（应用数学专业论文）最小收益约束下的最优投资问题.pdf

摘要 本文在目前中国股市持续下跌，投资者以追求财富不遭受损失为基本前 提这一现实背景下，提出了期末最小收益约束下的最优投资问题这一问题属 于投资组合保险策略的研究范畴本文对期末最小收益为常数、随机基准以及 二者最大值为约束时，在c o x 和h u a n g 的求解动态优化问题的框架内，分别 对这三个问题进行求解，并讨论了三种优化问题投资策略之间的关系最后， 本文还针对利率随机变化的特点，对随机利率下的最优投资问题的解进行了 初步的探讨，提出了利率服从v a s i c k 模型下最小收益为常数约束的最优投资 问题，并对它进行求解 第一章描述了本研究课题的现实背景以及该课题目前的研究进展，并给 出了本论文的大致框架第二章介绍了本研究课题所涉及到的一些数学工具 和金融背景，为论文后续研究工作奠定了基础第三章介绍了m e r t o n 经典最 优投资问题以及c o x 和h u a n g 通过构造风险中性测度的方法来求解该问题， 该方法是本文研究其他投资优化问题的主要研究方法 第四章分别提出了最小收益为常数、随机基准以及二者最大值的最优投 资问题，并应用c o x 和h u a n g 的方法分别对其进行求解结果表明，当期末 最小收益约束为常数时，该问题的最优投资策略可以归结为常用的欧式看跌 期权复制策略当期末最小收益为随机基准时，该问题可以用复制两资产交换 期权策略来解释当最小收益为二者最大值时，投资策略可以归结为复制性彩 虹期权策略的范畴 第五章介绍了随机利率约束下的最优投资问题，并对其进行了初步探讨 针对实际利率允许为负的特点，以v a s i e k 模型来刻画利率的随机变化并引 入零息债券来规避利率风险，最后得到该最优投资问题的解 文章最后在结论中对本研究课题进行了总结，指出了本研究课题的一些 实际应用局限之处，并指出了下一步研究工作中需要改进的地方 鞅 关键词：投资组合保险，i t o 定理， v a s i c k 模型，等价概率测度 a b s t r a c t t h i st h e s i sp r e s e n t sao p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mw i t ht h em i n i m u mr e - t u r nr e s t r a i n t so nt h ec o n d i t i o nt h a tc h i n e s es t o c km a r k e tc o n t i n u e sf a l l i n g d o w na n dm o s to fi n v e s t o r se x p e c tt h e i rw e a l t hn o tt od a m n i f yd u r i n gt h i s p e r i o d t h i sp r o b l e mi sc o r r e s p o n d i n gt ot h er e s e a r c hf i e l do fp o r t f o l i oi n s u r a n c e w i t ht h e s et h r e ek i n d so fc o n s t r a i n t so ft h ec o n s t a n te n d i n gm i n i m u mr e - t u r n ，s t o c h a s t i cb e n c h m a r ka n dt h em a x i m u mb e t w e e nt h ec o n s t a n tr e t u r na n d s t o c h a s t i cb e n c h m a r k ，t h i st h e s i sc o n c e n t r a t e so nr e s o l v i n gt h e s et h r e ek i n d so f o p t i m a lp r o b l e m sr e s p e c t i v e l y , b a s e do nt h em e t h o d so fd y n a m i cp r o b l e m sb y c o xa n dh u a n gb u i l d i n gu p a l s oi td i s c u s s e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s e t h r e eo p t i m a lp r o b l e m s t h es o l u t i o no fo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mw i t h t h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ei sg i v e np r i m a r i l y , a i m i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so