（应用数学专业论文）一类非线性拟抛物方程的初边值问题.pdf

哈尔滨厂稗大学硕十学位论文 摘要 本文研究了一类非线性拟抛物方程的初边值问题的解的存在性为得到 整体广义解的存在唯一性，对q ( s ) ( 1 i 刀) 做如下假设 ( q ) d r , c ，j 后，使t ( s ) = d r t ( s ) - k s - d r , ( 0 ) 非减， ( ：) 引，4 及口 o ，使4 h 。i t ( s ) i 彳h 8 ， 这里，七，a ，4 及口均为常数，而当一( s ) ( 1 f 行) 有界时，存在唯一整体 强解本文还讨论了解的渐进性质及b l o w u p 对一维情形，考虑了更为广 泛的边界条件，证明了，只要d r 7 ( s ) 下方有界，即可得到整体强解的存在唯 一性，并详细讨论了解的光滑性 关键词：非线性拟抛物方程；g a l e r k i n 方法：整体强解；存在性；爆破 哈尔滨l i 稗人学硕十学位论文 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra c l a s so fn o n l i n e a rp s e u d o p a r a b o l i ce q u a t i o n i n o r d e rt oo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lg e n e r a l i z e d s o l u t i o n ，w es u p p o s et h a t o i ( s ) ( 1 i ，z ) s a t i s f i e s ( q ) o ie c ，3 k ，s u c h t h a tt ( s ) = q ( s ) 一k s q ( o ) i s n o ta d e c r e a s i n g f u n c t i o n ， ( h 2 ) 3 a ，4a n d 口 0 ，s u c h t h a t a is 1 8 i 或( s ) | o ) c h ， 钟i 丽+ 酽+ 虿胪 0 j 。 【卜u 哈尔滨t 程人学硕+ 学位论文 这里口2 = 虿k ，k 是传热系数，q 是热容量像( 卜1 ) 这种形式的方程，即由 未知函数及其偏导数的等式所构成的方程称为偏微分方程 物理学中出现了许多偏微分方程例如，当声波在空气中传播时，如果 “表示压强的小扰动，那么“就满足 雾甜f 窘+ 鲁+ 鲁k 0 ) ( 1 - 2 ) 萨韧1 丽+ 矿+ 虿胪 0 j ) 这里a 是声音在空气中的传播速度又如，当物体处于热稳定状态时( 也就是 说，它的温度处于不随时间而改变的状态) ，那么温度u 就满足方程 。=嘉+害+a矿2_uu一(1-au 0 1 - 3 一) = _ + += ) 瓠2机2a z l 上面介绍的( 卜1 ) 一( 卜3 ) 是三个最典型的偏微分方程，其中的每一个方程 都可以代表许多种物理现象( 卜1 ) 称为热传导方程，因为它来自传热现象； 溶解物在溶液中的密度甜( ，z ，y ，z ) 也同样的满足( 卜1 ) ，所以( 卜1 ) 又称为扩散 方程方程( 1 - 2 ) 不仅可以用来表示声波，也可以用来表示电磁波或其它的 波动，一般称为波动方程方程( 卜3 ) 为拉普拉斯( p s m d e l a p l a c e ) 方 程或称为调和方程，它除了表示热的平衡外，也可以用来表示真空中静止的 电磁场，经典的引力场或流体的某种稳定的流动等等 ( 卜1 ) ，( 卜2 ) 和( 卜3 ) 是物理学中最早出现的偏微分方程，对这三种方程 的求解能够解释许多物理现象，有着重要的应用所以自1 8 世纪以来，这 些方程就成为重要的研究对象很多领域中的数学模型都可以用偏微分方程 来描述，很多重要的物理、力学学科的基本方程本身就是偏微分方程从微 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 积分理论形成后不久，长期以来，人们一直用偏微分方程来描述、解释或预 见各种自然现象，并用于各门科学和工程技术，不断地取得了显著的成效以 应用为目的或以物理、力学等其他科学( 包括数学的其他分支) 中的问题为 背景的偏微分方程( 定性及定量) 研究，不仅是传统应用数学的一个最重要的 内容，而且是当代数学中的一个重要组成部分它是数学理论与实际应用之 间的一座重要的桥梁，研究的领域正在日益扩大 在上世纪3 0 年代以前的近二百年中，紧密地联系着物理学、力学、几 何学等方面的需要，对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方 