（机械设计及理论专业论文）基于序单开链法的并联机器人结构分析程序化研究.pdf

摘要 摘要 本文基于序单开链机构结构理论，引入邻接矩阵来描述空间机器人机构的 拓扑结构，并研究其结构自动分解的相关程序实现原理和算法。 主要研究内容：( 1 ) 对空间机构结构的数学描述方法进行了探讨，提出了一种 新的空间机构邻接矩阵表达式及自动提取拓扑特征信息的算法。该表达式能够 完整得到空间机构的全部信息，并便于计算机的存储、识别和运算。( 2 ) 提出 了适合程序实现的计算机构自由度和方位特征方程的算法，列出了空间机构常 用运动链的方位特征方程表，便于以后结构分析时查找调用；( 3 ) 基于机构的 耦合度算法进行了空间机构结构自动分解程序化实现的研究。提出了机构结构 自动分解的算法及具体步骤。运用该算法对几种常见空间机构进行了结构分解， 并给出了相应最佳分解路线，为机构的运动学和动力学分析建模奠定了基础。 本文的研究意义是实现计算机自动分析机器人机构的拓扑特征，确定最佳分 解路线为机器人结构分析与综合的系统软件开发打下基础，促进序单开链的机构 结构理论的推广和应用。 关键词：并联机器人；拓扑结构；序单开链；方位特征方程 a b s t r a c t a b s t r a c t b a s e do nn e ws t r u c t u r et h e o r yo ft h es e q u e n c es i n g l e - o p e n - c h a i nm o d u l e s ，t h e t h e s i sd r a w si n t ot h ea d j a c e n c ym a t r i xo ft h ep l a n a rt o p o l o g yt od e s c r i b et h e t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fp a r a l l e lm a n i p u l a t o r sa n dt os t u d yi t sa s s o c i a t e dp r i n c i p l ea n d a l g o r i t h m so fa u t o m a t i cs t r u c t u r ed e c o m p o s i t i o n t h em a i nc o n t e n t si n c l u d ei nf o l l o w s ：( 1 ) d i s c u s s e dm a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o n m e t h o d so ft h es t r u c t u r eo fs p a c em e c h a n i s m ，an e wa d j a c e n c ym a t r i xr e p r e s e n t a t i o n o ft h es p a c em e c h a n i s ma n dt h ea u t o m a t i ce x t r a c t i o na l g o r i t h mo ft o p o l o g i c a l f e a t u r e si n f o r m a t i o na r ep u tf o r w a r d t h ee x p r e s s i o nm a yi n c l u d ea l lt h ei n f o r m a t i o n o fs p a c em e c h a n i s mc o m p l e t e l y , w h i c hf a c i l i t a t ec o m p u t e rs t o r a g e ，i d e n t i f i c a t i o na n d o p e r a t i o n ( 2 ) p r o p o s e dt h es u i t a b l ep r o g r a mi m p l e m e n t a t i o no n0c a l c u l a t i n gd e g r e e o ff r e e d o ma n dt h ea l g o r i t h mo fp o s i t i o na n do r i e n t a t i o nc h a r a c t e r i s t i c ( p o c ) ，a n d l i s t e dt h et a b l eo fp o co fk i n e m a t i cl i n ku s e di ns p a c em e c h a n i s m ，w h i c ha r ee a s yt o s e a r c hf o r t h ec a l lo fs t r u c t u r a la n a l y s i s ；( 3 ) s t u d i e dt h es t r u c t u r ed e c o m p o s i t i o n p r o g r a m m i n go fs p a c em