f s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e a tl a s t ，t h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e m sw h i c hi n t e r - e s tr a t ef o l l o w st h ev a s i c km o d e lw i t ht h ec o n s t r a i n to ft h ec o n s t a n tm i n i m u m r e t u r na r ea d v a n c e da n ds o l v e d c h a p t e r1d e s c r i b e st h ep r a c i t i c a lb a c k g r o u n do ft h i sp r o j e c ta n dt h ec u r r e n tr e s e a r c hp r o g r e s s ，w h i c hg i v e sas k e t c h yf r a m e w o r kt or e l yo n i nc h a p t e r 2 ，ab r i e fr e v i e wo fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ea n de c o n o m i c a lb a c k g r o u n di s g i v e n ，w h i c hb u i l d st h eb a s i sf o rt h en e x ts t u d y c h a p t e r3i n t r o d u c e st h e m e r t o nc l a s s i c a lo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e ma n dt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l e s o l u t i o nb yc o xa n dh u a n g ，w h i c hi st h em a i nw a yt os o l v eo t h e ri n v e s t m e n t o p t i m a lp o l i c y i nc h a p t e r4 ，t h et h r e ek i n d so fo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e m so ft h ec o n s t a n tm i n i m u mr e t u r n ，s t o c h a s t i cb e n c h m a r ka n dt h em a x i m u mb e t w e e nt h e c o n s t a n tr e t u r na n ds t o c h a s t i cb e n c h m a r ka r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y , w h i c ha r e s o l v e db yt h em e t h o do fc o xa n dh u a n g f r o mt h er e s u l t ，t h i so p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g yw i t ht h ec o n s t a n te n d i n gm i n i m u mr e t u r n ，i si n t e p r e t e da s t h et r i v a ls t r a t e g yd u p l i c a t i n ge u r o p e a np u to p t i o n a n dw h e nt h ee n d i n g n f i n i m u mr e t u r ni st h es t o c h a s t i cb e n c h m a r k i tj se x p l a i n e db yt h es t r a t e g y d u p l i c a t i n gt w oa s s e t se x c h a n g i n go p t i o n t h e nt h el a s tp r o b l e mc a nb ea t t r i b u t e dt ot h es t r a t e g yd u p l i c a t i n gr a i n b o wo p t i o n t h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mw i t ht h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ec