程、调和方程、波动方程等) 已经有了系统的了解，并以多元微积分学为主 要工具，形成了许多至今仍在广泛使用的有效方法其后，实践中不断提出 新的研究课题，而电子计算机又为偏微分方程的研究成果提供了强有力的实 现手段，因而偏微分方程的应用领域前所未见地扩大了早在1 9 0 0 年，希 尔伯特( h i l b e r t ) 为预见2 0 世纪的数学发展所提出的2 3 个著名问题中，有 好几个都提出了建立系统的偏微分方程理论从5 0 年代开始，又以广义函 数的出现为标志，提供了处理偏微分方程问题的又一种框架，许多经典的方 法( 如f o u r i e r 分析) 进一步发挥了重大的作用在此基础上，以后还陆续出 现了拟微分算子、f o u r i e r 积分算子、微局部分析、超函数等新的强有力的 理论和工具，不仅极大地改变了线性偏微分方程的面貌，并开始应用于处理 非线性偏微分方程的问题 1 2 非线性偏微分方程的来源 很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程 3 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 的研究，而且随着研冤的深入，有些原先司用线性偏微分方程做近似处理的 问题，也必须考虑非线性项的影响【1 4 】侧因此，现时偏微分方程研究的主体 是非线性偏微分方程它的难度大，很难用一个统一的方法来加以处理，其 研究往往更紧密地结合着相应的物理模型，用不同的方法来处理各种不同性 质的问题，现已取得不少深入的成果【2 i 卜洲【z ，聃】 在许多力学和物理学的问题中，出现的偏微分方程都是非线性的也就 是说，它关于未知函数及其导数不是线性关系例如，在热传导的问题中， 有时传热系数不是常数，而是温度的函数，那么热传导方程就是 詈= 毒( m ，詈 + 杀( m ，薏 + 毒( m ，毒 c ，啕 这是一个非线性的方程在讨论热平衡状态时，我们有 丢( m ，詈) + 毒( m ，爰) + 丢( m ，塑& 3j = 。 c ，啕 它也是非线性的 在流体力学中，描述粘性气流的方程是纳维( l - m h n a v i e r ) 一斯托 克斯( g g s t o k e s ) 方程，其形式如下 望+ 型晏盟：o ，( 连续性方程) ( 1 - 6 ) a t 乍叙i 、。 一 亟：一土一a p + 晏，( 动量方程) ，(1-7) d t po x , 融； 、1 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 水丁+ 务吉莩孙o r + 跏b lo a l , m 勘程，”8 ， 式中 瓦d = 瓦c o + “，昙，尸= r ， 乃= 7 ( 薏+ 瓦o u j 一詈岛军等 + 纸等 这里p 是流体密度，u = ( “，u ：，“，) 是流速，t 是温度，r , f 是粘性系数，兄是 传热系数，尸是压强，c 尸是定压比热，r 是气体系数，吒是表示粘滞力的张 量 当流体为不可压缩时，p 为常数：又我们不计温度的变化，那么方程( 卜7 ) 化为不可压缩流体的纳维一斯托克斯方程 e o 盘u , 乩亟：一三譬+ 旦即( 1 - 9 ) - a x i 。 j d t pa x tp l 当流体为可压缩，但粘性和热传导可略而不计时，它就化为无粘流体的 欧拉方程组 望+ y 。c o ( 。p u , ) ：o ，亟：一土望，塑：o ， ( 1 1 0 ) c o t7 苏id t po x , 7d t 、 式中s 是比熵所有这些情况，方程都不是线性的 弹性力学的大变形理论，电磁流体力学，爱因斯坦( a e i n s t e i n ) 的引力 场方程，描述基本粒子相互作用的杨( 杨振宁广米尔斯( a s m i l l s ) 方程等 等，都是非线性方程 哈尔滨t 稗大学硕十学位论文 在微分几何中，也出现许多非线性的偏微分方程例如，曲面z = ( x ，y ) 是极小曲面( 这总是指面积积分的第一变分为0 ) 的偏微分方程是 ( 1 + q 2 ) ，- o p q s + ( 1 + p 2t - - o ( 1 - 1 1 ) 这里 瑟瑟a 2 za 2 za 2 z p 。瓦9 2 瓦卢石，s 2 一o x o y o xo x o v 2 萨 优卵 。 鲫。 ( 卜1 1 ) 的意义是曲面的平均曲率h = 0 在物理上，张于一闭曲线上的肥皂液 所成的膜，必为极小曲面( 因存在表面张力，使其面积化为极小) 若要求总曲率k 为已给函数的曲面，问题化为求解蒙日一安倍尔方程 r t - s 2 ( x ，y ，z ，p ，q )( 卜1 2 ) 的某些特殊情形( 卜4 ) 一( 卜1 2 ) 都是非线性方程，但是( 卜4 ) 一( 卜1 2 ) 对最高阶 的导数来说是线性的( 其系数可以依赖于未知函数及其最高阶的导数) ，所以 其非线性程度还不算非常高，称为拟线性的( 卜1 2 ) 的非线性程度比较高， 有时也称为真正非线性的此外，也还有一些方程，如 址小以射 它们的最高阶导数部分纯粹是线性的，这种方程常常称为半线性方程 在线性偏微分方程的理论中，也会产生非线性偏微分方程例如，对于 个未知函数的个线性方程所组成的方程组 l u = 以( x ) d 8 “= 厂 ( 卜1 3 ) 嗡刀：浜1 栏大掌坝士学1 _ f 7 = 论文 我们可以定义它的特征方向( x ，孝) 是在点x 的法线方向孝，它满足 d e t i 磊诣妒i = d e t m 蝣) i - 。 ” 如果一个( ，2 1 ) 维超曲面s ，其法线方向处处为特征方向，那么这个超 曲面就称为特征超曲面，其意义是：如果在s 上给定甜及其到( m - 1 ) 阶的导 数的数值，由方程本身不能唯一地决定出，z 阶导数的数值如果我们在一超 曲面的两侧方程组( 卜1 3 ) 有解，且它们的( m 一1 ) 阶导数沿这超曲面连续，但所 阶导数有第一类间断，那么这超曲面称为方程组的弱间断超曲面从上面的 定义可见，弱间断超曲面必然是特征超曲面特征的概念对于偏微分方程是 十分重要且基本的概念 从( 卜1 4 ) 可见，如果函数妒满足非线性偏微分方程 d e t 障以( 咖( 斗- o i 口i 这里伊c 口，= ( 警) 嘶( 薏r ( 赛r 那么 口= c o n s t 就是特征超曲面特别地，对于波动方程，它的特征超曲面由一阶非线性偏 微分方程 2 一嘲彳( 铲。 哈尔滨t _ t z 1 人学硕士学位论文 决定 总之，非线性偏微分方程在物理学和力学以及数学本身都有非常重要的 作用 1 3 初边值问题的提出 我们来考虑有限物体的温度分布设该物体占据3 维空间的一个有界区 域q ，它的边界孢有一定的光滑性，物体所处的环境肯定会对物体的温度 分布产生影响如果物体表面上的温度是已给的，即 u ( t ，x ) l 触= g ( r ，x ) ，( x a q ) ， ( 卜1 5 ) 这里g ( f ，x ) 当t 0 且x 孢时有意义那么，我们就要求在【o ，) q ( 即 f 【o ，o o ) ，x q ) 上所定义的甜( f ，x ) ，使它能满足方程( 卜1 ) 和初始条件 u ( o ，x ) = ( x ) 以及在边界上出现的边界条件( 卜1 5 ) 求解这样的既有初始条件又有边界条 件的偏微分方程的问题称为初边值问题 当我们考虑只有一个空间变量的情形，即u 和y ，z 无关如考察一根细 棒的温度分布，假定棒周围( 不包括两端) 处于绝热状态，我们就有方程和初 边值条件如下 罢彳等= 0 旷旧 一一口。2 i l l oj 西缸2 、 。 甜( f ，0 ) = g 。( f ) ，甜( f ，) = g ：( t ) 8 哈尔滨t 稗大学硕十学何论文 u ( o ，x ) = u o ( x ) ，( o x ，) ( 1 1 7 ) 我们暂时假设g 。( ，) = g ：( f ) = 0 来解这一问题 求解的步骤是： 1 做一些形为“( f ，x ) = r ( o x ( x ) 的解，它能满足方程( 卜1 6 ) 和边界条件 “( f ，o ) = “( f ，z ) = 0 为此，把甜= 丁( f ) x ( x ) 代入方程( 卜1 6 ) ，我们就可以得 到 吉篇= 鬻乩口2 丁( r )x ( x ) 这里五必须是一个常数解方程 x “一丸x = 0 考虑到边界条件x ( o ) = x ( 1 ) = 0 ，这个解必须是 也( x ) = 吼s i n 竽，( 兄“2 扣1 ，2 ) ， 这里吼是任意常数再解丁( f ) ，从而得到所需的特解 ( 船) = p 以2 矗s i n 竿 2 由于方程是线性齐次的，存在着迭加原理( 即解的常系数线性组合仍 然是解) 我们希望选取适当的吼，使得 甜( ) ：羔铲主咿砌2 f s i n 竽 七= ik = l 是所求的解和初始条件( 卜1 7 ) 相比较，可见 哈尔浜i 程大宁硕十字何论文 ”( 吣) ：( x ) ：窆吼s i n 竽 因而q 必须取( x ) 关于【o ，】中的完备正交函数系 s i n 丁k 2 tx 的傅立叶 系数，即取 咏= 了2m 灿争出 就可以了 若( x ) 是连续函数，u o ( o ) = ( ，) = o ( 在边界上初始条件和边界条件相 容) ，那么可以验证所求得的表达式确是所需要的解它可以形式地表达为 而 “( “) = f 岛( ，善) 甜。