e c h a n i s mb a s e do nt h ec o u p l i n gd e g r e e ( - k - a l g o r i t h m s ) i t p r o p o s e dt h ei n s t i t u t i o n a ls t r u c t u r e sa u t o m a t i cd e c o m p o s i t i o na l g o r i t h ma n ds p e c i f i c s t e p s ，w h i c ha p p l yo nt h ed e c o m p o s i t i o no fs e v e r a lc o m m o ns t r u c t u r a lo fs p a c e m e c h a n i s m , l a yt h ef o u n d a t i o nf o r t h ea n a l y s i so f k i n e m a t i c sa n dd y n a m i c sm o d e l i n g t h ep u r p o s eo ft h i sa r t i c l ei st oa c h i e v er a p i dc o m p u t i n ga n a l y s i so ft h e t o p o l o g i c a l c h a r a c t e r i s t i c so ft h er o b o t b o d y , d e t e r m i n e t h eb e s ts o l u t i o n d e c o m p o s i t i o nr o u t e s t r u c t u r a la n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fr o b o ts y s t e m sl a y n l e f o u n d a t i o nf o rs o f t w a r ed e v e l o p m e n t , a n dp r o m o t ei n s t i t u t i o n a lo r d e rs t r u c t u r eo f s i n g l eo p e nc h a i n se x t e n s i o na n da p p l i c a t i o no f t h et h e o r y k e yw o r d s ：p a r a l l e lr o b o t ；t o p o l o g i c a ls t r u c t u r e ；s i n g l eo p e n e dc h a i n s ( s o c ) ； p o s i t i o na n do r i e n t a t i o nc h a r a c t e r i s t i c ( p o e ) i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 机器人技术的研究和应用形成了一门新的综合性的工程技术学科一机器 人学。机器人技术是2 0 世纪最具代表性的高技术之一。这是一门综合了机械学、 人类学、生物学、控制理论与控制工程学、计算机科学与工程、人工智能、电 子工程学和信息科学等学科领域的交叉学科。 最初的机器人从只能进行一些简单的喷漆、焊接和抓取等操作，随着对机 器人技术的深入研究，如今的高级机器人能够进行语言交流、行走和简单思维 等复杂行为。机器人的出现和机器人学的建立与发展使工业生产发生了巨大的 变化，广泛并深远地影响着人类的生活。 机器人机构学是机器人学的基础和关键，机器人机构学具有多参量、非线性、 强耦合等特性，它主要包括：机器人结构学( 结构分析与综合) 、机器人运动学、 动力学这三个基本问题，其中拓扑结构学( 尤其是机器人构型综合) 最具挑战 性和原始创新意义。机器人结构学主要包括三个核心问题一拓扑结构的数学描 述、结构分解、构型综合及其方案优选。 1 2 并联机器人研究现状 1 2 1 并联机器人的特点与应用 并联机器人的主体是并联机构，是一种以并联方式来驱动的闭环机构。并 联机器人具有定平台和动平台，且定平台和动平台被至少两个独立的运动支链 相连接，整个机构具有两个或两个以上自由度。 目前，并联机器人机构亦简称为并联机构。和串联机构相比较，并联机构 具有以下特点【1 。5 】： 1 ) 动平台由多支路支承，刚度大、结构稳定性好； 2 ) 在相同自重与体积下承载能力高； 3 ) 无累积误差，精度较高； 4 ) 驱动装置可置于定平台上或接近定平台的位置，这样运动部分重量轻， 第1 章绪论 动态响应好； 5 ) 工作空间较小； 6 ) 由于系统的非线性，强耦合，使其机构学研究相对复杂。 由于并联机器人的以上特点，它在许多领域都得到了应用。 飞行模拟器r 1 6 把并联机器人作为飞行模拟器是并联机器人较早的应用，在 并联机器人领域，“s t e w a r t - g o u g h 平台机构”几乎就是“飞行模拟器”的代称，德 国d a i m l e r - b e n z 公司制造的d a i m l e r - b e n z 超大型6 d o fs t e w a r t 型多媒体全真动 态驾驶模拟器，在多媒体全真驾驶模拟器方面主导了世界先进水平的潮流。 