线性代数与解析几何—曲面及其方程.ppt

6.3曲面及其方程,1、球面及其方程2、柱面及其方程3、旋转面及其方程4、锥面及其方程5、空间曲线及其方程,例,解,1.球面及其方程,P(x0,y0,z0),r,P(x,y,z),观察柱面的形成过程:,定义在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一族直线所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,母线,准线,2、柱面及其方程,且有,从(2)(3)中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以(1)为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面的方程.,如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过,点M1的母线方程为,设柱面的准线为,准线,母线,M,M1,母线的方向数为X,Y,Z.试建立这柱面的方程.,例1柱面的准线方程为,而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程.,解：设M1(x1，y1，z1)是准线上的一点，那么过M1(x1,y1,z1)的母线为,且,所以,令(4)=t,得,将(7)代(5)、(6)得,由(8)、(9)得,母线平行于坐标轴的柱面方程.,1方程F(x,y)=0表示:,2方程F(x,z)=0表示:,3方程F(y,z)=0表示:,母线平行于z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.,母线平行于y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0.,母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0.,a,b,椭圆柱面,y,x,z=0,z,o,双曲柱面,抛物柱面,3.旋转面及其方程,l,C,.,S,l,定义在空间，一条曲线C绕着定直线l旋转一周所生成的曲面S称为旋转面（或回转曲面）,C称为旋转面的母线，,l称为旋转面的旋转轴.,3.旋转面及其方程,C,生活中见过旋转曲面吗？,纬圆,以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线.,说明：纬圆也可看作垂直于旋转轴l的平面与旋转面的交线,S,旋转曲面的有关概念,母线上任意一点绕旋转轴l旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线。,任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。,经线和母线一样吗？,l,M,经线,满足什么条件母线就是经线？,旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成,C,旋转曲面的方程（直角坐标系）,设旋转曲面的母线,1旋转曲面的一般方程,旋转轴为直线,分析：,l,M1,S,旋转曲面又可看作以轴l为连心线的一族纬圆生成的曲面,当M1遍历整个母线时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.,注：写出这母线上任意一点的纬圆方程，写出参数的约束条件，消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。,l,M1,S,例求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程。,母线不是经线,注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线.,单叶旋转双曲面,解（两直线为异面直线），设M1(x1,y1,z1)是母线L1上的任意点，因为旋转轴L2通过原点，所以过M1的纬圆方程是：,又由于M1在母线上，所以又有：,即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：,2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.,母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：,已知yoz面上一条曲线C,方程为F(y,z)=0,x=0,曲线C绕z轴旋转一周就得一个旋转曲面.,设M1(0,y1,z1)是C上任意一点,则有F(y1,z1)=0,当C绕z轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有,且F(y1,z1)=0.,得旋转曲面的方程:,思考题：xoy面上的一条曲线C，F(x,y)=0,z=0分别绕x轴及y轴旋转得旋转曲面的方程各为什么？,规律：,当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。,解:应该先建立母线的方程,圆锥面方程,例：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程,旋转椭球面,例2：将椭圆,分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。,x,y,o,z,x,o,z,叫做旋转单叶双曲面,y,例3:(1)将双曲线,a,.,x,y,（2）将曲线,叫做旋转双叶双曲面,y,z,o,x,y,z,o,x,绕实轴（即y轴）旋转一周生成的旋转曲面的方程为,旋转抛物面,x,例4：将抛物线,绕它的对称轴旋转的旋,转曲面方程为,例5、将圆,绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。,解：所求旋转曲面的方程为：,即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2),该曲面称为圆环面.,a,b,绕z轴旋转所成曲面,将圆,.,.,生活中见过这个曲面吗？,.,.,救生圈,.,准线母线,顶点,锥面及其方程,定义在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族,直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的,母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。,母线,A,锥面的准线不唯一，,和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.,设锥面的准线为,设点M1(x1,y1,z1)为锥面准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：,顶点为A(x0,y0,z0)，试建立锥面的方程.,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0,消去参数x1,y1,z1得三元方程,F(x,y,z)=0,准线母线,母线,M,M1,A,例1、求顶点在原点，准线为,的锥面的方程。,答：,（二次锥面）,同理,分别表示锥面。