( 善彬， 枷，孝) - 。e 。e - k 2 a 2 ts i n 争竽 如果边界条件不是0 ，可以将未知函数做变换，使边界条件为0 ，而方 程化为非齐次的 i 8 u r 2a 加2 _ _ u u a ：( t ，x ) 一 ，= ，i ，xi 8 t a x z 。、|。 这时解甜= “。+ 甜：，其中“。满足齐次方程、原边界条件和初始条件；而“： 满足非齐次方程，零边界条件和零初始条件u 。已经求得，地可以有它的表 示式 “：( ，x ) = ff 岛( f r ，x ，孝) 厂( r ，孝) a c a f = f 材，( t - r , x ) d f ， 式中的( f f ，x ) 是热传导方程( 齐次) 在【r ，) o ，】的解( r 0 ) ，在x = o ，时 l o 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 满足零边界条件，在，= f 时满足初始条件甜( f ，z ) = ( f ，z ) 这种利用齐次方 程的解来作出非齐次方程的解的方法称为杜哈默尔( m j d u h a m e l ) 原理， 它也适用于波动方程以及其他更复杂的方程 以上的求解初边值问题的方法称为分离变量法或称为傅立叶方法，这是 法国数学家傅立叶提出来的，它促进了傅立叶级数和傅立叶积分理论的成 长，对数学及其在各个领域中的应用产生了重要的作用 对于有三个自变量的情形，也可以运用分离变量法这时我们要写出 “= 丁( r ) x ( x ) ，这里x ( x ) 是定义在区域q 的函数，且应满足边界条件 x ( x ) l ，。m = 0 ( 卜1 8 ) 此外，x ( 0 1 应该满足 a x = 2 x ( 卜1 9 ) 于是，问题归结为求( 卜1 9 ) 在( 卜1 8 ) 条件下的非零解问题和一个自变量 的情形相类似，这只能对一些特殊的兄值( 称为特征值) 有非零解( 称为特征函 数) 在解出了这种特征值问题之后，我们也可以照样建立起初边值问题的解 的表达式 求解拉普拉斯算子的特征值问题，是数学上的一个重要问题对于某些 特殊区域( 如球和圆柱体) ，相应问题可以利用特殊函数显式地解出 对于热传导方程，可以依不同的物理条件提供其他类型的边界条件，例 如 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 和 ou，。孢=g(f，x)，on 。8 孢一占、 ， ( 卜2 0 ) ( 丽o u ) l 叫协 c 叫， 这里昙是关于孢的外法线导数，仃是定义在孢上的非负函数，它们所相 应的初边值问题也可以利用和上面相应的办法求解( 卜1 5 ) 称为第一类边界 条件或狄利克雷( p g d i r i c h l e t ) 式边界条件：( 卜2 0 ) 称为第二类边界条件或 诺依曼( g n e u m a n n ) 式边界条件；( 卜2 1 ) 称为第三类边界条件或罗宾( r o b i n ) 式边界条件 对于弦振动方程，也可以同样地提出初边值问题但这时初始条件有两 个，而函数丁( f ) 应满足的方程是二阶的 丁”+ 七2 以2 t ：0 这时，解的表达式是 小，f ) = ；| | ；( 岬s 半邶i n 竽) s i i l 竽七= l 其中 铲孙( 涧争掌， 玩= 去“舳争孝 利用傅立叶级数的性质，可以看到，如果( x ) c 3 ，u ，c 2 ，则 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 。( o ) = “。( ，) = u o 。( 0 ) = 扰。( ，) = 材。( o ) = “。( ，) = 0 ( 1 2 2 ) 所求出的u 的确是问题的解( 卜2 2 ) 实际上是初始条件和边界条件的一种相 容性 1 4 问题的研究现状和本文的主要内容 非线性拟抛物方程是从大量实际问题中提出来的，具有强烈的实际背景 和广泛的应用六十年代以后，非线性偏微分方程理论在思想与方法上又有 了迅猛的发展，出现了许多新的结果 2 9 1 1 3 1 1 1 3 4 1 1 3 6 4 0 4 2 1 对于非线性偏微分方程的 解的整体存在性和解的爆破的研究，至今已经有了很多的结果和解决方法 2 5 】t 冽4 3 h 4 8 1 ，如紧致性方法、单调性方法及特征函数法等等总体来讲，对于 非线性偏微分方程理论的研究已经取得了很大的进展和大量的研究成果，并 