（机械设计及理论专业论文）基于应力波传播理论的齿轮动应力分析.pdf

曲i tl 娩夫学鞭 学缱论文 摘要 齿轮传动系统是废鼹最广泛的一秘动力耜运动传动装管，其强度及使用寿命 的研究直受到人们的广泛关注。而齿轮动强度计算一直采用的是动态静力方 法，没有反映黹轮传动工作状态的本质。近年来出瑷躲袁轮酸障多袭现为齿轮鲍 振动破坏，齿轮振动存齿轮内产7 l 二的应力波是影响齿轮传动强度和可靠性的种 l 有隐藏性祁破坏性啦重要蹦豢，戤此需要避一步宠辫凌轮的漫计t 规范。本文首 次将应力波传输理论引入齿轮的强度汁算，从而真证实现了齿轮的动应力计算， 为齿轮的应力计算提供了一种有意义的耨思路。 论文对弹性动力学基础珲论进行了概述。作为基础研究，分别以简单的等截 丽茂杼及矩形截面锥杆为分析对象，建立其波动方程，并建立有限元搂型研究其 逻刊翱响，径i f , j ，以及同时受轴 司和径向载荷j l 辛l t 情况卜的动力学响应。 擞后以直盘圆柱搬轮的轮齿为分析对象，到用u g 软件建立一对党整的露齿 尉柱畿轮的3 d 啮合搂翟，并剃粥l s 。i ) y n a 对齿轮啮合过程中齿轮的动应力进行 了仿真研究。研究发现：( 1 ) 灾际褥到的动态威力比较的大的地方主要囊中存接 触登和齿根附近：( 2 ) 在较骶的转速f ，利用波动理论计算的动应力比较小，不 会引起齿轮的破坏，而在较高转速下，成力僬比低速时的值火，而曼应力值魁随 着转速的增大翔增大的，当转速达到某极限馕时，利蠲波动理论计鲜的动应力 毖至远远超过檄限应力，这表明在高遮传动f 按常规没计方法驶汁齿轮是小q 靠 豹：( 3 ) 存较裔转速下，炎仿真的结聚柬看，不仅有拨面接触丽且宥荫背接触， 蜕明监轮系统发生了脱啮拍击现象，而拍击产生的冲击载荷引起的动应力不容忽 说，这遴步表明在高速传动下齿轮的强度澄计必须考虑应力波转遂的影响。 火键词：齿轮，动力学，动应力，有限元，应力波 曲北1 业人学硕十学位论文 a b s t r a c t g e a rs y s t e mi sw i d e l yu s e di np o w e ra n dm o t i o nt r a n s m i s s i o n ，t h er e s e a r c h a b o u ti t s s t r e n g t ha n dl i f eh a s r e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n u s u a l l y ，d y n a m i c s t a t i c m e t h o di su s e dt oc a l c u l a t eg e a rs t r e n g t h ，w h i c hd o e sn o tr e f l e c tt h ee s s e n c eo ft h e o p e r a t i n gs t a t eo fg e a rt r a n s m i s s i o n g e a rf a u l t so c c u r r i n gi nr e c e n ty e a r sc o m m o n l y a r ed u et ov i b r a t i o n ，a n dt h es t r e s sw a v ei ng e a ri sah i d d e na n dm a i n l yd e s t r u c t i v e f a c t o ra f f e c t i n gt h es t r e n g t ha n dr e l i a b i l i t yo fg e a rt r a n s m i s s i o n ，s ot h ed e s i g nc r i t e r i o n o fg e a rn e e d st ob ei m p r o v e d t h i sp a p e rf o rt h ef i r s tt i m ei n t r o d u c e ss t r e s sw a v e t r a n s f e rt h e o r yt od e s i g no fg e a rs t r e n g t h ，a n dr e a l l yr e a l i z e dt h ec a l c u l a t i o no f d y n a m i cs t r e s so fg e a ra n dp r o v i d e sak i n d o fn e wm e a n i n g f u lt h o u g h tf o rc a l c u l a t i n g s t r e s so fg e a r