（机械制造及其自动化专业论文）多柔体系统动力学建模及数值方法研究.pdf

摘要 摘要 近年来，多柔体系统动力学受到越来越多的关注。建模方法和数值求解方法 是其两大核心内容，本文对这两方面内容进行了论述和研究。 本文首先论述了多柔体系统动力学的建模理论及方法，柔性体的动力刚化现 象与分析方法，运用符号演算工具m a t h e m a t i e a 推导了在系统建模中非常重要的 质量矩阵及其导数、与速度二次项有关的广义力等系数。接着介绍了多柔体系统 动力学的各种数值方法，重点论述了几种约束违约校正法，分析其优缺点及适用 范围，提出了一种新的约束违约校正法。该方法从违约稳定法出发，在每一时间 步，利用n e w m a r k 1 3 直接积分法计算迭代初值，基于控制方程及约束方程的泰勒 展开，推导出n e w t o n r a p h s o n 迭代公式，对位移及拉格朗日乘子进行修正，保证 了运算过程中约束方程和系统的动力学控制方程同时得到满足。最后，对一个典 型算例进行了仿真计算，结果验证了本文方法的j f 确性和有效性。 关键词：多柔体系统动力学符号演算数值方法约束违约校正法 a b s t ra c t a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ed y n a m i c so ff l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e m si st a k i n gm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n m o d e l i n ga n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sa r ei t sk e r n e lc o n t e n t s i nt h i sp a p e r , b o t h m o d e l i n gm e t h o d sa n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sa r es t u d i e d t h i sp a p e rf i r s t l yd e a l sw i t ht h et h e o r yo ff l e x i b l em u l t i b o d y d y n a m i c s ，m o d e l i n g m e t h o d ，t h ea n a l y z i n gm e t h o do fd y n a m i cs t i f f e n i n go ff l e x i b l eb o d y w i t hg e n e r a l s y m b o l i cc o m p u t a t i o ns o f f w a r e ( m a t h e m a t i c a ) ，t h ei m p o r t a n tm a s sm a t r i x ，d i f f e r e n t i a l c o e f f i c i e n ta n dt h eg e n e r a lf o r c e sr e l a t e dt ov e l o c i t yb i n o m i a li nd y n a m i c sd o m i n a t e e q u a t i o n sa r ei n d u c e d s e c o n d l y , v a r i o u sn u m e r i c a lm e t h o d sf o rd y n a m i c so ff l e x i b l e m u l t i b o d ys y s t e m sa l ed i s c u s s e d ，a n dt h e nf o c u so nt h ed i s c u s s i o no fs o m ec o r r e c t i o n a l g o r i t h mo fc o n s t r a i n tv i o l a t i o n ，t h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ，a p p l i e dr a n g eo f t h o s em e m o d sa r ea n a l y z e d an e wm e t h o df o rc o n s t r a i n ts t a b i l i z a t i o ni sp r e s e n t e d a t e a c ht i m es t e p ，t h ei n i t i a li t e r a t i v ev a l u e sw e r ee v a l u a t e db yn e w m a r k 一1 3m e t h o d ，a n d t h e nt h en e w t o n - r