积累形成了很多比较成熟的研究方法，形成了一套较为完善的理论体系但 是，对于非线性拟抛物方程迄今仍存在不少问题没有解决，相应的理论和方 法也有待进一步改进和不断的完善下面简单介绍目前关于这方面的文献的 研究状况 1 9 7 2 年，p l d a v i s 在【3 2 中研究了如下s o b o l e v g a l p e m 型方程的初 边值问题 u t = 仃( 虬) ，+ 2 u 删，( 见 o ) u ( x ，0 ) = ( x ) u ( o ，r ) = “( 1 ，t ) - - 0 哈尔滨t 程大学硕+ 学何论文 所用的方法是利用问题少一万ly = 厂，y ( o ) = y ( 1 ) = o 的格林函数，将原 问题化为个非线性积分方程，利用压缩映像原理得到局部解，再用先验估 计得到整体解，其具体结果是，设a e c 2 ，仃( o ) = 0 ，盯( s ) 0 ， i o ( x ) e c 2 ( 0 , 1 ) ，则可得唯一整体解“c ( 绋) 文 3 3 1 中，研究的是多维非线性s o b o l e v g a l p e r n 方程的初边值问题 圹觚= 喜q ( ) 而 u t = o = “o ( x ) “i 施= 0 利用积分估计法研究了方程的初边值问题及相应的初值问题，并做了假 设，而当叫( s ) ( 1 f 珂) 有界时，存在唯一整体强解还证明了非负初值解 的非负性，讨论了解的渐近性质及b l o w u p 文 3 5 研究了一类土壤中的湿气迁移方程( s o b o l e v g a l p e r n 型) “捌+ 叩( x ，t ) u 。+ 口( x ，f ) 甜，+ d ( x ，f ) 坼+ 6 ( x ，f ) “= g ( x ，f ) 它是属于非经典扩散方程的一类在相应初边值条件下，对上述方程的扩散 型研究总在以下几个方面进行，对或( q ) 及整体解唯一存在性，在口 1 时解在+ 1 ( q ) 中衰减行为和长时间性，在特征值下讨论系统的动力行为及 在明( q ) 的拓扑之下，进一步研究紧全局吸引子的存在性正由于非经典扩 散方程广泛出现在非牛顿流体土壤力学、热传导和渗透流理论等领域，因此 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 它有极为重要的应用价值，从而引起国内外的数学、物理及生物工程方向的 工作者的广泛关注 文【3 7 】中考虑了下面方程的初边值问题 = + 仃( ) ， u ( x ，0 ) = u 。( x ) ，u ，( x ，0 ) = u 。( x ) u ( o ，t ) = u ( i ，t ) = 0 利用g a l e r k i n 方法，研究初边值问题，周期边界问题及初值问题，在 ( x ) ，“。( x ) h 2 ( 对初边值问题为h 2n 砩) ，a ( z ) ec 1 ，o - t ( z ) 下方有界的 条件下，得到整体强解的存在与唯一性，而在初值函数及仃满足一定的光滑 性条件下，得到了强解的相应的光滑性，最后讨论了初边值问题解的渐近性 质 文【3 8 研究的是多维非线性s o b o l e v g a l p e r n 方程的初边值问题 辑- a u t = 仃( 蚝) ，x e f 2 ， o u ( x ，0 ) = u 。( x ) u 规= 0 利用g a l e r k i n 方法，要求仃c 1 ，盯( j ) 下方有界，即存在常数，使 得仃7 ( ；) ，得到了整体解的存在性和唯一性 文 3 9 研究了一类半线性拟抛物方程的初边值问题 1 5 哈尔滨t 稗大学硕十学何论文 u ，- v u ，= f ( u ) u l 脚= “。( x ) “l = o 古典解的b l o w u p ，其中x qcr ”，q 为适当光滑的有界域在文中分别 研究了问题对应于任意初值与非负初值解的b l o w u p 问题，得到了与相应的 半线性拟抛物方程的相应问题的既类似，又不完全相同的结果其中，最主 要的是，加在厂( “) 上的条件与特征值问题妒+ 力妒= 0 ，缈l 讹= 0 的特征值无 关，从而大大放宽了对厂( “) 的限制 在本文中，利用g a l e r k i n 方法及积分估计法研究了以下方程 也也，= 喜q ( ) 蕾，x ef 2 , t o( 1 _ 2 3 ) u l ，；o = 甜o ( x ) ，x q ， 0 ( 1 2 4 ) u l = 0 ，f o ( 卜2 5 ) 的初边值问题其中，qcr ”为适当光滑的有界域本文主要结果如下：为 得到问题( 卜2 3 ) 一( 卜2 5 ) 的整体广义解的存在唯一性，o i ( s ) ( 1 i ，z ) 做如 下假设 ( 日，) q c ，3 k ，使反( s ) = q ( s ) 一k s o - , ( o ) 非减， ( 日：) 3 , 4 ，a 。