t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h eb a s i ct h e o r yo fe l a s t i cd y n a m i c sa saf u n d a m e n t a l r e s e a r c h ，t h ep a p e rt a k e sas i m p l ee q u a l - s e c t i o nb a ra n dr e c t a n g l e s e c t i o nt a p e rb a ra s a n a l y z ee x a m p l e s ，r e s p e c t i v e l y ，e s t a b l i s h e st h e i rw a v ee q u a t i o n s ，a n db u i l d su paf e m o d e lt os t u d yt h e i rd y n a m i cr e s p o n s e su n d e raf e wc i r c u m s t a n c e ss u c ha sb e i n g s u b j e c t e dt oa x i a l ，r a d i a l ，a n db e i n gs u b j e c t e dt oa x i a li nt h em e a n t i m ew i t hr a di a l 1 0 a d f i n a l l yt h ep a p e ru s e sg e a rt e e t ho fas p u rg e a ra sa n a l y z eo b j e c t ，b u i l d su pa c o m p l e t e3 dm e s h i n gm o d e lo fap a i ro fs p u rg e a r sb yu s i n gu ga n dc a r r i e so u t s i m u l a t i o nr e s e a r c ho nt h e d y n a m i cs t r e s s i n g e a rm e s h i n gp r o c e s sb yu s i n g l s ：d y n a t h er e s u l t ss h o w ：( 1 ) a c t u a l l yb i g g e rd y n a m i cs t r e s sm a i n l yc o n c e n t r a t e s o nc o n t a c t i n ga r e a sa n dn e a rt h er o o to ft e e t h ；( 2 ) a tl o w e rr o t a t i o ns p e e d ，t h e d y n a m i cs t r e s sv a l u ec a l c u l a t e db ym e t h o do fw a v et h e o r yi sl o w e r , s oi tc a n tb r i n g g e a rb r e a k a g e ，b u ta th i g h e rr o t a t i o ns p e e d ，s t r e s si sb i g g e rt h a nt h eo n ea tl o w e rs p e e d a n db i g g e rr o t a t i o ns p e e dc a u s e sb i g g e rs t r e s s w h e nr o t a t i o ns p e e dr e a c h e sc e r t a i n li m i t ，t h ed y n a m i cs t r e s sc a l c u l a t e db yu s i n gw a v et h e o r i e sh a se v e ng r e a t l ye x c e e d e d s hc s sl i m i t ，t h i si n d i c a t e st h a tg e a rd e s i g n i n ga d o p t i n gc o n v e n t i o n a ld e s i g nw a yi s a n r e l i a b l ei nh i g hs p e e dt r a n s m i s s i o n ( 3 ) a th i g h e rr o t a t i o ns p e e d t h eg e a rc o n t a c t s n o to n l yo nf a c eo fg e a rb u