虚拟轴数控机床1 8 - 9 虚拟轴6 自由度数控机床是并联机器人在工业上的一 个很突出的重要应用，与传统的数控机床相比，并联式加工中心结构简单，传 动链短，刚度大，质量轻，切削效率高，成本低，特别是容易实现六轴联动， 因而能加工复杂的三维曲面。g i d d l i n g s & l e w i s 公司在1 9 9 4 年美国芝加哥 i m t s 9 4 博览会上推出了名为v a r i a x 虚拟轴机床，引起广泛关注，被认为是“彻 底改变了1 0 0 多年来机床的结构配置和运动学原理，并将成为2 1 世纪新一代机 床的范例”。并联机床的研究在国内外已成为研究热点。很多公司和院校都在研 究虚拟轴数控机床，如美国的i n g e r s o l l 铣床公司、英国的g e o d e t i c 公司、意大 利的c o m a u 机床公司和瑞典的n e o s 机器人公司以及国内的清华大学、天津 大学、哈尔滨工业大学等。 微型机器人【l o - 2 0 】在精密工程领域，如精密加工、医学和微电子等，对多自 由度的精微运动的要求越来越多，这促使了另一个新的应用领域微型机器 人的发展。早在1 9 6 2 年，e l l i s 就建议采用闭链结构而不是开链的压电陶瓷微型 机器人。现在，为了适应不同的应用领域，如生物工程和微创外科手术等，许 多并联结构的微型机器人样机相继诞生。国内，在国家自然科学基金的资助下， 哈尔滨工业大学用6 自由度的并联机构研制成了压电陶瓷驱动的6 自由度微型 机器人机构；北京航空航天大学研制出了面向生物工程的微操作机器人系统， 目标界定在“面向生物工程”上，如细胞操作、基因转移、染色体切割等。 六维力与力矩传感器【2 i 】在六维力传感器研究中，力敏感元件的结构设计是 力传感器的关键核心问题，因为力敏感元件的结构决定力传感器的性能优劣。 国内外有许多学者把并联机器人机构的思想引用到六维力传感器的力敏感元件 结构设计上来，如k e r r 和n g u y e n 以及国内北大的陈滨、华中理工大学的熊有 伦分别研究了s t e w a r t 平台结构六维力传感器的设计。河北工业大学的高峰研制 了六自由度并联解耦结构微动机器人作为力传感器。 2 第1 章绪论 装配作业瞄】并联机器人以其特有的刚度大、精度高、速度快等优点被广泛 应用于工业装配作业。例如瑞士洛桑工学院c l a v e l 于1 9 8 8 开发的d e t a l 机器人。 太空作业瞄】随着科学技术的发展，人们将目光瞄准遥远的太空。并联机器 人以其特有的刚度大、结构稳定、精度高等优点受到了太空研究所的青睐。多 伦多大学太空研究所( u t i a s ) 于1 9 9 1 开发了并联机构桁架臂( t r u s s a r m ) 。 从以上方面可以看出，并联机器人在2 1 世纪将有着广阔的应用天地，将为 我国医疗、生物工程、精密加工、太空作业等学科的技术研究提供一个强大的 技术平台，是我国在这些领域的研究赶超世界先进水平的一个切入点和必经之 路。 1 2 2 并联机器人机构学理论研究 并联机器人机构学问题属于空间多自由度多环机构学理论的新分支，这个 分支是随着对并联机器人的研究而发展起来的。由于空间并联机构较复杂和具 有很大的特殊性，不建立并联机构自己的理论体系就不可能深刻认识它的特殊 机构学问题，所以研究并联机器人机构学理论对掌握和研制新的并联机器人有 着特殊重要的意义。此外并联机器人机构学的重要性还在于其代表着现代机构 学理论的发展方向，现代机构学最重要任务是发明新机构，并为发明机构提供 系统的分析理论与有效的评价指标。这种结构全新、复杂的并联机器人是不可 能在对其机构学理论无深刻认识下单靠仿制就能正确设计出来的。为减少新机 构创新的盲目性，开拓以功能为导向，实现特定性能的创造新机构的途径，发 展专一、高效、高选择性的机构创新设计方法，并联机构学应提供系统的理论 与有效的方法。为此，并联机构学的若干基本理论问题有待深入、系统研究。 并联机构学的基本内容可分为三大主要组成部分，即并联机构结构学、运 动学和动力学。并联机构学所研究的基本问题又为两大类，即机构分析与机构 综合。机构分析着重机构结构学、运动学及动力学特性的研究，揭示机构结构 组成、运动学与动力学规律及其相互联系，用于现有并联机构的性能分析与改 进，但更重要的是为并联机构综合提供理论依据。机构综合着重创造性构思、 发明、创新设计新机构的理论与方法的研究。 1 3 空间机器人结构分析的研究现状与发展趋势 十九世纪初，机构学从一般力学分离出来，开始成为- f - j 独立的学科。在 3 第1 章绪论 其发展过程中，先后形成传统机构学的三大学派：十九世纪下半叶的德国学派； 二十世纪上半叶的前苏联学派；二十世纪下半叶的美国学派。近年来，我国学 者杨廷力教授及其周围学者提出了基于序单开链的机构结构新理论瞄d 4 j ，该理 论是以单开链( s o c ) 为基本单元并强调其有序性，充分揭示单开链和机构系统 整体特性，从而为机构系统的结构学、运动学及动力学分析与综合提供了统一 的数学模型。