a p h s o ni t e r a t i v ef o r m u l af o rm o d i f y i n gt h ed i s p l a c e m e n t sa n d l a g r a n g em u l t i r l i e r sw a sd e r i v e df r o mt h et a y l o re x p a n s i o n so ft h ee o n t r o l a n d c o n s t r a i n te q u a t i o n s ，s ot h a ti tc a nm e e tt h ec o n t r o la n dc o n s t r a i n te q u a t i o n so f m u l t i b o d ys y s t e m s f i n a l l y , t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r e s e n t e dm e t h o di si l l u s t r a t e db y t h es i m u l a t i o nr e s u l t so f o n et y p i c a le x a m p l e k e y w o r d ：d y n a m i c so ff l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e m s s y m b o l i cc o m p u t a t i o n n u m e r i c a lm e t h o dc o r r e c t i o na l g o r i t h mo fc o n s t r a i n tv i o l a t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 日期! g ：2 ：兰兰 日期丝厶兰兰 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多柔体系统动力学研究概况 机械系统一般是由若干个物体组成，通过一系列的几何约束联结起来以完成 预期动作的一个整体，因此也可以把整个机械系统叫做多体系统。 多刚体系统动力学是以系统中各部件均抽象为刚体，但可以计及各部件联结 点( 关节点) 处的弹性、阻尼等影响为其分析模型的。多刚体系统动力学是在经典 力学的基础上发展起来的，从6 0 年代至今，多刚体系统动力学已经形成了许多各 具特色的方法，如n e w t o n - e u l e r 方法、l a g r a n g e 方法、r o b e r s o n w i t t e n b u r g 方法、 k a n e 方法、h u s t o n 方法等，并取得了相当完善的成果，已经解决了工程上的许多 实际应用课题。多柔体系统动力学则在此基础上进一步考虑部件的变形，是多刚 体系统动力学的自然延伸和发展。 对多柔体系统的研究有着实际的工程应用背景。随着动力学模拟的深入，人 们发现，系统中某些物体的变形有时会对系统性能产生非常重要的影响。在航天 器、机器人领域和机构设计等方面，部件有向轻质量和高速度发展的趋势，其中 系统中轻质量大尺度部件的高速运动往往引起系统的剧烈振动，达不到高精度要 求，甚至毁坏系统的某些部件。为了解决这个问题，就应该考虑系统中某些部件 的弹性变形，即在抽象物理模型时就要考虑某些部件的柔性效应。同时，必须考 虑柔性体的变形与其大范围空间运动之间的相互作用或相互藕合，以及这种耦合 所导致的动力学效应的研究，这类系统称为柔性多体系统或刚一柔混合多体系统 ( s y s t e mc o n s i s t i n go f r i g i da n df l e x i b l eb o d i e s ) ”。 柔性多体系统动力学研究由刚体和柔性体组成的复杂机械系统在经历大范围 空间运动时的动力学行为。从“多体”这一方面来讲是多刚体系统动力学的自然 延伸和发展【2 1 ，从“柔体”这一特点着眼是变形体力学的拓广p l 。对于柔性多体 系统来说，它的各构件之间一般都存在着大的相对平动和转动，而且在运动中要 考虑构件的柔性。这就使得系统运动的自由度，各构件互相之自j 的运动学关系都 大大地复杂化了。同时引起了复杂而变化的离心力和哥氏力力场，影响了多体之 间相互运动的力学条件。这就使得考虑多体运动和柔性效应之间的耦合显得极其 重要。文献 1 认为：柔性多体系统不同于多刚体系统，它含有柔性的部件，变形 不可忽略，其逆运动学是不确定的；它与结构动力学不同，部件在自身变形运动 同时，在空间中经历着大的刚性移动和转动，刚性运动与变形运动互相影响、强 烈耦合，与一般的系统不同，它是一个多输入、多输出的无穷维、时变、高度耦 合、高度非线性的复杂系统。总之，多柔体系统动力学是与经典动力学、结构动 2 多柔体系统动力学建模及数值方法研究 力学、连续介质力学、计算力学、现代控制理论及计算机技术紧密相联的一门新 兴交叉、边缘性学科，在航空航天、机器人、高速机构及车辆等各个领域有着广 泛的应用，成为目前理论和应用力学最活跃的分支之一。