ta l s oo nb a c ko fg e a ra c c o r d i n gt os i m u l a t i o nr e s u l t s ，i t m e a n st h er a t t l i n go c c u r r e di ng e a rs y s t e m a n dt h ed y n a m i cs t r e s sc a u s e db yi m p a c t l o a dd u et or a t t l i n gc a n tb en e g l e c t e d t h i sf u r t h e ri n d i c a t e st h a tt h ee f f e c to fs t r e s s w a v em u s tb et a k e ni n t oa c c o u n ti nt h es t r e n g t hd e s i g no fg e a ri nh i g hs p e e d t r a n s m i s s i o n t t 阳北k 人学硕r 学位论文 k e y w o r d s ：g e a r ，d y n a m i c s ，d y n a m i c s t r e s s ，f e ，s t r e s s w a v e 曲北上i 业人学硕士学位论文第一章绪沦 引1 研究背景 第一章绪论 在各种动力传动机构中，齿轮传动由于其传动比恒定、结构紧凑及传动功率 大等特点，具有其他传动不可替代的优势，因而成为最为重要、应用最广+ 泛的一 种动力和运动传动装置。其工作性能对整台机器的工作性能有很重要的影响，同 时机器的可靠性和寿命很大程度上取决于齿轮的可靠性和寿命。因此，针对齿轮 强度及使用寿命的研究直受到人们的广泛关注。齿轮是个弹性结构系统，【l 二| j + 1 7 , i 轮的制造氓差、齿侧川隙、啮合川度的时变性、转速波动、转矩波动、拍击 以及啮入啮出冲击等因素在其运转过程中，系统不可避免地会产生振动，引 起相啮合轮齿问发生动态相对位移，因此齿轮在工作过程中实际上受到动载荷的 作用。虽然已有大最关于齿轮动载荷的研究，但长期以来，动应力计算一直采用 n 勺足动念静力方法，没有反映齿轮传动t 作状态的本质。一如文献 2 中所指出 的“近年来出现的齿轮故障多表现为齿轮的振动破坏，齿轮的行波振动是影响 齿轮传动强度和可靠性的一种具有隐藏性和破坏性的重要因素”，因此需要进 步完善齿轮的设计规范。 对于这种动载荷作用f 齿轮动强度的计算问题，以往采用的动态静力方法在 麻力计算中并来考虑介质微元体的惯性，而只考虑各微7 c 体问力( 应力) 和位移 ( 应变) 的刚性传递。事实上，当外载荷作用在可变形固体的某一表面时，, r l ：始 只有那跤直接受到外载荷的表面部分的介质离丌了初始平衡位置。根据弹性体介 质的连续性假设，在受到相邻介质力作用的同时也给相邻介质反作用力迫使其离 丌平衡何置。而日， i 于介质质点具有惯性，十同邻介质质点的运动将滞后0 二表面 介质质点的运动。凼此，载荷在表面引起的扰动将在介质q - ，m 近及远传播出去从 而形成应力波【3 】。由于应力波在介质界面上还会产生反射波和透射波，因而对于 内北 、j k 人学硕十学忙论文 第一章绪论 有限尺i 椭7 j 零件结构，在动载衙作用下，结构体中的应力波实际上是多种不同大 小不同方m 上应力波的动态叠加，这将导致结构体中的应力场与动态静力方法得 到的结果具有很大差异。那么，在动载简作用下，应力在轮齿内的传播同样也是 个动态过程。吲而f l 莳采用的动态静力方法并没有反映齿轮体内应力变化的动 态本质。 因此，采用应力波传输理沦精确描述在动载荷作用下的齿轮动力学模型，研 究动载荷作用下齿轮内应力波的传播过程及对应力的影向建立齿轮动应力的计 算新方法，不仅有很大的学术意义，同时对于进一步完善齿轮的设计方法、提高 j0 f 譬动的【t j 靠性和使用寿命电有定的实用价值。 1 2 应力波基础理论 弹性动力学是以经典的弹性理论为基础的，它是连续介质力学的一个组成部 分即认为物体是运动着的连续质点的集合。弹性动力学的主要目标是在给定扰 动源、边界条件和1 | ：j j 始条件f 求解弹性物体的动力响应。解答的肜式有两种： 种足波动解，另一种是振动解。前者描述行波在弹性介质。p 的传播过程，后者描 述弹t 1 体的振动。， 最简f p 的一维弹性动力学问题是弦线的横行振动。我们采用排除了几何上复 杂性的理想弦，那么其波动方程的建立就具有鲜明的物理概念，波动方程的通解 电可以给出清晰的几何解释。通过对弦线一维简单系统动力问题的分析，能够展 示许多弹性动力问题的共同特点。 考虑图1 一l 所示的弦线，为了得到理想弦线，我们作如下假设： 1 1 l 门。弦议细，可认为其质量是。