及口 o ，使4h 口l t ( s ) i 彳h 口 1 6 哈尔暝i 释人掌石贞十学位论文 这里，七，a ，4 及口均为常数，而当一( s ) ( 1 f 刀) 有界时，存在唯一整体强 解本文还讨论了解的渐进性质及b l o w - u p 对一维情形，考虑了更为广泛 的边界条件，证明了，只要仃( s ) 下方有界，即可得到整体强解的存在唯一 性，并详细讨论了解的光滑性 本文中，用l i 口表示( q ) 模，r ( q ) 模又简记为i i i i ，w t p 模用卜k p 表示及( ) = l “池 哈尔滨1 = 程大学硕+ 学位论文 第2 章预备知识弗乙早】狄冒大h 仄 2 1g aie r kin 方法 g a l e r k i n 方法的基本步骤是： ( 1 ) 构造近似解 在一适当的可分的空间中选取一组标准正交基，然后在有限个向量张成 的子空间中构造线性组合形式的近似解，利用常微分方程组局部解存在性定 理证明局部解存在 ( 2 ) 作先验估计 一般采用乘以近似解或其关于时间变量的某阶导数然后关于空间变量 在给定空间区域积分而获得先验估计，往往在非线性项可能为负数时结合势 井理论获得先验估计 ( 3 ) 取极限 利用泛函分析b a n a c h 空间内一个有界集合的弱紧性与弱术紧性原理取弱 极限或弱术极限 ( 4 ) 说明 说明所得到的解满足初边值条件 利用g a l e r k i n 方法，可以将方程简化，此方法在解决物理、化学、生 物化学、工程科学、数理经济等实际问题中得到了广泛的应用研究和发展文 献 1 1 中，通过g a l e r k i n 方法，将w i n k l e r 地基上四边自由受横向简谐激 励矩形薄板的控制微分方程转化为非线性振动方程应用非线性振动的多尺 哈尔滨t 程人学硕十学位论文 度法，求得了系统满足3 次超谐共振情况时的一次近似解以及对应的定常运 动，并对其进行数值计算对3 次超谐共振定常运动分岔响应方程进行了奇 异性分析，得到了开折参数平面的转迁集和分岔图揭示了一些新的动力学 现象 在 1 2 中，用g a l e r k i n 方法建立了有限元求解的变分方程和代数方程， 给出了迭代求解步骤；采用隐式格式及“上风”法离散能量方程、求解温度 场，开发了模拟程序 在 1 3 中，基于磁荷模型的蔓维间接边界方法在计算静磁场问题上具有 独特的优点，为提高计算精度，降低计算成本，磁场积分方程采用g a l e r k i n 方法进行离散，避免了区域边点和角点几何奇异性对解答的影响使得每次 自适应计算的规模大为降低通过与解析计算结果和测量结果比对，数值算 例证明了该文方法的正确性和有效性 2 2 基本概念 非线性发展方程的未知函数甜都是空间变量x 与时间变量t 的函数而一 般来说，x ，t 在方程中的地位是不同的，如可微性与光滑性的要求是不同的， 所以应该引进相应的函数空间和相应的定义以适应各种需要 定义2 1设qcr ”是一给定的区域，对聊0 ，1 p 定义s o b o l e v 空间h 眠p ( q ) 为满足条件 d 8 “p ( q ) ，川肌 的广义函数材全体所构成的集合，并装备以范数 1 9 驴，2 叫一b p 锄， f ，、_ i l u l l m 一( q ) 5m l 刮；a 。x0 d 。“i i p ( q ) 特别当p = 2 时，i e n 础( q ) 为h ”( q ) 这时可引进内积 ( ) 。( 砌，脚) 即) i a l u m 定义2 2 c ( 啪数按范划k 1 旷删一i ，( 1 班啪 备化所得到的空间称为w ( q ) 记f ( f ) 为r 2 时等于0 的c 。函数，则对任一“日 ( r ”) ，f ( 兽 “就属于彤，( 尺”) ，且当彳寸 时， f 啡专甜( 叫r ”) ) 所以w p ( 尺”) 在” p ( r ”) 中稠密， 而由霹pr ”) 的完备性知两者相 等但是，当q 有界时，w ( q ) 为h 掰p ( q ) 的真子空间 且 定义2 3设qc r ”，0 t 0 0 ，1 p o o ，1 g 0 0 ，贝0 口( 叮；( q ) ) = “( 彬) i o “o 口( 。正胪。n ，) = ( rj l 甜l 巳。q ，衍尸 肼讲 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 定义2 4设qc r ”，0 t o o ，l p 0 0 ，贝0 r ( 叮；( q ) ) = k ，) 旧恶即， ) 且| | “i z ，( 。