这标志着我国原创的现代机构学新学派正在形成。 1 3 1 机器人机构结构分析方法 由于各大学派认为组成机构的拓扑结构单元不同，因此基于各大学派的机 构结构分解形式各不相同，具体如下： 一、基于基本运动链( b k c ) 单元的机构结构分解( 前苏联学派) 该学派认为：任一活动度为厂的运动链( 愆) 可视为由厂个主动副和活动度 为零的基本运动链( 引配) 组成，即 k c = 朋o b k c j ( 1 1 ) 式中，愆活动度为厂的运动链；彤 一个主动副；傩c 活动 度f = 0 的基本运动链。基本运动链( 简称b k c ) 是活动度为0 ，且去掉一个或 若干个构件后，其活动度总大于的最小闭链单元。因此，任意一个运动链( 愆) 可分解为厂个主动副和若干各基本运动链，图1 1 为基于该结构分解方法的实例。 o b k c lb k c 2 图1 1 基于基本运动链( b k c ) 单元的机构结构分解实例 4 第1 章绪论 二、基于杆、副单元的机构结构分解( 德国学派) 【4 2 删 该学派将基本运动链( b k c ) 分解为若干个杆( l i n k ) - - 昌l j ( j o i n t ) 单元， b k c = l i n k j ( 3 j oi n t 基于该学派的分解实例如图1 2 所示。 即 ( 1 2 ) 届二 l i n k 4 图1 2 基于杆、副单元的机构结构分解实例 三、基于回路单元的机构结构分解( 美国学派) 【4 5 蛔 该学派将基本运动链( b k c ) 分解为若干个回路( l o o p ) 单元( 或树( t r e e ) 与连 支( c h o r d ) ，即 b k c = l o o t , f = t r e e ( 3 c h o r d f ( 1 3 ) 基于该学派的分解实例如图1 3 所示。 b k c l o o p ll o o p 2 图1 3 基于回路单兀的机构结构分解实例 四、基于序单开链的机构结构分解( 中国学派) 该学派认为：基本运动链( 引阳) 可视为由 ，个单开链( 如c ) 依次联接而 成。即，第1 个s o c l 的首尾构件合并为一个构件，形成第1 个基本回路；第2 个s o c 2 的两端构件联接在第1 个基本回路上，形成第2 基本个回路；第， 个s o g 的两端构件联接在已有的妒1 ) 个基本回路上，形成第j 个基本回路； 直到第1 ，个s o c 形成第1 ，个基本回路。记作： j l s k c l o ，y ，r 】= s o c ( a j ) ( 1 4 ) i l 结合式( 1 1 ) 、( 1 4 ) 知，任一复杂的运动链( 解) 在单开链层次上的结构 5 第1 章绪论 分解可表示为： k c l ，v ，叫= 以力o 舳c ( 钙) + s d c ( 。) + 如c ( 今) ( 1 5 ) 式中，一8 愆的第，个s o c 的约束度( 详细定义见第2 章) 。 注意到，对于某一复杂的运动链( 愆) 将会存在多条不同的结构分解路线， 而不同的结构分解路线会直接导致运动分析的难易程度不同，因此必须选择一 条合适的分解路线。文献【2 5 给出了寻找最佳分解路线的算法，即耦合度誓一算 法( 其基本思想见第4 章) 。 根据文献 2 5 】提出的耦合度r 一算法，如图1 4 所示的三回路并联机器人机 构可以被依次分解为如下三个有序的单开链( 舳c ) 单元：即第1 个单开链( 阳c ) 单元s o q 一墨( 上罡) r 3 ( 上p , ) r 5 一 ，第2 个单开链( s o c ) 单元 s o c 2 - r 6 上r 7 一u 8 一岛一s l o 一 和第3 个单开链单 s o c 3 - s l l 只2 一u 1 3 一 。 缓 u u 炙。忒 一 舳c -溉册 图1 4 基于序单开链单元的结构分解实例 1 3 2 平面机构结构分析的自动生成方法 在机构学中引入拓扑图及其矩阵表示【3 5 矧，为机构结构的研究带来了极大的 方便。 文献 2 5 ，2 6 介绍了平面机构结构分析的自动生成方法，包括机构结构分解路 线的自动生成，以结构分解路线为基础的基本运动链判定、活动度类型判定、 消极子链判定和主动副存在准则以及运动链的同构判定。 文献【3 7 ，3 8 】基于提出的运动链的新的并且易于计算机自动生成的描述方式， 即合成度序列和规范邻接矩阵，利用v c h 6 0 面向对象的程序设计方法，开发 出了运动链拓扑图的绘图及其特征描述自动生成软件。 6 第1 章绪论 1 3 3 空间机构的拓扑结构描述 对于平面运动链的拓扑结构可以利用拓扑图进行描述，这样运动链的型综 合问题就可以转化为研究一定数量的顶点与边能连接为多少种不同构图的问 题。但由于空间并联机器人机构是一种结构很特殊的空间多环多自由度强耦合 机构，其结构比较复杂，因此基于常规拓扑图论的描述比较困难。文献 3 9 ，4 0 】 对并联机器人机构的结构描述方法进行了探讨，给出了矩阵表示和较完整的字 符串描述。字符串描述不仅对构成机器人机构的构件、运动副进行了描述，而 且还描述了运动副轴线方向之间的位置关系及上下平台的结构和平台与支链的 连接关系。 