维分和的； 2 弦很软， ! | ：】弦没有抗弯能力，弦线内部互相作刷的力是沿弦线切向的张 力： 3 对弦线的运动作以卜j 两点限制： a 1弦线的平衡位置是x 轴上的直线，弦线上各质点的运动方向发生在同一 、h 酊内，并且与x 轴垂直。 2 州北i ：业人学硕+ j 学位论文 第一章绪论 b ) 振动是微小的，即l 罢l 0 时刻弦线的运动规律，仅 有波动方稗是不够的，还需要知道，= 0 时刻即初始时刻弦线的运动状态。我们 把对初始时刻运动状态的数学描述称为初始条件。对于2 阶方程束说，初始条件 包括0 阶和1 阶时的状态。对于本问题初始条件是指初始时刻弦线的位置和运动 速度，用公式表达为： “( x ，o ) = 妒( x ) ，丁o u ( x , o ) = g t ( x ) 对于无限长弦，仅有仞始条件就足够了；对于有限长弦，当扰动来到达端点 时，还槿于无限长弦问题，为了考察扰动到达弦线端点后的运动情况，还需要给 出端点应满足的条件，即称之为边界条件。 我们假定考察的弦线长为，端点在x = o 和x = l 处，为了确定弦线在两端 点处的边界条件，需要考虑端点附近微元的运动方程。 存端点：0 处，耿弦线上【o ，缸 段小微元，假定此端点处有一弹性系数为k ， 4 两，| tl 业1 人学预 “字：拇沦文第鼋缝淤 晌榉性支撑，州此微兀上所觉晌惯同鞴衙戗熟： 1 点j = 0 缝的弹性恢复力一k 。u ( o ，# ) 2 在算= 船魁瀚筏线张为虿，掣 3 + 努力f 固，g ) 妇 由此得到的平衡方程为： 妒i ! ! ：霉墨矗x ：一毛# 毽，t o u ( 。e x x , t ) 十f ( o ，f ) 矗x l 一鼢 o t 幽 令瓤斗0 ，上式转化为： 一k , u ( o ，) + r 掣堕。0 ( 1 - 9 ) 上式f l - 9 ) 就怒端点芹= 0 处蛉边嚣祭传。若在端点并* o 处还有横向步 撬赫 妒，作鬻，粼么边器条件戴避j k , u ( o ，) + r 至塑婴：，和) ( i - l o ) 似定端点x = l 处的弹性支撑的弹性繇数为k ：，端点x = 三处受到的横向外 载蕊毖致f ) ，娄弦麓霹戬褥瓣越蠲点楚s 越线的透爨祭嚣： 一2 “( 上，) 一t 8 u ( l , r ) ：拶2 ( ) ( 一1 l o x 国t 两式我们阉以得到两种特殊的边界情蟛( 仅时论式( 1 1o ) ) ： 1 湖定端：当p ，( f = o ，i t ，刚露“( o 、f ) = 0 ，即x = o 处成为嘲定端。 2 。国国鳞：畿弘鳓= 。，甄2 ，站j 8 u 苏( 0 t ) = 。，嚣x = o 处成为窦由糕e 1 。3 波动理论的研究现状 露瞧应力波邋论楚礤究应力波褒黪经髂中赞签瓣簿憋掌辩，多年柬一童是溺 体力学领域中。一个非常活跃的婿究谖灏。混观霞声掌，魏球物理学，爆搏力学翻 材料力学僬能研究的蘸要基础【4 1 。在武器效虑。航空航天工程，矿山和交通机槭， 安全防护工程、地震黻测、石淋勘探和建筑工程等潢多领域郄可以找到它的用斌 s 忆| 匕t ：业人孚硕十学f 市论文第一章绪论 之地。应力波打桩、应力波探矿及探伤、应力波铆接等甚至：发展为号门的技术。 随着私 学技术的发展，大晕新型，高强材料广泛应用于困防和民用工、l p 的各 个领域。使人们对杆、板、壳等基本结构单元在各种冲击载荷下的应力波问题更 加关注，特别是计算机技术的不断发展和试验设备的不断完善，促使人们在诸如 维复合应力波和二三维应力波，非线形波及应力波导致的混沌现象等方面进行 探索。这唑都能极大的丰富和发展经典波动理论。 中南_ 丁。、i k 大学刘德f i l m i5 】分析了基于牛顿碰撞原理的传统桩基设计理论的局 限性及建立以波动理论为基础的桩基设计理论的重要性。探讨了锤与桩直接和| 1 白j 接撞击产生的应力波波形及相关的桩基设计准则。刘德顺【6 】还对变截面杆进行离 敝，在备部分之删建立传递矩阵，分析各部分分界面上波的反射和透射，从而为 打的反演设计提供了理沦依据。大连耻工大学刘书f 丌1 7j 利用细长杆端部受轴向冲 ； 7r l , j 弹塑性应力波的传播规律及加卸载舰律，建立了梁的弹塑性屈曲方程，通过 对方程的求解，将粱的动力屈曲归结为分叉问题，并由分叉条件得到了屈曲临界 力和模念。国内还有许多人在此问题上做了大量有意义的工作1 8 - 1 9 j 。 m a s a t o s h ik u r o d a 等1 分析了受内压作用的脆性圆柱桶的多重裂纹特性。 m e u r e r 等1 2 i j 对非线性和磁滞介质中的波传播进行了数值研究，这是对基于线弹 性介质中波传播理论的传统超声波无损探伤技术的发展。 