o n h i s t r a i n t sa r ep u tf o r w a r da n ds o l v e ds i m p l yi nc h a p t e r5 ，i nt e r m so ft h e s p e c i a l i t yo fn e g a t i v ei n t e r e s tr a t e ，t h ed y n a m i ci n t e r e s tr a t ei sr e p r e s e n t e db y v a s i e km o d e l t h e nu s i n gz e r oc o u p o nb o u n d st oh e d g ei n t e r e s tr a t er i s k ，t h e s o l u t i o no ft h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e m si sa c h i e v e d f i n a l l yt h es u m m a r yo ft h i st h e s i ss u m su pt h er e s e a r c hw o r ka n dp o i n t s o u ts o m el i m i t so fr e a l i s t i ca p p l i c a t i o n i nt h em e a n w h i l e ，af u r t h e rr e s e a r c h p r o p o s a lr e m a i n st ob ei m p l e m e n t e d k e y w o r d s ：p o r t f o l i oi n s u r a n c e ，i t ot h e o r e m ，v a s i e km o d e l ，e q u i v a l e n t p r o b a b i l i t ym e a s u r e ，m a r t i n g a l e 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明t 所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由 本人承担 储繇罗孕 啉澎年6 月p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅本人授权华南理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密醴 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者酶丐罕 日期 l o t s 年占月川 导师签名：场魂葛勉日期加j 年6 月。日 1 1 研究背景 第一章绪论 中国股市自2 0 0 1 年以来呈现单边下跌的惨状，股市从最高的2 2 0 0 多点到 目前的1 1 2 0 点，跌幅接近5 0 目前中国股市仍然面临全流通以及大盘股上 市带来的股市扩容压力、国际估值接轨以及上市公司盈利能力不足的问题， 这些问题仍将导致中国a 股市场在未来两年内呈现结构性调整，从而出现平 衡震荡调整的走势在目前牛市仍遥遥无期、弱市格局仍未打破的形势下，投 资策略的选择变得相对稳健，即以追求期末财富不出现损失为基本目标基于 这种投资目标下的投资策略的选择将是本文研究的现实背景和动机 这种以保本为目的的投资策略通常称为投资组合保险策略，这类策略的一 个共同点就是在既定策略下做出一定的资产配置，使得期末财富能够至少达到 保本的目的投资组合保险策略通常分为两大类：一种是运用b l a c k s c h o l e s 公式，所衍生出的以选择权为基础的投资组合保险策略( o p t i o n b a s e dp o r t f o l i o i n s u r a n c e ，o b p i ) ，又包括欧式保护性卖权策略、欧式复制性卖权策略等另一 种则是依据本身的风险偏好及承担能力，设定一些简单的参数所形成的投资组 合保险策略，如买入持有策略，固定比例投资组合保险策略( c o n s t a n tp r o p o r t i o np o r t f o l i oi n s u r a n c e ，c p p i ) 1 1 、时间不变性组合保险策略( t i m e - i n v a r i a n t p o r t f o l i op r o t e c t i o n ，t i p p ) 、固定组合策略等等其中欧式保护性卖权策略和 买入持有策略属于“静态投资组合保险策略”，这是因为这两种策略都不作资 产配置的调整欧式保护性卖权策略是在期初直接购买欧式卖权，然后持有直 到保险到期日为止，其间不修改任何保险策略；买入持有策略也是持有资产 至投资期满其它策略需要不断调整资产的组成，故称之为“动态投资组合保 险策略”目前中国市场上已经出现了一些基金产品，如天同基金管理公司发 行的天同保本增值基金等，它们都是采用c p p i 策略和t i p p 策略来进行投 