,解：,设M(x,y,z)为任一母线上的点，那么过M点的母线的方向向量为,轴线的方向向量为,根据题意有,M,得,例2：已知圆锥面的顶点A(1,2,3),轴垂直于平面,母线与轴组成300角,试求这,圆锥面的方程.,A,空间曲线及其方程,设空间曲线L的一般方程,消去一个变量后得方程,任取其中的两个联立，如,它也表示同一条曲线L.,以曲线L为准线,母线平行于z轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线L关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.,所以方程组所表示的曲线叫做空间曲线L在xOy面上的投影.,注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,L,y,z,x,0,例如从,分别消去y及z，得,由空间曲线C的方程消去z后得到,(母线平行z轴的柱面).,例,2019/12/12,42,可编辑,解,在xOy面上的投影为,例设一个立体由上半球面和锥面,所围成,求它在xoy面上的投影.,解:半球面与锥面的交线为,由方程消去z,得x2+y2=1,这是一个母线平行于z轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为,这是xoy面上的一个圆.,所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21,空间曲线C的参数方程,例,曲线C的参数方程为,空间曲线的参数方程,例圆柱螺线,6.4二次曲面,1、椭球面2、二次曲面3、单叶双曲面4、双叶双曲面5、椭圆抛物面6、双曲抛物面7、二次方程的化简,二次曲面的定义：,三元二次方程,讨论二次曲面性状的平面截痕法：,1、对称性，2、曲面的范围，3、主截线，即用坐标面截曲面的截线，4、平行截线，即和平行于坐标面的平面与曲面相截的截线，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,所表示的曲面称之为二次曲面,ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0,椭球面,定义在直角坐标系下，由方程,所表示的曲面叫做椭球面，其中a,b,c都为任意的正常数。方程叫做椭球面的标准方程.,1、对称性曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。,顶点（a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),x,z,y,O,3、主截线,用平面z=0,y=0,x=0分别去截割椭球面,得椭圆，它们的方程分别为,由方程可知x2a2,y2b2,z2c2,|x|a,|y|b,|z|c,也就是曲面在由六个平面x=a,y=b,z=c组成的长方体内。,2、范围,O,x,y,z,O,用平面z=h去截割(要求|h|c),得椭圆,当|h|c时,|h|越大,椭圆越小;,4、平行截线,顶点,在椭圆(2)上，,O,用平面z=h去截割(要求|h|c),得椭圆,当|h|c时,|h|越大,椭圆越小;,当|h|=c时,椭圆退缩成点.,4、平行截线,顶点,在椭圆（3）上，,特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.,当a=bc时，或a=cb,或ab=c时为旋转椭球面.,椭球面的参数方程,球面的参数方程,例：已知椭球面,试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面。,解：圆的方程为,圆的方程为,（1）与（2）等价，得,所求平面的方程为,所表示的曲面叫做单叶双曲面，其中a,b,c都为正常数，叫做单叶双曲面的标准方程。,单叶双曲面,定义在直角坐标系下，由方程,（1）对称性曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。,顶点（a,0,0）与（0,b,0),o,x,y,z,x,y,o,z,(2)主截线,用三个坐标平面z=0，y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为,用一组平行平面（h为任意实数）与曲面相交，其交线为椭圆.,(3)平行截线,顶点,与,x,y,o,z,在（2）上，,在（3）上，,实轴与x轴平行,虚轴与z轴平行，顶点在腰椭圆（1）上。,实轴与z轴平行,虚轴与x轴平行，顶点在双曲线（3）上.,x,y,o,z,用平行于xoz面的平面y=h截割单叶双曲面,其截线方程为：,当|h|b时表示双曲线,截痕为一对相交于点的直线.,同理用平行于yoz面的平面x=h截曲面其截线与（3）中的b类似。,x,y,o,z,截痕为一对相交于点,z,的直线,单叶双曲面图形在工业生产中的应用是什么？,当a=b时，方程,方程,与,各表示什么图形？,表示旋转单叶双曲面。,所表示的曲面叫做双叶双曲面，,双叶双曲面,定义：在直角坐标系下，由方程,其中a,b,c都为正常数，叫做双叶双曲面的标准方程.,(1)对称性曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称.,顶点（0,0,c）,(2)主截线,用两个坐标平面y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为,x,y,z,o,与,都表示双曲线.,x,y,o,(3)平行截线,a、用平面z=h(|h|c)来截曲面，其截线方程为,表示椭圆，顶点,在（6）上，,在（7）上.,x,y,o,b、用平行于xoz面的平面y=h(h0）时，其截线为双曲线,方程为:,方程,与,都表示双叶双曲面。,实轴与z轴平行，虚轴与x轴平行，顶点,在（6）上,椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面它们的方程可以统一吗？,z,例：用一组平行平面z=h(h为任意实数），截割单叶双曲面,得一族椭圆，,求这些椭圆焦点的轨迹方程.,解：,这一族椭圆的方程为,即,因ab,从而椭圆焦点轨迹方程为,消去参数得,单叶：,双叶：,.,.,.,在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。,渐进锥面：,双曲面及其渐近锥面,表示的曲面叫做椭圆抛物面，,其中a,b都为任意正常数,为椭圆抛物面的标准方程.,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,椭圆抛物面,定义在直角坐标系下，由方程,(1)对称性,曲面关于xoz,yoz坐标面，z轴对称.,（2）主截线,用坐标面y=0及x=0截曲面，其截线方程分别为,z,x,y,o,x,y,z,o,（3）平行截线,a、用平面z=h(h0)来截曲面，其截线总是椭圆,顶点,在（1）上，,在（2）上，,b、用平行于xoz面的平面截割椭圆抛物面得交线为抛物线.,它的轴平行于z轴,x,y,z,o,顶点,在主抛物线(2)上.,x,y,z,o,（4）与（1）全等.,c、用平行与坐标yoz(x=0)的平面x=t均可得抛物线.,椭圆抛物面的图形如下：,椭圆抛物面的图形开口与x或y轴一致时方程是啥？,特殊地：当a=b时，方程变为,旋转抛物面,（由xoz面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）,所表示的曲面叫做双曲抛物面（马鞍面），其中a,b都为任意的正常数，为椭圆抛物面的标准方程。,双曲抛物面,定义：在直角坐标系下，由方程,(1)对称性,曲面关于xoz,yoz坐标面，z轴对称.,用坐标平面z=0去截割曲面就得,这是一对相交于原点的直线,（2）主截线,用平面y=0，x=0来截割曲面,其截线为,与,都表示抛物线.,也叫主抛物线.,x,y,z,o,x,y,z,o,（3）平行截线,用平面z=h(h0截割曲面，其截线为,表示双曲线，,当h0时双曲线(8)的实轴与x轴平行，虚轴与y轴平行,顶点,在主抛物线(6)上；,x,y,z,o,（3）、平行截线,用平面z=h(h0截割曲面，其截线为,顶点,在主抛物线(7)上；,当h0时双曲线(8)的实轴与x轴平行，虚轴与y轴平行,x,y,z,o,再用平行于xoz面