19 9 9 年，e s c a l o n a 等f 22 】编制了包括结构模态综合( c o m p o n e n tm o d es y n t h e s i s ) 的何限元计算程序，提出了模拟冲击的柔性梁冲击载荷动态分析计算新方法，并 将算结果与解决柔性粱上轴向冲击的经媳s t ，v e n a n t s 法作了比较。所涉及的冲 。莆是那蜂沿着完全柔性梁传播的弹性波，忽略接触表而邻近区域的局部影响。 同前应用较成熟的波动问题数值求解方法有波函数展丌法、积分方程法、积 分变换法、广+ 义射线法、特征线法及t 矩阵法、谱方法、波慢度法、有限差分 浊、仃限冗浊、边界冗法、摄动法和小波变换法等，它们分别在不同的具体问题 的研究。li 得到应用。当物体受到短时强载荷作用时，其能量是沿特征线传播的。 特征线实际上是扰动或波传播的路线，找到了特征线就找到了问题的解，而且特 征线还可以给出清晰的图像。山于波动方程是偏微分方程，不便于求解，而用特 征线法可以将刘偏微分方程的求解转换为对常微分方程来进行，求解方便；而且 6 曲北i 业大学硕士学位论文 第一章绪论 特征线法得到的近似数学模型有较好的数值稳定性。这也是很多简t ( - 问题选用特 j ! i i 线法作为动应力计算方法的理由。 从应力波理论的发展来看，还有以下问题值得深入研究。 1 进一步研究波和材料本构间的关系，分析各种已知本构关系的材料中波 的特性，以及通过波的传播提供的信息来研究本构间的关系。 2 与细观力学和材料科学紧密结合起来，分析各种材料细观结构对波传播 规律的影响，研究复合材料和各种新型材料中波的传播规律。 3 与现代破坏力学结合起来，研究波引起的失效和破坏的机理及其应用。 4 与试验力学相结合，建立固体力学中的反问题，利用波的特性，研究材 料和介质的内部情况，推动无损检测，无损评估等有重大实际意义的实验技术的 发展。 5 发展新的数学解析方法和数值计算方法，解决由于材料非线形或几何非 线形引起的各种非线形波的传播问题。 从应力波理论的应用来看，目前应力波理论主要集中在研究杆，梁，桶以及 球壳等构件，虽然近年来也有少量文献表明国外有研究齿轮中应力波传播机理的 成果| 2 3 【2 4 出现，但只限于测试技术探讨及把结果用于算法验证：将应力波理论 用于齿轮动应力计算研究还是空白。 1 4 本文的主要工作 前已述及，近年来出现的齿轮故障多表现为齿轮的振动破坏，齿轮的行波振 动是影响齿轮传动强度和可靠性的一种具有隐藏性和破坏性的重要因素，而目前 齿轮强度计算一直采用的足动态静力方法，利用应力波理论研究齿轮动应力还是 空白。因此，本文将研究动载荷作用下齿轮内应力波的传播过程及对应力的影响， 为建立齿轮动应力的计算新方法、进步完善齿轮的没计规范提供依据。所开展 的研究工作内容有以下几个部分： 第一章论述t n 用应力波理论研究齿轮动应力的重要意义，介绍了应力汲 的纂础理论、应力波理论的研究现状及需要进一步研究的问题。 7 9 q j l ：i ：业人学颂 “位论文第一章绪论 第章先从比较简单的问题一等截面直杆分析开始，建立其受力后的波动 方程，并列建立模型仿真其受力情况，验证理论分析的结果。 第i 章钊对n x j - 复杂的矩形截面锥卡t 问题，建立其受力后的波动方程，进 仃川沦分_ = 行嗣i 仿真。 第四章以直齿圆柱齿轮的轮齿为分析对象，利用u g 软什建立对完整的 直齿圆柱齿轮的3 d 啮合模型，用l s d y n a 软件对齿轮副传动进行仿真，观察 并分析这一动态过程中的应力变化情况，改变某些参数进行计算，将得到的结果 进行对比分析。 第“距令文总结及工作展望。 | j l | 北l 。业人学硕十学位沦文 第一二章等戳 面直朴随力波分忻及仿真 2 1 引言 第二章等截面直杆应力波分析及仿真 在工程中，等截面的直杆直粱普遍存在，其支承形式也不过可以简化成 固定、简支以及自由端几种情况。其受静力作用后的应力分布及稳定性问题在静 力学巾已经得刮很好的解答。但研究其受冲击载荷作用后的稳定性以及应力变化 情况对予解释现实中的很多破坏现象有很重要的意义。尤其是，如梁能够能够清 晰的再现这一动态过程，那么对任意时刻的应力分布就都可以观察得很清楚了。 2 2 直杆中纵波的控制方程 图( 2 一”直杆模型 考虑如图( 2 一1 ) 所示的等截面均匀细长直杆的纵向运动，不计横向惯性效应 的影响，建立杆中应力波的初等理论，我们首先做出如f 两条简化假设： 1 ) 横截面在变形过程中始终保持平面。 2 ) 横截向只有均匀分柿的轴向麻力古。 如此来，弹性杆成为一维弹性体。它是承受轴向荷载的拉压构件，只产生 轴向位移“( x ，它的轴向应变为 a “ s2 _ o x ( 2 1 ) 坚 日 坐 阳= | _ 、j k 人学坝1 一学伊论文第二章等截面直柯廊力波分析及仿真 根粥弹性性质利涌足虎克定律，它的轴同拉墟i f 厦刀为 盯= e 占 f 2 2 ) 其中e 是弹性模量，图2 一一l 中： n 。