（检测技术与自动化装置专业论文）细胞网络对称与同步分析.pdf

摘要 神经细胞在中枢神经系统信息处理过程中起着关键的作用，神经细胞信息的 传输体现了丰富的非线性特性。因此，耦合的多细胞网络的非线性动力学研究具 有重要意义。神经作用是大量神经细胞形成网络，信息传递，交互作用的结果， 细胞间的信号同步是神经系统信息传输中的关键机制，并且细胞网络的对称对信 号的同步有很大的影响。本文主要研究神经元网络的同步问题，以及网络的对称 对系统同步的影响。 本文首先研究了两细胞耦合组成的对称系统的同步和稳定性问题，发现了在 耦合参数的影响下，子系统会改变原有的状态，并与另一个子系统达到同步；由 于耦合作用，单个子系统初值的改变可以引起整个系统从一种稳态到另一种稳态 的跃迁。 然后，本文将三细胞耦合的3 4 种网络按其对称性，分为z ，对称，d ，对称， z ，对称，内部z ，对称和无对称等五类网络；按照细胞网络的组合方式以及电信 息单向传递的原理，建立了各类网络的电缆模型和以f h n 模型为基础的数学模 型；本文在不考虑耦合强度的影响下，找到三细胞网络达到局部同步的对称条件； 并给出了在各类对称网络中耦合参数所需满足的充分条件。 研究结果证明了网络对称对系统同步的重要影响。通过数值仿真，证明了上 述理论的正确性。 关键词：细胞，网络，同步，对称 a bs t r a c t c e l l sa r eb e l i e v e dt ob et h ek e ye l e m e n t si nt h es i g n a lp r o c e s s i n go fn e u r a ls y s t e m t h et r a n s m i t t i n go fn e u r a li n f o r m a t i o ne x h i b i t sn o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c s ，s ot h e d y n a m i cp e r f o r m a n c eo fc o u p l e dn e u r o n sg e t st h em a i nf o c u si nt h en e u r o s c i e n c e r e s e a r c h m a n yc e l l sc o u p l i n gt of o r mn e t w o r k s ，t r a n s m i t t i n gi n f o r m a t i o n , a n dt h e i r i n t e r a c t i o nc o m p l e t et h en e u r a lw o r k , t h es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dc e l l sp l a y st h e m a i nr o l ei nt h ep r o c e s so fn e u r a li n f o r m a t i o nt r a n s m i t t i n g ，a n dt h es y m m e t r yo ft h e c e l ln e t w o r kh a sah u g ee f f e c to nt h es y n c h r o n i z a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h en e t w o r k s y n c h r o n i z a t i o na f f e c t e db ys y m m e t r yi si n v e s t i g a t e d a f t e rs t u d y i n gt h es y n c h r o n i z a t i o na n ds t a b i l i t yo ft w os y m m e t r i cc o u p l e dc e l l si n t h i sp a p e r , i ti sf o u n dt h a t , e f f e c t e db yt h ec o u p l i n gp a r a m e t e r , o n es u b s y s t e mw i l l c h a n g ei t sf o r m e rs t a t ea n ds y n c h r o n i z ew i t ht h eo t h e rs u b s y s t e m b e c a u s eo ft h e w o r ko ft h ec o u p l i n gp a r a m e t e r , t h ec h a n g eo ft h ei n i t i a lv a l u eo fo n es u b s y s t e m w o u l dc a u s et h ew h o l es y s t e mt oc h a n g ef r o mo n es t a b l es t a t et oa n o t h e r a sf o