文献【4 1 】在研究并联机构拓扑结构的基础上，提出一种新的并联构型字符 串描述方法，对并联机构的支链结构、平台外形、链接方式等进行抽象描述， 为并联机床构型设计数字化过程中的并联机构构型的选择、建模、综合等提 供并联机构拓扑结构完备、简洁、直观的描述字符串，从而为相关的应用程序 间以及人机交互提供数据交互的标准。 1 3 4 机器人机构拓扑结构学发展趋势 机构( 结构一功能) 之间映射关系的研究 机构运动学特性的研究 机构运动学性能指标与构件尺度域之间规律的研究 机构动力学特性的研究 机构动力学性能指标与构件尺度域之间规律的研究 变拓扑，变运动学与变动力学参数的设计理论与方法的研究 机构拓扑，运动学与动力学参数对控制与驱动性能影响的研究 机构拓扑学，运动学与动力学优化设计理论与方法的研究 机构原始创新与集成创新的一体化设计理论与方法的研究 计算机辅助机构创新与智能化设计的实用软件的研究 1 4 本课题来源、意义及的主要研究内容 1 4 1 课题来源、意义 本课题来源为：国家自然科学基金课题( 5 0 8 7 5 2 6 1 ) “基于序单开链的机器 7 第1 章绪论 人机构运动学和动力学新理论及其应用与研究”。 近年来，我国学者杨廷力教授提出了序单开链的机构结构新理论，该理论 与传统机构学三大学派相比具有突出特点与优势，并被国内外同行所接受。这 标志着我国原创的现代机构学新学派正在形成，现急需进一步完善和推广。和 国际上其他学派相比，我国原创的现代机构学新学派尚缺乏大型软件的支持， 这直接阻碍了该学派理论的推广和应用。这正是本课题的主攻关键和研究意义 之所在。 1 4 2 本论文主要研究内容 根据当前空间机构结构学研究发展的现状，为实现空间机构拓扑结构计算 机辅助分析奠定基础。本论文针对空间机构结构分析程序化实现遇到的瓶颈问 题( 如：空间机构的拓扑结构矩阵描述和字符描述、机构结构分解路线的自动化 生成等1 。提出一种新的空间机构邻接矩阵表达式对机构进行描述，便于计算机 的识别、存储和运算，并提出了基于序单开链法机构活动度及方位特征方程的 程序化算法。具体研究内容如下： 第一章绪论 介绍了本项研究的课题来源、产生背景、现状及其意义，并简述了本论文 的主要研究内容。 第二章机器人机构拓扑结构的数学表达 简单介绍了拓扑结构学的定义和主要内容，提出了并联机构拓扑结构的数 学表达方法，并在这种表达方法基础上提出了获得机构拓扑结构支链及回路的 方法。 第三章机器人方位特征集及自由度的程序化算法研究 简单介绍了机构方位特征集的相关理论，进行了计算机辅助计算空间机构 方位特征方程和自由度的研究，并举例说明。 第四章最佳结构分解路线的确定 介绍了通路单元与通路约束度、耦合度等概念及相应算法。提出了空间机 构的计算机辅助路线分解算法，并列出几种常见空间机构的分解路线。 第五章结论与展望 对全文归纳、总结，并提出需进一步研究的问题。 图1 5 介绍了本文并联机构结构分析的流程图。 8 第1 章绪论 机构拓扑图一 i l 邻接矩阵表达式驰一 巨型耍囹匪堕亘圈 | d o f 公式一 k 算法一 图1 5 计算机辅助结构分析流程 9 l 习 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 2 1 拓扑结构的定义、范畴 2 1 1 拓扑结构学的基本任务 拓扑结构学的基本任务是： 1 拓扑结构的数学描述虽然图论( g r a p ht h e o r y ) 中的基本回路( b a s i cl o o p ) 、 树( t r e e ) 等概念已被引入描述机构系统的拓扑结构，但主要应用于平面机构。 对于空间机构( 尤其是并联机器人机构) 而言，由于支链类型众多而且运动副 轴线的方位配置复杂( 例如：平行、垂直、共线、共面、共点等) ，因此传统图论 描述方法显得十分困难甚至无能为力。 2 结构分析，将复杂机构系统划分为若干结构单元，有利于运动学、动力学 的数学模型建立，但不同的分解方法及划分单元会导致运动学( 动力学) 方程 复杂程度截然不同。基于不同划分单元和结构组成原理，当前主要有如下不同 的机构结构分解方法：基于杆、副单元的结构组成原理的结构分解方法；基于回 路( 树与连支) 单元的结构组成原理的结构分解方法；基于序单开链单元的结构组 成原理的结构分解方法。在结构分解之后，确定机构的结构特性。 3 构型综合及其方案优选。包括对各类机构进行结构优化和创造、发明新的 机构类型。机器人机构的构型综合及其优选是机构学领域最具挑战性的问题。 根据机构运动学的性质，可分为平面机构和空间机构。平面机构的拓扑结构综 合已经有了比较完善的方法体系，而空间机构的构型综合及优选由于其非线性、 强耦合问题在相当长的时间里仍难以完全得到解决。 2 1 2 机构拓扑结构的定义及要素 拓扑结构是根据拓扑关系进行空间数据的组织方式。机构拓扑结构包括三 要素：构件与运动副类型与数目，构件对运动副轴线的约束类型( 尺度约束类 型) ，以及它们的连接关系。尺度约束类型是指运动副轴线之间相对方位的特定 配置：平行、重合、共点、共面( 含平行于同一平面) 与垂直以及其组合。 2 1 3 机构拓扑结构的基本性质 机构拓扑结构的基本性质包括：1 对连续运动过程( 不包括奇异位置) ，机构的 拓扑结构具有不变性。2 尺度约束类型保持不变条件下，尺度参数的取值可有任 1 0 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 意性。