= 蒯，n m = ( 盯+ 竽d x ) a 引单的动力力程足： 掣一p 学 亿，、 md r ，一1 、 奠中x 为x 方向体力，p 为材料密度。利用方程( 2 1 ) 、( 2 - 2 ) 两式，式( 2 - 3 ) 川以化为 c ，掣一三：c ：一a 2 u ( x , t ) o t 2 p 0 x 2 ( 2 4 ) 其中，杆中纵波波速。2 7 p ，在不计体力情况下，我们可以得到 a 2 u ( x 一! a 2 u ( x ，f ) 丁一丁 ( 2 - 5 ) 此可以看 ，对于无限氏弹性杆，其纵向自由振动定解问题是一个维的 韧m 1 问颢，即 氅掣= ( 1 2 1 a 2 u ( x 一, 0 ( ，0 ，一。 。) 0 f o x u ( x 0 ) = 妒( x )( 一。 x 0 0 ) 掣：( x ) ( 一o 。 z c 。) a ， 7、 、。 对这一定解问题可以赢接利用d a l e m b e r t 公式进行求解。 23 一维波动方程的行波解法 利用d a l e m b c r t 公式求解i ：述定解问题可以表述如下 在朗豇佝公式( 2 - 6 ) 中作变量代换，即令： o ( 2 - 6 ) 州ei ：业人学硕+ 学位论文 则波动方程可以转化为如下形式 通过两次积分可以得到方程的通解为 第二章等截面h 朴应力波分析及仿真 材= f ( 亭) + g ( 7 7 ) 甜= f ( x c f ) + g ( x + c f ) 通解式( 2 - 1 0 ) 中的函数f 和g 是具有两阶连续偏导数的任意函数， 和g 可以利用初始条件来确定。利用初始条件不难得到下述关系 黑篇gx 乳一，( x ) +( ) = 二庐( x ) l 利用式( 2 11 ) 第二式进行积分可以得到 一瞰) + g ( 垆弘( x ) 出+ 其巾，k = f ( a ) + g ( a ) 为积分常数。结合式( 2 - 1 1 ) 第一式，可以得到 将上述两式中的x 分别以x c t 和x + c t 代替，则有 f ( x c t ) g ( x + c t ) = 因此定解问题的通解可以最终表示为 r 2 7 1 ( 2 8 ) ( 2 1 1 ) f 2 1 2 ) ( 2 13 ) f 2 1 4 ) 、krj f f c c 十 石 x f i i i 善叩 = 塑嘞 f p 瞰 m一2一2 一 十 出 如 力 曲 ( ( ，知。，如。 一知，一知 一 + ) ) 扛 0 妒 妒 l 一2 1 2 1 1 1 1 力 功 ( ( f g 七一2女一2 一 + 出 出 ) ) x x ( ( 庐 _rj“”rj ，一弘 ，一 一 + ) ) c c 一 卜 茁 x ( ( 妒 p 一2 l 一2 阿，i li ：业大学硕十学位论文 第一章等截面直料廊力波分折及仿真 “= f ( x f f 、+ g ( x 十c l 、 = 知一，) 十加州) + 爿抛) d r 。1 5 这一公式称为d a l e m b e r t 公式。由于波动问题的解可以表示为两个函数 f ( x c r ) 和g ( x + c t ) 之和，而两函数的具体形式完全由初始条件柬确定。函数 f ( x - c t ) 的物理意义为：杆上质点振动所构成的外形函数f ( x c ，) 足以波速度c 沿x 轴正方向传播的，称之为右行波。与此类似，形如g ( x + “) 的解就代表一个 以速度c 沿x 轴负方向传播的左行波。于是，d a l e m b e r t 公式表示的解可以理解 为由任意初始扰动引起的自由振动总是以行波的形式向左右两个方向传播，其传 播速度是常数c 。 山d a l e m b e r t 公式不难看出，在( e r ) 的解的数值仅依赖于x 轴上区f 叫 x c t ，x + c t 内的初始条件，而与x 轴上其余点的初始条件无关。因此称区问 x - e l , x + c t 为点( f ，) 的依赖区问，它是出过点( x ，f ) 的两条斜率为三的直线在 c x 轴l 所截得的区f b j ，如图( 2 - 2 ) 所示。 n ( 2 2 ) 图中的x 一，平面称为相平面或物理平面，过相平面内任点p ( x ，1 ) ，作两条 剁率为三的直线分别交x 轴于爿( s ，o ) 和b ( 仇o ) 。显然，对于右行波而言，直 c 线a p 上各点的相位均相同，且等于a 点的x 坐标值f ，因此直线a p 上各点的f 值相同：利于矗行波，沿直线曰p 也有类似的结论。由此有 1 7 蚶北t 入学硕卜学傅论文第：季等截面缸杆胞力波分析及仿真 ，(x州-ct)：-ft?)g(xg ( r 1 ) p 1 6 1 + c f ) = ) f 。 利用d a l e m b e r t 公式可以给出p 点的“为 妒) = 1 叫) 州驯+ 去( x ) 出 ( 2 邶) 我们称区间【a ，b 】为p 点的依赖区间。