rt h r e e - c e l ln e t w o r k s ，t h e ya r ef i r s td i v i d e di n t of i v ec a t e g o r i e sa c c o r d i n gt o ， t h e i rs y m m e t r y ：z 3s y m m e t r y , d 3s y m m e t r y , z 2s y m m e t r y , i n t e r i o rz 2s y m m e t r y , n o n es y m m e t r y a c c o r d i n gt ot h ec o m b i n a t i o no ft h en e t w o r k sa n dt h et h e o r yo f i n f o r m a t i o nt r a n s m i t t i n gt h r o u g ho n ec e l l ，t h ec a b l em o d e la n dt h em a t h e m a t i c a l m o d e lb a s e do nf h nm o d e la r ee s t a b l i s h e d t h es y m m e t r i cc o n d i t i o ni sf o u n df o r l o c a ls y n c h r o n i z a t i o n ，i n d e p e n d e n to ft h ec o u p l i n gp a r a m e t e r ；i ta l s og i v e st h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ec o u p l i n gp a r a m e t e rf o rt h ek i n d so fn e t w o r k st o s y n c h r o n i z e t h er e s e a r c hp r o v e st h es i g n i f i c a n te f f e c to ns y n c h r o n i z a t i o nf r o ms y m m e t r y t h e r e s u l t so fs i m u l a t i o nd e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo f t h et h e o r e t i ca n a l y s i s k e y w o r d s ：c e l l ，n e t w o r k , s y n c h r o n i z a t i o n ，s y m m e t r y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成求，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅苤堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 籼论文作者签名：专互 签字同期：一7 年f 月2 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存j 汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 旦翩繇纠厶 签字同期：叫年f 月椭签字同期：刎年f 月2 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 脑科学是上个世纪后半叶兴起的一门综合性学科。脑科学主要有三大课题， 一是认识大脑，阐明大脑感知、情感、意识的脑区结构和功能；二是保护大脑， 征服疾病方面的课题：三是开发模仿大脑的计算机。大脑的基本组成单元是神经 元，人的大脑中有1 0 0 0 亿个神经元，要从科学上搞清大脑是如何工作的，如何 加工和处理外部信息，产生情感和思想，首先，要解释神经元直接的连接形式， 奠定行为的脑机制的结构基础；其次要阐明神经活动的基本过程，搞清神经元的 特殊细胞生物学特性，认识实现各种功能的神经回路基础，解释脑的高级功能机 制。 神经科学作为继分子生物学突飞猛进的发展之后，又一个生命科学发展高潮 迅速崛起，向着揭示自然科学最深奥的问题之脑的奥秘发起猛烈冲击，这 是近十年来令人瞩目的事件。 人的感觉、运动、学习、记忆、情感和思维都是以神经系统的活动为基础的， 所以，神经科学的基本内容是研究入和动物的神经系统的结构与功能及其相互关 系的科学，是在分子水平、细胞水平、神经网络乃至系统和整体水平上，阐明神 经系统特别是脑的物质、能量和信息的基本活动规律的科学。神经科学与数学、 物理学、化学、计算机科学乃至工程学等不同学科中的理论和实验技术结合十分 紧密，当今的神经科学实际上已经发展为多层次、多学科的交叉科学。 神经作用是大量神经细胞形成网络，信息传递，交互作用的结果，因此，研 究神经网络对神经科学有着重要意义。