，r ；矽( q ) ) 2e s s 。s g u ；p rl l “l l z ，( q ) 定义2 5设qc r ”，0 t o o ，k 1 ，1 p 0 0 ，1 q 0 0 ，贝l j 口( 咿；胪p ( q ) ) = “( 州) i 且。甜o p ( 。，r ；矽。，。q ) ) = ( ，：l i “o 矿。，。q ，衍) i 肼b 衍 ) 定义2 6设qcr ”，0 t o o ，k 1 ，1 p o o ，贝0 p ( 。，丁；形咖( q ) ) = 甜( x ，r ) i 甜j 。s g u ；p ，l l “b ，。q o o ) 且l f 甜0 ( l m o , t ；w k p ( n ) ) 。e s s 。s g u ；p r 1 “0 t ，( q ) 定义2 7设qc r ”，0 t o o ，m 1 ，1 p ，q o o ，纠( “) 表示“对 的z 阶广义导数，则 形帆9 ( o ，丁；f ( q ) ) = 扰( x , t ) l d u e 口( o ，r ；p ( q ) ) ，o l m ) 且彬( 吖；酬2 副刊k 岬) ) 定义2 8设qc r ”，0 o 1 。“( x ，f ) r ( o ，丁；础( q ) n 1 甜1 ( q ) ) ，( x ，f ) r ( o ，丁；磁( q ) ) ； 2 6 对一切妒( x ，f ) c ( 【o ，y ；h o ( n ) n w + 1 ( q ) ) 成立 纠+ ( v 印小( v v 小喜( q ( ) ，吼) 卜。； 3 。u l ，= 。= ( x ) 于磁( q ) n 形1 酣1 ( q ) 2 3 相关的不等式及引理 且 引理2 10 ( h i j l d e r 不等式) 如果1 p o 。，一1 + 一1 ：1 ，则 pq f e l p ( q ) ，g 口( q ) j 居t ( n ) i n f g d x l l 磨陋f l l p i g l 。 证明首先由y a n g 不等西生+ 竺f 口o ，6 o ，l p o ，于是若纺弘( q ) ( = 1 ，2 ，) ，则 成立 肪”。纸陋洲缈p 。i i 饩i - , 引理2 1 1 ( p o i n c a r e 不等式) 若甜( x ) 磁( q ) ，则 l | “l l ( q ) - 0 是问题妒+ 旯缈= o ，妒l 锄= 0 的第一个特征值 使得 则有 引理2 12 ( g r o n w al i7 不等式) 设y ( f ) _ 【o ，t 】，且存在常数口与6 ， 少( f ) 口+ 6 r y ( z ) 比，o t t ， y ( t 1 a e 6 t , o t t 引理2 13 ( m in k o w s ki 不等式) 如1 p l ，并设0 厂+ 酬p o ，于是由 h 6 1 d e r 不等式得 l i f + g l ，d x 互l i s l i s + g l p 一1 出+ g l l f + g l p 一1 d x i l s l lp ( l l 厂+ g l p 出) i + i l g l lp ( l i 厂+ g l p 出) 百 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 两边同时除以妙+ 酬；，( 吉+ 吉= t ) ，结论得证 引理2 1 4 ( i ) i i v “忆( n ) 为i 哦( n ) 的等价模； ( i i ) 8 掰恢纠为h i ：) n 础( 哟的等价模 引理2 15设qc c 2 ， 哆( x ) 为问题缈+ 五彩= o ，缈i 铀= o 的特征函 数系，则 ( i ) 哆( x ) ) 构成r ( q ) 的一个正交完备系； ( i i ) q ( x ) 在瑞( q ) 中稠密； ( i i i ) 哆( x ) ) 在h 2 ( q ) n 叫( q ) 中的闭线性扩张为日2 ( q ) n 职( q ) 弓l 理2 16 设1 g p k “f ( q ”) ，当甩一础 朋g 门m p 印，并且 i i 峨) - c , l l “i i 叫q ) ( p 1 ) ，( 2 - 1 ) 在p = 1 的情形上式x c n - p k m ，z 也成立； i i ) 如果珂2 p k l 口( ) c l h ，( q ) ( p 1 ) ，对l m 疗与任意g 成 哈尔滨1 = 稗人学硕士学位论文 立；( 但此时c 1 与9 也有关) ；且在p = 1 的情形“”还等( 价) 于c ( 五) 中一函 数，同时 s “u p ： 材蚓sc 州出_ 哟；( 2 - 2 ) i i i ) 如果疗 p kj “等( 价) 于c ( 西) 中一函数，并且 成立 s ，u 。