资，以保证期末投资者财富尽可能的不会出现损失而由于国内市场不允许卖 空，并且没有股票期权产品的存在，其他策略譬如o b p i 策略还没有应用于 中国市场复制性卖权策略是应用风险资产对欧式看跌期权进行复制，来对期 末资产进行套期保值本文所研究的投资策略可以归入该策略范畴，通过风险 资产、现金、零息债券对期末财富进行套期保值以保证其至少不受损失买入 持有策略简单易行，但它的业绩经常不如非保险的买入持有策略；停损策略很 难预防突然性的大幅度下跌的风险，所以经常达不到停损的目的欧式保护性 卖权策略给股票投资者提供了一个相当方便且有效的方法，但选择权和约是 标准化的，市场上交易的卖权种类也不够多，往往无法满足个别投资人的避 2 第一章绪论 险需求，加上卖权流动性不足，所以购买卖权进行投资组合保险的策略未必有 效，实际上运用并不那么容易除此之外，投资人的标的资产如果不是单一股 票，而是篮股票所形成的投资组合，则分别购买以个股为标的物的卖权，其 权利金加总必然高于直接购买以该一篮股票为标的物的卖权权利金之所以 如此，是因为投资组合本身就会分散非系统风险，而个股则同时承担了系统及 非系统风险因此购买个别的卖权进行保险是连非系统风险都支付保费，故较 直接购买以该一篮股票为标的物的卖权为贵，当投资组合愈分散，这个差距 就愈大很不幸遍，市场上所交易的卖权很少是以一篮股票为标的，就算能找 到这样的卖权，但其标的资产组合也不见得就是投资人所持有的资产组合这 类因素对于机构投资者或基金公司等拥有大量资金、持有风险分散投资组合 的市场参与者更是不利，大大限制了卖权保险策略对他们的可行性1 9 7 3 年 b l a c k 和s c h o l e s l l 3 导出了买权定价公式，使得投资组合保险的概念在执行面 上迈进了一大步1 9 8 1 年r u b i n s t e i n 和l e l a n d l l 3 】利用这个公式，提出了以 股票和无风险资产复制选择权的观点，于是对于有意执行投资组合保险的投 资人而言，即使没有合适的卖权存在，还是可以通过复制的方式去执行投资保 险策略不过，执行复制性卖权作组合保险也有些缺点比如，由于在实务上 复制性卖权的操作并无法达到连续调整的境界，故只好以间断的方式为之， 因而其执行结果常会与理论存在误差，而致使保险效果大打折扣；另外，一旦 考虑交易成本。复制策略可能因动态操作而衍生出许多交易成本，尤其当调 整的间隔越密，所需付出的交易成本也越高通过几个简单的参数设定来进行 动态调整资产配置达到保险目的的c p p i 、t i p p 等策略，和复制性卖权策 略最大的不同在于，复制性卖权策略必需对波动性进行精确的估计，在一定期 间内使累积波动性达到预定水平，完成保险目的；c p p i 及t i p p 策略则不 对波动性进行估计，但只能在累积波动达成预设水平时达到的保险目的，因而 无法准确要求在一定时间内达成保险目的本文的研究领域扩充了上述复制 性欧式卖权投资策略的应用范畴由于投资者在投资时不仅仅要求保本或者 达到某个固定的收益的要求，往往在市场表现好的情况下希望能战胜市场， 然而在市场下跌的时候又不受损失因此，在此保本要求下的投资策略衍生 成复制性两资产交换期权以及复制性彩虹期权等投资策略同时，本文还在利 率随机变动情况下，把零息债券纳入我们的投资组合里边，来对随机利率环境 华南理工大学硕士学位论文 3 下的最优投资问题进行求解 1 2 关于动态最优投资问题的相关研究工作 关于动态最优投资阿题的研究工作主要包括两大部分：其一是没有最小 收益约束的动态优化问题；其二是最小收益约束下的动态优化问题对于没有 最小收益约束下的动态优化问题，最早的研究源于m e r t o n 9 1 在1 9 7 1 年所做 的工作，假设风险资产价格服从几何布朗运动，常利率条件下，在h a r a 效 用下追求期末财富期望效用最大化的投资决策他主要是根据随机控制的思 想，把该随机优化问题转化成一个h j b 最优方程，通过构造该方程的解来求 得最优投资决策这些年来该部分中的研究工作主要集中在m e r t o n 的研究框 架下，通过放松相应的约束条件来研究譬如风险资产价格不再服从几何布朗 运动而是服从随机波动或者是带跳跃的布朗运动过程，或者是假设市场不再 是无摩擦的，而是带交易成本的等等采用的方法仍用是转化为相应的h j b 最优方程，通过寻找该方程的解来得到最优投资策略而c o x 和h u a n g 2 j 在 1 9 8 9 年的一篇文章中，利用不同的方法求得该投资问题的解他们构造服从 最优增长的风险资产价格过程，该风险资产成为原投资的相对”投资成本” 即通常所说的影子定价过程而期末最优财富可以假设为初始财富通过投资 在该最优增长的影子资产上而来，这样可以把原动态最优问题转化为静态最 优问题，构造相应的等价鞅测度可以求得最优投资策略由于通常利率是随机 变化的，利率风险逐渐引起大家的注意为了在利率随机环境下对该投资问题 进行研究， 1 9 9 9 年，s o r e n s e n 1 2 】在c o x 和h u a n g 的基础上假设利率服从 c i r 与v a s i c k 随机模型的情况下采用相同的方法求得随机利率下的最优投资 策略该投资策略引入了新的资产一零息债券来对利率风险进行套期保值，从 