三细胞网络，是多细胞网络的基础，在充 分研究三细胞网络动态特性的基础上，研究小网络对大网络的影响，是神经科学 研究的一种重要方式。 1 2 研究背景 1 2 1 神经科学 上个世纪5 0 年代英国生理学家h o d g k i n 和h u x l e y 建立定量描述细胞膜电 特性的微分方程组，即著名的h o d g k i n - h u x l e 模型，简称h h 模型，很好的模拟 了细胞动作电位的产生过程。随着神经网络以及神经计算的发展，对脑功能的研 究受到广泛的重视。人们提出了各种人脑行为的数学模型，如模糊神经网络模型、 动态神经元模型等，在联想记忆容量、容错性和模糊感知等方面都有了极大改进。 第一章绪论 随着应用领域的拓广和研究的深入，人们逐渐发现各种模型都有其局限性，与真 实人脑活动仍有巨大差距。因此有必要从实验及理论方面重新审视具有神奇计算 能力、记忆能力和图象处理能力的脑工作机制，除了建立更为真实的模型外，研 究已有神经模型的集成动力学特性显得更为重要，因为现在已经得到的神经元模 型都跟实验很好的符合，但是由于它们的非线性、耦合的复杂性、随机性、噪声 等因素，人们对其组成的系统特性和其工作机制还无法预测与理解，因此对神经 动力学进行非线性动力学研究，理解其复杂工作机理，是一个挑战的课题。 1 2 2 混沌 混沌( c h a o s ) 是指由于非线性因素的存在确定性系统中出现的一种貌似无 规则的、类似随机的现象，它的主要特点是对初值的极端敏感性和长期不可预测 性。 用来描述神经细胞的模型是一个极其复杂的包含很多非线性项的高维模型， 因此，非线性科学中新兴的理论能够用来分析神经元的电特性。混沌理论在神经 电活动领域的应用主要集中在神经细胞在外界刺激下，动作电位的发放模式。现 在人们已经公认电信号是神经系统处理和传导的基本信号之一。神经细胞用以传 达信息的信号是电流跨过细胞膜表面流动而产生的动作电位的变化，神经细胞膜 可因局部电位变化从静息水平超极化或去极化，动作电位沿其轴突运行，动作电 位序列承载有神经系统的信息。研究发现在外加的周期电刺激下，神经细胞的动 作电位会出现混沌的放电模式。神经活动中的混沌，对于研究神经细胞膜的离子 通道特性、神经兴奋模式、神经系统信息编码方式、神经细胞相互连接和相互作 用等有重要意义，对于诊断某些神经系统功能失调、缺损等疾病，混沌概念有特 殊的意义。人们时刻处于外电场的辐射中，而且一些疾病的治疗，需要适当的引 入外界电刺激，因此，研究外电场作用下神经元的动态特性是一个研究的热点。 1 2 3 同步 同步( s y n c h r o n i z a t i o n ) 指的是振荡系统之间通过某种作用互相影响，调节各 自的行为趋于一致。同步现象早在1 7 世纪，就由惠更斯提出来了，他观察到拴 在同一根横梁上的两个钟摆的摆动时，行为会趋于一致。对周期振荡系统之间同 步的研究，已经比较深入了。 混沌同步( c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ) 指的是混沌系统之间相互作用相互影响， 调节各自的行为趋于一致。混沌同步现象是上个世纪九十年代初期发现的。由于 混沌对初值极端敏感的这个特性，人们最初认为混沌同步不可能实现。但是 p e c o r a 和c a r r o l 在专门设计的电子学实验线路中用所谓的p c 同步方法实现了 第一章绪论 两个混沌系统的同步i 眦i fi ，并且给出了同步建立的条件，开辟了一片新的天地， 并迅速引起人们的关注。随后，驱动响应的同步策略被成功应用于保密通讯 当中，混沌信号成为伪随机码的及佳替代者。 导致混沌同步有两种主要的耦合方式，一种是单向耦合，一种是双向耦合。 在单向耦合同步中，全局系统由两个子系统以驱动响应的结构组成。在耦合 的系统中，其中一个子系统的行为如果不因为耦合而产生改变，那么这种耦合结 构就叫做单向耦合或者驱动响应耦合。除了驱动响应的，还有互相耦合的同 步方法。双向耦合中，两个混沌子系统互相耦合，互相影响，调整各自的节律趋 向于一个共同的轨道从而产生互相同步的行为。混沌同步状态一般分为完全同步 和相位同步。在完全同步状态中，耦合的系统间不但相位一致变化，幅值也一致 变化。完全同步一般出现在确定的耦合模型间。相位同步状态指的是耦合的混沌 系统间只有相位一致变化，而幅值没有联系。相位同步在生命体中出现较多。生 理学家在研究心脏呼吸疾病的时候，发现了心脏的节律和呼吸的节律通过微弱的 双向耦合而出现的相位同步现象1 3 i 1 4 1 1 5 1 1 6 i 。另外，混沌相同相步在研究帕金森病的 发病成因上也被广泛应用i _ 。 1 3 研究思路 本文首先研究两个神经元之间的同步和稳定性问题。单个神经元选用f i - i n 模 型，耦合后分析初值变化，耦合参数变化对单个细胞的状态、系统整体以及稳定 性的影响。 、 然后，研究三个细胞组成的网络系统中对称对同步的影响。分为三部分，首 先，将三细胞耦合网络根据其对称性分为五类，其次，在不考虑耦合参数影响时， 各类网络的同步情况，再次，耦合参数对网络同步的影响。 1 4 主要贡献 1 ，建立了各种对称模式下的网络电缆模型和数学模型。 2 ，研究了两细胞耦合系统的同步和稳定性问题。发现了在耦合参数的影响 下，子系统会改变原有的状态，并与另一个子系统达到同步；由于耦合作用， 单个子系统初值的改变可以引起整个系统从一种稳态到另一种稳态的跃迁。 