它的主要任务是研究建 立系统的适合计算机的动力学模型的建模方法和有效的数值求解方法。 随着部件尺寸的增大、结构重量的减轻，从而刚度的减弱以及运行速度的提 高，在许多方面都提出了多柔体系统建模的需求。在人造卫星、航天飞机、大型 空间站等的动力学分析中，由于它们的天线和太阳能帆板的伸展尺寸与本体尺寸 相比，可能大到几倍甚至十几倍，此时弹性变形不再可以忽略。1 9 5 8 年美国发射 的第一颗人造卫星“探险者1 号”( e x p l o r e r i ) 。由于在系统的动力学建模时没 有计及4 根鞭状天线的弹性影响，导致卫星入轨后翻滚、失控；1 9 8 2 年美国“陆地 卫星一4 ”( l a n d s t a i v ) 的观测仪的旋转部分受到柔性太阳帆板驱动系统的干扰 而产生微小扰动，从而降低了图像质量；“国际通讯卫星v 号”( i n t e r s a t v ) 柔 性太阳帆板扭振频率与驱动系统发生谐振时，导致帆板停转和打滑。各种问题的 提出引发了人们对多柔体系统建模的思索和重视，开始了多柔体建模的探讨和研 究。 多柔体系统动力学从起步到逐渐成为主要研究焦点，经历了几个阶段： 七十年代初期丌始，p wl i k i n s ，w jb o o k ，jps a d l e r 等人对柔性系统进行了大 量的研究工作。随着有限元方法的出现，发展和成熟，1 9 7 1 年r cw i n f r e y l 4 1 和 e r d m a n 5 】先后在不考虑构件弹性变形对其大范围刚体运动影响的情况下，把结构 分析中的有限元法引入弹性系统的分析中，从而为展开弹性多体系统动力学开辟 了一条新路。w i n f r e y 等人的工作，标志着机构弹性动力学( k i n e t o e l a s t i od y n a m i c a n a l y s i s ，简称k e d ) 近期研究工作的开始。该方法的要点是，不考虑构件的弹性变 形对其大范围运动的影响，而是通过对多刚体系统动力学分析得到构件运动性态， 再加上构件的惯性特性，以惯性力的形式加到构件上，然后根据惯性力和系统的 外力对构件进行弹性变形以及强度分析。这种方法实质上是将柔性多体系统动力 学问题转变成多刚体系统动力学与结构动力学的简单叠加，忽略了二者之间的耦 合。 到了八十年代，柔性多体系统动力学进入了高速发展阶段。k e d 更加精确化， 形成了比较精确的数学模型。在k e d 方法开趋成熟之时，柔性多体动力学，俗称 f m d ( f l e x i b l em u l t i b o d yd y n a m i c s ) 逐渐成为研究的焦点。随着轻质、高速的现代机 械系统的不断出现，k e d 方法的局限性日益暴露出来。为了计及构件弹性变形对 其大范围运动的影响，人们首先对柔性构件建立一个浮动坐标系，将构件的位形 认为是浮动坐标系的大范围运动与相对于该坐标系的变形的叠加，提出了用大范 围浮动坐标系的刚体坐标与柔性体的节点坐标( 或模念坐标) 建立动力学模型的方 法。在具体建模的过程中先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按照某种理想边 第一章绪论 界条件下的结构动力学有限元( 或模态) 进行离散，然后仿照多刚体系统动力学的方 法建立离散系统数学模型。这种方法虽然考虑了构件弹性变形对大范围运动的影 响，但在对柔性体离散时并没有考虑大范围运动对其的影响，且在对有限元( 或模 态) 进行离散时具有很大的随意性。实质上这种方法是柔性多体系统的一种零次近 似的耦合动力学。尽管如此，国内外的学者对这种模型的研究持续约十来年，在 建模方法研究的基础上重点解决了数学模型数值解的病态问题，并在工程领域得 到一些应用。近年来的研究表明，采用这种零次近似的耦合方法得到的柔性多体 系统动力学的分析结果，有的和工程实际比较接近，精度较高。b o l a n d ，k a n e ， ws a n a d a ，sd u b o n s k y ，aas h a b a n a ，ejh a n g 等都为柔性多体系统动力学建模 做出了杰出贡献p j 。 中国学者对于多体系统动力学的研究始于8 0 年代【7 1 ，对太阳能电池帆板阵、挠 性机械臂、星载可展开天线等的动力学分析做了许多研究工作。文献i s 对柔性多 体系统动力学研究进行了较为全面的回顾。到目前为止，柔性多体系统动力学的 研究虽然取得了一些成果，在实际工程中得到了应用，但是远没有达到多刚体系 统动力学的研究水平，其主要原因是对物体大范围运动和弹性变形耦合问题的认 识和处理方法上遇到困难。 1 2 多体系统动力学数值计算方法研究概况与进展 数值求解方法是多体系统动力学研究的一个重要方面。柔性多体系统的动力 学方程是强耦合、强非线性方程，这种方程的求解目前只能通过计算机用数值方 法解决。慢变的、大的刚性运动和快变的、小的弹性运动的耦合使得柔性多体系 统的动力学方程成为时变的非线性的刚性方程，其求解过程易出现病态或不收敛， 故多柔体系统的动力学方程求解引起学者们的极大关注，形成了各种不同的求解 法。