3 几乎所有的实用机构是由尺度约束基本类型组成。 2 1 4 尺度约束类型 尺度约束类型 4 7 1 是为了描述构件尺度( 杆长、轴长、扭角) 对运动副轴线的几 何约束关系类型而引入的概念。它有6 种基本单元： ( 1 ) 两相邻运动副的轴线重合，如图2 ( a ) 所示，记作s o c 一r h - 。类似地， 还有s o c 一r r - ，s o c 一h h 一 等。 ( 2 ) 若干相邻r 副( h 副) 的轴线相互平行，如图2 ( b ) 所示，记作 s o c 一r r r 一 。类似地，还有s o ( x - h h 纠，s o c 一r h r 一) 丝 专f o ( 3 ) 若干相邻r 副的轴线交于同一点，如图2 ( c ) 所示，记作 ，l _ 、 s o c 一r r r 一 。 ( 4 ) 两相邻运动副的轴线相互垂直，如图2 ( d ) 所示，记作 s o c - r 上e - 。类似地，还有s o c 一r 上r - ，s o c - n 上尸一) 等。 ( 5 ) 若干移动副平行于同一平面，如图2 ( e ) 所示，记作 s o c - o ( e ，p ，p 一) 。 ( 6 ) 不属于前5 种的其它类型( 运动副轴线之间为任意方位) ，如图2 ( 0 所示， 记作s o c - r r - 。类似地，还有舳c 胡一r - ) ，s o c 一日一日一 等。 ( a )( c ) 弘氐鞭 ( d )( e ) 图2 1 构件尺度约束的六种基本类型 ( d 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 2 2 并联机构拓扑结构的表达 2 2 1 平面机构拓扑结构的表达 用结构简图表示运动链的结构组成是较为直观和简单的，但难以建立数学运 算关系。随着机构学研究的不断深入在机构结构组成理论研究中引入拓扑图及其 矩阵表示，在拓扑图中一般用顶点表示构件，用边表示运动副，运动链的拓扑图 分为四种：1 ，无向拓扑图；2 ，有向拓扑图；3 ，无向双色拓扑图；4 ，有向双色拓扑图。 拓扑图的特点有： ( 1 ) 顶点的度( 即与该点联接的边数) 为该顶点相应构件上的运动副数目 ( 2 ) 开式运动链的拓扑图定有悬挂点( 只与一条边联接的顶点) 。 ( 3 ) 每一条边定与两个顶点关联。 ( 4 ) 拓扑图与运动链结构之间为一一对应关系，故可用拓扑图以及其数学 运算进行机构结构组成理论研究。 ( 5 ) 运动链拓扑图不涉及构件尺度关系。 例如图2 2 中机构的运动链和无向拓扑图分别为图2 3 和图2 4 3 0 图2 2 平面多回路机构图2 3 多回路闭链图2 4 多回路闭链的无向拓扑图 2 2 2 拓扑图的矩阵表示 拓扑图的矩阵表示有关联矩阵和邻接矩阵。 1 关联矩阵：对没有自环( 一条边的起止点相同时称为自环) 的拓扑图g ( v ，e ) ( v 、e 分别为图g 中点与边的集合) ，其关联矩阵为 a = 【a v 一廊 ( 2 1 ) f 1 ，当第i 点与j 边相关联时 一1o ，当第i 点与j 边不关联时 式中n - - - - 顶点数，即构件数目： m 一一边数，即运动副数目 1 2 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 关联矩阵的性质： ( 1 ) 矩阵a 的行表示顶点与各边的关联关系。行的非零元素的数目为该顶 点的度，即该顶点相应构件的运动副数目。 ( 2 ) 矩阵a 的每列有两个非零元素。这是因为每条边必与两个顶点相关联， 即一个运动副应由两个构件组成。 ( 3 ) 若某行只有一个非零元素，则该行顶点相应于悬挂构件。 ( 4 ) 矩阵a 的两行或两列置换相当于同一拓扑图中点和边的重新编号。 ( 5 ) 矩阵a 的秩为( n - i ) ，划去任一行则得到( n - 1 ) 行的线性无关的基底 矩阵。划去的那行对应的顶点为参考点，它对应于运动链的相对固定件或机构 的机架。 由上述性质可知关联矩阵可以描述拓扑图的全部特征。 2 邻接矩阵：对没有平行边( 一对顶点之间有两条或更多边时，它们称为 平行边) 的拓扑图g ( v ，e ) ，其邻接矩阵为 d = 以】删( 2 2 ) 斗小，fl ，当点i 与j 之间有一条直接连接时 氏中 嘞2 1o ，当点i 与j 之间没有边直接连接时 邻接矩阵的性质： ( 1 ) 当且仅当拓扑图没有自环时 吒】的主对角元素吒皆为零，且 吒】为实 对称矩阵。 ( 2 ) 矩阵d 的行( 或列) 的非零元素数目为该行( 或列) 对应顶点的度，即对应 构件的运动副数目 ( 3 ) 若某行( 列) 只有一个非零元素则该行( 列) 相应顶点对应悬挂构件。 ( 4 ) 两行( 且对应两列) 的置换相当于点的重新编号，但应注意行与列必 须以同样的顺序排列。 ( 5 ) 如果从拓扑图点出发，经过k 条边到达点0 ，则称u 到0 存在“长 度”为k 的通路。这时( 邻接矩阵d 的k 次幂) 的元素秽为非零元素，其值 为由经过k 步到达v ，的通路数目若拶= o ，表示不存在经过k 步到达的通路 该性质用于确定图中任意两点间的最短通路 由上述性质可知，邻接矩阵亦可描述拓扑图的全部特征。 