3 ，建立了三细胞耦合的各类对称网络的电缆模型和以f i n 模型为基础的数 学模型；找到了在不考虑耦合强度的影响下，三细胞网络达到局部同步的对称条 件；并给出了在各类对称网络中耦合参数所需满足的充分条件。 第一章绪论 1 5 内容安排 本文结构如下： 第二章是文献综述，主要介绍细胞网络、同步、对称的基本理论。 第三章以f h n 为模型，研究两细胞耦合下系统的同步和稳定性问题。 第四章将三细胞组成的网络根据对称性分类；分别研究各类网络的细胞同步 问题，得到对称性对细胞同步的影响；以及各类网络要达到同步，耦合参数需满 足的条件。 第五章对全文做了总结，并提出下一步的研究方向。 最后，列出了参考文献以及致谢。 第二章文献综述 2 1 神经科学的研究现状 第二章文献综述 大脑是由大量的神经细胞组成，人脑中大约有1 0 1 1 个神经元，神经元由细胞 体、树状突、轴突和突触等组成。 神经科学的研究最初是由神经元模型的研究开始的。对神经电活动的模型研 究开始于上个世纪5 0 年代。英国生物学家h o d g k i n 和h u x l e y 将毛细玻璃管电 极从切口纵向插入乌贼巨型轴突内，对其施加刺激，首次实现了静息电位( r e s t p o t e n t i a l ) 和动作电位( a c t i v ep o t e n t i a l ) 的细胞内记录，并对记录的数据进行了精确 的定量分析和大胆的假设，建立了精确描述细胞膜电行为的微分方程组h h 模型1 2 l l 。h h 模型定量描述了跨膜的动作电位，是所有可兴奋细胞的基础模型， 但是它是一个四阶的非线性刚性系统，很难得到解析解和进行数学分析。 f i t z h u g h 对h h 模型进行了简化，建立了二维系统，并与n a g u m o 提出的n a g u m o 电路结合，建立了f i t z h u g h - n a g u m o ( f h n ) ；t 奠型_ j1 8 1 1 9 1 1 1 们i i n i i 朋，在这个模型中引入 了一个恢复变量( r e c o v e r yv a r i a b l e ) 来描述动作电位的慢变过程。f h n 模型比较精 确的描述了动作电位的产生，并且把模型降成两维，为进一步研究提供了基础。 r a i l i b i 在1 9 7 7 年将科希霍夫定理( k i r c h h o f f sl a w s ) 应用到神经纤维的电活动研 究中，提出了定量描述外加电刺激柱状神经细胞电缆模型( c a b l em o d e l ) 。 2 2 网络与对称 非线性动力系统网络目前方兴未艾，主要是因为它们可以在广泛的领域为实 际系统建模1 2 2 1 1 1 t l 。一个耦合的细胞系统是一个动态系统或者“细胞一相互耦合 的网络。网络结构是一个表明细胞怎样耦合以及哪些细胞等价的图1 2 4 1 。 两细胞网络有三种不同的网络形式，包括双向和单向环。【2 5 q b 概括了“多 箭头”网络，总结了相对于单向耦合的优势，最近，有人研究了第三种网络，前 馈网络1 2 6 1 1 2 7 1 。我们知道，这些网络中包含着各种不同并且有趣的现象。 【2 8 中提出三个同类细胞组成的网络有3 4 种不同组合方式，这3 4 种网络可 体现出三细胞网络所有的非线性特性。 对称性在细胞网络研究中起着重要的作用。早期研究中，网络对称性仅仅是 用于分析的数学模型1 2 引。后来，对称理论也应用于具体应用中的网络，如，激光 束1 3 0 l ，动物步态1 3 1 1 1 3 2 i 1 7 1 1 2 0 1 1 1 5 1 ，视觉皮层1 3 3 i l a 4 l i a 5 i f 3 6 0 等。 第二章文献综述 【3 7 1 1 3 1 指出，标准的四足步态( 走路，小跑等) 是高度格式化的对称模式。 【3 8 】【3 5 】【7 】揭示了对称在主视觉皮层连通中的作用( 电信号从视网膜传到侧膝神 经，然后传到主视觉皮层) ，从而建立该系统模型，并用对称性解释几何视觉幻 觉所起的作用。 【3 9 指出，一个给定的耦合细胞网络的向量场的类可以完全由对称性群来表 示1 7 1 ，也可以认为是一个局部对称集合。这种非严格形式的对称表明，全局对称 不是唯一解释细胞网络动态特性的方法。 2 3 混沌 2 3 1 混沌的产生与发展 上个世纪6 0 年代末美国气象学家l o r e n z 研究一组描述大气对流的微分方 程，用计算机做数值计算，观察这个系统的演化行为。在计算观察中，确实看到 了这个确定性系统的有规则行为，同时也发现了同一系统在某些条件下可出现非 周期的无规则行为。在6 3 年1 4 1 i ，l o r e n z 揭示了一系列混沌运动的基本特征，如 确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等，他还在混沌 研究中发现了第一个奇怪吸引子一l o r e n z 吸引子，为混沌研究提供了一个重 要模型，并且他最先在计算机上采用数值计算方法进行具体研究，为以后混沌的 研究开辟了道路。从7 0 年代开始，混沌理论的热潮开始兴起。