求解这类方程的数值算法主要有：牛顿一拉斐逊( n e w t o n r a p h s o n ) 法；直接积分 法( 中心差分法、威尔逊法、纽马克( n e w m a r k ) 法、帕克f p a r k ) 两l j 性稳定法) 、精细积 分法、t r e a n o r 法等。 多柔体系统动力学各种方法的数学模型都可以归纳为微分方程组和微分一代 数混合方程组两种类型。对于数学模型的数值计算方法也有两种，即直接数值方 法和符号数值方法。的者的动力学方程以未展开的矩阵形式存在，在计算时直接 代入数字作数值积分。后者则利用计算机自动推导出数字一字符形式的动力学方 程，再对符号方程作数值计算。根据拉格朗日方程，使用非独立广义坐标的方法 建立的多体系统动力学方程是一组菲线性的微分一代数混合方程组，又称为d a e 方 程( d i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n s ) j 砬常要通过数值方法进行求解。 数值算法方面研究的主要问题包括常微分方程的刚性问题、微分一代数方程的 4 多柔体系统动力学建模及数值方法研究 数值解法问题、多体系统非线性动力学行为的数值分析方法等。微分一代数方程组 的求解方法已成为目前多体系统动力学的难点问题。近二十年国内外进行了大量 的研究工作。目前的研究方法大体有以下三种1 9 l ： ( 1 ) 通过数值方法，利用计算机自动寻找独立变量个数并选择，将方程缩并 为个数与自由度数相等的方程后再进行数值处理。将微分代数方程转化为常微分 方程o d e ( o r d i n a r yd i f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ，( 方程的个数等于系统独立的广义坐标 数1 ，该方法称为缩并法( c o n d e n s e dm e t h o do re l i m i n a t e dm e t h o d ) 。 ( 2 ) b a u m g a r t e 1 0 i 稳定化方法，将全部广义坐标与拉格朗日乘子作为未知量 统一处理，将方程变为较大变量数的方程，由微分一代数方程得到常微分方程( 方程 的个数与系统的广义坐标数相等) ，该方法称为增广法( a u g m e n t e dm e t h o d ) 。 ( 3 ) 利用多体系统动力学方程的特点，直接构造微分一代数方程的数值差分格 式。文献 1 1 】作了较全面的综述，在这方面，jwb a u m g a r t e ，raw e h a g e ，twp a r k ， e j h a u g 等人作出了重要贡献，相应出现的方法有直接积分法( d i r e c t i n t e g r a t i o n ) ， 约束稳定法( c o n s t r a i n ts t a b i l i z a t i o n ) ，广义坐标分离法( g e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e p a r t i t i o n i n g ) ，混合数值积分法( h y b r i dn u m e r i c a li n t e g r a t i o n ) 等。所以微分一代数方 程的处理是多体系统动力学的重要内容。 另一方面，对于含有柔体的多体系统，其动力学方程具有一定刚性( s t i f 0 ，这 给方程的求解带来了许多困难。刚性常微分方程数值解法也是多体系统动力学的 重要问题。刚性常微分方程数值方法的研究已取得了很多重要成果，国内外均有 不少的专著、文献发表。文献 1 2 中介绍了十余种方法。 值得注意的是，建立多体系统，特别是在建立柔性多体系统动力学控制方程 时，其方程的系数和动力学系统参量的求解规模一般较为庞大，需要推导和计算 相当复杂的体积分，对高次单元的推导以及高阶矩阵的运算人工恐难以胜任，而 且其效率、可靠性均无法保证。在这一形式下，计算机符号演算( s y m b o l i c c o m p u t a t i o n ) 受到了一定的关注。 到目前为止，多体系统动力学符号演算通常采用以下两种方法。一是使用某 种高级语言，如c ，f o r t r a n ，p a s c a l 等编写符号演算程序。二是选用某种通用 符号演算软件，如f o r m a c ，m a t l a b ，m a c s y m a 等来编写符号演算程序。前者 的优点在于所编写的程序仅仅依赖于计算机环境，而不需要其它特殊的软件支撑。 其缺点是在编写时要做许多低层工作，工作量比较大。后者的优点在于编制软件 效率高，而缺点是需要相应的软件坏境支持。这两种方法的优劣目i i 尚无定论。 计算机符号建模的核心内容，就是建立形成力学模型各系数矩阵的功能块， 得到各矩阵的符号表达式并尽可能简化，以至可与人脑所能推演的最简结果相媲 美，与数值计算程序相结合，或是求控制力矩，或是数值仿真，或是解运动学问 题，最后通过图形处理，得到所要求的曲线。