而构建投资组合来使得期末效用最大化由于投资者通常希望自己的投资收 益不会亏损，投资者在投资时，通常有一个收益标准，希望通过自己的主动投 资使得投资收益至少不低于该收益标准因此许多学者提出了具有最小收益 约束下的最优投资问题对于这类有最小收益约束的投资问题，投资组合分析 研究领域内通常有两类研究方法，一类分析方法是b l a c k 和p e r o l d ( 1 9 9 2 ) 【1 通 过研究投资规则的某些性质后提出的恒定比例投资组合保险策略( c p p i ) ，这 一投资策略是把投资总财富与约定的最低财富的差额再乘上一个固定的倍数 投资于风险资产，其余部分投资于无风险资产获取无风险收益；另一类分析方 法是c o x 和h u a n g ( 1 9 8 9 ) 、b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 9 ) 【3 j 等人在考虑期望效 4 第一章绪论 用最大的情况下获取投资策略使得投资收益不低子约定的确定收益这类策 略是投资者在投资时需要购买或者复制一个看跌期权最优投资策略的获得 仍然在c o x 和h u a n g 的研究框架下通过把动态优化问题转变成静态优化i 可 题而来本文的研究属于动态优化问题研究的第二部分，即在c o x 和h u a n g 的研究框架下，在最小收益为随机收益的情况下，分另就利率分别为常数和随 机的两种情况进行分析，得到相应的最优投资策略及其最优投资财富 1 3 本文的结构 本文主要分为四部分，第一部分主要介绍m e r t o n 经典最优投资问题以 及c o x 和h u a n g 对这一经典问题的等价鞅解法这部分主要包括三章，第 二章介绍等价鞅浏度的相关概念及其对欧式看涨期权与两资产交换期权的求 解；第三章描述m e r t o n 经典最优投资问题及c o x 和h u a n g 利用等价鞅测度 对m e r t o n 经典最优投资问题的求解第二部分主要研究在常利率条件下，最 小收益为确定常数与随机基准等情况下最优投资问题的求解，并讨论它们之 间的关系这部分内容会出现在第四章中第三部分即第五章主要研究在随 机利率条件下，最小收益为确定常数与随机基准等情况下最优投资问题的求 解，并讨论它们之间的关系最后，对本文进行了总结，提出了本文需要完善 的一些地方，并提出有待进一步解决的问题 第二章b l a c k - s c h o l e s 定价模型 这一章主要介绍风险中性框架下鞅方法并对欧式期权进行定价问题对于 一份欧式看涨期权的持有人，期权和约规定持有人在未来的某时间丁有权以价 格耳买入该风险资产，那么期权持有人在t 时刻的收益将是m a x ( 一k ，o ) ，也就是说当t 时刻风险资产的价格大于k 时，期权持有人有权选择以价 格a ，从对方买入该资产，再以岛的价格在市场上卖出该资产，获利岛一； 当曲不大于时期权持有人可以选择不买入，在t 时的获利为0 对于这 份未来可以选择以价格买入资产的权利，期权持有人必须付出一定的价格 来购买，对于这份未定权益的定价，b l a c k s c h o l e s 通过构造等价鞅测度来求 解，下面我们来介绍b l a c k s c h o l e s 的定价框架 2 1 风险中性框架下的定价理论( 鞅方法) 定义2 1 设，厂，p ) 为一概率空间，q 为，厂) 上的概率测度称q 关 于p 绝对连续，如果 v a ，p ( a ) = 0 毒q ( a ) = 0 定理2 1 ( r a d o n - n i k o d y m 定理) q 关于p 绝对连续当且仅当存在定义在 ( n ，f ) 上的非负随机变量z ，满足 q ( b ) = 上狮) d p ( 毗v b ， 其中z 被称为q 相对于p 的密度，用籍来表示 当p 和q 中任何一个关于另一个绝对连续的话，称p 和q 等价并 且如果q 关于p 绝对连续，密度为z ，那么p 与q 等价的充分必要条件是 p f z 0 ) = 1 ， 设( n ，( 五) o x t s t ，p ) 为标准b r o w n 运动( 鼠) o g ! t 产生的自然滤子族 所装备的概率空阅，时间区间为 0 ，刁定理2 2 即是广为人知的g i r s a n o v 定 理 定理2 2 ( g i r s a n o v 定理) 设她) 嶂! ? 为一适应过程，满足爿砖如 o 日, - j - ，a l = 0 ； 当v 4 ( 丁) 一r = o 日, - l - ，a 1 0 ； 当( 丁) 一r = o 时，矿+ ( t ) = r 代入( 4 1 ) 得到a ，= a 。妄器一( 冗) 从而 ”删器卅( r ) ，o ) ( 4 2 ) 把( 4 2 ) 式代入( 4 1 ) 式得到 咿( t ) ) _ a 。器z ( 知器圳( 叫， 嘲z ( 吣h 器加) s ) 华南理工大学硕士学位论文 1 9 任意t 时刻，投资者的最优投资财富f ( z ( ) ，s ( t ) ，t ) 为按最优增长过程 z ( t ) 投资达到p ( t ) 的投资成本故 聊腆”) = 聊 器删 = 梆卜( u - i 器加阚1 撕叫 令知= 南，得 即1 s ( 巩归邵) em n 。