1 9 7 1 年，法国数 学物理学家r u e l l e 和荷兰的t a k e n s1 4 0 l ，提出了用混沌来描述湍流形成机理的新 观点。1 9 7 5 年，美国人y o r k e 和他的华人学生李天岩1 4 2 1 提出了一个有关混沌的 数学定理i 。i y o r k e 定理，认为3 周期轨道的出现，蕴涵着混沌。定理描述了 混沌的数学特征，为以后一系列的研究开辟了方向。 上个世纪8 0 年代以来，混沌理论取得飞速发展，特别是神经科学的研究也 引入了混沌概念。人们陆续在单个神经元、小规模的神经组织以及神经中枢中都 发现了混沌现象的存在，并且发现混沌理论能很好的揭示神经系统复杂的动力行 为。 2 3 2 神经元的混沌 a i h a r a 和m a t s u m o t 0 1 4 3 i i “i 研究乌贼轴突在正弦电流刺激下动作电位的响 应，发现了动作电位的发放模式包括周期、拟周期和混沌，并且他们还以h h 模 型为研究对象，应用非线性动力学的方法研究了h h 模型的分岔和混沌振荡，得 到了跟实验分析相同的结论1 4 5 】。k a z u k o l 4 6 l 等人为了研究肌肉离子通道疾病的机 理，以肌肉的h h 模型为研究对象，以方程中的漏电导为分岔参数，研究肌肉的 h h 模型的非线性动力行为，发现了正常的动作电位、反复发放的动作电位以及 去极化的静息电位等三种动作电位状态，它们分别对应正常的肌肉、肌肉僵直和 第二章文献综述 瘫痪等三种状态。在1 4 6 1 的基础上，s h o j i 和h e e h y o l l 4 7 1 磊) ：究了h h 模型在周 期电刺激下的响应特性，他们发现，对h h 模型施加一个正弦激励项，在固定激 励频率的情况下，激励振幅在一定范围内从小增大，动作电位从没有发放经过锁 相振荡，然后到达混沌振荡的过程。t h o m p s o n 等人i 档i 建立了神经纤维在外电场 刺激下的电缆方程，研究了随着外部电场频率的变化，动作电位发放模式的变化。 他们发现随着外部电场频率的增大，动作电位由最初的单周期振荡变成锁相振荡 到混沌振荡之间来回转换，他们的工作为电缆模型的应用提供了一个很好的思 路。除了h h 模型和电缆模型外，f h n 模型也越来越多的在神经电活动领域得 到应用。s a t o 和d o i l 4 9 i i l 以f h n 模型为研究对象，研究了神经元在周期脉冲电 刺激的响应特性。他们发现了f h n 模型在周期电脉冲序列刺激下的分岔结构， 随着电脉冲幅值的增加，动作电位的响应出现刀：聊的锁相振荡以及混沌振荡。 受突触驱动和神经元调制的影响，引起的细胞离子环境的变换，使神经细胞 能够在很多不同模式下工作，例如产生单个的神经电脉冲，连续发放动作电位等。 神经细胞的这些不同状态受外部输入的控制，所以很多神经生理学家都研究单个 的神经元是不是能产生混沌电位序列。这些混沌电位序列是不是可以作为神经系 统中的一种编码模式在神经系统的信息传递中发挥及其重要的作用f 5 1 i i 鸵i 。这个 假设现在已被m e c u l l o c h 和p i t t s 很好的证明i s 3 j 。 2 4 同步 对同步的研究要追溯到1 7 世纪h u y g e n s 对挂在同一根横梁上面的两个钟摆 之间摆动同步这一现象的研究，随着物理学的发展，对周期振荡子之间的同步现 象已经研究的比较深入。 近年来，随着非线性动力学理论的发展，对同步的研究已经开始转到混沌系 统中来。由于混沌系统对初值的极端敏感性，相邻的两个轨道会随时间呈指数分 离，两个没有任何联系的孤立的混沌系统是不可能同步的。因此，主要研究相互 耦合的混沌系统问的同步。混沌同步一般定义为两个或多个混沌系统，由于耦合 或外部驱动而调整一个给定的动作特性趋于一致。导致混沌同步有两种主要的耦 合方式，一种是单向耦合，一种是双向耦合。在单向耦合同步中，全局系统由两 个子系统以驱动响应的结构组成。驱动子系统随时间自由演化，并且驱动从 系统，从系统受驱动子系统产生的混沌信号驱动来产生响应，逐步跟驱动子系统 的行为趋于一致。单向耦合在混沌通讯中应用比较多。双向耦合中，两个子系统 互相耦合，互相影响，调整各自的节律趋向于一个共同的轨道从而产生互相同步 的行为。比较典型的双向耦合的例子一般出现在生理学当中，比如心脏和呼吸系 统之间或者两个互相作用的神经元之间。这两种耦合方式显著不同，不可能把其 第二章文献综述 中一种简化为另一种，或者在这两者之间找到联系。耦合混沌系统之间的同步的 状态主要有完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，c s ) 、相同步( p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n ，p s ) 、延迟同步( 1 a gs y n c h r o n i z a t i o n ，l s ) 、普遍同步( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ，g s ) 、间歇延迟同步( i n t e r m i t t e n tl a gs y n c h r o n i z a t i o n ，i l s ) 以及非 完全相同步( i m p e r f e c tp h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，i p s ) 。 