但目前符号演算在柔性多体系统动 第一章绪论 力学中应用仍停留在推导方程的水平上。 七十年代以来国外一些商业化的大型通用软件相继问世，其中有数值计算型 软件a d a m s ( a u t o m a t i cd y n a m i ca n a l y s i so fm e c h a n i c a ls y s t e m ) ，d a d s ( d y n a m i c a n a l y s i sa n dd e s i g ns y s t e m s ) 和符号推导型软件n e w e u l ( n e w t o n - e u l e r ) 等，这些 软件不但能够求解航天器和机器人等以开环为主的机构，而且能求解车辆等机构 形式复杂的系统，其中一些软件的近期版本增加了柔性体分析的功能。 在我国，由于多体系统动力学的研究起步较晚，因此在工程应用领域还远不 如c a d 技术和有限元分析得到普及。从8 0 年代开始，我国学者也开始致力于该方 面的研究，开发出了空间机构运动学分析软件k a s m 1 【1 3 l ( k i n e m a t i ca n a l y s i so f s p a t i a lm e c h a n i s m s ) ，多自由度多环空间机构运动学动力学分析软件k d a m s t l 4 】等 软件，这些软件在通用性方面还有待于进一步的完善f l ”。 1 3 研究数值算法的必要性 上一节提至o 微分一代数方程组的数值求解方法是近年来的研究热点，也是多柔 体系统动力学的研究难点，它的研究进展影响着多柔体系统动力学的发展。 目前已有许多用于求解微分一代数方程的数值方法，但是这些方法都有其优缺 点及适用范围。如广义坐标分离法，缺点是独立广义坐标的选取没有一定的准则， 需要人为干预；b a a m g a r t e 约束稳定法，缺点是必须依靠经验选取校正系数，不能 将违约有效地控制在给定的精度范围内；洪嘉振的约束违约直接修正法，缺点是 修正解不满足动力学控制方程。 因此，寻求一个稳定、可靠、实用、高精度、通用性好的数值方法是多体动 力学研究的重要任务，数值算法的研究具有很大的必要性，本文的重点工作就是 研究数值算法。 1 4 本文的主要工作及章节安排 1 4 1 本文的主要工作 多柔体系统动力学是近年来的研究热点，系统建模及数值解法是其研究的两 大内容，本文对多柔体系统动力学的建模、符号演算及其数值求解方法进行了研 究，所做主要工作如下： ( 1 )利用符号演算工具m a t h e m a t i c a 对多柔体系统动力学控制方程中至关 重要的质量矩阵m 及其导数、与速度二次项有关的广义力q 1 等系数 进行推导，为建立系统的控制方程打下基础。 6 多柔体系统动力学建模及数值方法研究 ( 2 )对多体系统动力学的数值解法进行了深入研究，其中着重研究分析了 几种约束违约校正法的优缺点及适用范围。 ( 3 )在深入研究这几种约束违约校正方法的基础上，结合这些方法的优 点，提出了一种新的改进的约束违约修正法。 ( 4 )建立一个旋转杆一滑块系统的动力学控制方程和约束方程，用前面介 绍的约束违约稳定法以及本文提出的一种改进的约束违约修正法对 其进行仿真计算，就仿真结果进行对比分析，比较了各种数值计算方 法的优缺点。 1 4 2 本文的章节安排 第一章绪论。介绍了多柔体系统动力学研究概况，数值计算方法的研究概 况、进展以及研究算法的必要性。 第二章多柔体系统动力学的建模及符号演算。主要介绍了多柔体系统动力学 的建模方法，动力刚化现象及其分析方法，动力学控制方程的符号 演算方法。 第三章多柔体系统动力学方程的数值方法研究。介绍了各种数值求解方法， 指出其优缺点及适用范围。重点论述了两种d a e 方程的数值求解方 法，最后讨论了数值方法中的若干问题。 第四章改进的约束违约校正方法。详细论述了一种新的改进的约束违约修正 法，给出其基本思想，具体步骤以及算法的流程框图。 第五章动力学算例仿真与分析。对某个典型系统进行动力学建模，运用前面 章节介绍的几种方法对其进行仿真计算，进而分析比较各方法的优 缺点及适用范围。 第六章总结与展望。总结全文，指出下一步的研究方向。 第二章多柔体系统动力学的建模及符号演算! 第二章多柔体系统动力学的建模及符号演算 2 1 引言 多体系统动力学是一门古老而又高新的学科，是与经典动力学、结构动力学、 控制理论及计算机技术紧密相连的- - f 3 交叉学科。建模方法和数值算法是它的两 个核心研究内容。 建模是指根据实际工程问题的需要，将实际系统抽象成刚体、柔性体组成的 多体系统，对系统中各种物理量间的关系进行分析和描述，然后利用相关的力学 理论和数学方法建立系统的动力学控制方程。 多柔体系统的动力学控制方程，由于其强耦合和高度非线性，通常得不到响 应的解析解，必须借助于数值方法，数值方法因此成为当今研究热点。了解柔性 多体系统动力学建模理论对数值方法的研究有很好的帮助，因此本章主要简述了 柔性多体系统建模理论，并用符号演算工具m a t h e m a t i c a 推导出多柔体系统动力 学建模中非常重要的质量矩阵肘及其导数、与速度二次项有关的广义力q ，等系 数。 