同日_ j 不难发现，p d 口。 j 的任意 点u 由【a ，b 】上的仞始值所决定，予是称3 d m b 为区i 6 j a ，b 的决定区域。 根据上述分折可以发现，相平面内的直线= x - - e l 和_ = t + c t 在一维波动方 程的解中起着重要的作用，：l 别fj 分别称为右行和左行特征线。、娈化。和r 的值 时，0 二柏平面内给出的两族 行直线称之为特征线旅。沿同一条右特征线上的f 为常数，沿同一条左特征线上的g 为常数，因此我们说扰动总是沿特征线传播 的。 2 4 一维波动方程的特征线解法 f 面用特征线法束求解位移形式的被动万栏，考虑如l 、方程的蟪后牟， 曼：竺! 兰，! ! = ，z ! ：! ! 苎：! ! 西2。融2 f 2 - 18 如粜舣。“2 ；，x + c t 2 口，其通解可以表示为： u ( x ，f ) 2f ( # ) + g ( 口) 9 ) “分刖列。和求偏导，则有 。：堑堂堕生：鲨+ 堕 。c 学出d _ d x 啦d 7 r 2 ，2 0 ) 。：堡坐+ 堕立：。卜竺+ 堕) ”面言+ 面i 。卜面+ 面 r 2 2 由上两式作加减运算可得 山 一两式作加减运锋i f 得 魏北 q f 足4 竣黔学筘蹬趸 露一牵等敛蠹逡拇庵力渡分辨盈傍囊 致+ 咄1 。2 堕 。 蜘 f 2 ，2 2 ) 1积 驴苫鹎胡面 ) 由于g 投跫誓22 + “的遁数，f 仗是善。茁盘稔函数，予是我们可以褥割 考崽爨 漆器2 x 每c l = c o n s t 铲岛。 沿掌= x 一甜：c o n s ! t 两式可以馥霉为 萨 o _ 致蚶。焉2 i 毽。魄 + p c u = c o n s t 洮q 2 x 七e t = c o n s t 2 2 4 ， ( 2 - 2 5 ) ( 2 2 6 ) 晓一2 7 ) 不罐嚣蹦，r l = x + 刺2 c o n s g 剐毒。x - - c t 。c o n s t 褒x f 平i 戮上给出了嚣援特 女e 线，式( 2 * 2 6 ) 3 ：；i 式( 2 2 7 ) 绘出了澄特短终上约姆籁相容关系，或髂豁筵搁客条件。 值得注懑的怒，在导出式1 2 2 6 ) $ n 式( 2 - 2 7 ) 时没翁涉及初始祭释和边器装静，它币 缘d a l e m b c r t 公式必须要骥褒( 一。，”，区m 史绐出仞傻。 鳓囤( 2 3 ) 所示，蠡l 聚p a 釉p b 分别是相平酾上右行和发行线，我们可以得 翻 a 8 劁( 2 - 3 ) 1 4 第一毒筹藏西藏丰 麻力波分析及仿真 盯，+ p c 哗= # + 沿p b ( 2 - 2 8 ) 巧p p c u p = 盯_ 一，”u 沿p a f 2 2 9 ) 如果a 、b 两点豹状态已知( 即o - 和” j j 知) ，刚由土两式可以求褥p 点的 状态。 a r 圭 ( d 。十盯s ) 一p c ( u 一一) 】 ( 2 3 。) 旷扣嘞卜去c 吼刮， 浯。；， ! a 、b 两点状态相网，即。盯r ，2 时，可阻得至 仃，4 = 盯8 = 盯” ( 2 3 2 ) 哆15 。唧 f 2 3 3 ) 遴一步霹以接知，当连接a 、b 两点的篷 线上各点的g 和p 均襁同时，剐由 特征线p a 、p b 和曲线a b 所圈成的区域是一个恒值区，即垓区域内的每一点的 状惫均辛霾网 如| 、鹫( 2 4 ) 所示) 。 ， p 2 5 有界杆定解问题的解 考虑下丽的定解问题 图( 2 - 4 ) 两托j ：娩大学礞七学能论文第二擎等戤耐塑料1 成力渡势静寻及仿甄 芸：f 3 鬈归舀弦 两2 。触2 ”7 u ( o ，) = oo o ) 却b o 兰秽爿( 芏辔) o u f ( x , o ) = 萨( z ) ( x 。 ( 2 - 3 4 ) 其中，边界条件表示在并= 0 的一瑞秆是回怒t 冈此这是一个半尢黻长杆台勺波 动阕爨。求瓣区域爱彝，乎秘瓣繁一象簸。挪暴要求“( 而) 在求解翡k 域悫戮边 界上怒连续的，就应设e ( o ) = 晚( o ) = o ，蛋则淌点x = 0 姆戈弦满足唆定糍的边 界条件。_ 是可p 22 1 奄- 妒0 ) 和( 并) 延掰为噌xc0 。区削i ：的奇匝数，这样柬 z = 0 谶的边界条转可甄萄然辩剽满是。换言之，可以将上遴翘豁条件魏写为 如，啦国= 般- x 、) 甚茎翟 眵3 s ， ；一妒t x s u j 掣删；雠善，篆篓 僻 这襻跫瑾窆嚣，出予定义躐东 0 ：0 0 。 