完全同步指的是耦合的相同的系统中，状态变量随着时间的推移而变成完全 相同，又叫常规同步i 川。在耦合的系统中，其中一个子系统的行为如果不因为耦 合而产生改变，那么这种耦合结构就叫做单向耦合或者驱动响应耦合。在这种耦 合结构下，各种让同步产生和稳定的耦合策略被研究者们提出，其中最具开创性 的是p e c o r a 和c a r r o l l 两个人1 1 1 1 2 1 提出的p c 同步法。在这个方法里面，一个混 沌系统可以驱动分解成驱动子系统和响应子系统，当响应子系统在驱动信号作用 下的l y a p u n o v 指数( 又叫条件l y a p u n o v 指数) 全为负的话，那么同步就建立 了。他们还指出，对于一个给定的混沌系统，并不是任意选择驱动信号都可以来 产生同步的。其后，k o c a r e v 和p a d i t z 两人f 1 6 i 又提出了主动被动分解同步 方法( a c t i v e - p a s s i v ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d , a p d ) ，可以自由选择驱动信号，因而 更具有应用的普遍性。驱动响应的同步策略来实现同步在混沌保密通讯中得 到非常广泛的应用。 两个相同的混沌系统通过耦合，在一定条件下能产生完全同步，但是在实 验或者真实的系统中，不可能有完全相同的系统，总有一些参数的不匹配。因此 研究两个有微小参数差别的混沌系统之间的同步也非常重要，这个时候不可能出 现完全同步。两个独立的混沌系统耦合以后，随着耦合强度的增加，一个稍微弱 一点的同步，即所谓的相同步就会出现1 1 7 1 ，适当定义的两个混沌系统的相位保持 一致，但是振荡的幅值不一样。如果混沌振荡子覆盖了很宽的时间坐标的话，那 么相位并不会完全同步，而会被一些间歇的相位衰减中断，这种同步叫做非完全 相同步i l 引。进一步增强耦合强度，耦合的两个混沌系统就会出现更高程度上面的 同步，不但相位同步变化，而且振荡幅值也同步变化，只是在时间上有一定的延 迟，又叫延迟同步l l 射。继续增大耦合强度，延迟时间就会趋向于0 ，这样两个不 一样的系统就开始近似完全同步了。两个不同的混沌系统在一个足够强的耦合强 度下耦合，它们的轨道被压缩到整个相平面的一个子空间上，由于这两个系统不 一样，因此在这个子空间上，这两个系统的状态变量不会完全相等，而是成一个 比较复杂的确定的函数关系，这就叫做普遍同步0 1 s i i m i 。普遍同步也可以看作是 一种两个系统状态变量成确定函数关系的完全同步。 上面提到的混沌同步情况，耦合的两个系统结构相同，只是参数有微小差别。 然而在自然界种。不可能存在两个结构相同的低维系统耦合的情况，因此需要把 第二章文献综述 同步的概念扩展到结构不同的混沌系统，即系统的混沌吸引子的分形维数是高维 的并且互不相同。1 1 8 l 指出，两个分形维数不同的混沌吸引子耦合，同步轨道可 以是在一个比两个混沌吸引子维数都低的其中一个吸引子当中，也可以是一个周 期轨道。 本文将对称性引入三细胞网络的同步问题研究中，并利用局部对称研究网络 系统的局部同步问题。 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 3 1f h n 模型 f h n 模型如下 童。七一荆 地1 ) 夕= 一二( x 一口+ b y ) 式中，x 与硼模型中电压变量具有相同的行为特性，y 则对应恢复变量。 本文研究通过电信号耦合到一起的两个神经元i 眇i ，如，通过细胞间隙的离子 流耦合。这样，根据 2 0 我们选择用细胞间的电位差乘一个常数进行耦合，就可 以仅在电压方程中耦合细胞。按照由易到难的原则，本文将研究两个完全相同的 细胞，并且耦合参数相同。令 口，- - a ，b ，= 6 ，c ，= c ， 2 = 九1 = ，_ = 1 , 2 从而产生一组四阶、耦合、非线性的常微分方程 戈。= c 。+ x 。一1 3 x ? ) 一厂g 。一x ：) 羔茗k + x 1 21 砌3 x ； ) 巩：训 ( 3 2 ) j 2 = c 2 一 一，g 2 一毛) 夕2 = - 1 c ( x 2 一口+ 砂2 ) 为了简化，采用如下的变量转换 x 1 = l 2 ( x l 一屯) ， 置= 1 2 ( x l + 而) ， ( 3 3 ) e = 1 2 一) ， e = 1 2 + y 2 ) ， 则方程组( 3 2 ) 可简化成如下形式： x l = c ( k + x l - 1 3 矸一五x ；) + 2 9 x t r l2 1 c ( x i + b y e ) ( 3 4 ) x 2 = c ( 匕+ x 2 1 3 x ；一x l 叉苫) 、 ，l， 艺= - 1 c ( x 2 一a + b y 2 ) 采用上述变量转换是因为，我们主要讨论的是两个神经元之间的同步问题， 用x 。= 1 2 ( x 。- - x 2 ) ，z = l 2 ( y 。- y ：) 就可以直接通过x ，和z 的响应曲线，以及 x ，和k 的相轨迹来判断两个神经元是否同步。 