2 2 多柔体系统建模理论 多柔体系统动力学的主要特点是，系统中的柔性体部件，在运动过程中将经 历大的刚性整体移动和转动，同时又有变形运动，而且这两种运动又是高度耦合 的。它不像多刚体系统动力学，只要动参考系选定，诸如惯性张量等都是不随时 间改变的量。而对于柔性体情况，除了与变形模式有关的量不随时间改变外，包 括惯性张量等都是随物体变形而变，它们是时间的函数，这大大增加了问题的复 杂性。 多柔体系统动力学的建模方法1 6 】 1 7 1 主要有三个： 1 向量力学方法，即牛顿一欧拉( n e w t o n e u l e r ) 方法。 在推导动力学方程时直接应用动量定理和动量矩定理列出隔离的单个物体的 动力学方程，方程中包含有理想约束力( 矩) ，然后以约束条件( 完整约束) 为依据 消去约束力( 矩) 。这种方法对于半柔性系统比较合适，特别是当系统中有一个刚 性主体的情况，但这种方法只是在简单链系统的情况下是可取的。比较典型的是 h o o k e r 和s i n g h 的推导。hjf l e t c h e r ，rer o b e r s o n ，刘延柱等在这方面做了 大量的工作。 多柔体系统动力学建模及数值方法研究 2 以拉格朗日方程为代表的分析力学方法。 这种方法又可有以下三种处理方法： ( 1 ) 带乘子的拉格朗日方程。 ( 2 ) 虚位移方法。 从哈密顿原理，虚位移或者虚速度原理出发，演变出拉格朗日第一类方程或 迸一步根据变分原理建立拉格朗日第二类方程的形式。 ( 3 ) 牛顿一欧拉方法和虚位移方法的各种变形方法。 在这些变形方法中大部分是虚位移方法的变形方法。如比较有影响的k a n e 方 法。 1 9 6 1 年美国史坦福( s t a n f o r d ) 大学教授，t r k a n e 1 8 1 提出了一个解决系统动力学 问题的新方法，并在1 9 6 5 年由trk a n e 和cfw a n g 力 1 以改进。这个方法现在通常 称之为动力学中的k a n e 方程。k a n e 方法只是动力学问题处理的一个技巧而已，与 其说是理论，倒不如说是一种方法。它建立在分析力学的基础上，启发于拉格朗 日原理。k a n e 方法的基本思想是以广义速率代替广义坐标作为独立变量来描述系 统的运动，引入偏速度( 偏角速度) 的概念，并将真实力与惯性力直接向特定方向投 影以消除理想约束力，因而兼有矢量力学和分析力学的特点。k a n e 方法不仅能简 明地建立多自由度动力学系统的运动微分方程，而且能直接导出较简单的可使用 的计算程序，其求解简单，计算量小。rlh u s t o n ，pwl i k i n s 等将k a n e 方法应用 于实际多刚体系统。 3 基于高斯原理的极值原理。 这种方法不需要建立运动微分方程，而是以加速度作为变量，根据约束这个 泛函的极值条件，直接利用系统在每个时刻的坐标和速度值解出真实加速度，从 而确定系统的运动规律。 拉格朗日方法是建立多体系统动力学方程的普遍方法之一，由于有较强的理 论性和逻辑性，高度的规格化，以及便于计算机建模等优势，在刚一柔混合多体系 统动力学中具有重要的地位。随着多柔体系统动力学研究内容的不断深入，研究 范围的不断扩展，l a g r a n g e 方法也得n t 相应的发展。传统的l a g r a n g e 方程可分 为第一类和第二类，前者适用于广义坐标不完全独立的质点系，其动力学方程为 微分代数方程组；后者用于广义坐标独立的质点系，其动力学方程为常微分方程 组。 一般说来，根据l a g r a n g e 方程建模的大致步骤是： ( 1 ) 选定广义坐标，建立有限维模型，一般选择关节变量和柔性连杆的模态坐标 为广义坐标； ( 2 ) 建立动能、势能和虚功表达式： ( 3 ) 对l a g r a n g e 方程进行必要的推导和整理； 第二章多柔体系统动力学的建模及符号演算! 本文下一章节所述的符号演算建模就是采用第一类拉格朗日方程。 柔性多体系统动力学与刚体多体系统动力学建模方法的不同之处在于对柔性 体的弹性变形的表示方法。对于常见的弹性变形广义坐标，有以下几种离散化方 法【19 】： ( 1 ) 经典的瑞利- 里兹( r e y l i e g h - r i t z ) 法 这个方法是对所研究的弹性体，构造一个假设位移场，该位移场必须满足相 容性和完备性要求。若假设位移场用o ( x ，弘z ) 表示，并取m = p 。中：中。】，称 为里兹基函数矩阵，用以描述物体的变形模式，则物体上各点的变形向量，可表 为 u ，= 咖， ( 2 1 ) 式中，q ，= q l ( f ) 为对应的弹性变形广义坐标向量。 这是弹性连续体力学近似解的最基本方法，但对于复杂形状、复杂边界和复杂荷 载的情况，要构造出一个合适的位移场是非常困难的，甚至可能做不到。 ( 2 ) 有限单元法 有限单元法实质上是一种分片的瑞利一里兹法。由于它将物体分割成许多形状 规则的简单的单元，各单元间通过节点联接起来。因而，它非常适合于复杂形状、 边界和荷载情况下的物体作离散和分析。由于高速、大容量计算机的飞速发展， 当今己被人们作为分析计算工程结构或非结构物的普遍工具，对于大型、复杂的 柔性多体系统，应用有限元方法，也是很自然的。 