图( 2 5 ) 1 6 两霓+ 妲大学碳 二学位论文 第一警誊惑爵姐f f 庶力渡分折及游真 m 图( 2 5 ) 小难看出，由j ：在x 甜区域内的任何点f i 0 依赖区删仝部位j 1 卜o ，x 0 ) 的区f n j 内，闻此解只依赖于，= o x 0 ，的初始条件，所以在区域 内的释只篇将c p ( x ) 和乒( x ) 的其体表达式直接代入( 2 3 7 ) 魏可以褥到。 11 ”y u ( x ，f ) = 拦 ( x ，玢= i 【妒( x - - c t ) + 妒( z + e o + 了：j ( x ) ( 蠡 g o ，羔 c t )( 2 _ 3 8 ) 山 。j 一“ 辩照域t 掣翮茜，共p i 患粥掀鞍照| 哪巴鲶辫刘殳芝捆上云j ，凼此爱妥利用 巾( x ) 和0 ) 的奇函数性质，得 心) = 1 9 2 忙知x + o g ) 唰小小j ? 他) 出一 卅蚺“( 正f ) = ( x ，) 2 寺 妒(一妒( 小x ) + 云( x ) 出一j ( 一w ) 疵 。 。0m 2 ；【妒( x + c ，) 一妒( c ，x ) + 害j i i ( x ) 蠢r ( r 。，o x c t ) ( 2 * 3 9 ) 如果定解问题式( 2 ，3 4 ) 的端点并：o 的边界条件改为塑璺旦：o ( f o ) ，男1 1 4 , 应鸯妒。) ：。，( o ) ；o ，这桴一象彳姥馕证蠖点鱼出，期满足掣。( o ) 麴 条件，此时应将妒0 ) 和o ( x ) 延拓为一。 x m 上的偶函数，这样一束x = o 处端 点的边界条件自然会得到满足。因此可以将定解问题的仞始条件改写为 出，o ) 叫加腮) ( 高 陪4 。) 掣训加腮，。篙 p 。t ， 这样处理历，由于函数定义在 当，e _ l ， 即a 叶。0 的极限情况，于是有 c 0 2c 0 】 ”，2o “r2 一“”“i2 “”a - h 72o ，| v n2 n ，2 22 2 ，。 玎见固定端反射时，端部 。l k f l , j 内力是入射波内力的两倍。丽端部位移恒为零，正是硎定端位移应满足的边 界条件。 2 7 直杆中应力波的仿真 仿真中采用的杆模型参数如下： 卡t 欧l = 1 0 0 m m ：截面矩形k d = 2 0 r a m ；宽b = l o r e ： 利料参数为：p = 7 8 3 1 03 k g m 3 ，e = 2 0 7 1 0 ”p a ，：0 3 由于锥杆模型是在u g 中构建的，然后导入到a n s y s 中，其长度单位为 2 盟 易 如一。 是作看以 可 i ，t i ；i li ：业入学硕f j 学他论文 第一章等截面直杆麻j 波分析及仿真 m m ，为了得到正确的计算结果，需将上面的材料参数变换为以卜数值： p = 78 3 1 06 k g m m 3 ，e = 2 0 7 1 08 k p a ，= 0 3 为了准确地捕捉到应力波，我们需要计算出在这中材料参数下应力波的波 速，根据公式：口= , 面7 7 = , 2 0 7 1 0 1 1 7 8 3 1 0 3 得至0 波速：a = 5 1 4 2m s 一- 5 1 m m “s 山于模型杆长为1 0 0 m m ，因此我们取时赳步长为4 s 就i 儿强获得比较清楚 的应力波传播现象。 2 2 曲北1 业人学碗十“学似论文 第一二章等截面商杆麻力波分析及仿真 m 北1 业火学硕士学俯论文 第二章等截面“杆麻力波分析及仿真 图( 2 - 7 ) 上n ( 27 ) 显示了一+ 端固定，一端自山，自由端受瞬时轴向冲击载荷作用的 一 等截而直杆中应力波传播的一个完整过程。除了可以观察到波阵面在杆中清晰的 传播过程外，还可以看出，当应力传播到固定端( 2 0 ls 时) ，应力达到峰值。 f 。 8 f h几 川 if j 、”? 、i j 3 j s 000 5n 10 t 50 】 t i m ef f - n 孙 ( 1 ) 自由端一节点的等效应力 2 4 啦 m7 f f f *j 心 h 啦 0 00 50 1 0 1 5 02 t i m b ( e - 0 3 j ( 2 ) 自由端一节点的速度 n 0 d en 0 a _ 3 1 5 5 0 5 ， 5 0 0 1 n口-_lu卫a”石。n 一 小4嘲 叩 上 n+uv，v ll_，_u0u 第一章等截面亢卡j 府力波分析及仿勇 10 写 + g8 官 三6 8 1 5 ：2 t 0 f4 1 f l 八八 f；a 1 。 v ? 1 ， y 1 j 、f 饥 00 0 50 10 1 50 2 m ef f - n m r3 ) 打巾问仟意一点的等效应力 8 0 e l e m e n ln i 土 2 2 日 ? 0 ：- o 000 50 l1 50 2 t i m ei i ：1 1 3 1 ( 4 ) 杆中间任意点的速度 00 0 5o 1o 。150 2 t i m ri f n 3 、 n o d en 0 上7 5 0 e i e m e n tn t