单个参数的分叉点为a = 0 7 ，b = 0 4 ，c = 2 可得平衡点： 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 舅3 + 3 ( i 0 1 4 1 弦一3 奉0 7 o 4 = o ；罗= ( o 7 - f f ) o 4 j 仁，y ) - - - ( o 9 6 6 2 1 5 2 4 4 4 ，- - 0 6 6 5 5 3 8 111 0 ) 3 2 平衡点的同步现象 取系统的初值为 g l ( o ) ，y i ( o ) ，x 2 ( o ) ，y 2 ( o ) ) = ( o ，0 ，0 9 6 6 2 1 5 2 4 4 4 ，- 0 6 6 5 5 3 8 11 1o ) 设耦合参数，= 0 0 1 ，= o 5 时，仿真图形均如图3 1 所示。 x1 ( a ) x l k 相轨迹 ( b ) 彳。的响应曲线 图3 1 初值为平衡点时的神经元同步特性 从图3 1 可以看出，当系统是对称的，也就是两个子系统完全一样而且耦合 参数也一致的时候，当系统的初值为对称的平衡点的时候，两个子系统能够完全 同步并且系统处于稳定状态。并且可做出以下推论，假设系统由n 个以上相互对 称的子系统组成，那么当且仅当系统是对称的而且正好处于对称的平衡点的时 候，系统处于稳定状态，而系统的各个子系统均处于完全同步的周期振荡状态， 且系统和子系统的状态均不随着子系统间的耦合参数，的改变发生任何变化，也 就是说，此时，系统和子系统的动态特性均与，无关。此时的系统和子系统处于 一种非常特殊的状态，一般来说不具有普遍性。 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 3 3 正常情况下的同步及稳定性问置 改变系统初值，取o ( o ) ，y ，( o ) ，：( o ) ，y ：( o n = ( 0 ，ol ，0 0 ) ，由于没有外界刺激， 耦合值根小，因此对，【o ，o2 】进行分析，如图32 - 可见在，= o0 4 和，= o0 8 的 时候分岔最多，最有可能出现混沌。 、 图32 ，一z 相轨迹 3 31 y 取不同值时的同步现象 由于当单个细胞动态为周期解时，系统总是同步的，因此，我们研究 y = o0 4 和y = 0 0 8 时的系统同步情况。 y = 0 1 0 4 时，仿真见图33 。 4 酊高j 广i 扩百育蔬s ( a ) x 一y t 相轨迹 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 x 1 1 - ( s ， ( b ) x l 状态 图3 3 ，= 0 0 4 时的系统特性 从图3 3 可以看出，x ，一z 的相平面图最后趋向一个极限环，从x 的响应 曲线也可以看出两个子系统在开始的时候不同步，但是到了最后表现为滞后同 步，两个系统行为一致，但是之间存在相位差。由l y a p u n o v 指数曲线看出，两 个系统均无混沌出现，子系统一处于周期震荡状态，子系统二围绕一个不稳定的 不动点做周期震荡。 t = 0 0 8 时，l y a p n o v 指数图见图3 4 。 d y na m i c so fl y ap u n o ve x p o n en t s r 、x 。 r i 毋声。一一 、 k k i入 r 图3 4l y a p u n o v 指数动态曲线( 7 = 0 0 8 ) pgo=o(i必o11l一g净一 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 由图3 4 可见，在刚开始的一段时间，由于l y a p u n o v 指数为正，子系统会 出现混沌，但是接下来以x 。为变量的子系统的l y a p u n o v 指数稳定在( 0 ，一) ，处 于极限环振荡状态；以x 2 为变量的子系统的l y a p u n o v 指数在变正之前就急剧下 降，保持( 一，一) 不变，吸引子的类型为不动点。 x 1 ( a ) 墨一五相轨迹 t ( s ) ( b ) x 。的响应曲线 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 矧 ( c ) 而一咒相轨迹 ( d ) x 的响应曲线 图3 5 y = o 0 8 时的系统特性 由图3 5 看出，两个子系统之间不同步，并且它们之间的动作存在着周期性 的滞后，从墨的响应曲线可以看这两个子系统之间的同步机制是准周期振荡。 从x 。一y 。的相平面图可以看出，在最开始的时候，以五为变量的子系统存在着混 沌现象，但是不久就稳定于周期性振荡状态，从而的响应曲线可以看出，以为为 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 变量的子系统处于4 周期振荡状态。 3 3 2 神经元的双稳定性 神经元的双稳定性，从生理学上来说，指的是可兴奋细胞的轴突只可能处于 静息电位或者动作电位这两种可能的稳定状态，即它具有双稳态并具有全或无的 特点。可兴奋细胞( 神经元) 的激活就是其电位( 细胞膜内外电压差) 存在双稳 态并出现跃迁的结果。