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 例：图2 2 的关联矩阵和邻接矩阵分别为： 关联矩阵： 邻接矩阵 a = 口 o l 2 d - - - 3 4 5 bc o o 1o l1 o1 0 o o o o12 1 c ilo 1o1 o1o o o l 1oo 1oo de o1 o o o o 1o 1l o o fg o1 o 0 o 0 10 o 0 11 45 11 00 00 l1 00 o0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 2 3 空间机构拓扑结构的数学表达 空间机构拓扑结构的数学表达是机构学研究的重要内容，也是空间机构运 动学、动力学计算机建模与分析的基础。目前的空间机构拓扑结构的表达方法 都不完整，难点在于如何正确地表示机构各构件和运动副的空间位置关系。理 想的数学表达应当包含空间机构的信息有： ( 1 ) 机构中构件与运动副的数目和类型。运动副约束了所联接两构件之间 的部分相对运动，相应于未被约束的相对运动，引入了f ( 自由度) 个变量 ( 2 ) 各运动副轴线的配置关系( 即尺度约束类型) 。构件约束了同一构件 上运动副轴线之间的相对位置与方向，且只考虑轴线之间的相互平行、重合、垂 直、共点与平行于同一平面及其组合等尺度类型，简称为点对边约束的尺度约束 类型。 1 4 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 ( 3 ) 结构单元之间的联接关系。即构件通过何运动副与构件联接 为了更好地表示空间机构的拓扑结构，本文以平面机构拓扑结构表达方法为 基础，本文提出了一种新的空间机构拓扑结构表达方法。该表达方法是先画出空 间机构的拓扑图，空间机构的拓扑图也是平面拓扑图，因此可以用矩阵来表示空 间机构的拓扑图，这里选用邻接矩阵来表示。为了表示各构件和运动副的空间位 置关系，在矩阵的后面用附加列表表示出相应运动副的位置关系。 定义空间机构邻接矩阵为 = 办k i m i 删， ( 2 5 ) 热嘞= 暑脯絮删接 m 是一个n 行l 列的列表，每一行由字符组成，表示矩阵同一行中各运 动副的尺度约束类型。 例2 1 图2 5 的空间机构其拓扑图为图2 6 。 s p 3 s 2 s 1 3 图2 51 t 2 r 空间并联机构图2 6 拓扑图 图2 6 中的数字1 8 对应机构的各个构件，s 表示连接两构件的球副，p 表 示移动副，r 表示转动副。 该机构的邻接矩阵为： 1 5 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 墨2 一互6 墨2 一 岛7 0 坞4 坞4 上如 r 5 上曦 名6 p 5 6 圪 s 一s 强 一岛8 ( 2 6 ) 式( 2 6 ) 中左边的矩阵第一行第二列的字母s 表示构件1 和2 由球副联接，第 一行中s 和p 表示构件1 上有一个球副和一个移动副。在式( 2 6 ) 中右边的附 加列表中s ，一露。表示连接构件1 ，2 的球副和联接构件1 ，6 的移动副的空间位 置关系是任意方位配置。该机构的邻接矩阵是对称矩阵，矩阵的右上半部分或 下半部分的非零元素即是机构的各运动副的数目和类型。例如式中矩阵的右上 半部分有4 个s 元素、3 个p 元素和2 个r 元素。说明该机构共有4 个球副、3 个移动副和2 个转动副。 综上所述这种空间机构的表达方式的特点是： 1 ) 完整的包含了机构的运动副数目和类型。 2 ) 直观的表示了相邻运动副之间的空间配置关系( 即尺度约束类型) 。 3 ) 便于空间机构在计算机中的识别、存储、检索、计算等操作。 2 3 并联机构支链和回路确定 2 3 1 确定并联机构的各条支链 空间机构各条支链的相关信息是机构结构分析的重要研究内容和基础，了 解机构各条支链的运动副数目、类型和尺度约束类型可以确定空间机构的自由 度、机构结构分解路线等机构的重要信息。对空间机构矩阵表达式d 。进行数学 运算，可以方便快捷的提取出各支链的信息并对其进行分析。 平面机构邻接矩阵可以通过矩阵的幂运算确定机构的通路路径【2 5 加】，相应地 1 6 8 0 o o o o 尸s o 7 o o s o o o o s 6 尸o 0 o p o o 尸 5 o 0 0 r 0 尸0 o 4 o o r o r 0 o o 3 0 s o 尺o 0 s o 2 s o s o o 0 o o l 0 s o 0 o 尸o o 1 2 3 4 5 6 7 8 = q 遘 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 空间机构的通路路径也可以用邻接矩阵的幂运算求得，为了方便矩阵运算可以先 将并联机构的矩阵表达式化简为只有0 ，1 元素的矩阵，就是将矩阵中的运动副符 号转换为1 ，其它元素不变。 邻接矩阵的幂运算 定义：邻接矩阵巩刀的k 次幂为一般矩阵乘法，即 【d 】幺刀= 雄】职一 式中，硝为由点一到点v ，之间通过k 条边到达的通路数目，具体通路可有 点与边的重复。 