蛞( 写如舞d s ) d 7 一 j 苦f i 哺：i i 口胁d 1 - + g f 小t 1 2 1 1 9 h l i h 十e h 矗卜。( r ) i 。i 旧h ( 丁) l i h 幽一+ g h 矗i u ( r ) 1 。i i 巩0 ) i l h d r + g 后l ( r ) l 。i i 以( r ) d 丁 茎j 后( 1 i 吼。惦+ i i 目m 惦) d 丁+ g 2 蛞( i 毗( 丁) i 。+ i u ( 下) i 。) 2 d r + 芋( i 训。+ 蛞l u ( 下) l z d r ) 2 + lj 靠1 1 2 + g 厝l i 既峨d 7 - f 2 3 1 5 ) 又ij ； ( 靠( r ) ，巩) d r | 启i i 巩( 丁) 忆l i 巩( t ) 队d r 曼s i 归一( t ) 瞻+ 丢詹i l 如( r ) 怩d 丁， 叩“( t ) i l o = j | u “一h “此| | 。sc 2 l l “雌1 1 2 ( 2 31 6 ) 1 2 于是，适当的选取，我们有 口胁幅+ f | 靠f 隍c 2 后( f u “( r ) f ；+ ( 1 m p ) f 2 + f “一) i 。) 2 ) 打+ e 2 ( 阻 z + 名f u p ) f 2 打) 2 + 矗( 慨c 幅+ 慨d 丁， ( 2 3 1 7 ) 利用g - o 礼叫o f f 不等式可得 i i 以。| | 。+ i i 如| | n g ( 蛞( 1 钍“( 7 - ) i ；+ ( 1 u 。( 1 - ) i 。+ i 乱( 下) l 。) 2 ) d 7 - ) + c ( i “i 。+ 名i u ( 丁一) i z d 7 ) f 2 3 1 8 ) 由( 2 ，3 1 1 ) ，( 2 3 1 2 ) 及三角不等式得 0 钍( t ) 一u ( ) i i + i | u c ( 亡) 一“舭( t ) i l o e ( 阻f 。+ f 可f 。+ f 椰 2 + 名阻p ) i 2 打+ 名f 毗( 1 ) f 2 打+ 名f u 雠( _ r ) f 2 打+ ( 露( f 乱“( r ) f ； + ( 胁( r ) 1 2 + l ( 下) l 。) 2 ) d 丁) ) 定理2 3 2 在定理2 3 1 的假设下，若 日3 ( q ) ，u 口2 ( q ) ，则在各向异性网格下 成立 i i u t ( f ) 一“帆( t ) i i + i i 钍托( t ) 一u “( ) i l o sa ( j uj 2 + ”j 3 + j j 2 + j ”。( o ) j 2 + 后j ( r ) j 2 d 7 一)( 2 3 1 9 ) + c ( j ；( 1 “l ；+ 1 u 。1 2 + l u l l ) d 丁) ) + e ( 詹1 “川i ；+ ( i u “1 2 + i u 。l 。) 2 d 7 - ) 击 证令札一“ c = 毗一h 饥+ h 饥一札mj 仉+ 如t ，其中巩 注意到如( 0 ) = p 雕( o ) = o ，由引理2 3 3 i j 吼( t ) i l = i l 毗一n h 毗| i hsc l “t 1 2 茎g ( i “( o ) 1 2 + 詹l u “( 丁) 1 2 d r ) ， ( 2 3 2 0 ) i i 啦t ( t ) i | o = l i u 托一n “i i osc 2 | “1 2 ( 2 3 2 1 ) 下面估计l i 以t ( t ) 和1 l 口础( 酬o 先对( 2 3 1 3 ) 两端关于t 求导，可以得到 ( “，纠+ a 棚纠+ 州砂) 一( t + 莓z 鬻世d s + 丢z 。嘉妒崛( 2 3 2 2 ) 1 3 在上式中取妒= 口胁，则 j 岳( i l 口眦髂+ o h ( 以t ，靠t ) + 2 n ( 口以) ) 一n ( 以t ( t ) ，口船( t ) ) = 也溉t ) + 暑鬻w 8 + 丢k 嚣州8 觚2 3 1 = 一( t ，靠t t ) + 袅( 善厶耳鬻以t d s ) 一蚤如鬻日一t d s + 击( 丢k 嘉目胁d s ) 、 一器k 鬻9 胁d s 对上式两边从0 到t 积分并注意到以t ( o ) = o ，利用引理2 3 2 的注2 3 1 和、b u n g 不等 式，对任意常数 o ，有 ；( i i 巩“惦+ l 怫t 慵) + 0 ( ，民( t ) ) 一名i i 钆。( 7 - ) 峨d 丁 = 一后( 仇口胁) 打+ 磊厶耳杀口 t d s 一丘( 暑如k 警口觚d s ) 打+ ；厶盯舞日m d s 一詹( 暑厶k 鬻目舭d s ) d 丁+ j0 日础( o ) 旧 s 岳i l 啦托0 l i 靠“l o 打+ g l u t l 2 i | 如t i i + g 詹i u 托( 7 - ) 1 2 i l 巩c ( 7 一) l i d 7 - + g 危i 训2 i i 目肌( t ) | i + g h j 苫j 地( 下) j 。1 1 p m f ) 1 j h d 7 - + ；| 1 日h “( o ) 0 3 sj ； ( | | 卵m 啼+ j 1 1 日n “1 1 3 ) d 7 一+ 与芋( i 地 z + i “l z ) 2 + 号 矗“( r ) l 。+ l “e ( r ) l 。) 2 d r + 届1 1 日胁1 1 2 d 7 - + s i i 口胁1 1 2 + j l i 钆“( o ) 惦 f 2 3 2 4 1 适当选取，可得 j 口 “旧+ i l 口耻眩g 詹( | i 讯“旧+ g 2 ( 1 札( 下) l 。+ l m ( 下) l 。) 2 ) d 丁+ a 2 ( 1 地l ；+ i “| ；) + aj ； ( i “幅+ | 日胁峨) d r + cj l 靠1 1 2 + g i l p “( o ) 旧 ( 2 3 2 5 ) 另一方面，在( 2 3 1 3 ) 中取妒= 日抛( o ) ，t = o ，注意到巩( o ) = 日胁( o ) = o ，并利用y o u n g 不等式得 慨“( o )