在用有限元近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位移，是由有限多 个单元节点位移，通过各单元的形函数来描述的，从而实现无限多自由度的离散。 于是，属于i 物体务为单元上任一点p 的位移向量“g 可表为 “!=n”u”(2-2) 式中，4 为j 单元的变形模式( 或假设位移场) ，称为j 单元的形函数，“为该单元 的节点位移向量。在将所有单元拼装后，物体上所有节点的位移向量，就构成了 该物体的弹性广义坐标。不难看出，即使采用有限单元法可以使物体由无限多自 由度离散成有限多个自由度，但通常为保证所需精度，需要保留的自由度数仍然 相当可观，特别是柔性体动力学问题的求解，更显得突出。 ( 3 ) 模态分析及综合法 在结构动力学分析中，更为普遍的是采用模态向量及相应的模态坐标来描述 物体在空间随时间变化的位移( 变形) ，即 u ，= 式中，m = 【。d ：m 。】为模态向量矩阵，q 。 数，通常选取n n 为物体的自由度数。 ( 2 - 3 ) = 吼( f ) 为模态坐标，n 为模态向量 采用模念分析法的优点在于：1 。可以根据先验的响应特征和精度要求，来考虑 l o 多柔体系统动力学建模及数值方法研究 模念截断的范围，有些情况下，低阶模态在响应中的贡献大，如弹性机械臂等， 可取1 2 阶模态，有些如卫星太阳帆板往往需取5 6 阶模态，而在流固耦合等系 统中，对多自由液面则高阶模态起决定性作用。人们常把贡献小的模态截去，以 最大限度的缩减求解规模；2 。可以进一步采用模态综合技术，来研究大型复杂系 统的振动；3 。可直接应用试验模态技术所得的结果，使理论和数值分析与实验数 据紧密结合。 2 3 多柔体系统的动力刚化 动力刚化现象( d y n a m i cs t i f f e n i n g ) 又称为应力刚度( s t r e s ss t i f f e n i n g ) 、几何刚 度、几何非线性、运动诱发刚度、初始应力刚度【2 0 1 ，己成为柔性多体系统动力学 近几年的研究热点之一。动力刚化现象的实质是作大范围空间运动的柔性体因运 动和变形之问的相互耦合而导致的柔性体刚度的增大( 附加动力刚度) 。传统的柔 性多体系统动力学中，一般采用假设模念或线性有限元的方法来描述柔性体的变 形，这种方法计算工作量小，在大部分情况下可以满足实际工程应用的需要。但 对作高速运动的柔性多体系统，在一定的条件下传统的建模方法会导致数值仿真 的发散。 k a n e t 2 ”于1 9 8 7 年指出：当柔性体高速转动时，传统的柔性多体系统动力学 模型计算出的柔性体的变形与实验结果相比明显偏大，表现为柔性体刚度的明显 减弱。z h a n gd a j u n 等f 2 2 】的结果表明，当细长梁的转动频率达到或超过梁的基频 时，传统柔性多体系统动力学模型得到的梁的变形趋于发散。 目前对动力刚化现象的分析方法可概括为以下几种典型的方法： ( 1 ) 非线性有限元方法 在结构动力学非线性有限元方法的基础上，将柔性体的大范围空日j 运动及其 弹性变形统一采用结点位移来表示，由此得到的动力学方程中包含了因为柔性体 的大应变而导致的动刚度矩阵。利用这种方法可分析作平面转动的大应变梁和矩 形板。非线性有限元方法的优点是可以充分应用现有的非线性有限元分析软件， 但因为系统的广义坐标为有限元结点坐标，由此得到的动力学方程广义坐标数目 非常庞大，且需采用隐式迭代算法，由此计算效率较低，不适合分析大型的复杂系 统。 ( 2 ) 附加刚度法 附加刚度法又称为附加运动刚度法或附加几何刚度法。这种方法认为柔性体 在做大范围空间运动时变形是小变形大应变，变形和应变之问应为非线性关系。 如在柔性体的位移一应变关系中过早地进行线性化处理，得到的柔性体的刚度阵为 常值阵，不能反映柔性体的刚度与运动状况及应力状态的关系。应保留非线性的位 第二章多柔体系统动力学的建模及符号演算 旦 移一应变关系，应用有限元方法得到因大范围空间运动引起的附加刚度。该方法将 大范围刚体运动所产生的惯性力分为3 个平移运动产生的惯性力、3 d 哥氏惯性力、 3 d 法向离心惯性力和3 个切向离心惯性力及由它们所组成的9 个惯性力偶，然后采 用结构力学中的单位力法形成动力刚度阵，加到零次耦合模型中形成新的系统动 力学方程。该方法适用于任意柔性体，动力刚度阵可以一次形成，无需重复迭代 求解，计算效率高，是目前应用最广泛的方法。 ( 3 ) 变形耦合方法 z h a n gd a j u n 等【2 3 l 认为柔性体刚度的减弱是由于在运动学关系中过早地对变 形的广义坐标进行了线性化，忽略了导致刚度增加的非线性项。为了保留弹性变形 的非线性特性，将柔性体的变形场用模态坐标的二阶小量描述，形成精确n - - 阶小 量的运动学描述。应用k a n e 方法，在偏线速度和偏角速度的计算时对模态坐标进 行线性化处理，由此也可得到柔性体的动刚度矩阵。但此方法只对简单形状的柔 性体如均质梁、均质板有效，对复杂形状的柔性体，很难得到耦合形函数的解析 表达式，数值积分也较为困难。 ( 4 ) 子结构方法 该方法将柔性体分为若干子结构，对内部子结构采用了约束模态以满足相容 的位移边界条件，因此虽然子结构中的变形是线性的，但整体结构的变形是非线 性的。这种方法的优点是对现有的柔性多体系统动力学模型和分析软件不作任何 修改就可计及动力刚化效应，但其结果明显依赖子结构的数目，且在各子结构的 对接面上必须引入约束方程以满足变形的连续性，对复杂的大型结构，此方法的 计算工作量非常大。 ( 5 ) 有限段法 该方法的思想类似于子结构法，就是将柔性体分成有限个刚体段，用刚体段 表示柔性体的惯量参数，将每段的刚度和阻尼向节点等效移植，外力向刚体段的 质心移植，把柔性体表示为弹簧( 包括拉压、弯曲、扭转) 和阻尼器相连的多个 刚体段。每段的变形位移用线性弹簧的弹性位移表示，对于整个柔性体来说却是 非线性的，因此与子结构方法一样，可使系统的动力学性质包括几何非线性的影 响。此方法仅适用于细长梁式构件所组成的柔性多体系统。 动力刚化现象到目前为止，仍是柔性多体系统动力学研究的热点和难点，各 种方法因在柔性体的变形或位移一应变关系中考虑了不同的附加非线性项，因此都 可得到附加的刚度项。但柔性体的刚度与其大范围空间运动之间的内在联系以及 导致动力刚化现象的根本原因仍是值得深入研究的课题。 目前还没有一种非常通用和程式化的处理动力刚化问题的方法，适合大型通 用柔性多体系统动力学仿真软件的开发。但动力刚化现象研究的趋势应是非常清 楚的：即必须充分利用有限元技术，在动力学仿真的预处理阶段生成动刚度矩阵 1 2 多柔体系统动力学建模及数值方法研究 或与各种影响因素对应的单位动刚度矩阵，在仿真计算时只需根据柔性体的运动 状态或应力状态对其进行简单的处理即可得到柔性体的动刚度矩阵，以最大限度 地简化仿真计算。 2 4 1m a t h e m a t i c a 简介 2 4 符号演算 建立柔性多体系统动力学方程，需要推导出质量矩阵肘及其导数、与速度二 次项有关的广义力q l ，等系数及变量，这其中涉及到对高阶矩阵的转置、相乘、求 导、积分等操作以及复杂的体积分运算，人的手工推导演算根本无法胜任。为了 完成多柔体系统动力学方程庞大复杂的推导工作，引入了符号演算工具 m a t h e m a t i c a 。 m a t h e m a t i c a 是一种数学分析型的软件【2 4 11 2 s l ，由美 w o l f r a m 公司研制开发， 能够完成符号演算、数学图形绘制、动画制作等多种操作。m a t h e m a t i c a 的基本系 统主要是用c 语言编写的，因此能够很方便地移植到各种计算机系统上。它是由 f r o n te n d 和k e r n e l 两个基本系统组成，f r o n t e n d 系统用来管理m a t h e m a t i c a 与用户的 交互，而k e r n e l 系统在计算中起主要作用。 m a t h e m a t i c a 可以用于解决多种领域的涉及复杂的符号计算和数值计算的问 题。它代替了许多以前仅仅只能靠纸和笔解决的工作，这种思维和解题工具的革 新可能对各种研究领域和工程领域产生深远的影响【2 “。m a t h e m a t i c a 可以做许多符 号演算工作：它能进行多项式的计算、因式分解、展开等。进行各种有理式计算， 求解多项式、有理式方程和超越方程的精确解和近似解。进行数值的或一般代数 式的向量、矩阵的各种计算。求极限、导数、积分，幕级数展开，求解某些微分 方程等。m a t h e m a t i c a 还可以做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数 的精确计算，做具有任意位精度的数值( 实、复数值) 的计算。所有m a t h e m a t i c a 系统 内部定义的整函数、实( 复) 函数也都具有这样的性质。使用m a t h e m a t i c a 可以很方便 地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形。通过这样的图形，我们可以立 即形象地把握住函数的某些特性，而这些特征一般很难从函数的符号表达式中看 清楚。 它吸取了不同类型的软件的特点社7 】： 1 具有b a s i c 语言的简单易学的交互式操作方式 2 具有m a t hc a d m a t l a b 习l l 样强的数值计算功能 3 具有m a c s y m a ，m a p l e ，r e d u c e 和s m p 那样的符号计算功能 第二章多柔体系统动力学的建模及符号演算 旦 4 具有a p l 和l i s p 那样的人工智能列表处理功能 5 像c 与p a s c a l 那样的结构化程序设计语言 m a t h e m a t i c a 对计算机硬件的要求不高，只要能运行o f f i c e 系列软件便能够运行 m a t h e m a t i c a 4 0 。由于其基本系统主要是用c 语言开发的，因此可以比较容易地移 植到各种计算机和运行环境上，比如m s d o s ，m s w i