这就是引起神经冲动的原因。就其根源来说，可以理解成 由于分岔现象的存在，使得神经元相互作用，即神经元间的相互激活或者相互抑 制，从而使神经元整体产生同步动作，从一个稳态向另一个稳态转变。 取参数值a = 0 7 ，b = 0 4 ，c = 2 ，取耦合参数7 = 0 0 8 7 ，积分时间是 5 0 0 ， 1 0 0 0 ，系统初值为g 。( o ) ，y l ( o ) ，x ：( o ) ，y 2 ( o ) ) = ( 0 ，0 1 ，0 ，0 ) ，用m a t l a b 进行仿真见 图3 6 。 x 1 图3 6 x 一z 相轨迹 子系统出现了混沌现象，从相平面可以观察到混沌吸引子的存在，从x 。一x 的相平面图可以看出，两个子系统之间的动作并不同步，并且动作的滞后机制呈 混沌吸引子的状态，即滞后是混沌的，伪随机的。从l y a p n o v 指数亦可得到相同 结论。 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 d y n a m i c so fl y a p u n o ve x p o n e n t s x l、 心 师i 、一 i i m e ( s ) 图3 7l y a p u n o v 指数动态曲线( ，= 0 0 8 7 ) 改变系统初值依次为g 。( o ) ，y 。( o ) ，x 2 ( o ) ，y 2 ( o ) ) = ( 0 ，0 2 ，0 , 0 ) ， g l ( o ) ，y 1 ( o ) ，x 2 ( o ) ，y 2 ( o ) ) = ( - o 1 ，0 1 ，0 ，o ) ，积分时间为 5 0 0 ，1 0 0 0 ，厂= 0 0 8 7 保 持不变。在一个由n 个子系统组成的相互联系的系统中，其中任意一个子系统初 值的变化就可能引起整个系统整体机制的变化：由于各个子系统的系统机制都从 混沌吸引子一极限环一混沌吸引子，并且子系统之间实现了同步系统整体实现了 从混沌到周期振荡到混沌的跃迁，也可以这样说，整个系统整体实现了从一种稳 态到另一种稳态的跃迁。初值的改变使系统从整体同步状态向另一种混沌形式的 相互滞后转变。 仿真图3 8 所描述的是在，= 0 0 8 7 时在三种不同的初值情况下，子系统之 间滞后机制可能存在的吸引子，从图示可见两种吸引子和一个极限环。随着系统 初值的改变，子系统之间的滞后在混沌状态的滞后和( 0 ，1 8 0 ) 相位滞后( 滞后 同步) 之间进行切换。 第三章两细胞的同步及稳定性问题分析 图38 ，= 0 0 8 7 时对应三个不同初值x 。一一的相轨迹 最后可以尝试从生理上做出解释，由于神经元具有双稳定性，当神经元发 生病变时，这个神经元的初值就会发生变化，从而可能引起神经元整体从一种稳 态向另一种稳态的迁越：这就可能使得神经元整体放电过度，这就是癫痫的发病 机制。 3 4 小结 从本章的研究可看出，耦合参数改变时，耦合的神经元可能在本身的运动状 态发生变化的同时引起神经元整体的状态的改变。 这样就可以从生理上对癞痈的发病机制做出解释，由于神经元具有双稳定 性，当神经元发生病变时，这个神经元的初值就会发生变化，从而可能引起神经 元整体从一种稳态向另一种稳态的跃迁；这就可能使得神经元整体放电过度，这 就是癫瘸的发病机制。 根据所得出的结论我们就可以通过控制耦舍参数的数值，在改变子系统的 动态特性，使之在与其他子系统同步的同时，改变原来的稳态( 极限环不动点， 混沌吸引子) ，而和其他子系统一起向另外一个稳态( 极限环，不动点，混沌吸 引子) 跃迁。从而导致系统整体动态特性的改变。拿癫痛来说，我们就可以通过 外界刺激改变耦舍参数使神经元整体从放电过度向另一个稳态过度。从而达到 治愈癫痫的目的。就理论来说这是完全可行的。同样这种方法也可咀用来治 愈其他的病理类似的疾病。 弋 第四章对称对网络同步的影响 第四章对称对网络同步的影响 4 1 网络，对称基础知识 4 1 1 耦合细胞网络 定义1 i 冽一个耦合细胞网络g 包括： 1 ) 点或者细胞有限集c = l ，) ； 2 ) 集c 中细胞的等价关系，； 3 ) 一个“边一或者“箭头刀集孝； 4 ) 集善中边的等价关系f ； 5 ) 两个映射日：善_ c 以f l t t ：孝_ c 。对于p 考，我们称日g ) 为e 的“头，丁g ) 为e 的。尾 ； 。 6 ) 等价边具有等价的头和尾。即，如果e l ，e 2 善，且p i 占e 2 ，那么 日g 。) c 日g ：)r ( e 。) c 丁g ：) 条件6 ) 为一致性条件。 定义2 i 冽令c c 。那么c 的输入集为 ，g ) = 0 孝：日g ) = c ) 所有，g ) 中的元素称为c 的“输入边一或者“输入箭头一。 定义3 泌c 上的输入等价关系，定义为c ，d 当且仅当存在一个箭头类的双向 映射 p ：j ( c ) 哼j 0 ) 即每个输入边f j ( c ) 满足 、 f ep o ) 4 1 2 三细胞网络列举 本章列出了效价分别是l ，2 ( 即输入为1 个，2 个) 的同类三细胞耦合网络， 共3 4 种，见图4 1 。并用邻接矩阵来定义一个同类三细胞网络，见表4 2 。当效 价为l 时，可组合的网络为1 4 ，用