_ p ： “( x ) l - c zl “0 t ，( q ) 注意1 。最常用的是关于册= 露与m = i v 一l 的结果，凼此只殒注葸这内 种情形的证明 2 。定理说明在所指出的情况，函数类形咖( q ) 分别是函数空间f ( q ”) - 与c ( n 1 中的部分，并且将它嵌入到这些空间的算子是有界的 3 。由“w 咖( q ) jd 口甜槲p ( 9 2 ) ( a p ( 尼一y ) j 当，z p ( | | 一厂) 聊门，g i 乏m 砑p ，川7 时，有 l “u l l l p ) - c ，l l “i 叫q ) ( p 1 ) ，( 2 - 3 ) 在p = 1 的情形，a ：式对n - p ( k - r ) m n 也成立； b ) 刀= p ( k y ) j 0 d 。甜i i l p ) c 3 胪凇) ( p 1 ) 对1 聊刀与任意g 成 立( 但此时g 也与g 有关) ，在p = 1 的情形“等( 价) 于c 7 ( 磊) 中一函数，并且 哈尔滨1 _ 程大学硕十学位论文 ；暑暑i i i i 昌；i ；i i i i i ；i i i ii i - s 增p “( x ) 1 c 4i i 1 i 叫q ) ( h y ) ； ( 2 4 ) x e l , 2 c ) 刀 p ( 七一7 ) j 材c 7 ( 面) ，并且磐j d “甜( x ) l - q l l 材i i 胪) ( h y ) 成 立 即在所指出的情况，形”( q ) 分别是旷m ( q ”) 与c 7 ( 壶) 的子类，并且 嵌入算子是连续的 4 。由于w 咖( q ) 中的函数是几乎处处在q 上是确定的，因此上面所讨 论的“的在低维子集q ”上的值如何确定，需要解释：首先证明，于相应情况 估计式( 2 1 ) 与( 2 3 ) 对甜g ( r ”) 成立，然后对任一u e w 咖( q ) 取序列 “) cc o ( r ”) 依范数逼近于材，由已经得到的估计式即见，此序列于f ( q ”) 或旷m ( q “) 中对所有q 肼一致收敛，且极限与“ 如何选取无关，它即取为z ， 在各个q ”上的值 又在上述中，q ”可以是q 中任何充分光滑的聊维流形，各个还可以位 于边界上( 朋= r t - i ) 为了讨论这种一般情形，只须做变量变换逐处局部将 之变平 5 。这里指出，为证明定理，由以上说明，归结于就实值的“c ( 西) ( 或 一样地g ( r ”) ) 来证明在相应情况下估计式( 2 1 ) 及( 2 3 ) 成立( 稠定义连续 性算子的扩张定理) 又由假设q 有界，故根据h s l d e r 不等式即知，在证明 时只须考虑q 取最大值的情形 玎一印 哈尔滨r 【：稃火学硕士学传论文 j 宣i 置i i i 童宣宣i i 宣i i i 毒；i i 置葺i i ；i 宣；i i ；宣；i ；i ；i i i 宣宣高暑宣i ；i i i i i 高置篁嗣 顺便指出，由不等式( 2 - 3 ) 就m = ，l ，g = ( 最大可能值) ， 玎一p i 庀一，j h = y 写出( d 7 表示一般厂阶微分算子) f d y u l l 口( n ) - i 口l 即可) ，所以f h ( 2 9 ) ，( 2 - 1 0 ) ( q ，s 号p i “i i n p i - p 动q ，) 并g ( u “”p + 喜l i 詈0 p - - - c , i i “l i 矿t - ( q ) ( 2 11 ) 于是因对任一超平面可找到f 使x ，轴与此平面的法线的交角余弦不小于! ， 命题2 19 甜形”( q ) ，n p k ( n = p k ) ， p 1j “f ( q ) ， g = 譬( g 任意) ，所= 胛或刀一1 ，并且估计式( 2 一1 ) 成立；当p = l 而刀= k 证明如n p k ，首先用命题2 1 8 于甜及其七一1 阶导数，即见嵌入算 n p 子：w 咖( q ) cw 。n - p ( q ) 有界，再用归纳法即得所要证 如刀= p k ，p 1 ，即可将已证结果用于p 一占( s o 任意小) ，由h i a l d e r 不 0 ul t p 。( q ) l ，则可由不等式( 2 5 ) ( 置p = 1 ) 进行归纳法，并可设q 为 一正方体 命题2 2 0 甜w k , p ( q )