( u - i ( 高) ，月) 卵) 。坝巩踯) 证毕 命题4 2 如果投资者最优投资财富f ( z ( ) ，s ( t ) ，t ) 关于z ，s 的二阶导数存 在且连续，关于t 的一阶导数存在且连续，那么投资者投资于风险资产的最优 投资策略为 a ( z o ) ，s 0 ) ，t ) = 盯i 2 ( p l r ) f z ( t ) z ( t ) + f s ( t ) s ( t ) 其中，尼( ) ，乃( t ) 为f ( z ( ) ，s ( t ) ，t ) 关于z ，s 的偏导数 证明由公式( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 以及i t o 定理可得最优投资财富f ( z ( t ) ，s ( t ) ，t ) 为如下过程 d f ( t ) = ( c f 0 ) + 疋0 ) ) d t + ( 盯1 s ( ) 七 ) + k z ( t ) f z ( t ) ) d w ( t ) 其中c 为扩散算子由于投资者t 时刻的财富为以下过程 d v ( t ) = a ( t ) ( p l r ) + v ( t ) r d t + a ( t ) a l d w ( t ) 故这两个过程必须等价，比较它们的漂移率与波动率可得 a ( z 0 ) ，s ( t ) ，t ) = 盯f 2 ( p 1 一r ) 兄( 亡) z ( t ) + f j ( t ) s ( ) 2 0 第四章最小收益约束下的最优投资问题 证毕 由命题4 2 可知，只要我们知道任意时刻投资者的最优投资财富，我们可 以得到此时投资于风险资产的最优投资策略，该投资策略就是保证具有最小 收益的最优投资策略 4 1 3 h a r a 效用函数下最优投资财富 取h a r a 效用函数u ( z ) 2 字( 亡；) 1 ，7 0 ，而风险资产服从 以下几何b r o w n 运动： d s ( t ) = # l s ( t ) d t + c h s ( t ) d w ( t ) ( 4 4 ) 其中w 是标准维纳过程，肛1 ，o - l 均为常数 3 ) 作为投资衡量标准的市场指数x ( t ) ，也服从几何b r o w n 运动： d x ( t ) = 9 2 x ( t ) d t + 盯2 ) f ) d )( 4 5 ) 其中叫是标准维纳过程，肛。，他均为常数 则期末最小收益为随机基准x ( t ) 时的最优投资问题描述如下 s u pe u ( v ( t ) ) h ( ) d y 0 ) 一【a 0 ) ( 舭1 一r ) + v ( t ) r d t + a ( t ) a l d w ( t ) v ( o ) = v o ； v ( t ) x ( t ) 华南理工大学硕士学位论文 2 3 该问题仍然是一动态优化问题，对应的静态优化问题如下 s u pe u ( y ( t ) ) 】( s p 2 ) v ( t ) “即，e 器卜； v ( t ) x ( t ) ， 4 2 2 最优投资问题的求解 命题4 3 任意t 【0 ，t 】，投资者最优投资财富为 f ( z ( ) ，j 5 r ( t ) ，x ( ) ，t ) = 邵) em a x ( 旷1 ( 南) ，即) ) 即) 。1 坝地即) ，即) 证明设非负常数a o ， 1 为( s p 2 ) 问题的l a g r a n g e 乘子，则 ，( y ( ，) ) = e 扩( 矿( t ) ) 】+ a o ( v o z ( o ) f 筹骂】) + a i ( v ( t ) 一x ( 丁) ) 令菇= 0 ，得到 咿( 功幽器山 ( 4 6 ) 再由a 1 ( v + ( t ) 一x ( t ) ) = 0 ，可知- 当v + ( t ) 一x ( t ) o 时，a 1 = o ； 当v + ( t ) 一x ( t ) = 0 时，a l o ； 当v + ( t ) 一x ( t ) = o 时，矿( t ) = x ( t ) | f 弋入( 4 6 ) 得到 小h 器卅( 硼) ) 从而 矿咧h 器卅( 砸) ) i o )( 4 7 ) 把( 4 7 ) 式代入( 4 6 ) 式得到 2 4 第四章最小收益约束下的最优投资问题 咿( 丁) ) - h 器z ( 知器卅( 硼) ) ，。) t ) z ( u - i ( 知器肛( t ) ) 任意t 时刻，投资者的最优投资财富f ( z ( t ) ，s ( t ) ，x ( o ，t ) 为按最优增长 过程z ( t ) 投资达到v + ( t ) 的投资成本故 证毕 f ( z ( t ) ，s ( t ) ，x ( z ) ，t ) = 那 器俐删删 = 邵) e m n z ( 吣知器肛( t ) ) 卵) _ 1 i 粥鼢删 令k = 丽1 ，得 f ( z ( t ) ，s 0 ) ，x ( t ) ，t ) = 邵) e ( u - i ( 高) ，x ( t ) ) 即) 。1 i 即) ，鼢即) 命题4 4 如果投资者最优投资财富f ( z ( t ) ，s ( t ) ，x ( t ) ，t ) 关于z ，s ，