例如将空间机构拓扑图( 图2 6 ) 的邻接矩阵表达式( 式2 6 ) 化简，去除附加列 表，只保留邻接矩阵部分，并将矩阵中非零元素全部变为1 ，化简后的矩阵为如 下的式 d 1 ，该矩阵的l ，2 ，3 ，4 次幂分别为： 45 2 0 o 2 40 03 30 0 4 o 2 2 0 1 7 l23456 78 | 201010 0 0 20l011 1 0 国01 0 0 010201l 101l2 0 0 01 0 lo31 0l0 l0l 2 101010 0 1234567 70 7 06 0 o o7o60 76 701 20 同00 0607076 6070700 o70 701 27 06 060 77 60706 00 1 0 l 0 1 0 0 2 8 6 0 7 0 6 0 0 7 l 2 c j 4 c j 6 7 o o = 2 1 _ j d 8 o 0 0 0 0 1 1 0 7 0 o l 0 0 0 0 1 6 1 0 0 o 1 0 o 1 5 0 0 o 1 0 l o 0 4 0 0 1 0 l 0 0 o 3 0 1 o 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 0 0 o 0 1 0 1 0 0 o 1 0 0 l 2 3 4 5 6 7 8 = 1 i - d r _ _ l 1 2 3 4 5 6 7 8 = 一r d 8 0 2 0 2 o 4 3 o 7 2 o 4 0 2 o o 3 6 4 0固o 4 o 0 4 3 0 4 0 4 o 3 4 o 2 3 0 4 o 2 0 o 2 l 0 3 o 2 o 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 = p j d 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 由c 别2 知，由点3 到3 ，通过两条边到达的通路共3 条： 3 三季三三) c 皆有边重复， 由t 。，3 知，由点3 到6 点，通过三条边到达的通路有3 条i - 2 - 1 - 6 1 c 皆无 5 点，通过4 条边到达的通路有7 条，其中两条为 已知拓扑图2 6 中点3 和6 分别表示并联机构( 图2 5 ) 的动静平台。求得 拓扑图3 和6 之前的通路即是机构动静平台之间的支链。从 d 】3 可知该机构的 支链分别为 3 - 2 - 1 - 6 ) ， 3 - 4 - 5 6 和 3 - 7 - 8 6 。如图： 2 a 6 + c 8 图2 7 拓扑图的各条支链 要得到上述三条支链的矩阵表达式可以对式( 2 6 ) 进行编程运算，从式( 2 6 ) 中搜索出元素下标仅包含1 ，2 ，3 和6 的各项元素并重新生成4 * 4 的子矩阵表 达式。基于m a t l a b 软件的计算平台编写了如下程序，需要手动输入支链上各点 的数字代号。 1 8 3“纠 虬巧巧 一 一知。墙淼 避州g 第2 章并联机器人拓扑结构的表达 s y m ss pr d = 【0s000p 00 ；s0 s00000 ；0s0r00s 0 ；00r0r 000 ；000r0p00 ；p0 0op o 0p ；o0s 0 0 0 0 s ；00000ps0 】 a - 1236 】 d 为初始矩阵，a 为需要挑选出来的行列，都须手动输入 k = - l e n g t h ( a ) ； f o ri - - l ：k n 2 a ( i ) ； f o r j = 1 ：k m 咄( j ) ； d l ( i , j ) = d ( n ，i n ) ； 。 e n d e n d d l 可以得至l j 3 216 支链的矩阵表达式为： 1 2 d l = 1 3 6 12 os sq os 尸o 36 o尸 so oo o o 墨2 一互6 s 2 一篷3 c l 2 3 e 6 在上述程序中分别输入a = 【34 56 】，a = 【3678 】可以得到另外两条支链的矩 阵表达式： 3 4 n = z 5 6 34 o尺 ro or oo 56 oo 尺o qp 尸o 1 9 r 4 如上心 心l 忍6 忍6 s 7 一民 墨7 一品8 q u 7 8 忍6 2 3 2 确定并联机构的回路 并联机构回路的确定和支链的确定方式相同，通过邻接矩阵的幂运算口5 御， 得到拓扑图回路的路径。 例2 - 2 确定图2 7 回路，式 d 】1 的5 和6 次幂分别为 【d 】5 = 【d 】6 = 3 3o o3 3 4 0 0 o3 2 3 20 04 0 03 2 3 20 4 00 03 2 囫0 o 3 3 4 00 0 4 0 o3 2 4 00 3 20 04 0 4 00 04 0 3 30 05 7 0 4 0 3 2 0 03 2 3 2o 04 0 3 2 o 03 2 4 00 3 30 03 3 式【d 】6 第三行第三列方框中的数值表示拓扑图中3 点到3 点的通路有5 7 条。其中没有边重复的有 3 216 - 4 5 3 、 3 - 4 567 - 8 - 3 n 3 216 - 7 - 8 - 3 。将 这三组分别输入上一小节的程序中可以得到这三条回路的矩阵表达式如下： 第一支路和第二支路组成的回路 1 2 3 砬1 = 4 5 6 1 2 3 0s0 s0 s 0s